概率论例题与详解

i习题一3 设,,B A 为二事件，化简下列事件：B B B A B BA B A B A B A =⋃=⋃⋃=⋃⋃)()())()(1(B B A B B A A A B A B A =⋃⋃⋃=⋃⋃)())()(2(4 电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0到9这10个数字中的任一个，求电话号码由5个不同数字组成的概率。

3024.010302410427210678910445==⋅=⋅⋅⋅⋅=p5 n 张奖券中有m 张有奖的，k 个人购买，每人一张，求其中至少有一人中奖的概率。

答案：.1k n k mn C C --6 从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”的概率是多少？解；将这五双靴子分别编号分组},,,,{};,,,,{5432154321b b b b b B a a a a a A ==，则C 表示：“至少有两只配成一双”；从5双不同的鞋子中任取4只，其可能选法有.45C不能配对只能是：一组中选i 只，另一组中选4-i 只，且编号不同，其可能选法为)0,1,2,3,4(;455=--i C C i i i41045341523251235451)(1)(C C C C C C C C C C P C P ++++-=-= 2113218177224161247720104060401011234789105453245224551=-=⋅⋅-=⋅++++-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅+-= 7在[—1，1]上任取一点，求该点到原点的距离不超过51的概率。

答案：518在长度为a 的线段内任取两点，将其分成三段，求它们可以构成三角形的概率。

,0,0a y a x <<<<且a y x <+<0，又41222,,=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<>+⇒⎪⎩⎪⎨⎧--<---<--->+P ay a x a y x y x a x y y x a y x y x a y x 9在区间)1,0(内任取两个数，求这两个数的积小于41的概率。

概率论练习题与解析十、概率论与数理统计一、填空题1、设在一次试验中，事件A 发生的概率为p 。

现进行n 次独立试验，则A 至少发生一次的概率为np )1(1--；而事件A 至多发生一次的概率为1)1()1(--+-n n p np p 。

2、 三个箱子，第一个箱子中有4个黑球1个白球，第二个箱子中有3个黑球3个白球，第三个箱子有3个黑球5个白球。

现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出1个球，这个球为白球的概率等于 。

已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为 。

解：用iA 代表“取第i 只箱子”，i =1，2，3，用B 代表“取出的球是白球”。

由全概率公式⋅=⋅+⋅+⋅=++=12053853*********)|()()|()()|()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P B P由贝叶斯公式⋅=⋅==5320120536331)()|()()|(222B P A B P A P B A P3、 设三次独立试验中，事件A 出现的概率相等。

若已知A 至少出现一次的概率等于19/27，则事件A 在一次试验中出现的概率为 。

解：设事件A 在一次试验中出现的概率为)10(<<p p ，则有2719)1(13=--p ，从而解得31=p4、已知随机事件A 的概率5.0)(=A P ，随机事件B 的概率6.0)(=B P 及条件概率8.0)|(=A B P ，则和事件B A Y 的概率)(B A P Y = 。

7.08.05.06.05.0)|()()()()()()()(=⨯-+=-+=-+=A B P A P B P A P AB P B P A P B A P Y 5、 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5。

现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 。

用A 代表事件“甲命中目标”，B 代表事件“乙命中目标”，则B A Y 代表事件“目标被命中”，且8.06.05.06.05.0)()()()()()()()(=⨯-+=-+=-+=B P A P B P A P AB P B P A P B A P Y所求概率为75.08.06.0)()()|(===B A P A P B A A P Y Y6、 设随机事件A ，B 及其和事件B A Y 的概率分别是0.4，0.3和0.6。

概率论与数理统计重点总结及例题解析一：全概率公式和贝叶斯公式例:某厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，它们的产量之比为3：2：1，各车间产品的不合格率依次为8％，9％， 12% 。

现从该厂产品中任意抽取一件，求:（1）取到不合格产品的概率;（2）若取到的是不合格品，求它是由甲车间生产的概率。

（同步45页三、1）解:设A1，A2,A3分别表示产品由甲、乙、丙车间生产,B表示产品不合格，则A1,A2,A3为一个完备事件组。

P（A1）=1/2, P(A2）=1/3， P(A3)=1/6，P（B｜ A1)＝0。

08，P（B｜ A2）＝0。

09，P（B｜ A3)＝0。

12.由全概率公式P（B） = P(A1)P（B｜ A1）+ P（A2)P(B| A2）+ P(A3）P(B| A3) = 0.09由贝叶斯公式：P（A1｜ B）＝P(A1B）/P(B) = 4/9练习:市场上出售的某种商品由三个厂家同时供货，其供应量第一厂家为第二厂家的2倍,第二、三两厂家相等，而且第一、二、三厂家的次品率依次为2％,2％，4％。

若在市场上随机购买一件商品为次品,问该件商品是第一厂家生产的概率是多少？(同步49页三、1）【0.4 】练习:设两箱内装有同种零件，第一箱装50件，有10件一等品，第二箱装30件，有18件一等品,先从两箱中任挑一箱,再从此箱中前后不放回地任取2个零件，求：(同步29页三、5）（1）取出的零件是一等品的概率；（2)在先取的是一等品的条件下,后取的仍是一等品的条件概率. 解：设事件i A ={从第i 箱取的零件},i B =｛第i 次取的零件是一等品｝ （1）P （1B )=P(1A )P （1B |1A ）+P （2A )P(1B ｜2A )=52301821501021=+（2)P （1B 2B ）=194.02121230218250210=+C C C C ,则P （2B |1B )=)()(121B P B B P = 0.485二、连续型随机变量的综合题 例:设随机变量X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<=others x x x f 020)(λ 求：（1)常数λ;（2）EX ；（3)P{1〈X<3｝；（4)X 的分布函数F （x)（同步47页三、2）解：(1）由⎰⎰==∞+∞-201)(xdx dx x f λ得到λ＝1/2 （2)3421)(22===⎰⎰∞+∞-dx x dx x xf EX (3)⎰⎰===<<31214321)(}31{xdx dx x f x P (4)当x<0时,⎰∞-==xdt x F 00)(当0≤x<2时，⎰⎰⎰∞-∞-=+==xxx tdt dx dt t f x F 00241210)()(当x ≥2时，F(x ）=1故201()02412x F x x x x <⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩练习：已知随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤+=others x b ax x f 010)(且E （X)=7/12。

概率论解题示例详解概率论是数学中的一个重要分支，它研究的是不确定事件的规律性。

通过概率的计算和推理，我们可以预测和评估各种事件发生的可能性。

概率论在实际生活中有着广泛的应用，比如在金融、统计、工程等领域中都能看到它的身影。

本文将通过详解一些概率论解题示例，来帮助读者更好地理解和掌握概率论的基本概念和解题方法。

示例一：抛硬币问题抛硬币是常见的概率论例题。

假设有一枚公平的硬币，正反两面出现的机会均等。

现在我们抛掷这枚硬币三次，问以下几种情况的概率是多少：1. 出现三次正面的概率2. 出现两次反面的概率3. 至少出现一次正面的概率解答：1. 出现三次正面的概率：假设硬币抛掷的结果为独立事件，每次抛掷都有两种可能的结果，即正面和反面。

因此，出现三次正面的概率可以表示为：1/2 * 1/2 * 1/2 = 1/8。

2. 出现两次反面的概率：同样地，假设硬币抛掷的结果为独立事件，每次抛掷都有两种可能的结果。

根据排列组合的原理，两次反面和一次正面可以有三种不同的组合，即反反正、反正反、正反反。

因此，出现两次反面的概率可以表示为：3 * (1/2 * 1/2 * 1/2) = 3/8。

3. 至少出现一次正面的概率：可以通过计算出至少出现一次反面的概率，然后用1减去该概率即可。

出现一次反面的概率可以表示为：(1/2 * 1/2 * 1/2) = 1/8。

因此，至少出现一次正面的概率为1 - 1/8 = 7/8。

示例二：生日悖论生日悖论是概率论中一个有趣且常见的问题。

假设有一个房间里有n个人，问至少有两个人生日相同的概率是多少？解答：假设每个人的生日是均匀分布的，即每一天出生的概率相等。

我们可以通过计算每个人生日不相同的概率，然后用1减去该概率得到至少有两个人生日相同的概率。

第一个人的生日可以是任意一天，概率为1。

第二个人的生日不能与第一个人相同，即概率为364/365。

第三个人的生日不能与前两个人相同，即概率为363/365。

高等数学(概率论)习题及解答高等数学（概率论）题及解答
1. 题一
1.1. 题目
已知事件A和B的概率分别为P(A) = 0.2，P(B) = 0.3，且P(A∪B) = 0.4，求P(A∩B)。

1.2. 解答
根据概率的加法定理，有：
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
代入已知数据得：
0.4 = 0.2 + 0.3 - P(A∩B)
P(A∩B) = 0.1
所以，P(A∩B)的概率为0.1。

2. 题二
2.1. 题目
已知某城市一天中的天气分为晴天、阴天和雨天三种情况，其中晴天的概率为0.4，阴天的概率为0.3。

现已知，当下为晴天时，随后一天也是晴天的概率为0.7；当下为阴天时，随后一天为晴天的概率为0.5。

求当下为晴天时，随后一天为阴天的概率。

2.2. 解答
设事件A为当下为晴天，事件B为随后一天为阴天。

根据条件概率的定义，有：
P(B|A) = P(A∩B) / P(A)
已知 P(A) = 0.4，P(B|A) = 0.5，代入并整理得：
0.5 = P(A∩B) / 0.4
P(A∩B) = 0.5 * 0.4
P(A∩B) = 0.2
所以，当下为晴天时，随后一天为阴天的概率为0.2。

以上是高等数学（概率论）习题及解答的部分内容，如有更多问题或需要补充，请随时告知。

一、填空题1. 掷21n +次硬币，则出现正面次数多于反面次数的概率是0.52. 把10本书任意的放到书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率1153. 6．一批产品分一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机的抽取一件，试求取到二级品的概率274. 已知()0.7,()0.3,P A P A B =-= 则()0.6.P AB =5. 已知()0.3,()0.4,()0.5,P A P B P A B === 则(|)0.8.P B A B ⋃=6. 掷两枚硬币，至少出现一个正面的概率为34.7. 设()0.4,()0.7,P A P A B =⋃= 若,A B 独立，则()0.5.P B =8. 设,A B 为两事件，11()(),(|),36P A P B P A B === 则7(|).12P A B =9. 设123,,A A A 相互独立，且2(),1,2,3,3i P A i == 则123,,A A A 最多出现一个的概率是7.2710．某人射击三次，其命中率为0.8，则三次中至多命中一次的概率为0.104二、选择题1. 下面四个结论成立的是（B ）.()().,.().()A A B C A B C B AB C A BC C A B B A D A B B A--=-⋃=∅⊂=∅⋃-=-⋃=若且则2. 设()0,P AB =则下列说法正确的是（ D ） ...()0()0.()()A AB B ABC P A P BD P A B P A ==-=和不相容 是不可能事件或3. 掷21n +次硬币，正面次数多于反面次数的概率为（ C ）1..21211.0.5.21nn A B n n n C D n -++++ 4. 设,A B 为随机事件，()0,(|)1,P B P A B >= 则必有（ A ）.()()..()().()()A P AB P A B B AC P A P BD P AB P A ⋃=⊂==5. 设A 、B 相互独立，且P (A )>0，P (B )>0，则下列等式成立的是（ B ）.A ．P (AB )=0 .B P (A -B )=P (A )P (B ).C P (A )+P (B )=1 .D ．P (A |B )=06．设事件A 与B 互不相容，且P (A )>0，P (B ) >0，则有（ A ）.A P (AB )=l .B P (A )=1-P (B ) .C P (AB )=P (A )P (B ).D P (A ∪B )=17. 已知()0.5P A =，()0.4P B =，()0.6P A B +=，则(|)P A B =（ D ）.A 0.2 .B 0.45 .C 0.6 .D 0.758．同时抛掷3枚均匀的硬币，则恰好有两枚正面朝上的概率为（ C ）.A 0.125 .B 0.25 .C 0.375 .D 0.509．设事件,A B 互不相容，已知()0.4P A =，()0.5P B =，则()P AB =（ B ）.A 0.1 .B 0.4 .C 0.9 .D 110．已知事件A ，B 相互独立，且()0P A >，()0P B >，则下列等式成立的是（ B ）.A ()()()P A B P A P B ⋃=+ .B ()1()()P A B P A P B ⋃=- .C ()()()P A B P A P B ⋃=.D ()1P A B ⋃=三、 计算题1. 一宿舍内住有6位同学，求他们之中至少有2个人的生日在同一个月份概率。

全概率经典例题详解题目：甲、乙、丙三人向同一飞机射击，设击中的概率分别为，，，若只有1人击中，则飞机被击落概率为，若2人击中，则飞机被击落的概率为，若3人击中，则飞机一定被击落，则飞机被击落的概率为多少？解：设甲、乙、丙三人击中分别为A、B、C，飞机被击落为D。

首先，我们考虑只有1人击中的情况。

这包括三种子情况：甲击中而乙丙不击中、乙击中而甲丙不击中、丙击中而甲乙不击中。

对于甲击中而乙丙不击中的情况，其概率为$P(A\overset{―}{B}\overset{―}{C}) = \times (1 - ) \times (1 - ) = \times \times = $。

对于乙击中而甲丙不击中的情况，其概率为$P(\overset{―}{A}B\overset{―}{C}) = (1 - ) \times \times (1 - ) = \times \times = $。

对于丙击中而甲乙不击中的情况，其概率为$P(\overset{―}{A}\overset{―}{B}C) = (1 - ) \times (1 - ) \times = \times \times = $。

因此，只有1人击中的总概率为 $P_1 = P(A\overset{―}{B}\overset{―}{C}) + P(\overset{―}{A}B\overset{―}{C}) + P(\overset{―}{A}\overset{―}{B}C) = + + = $。

接下来，我们考虑有2人击中的情况。

这包括三种子情况：甲乙击中而丙不击中、甲丙击中而乙不击中、乙丙击中而甲不击中。

对于甲乙击中而丙不击中的情况，其概率为 $P(AB\overset{―}{C}) =\times \times (1 - ) = \times \times = $。

对于甲丙击中而乙不击中的情况，其概率为 $P(A\overset{―}{B}C) =\times (1 - ) \times = \times \times = $。

十、概率论与数理统计一、填空题1、设在一次试验中，事件A 发生的概率为p 。

现进行n 次独立试验，则A 至少发生一次的概率为np )1(1--；而事件A 至多发生一次的概率为1)1()1(--+-n n p np p 。

2、 三个箱子，第一个箱子中有4个黑球1个白球，第二个箱子中有3个黑球3个白球，第三个箱子有3个黑球5个白球。

现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出1个球，这个球为白球的概率等于 。

已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为 。

解：用iA 代表“取第i 只箱子”，i =1，2，3，用B 代表“取出的球是白球”。

由全概率公式⋅=⋅+⋅+⋅=++=12053853163315131)|()()|()()|()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P B P由贝叶斯公式⋅=⋅==5320120536331)()|()()|(222B P A B P A P B A P3、 设三次独立试验中，事件A 出现的概率相等。

若已知A 至少出现一次的概率等于19/27，则事件A 在一次试验中出现的概率为 。

解：设事件A 在一次试验中出现的概率为)10(<<p p ，则有2719)1(13=--p ，从而解得31=p4、已知随机事件A 的概率5.0)(=A P ，随机事件B 的概率6.0)(=B P 及条件概率8.0)|(=A B P ，则和事件B A 的概率)(B A P = 。

7.08.05.06.05.0)|()()()()()()()(=⨯-+=-+=-+=A B P A P B P A P AB P B P A P B A P5、 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5。

现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 。

用A 代表事件“甲命中目标”，B 代表事件“乙命中目标”，则B A 代表事件“目标被命中”，且8.06.05.06.05.0)()()()()()()()(=⨯-+=-+=-+=B P A P B P A P AB P B P A P B A P所求概率为 75.08.06.0)()()|(===B A P A P B A A P 6、 设随机事件A ，B 及其和事件B A 的概率分别是0.4，0.3和0.6。