第5章地下水运动的基本微分方程及定解条件

图5-3潜水流中的水头分布图
潜水面渗流速度为 ，当潜水面坡度很小、渗径∂s由∂x代替时，得到
（5—41）
实质是在潜水含水层渗流中，垂直分量流速vz远远小于水平分量流速vx和vy，而vz可以忽略，即假定等水头面是铅垂面，渗流被视为是水平流。这就是裘布依假定。单位宽度含水层断面上的流量为
（5—42）
该方程称为裘布依方程。
可见由质量守恒建立的渗流连续性方程（地下水运动的连续性方程）更具有普遍意义，它包括了潜水含水层、承压含水层及越流系统中水流运动的守恒原理。连续性方程表示出地下水任意点A到B的连续性。
5.1渗流连续性方程
依据质量守恒定律：在饱水含水层内选定小立方体：△x∙△y∙△z=V0；依据质量守恒定律→单位时间内，流入与流出小立方体的质量变化=单位时间内，小立方体水质量的变化。
注意：（1）水头减小引起的含水层中介质及水的3个变化，和相反过程。它确定了弹性释水、弹性储存的概念，忽略第三种变形。（2）为何弹性储存与重力储存的不同？何为弹性变形、塑性变形？弱透水层中和潜水含水层中有没有弹性储存？
5.2.2含水层水体压缩与膨胀方程
由上述分析，确定多孔介质固体颗粒为不可变形的刚性体，当含水层抽水或放水时所产生的水量，由两部分组成，一是水体积膨胀所释放出的水量；二是固体骨架压密所释放出来的水量。
孔隙含水层，尤其是细粒孔隙含水层，抽水（或放水）含水层水头（或水位）下降时，释放出来的水量与含水层水头（或水位）增大相同值时，含水层中压缩储存的水量是不相等的。所以有弹性储存与重力储存的区别；能够恢复的部分为弹性变形，不能恢复的部分为塑性变形；弱透水层中也有弹性储存；潜水含水层中也存在有弹性储存，只是它与重力储存相比小的多，一般情况下可忽略。
（*）
图5-1多孔介质单元水均衡要素图
2、均衡单元体内在△t时段内的质量的变化量：n∙△x∙△y∙△z为单元体中水的体积，乘以水的密度则是水的质量，在△t时段内该体积水的质量变化为：
含水层在水平方向上连续分布，任一点和相邻点相互挤压，一般认为水头变化时，含水层垂向变形而水平方向不变形，得到：
（**）
对方程（5—13）式进行积分，得
（5—13）
依照马克劳林级数展开
取前两项为近似值，则（5—13）式可写为
（5—14）
这就是多孔介质空隙压缩或膨胀状态方程。
3、水头与压强变化方程
上述弹性变形方程，都是以水压p来描述的，在地下水量化计算中，通常用水头H来表述流场。地下水运动的总水头等于测压水头，即
故 （5—15）
图5—4潜水剖面二维流均衡要素图
见图5—4，水体流量均衡方程式，流入量与流出量之和等于该时段，均衡段内体积的变化量。
均衡段内水体积的变化量为
（#）
式中：1为图5—4的单位宽度；Δx为断面长度；μd为重力给水度，表示在单位潜水含水层柱体内当水位下降一个单位时，含水层柱体在重力作用下能够给出的水量（无量纲）。
1、水的压缩（或膨胀）性方程
含水层中承压水体变形满足满足虎克定律（弹性变形定律），即
(5-4)
或
式中：P为水压；β称为介质中水的体积压缩或膨胀系数。因为体积变化dV与压强的变化dp成反比，即 ，而β规定为正值，所以上两式右侧有一负号。对方程（5-4）式进行积分
（5—5）
对上式依照马克劳林基数展开，得
（*）式=（**）式，方程两端同除以△t，且取△x→0，△y→0，△z→0，△t→0，得到渗流连续性方程式为。
(5-1)
该式表示考虑了水与饱和多孔介质垂向可压缩变形的，其均衡时段△t=1时，小立方体的地下水运动连续性方程。
5.2承压含水层的释水特征及弹性释水方程
分析承压含水层中水和多孔介质的压缩性，得知含水层释水量，主要由含水层中水的压缩—膨胀释放水量和骨架的压缩膨胀释水量组成。故此，确定水、多孔介质的压缩性方程。
（5—19）
所以
（5—20）
3、渗流的基本微分方程
将（5—20）式和（5—18）式代入连续性方程的左端和右端，方程两端同除以 ，得
（5—21）
定义 （5—22）
式中：μs称为弹性给水率，代入（5—21）式，最终得到承压含水层的基本微分方程式：
（5—23）
该式是各向异性含水层中地下水三维流的基本方程。它表示在达西流动条件下，单位体积、单位时间的水质量均衡关系。
5.2.1含水层的释水特征
在承压含水层中，当水量增加含水层的厚度不变而测压水头增加，反之下降，分析承压含水层的这一变化，为含水介质中水的压缩性和多孔介质的压缩性。
见图2-2，为单位面积柱体，厚度为承压含水层的厚度（M）；测压水头为P/γ。
图5-2承压含水层介质中受力图
（5-2）
式中：m为单位水平面积中颗粒间接触面积的水平投影；σs为颗粒应力的垂直分量。左端相σ为上部荷载的总压应力，在含水层内与之达到平衡的反向应力由两部分组成：其一是颗粒接触面上应力，即m∙σs；其二是介质中水所承受的应力，即（1—m）p。实际上m是一个很小的百分数，σs却很大。由于m«1，定义mσs为σ′称为有效应力。由于 ,故（5-2）式改写为
即 （5—12）
式中： 为岩层的空隙比（无因次）。
见图5-2，如果取水平面积为一个单位，高度为承压含水层厚度m的岩层柱体来分析，而且近似认为该柱体不发生侧向变形（因为含水层中水头的变化总是在大面积范围内连续发生的），那么体积的变形直接反应在该柱体的高度m的变化上。（5—10）式可以改写为
（5—13）
1、均质各向异性（忽略含水介质在压缩过程所引起介质渗透性的变化时）含水层，渗流基本方程（5—23）式变为
（5-25）
（1）水平方向同性，仅在垂向上异性，且为均质含水层，式为：
（5-26）
（2）对于轴对称井流问题，采用柱坐标变换，式为
(5-27)
2、均质含水层、各向异性二维平面流含水层
(5-28)
定义： (5-29)
1、均衡单元体（图5-1）渗流进入的质量—渗流流出的质量，如在x方向：单位之间通过单位断面的渗流量为渗流速度vx；密度为ρ；ρ∙vx为单位断面上的流量的质量，△y∙△z为断面宽度，得到该方向上在△t时段内流入与流出水流质量的变化量。即
同理在y、z方向也得到相似方程。
因此，在三个方向净流入均衡体的质量为
考虑到β值变化很小，在压力变化不大的条件下，上式可近似取前两项，因此（5—5）式可改写为
或 （5—6）
该式中：当含水层释水时，由p0到p压力是减小，变化量（-△p）为负值，水的体积膨胀变大，变化量（△V）为正值。也就是水的密度变小，反之亦然，但水的质量不变为m=Vρ，由于 得到
将此关系代入（5—4）式，得
（5—3）
因此，多孔介质总应力σ由有效应力σ/和孔隙水应力p两者与之相平衡。
如果在承压含水层中打井抽水（或放水），首先，被压缩的水由于减压，弹性释放一部分水量，即孔隙水应力P减小，水体积膨胀释放出来的水量。其次，上部荷载不变，孔隙水应力减小的这部分应力转嫁到固体骨架压密变形，也释放出来一部分水量。第三，对于固体颗粒或者也会引起变形，相应释放水量。但是后者与前两项所释放出来的水量是不可相比，一般可忽略不计，即认为多孔介质的固体部分是不可变形的刚体。
该式左端项：认为岩层中的渗流符合达西流，旋转坐标使计算坐标与主渗流方向一致，并且在渗流方向上水密度变化远远小于渗流速度的变化，将达西定律代入。
整理式子得到渗流的基本微分方程。
1、首先解决渗流连续性方程（5—1）右端项中的
已知
由于 （5—16）
见图5—2，是单位含水层柱体，体积为 ，对应图5—1，这里的单位含水层柱体体积应为 ，可见（5—16）是多孔介质柱状体中固体部分的厚度。它是不可变形的刚体，为常量。所以
我们也知道含水层（体）在同等水头或水位变化条件下，其释水量和储水量是不相等的，岩层的压缩与膨胀不仅不相等，而且是一个逐渐变化的过程。这种复杂情况是很难用数学式子表述。地下水中认为含水层（体）的储水与释水是弹性变形，是瞬时完成的，用虎克定律来描述。
所以有水的压缩性方程和多孔介质的压缩性方程，为了应用建立了水头与水压变化关系方程。
将上述关系代入（5—9）式得到
（5—10）
这里，多孔介质骨架（包括空隙在内）的岩石体积Vb包括固体颗粒的体积Vs和空隙的体积Vv两部分，即 。我们认为含水层中固体颗粒是刚体，是不可压缩的。因此，由于水压力dp变化引起岩石体积变化dVb，实际上就是多孔介质空隙体积的变化dVv。则上式可写成
（5—11）
引入了裘布依假定，潜水含水层的三维流转化为二维流，二维流转化为一维流。裘布依方程适用于潜水含水层水力坡度较小的部位，地下水分水岭、井流附近等水力坡度大的地段，用裘布依方程计算误差大，不宜应用。
5.4.2潜水流动的布西涅斯克微分方程
1、布西涅斯克微分方程的推导
假定：潜水流满足达西定律和裘布依假定，无弹性释水，潜水含水层底板水平，潜水面存在着垂直交换量。垂直交换量W定义为潜水面处单位水平面积、单位时间内的交换量（L/T），入渗补给为正值，蒸发排泄为负值。
第5章地下水运动的基本微分方程及定解条件
水文地质系统概念模型的确定性数学模型由描述地下水运动的基本微分方程和定解条件所组成，也称定解问题。考虑地下水压缩和弹性，水体积变化而水质量不变，所以建立水质量的连续性方程，进而建立其基本微分方程。
为何根据水质量守恒定律，在单位时间内微小立方体内建立地下水运动的连续性方程？地下水水体中体积守恒吗？什么样的岩层中水体积守恒？
（5—17）
根据（5—12）式和（5—15）式，得
根据（5—8）式和（5—15）式，得
将上述两式代入（5—17）式，得
（5—18）
2、其次，解决方程（5—1）式左端项，渗流满足达西定律，且坐标轴取向与各向异性主方向一致，由达西定律可知
则（5—1）式左端方括号内第一项可写成
因为在通常条件下，在渗流方向上水密度的变化远远小于渗流速度的变化，即