2020届湖南省益阳市桃江县一中高三5月模拟考试数学(文)试题Word版含解析
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2020届湖南省益阳市桃江县一中高三5月模拟考试数学（文）试题一、单选题1．复平面内表示复数622iz i+=-的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】利用复数代数形式的乘除法运算化简为a bi +（a ，b ∈R ）的形式，则答案可求． 【详解】Q 62(62)(2)1010222(2)(2)5i i i iz i i i i ++++====+--+，z ∴在复平面对应的点()2,2在第一象限. 故选：A 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，及复数的几何意义，属于基础题． 2．已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{|}B x y x ==-，则=A B I （ ） A ．{1,2} B ．{0,1,2}C ．{2,1}--D ．{2,1,0}--【答案】D【解析】先利用定义域的求法，求得集合B 的范围，然后求两个集合的交集. 【详解】因为{}2,1,0,1,2A =-- ,{}0B x x =≤，所以{}2,1,0A B ⋂=-- .故选D. 【点睛】本题考查集合交集运算，考查运算求解能力，属于基础题. 3．已知函数()(22)ln ||x x f x x -=+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据函数奇偶性的判断可知函数为偶函数，图象关于y 轴对称，排除D ；根据()0,1x ∈时，()0f x <，排除,A C ，从而得到正确选项.【详解】()f x Q 定义域为{}0x x ≠，且()()()()22ln 22ln x x x x f x x x f x ---=+-=+=()f x ∴为偶函数，关于y 轴对称，排除D ；当()0,1x ∈时，220x x -+>，ln 0x <，可知()0f x <，排除,A C . 本题正确选项：B 【点睛】本题考查函数图象的辨析，关键是能够通过函数的奇偶性、特殊值的符号来进行排除. 4．已知等比数列{}n a 满足14a =，123450a a a a a =>，则公比q =（ ） A 2 B 32C 42D ．2【答案】A【解析】利用14a =以及等比数列的通项公式，化简12345a a a a a =得到44q =，由此求得q 的值. 【详解】由14a =及123450a a a a a =>，可得44,2q q ==故选A.【点睛】本题考查等比数列的性质，考查化归与转化的思想.属于基础题.5．设x ，y 满足约束条件2020260x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，则z x y =+的最小值是（ ）A ．-4B ．-2C ．0D ．2【答案】C【解析】先画出线性约束条件的可行域，再将目标函数的函数值看做目标函数对应直线的纵截距，平移目标函数，数形结合找到最优解，即可求出结果． 【详解】依题意x ，y 满足约束条件2020260x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，如图所示，当z ＝0时，设直线l ：x+y ＝0，当直线l 平移并过A 点时，目标函数z ＝x+y 有最小值，此时最优解就是A 点，由202202x x y y -==⎧⎧⇒⎨⎨+==-⎩⎩得A （2，﹣2），所以目标函数z ＝x+y 的最小值是0．故选：C ．【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于基础题． 6．31log 2m =，0.17n -=，4log 25p =，则m ，n ，p 的大小关系为（ ） A ．m p n >> B ．p n m >>C ．p m n >>D ．n p m >>【答案】B【解析】分别出,,m n p 的取值范围，由此比较出三者的大小. 【详解】()31log 1,02∈-,()0.170,1-∈ ，()42log 25log 52,3=∈ ，故p n m >> .故选B.【点睛】本题考查指数、对数的运算，考查运算求解能力.属于基础题.7．在ABC △中，D 为BC 边上一点，E 是AD 中点，若BD DC λ=u u u r u u u r ，13CE AB AC μ=+u u ur u u u r uu u r ，则λμ+=（ ）A ．13B ．13-C ．76D ．76-【答案】B【解析】将CE u u u r利用平面向量的加法和减法运算，转化为以CD uuu r 和CA u u u r为基底表示出来，根据E 是AD 的中点列方程，求得,λμ的值. 【详解】()1111133333CE CB CA AC CB CA CD CA λμμμ+⎛⎫⎛⎫=-+=+--=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u uu r ，因为E 是AD 的中点， 所以1132λ+=，1132μ--=，解得15,26λμ==- ，13λμ+=-.故选B. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算和平面向量的基本定理，考查推理论证的能力.属于中档题8．“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在《九章算术注》中提出割圆术，并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础．刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值，这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据．如图，当分割到圆内接正六边形时，某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点，计算得出该点落在正六边形内的频率为0.8269，那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为（参考数据：32.0946≈）（ ）A ．3.1419B ．3.1417C ．3.1415D ．3.1413【答案】A【解析】先设圆的半径为r ，表示出圆的面积和正六边形的面积，再由题中所给概率，即可得出结果. 【详解】设圆的半径为r ，则圆的面积为2r π，正六边形的面积为213336222r r r ⨯⨯⨯=，因而所求该实验的概率为2220.8269rr π==，则 3.1419π=≈.故选A 【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型，熟记概率计算公式即可，属于常考题型.9．已知函数()cos()(0)f x x ωϕω=+>的最小正周期为π，且对x ∈R ，π()()3f x f ≥，恒成立，若函数()y f x =在[0,]a 上单调递减，则a 的最大值是（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B【解析】先由最小正周期，求出ω，再由对x ∈R ，()3f x f π⎛⎫≥⎪⎝⎭恒成立，得到2,3k k Z πϕπ=+∈，进而可得()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求出其单调递减区间，即可得出结果.【详解】因为函数()()cos f x x ωϕ=+的最小正周期为π，所以22πωπ==，又对任意的x ，都使得()3f x f π⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， 所以函数()f x 在3x π=上取得最小值，则223k πϕππ+=+，k Z ∈， 即2,3k k Z πϕπ=+∈，所以()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令222,3k x k k Z ππππ≤+≤+∈，解得,63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ ，则函数()y f x =在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故a 的最大值是3π. 故选B 【点睛】本题考查三角函数的图象及其性质，考查运算求解能力.10．在四棱锥P ABCD -中，所有侧棱都为O 是P 在平面ABCD 内的射影，M 是PC 的中点，则异面直线OP 与BM 所成角为（ ） A ．30° B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】C【解析】先取N 为OC 的中点，得到OP MN P ，则BMN ∠是异面直线OP 与BM 所成的角，根据题意，求出5MN =，25BM =，解三角形，即可得出结果. 【详解】由题可知O 是正方形ABCD 的中心， 取N 为OC 的中点，所以OP MN P ， 则BMN ∠是异面直线OP 与BM 所成的角. 因为OP ⊥平面ABCD ， 所以MN ⊥平面ABCD ，因为在四棱锥P ABCD -中，所有侧棱都为42，底面是边长为26的正方形， 所以23OC =，所以321225OP =-=，因此5MN =，又在PBC ∆中，2223232245cos 22328PB PC BC BPC PB PC +-+-∠===•⨯，所以22252cos 32824222208BM PB PM PB PM BPC =+-••∠=+-⨯⨯⨯=， 即25BM =， 所以1cos 2MN BMN MB ∠==， 则异面直线OP 与BM 所成的角为60o . 故选C本题主要考查异面直线所成的角，熟记几何法作出异面直线所成的角，再求解即可，属于常考题型.11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若2121()0F F F A F A +⋅=u u u u r u u u u r u u u r，则此双曲线的标准方程可能为（ ） A ．22143x y -= B ．22134x y -= C ．221169x y -= D ．221916x y -=【答案】D【解析】先由()21210F F F A F A +?u u u u r u u u u r u u u r得到1222F F F A c ==，根据2AF 的斜率为247，求出217cos 25AF F ∠=-，结合余弦定理，与双曲线的定义，得到c a ，求出ab ，进而可得出结果.【详解】由()21210F F F A F A +?u u u u r u u u u r u u u r，可知1222F F F A c ==，又2AF 的斜率为247，所以易得217cos 25AF F ∠=-， 在12AF F ∆中，由余弦定理得1165AF c =， 由双曲线的定义得16225c c a -=， 所以53c e a ==，则:3:4a b =， 所以此双曲线的标准方程可能为221916x y -=.故选D 【点睛】本题考查双曲线的标准方程，熟记双曲线的几何性质与标准方程即可，属于常考题型. 12．已知函数()x xf x e=，若关于x 的方程()f x mx e =-无实数解，则m 的取值范围为（ ） A ．(]2,0e - B ．(24,0e ⎤-⎦C ．1,0e⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．24,0e ⎛⎤-⎥⎝⎦【答案】A 【解析】求导()'1x xfx e-=，得函数()f x 在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减，从而得()y f x =的图象；由题意得直线y mx e =-与曲线()y f x =相切时求出m ，再结合图象求出m 的范围.由()xx f x e=求导得()'1x x f x e -=，令()'0f x =，解得1x =，可知函数()f x 在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减.()()max 11f x f e==，且()00f =.所以函数()y f x =的图象如图所示，因为直线y mx e =-恒过点()0,e -.所以当直线y mx e =-与曲线()y f x =相切时，设切点为()00,x y 其中00x <，即直线y mx e =-与曲线()y f x =-在(),0-∞上相切，此时000001x x x mx e e x m e⎧-=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得012x m e =-⎧⎨=-⎩ 关于x 的方程()f x mx e =-无实数解，结合图象可知，此时(]2,0m e ∈-. 故选：A【点睛】本题考查了函数的单调性，导数的几何意义，以及转化和数形结合思想，属于中档题.二、填空题13．某公司对2019年14:月份的获利情况进行了数据统计，如下表所示： 月份x 1 2 3 4利润y /万元 5 6 6.58利用线性回归分析思想，预测出2019年8月份的利润为11.6万元，则y 关于x 的线性回归方程为__________．【答案】ˆ0.954yx =+. 【解析】先由题中数据求出x ，y ，结合题意，列出方程组，求出ˆb与ˆa ，即可得出结果. 【详解】设线性回归方程为ˆˆˆybx a =+，因为52x =，518y =， 由题意可得551ˆ288ˆ11.6ˆˆb a b a⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得ˆ0.95b =，ˆ4a =， 即ˆ0.954yx =+. 故答案为ˆ0.954yx =+ 【点睛】本题主要考查线性回归方程，熟记回归方程的特征即可，属于常考题型.14．一个圆经过椭圆22193y x +=的三个顶点，且圆心在y 轴的负半轴上，则该圆的标准方程为______.【答案】()2214x y ++=【解析】由椭圆的方程求出顶点坐标，然后设出圆心坐标，进一步求出圆的半径可得圆的方程． 【详解】因为圆心在y 轴的负半轴上，且圆经过椭圆22193y x+=的三个顶点，所以该圆过椭圆的左顶点()，右顶点)和下顶点()0,3-.设圆心坐标为()0,m ，0m < ，半径为r ，所以()()()()2222220012003m r m r m r ⎧+-==-⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪-+--=⎩，所以圆的标准方程为()2214x y ++=. 故答案为：()2214x y ++= 【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，圆的方程的求法，考查计算能力，属于中档题． 15．若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为__________． 【答案】8π.【解析】作出圆柱与其外接球的轴截面，结合题中数据，求出外接球半径，再由球的表面积公式，即可得出结果. 【详解】作出圆柱与其外接球的轴截面如下：设圆柱的底面圆半径为r ，则2BC r =，所以轴截面的面积为()224ABCD S r ==正方形，解得1r =，因此，该圆柱的外接球的半径2222222BD R +=== 所以球的表面积为2428S ππ==.故答案为8π 【点睛】本题主要考查圆柱外接球的相关计算，熟记公式即可，属于常考题型. 16．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21n n S a =，则6824246811111111a a a a S S S S ++++-+-----()51100100111aS ++⋯+-=-______. 【答案】100101【解析】由题意化简得()241n n S a =+，当n ＝1时，11a =．当2n ≥时，()()2211111144n n n n n a S S a a --=-=+-+，化简得12n n a a --=，再利用等差数列的通项公式和前n 项和公式，求出212111111n n a n S n n n +==+---+，再用裂项相消法求和即可得出． 【详解】已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21n n S a =，化简得()241n n S a =+，当1n =时，()21141a a =+，解得11a =；当2n ≥时，()()22114141n n n n S a S a --⎧=+⎪⎨=+⎪⎩， 相减可得2211422n n n n n a a a a a --=-+-，()()22111122n n n n n n n n a a a a a a a a ----=-+=-+，可得12n n a a --=，所以数列{}n a 是以1为首项，以2为公差的等差数列；()12121n a n n =+-=-，()2214n na S n+==，即()()212211111111n n a n n S n n n n n +===+---+-+， 所以()516810024246810011111111111a a aa a S S S S S +++++-+-+⋯+-=-----111111111113355799101101⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+++-⋅⋅⋅-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭100101=. 故答案为：100101【点睛】本题考查了递推数列的通项公式、等差数列的通项公式和前n 项和公式，裂项相消法求和，属于中档题．三、解答题17．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，sin sin sin )b B c C a A +=+．（1）求A 的大小； （2）若a =π3B =，求ABC △的面积．【答案】(1) 4A π=.(2) ABC S ∆=【解析】（1）先由正弦定理，将sin sin sin sin sin B C b B c C a A A ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭化为22b c a a ⎫+=⎪⎭，结合余弦定理，即可求出角A ；（2）先求出sin C ，再由正弦定理求出b ，根据三角形面积公式，即可得出结果. 【详解】（1）因为sin sin sin sin sin B C b B c C a A A ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，由正弦定理可得：222bc b c a a a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即2222b c a bc +-=， 再由余弦定理可得2cos 2bc A bc =，即2cos A =, 所以4A π=；（2）因为3B π=，所以()62sin sin C A B +=+=， 由正弦定理sin sin a b A B=，可得3b =. 133sin 2ABC S ab C ∆+==. 【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理、余弦定理即可，属于常考题型.18．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是矩形，1A D 与1AD 交于点E ，124AA AD AB ===.（1）证明：AE ⊥平面ECD . （2）求点1C 到平面AEC 的距离. 【答案】(1)见解析.(2) 26h =. 【解析】（1）先通过直四棱柱的几何性质，证得1AA CD ⊥，由此证得CD ⊥平面11AA D D ，从而有CD AE ⊥，根据四边形11AA D D 是正方形得到AE ED ⊥，从而证得AE ⊥平面ECD .（2）利用等体积法1111C AD C A C D C V V --=列方程，求得1C 到平面1AD C 的距离，也即求得点1C 到平面AEC 的距离. 【详解】（1）证明：因为四棱柱1111ABCD A B C D -是直四棱柱， 所以1AA ⊥平面ABCD ，则1AA CD ⊥ . 又CD AD ⊥，1AA AD A =I ，所以CD ⊥平面11AA D D ，所以CD AE ⊥.因为1AA AD ⊥，1AA AD =，所以11AA D D 是正方形，所以AE ED ⊥. 又CD ED D ⋂=，所以AE ⊥平面ECD .（2）连接1CD ，点1C 到平面AEC 的距离及点1C 到平面1AD C 的距离. 在1ACD ∆中，25AC =，142D A =，125CD =，()()1221252242462ACD S ∆=⨯-⨯= ，又因为AD CD ⊥，1AD DD ⊥ ，1DD CD D =I ，所以AD ⊥平面11CDD C , 设点1C 到平面1AD C 的距离为h . 因为1111C AD C A C D C V V --= ，所以111133AD C C DC S h S AD ∆∆⋅=⋅， 424642h ⨯=⨯，即263h =.【点睛】本题主要考查线面垂直的证明，考查利用等体积法求点到面的距离，属于中档题.19．某度假酒店为了解会员对酒店的满意度，从中抽取50名会员进行调查，把会员对酒店的“住宿满意度”与“餐饮满意度”都分为五个评分标准：1分（很不满意）；2分（不满意）；3分（一般）；4分（满意）；5分（很满意）．其统计结果如下表（住宿满意度为x ，餐饮满意度为y ）．（1）求“住宿满意度”分数的平均数；（2）求“住宿满意度”为3分时的5个“餐饮满意度”人数的方差；（3）为提高对酒店的满意度，现从23x ≤≤且12y ≤≤的会员中随机抽取2人征求意见，求至少有1人的“住宿满意度”为2的概率． 【答案】（1）3.16； （2）2； （3）45. 【解析】（1）根据平均数公式可得；（2）根据平均数和方差公式以及题目中数据可计算得． （3）利用列举法以及古典概型的概率公式可得． 【详解】 （1）5192153154653.1650⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）当“住宿满意度”为3分时的5个“餐饮满意度”人数的平均数为1253435++++=，其方差为()()()()()22222132353334325-+-+-+-+-=.（3）符合条件的所有会员共6人，其中“住宿满意度”为2的3人分别记为a ，b ，c ，“住宿满意度”为3的3人分别记为d ，e ，f .从这6人中抽取2人有如下情况，(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),a f ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),b f ，(),c d ，(),c e ，(),c f ，(),d e ，(),d f ，(),e f ，共15种情况.所以至少有1人的“住宿满意度”为2的概率124155P ==. 【点睛】本题考查了随机变量的平均数与方差，及古典概型的概率公式，属于中档题． 20．已知曲线G 上的点到点()1,0F 的距离比它到直线3x =-的距离小2. （1）求曲线G 的方程.（2）是否存在过F 的直线l ，使得l 与曲线G 相交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为'A ，且'A BF ∆的面积等于4？若存在，求出此时直线l 的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）24y x =； （2）1m =±.【解析】（1）根据抛物线的定义求出抛物线的方程即可；（2）设直线l ：1x my =+，联立241y x x my ⎧=⇒⎨=+⎩2440y my --=，设()11,A x y ，()22,B x y 则()1'1,A x y -，由'''121212A BF AAB AA F S S S y x ∆∆∆=-=-利用韦达定理计算即可. 【详解】（1）设(),S x y 为曲线G 上任意一点，已知曲线G 上的点到点()1,0F 的距离比它到直线3x =-的距离小2.所以点S 到()1,0F 的距离与它到直线1x =-的距离相等，根据抛物线的定义得曲线G 是以()1,0F 为焦点，直线1x =-为准线的抛物线，所以曲线G 的方程为24y x =.（2）设直线l 的方程为1x my =+，与抛物线C 的方程联立，得241y x x my ⎧=⎨=+⎩，消去x ，得2440y my --=.设()11,A x y ，()22,B x y ，()22164416160m m ∆=-⨯-=+>恒成立，则124y y m +=，124y y =-.'''12121212A BF AAB AA F S S S y x y my ∆∆∆=-=-=1244my y m ===， 解得1m =±.【点睛】本题考查了抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，韦达定理的应用，三角形面积的转化，属于中档题. 21．已知函数()ln f x x =，()1g x x =-．（1）当k 为何值时，直线()y g x =是曲线()y kf x =的切线；（2）若不等式()g af x ≥在[1,e]上恒成立，求a 的取值范围． 【答案】(1) 1k =.(2) 1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【解析】（1）先令()()ln n x kf x k x ==，求其导数，设切点为()00,x y ，由直线()y g x =是曲线()y kf x =的切线，得到1ln 1k k+=，用导数的方法研究函数()1ln F x x x =+的单调性，即可求出结果；（2）先令()()ln 1h x af x g a x =-=，对其求导，分别讨论0a ≤和0a >两种情况，结合题意，即可得到结果. 【详解】（1）令()()ln n x kf x k x ==，()kn x x'=， 设切点为()00,x y ，则01kx =，001ln x k x -=，则1ln 1k k+=. 令()1ln F x x x =+，()22111x F x x x x-'=-=，则函数()y F x =在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，且()11F =，所以1k =.（2）令()()ln 1h x af x ga x =-=，则()a h x x '==①当0a ≤时，()0h x '<，所以函数()h x 在[]1,e 上单调递减， 所以()()10h x h ≤=，所以0a ≤满足题意. ②当0a >时，令()0h x '=，得24x a =， 所以当()20,4x a∈时，()0h x '> ，当()24,x a ∈+∞时，()0h x '<.所以函数()h x 在()20,4a上单调递增，在()24,a +∞上单调递减.（ⅰ）当24a e ≥，即a ≥()h x 在[]1,e 上单调递增，所以()()10h x h e a ≤=≤，所以1-≤e a ，此时无解.（ⅱ）当214a e <<，即12a <<时，函数()h x 在()21,4a 上单调递增，在()24,a e 上单调递减. 所以()()()()224ln 4212ln 2210h x h aa a a a a a ≤=-+=-+≤ .设()()12ln 22122m x x x x x ⎛=-+<< ⎝⎭ ，则()()2ln 20m x x '=>，所以()m x 在1,22⎛ ⎝⎭上单调递增,()102m x m ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，不满足题意.（ⅲ）当2041a <≤，即102a <≤时，()h x 在[]1,e 上单调递减， 所以()()10h x h ≤=，所以102a <≤满足题意. 综上所述：a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题主要考查由切线方程求参数，以及导数的应用，熟记导数的几何意义，以及导数的方法研究函数的单调性、极值等，灵活运用分类讨论的思想求解即可，属于常考题型.22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为0x y a +-=，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且直线OA 与OB 的斜率之积为54，求a . 【答案】（1）l :cos sin 0a r q r q +-=，C ：()2224sin cos 4ρθθ+=；（2）12a =±. 【解析】（1）利用直角坐标与极坐标换算公式直接可得； （2）联立直线l 与曲线C 的极坐标方程，得()()22224sincos 4cos sin aθθθθ++=，设()()1122,,,A B ρθρθ，则125tan tan 4O O B A k k θθ==，解得a 即可. 【详解】（1）将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入0x y a +-=的方程中，所以直线l 的极坐标方程为cos sin 0a r q r q +-=.在曲线C 的参数方程中，消去α，可得2214x y +=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入2214x y +=的方程中，所以曲线C 的极坐标方程为()2224sincos 4ρθθ+=.（2）直线l 与曲线C 的公共点的极坐标满足方程组()222cos sin 04sin cos 4a ρθρθρθθ+-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，由方程组得()()22224sin cos 4cos sin a θθθθ++=， ()2222224sin cos 4si 2cos n sin cos a a θθθθθθ+=++，两边同除2cos θ，可化为22224tan 48tan 4tan a a θθθ+=++，即()22244tan 8tan 40a a θθ--+-=， 设()()1122,,,A B ρθρθ，则212245tan tan 444O OB A a k k a θθ-===-，解得12a =±. 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，普通方程之间的换算关系．考查了直线与椭圆极坐标方程的应用．属于中档题．23．已知函数()2f x x =+.（1）求不等式()()24f x f x x +-<+的解集；（2）若x R ∀∈，使得()()()2f x a f x f a ++≥恒成立，求a 的取值范围. 【答案】(1) {}|22x x -<<.(2) 22,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.【解析】（1）先由题意得24x x x ++<+，再分别讨论2x -≤，20x -<≤，0x >三种情况，即可得出结果；（2）先由含绝对值不等式的性质，得到()()22f x a f x x a x a ++=++++≥，再由题意，可得22a a ≥+，求解，即可得出结果.【详解】（1）不等式()()24f x f x x +-<+ 可化为24x x x ++<+， 当2x -≤时，224x x --<+ ，2x >-，所以无解； 当20x -<≤时，24x <+ 所以20x -<≤； 当0x >时，224x x +<+，2x < ，所以02x <<，综上，不等式()()24f x f x x +-<+的解集是{}|22x x -<<. （2）因为()()22f x a f x x a x a ++=++++≥又x R ∀∈，使得()()()2f x a f x f a ++≥ 恒成立，则22a a ≥+，()2222a a ≥+，解得223a -≤≤-.所以a 的取值范围为22,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的思想，以及绝对值不等式的性质即可，属于常考题型.。
