人教A版高中数学选修2-3统计案例知识点归纳

最新人教版高中数学选修2-3《统计案例复习》示范教案本章复习本章知识脉络基础知识聚焦1．回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种方法，而联系这两个变量之间的关系的方程称为回归方程，下列叙述正确的是( )A ．回归方程一定是直线方程B ．回归方程一定不是直线方程C ．回归方程是变量之间关系的严格刻画D ．回归方程是变量之间关系的一种近似刻画 2．在两个变量Y 与X 的回归模型中，选择了4个不同的模型，它们的相关指数R 2如下，其中拟合效果最好的是( )A ．R 2＝0.98B ．R 2＝0.80C ．R 2＝0.50D ．R 2＝0.25 3．下列关于K 2的说法正确的是( )A ．K 2在任何相互独立的问题中都可以用来检验有关还是无关B ．K 2的观测值越大，事件相关的可能性就越大C ．K 2是用来判断两个分类变量是否有关系的随机变量，只对两个分类变量适合D ．当K 2的观测值大于某一数值(比如10.828)时，我们就说两个分类变量X 与Y 一定相关4．当我们建立多个模型拟合某一数据时，为了比较各个模型的拟合效果，我们可通过计算下列哪些量来确定( )①残差平方和；②回归平方和；③相关指数R 2；④相关系数rA ．①B ．①②C ．①②③D ．③④5．线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必经过( )A ．(0,0)B ．(x ，0)C ．(0，y )D ．(x ，y ) 学生活动：先用3～5分钟的时间完成上面5个小题，然后再交流答案，相互讨论，并根据题目设计的知识，回顾本章的主要内容．活动结果：1.D 2.A 3.B 4.C 5.D 基础知识回顾：1．回归方程模型及相关检验(1)回归方程中a ^ ＝y ^ －b ^ x ，b ^＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2，其中(x ，y )称为样本点的中心．(2)r 具有如下性质：||r ≤1，并且||r 越接近1，线性相关程度越强，||r 越接近0，线性相关程度越弱．(3)为了衡量预报的精确度，我们要进行残差分析，通常σ2越小，预报精度越高． 2．2×2列联表的独立性检验(1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，这类变量称为分类变量．(2)列联表：两个分类变量的频数表称为列联表．有两个分类变量的样本频数列联表称为2×2列联表．(3)独立性检验独立性检验一般采用列联表的形式，每个因素可以分为两个类别．当列联表是2×2列联表的形式时，独立性检验的随机变量K 2的计算公式如下：K 2＝n(ac －bd)2(a ＋b)(c ＋d)(a ＋c)(b ＋d).这里的字母如下表在给定的出错概率上限下，我们可以通过K 的观测值与已知数据的大小关系，来判断分类变量的关系．设计目的：把某一节复习课要复习的基础知识(概念、公式、法则、公理、定理、方法、思想、技能、技巧等)整理成一组问题的形式，通过解答问题，达到引发学生再现某些基础知识，进而牢记某些基础知识的目的，即这里的主要目的是再现本节课所要复习的知识、技能、方法与思想．典型示例类型一：线性回归模型及回归分析例1下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据：(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ＝b ^x ＋a ^；(3)已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤；试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？思路分析：结合统计知识，正确作图和计算．解：(1)散点图如图所示：(2)由系数公式可知，x ＝4.5，y ＝3.5，b ^＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝66.5－635＝0.7. a ^＝3.5－0.7×92＝0.35，所以线性回归方程为y ＝0.7x ＋0.35；(3)x ＝100时，y ＝0.7x ＋0.35＝70.35，所以预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低19.65吨标准煤．点评：回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的常用方法．采用回归分析基本思想，解决实际问题的基本步骤如下：①明确对象；②画散点图；③选择模型，即通过观察分析散点图确定回归方程的类型，如果观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；④估算方程，即按一定的规则估计回归方程的参数，如最小二乘法原理；⑤线性相关程度的判定，即通过样本相关系数的大小作出判断：|r|≤1；|r|越接近于1，线性相关程度越强；|r|越接近于0，线性相关程度越弱．变式练习：一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了(1)y 与x 是否具有线性相关关系？(2)如果y 与x 具有线性相关关系，求回归直线方程；(3)根据求出的回归直线方程，预测加工200个零件所用的时间为多少？x ＝55，y ＝91.7，∑i ＝110x 2i ＝38 500，∑i ＝110y 2i ＝87 777，∑i ＝110x i y i ＝55 950，因此 r ＝∑i ＝110x i y i －10x y(∑i ＝110x 2i －10x 2)(∑i ＝110y 2i －10y 2)＝55 950－10×55×91.7(38 500－10×552)×(87 777－10×91.72)≈0.999 8，由于r ＝0.999 8＞0.75，因此x 与y 之间有很强的线性相关关系，因而可求回归直线方程． (2)设所求的回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则有b ^＝∑i ＝110x i y i －10x y ∑i ＝110x 2i －10x2≈0.668，a ^ ＝y －b ^ x ≈54.96，因此，所求线性回归方程为y ^＝0.668x ＋54.96.(3)这个回归直线方程的意义是当x 每增大1时，y 的值约增加0.668，而54.96是y 不随x 增加而变化的部分，因此，当x ＝200时，y 的估计值为y ^＝0.668×200＋54.96＝188.56≈189，因此，加工200个零件所用的工时约为189分．类型二：非线性回归模型及回归分析例2在试验中得到变量y 与x 的数据如下：由经验知，y 与1x 之间具有线性相关关系，试求y 与x 之间的回归曲线方程；当x 0＝0.038时，预测y 0的值．分析：通过换元转化为线性回归问题．解：令u ＝1x，由题目所给数据可得下表所示的数据：计算得b ^＝0.29，a ^＝34.24，∴y ^＝34.24＋0.29u.故所求回归曲线方程为y ^＝34.24＋0.29x ，当x 0＝0.038时，y ^＝34.24＋0.290.038≈41.87.点评：非线性回归问题有时并不给出经验公式，此时我们可以由已知的数据画出散点图，并把散点图与已经学习过的各种函数，如幂函数、指数函数、对数函数、二次函数等作比较，挑选出跟这些散点拟合得最好的函数，然后再采用变量的变换，把问题转化为线性回归问题，使问题得以解决．变式练习：某地大气中氰化物浓度测定结果如下：(2)求相关指数．(3)作出残差图，并求残差平方和．解：(1)选取污染源距离为自变量x ，氰化物浓度为因变量y ，作散点图．从表中所给的数据可以看出，氰化物浓度与距离有负的相关关系，用非线性回归方程来拟合，建立y 关于x 的指数回归方程：y ^＝0.929 3e－0.009 4x.(2)相关指数R 2＝1－∑n i ＝1(y i －y ^i )2∑ni ＝1(y i －y )2≈0.991 5.残差平方和∑ni ＝1 (y i －y ^i )2＝0.011 8. 类型三：独立性检验思想例3某些行为在运动员的比赛之间往往被赋予很强的神秘色彩，如有一种说法认为，在进入某乒乓球场比赛前先迈入左脚的运动员就会赢得比赛的胜利．某记者为此追踪了某著名负有关？思路分析：根据列联表，求出K 2的观测值，再进行判断．。

人教版高中数学必修2-3知识点第一章计数原理1.1分类加法计数与分步乘法计数分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法。

分类要做到“不重不漏”。

分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤。

做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法。

分步要做到“步骤完整”。

n元集合A={a1，a2⋯，a n}的不同子集有2n个。

1.2排列与组合1.2.1排列一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(arrangement)。

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示。

排列数公式：n个元素的全排列数规定：0!=11.2.2组合一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(combination)。

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号或表示。

组合数公式：∴规定：组合数的性质：(“构建组合意义”——“殊途同归”)1.3二项式定理1.3.1二项式定理(binomial theorem)*注意二项展开式某一项的系数与这一项的二项式系数是两个不同的概念。

1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质*表现形式的变化有时能帮助我们发现某些规律！(1)对称性(2)当n 是偶数时，共有奇数项，中间的一项取得最大值；当n 是奇数时，共有偶数项，中间的两项，同时取得最大值。

(3)各二项式系数的和为(4)二项式展开式中，奇数项二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和：(5)一般地，第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布(n ∈N *)其中各项的系数(k ∈{0，1，2，⋯，n})叫做二项式系数(binomial coefficient)；2.1.1离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量(random variable)。

高中数学选修 2－3 知识点第一章计数原理知识点：1、分类加法计数原理：做一件事情，达成它有 N类方法，在第一类方法中有 M 1 种不一样的方法，在第二类方法中有 M 2 种不一样的方法，⋯⋯，在第 N类方法中有 M N 种不一样的方法，那么达成这件事情共有M 1+M 2+⋯⋯ +M N 种不一样的方法。

2、分步乘法计数原理：做一件事，达成它需要分红 N 个步骤，做第一步有 m1 种不一样的方法，做第二步有 M 2不一样的方法，⋯⋯，做第 N 步有 M N 不一样的方法 .那么达成这件事共有 N=M 1M2...M N 种不一样的方法。

3、摆列：从 n 个不一样的元素中任取 m(m≤ n)个元素，按．照．一．定．顺．序．排成一列，叫做从 n 个不一样元素中取出 m 个元素的一个摆列n!m4、摆列数：A n(n 1) (n m 1) (m n, n, m N)(n m)!5、组合：从n 个不一样的元素中任取m(m≤ n) 个元素并成一组，叫做从n 个不一样元素中拿出m个元素的一个组合。

m 6、组合数：CCnmmA n(n 1) (n m 1) n!A n(n 1) (n m 1) n!m n n m mCCn n n m m !( )!A m! m n mm! m! (n m)!m mAC mn C n mn;m 1 m mC n C C 1n nn 0 n 1 n 1 2 n 2 2 ⋯r n r r ⋯n n 7、二项式定理：(a b) C a C a b C a bC a b C bn n n n nr n r r睁开式的通项公式：T r 1 C n a b (r 0，1⋯⋯ n)8、二项式通项公式第二章随机变量及其散布知识点：1、随机变量：假如随机试验可能出现的结果能够用一个变量 X来表示，而且 X 是跟着试验的结果的不一样而变化，那么这样的变量叫做随机变量．随机变量常用大写字母 X、Y等或希腊字母ξ、η等表示。

高中数学选修2-3知识点总结第一章 计数原理知识点：1、分类加法计数原理：做一件事情，完成它有N 类办法，在第一类办法中有M 1种不同的方法，在第二类办法中有M 2种不同的方法，……，在第N 类办法中有M N 种不同的方法，那么完成这件事情共有M 1+M 2+……+M N 种不同的方法。

2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成N 个步骤，做第一 步有m1种不同的方法，做第二步有M 2不同的方法，……，做第N 步有M N 不同的方法.那么完成这件事共有 N=M 1M 2...M N 种不同的方法。

3、排列：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列4、排列数： ),,()!(!)1()1(N m n n m m n n m n n n A m∈≤-=+--= 5、组合：从n 个不同的元素中任取m (m ≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。

6、组合数：)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n-=+--== )!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n -=+--== ;m n n m n C C -= m n m n m n C C C 11+-=+7、二项式定理：()a b C a C a b C a b C a b C b n n n n n n n n r n r r n n n +=++++++---011222…… 8、二项式通项公式展开式的通项公式：，……T C a b r n r n r n r r +-==101()第二章 随机变量及其分布知识点：1、随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量． 随机变量常用大写字母X 、Y 等或希腊字母 ξ、η等表示。

高中数学必修1知识点总结第一章 集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集交集A B{|,x x A ∈且}x B ∈（1）A A A = （2）A ∅=∅ （3）AB A ⊆ A B B ⊆ BA并集A B{|,x x A ∈或}x B ∈（1）A A A = （2）A A ∅= （3）A B A ⊇ AB B ⊇BA补集U A{|,}x x U x A ∈∉且1()U A A =∅ 2()U A A U =【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集||(0)x a a <> {|}x a x a -<< ||(0)x a a >>|x x a <-或}x a >||,||(0)ax b c ax b c c +<+>>把ax b+看成一个整体，化成||x a<，||(0)x a a >>型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式24b ac ∆=-0∆> 0∆= 0∆<二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象O一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的根21,242b b ac x a-±-=（其中12)x x <122b x x a==-无实根20(0)ax bx c a ++>>的解集1{|x x x <或2}x x >{|x }2b x a≠-R20(0)ax bx c a ++<>的解集12{|}x x x x <<∅ ∅()()()U U U A B A B =()()()UU U A B A B =〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a xa xb x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． （4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法： ①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值． ③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题． ⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系． （6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．〖1.3〗函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法yxo 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yxox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减） （4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数． ③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()ug x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、(0,]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义 ①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M=．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M=．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的 性 质定义图象判定方法 函数的 奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函．．数．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y 轴对称） ②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象． 利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象． ①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系． （3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．第二章 基本初等函数(Ⅰ) 〖2.1〗指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a表示；当n是偶数时，正数a的正的n n次方根用符号表示；0的n次方根是0；负数a 没有n次方根．n叫做根指数，a叫做被开方数．当n为奇数时，a为任意实数；当n为偶数时，0a≥．③根式的性质：n a=；当n a=；当n为偶数时，(0)||(0)a aaa a≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,mna a m n N+=>∈且1)n>．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：1()0,,,m mn na a m n Na-+==>∈且1)n>．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r sa a a a r s R+⋅=>∈②()(0,,)r s rsa a a r s R=>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R=>>∈【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义 ①若(0,1)xaN a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a xN =，其中a 叫做底数，N叫做真数．②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质 如果0,1,0,0aa M N >≠>>，那么①加法：log log log ()aa a M N MN += ②减法：log log log a a aMM N N-=③数乘：log log ()n aa n M M n R =∈ ④log a N a N =⑤loglog (0,)bn a anM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a =>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()xf y -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质 ①原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义 一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限． ②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)． ③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当q pα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则q py x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则qpy x =是非奇非偶函数． ⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x=上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．〖补充知识〗二次函数（1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便．（3）二次函数图象的性质①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a --．②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2b a -+∞上递增，当2bx a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,)2b a-+∞上递减，当2bx a =-时，2max 4()4ac b f x a -=．③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时，图象与x轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||||M x M x M M x x a =-=． （4）一元二次方程20(0)axbx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布． 设一元二次方程20(0)axbx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a =-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出． （5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a>时（开口向上）①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a=- ③若2bq a ->，则()m f q =02a )q ()f p)M = ②若q ≤ ③若2b q a ->，则()M f q =xxxx0x x(q)0x①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

第三章统计案例
本章解说
知识概要
在现实生活中，我们经常会遇到类似下面的问题：肺癌是严重威胁人类生命的一种疾病，吸烟与患肺癌有关系吗？
肥胖是影响人类健康的一个重要因素，身高与体重之间是否存在线性相关关系？等等. 为了回答这些问题，必须明确问题涉及的对象（总体）是什么，用怎样的量来描述要解决的问题，并确定获取变量值（数据）的方法.然后用恰当的方法分析数据，以得到最可靠的结论.
在必修模块中，我们学习过关于抽样，用样本估计总体，线性回归等基础知识.本章中，我们将在此基础上，通过对典型案例的讨论，进一步讨论线性回归分析方法及其应用，并初步了解独立性检验的基本思想，认识统计方法在决策中的作用.
1.本章的主要内容有随机误差、残差、残差分析、列联表及独立性检验等概念.
2.用残差分析、判断线性回归模型的拟合效果.
3.建立回归模型的基本步骤.
4.通过对典型案例的研究，了解回归的基本思想、方法及初步应用.
5.通过对典型案例的研究，了解独立性检验的基本思想、方法及初步应用.
6.根据题目所给的列联表判断结论的可能性.
学法指导
1.在实际问题中，经常会面临需要推断的问题.比如研制出一种新药，需要推断此药是否有效？有人怀疑吸烟的人更易患肺癌，那么吸烟是否与患肺癌有关呢？等等.在对类似的问题作出推断时，我们不能仅凭主观意愿作出结论，需要通过试验来收集数据，并依据独立性检验的原理作出合理的推断.
2.统计方法是可能犯错误的：不管是回归分析还是独立性检验，得出的结论都可能犯错误，好的统计方法就是要尽量降低犯错误的概率，比如在推断吸烟与患肺癌是否有关时，通过收集数据、整理分析数据得到“吸烟与患肺癌有关”的结论，而且这个结论出错的概率在0.01以下.实际上，这是统计思维与确定性思维差异的反应.。

统计案例1. 随机变量 在一次实验中随着实验结果改变而改变的变量。

举例：扔硬币的实验结果用 1 表示正面 向上，用 0表示背面向上，则实验得到 1还是 0是随着扔硬币的结果决定的，这就是一个随机变量。

2. 离散型随机变量 结果是可一一列出的(不论数量有限还是无限，教材中只有限)的随机变量称为 离散型随机变量。

比如一个人的寿命是有无限种可能值的， 所以寿命不是离散型随机变量， 但是如果 定义随机变量“寿命大于等于 50岁时Y=1，寿命不足 50岁时Y=0”，则 Y 是一个离散型随机变量。

3. 离散型随机变量的概率分布列 列举出{X=x i }所有取值及取值时对应概率 P(X=x i )=p i 的表称为离散型 随机变量的概率分布列( i=1、2、3、4、 5⋯⋯)。

举例：著名古典概型掷骰子，定义随机变量 X 为掷骰子的点数，根据古典概型，所有结果的概率都是 X 1 2 3 4 5 6 P1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6则可得出当 X=x 1=1时 P(x=1)=p 1=1/6 X=x 3=1时P(x=3)=p 3=1/6等。

而如果要求点数不小于 3，则 3≤X ≤6，P(3≤X ≤6)=p 3+p 4+p 5+p 6=2/3。

有时为了简单起见，也可只用 P(X=x i )=p i 来表示 X 的分布列。

离散型随机变量的概率分布列具有如下两个性质： 1.任一分布列的所有的 p i 大于等于 0。

即任何分布 列里的任一概率大于等于 0。

2.同一分布列的所有 p i 总和为 1。

即概率和为 1。

4. 两点分布 离散型随机变量中 X 只有两种取值(也就是只有两种结果)的情况，通常是 0 和 1，例 X 0 1 P 1-p p像这样的分布列，可判定 ”X 服从两点分布 ”。

5. 超几何分布 这种概率分布列的文字表述通常是如下类型的字眼：在含有 M 个有特性(比如残次 品)的总共 N 个个体中 不放回地 (不放回这个特征要跟二项分布区分 )抽取 n 个个体 ，其中恰有 X 个有特性的物品，则通过组合方式(抽取结果跟顺序无关所以用组合 C 不用排列 A )计算可以得到 {X=k}其中C M k 代表在 M 个有特性个体中抽到 k 件的办法数C N n k M 代表在 N-M 个没有特性的个体中抽到 n-k 件的办法数 C N n 代表在 N 个个体中抽 n 件的办法数则分布列结果如下( m=min{M,n} 即 M 和 n 二者中较小的一个值， n ≤N,M ≤N 且 n,M,N ∈ N +)X 0 1mPC 0 C n 0 C M CN M C 1 Cn 1 C M CN MC m C n m C M CN M C N nC N n C N n 这样的分布列，可判定 ”X 服从超几何分布 ”。