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一次函数单元复习与巩固（提高）【学习目标】1. 了解常量、变量和函数的概念，了解函数的三种表示方法（列表法、解析式法和图像法）能利用图像数形结合地分析简单的函数关系2•理解正比例函数和一次函数的概念，会画它们的图像，能结合图像讨论这些函数的基本性质，能利用这些函数分析和解决简单实际问题3•通过讨论一次函数与方程（组）及不等式的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学习过的方程（组）及不等式等内容的再认识4.通过讨论选择最佳方案的问题，提高综合运用所学函数知识分析和解决实际问题的能力【知识网络】【要点梳理】要点一、函数的相关概念一般地，在一个变化过程中.如果有两个变量x与y ,并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.y是x的函数，如果当x = a时y = b，那么b叫做当自变量为a时的函数值.函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图像法要点二、一次函数的相关概念一次函数的一般形式为y=kx・b，其中k、b是常数，k工0.特别地，当b = 0时，一次函数y=kx，b即y=kx （k丰0）,是正比例函数.要点三、一次函数的图像及性质1、函数的图像如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图像.要点诠释：直线kx b可以看作由直线y二kx平移| b |个单位长度而得到（当b > 0时，向上平移；当b v0时，向下平移）.说明通过平移，函数y二kx，b与函数y二kx的图像之间可以相互转化.2、一次函数性质及图像特征掌握一次函数的图像及性质（对比正比例函数的图像和性质）理解k、b对一次函数y =kx ■ b的图像和性质的影响:（1）k决定直线y =kx b从左向右的趋势（及倾斜角 :-的大小一一倾斜程度），b决定它与y轴交点的位置，k、b一起决定直线y =kx b经过的象限.（2）两条直线11: y =k-^x b1和l2: y = k2x b2的位置关系可由其系数确定:k i = k2 二l i 与12相交；K =k2，且d =b2= 11与12平行；K *2，且b i =b2 = l i 与12重合；（3）直线与一次函数图像的联系与区别一次函数的图像是一条直线；特殊的直线x =a、直线y二b不是一次函数的图像类型一、函数的概念1、下列说法正确的是：（）A .变量x, y满足2x y 3，则y是x的函数；B .变量x, y满足| y x，则y是x的函数；2C .变量x, y满足y = x，则y是x的函数；D .变量x, y满足y2一x2=1，则y是x的函数.【答案】A；【解析】B C D三个选项，对于一个确定的x的值，都有两个y值和它对应，不满足单值对应的条件，所以不是函数•【总结升华】理解函数的概念，关键是函数与自变量之间是单值对应关系，自变量的值确定后，函数值是唯一确定的• 类型二、一次函数的解析式C>2、某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物，若该读物首次出版印刷的印数不少（1）经过对上表中数据的探究，发现这种读物的投入成本（元）是印数x （册）的一次函数，求这个一次函数的解析式（不要求写出x的取值范围）；（2）如果出版社投入成本48000元，那么能印该读物多少册？【思路点拨】待定系数法求函数解析式，根据两点得到两个二元一次方程，组成一个二元次方程组求出解即可•表中信息取两组就可以了【答案与解析】解：（1）设所求一次函数的解析式为y = kx • b ,f5000ft+Z）= 28500,贝叫8000i+i = 36000.解得 k = , b = 16000.2•••所求的函数关系式为 y = x +16000. 2（2）v 48000 = x + 16000.2• x = 12800.答：能印该读物12800册.【总结升华】此类问题主要是考查考生利用待定系数法来求出有关函数一般解析式中的未知 系数，从而确定该函数解析式的能力. 举一反三：该直线的函数解析式.【答案】■鮎4〜.根据方程①和②可以得出 任二2,為=—2,所以「I .所以所求一次函数解析式为 "「〕或r 二_ 类型三、一次函数的图像和性质3、若直线y 二kx • b （ k 工0）不经过第一象限，则 k 、b 的取值范围是（）A . k > 0, b v 0B . k > 0, b w 0 c. k < 0, b < 0 D . k < 0, b < 0 【思路点拨】 根据一次函数的图像与系数的关系解答 .图像不经过第一象限，则 k < 0,此时 图像可能过原点，也可能经过二、三、四象限 【答案】D;【解析】当图像过原点时，k < 0, b = 0，当图像经过二、三、四象限时， k < 0且b < 0.【总结升华】图像不经过第一象限包括经过二、三、四象限和过原点两种情况 举一反三：【变式】已知直线“-二一:经过点，且与坐标轴所围成的三角形的面积为「，求4解：因为直线过点?卫，所以0二红+b ,①2又因为直线 '.-二一:与x 轴、yh }轴的交点坐标分别为卫 —,0, BQb ）2511再根据：；，所以:丄■-25~A-I j9%整理得亍汕行②.、X【变式】一次函数y=kx-k-2与y 在同一坐标系内的图像可以为( )k【答案】D;提示：分为k V 0；0< k V2; k >2分别画出图像，只有D答案符合要求类型四、一次函数与方程(组)、不等式4、如图，直线y二kx • b经过A (-2,—1)和B (-3, 0)两点，则不等式组1x : kx b . 0的解集为_________________ .【答案】3：： x ： -2 ;1【解析】从图像上看，y=kx，b的图像在x轴下方，且在y x上方的图像为画红线的2部分，而这部分的图像自变量x的范围在-3 ：：： x ：：： -2.【总结升华】也可以先求出y =kx • b的解析式，然后解不等式得出结果举一反三：A. B. C. D.【变式】如图所示，直线y=kx经过点A(—1, —2)和点B( —2, 0)，直线y=2x过点A则不等式2 X V kx b V 0的解集为（）A. x V- 2 B 2 V x V- 1 C 2V x V 0 D 1 V x V 0【答案】B；提示：由图像可知A（- 1,- 2）是直线y = kx • b与直线y =2x的交点，当x V-1 时2x V kx b，当x >-2 时，kx b V o,所以—2V x V- 1 是不等式2x Vkx b V o的解集类型五、一次函数的应用O b、某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药2h后血液中的含药量最高，达每升6mg，接着逐步衰减，10h后血液中的含药量为每升3 mg，每升血液中的含药量ymg随时间x h的变化情况如图所（1）分别求出x <2和x > 2时，y与x之间的函数关系式；（2）如果每升血液中的含药量为4 mg或4 mg以上时，治疗疾病是有效的，那么这个有效时间是多长？【思路点拨】（1）根据题意由待定系数法求函数的解析式•（2）令y >4,分别求出x的取值范围，便可得出这个药的有效时间.【答案与解析】解：（1）由图知，x < 2时是正比例函数，x > 2时是一次函数.设x < 2 时，y 二kx，把（2，6）代入y = kx，解得k = 3，当0< x w 2 时，y = 3x .设x >2 时，y = kx b，把（2，6），（10，3）代入y =kx b 中,(1)求直线12的解析式;P 是线段BC 上一动点，求使 ON PD 值最小的点P 的坐标.解：(1)由直线 y=X ，4 可得：A( — 4, 0) , B(0, 4)•/ 点A 和点C 关于y 轴对称，• C(4 , 0). 设直线BC 解析式为：y 二kx • b ，则I k "一 _如2k b = 6 …一 得，解得10k b = 3，即3 27 y x84327 当y = 0时，有0 x • •843 •••当 2< x W 18 时，y x —84由于y >4时在治疗疾病是有效的，x =18. 27 3x _44 223 27 ，解得 "x< -3x 勺_4 3 3 8 4 4 22即服药后一h 得到 h 为治病的有效时间，3 322 4 18这段时间为 6(h).3 3 3 分段函数中，自变量在不同的取值范围内函数的解析式也不相同,【总结升华】据自变量或函数的取值确定某段函数来解决问题. 类型六、一次函数综合因此注意根6、如图所示，直线h 与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B ,直线12与直线h 关于y 轴对称，且与x 轴交于点C.已知直线11的解析式为y =x .(2)D 为OC 的中点,【答案与解析】【答案】解：⑴ 由直线 y - -X 可得：A(0 , 8) , B(8 , 0).【总结升华】 —b 解得k-1 0 = 4k bb = 4直线BC 解析式为：y = _x ・4.作点D 关于BC 对称点D',连结PD , OD .PD 二 DP ,••• OP + P» PD' + OP••• 当 OP 、D'三点共线时 ON PD 最小.•/ OB = OC • / BCO= 45°/ D CO = 90 ° ,D (4,2),1x2 --x 48 x 二3 4 八3当点P 坐标为i 8,4时,丿ON PD 的值最小.(1)由直线l i 的解析式得到A 、B 点的坐标，进一步得到C 点的坐标，然后利用 B C 两点的坐标利用待定系数法求解析式. 的坐标. 举一反三：(2)利用轴对称性质求出使OP + PD 值最小的点P【变式】如图所示，已知直线y = -x 8交y 轴于点A,交x 轴于点B ,过B 作BD 丄AB 交y轴于D.(1)求直线BD 的解析式；⑵若点C 是x 轴负半轴上一点，过 C 作AC 的垂线与BD 交于点E .请判断线段AC 与 CE 的大小关系？并证明你的结论.OA = OB= 8,Z ABO= 45°.•/ BD 丄AB,/ DBO= 45°,△ ABD为等腰直角三角形..OD = OA= 8, D点坐标为(0,—8).设BD的解析式为y = kx b .过B(8 , 0), D(0，—8)，解得k"]b - -8.BD的解析式为y = x 一8(2)AC = CE过点C作CM丄AB于M,作CN丄BD于点N. •/ BC为/ ABD的平分线，.CM = CN/ ACE= 90°,/ MCN=90/ ACM=/ ECN在厶ACM ffiA ECN中AMC "ENC =90°,ICM =CN,ACM "ECN△ ACNm ECN(ASA).AC = CE。
一次函数全章复习与稳固（提升）【学习目标】1．认识常量、变量和函数的看法，认识函数的三种表示方法（列表法、分析式法和图象法），能利用图象数形联合地剖析简单的函数关系.2．理解正比率函数和一次函数的看法，会画它们的图象，能联合图象议论这些函数的基本性质，能利用这些函数剖析和解决简单实质问题.3．经过议论一次函数与方程（组）及不等式的关系，从运动变化的角度，用函数的看法加深对已经学习过的方程（组）及不等式等内容的再认识.4. 经过议论选择最正确方案的问题，提升综合运用所学函数知识剖析和解决实质问题的能力.【知识网络】概念列表法成立数学模型变化的世界函数分析法表示方法概念图象法一次函数图象（正比率函数）性质再认识一元一次方程应一元一次不等式二元一次方程组用与数学识题的综合选择方案与实质问题的综合【重点梳理】重点一、函数的有关看法x 与y，而且对于 x 的每一个确立的值，一般地，在一个变化过程中 . 假如有两个变量y 都有独一确立的值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y是 x 的函数.y 是x的函数，假如当x ＝ a 时y＝b，那么b叫做当自变量为 a 时的函数值.函数的表示方法有三种：分析式法，列表法，图象法.重点二、一次函数的有关看法一次函数的一般形式为y kx b ，此中k、b是常数，k≠0.特别地，当b＝0时，一次函数 y kx b 即 y kx （k≠0），是正比率函数.重点三、一次函数的图象及性质1、函数的图象假如把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点构成的图形，就是这个函数的图象.重点解说：直线y kx b 能够看作由直线y kx 平移|b |个单位长度而获得（当 b ＞0时，向上平移；当 b ＜0时，向下平移）. 说明经过平移，函数y kx b 与函数y kx的图象之间能够互相转变 .2、一次函数性质及图象特点掌握一次函数的图象及性质（对照正比率函数的图象和性质）重点解说：理解k 、 b 对一次函数y kx b的图象和性质的影响：（ 1）k决定直线y kx b 从左向右的趋向（及倾斜角的大小——倾斜程度）， b 决定它与y 轴交点的地点，k 、 b 一同决定直线y kx b 经过的象限．（ 2）两条直线l1：y k1x b1和 l2：y k2 x b2的地点关系可由其系数确立：k1k2l1与 l 2订交；k1k2，且b1b2l1与 l 2平行；k1k2，且 b1 b2l1与 l 2重合；（ 3）直线与一次函数图象的联系与差别一次函数的图象是一条直线；特别的直线x a 、直线 y b 不是一次函数的图象.重点四、用函数的看法看方程、方程组、不等式方程（组）、不等式问题函数问题从“数”的角度看从“形”的角度看求对于x、y的一元一次x 为何值时，函数y ax b的确定直线y ax b 与 x 轴（即直线 y ＝0）交点的横坐方程 ax b ＝0（a≠0）值为 0？的解标求对于 x 、y的二元一次x 为何值时，函数y a1x b1与确立直线y a1 x b1与直线方程组y a1 x b1，的解．函数 y a2 x b2的值相等？y a2 x b2的交点的坐标y a2 x b2．求对于x 的一元一次不等x 为何值时，函数y ax b的确定直线 y ax b 在 x 轴式 ax b ＞0（a≠0）的（即直线y＝ 0）上方部分的解集值大于 0？全部点的横坐标的范围【典型例题】种类一、函数的看法1、（2014 春?桃城区校级月考）在国内投寄平信对付邮资以下表：信函质量x（克）0＜x≤20 0＜x≤40 0＜x≤60邮资 y（元）0.80 1.60 2.40（1） y 是 x 的函数吗？为何？（2）分别求当 x=5， 10， 30，50 时的函数值．【思路点拨】（ 1）依据函数定义：设在一个变化过程中有两个变量确立的值， y 都有独一的值与其对应，那么就说 y 是 x 的函数，数；（ 2）依据表格能够直接获得答案．【答案与分析】x 与 y，对于x 是自变量可得x 的每一个y 是 x 的函解：（ 1） y 是 x 的函数，当x 取定一个值时，y 都有独一确立的值与其对应；（ 2）当 x=5 时， y=0.80 ；当 x=10 时， y=0.80 ；当 x=30 时， y=1.60 ；当 x=50 时， y=2.40 ．【总结升华】本题主要考察了函数定义，重点是掌握函数的定义．种类二、一次函数的分析式2、某第一版社第一版一种合适中学生阅读的科普读物，若该读物初次第一版印刷的印数许多于 5000 册时，投入的成本与印数间的相应数据以下：印数 x （册）5000800010000 15000成本y （元）28500360004100053500（1）经过对上表中数据的研究，发现这类读物的投入成本y （元）是印数函数，求这个一次函数的分析式（不要求写出x 的取值范围）；（2）假如第一版社投入成本48000 元，那么能印该读物多少册？【思路点拨】待定系数法求函数分析式，依据两点获得两个二元一次方程，次方程组求出解即可．表中信息取两组就能够了.【答案与分析】x （册）的一次构成一个二元一解：（ 1）设所求一次函数的分析式为y kx b ，则解得k ＝， b ＝16000．∴所求的函数关系式为y ＝x ＋16000．（ 2）∵ 48000＝x ＋16000．∴x ＝12800．答：能印该读物 12800 册．【总结升华】此类问题主假如考察考生利用待定系数法来求出有关函数一般分析式中的未知系数，进而确立该函数分析式的能力．贯通融会：【变式】已知直线经过点，且与坐标轴所围成的三角形的面积为，求该直线的函数分析式．【答案】解：因为直线过点，所以，①又因为直线与 x 轴、y轴的交点坐标分别为，再依据，所以整理得②．依据方程①和②能够得出，，所以，．所以所求一次函数分析式为或．种类三、一次函数的图象和性质3、若直线y kx b （k≠0）不经过第一象限，则k、b的取值范围是（）A.k ＞0, b ＜0B. k＞ 0, b≤ 0C. k＜ 0, b＜ 0D.k ＜0, b ≤0【思路点拨】依据一次函数的图象与系数的关系解答. 图象不经过第一象限，则k＜ 0，此时图象可能过原点，也可能经过二、三、四象限.【答案】 D；【分析】当图象过原点时，k ＜0， b ＝0，当图象经过二、三、四象限时，k ＜0且 b ＜0.【总结升华】图象不经过第一象限包含经过二、三、四象限和过原点两种状况.贯通融会：【变式】一次函数 y kx k 2 与 y x）在同一坐标系内的图象能够为（kA. B. C. D.【答案】 D；提示：分为k ＜0；0＜ k ＜2； k ＞2分别画出图象，只有 D 答案切合要求.种类四、一次函数与方程（组）、不等式4、如图，直线y kx b 经过A（－ 2，－ 1）和B（－ 3， 0）两点，则不等式组1 xkx b0的解集为．2【答案】 3 x 2；【分析】从图象上看，y kx b 的图象在 x 轴下方，且在y 1x 上方的图象为画红线的x 的范围在 3 x22部分，而这部分的图象自变量.【总结升华】也能够先求出y kx b 的分析式，而后解不等式得出结果.贯通融会：【变式】（ 2015 春?东城区期末）已知直线y=kx+b 经过点 A（ 5， 0）， B（ 1，4）．（1）求直线 AB的分析式；（2）若直线 y=2x ﹣4 与直线 AB订交于点 C，求点 C的坐标；（3）依据图象，写出对于 x 的不等式 2x﹣ 4＞ kx+b 的解集．【答案】解：（ 1）∵直线y=kx+b 经过点 A（ 5， 0）， B（ 1， 4），∴，解得，∴直线 AB的分析式为：y=﹣x+5；（2）∵若直线y=2x﹣ 4 与直线 AB 订交于点 C，∴．解得，∴点 C（ 3， 2）；（3）依据图象可得 x＞3．种类五、一次函数的应用5、某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，假如成人按规定剂量服用，那么服药 2 h后血液中的含药量最高，达每升 6 mg，接着逐渐衰减，10 h后血液中的含药量为每升 3 mg，每升血液中的含药量y mg 随时间x h 的变化状况如图所示．当作人按规定剂量服药后：(1) 分别求出 x ≤2 和 x ≥ 2 时， y 与 x 之间的函数关系式；(2) 假如每升血液中的含药量为4 mg 或 4 mg 以上时，治疗疾病是有效的，那么这个有效时间是多长 ?【思路点拨】 （1）依据题意由待定系数法求函数的分析式. （2）令 y ≥4，分别求出x 的取值范围，即可得出这个药的有效时间． 【答案与分析】解： (1) 由图知， x ≤2 时是正比率函数，x ≥ 2 时是一次函数．设 x ≤ 2 时，ykx ，把 (2 ， 6) 代入ykx ，解得k ＝ 3，∴当 0≤x ≤ 2 时，y3x ．设 x ≥ 2 时，yk xb ，把 (2 ， 6) ， (10 ， 3) 代入yk x b 中，2k b 6k38，即 y3 27得b，解得x．10k3b27 844当 y ＝0 时，有 03 x 27 ， x 18 ．8 4∴ 当 2≤ x ≤ 18 时， y3 x 27 ．8 4(2)因为 y ≥ 4 时在治疗疾病是有效的，3x4，解得422 ． ∴3 x 27 4x3384即服药后4h 获得22h 为治病的有效时间，33这段时间为224 18 6(h) ．33 3【总结升华】 分段函数中， 自变量在不一样的取值范围内函数的分析式也不同样， 所以注意根据自变量或函数的取值确立某段函数来解决问题．种类六、一次函数综合6、以下图，直线l 1 与 x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，直线l 2 与直线l 1 对于 y 轴对称，且与x 轴交于点C ．已知直线l 1 的分析式为yx 4 ．(1) 求直线 l 2 的分析式；(2)D 为 OC 的中点， P 是线段 BC 上一动点，求使OP ＋PD 值最小的点 P 的坐标．【答案与分析】解： (1) 由直线 yx 4 可得： A( －4， 0) ， B(0， 4)∵点 A 和点 C 对于 y 轴对称，∴ C(4，0) ．设直线 BC 分析式为： y kx b ，则4 0 b k 10 4k b解得．b 4∴直线 BC 分析式为： y x 4．(2) 作点 D 对于 BC 对称点 D ′，连接 PD ′， OD ′．∴ PD DP ，∴ OP ＋ PD ＝PD ′＋ OP ．∴当 O 、P 、 D ′三点共线时 OP ＋ PD 最小．∵ OB ＝ OC ，∴ ∠BCO ＝45°，∴∠ D CO ＝90°，∴ D (4,2) ，∴yOD1x ．21 xx 8 由y得 324yx 4y3∴当点 P 坐标为8 , 4 时， OP ＋ PD 的值最小．3 3【总结升华】 (1) 由直线 l 1 的分析式获得A 、B 点的坐标，进一步获得C 点的坐标，而后利用B 、C 两点的坐标利用待定系数法求分析式． (2) 利用轴对称性质求出使OP ＋ PD 值最小的点 P的坐标．贯通融会：【变式】以下图，已知直线y x8 交y轴于点A，交 x 轴于点B，过B作BD⊥AB交y轴于 D．(1)求直线 BD的分析式；(2)若点 C 是x轴负半轴上一点，过 C 作 AC的垂线与 BD交于点 E．请判断线段 AC与CE的大小关系？并证明你的结论．【答案】解： (1) 由直线y x8 可得：A(0，8)，B(8，0)．∴OA ＝ OB＝ 8，∠ ABO＝45°．∵ BD ⊥AB，∴∠DBO＝ 45°，△ ABD为等腰直角三角形．∴OD ＝ OA＝ 8， D 点坐标为 (0 ，－ 8) ．设 BD的分析式为y kx b ．∵过 B(8 ，0) ，D(0，－ 8)8k b 0k1∴，解得b ．b88∴ BD 的分析式为y x8(2)AC ＝ CE；过点 C 作 CM⊥ AB 于 M，作 CN⊥ BD于点 N．∵BC 为∠ABD的均分线，∴ CM＝ CN．∵∠ACE＝90°，∠MCN=90°∴ ∠ACM＝∠ ECN．在△ ACM和△ ECN中AMC ENC 90°,CM CN ,ACM ECN∴△ACM≌△ ECN(ASA)．∴AC ＝ CE．。
一次函数单元复习与巩固课前预习(在老师讲新课前完成这些内容，可参考知识导学(#210518)；自己完成的用蓝色笔作答，上网学习作答的用黑色笔；订正用红色笔) 重点：___________________________________________________________难点：___________________________________________________________疑点：___________________________________________________老知识点：课堂笔记(左侧课堂上蓝色笔记录作答，回家参考知识导学用黑色笔作答，右侧记录老师补充的知识，订正用红色笔作答；) 知识点一：函数的相关概念知识点二：一次函数的相关概念课前预习复习老知识，为学新知识扫清障碍，每周日进行。
变化的世界函 数建立数学模型应 用概 念选择方案概 念再认识表示方法 图 象性 质函数（ 函数） 一元一次方程 一元一次不等式 二元一次方程组 与数学问题的综合与实际问题的综合1、定义：2、用 法求解一次函数解析式 要点诠释：(1)常见的直接条件：正比例函数，根据除原点外的一点（0x ，0y ）确定k （k=__________）； 一次函数，根据两点(1x ，1y )和(2x ，2y )，解方程组1122y kx b y kx b =+⎧⎨=+⎩，；确定k 、b ．（可以在理解的基础上记住1212x x y y k--=）（2）间接条件：围成图形的面积；平行关系等．知识点三：一次函数的图象及性质1、函数的图象如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的 、 坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。
2、一次函数的图象及其画法总结要点诠释：直线y ＝kx ＋b 可以看作由直线y ＝kx 平移________个单位长度而得到（当b____0时，向上平移；当b_____0时，向下平移）。
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】【巩固练习】一.选择题1．已知函数y=2x-1，当x=a时的函数值为1，则a的值为（）x+2A．3 B．－1 C．－3 D．12.目前，全球淡水资源日益减少，提倡全社会节约用水．据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升．小康同学洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小康离开x分钟后，水龙头滴出y毫升的水，请写出y与x之间的函数关系式是（）A．y=0.05x B．y=5x C．y=100x D．y=0.05x+1003.下列函数中，自变量的取值范围选取错误的是（）A．y=2x中，x取全体实数B．y=21中，x取x≠－1的实数x+11中，x取x≥－3的x+3C．y=实数4.若直线x-2中，x取x≥2的实数D．y=经过点A(2，0)、B(0，2)，则、的值是 ( )A．＝1，＝2B．＝1，＝－2C．＝－1，＝2D．＝－1，＝－25．星期天晚饭后，小红从家里出发去散步，下图描述了她散步过程中离家s（米）与散步所用的时间t(分)之间的函数关系．依据图象，下面描述符合小红散步情景的是（）A.从家出发,到了一个公共阅报栏,看了一会报后,就回家了.B.从家出发,一直散步(没有停留),然后回家了.C.从家出发,到了一个公共阅报栏,看了一会报后,继续向前走了一会,然后回家了.D.从家出发,散了一会步,就找同学去了,18分钟后才开始返回.6.一次函数y=ax+b，若a+b＝1，则它的图象必经过点（）A、(－1,－1)B、(－1, 1)C、(1,－1)D、(1, 1)7.（2016商河县二模）如图，经过点B（﹣2，0）的直线y=kx+b与直线y=4x+2相交于点A（﹣1，﹣2），4x+2＜kx+b＜0的解集为（）A．x＜﹣2B．﹣2＜x＜﹣1C．x＜﹣1D．x＞﹣18.（2015春•娄底期末）正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，则一次函数y=x+k的图象大致是（）A． B． C． D．二.填空题9.汇通公司销售人员的个人月收入y(元)与其每月的销售量x(千件)成一次函数关系，其图象如图所示，则此销售人员的月销售量为3500件时的月收入是________元．10．观察下列各正方形图案，每条边上有n(n＞2)个圆点，每个图案中圆点的总数是S．按此规律推断出S与n的关系式为．11.（2015春•延边州期末）若一次函数y=（k﹣2）x+1（k是常数）中y随x的增大而增大，则k的取值范围是．12.若函数13.若一次函数14．已知直线15.已知一次函数和的图象过第一、二、三象限，则中，____________.，则它的图象不经过第________象限.的交点在第三象限，则k的取值范围是__________．与两坐标轴围成的三角形面积为4，＝________．16．（2016如皋市一模）如图，直线y=3x和y=kx+2相交于点P（a，3），则不等式3x≥kx+2的解集为．三.解答题17.如图所示，表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程中路程和时间变化的图象，根据图象回答问题．(1)分析图象，求出表示轮船和快艇行驶过程的函数解析式；(2)指出轮船和快艇的行驶速度；(3)问快艇出发多长时间赶上轮船?18．（2015春•高新区期末）已知点A（4，0）及在第一象限的动点P（x，y），且x+y=6，O 为坐标原点，设△OPA的面积为S．（1）求S关于x的函数解析式；（2）求x的取值范围；（3）当S=6时，求P点坐标．19.已知一次函数y=-2x+1（1）若自变量x的范围是－1≤x≤2，求函数值y的范围.（2）若函数值y的范围是－1≤y≤2，求自变量x的范围.20.某影碟出租店开设两种租碟方式：一种是零星租碟，每张收费1元；另一种是会员卡租碟，办卡费每月12元，租碟费每张0.4元．小彬经常来该店租碟，若每月租碟数量为张.（1）写出零星租碟方式应付金额（2）写出会员卡租碟方式应付金额(元)与租碟数量（张）之间的函数关系式；(元 )与租碟数量(张)之间的函数关系式；（3）小彬选取哪种租碟方式更合算？【答案与解析】一.选择题1.【答案】A；2.【答案】B；【解析】y =100⨯0.05x ，即y =5x ．3.【答案】D；【解析】一般地，在一个函数关系式中，自变量的取值必须使函数解析式有意义；对于一个实际问题，自变量的取值必须使实际问题有意义，选D．4.【答案】C；【解析】将点A、B 的坐标代入y =kx +b 求得k ＝－1，b ＝2.5.【答案】C；6.【答案】D；【解析】当x ＝1时，y ＝1，故它的图象过点（1，1）.7.【答案】B；【解析】∵直线y=kx +b 与直线y=4x +2相交于点A （﹣1，﹣2），直线y=kx +b 与x 轴的交点坐标为B （﹣2，0），又∵当x ＜﹣1时，4x +2＜kx +b ，当x ＞﹣2时，kx +b＜0，∴不等式4x +2＜kx +b ＜0的解集为﹣2＜x ＜﹣1，故选B ．8.【答案】A；【解析】解：∵正比例函数y=kx 的函数值y 随x 的增大而增大，∴k＞0，∵b=k＞0，∴一次函数y=x+k 的图象经过一、二、三象限，故选A.二.填空题9.【答案】1550；【解析】y =300x +500．当x ＝3.5时，y ＝300×3.5＋500＝1550(元)10.【答案】S＝4n －4（n ≥2）；11.【答案】k＞2；【解析】解：∵一次函数y=（k﹣2）x+1（k 是常数）中y 随x 的增大而增大，∴k﹣2＞0，解得k＞2，故答案为：k＞2．12．【答案】；【解析】由题意，m ＞0，且4m -3>0.13.【答案】一；14．【答案】；【解析】求出交点坐标x =k ，y =3k ,因为交点在第三象限，故k ＜0.15.【答案】；【解析】由题意：⨯|-12b |⨯|b |=4,b 2=16,b =±4.216.【答案】x ≥1；【解析】∵直线y=3x 和直线y=kx +2的图象相交于点P （a ，3），∴3=3a ，解得a=1，∴P （1，3），由函数图象可知，当x ≥1时，直线y=3x 的图象在直线y=kx +2的图象的上方，即当x ≥1时，3x ≥kx +2．三.解答题17.【解析】解：(1)设轮船的路程与时间的解析式为y=kt．∵其过(8，160)可得160＝8k，∴k＝20．即轮船的路程和时间的函数解析式为y=20t(0≤t≤8)．设快艇的路程和时间的解析式为了y=k1t+b∵点(2，0)，(6，160)在图象上，⎧2k1+b=0⎧k1=40∴⎨，解得⎨．6k+b=160b=-80⎩⎩1∴快艇的路程与时间的关系式为y=40t-80(2≤t≤6)．(2)轮船的速度为20千米/时，快艇的速度为40千米/时．(3)快艇追上轮船时，离起点的距离相等．∴20t=40t-80，解得t=4．∵ 4－2＝2，∴快艇出发2小时后赶上轮船．18.【解析】解：（1）∵A和P点的坐标分别是（4，0）、（x，y），∴S=×4×y=2y．∵x+y=6，∴y=6﹣x．∴S=2（6﹣x）=12﹣2x．∴所求的函数关系式为：S=﹣2x+12．（2）由（1）得S=﹣2x+12＞0，解得：x＜6；又∵点P在第一象限，∴x＞0，综上可得x的范围为：0＜x＜6．（3）∵S=6，∴﹣2x+12=6，解得x=3．∵x+y=6，∴y=6﹣3=3，即P（3，3）．19.【解析】解：（1）∵y=-2x+1，又－1≤x≤2∴x＝0.5－0.5y∴－1≤0.5－0.5y≤2即－1≤0.5－0.5y且0.5－0.5y≤2解之，得－3≤y≤3（2）∵－1≤y≤2∴－1≤－2x＋1≤2解之，得－0.5≤x≤1.20.【解析】解：（1）（2），所以，当租碟少于20张时，选零星租碟方式合算；当租碟20张时，两种方式一样；当租碟大于20张时，选会员卡租碟合算．。
专题一次函数章末重难点题型【考点1 函数的概念】【例1】（鼓楼区校级期中）下列的曲线中，表示y是x的函数的共有（）个．A．1B．2C．3D．4【变式1-1】（新乐市期中）下列变量之间的关系不是函数关系的是（）A．一天的气温和时间B．y2＝x中的y与x的关系C．在银行中利息与时间D．正方形的周长与面积【变式1-2】（苍溪县期中）下列关系式中，y不是x的函数的是（）A．y＝B．y＝2x2C．y＝（x≥0）D．|y|＝x（x≥0）【变式1-3】（如皋市期中）下列各图中能说明y是x的函数的是（）A．B．C．D．【考点2 函数自变量的取值范围】【例2】（资中县期中）函数y＝中自变量x的取值范围是（）A．x≠2B．x≥0C．x＞0且x≠2D．x≥0且x≠2【变式2-1】（乳山市期中）在函数y＝中，自变量x的取值范围是（）A．x≥2B．x≥2且x≠2C．x＞﹣2D．x＞﹣2且x≠2【变式2-2】（巴彦淖尔模拟）在关于x的函数y＝+（x﹣1）0中，自变量x的取值范围是（）A．x≥﹣2B．x≥﹣2且x≠0C．x≥﹣2且x≠1D．x≥1【变式2-3】（沙坪坝区校级月考）函数y＝的自变量x的取值范围是（）A．x≥2B．x≠3且x≠﹣3C．x≥2且x≠3D．x≥2且x≠﹣3【考点3 一次函数的概念】【方法点拨】一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的函数叫做一次函数。
当b=0时，y=kx+b即y=kx，是正比例函数。
所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。
【例3】（锦江区校级期末）若y＝（m﹣1）x2﹣|m|+3是关于x的一次函数，则m的值为（）A．1B．﹣1C．±1D．±2【变式3-1】（沧州期末）①y＝kx；②y＝x；③y＝x2﹣（x﹣1）x；（④y＝x2+1：⑤y＝22﹣x，一定是一次函数的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【变式3-2】（芙蓉区校级模拟）若函数y＝（k+1）x+k2﹣1是正比例函数，则k的值为（）A．0B．1C．±1D．﹣1【变式3-3】（定陶区期末）已知y＝（k﹣3）x|k|﹣2+2是一次函数，那么k的值为（）A．±3B．3C．﹣3D．无法确定【考点4 一次函数图象的判定】【方法点拨】一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限．【例4】（孝义市期末）同一平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+n与y＝nx+m（mn为常数）的图象可能是（）A．B．C．D．【变式4-1】（西湖区期末）若实数a，b，c满足a+b+c＝0，且a＜b＜c，则函数y＝﹣cx﹣a的图象可能是（）A．B．C．D．【变式4-2】（温江区期末）如果ab＞0，bc＜0，则一次函数y＝﹣x+的图象的大致形状是（）A．B．C．D．【变式4-3】（沙坪坝区校级月考）两条直线y1＝ax﹣b与y2＝bx﹣a在同一坐标系中的图象可能是图中的（）A．B．C．D．【考点5 一次函数动点问题】【例5】（昌平区期中）如图①，在矩形MMPQ中，动点R从点N出发，沿着N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示，那么下列说法不正确的是（）A ．当x ＝2时，y ＝5B ．矩形MNPQ 的周长是18C ．当x ＝6时，y ＝10D ．当y ＝8时，x ＝10【变式5-1】建宁县期中）如图，正方形ABCD 的边长为4，P 为正方形边上一动点，它沿A →D →C →B →A 的路径匀速移动，设P 点经过的路径长为x ，△APD 的面积是y ，则下列图象能大致反映变量y 与变量x 的关系图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．【变式5-2】（锦江区期末）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A 为直角，动点P 从点A 开始沿A →B →C →D 的路径匀速前进到D ，在这个过程中，△APD 的面积S 随时间的变化址程可以用图象近似地表示为（ ）A B C D ．【变式5-3】（镇平县期末）如图①，四边形ABCD 中，BC ∥AD ，∠A ＝90°，点P 从A 点出发，沿折线AB →BC →CD 运动，到点D 时停止，已知△P AD 的面积s 与点P 运动的路程x 的函数图象如图②所示，则点P 从开始到停止运动的总路程为（ ）A ．6 B ．9 C ．10 D ．11【考点6 求一次函数解析式】【方法点拨】先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法。
专题6.6 一次函数章末重难点突破【苏科版】【考点1 函数的概念】【例1】（2021秋•余杭区期中）下列说法不正确的是（）A．正方形面积公式S＝a2中有两个变量：S，aB．圆的面积公式S＝πr2中的π是常量C．在一个关系式中，用字母表示的量可能不是变量D．如果a＝b，那么a，b都是常量【变式1-1】（2021春•青县期末）下列曲线中不能表示y是x的函数的是（）A．B．C．D．【变式1-2】（2021春•红谷滩区校级期末）下面每个选项中给出了某个变化过程中的两个变量x和y，其中y不是x的函数的选项是（）A．y：正方形的面积，x：这个正方形的周长B．y：某班学生的身高，x：这个班学生的学号C．y：圆的面积，x：这个圆的直径D．y：一个正数的平方根，x：这个正数【变式1-3】（2021春•栾城区期中）地表以下岩层的温度与它所处的深度有表中的关系：岩层的深度h/km1 2 3 4 5 6 …岩层的温度t/℃5590 125 160 195 230 …（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）岩层的深度h每增加1km，温度t是怎样变化的？试写出岩层的温度t与它的深度h 之间的关系式；（3）估计岩层10km深处的温度是多少．【考点2 函数自变量的取值范围】【例2】（2021•吴江区一模）函数y=√x−4中，自变量x的取值范围为．【变式2-1】（2021•曲靖二模）若整数x满足|x|≤4，则使函数y=√1−2x有意义的x的值是（只需填一个）．【变式2-2】（2019•椒江区校级二模）函数y＝1−√2x−4中自变量x的取值范围是．【变式2-3】（2021春•天心区期末）若函数y=√2x−3在实数范围内无意义，则自变量x 的取值范围是．【考点3 一次函数的定义】【例3】（2021春•普陀区校级期中）下列函数中，一次函数是（）A．y=1x+2B．y＝﹣2xC．y＝x2+2D．y＝mx+n（m，n是常数）【变式3-1】（2021春•九龙坡区期中）若y＝（a﹣2）x a2−3+5是y关于x的一次函数，则a的值为．【变式3-2】（2021秋•泰兴市校级期中）已知函数y＝（n﹣3）x+9﹣n2是正比例函数，则n＝．【变式3-3】（2021春•洛宁县期中）若函数y＝mx m2−3是正比例函数，且图象在二、四象限，则m＝．【考点4 一次函数的系数与图象的关系】【例4】（2021春•雄县期末）若k＞1，则一次函数y＝（k﹣1）x+1﹣k的图象是（）A．B．C．D．【变式4-1】（2021秋•莲湖区期中）若k＜0，则一次函数y＝﹣2x﹣k的图象大致是（）A．B．C．D．【变式4-2】（2021秋•达川区期末）如图，四个一次函数y＝ax，y＝bx，y＝cx+1，y＝dx ﹣3的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是（）A．b＞a＞d＞c B．a＞b＞c＞d C．a＞b＞d＞c D．b＞a＞c＞d【变式4-3】（2019•杭州）已知一次函数y1＝ax+b和y2＝bx+a（a≠b），函数y1和y2的图象可能是（）A．B．C．D．【考点5 一次函数的图象与坐标轴的交点及面积】【例5】（2021秋•攸县校级期中）已知函数y＝﹣2x+3．（1）画出这个函数的图象；（2）写出这个函数的图象与x轴，y轴的交点的坐标；（3）求此函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积．【变式5-1】（2021秋•峄城区期中）作出函数y=12x﹣3的图象并回答以下问题：（1）当x的值增大时，y的值如何变化？（2）图象与x轴，y轴的交点坐标分别是多少？（3）求出该图象与x轴，y轴所围成的三角形的面积．【变式5-2】（2021秋•城关区校级期中）已知一次函数y＝2x+4（1）在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数的图象；（2）y的值随x值的增大而；（3）求图象与x轴的交点A的坐标，与y轴交点B的坐标；（4）在（3）的条件下，求出△AOB的面积．【变式5-3】（2021秋•宝丰县期中）在如图所示的直角坐标系中画出一次函数y=12x+3的图象，并根据图象回答下列问题：（1）图象与x轴、y轴的交点A、B的坐标是什么？（2）当x＞0时，y随x的增大而怎样变化？（3）计算图象与坐标轴围成的三角形的面积．【考点6 一次函数的平移】【例6】（2021•汉台区一模）若直线y＝kx﹣b沿y轴平移3个单位得到新的直线y＝kx﹣1，则b的值为（）A．﹣2或4B．2或﹣4C．4或﹣6D．﹣4或6【变式6-1】（2021春•天心区期中）将一次函数y=−32x+2的图象向左平移2个单位得到的新的函数的表达式（）A．y=−32x+1B．y=−32x+2C．y=−32x﹣1D．y=−32x﹣2【变式6-2】（2021秋•商河县校级期中）直线y＝kx向上平移4个单位后，经过（﹣1，2），则所得直线的解析式为．【变式6-3】（2021春•陇县期末）把直线y＝﹣2x向上平移后得到直线AB，若直线AB经过点（m，n），且2m+n＝8，则直线AB的表达式为．【考点7 一次函数的增减性】【例7】（2021秋•沙坪坝区校级月考）已知正比例函数y＝kx（k≠0）中，y随x的增大而减小，则一次函数y＝kx﹣2不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【变式7-1】（2021•营口一模）一次函数y＝2x+1的图象过点（a﹣1，y1），（a，y2），（a+1，y3），则（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y2【变式7-2】（2021秋•丹徒区期末）一次函数y＝mx+m2（m≠0）的图象过点（0，4），且y随x的增大而增大，则m的值为（）A．﹣2B．﹣2或2C．1D．2【变式7-3】（2021春•武城县期中）已知直线y＝（2﹣3m）x经过点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x1＜x2时，有y1＞y2，则m的取值范围是．【考点8 求一次函数解析式】【例8】（2021秋•敦煌市期中）一次函数y＝kx+b，当﹣1≤x≤2时，﹣2≤y≤1，求此一次函数的解析式．【变式8-1】（2021秋•肥西县期末）如图，直线所对应的一次函数的表达式是：．【变式8-2】（2021春•无为市期末）已知y﹣2与x+1成正比例函数关系，且当x＝﹣2时，y＝6；（1）写出y与x之间的函数关系式．（2）求当x＝﹣3时，y的值．【变式8-3】（2021秋•铜仁市期中）一次函数的图象y＝kx+b与两坐标轴围成的三角形的面积是8，且过点（0，2），求此一次函数的解析式．【考点9 一次函数的实际应用】【例9】（2021•禅城区二模）某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．①求y关于x的函数关系式；②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？【变式9-1】（2021秋•新化县期末）某单位计划“元旦”组织员工到某地旅游，A、B两旅行社的服务质量相同，且组织到该地旅游的价格都是每人300元．该单位在联系时，A 旅行社表示可给予每位旅客七五折优惠，B旅行社表示可免去一位旅客的费用，其余八折优惠．（1）当该单位旅游人数多少时，支付给A、B两旅行社的总费用相同．（2）若该单位共有30人参加此次旅游，应选择哪家旅行社，使总费用更少？【变式9-2】（2021秋•和平区校级期中）学校需要采购一批演出服装，A、B两家制衣公司都愿成为这批服装的供应商．经了解：两家公司生产的这款演出服装的质量和单价都相同，即每套100元．经洽谈协商：A公司给出的优惠条件是：服装按单价打七折，但校方需承担1200元的运费；B公司的优惠条件是：服装按单价打八折，公司承担运费．如果设参加演出的学生有x人．（1）写出：①学校购买A公司服装所付的总费用y1（元）与参演学生人数x之间的函数关系式；②学校购买B公司服装所付的总费用y2（元）与参演学生人数x之间的函数关系式．（2）若参演学生人数为150人，选择哪个公司比较合算，请说明理由．【变式9-3】（2021•滦州市二模）如图，一段铁路的示意图，AB段和CD段都是高架桥，BC段是隧道．已知AB＝1500m，BC＝300m，CD＝2000m，在AB段高架桥上有一盏吊灯，当火车驶过时，灯光可垂直照射到车身上，已知火车甲沿AB方向匀速行驶，当火车甲经过吊灯时，灯光照射到火车甲上的时间是10s，火车甲通过隧道的时间是20s，如果从车尾经过点A时开始计时，设行驶的时间为xs，车头与点B的距离是ym．（1）火车甲的速度和火车甲的长度；（2）求y关于x的函数解析式（写出x的取值范围），并求当x为何值时，车头差500米到达D点．（3）若长度相等的火车乙以相同的速度沿DC方向行驶，且火车甲乙不在隧道内会车（会车时两车均不在隧道内），火车甲先进隧道，当火车甲的车头到达A点时，火车乙的车头能否到达D点？若能到达，至多驶过地点多少？若不能到达，至少距离D点多少m？【考点10 一次函数的图象及其应用】【例10】（2021春•任城区期末）小华和小明是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：40先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校，如图是他们从家到学校已走的路程S （米）和所用时间t（分钟）的关系图，则下列说法中错误的是（）A．小明家和学校距离1200米B．小华乘公共汽车的速度是240米/分C．小华乘坐公共汽车后7：50与小明相遇D．小明从家到学校的平均速度为80米/分【变式10-1】（2021春•罗湖区校级期中）一水果贩子在批发市场按每千克1.8元批发了若干千克的西瓜进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用．他先按市场价售出一些后，又降价出售．售出西瓜千克数x与他手中持有的钱数y元（含备用零钱）的关系如图所示，结合图象回答下列问题：（1）农民自带的零钱是多少？（2）降价前他每千克西瓜出售的价格是多少？（3）随后他按每千克下降0.5元将剩余的西瓜售完，这时他手中的钱（含备用的钱）是390元，问他一共批发了多少千克的西瓜？（4）请问这个水果贩子一共赚了多少钱？【变式10-2】（2021•吉林一模）为响应国家扶贫攻坚的号召，A市先后向B市捐赠两批物资，甲车以60km/h的速度从A市匀速开往B市．甲车出发1h后，乙车以90km/h的速度从A市沿同一条道路匀速开往B市．甲、乙两车距离A市的路程y（km）与甲车的行驶时间x（h）之间的关系如图所示（1）A，B两市相距km，m＝，n＝；（2）求乙车行驶过程中y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）在乙车行驶过程中，当甲、乙两车之间的距离为30km时，直接写出x的值．【变式10-3】（2021•双阳区一模）已知M、N两地之间有一条240千米长的公路，甲乙两车同时出发，乙车以40千米/时的速度从M地匀速开往N地，甲车从N地沿此公路匀速驶往M地，两车分别到达目的地后停止，甲乙两车相距的路程y（千米）与乙车行驶的时间x（时）之间的函数关系如图所示．（1）甲车速度为千米/时．（2）求甲乙两车相遇后的y与x之间的函数关系式．（3）当甲车与乙车相距的路程为140千米时，请直接写出乙车行驶的时间．。
一次函数全章复习与巩固（提高）【要点梳理】要点一、函数的相关概念一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量 x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是x 的函数.y 是x 的函数，如果当x ＝a 时y ＝b ，那么b 叫做当自变量为a 时的函数值. 函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法. 要点二、一次函数的相关概念一次函数的一般形式为y kx b =+，其中k 、b 是常数，k ≠0.特别地，当b ＝0时，一次函数y kx b =+即y kx =（k ≠0），是正比例函数. 要点三、一次函数的图象及性质 1、函数的图象如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. 要点诠释：直线y kx b =+可以看作由直线y kx =平移|b |个单位长度而得到（当b ＞0时，向上平移；当b ＜0时，向下平移）.说明通过平移，函数y kx b =+与函数y kx =的图象之间可以相互转化.2、一次函数性质及图象特征掌握一次函数的图象及性质（对比正比例函数的图象和性质）要点诠释：理解k 、b 对一次函数y kx b =+的图象和性质的影响：（1）k 决定直线y kx b =+从左向右的趋势（及倾斜角α的大小——倾斜程度），b 决定它与y 轴交点的位置，k 、b 一起决定直线y kx b =+经过的象限．（2）两条直线1l ：11y k x b =+和2l ：22y k x b =+的位置关系可由其系数确定：12k k ≠⇔1l 与2l 相交；12k k =，且12b b ≠⇔1l 与2l 平行； 12k k =，且12b b =⇔1l 与2l 重合；（3）直线与一次函数图象的联系与区别一次函数的图象是一条直线；特殊的直线x a =、直线y b =不是一次函数的图象.【典型例题】类型一、函数的概念（1）（2）分别求当x=5，10，30，50时的函数值．类型二、一次函数的解析式2、某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物，若该读物首次出版印刷的印数不少于5000册时，投入的成本与印数间的相应数据如下：印数x （册） 5000 8000 10000 15000 ……成本y （元） 28500 36000 41000 53500 ……（1）经过对上表中数据的探究，发现这种读物的投入成本y （元）是印数x （册）的一次函数，求这个一次函数的解析式（不要求写出x 的取值范围）； （2）如果出版社投入成本48000元，那么能印该读物多少册？举一反三：【变式】已知直线经过点，且与坐标轴所围成的三角形的面积为，求该直线的函数解析式．3、若直线y kx b =+（k ≠0）不经过第一象限，则k 、b 的取值范围是（ ） A. k ＞0, b ＜0 B. k ＞0,b ≤0 C. k ＜0, b ＜0 D. k ＜0, b ≤0【变式】一次函数()2y kx k =--与kxy =在同一坐标系内的图象可以为（ ）A. B. C. D.4、直线a ：y=x +2和直线b ：y=﹣x +4相交于点A ，分别与x 轴相交于点B 和点C ，与y 轴相交于点D 和点E ．（1）在同一坐标系中画出函数图象； （2）求△ABC 的面积；（3）求四边形ADOC 的面积；（4）观察图象直接写出不等式x +2≤﹣x +4的解集和不等式﹣x +4≤0的解集．【总结升华】本题考查了一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象以及三角形的面积公式，解题的关键是：（1）画出函数图象；（2）找出点A、B、C的坐标；（3）利用分割图形求面积法求出面积；（4）根据函数图象的上下位置关系解不等式．举一反三：【变式】已知直线y=kx+b经过点A（5，0），B（1，4）．（1）求直线AB的解析式；（2）若直线y=2x﹣4与直线AB相交于点C，求点C的坐标；（3）根据图象，写出关于x的不等式2x﹣4＞kx+b的解集．类型五、一次函数的应用5、某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药2h 后血液中的含药量最高，达每升6mg ，接着逐步衰减，10h 后血液中的含药量为每升3mg ，每升血液中的含药量y mg 随时间x h 的变化情况如图所示．当成人按规定剂量服药后：(1)分别求出x ≤2和x ≥2时，y 与x 之间的函数关系式；(2)如果每升血液中的含药量为4mg 或4mg 以上时，治疗疾病是有效的，那么这个有效时间是多长?【总结升华】分段函数中，自变量在不同的取值范围内函数的解析式也不相同，因此注意根据自变量或函数的取值确定某段函数来解决问题．类型六、一次函数综合6、如图所示，直线1l 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，直线2l 与直线1l 关于y 轴对称，且与x 轴交于点C ．已知直线1l 的解析式为4y x =+．(1)求直线2l 的解析式；(2)D 为OC 的中点，P 是线段BC 上一动点，求使OP ＋PD 值最小的点P 的坐标．．【总结升华】(1)由直线1l 的解析式得到A 、B 点的坐标，进一步得到C 点的坐标，然后利用B 、C 两点的坐标利用待定系数法求解析式．(2)利用轴对称性质求出使OP ＋PD 值最小的点P 的坐标．举一反三：【变式】如图所示，已知直线8y x =-+交y 轴于点A ，交x 轴于点B ，过B 作BD⊥AB 交y 轴于D ．(1)求直线BD 的解析式；(2)若点C 是x 轴负半轴上一点，过C 作AC 的垂线与BD 交于点E ．请判断线段AC 与CE 的大小关系？并证明你的结论．。
一次函数全章复习与巩固（提高）【学习目标】 1．了解常量、变量和函数的概念，了解函数的三种表示方法（列表法、解析式法和图象法），能利用图象数形结合地分析简单的函数关系.2．理解正比例函数和一次函数的概念，会画它们的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质，能利用这些函数分析和解决简单实际问题.3．通过讨论一次函数与方程（组）及不等式的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学习过的方程（组）及不等式等内容的再认识. 4. 通过讨论选择最佳方案的问题，提高综合运用所学函数知识分析和解决实际问题的能力. 【知识网络】要点一、函数的相关概念 一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量 x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是x 的函数.y 是x 的函数，如果当x ＝a 时y ＝b ，那么b 叫做当自变量为a 时的函数值. 函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法. 要点二、一次函数的相关概念一次函数的一般形式为y kx b =+，其中k 、b 是常数，k ≠0.特别地，当b ＝0时，一次函数y kx b =+即y kx =（k ≠0），是正比例函数.要点三、一次函数的图象及性质 1、函数的图象如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. 要点诠释：直线y kx b =+可以看作由直线y kx =平移|b |个单位长度而得到（当b ＞0时，向上平移；当b ＜0时，向下平移）.说明通过平移，函数y kx b =+与函数y kx =的图象之间可以相互转化.2、一次函数性质及图象特征掌握一次函数的图象及性质（对比正比例函数的图象和性质）要点诠释：理解k 、b 对一次函数y kx b =+的图象和性质的影响：（1）k 决定直线y kx b =+从左向右的趋势（及倾斜角α的大小——倾斜程度），b 决定它与y 轴交点的位置，k 、b 一起决定直线y kx b =+经过的象限．（2）两条直线1l ：11y k x b =+和2l ：22y k x b =+的位置关系可由其系数确定：12k k ≠⇔1l 与2l 相交；12k k =，且12b b ≠⇔1l 与2l 平行；12k k =，且12b b =⇔1l 与2l 重合；（3）直线与一次函数图象的联系与区别一次函数的图象是一条直线；特殊的直线x a =、直线y b =不是一次函数的图象. 要点四、用函数的观点看方程、方程组、不等式 方程（组）、不等式问题 函 数 问 题从“数”的角度看从“形”的角度看求关于x 、y 的一元一次方程ax b +＝0（a ≠0）的解x 为何值时，函数y ax b =+的值为0？确定直线y ax b =+与x 轴（即直线y ＝0）交点的横坐标求关于x 、y 的二元一次方程组1122=+⎧⎨=+⎩，．y a x b y a x b 的解．x 为何值时，函数11y a x b =+与函数22y a x b =+的值相等？ 确定直线11y a x b =+与直线22y a x b =+的交点的坐标求关于x 的一元一次不等式ax b +＞0（a ≠0）的解集x 为何值时，函数y ax b =+的值大于0？确定直线y ax b =+在x 轴（即直线y ＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围【典型例题】类型一、函数的概念1、（2014春•桃城区校级月考）在国内投寄平信应付邮资如下表： 信件质量x （克） 0＜x≤20 0＜x≤40 0＜x≤60 邮资y （元） 0.80 1.60 2.40（1）y 是x 的函数吗？为什么？（2）分别求当x=5，10，30，50时的函数值． 【思路点拨】（1）根据函数定义：设在一个变化过程中有两个变量x 与y ，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与其对应，那么就说y 是x 的函数，x 是自变量可得y 是x 的函数；（2）根据表格可以直接得到答案． 【答案与解析】 解：（1）y 是x 的函数，当x 取定一个值时，y 都有唯一确定的值与其对应； （2）当x=5时，y=0.80；当x=10时，y=0.80； 当x=30时，y=1.60； 当x=50时，y=2.40．【总结升华】此题主要考查了函数定义，关键是掌握函数的定义． 类型二、一次函数的解析式2、某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物，若该读物首次出版印刷的印数不少于5000印数x （册） 5000800010000 15000 ……成本y（元）28500 36000 41000 53500 ……（1）经过对上表中数据的探究，发现这种读物的投入成本y（元）是印数x（册）的一次函数，求这个一次函数的解析式（不要求写出x的取值范围）；（2）如果出版社投入成本48000元，那么能印该读物多少册？【思路点拨】待定系数法求函数解析式，根据两点得到两个二元一次方程，组成一个二元一次方程组求出解即可．表中信息取两组就可以了.【答案与解析】=+，解：（1）设所求一次函数的解析式为y kx b则解得k＝，b＝16000．∴所求的函数关系式为y＝x＋16000．（2）∵48000＝x＋16000．∴x＝12800．答：能印该读物12800册．【总结升华】此类问题主要是考查考生利用待定系数法来求出有关函数一般解析式中的未知系数，从而确定该函数解析式的能力．举一反三：【变式】已知直线经过点，且与坐标轴所围成的三角形的面积为，求该直线的函数解析式．【答案】解：因为直线过点，所以，①又因为直线与x轴、y轴的交点坐标分别为，再根据，所以整理得②．根据方程①和②可以得出，，所以，．所以所求一次函数解析式为或．类型三、一次函数的图象和性质【高清课堂396533一次函数复习例2 】3、若直线y kx b =+（k ≠0）不经过第一象限，则k 、b 的取值范围是（ ） A. k ＞0, b ＜0 B. k ＞0,b ≤0 C. k ＜0, b ＜0 D. k ＜0, b ≤0 【思路点拨】根据一次函数的图象与系数的关系解答.图象不经过第一象限，则k ＜0，此时图象可能过原点，也可能经过二、三、四象限. 【答案】D ；【解析】当图象过原点时，k ＜0，b ＝0，当图象经过二、三、四象限时，k ＜0且b ＜0. 【总结升华】图象不经过第一象限包括经过二、三、四象限和过原点两种情况. 举一反三：【高清课堂396533一次函数复习 例3 】 【变式】一次函数()2y kx k =--与kxy =在同一坐标系内的图象可以为（ ）A. B. C. D.【答案】D ；提示：分为k ＜0；0＜k ＜2；k ＞2分别画出图象，只有D 答案符合要求.类型四、一次函数与方程（组）、不等式 4、（2016春•枣阳市期末）直线a ：y=x +2和直线b ：y=﹣x +4相交于点A ，分别与x 轴相交于点B 和点C ，与y 轴相交于点D 和点E ． （1）在同一坐标系中画出函数图象； （2）求△ABC 的面积；（3）求四边形ADOC 的面积；（4）观察图象直接写出不等式x +2≤﹣x +4的解集和不等式﹣x +4≤0的解集． 【思路点拨】（1）根据直线的画法画出图形即可；（2）根据直线a 、b 的解析式可得出点B 、C 的坐标，联立两直线的解析式成方程组，解方程组可得出点A 的坐标，再利用三角形的面积公式即可得出结论；（3）根据直线a 的解析式可求出点D 的坐标，利用分割图形求面积法结合三角形的面积公式即可得出结论；（4）根据两函数图象的上下位置关系结合交点的坐标，即可得出不等式的解集． 【解析】解：（1）依照题意画出图形，如图所示． （2）令y=x +2中y=0，则x +2=0，解得：x=﹣2， ∴点B （﹣2，0）；令y=﹣x +4中y=0，则﹣x +4=0，解得：x=4， ∴点C （4，0）； 联立两直线解析式得：，解得：，∴点A（1，3）．S△ABC=BC•y A=×[4﹣（﹣2）]×3=9．（3）令y=x+2中x=0，则y=2，∴点D（0，2）．S四边形ADOC=S△ABC﹣S△DBO=9﹣×2×2=7．（4）观察函数图形，发现：当x＜1时，直线a在直线b的下方，∴不等式x+2≤﹣x+4的解集为x≤1；当x＞4时，直线b在x轴的下方，∴不等式﹣x+4≤0的解集为x≥4．【总结升华】本题考查了一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象以及三角形的面积公式，解题的关键是：（1）画出函数图象；（2）找出点A、B、C的坐标；（3）利用分割图形求面积法求出面积；（4）根据函数图象的上下位置关系解不等式．举一反三：【变式】（2015春•东城区期末）已知直线y=kx+b经过点A（5，0），B（1，4）．（1）求直线AB的解析式；（2）若直线y=2x﹣4与直线AB相交于点C，求点C的坐标；（3）根据图象，写出关于x的不等式2x﹣4＞kx+b的解集．【答案】解：（1）∵直线y=kx+b经过点A（5，0），B（1，4），∴，解得，∴直线AB的解析式为：y=﹣x+5；（2）∵若直线y=2x ﹣4与直线AB 相交于点C ，∴．解得，∴点C （3，2）；（3）根据图象可得x ＞3． 类型五、一次函数的应用5、某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药2h 后血液中的含药量最高，达每升6mg ，接着逐步衰减，10h 后血液中的含药量为每升3mg ，每升血液中的含药量y mg 随时间x h 的变化情况如图所示．当成人按规定剂量服药后：(1)分别求出x ≤2和x ≥2时，y 与x 之间的函数关系式；(2)如果每升血液中的含药量为4mg 或4mg 以上时，治疗疾病是有效的，那么这个有效时间是多长?【思路点拨】（1）根据题意由待定系数法求函数的解析式.（2）令y ≥4，分别求出x 的取值范围，便可得出这个药的有效时间． 【答案与解析】解：(1)由图知，x ≤2时是正比例函数，x ≥2时是一次函数．设x ≤2时，y kx =，把(2，6)代入y kx =，解得k ＝3， ∴ 当0≤x ≤2时，3y x =．设x ≥2时，y k x b '=+，把(2，6)，(10，3)代入y k x b '=+中，得26103k b k b '+=⎧⎨'+=⎩，解得38274k b ⎧'=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即32784y x =-+．当y ＝0时，有327084x =-+，18x =． ∴ 当2≤x ≤18时，32784y x =-+．(2)由于y ≥4时在治疗疾病是有效的，∴ 34327484x x ≥⎧⎪⎨-+≥⎪⎩，解得42233x ≤≤． 即服药后43h 得到223h 为治病的有效时间， 这段时间为224186()333h -==．【总结升华】分段函数中，自变量在不同的取值范围内函数的解析式也不相同，因此注意根据自变量或函数的取值确定某段函数来解决问题． 类型六、一次函数综合6、如图所示，直线1l 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，直线2l 与直线1l 关于y 轴对称，且与x 轴交于点C ．已知直线1l 的解析式为4y x =+．(1)求直线2l 的解析式；(2)D 为OC 的中点，P 是线段BC 上一动点，求使OP ＋PD 值最小的点P 的坐标． 【答案与解析】解： (1)由直线4y x =+可得：A(－4，0)，B(0，4)∵ 点A 和点C 关于y 轴对称，∴ C(4，0)． 设直线BC 解析式为：y kx b =+，则4004b k b=+⎧⎨=+⎩ 解得14k b =-⎧⎨=⎩． ∴ 直线BC 解析式为：4y x =-+．(2)作点D 关于BC 对称点D ′，连结PD ′，OD ′．∴ PD DP '=，∴ OP ＋PD ＝PD ′＋OP ． ∴ 当O 、P 、D ′三点共线时OP ＋PD 最小．∵ OB ＝OC ，∴ ∠BCO ＝45°，∴ ∠D CO '＝90°，∴ (4,2)D '，∴ 12OD y x '=． 由124y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-+⎩ 得8343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴ 当点P 坐标为84,33⎛⎫⎪⎝⎭时，OP ＋PD 的值最小． 【总结升华】(1)由直线1l 的解析式得到A 、B 点的坐标，进一步得到C 点的坐标，然后利用B 、C 两点的坐标利用待定系数法求解析式．(2)利用轴对称性质求出使OP ＋PD 值最小的点P 的坐标． 举一反三：【变式】如图所示，已知直线8y x =-+交y 轴于点A ，交x 轴于点B ，过B 作BD ⊥AB 交y轴于D ．(1)求直线BD 的解析式；(2)若点C 是x 轴负半轴上一点，过C 作AC 的垂线与BD 交于点E ．请判断线段AC 与CE 的大小关系？并证明你的结论．【答案】解：(1)由直线8y x =-+可得：A(0，8)，B(8，0)．∴ OA ＝OB ＝8，∠ABO ＝45°． ∵ BD ⊥AB ，∴ ∠DBO ＝45°，△ABD 为等腰直角三角形．∴ OD ＝OA ＝8，D 点坐标为(0，－8)． 设BD 的解析式为y kx b =+． ∵ 过B(8，0)，D(0，－8) ∴ 808k b b +=⎧⎨=-⎩，解得18k b =⎧⎨=-⎩．∴ BD 的解析式为8y x =-(2)AC ＝CE ；过点C 作CM ⊥AB 于M ，作CN ⊥BD 于点N ． ∵ BC 为∠ABD 的平分线， ∴ CM ＝CN ．∵ ∠ACE ＝90°，∠MCN=90° ∴ ∠ACM ＝∠ECN ． 在△ACM 和△ECN 中90,AMC ENC CM CN ACM ECN ∠=∠=⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩°, ∴ △ACM ≌△ECN(ASA)． ∴ AC ＝CE ．附录资料：菱形（基础）=【学习目标】1. 理解菱形的概念.2. 掌握菱形的性质定理及判定定理． 【要点梳理】【高清课堂 特殊的平行四边形（菱形） 知识要点】 要点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件. 要点二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： 1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心. 要点诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.（2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题. 要点三、菱形的判定 菱形的判定方法有三种：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形. 要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等. 【典型例题】类型一、菱形的性质1、（2016•广安）如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF ⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．【思路点拨】连接AC，根据菱形的性质可得AC平分∠DAE，CD=BC，再根据角平分线的性质可得CE=FC，然后利用HL证明Rt△CDF≌Rt△CBE，即可得出DF=BE．【答案与解析】证明：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAE，CD=BC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=FC，∠CFD=∠CEB=90°．在Rt△CDF与Rt△CBE中，，∴Rt△CDF≌Rt△CBE（HL），∴DF=BE．【总结升华】此题考查了菱形的性质，角平分线的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．同时考查了全等三角形的判定与性质．举一反三：【变式1】（2015•温州模拟）如图，在菱形ABCD中，点E是AB上的一点，连接DE交AC于点O，连接BO，且∠AED=50°，则∠CBO=度．【答案】50；解：在菱形ABCD 中，AB ∥CD ，∴∠CDO=∠AED=50°，CD=CB ，∠BCO=∠DCO ，∴在△BCO 和△DCO 中，，∴△BCO ≌△DCO （SAS ），∴∠CBO=∠CDO=50°．【高清课堂 特殊的平行四边形（菱形） 例1】【变式2】菱形ABCD 中，∠A ∶∠B ＝1∶5，若周长为8，则此菱形的高等于( )．A.21B.4C.1D.2【答案】C ；提示：由题意，∠A ＝30°，边长为2，菱形的高等于12×2＝1. 类型二、菱形的判定2、如图所示，在△ABC 中，CD 是∠ACB 的平分线，DE ∥AC ，DF ∥BC ，四边形DECF 是菱形吗?试说明理由．【思路点拨】由菱形的定义去判定图形，由DE ∥AC ，DF ∥BC 知四边形DECF 是平行四边形，再由∠1＝∠2＝∠3得到邻边相等即可．【答案与解析】解：四边形DECF 是菱形，理由如下：∵ DE ∥AC ，DF ∥BC∴ 四边形DECF 是平行四边形．∵ CD 平分∠ACB ，∴ ∠1＝∠2∵ DF ∥BC ，∴ ∠2＝∠3，∴ ∠1＝∠3．∴ CF ＝DF ，∴ 四边形DECF 是菱形．【总结升华】在用菱形的定义判定一个四边形是菱形时，首先判定这个四边形是平行四边形，再由一对邻边相等来判定它是菱形．举一反三：【变式】如图所示，AD 是△ABC 的角平分线，EF 垂直平分AD ，分别交AB 于E ，交AC 于F ，则四边形AEDF 是菱形吗?请说明理由．【答案】解：四边形AEDF是菱形，理由如下：∵ EF垂直平分AD，∴△AOF与△DOF关于直线EF成轴对称．∴∠ODF＝∠OAF，又∵ AD平分∠BAC，即∠OAF＝∠OAE，∴∠ODF＝∠OAE．∴ AE∥DF，同理可得：DE∥AF．∴四边形AEDF是平行四边形，∴ EO＝OF又∵AEDF的对角线AD、EF互相垂直平分．∴AEDF是菱形．3、如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，CE平分∠ACD，交AD于点G，交AB于点E，EF⊥BC于点F．求证：四边形AEFG是菱形．【思路点拨】由角平分线性质易知AE＝EF，欲证四边形AEFG是菱形，只要再证四边形AEFG是平行四边形或AG＝GF＝AE即可．【答案与解析】证明：方法一：∵ CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，∴ AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4．∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD．∴∠4＝∠5．∴∠3＝∠5．∴ AE＝AG．∴ EF AG．∴四边形AEFG是平行四边形．又∵ AE＝AG，∴四边形AEFG是菱形．方法二：∵ CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，∴ AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．∴∠3＝∠4．∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD．∴∠4＝∠5．∴∠3＝∠5．∴ AE＝AG．在△AEG和△FEG中，AE＝EF，∠3＝∠4，EG＝EG，∴△AEG≌△FEG．∴ AG＝FG．∴ AE＝EF＝FG＝AG．∴四边形AEFG是菱形．【总结升华】判定一个四边形是菱形，关键是把已知条件转化成判定方法所需要的条件．举一反三：【变式】如图所示，在ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥DB交CB的延长线于点G．(1)求证：DE∥BF；(2)若∠G＝90°，求证四边形DEBF是菱形．【答案】证明：(1)ABCD中，AB∥CD，AB＝CD∵ E、F分别为AB、CD的中点∴ DF＝12DC，BE＝12AB∴ DF∥BE．DF＝BE∴四边形DEBF为平行四边形∴ DE∥BF(2)证明：∵ AG∥BD∴∠G＝∠DBC＝90°∴△DBC为直角三角形又∵ F为边CD的中点．∴ BF＝12DC＝DF又∵四边形DEBF为平行四边形∴四边形DEBF是菱形类型三、菱形的应用4、如图所示，是一种长0.3m，宽0.2m的矩形瓷砖，E、F、G、H分别为矩形四边BC、CD、DA、AB的中点，阴影部分为淡黄色花纹，中间部分为白色，现有一面长4.2 m，宽2.8m的墙壁准备贴如图所示规格的瓷砖．试问：(1)这面墙最少要贴这种瓷砖多少块?(2)全部贴满后，这面墙壁会出现多少个面积相同的菱形?【答案与解析】解：墙壁长4.2m，宽2.8m，矩形瓷砖长0.3m，宽0.2m，4.2÷0.3＝14，2.8÷0.2＝14，则可知矩形瓷砖横排14块，竖排14块可毫无空隙地贴满墙面．(1)则至少需要这种瓷砖14×14＝196(块)．(2)每块瓷砖中间有一个白色菱形，则共有196个白色的菱形，它的面积等于瓷砖面积的一半．另外在同一个顶点处的瓷砖能够拼成一个淡黄色花纹的菱形，它的面积也等于瓷砖面积的一半，有花纹的菱形横排有13个，竖排也有13个，则一共有淡黄色花纹菱形13×13＝169个，面积相等的菱形一共有196＋169＝365(个)．【总结升华】菱形可以看作是由直角三角形组成的，因而铺满墙面后，要计算空白菱形的个数和阴影菱形的个数．将相同的图形拼在一起，在顶点周围的几个图形也能拼成一定的图案，不要忽略周围图形的拼接．。
