2017-2018学年湖南省益阳市桃江一中学高一上学期期中数学试卷和解析

桃江一中2015级高一年级期中考试数学试卷一、选择题 每小题5分，共60分，请将所选答案填在答卷对应题号的空格内.1．若{{}|0,|12A x x B x x =<<=≤<，则A B ⋃=；（A ）{}|0x x ≤ （B ）{}|2x x ≥（C ）{0x ≤≤（D ）{}|02x x <<2．函数()()2log 31x f x =+的值域为A. ()0,+∞B. )0,+∞⎡⎣C. ()1,+∞D. )1,+∞⎡⎣ 3. 2log 510＋log 50.25＝A. 0B. 1C. 2D. 4 4．如果函数f (x )的定义域为[－1,1]，那么函数f (x 2－1)的定义域是A ．[0，2]B ．[－1,1]C ．[－2，2]D ．[－2，2]5．设偶函数f (x )的定义域为R ，当x [0,∈+∞）时f (x )是增函数，则f (-2),f (π),f (-3)的大小关系是A f (π)>f (-3)>f (-2)B f (π)>f (-2)>f (-3)C f (π)<f (-3)<f (-2)D f (π)<f (-2)<f (-3)6．函数()412x xf x +=的图象 A. 关于原点对称 B. 关于直线y =x 对称 C. 关于x 轴对称 D. 关于y 轴对称 7．.方程62ln =+x x 的解一定位于区间A. (1, 2) B (2 , 3) C. (3, 4) D(4, 5)8．某地区的绿化面积每年平均比上一年增长10.4%，经过x 年，绿化面积与原绿化面积之比为y ，则y =f (x )的图象大致为9.a =log 0.70.8, b =log 1.10.9, c =1.10.9,那么A. a <b <cB. a <c <bC. b <a <cD. c <a <b10.已知8)(35-++=bx ax x x f 且10)2(=-f ，那么=)2(fA 、0B 、 －10C 、－18D 、－2611．设函数)(x f =x |x | + b x + c 给出下列四个命题： ①c = 0时，y =)(x f 是奇函数 ②b =0 , c >0时，方程)(x f =0 只有一个实根 ③y =)(x f 的图象关于(0 , c )对称④方程)(x f =0至多两个实根其中正确的命题是A ．①、④B ．①、③C ．①、②、③D ．①、②、④12. 已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有)()1()1(x f x x xf +=+，则)25(f 的值是A. 0B. 21C. 1D. 25二、填空题 每小题5分，共20分，请将答案填在答卷对应题号的横线上 13.函数20.5()log (43)f x x x =--的递增区间是_________.14．设x ∈(0,1)时，幂函数y =x p的图象在直线y =x 的上方，则p 的取值范围是 .15．已知0t >，则函数241t t y t-+=的最小值为_________.16．定义：区间[]()1212,x x x x <的长度为21x x -.已知函数||2x y =的定义域为[],a b ，值域为[]1,2，则区间[],a b 的长度的最大值与最小值的差为_________.DCBA三、解答题 共70分，解题要有推理过程或演算步骤17.(本小题10分)已知{}0822=--∈=x xR x A ，{}01222=-++∈=a ax x R x B ，B 是A的非空子集，求实数a 的值。

2017—2018学年湖南省益阳市桃江一中高一（上）第一次月考数学试卷一、选择题（4*10=40分）1．（4分）已知集合A={x|x≤10｝，a=+,则a与集合A的关系是（）A．a∈A B．a∉A C．a=A D．｛a}∈A2．(4分）若方程x2﹣5x+6=0和方程x2﹣x﹣2=0的解为元素的集合为M,则M中元素的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．43．(4分）已知集合A={x｜x＜2｝，B={x｜3﹣2x＞0}，则（）A．A∩B={x｜x＜} B．A∩B=∅ C．A∪B=｛x｜x＜｝D．AUB=R4．（4分）函数y=的值域是（)A．[﹣1，1］B．（﹣1，1］C．[﹣1，1）D．（﹣1，1) 5．（4分）若函数f（x)的定义域为[0，3］，则函数g(x）=f（x+1)﹣f （x﹣1）的定义域为（）A．［1,2］ B．[﹣1，4] C．[﹣1，2] D．[1,4]6．(4分）已知g（x)=1﹣2x，f［g（x）］=（x≠0）,则f(）等于（）A．15 B．1 C．3 D．307．（4分）已知四个函数的图象如图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是（)A．B． C．D．8．（4分)若函数y=｜x|（1﹣x）在区间A上是增函数,那么区间A 最大为（）A．（﹣∞，0) B．C．[0,+∞）D．9．(4分）已知函数，f（2)=3，则f(﹣2）=（）A．7 B．﹣7 C．5 D．﹣510．（4分）函数f(x）在（﹣∞，+∞）单调递减,且为奇函数．若f （1）=﹣1，则满足﹣1≤f(x﹣2）≤1的x的取值范围是（）A．［﹣2，2］B．［﹣1，1] C．［0，4] D．[1，3］二、填空题（4＊4=16分)11．（4分）有15人进了家电超市，其中有9人买了电视机，有7人买了电脑，两种均买了的有3人，则这两种均没买的有人．12．（4分）已知集合M={x｜x3=x｝，则M的真子集个数为．13．（4分）若函数y=f(x）为偶函数，且在(0,+∞)上是减函数，有f （5）=0，的解集为．14．（4分）已知f（x)=ax2+2ax+1在[﹣2，3］上的最大值为6，则f （x)在[﹣2,3］上的最小值为．三、解答题15．（6分）已知集合A={x｜x2﹣3x﹣10＜0｝，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}．（1)当m=3时，求集合（∁U A）∩B;（2)若A∩B=B，求实数m的取值范围．16．（6分）f(x）是R上的奇函数,且当x＞0时，f（x）=﹣2x2+4x+3（1）求f（x）的解析式(2）求f(x）的单调区间．17．（6分）已知函数f(x）=（1）若f（2）=f（1)，求a的值；（2）若f(x）是R上的增函数,求实数a的取值范围．18．(6分）已知二次函数f（x)=ax2+bx+c(a＜0）方程f（x）+2x=0的两根是1和3，且方程f（x）+6a=0的两个实数根相等．（1)求a、b、c（2）求f（x）在区间[1,2］上的最大值和最小值．19．（10分)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x）=．(1)求m，n的值；（2）用定义证明f（x）在（﹣1,1）上为增函数；（3）若f（x）≤对恒成立，求a的取值范围．20．（10分)已知f（x）=x2+|x﹣a|+1，a∈R（1）试判断f（x）的奇偶性（2）若﹣≤a，求f(x)的最小值．。

2017-2018学年湖南省益阳市桃江一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）设集合A={x|﹣2≤x≤2}，集合B={x|x2﹣2x﹣3＞0}，则A∪B=（）A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）B．（﹣1，2]C．（﹣∞，2]∪（3，+∞）D．[﹣2，﹣1）2．（5分）设复数z满足，则|z|=（）A．5 B．C．2 D．3．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长的棱的长度是（）A．4 B．2 C．6 D．44．（5分）已知函数，若a＜﹣2，b＞2，则“f（a）＞f（b）”是“a+b＜0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n=（）A．5 B．4 C．3 D．26．（5分）各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，数列是首项和公差都为2的等差数列，公比为负数的等比数列{b n}，其首项和公比相等，且数列{|b n|}为等差数列，则数列的前2018项的和为（）A． B．0 C．D．7．（5分）求（x2+2）（）6的展开式的常数项是（）A．15 B．﹣15 C．17 D．﹣178．（5分）任取实数x，y∈[0，1]，则满足的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P 在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）A．[，1]B．[，1]C．[，]D．[，1]10．（5分）两圆x2+y2+2ax+a2﹣4=0和x2+y2﹣4by﹣1+4b2=0恰有三条公切线，若a∈R，B∈R，且ab≠0，则的最小值为（）A．B．C．1 D．311．（5分）已知双曲线Γ：（a＞0，b＞0）的一条渐近线为l，圆C：（x﹣a）2+y2=8与l交于A，B两点，若△ABC是等腰直角三角形，且（其中O为坐标原点），则双曲线Γ的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）若关于x不等式xlnx﹣x3+x2≤ae x恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[e，+∞）B．[0，+∞）C．D．[1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）某沿海四个城市A、B、C、D的位置如图所示，其中∠ABC=60°，∠BCD=135°，AB=80nmile，BC=40+30nmile，CD=250nmile，D位于A的北偏东75°方向．现在有一艘轮船从A出发以50nmile/h的速度向D直线航行，60min 后，轮船由于天气原因收到指令改向城市C直线航行，收到指令时城市C对于轮船的方位角是南偏西θ度，则sinθ=．14．（5分）已知数列{a n}满足a1=，a n+1=（n∈N*），若不等式++ta n≥0恒成立，则实数t的取值范围是．15．（5分）A=，点P∈A，过点P作圆C：（x+2）2+（y+1）2=1的两条切线PA，PB，切点为A，B，则的最小值为．16．（5分）已知函数f（x）=，若对于任意实数x1，x2，x3，均存在以f（x1），f（x2），f（x3）为三边边长的三角形，则实数k的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=4，D在线段AC上，∠DBC=．（1）若△BCD的面积为24，求CD的长；（2）若，且c=12，求CD的长．18．（12分）某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．19．（12分）如图（1）所示，已知正方形AMCD的边长为2，延长AM，使得M 为AB的中点，连接AC．现将△ACD沿AC折起，使得平面ACD⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图（2）所示．（1）求证：BC⊥平面ACD；（2）求平面ACD与平面MCD的夹角的余弦值．20．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与抛物线C的交点为Q，且|QF|=2|PQ|，过F的直线l与抛物线C相交于A，B两点．（1）求C的方程；（2）设AB的垂直平分线l'与C相交于M，N两点，试判断A，M，B，N四点是否在同一个圆上？若在，求出l的方程；若不在，说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=x，函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[﹣1，1]上的减函数．（Ⅰ）求λ的最大值；（Ⅱ）若g（x）＜t2+λt+1在x∈[﹣1，1]上恒成立，求t的取值范围；（Ⅲ）讨论关于x的方程的根的个数．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中．（1）求圆C的普通方程；（2）直线l的极坐标方程是，射线OM的倾斜角为，射线OM与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+1|，不等式f（x）＞4的解集为P．（Ⅰ）求P；（Ⅱ）证明：当m，n∈P时，|mn+4|＞2|m+n|．2017-2018学年湖南省益阳市桃江一中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）设集合A={x|﹣2≤x≤2}，集合B={x|x2﹣2x﹣3＞0}，则A∪B=（）A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）B．（﹣1，2]C．（﹣∞，2]∪（3，+∞）D．[﹣2，﹣1）【解答】解：由x2﹣2x﹣3＞0，解得x＜﹣1或x＞3．∴B={x|x＜﹣1或x＞3}=（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）又集合A={x|﹣2≤x≤2}=[﹣2，2]，∴A∪B=（﹣∞，2]∪（3，+∞）故选：C．2．（5分）设复数z满足，则|z|=（）A．5 B．C．2 D．【解答】解：由，得z+1=z﹣2﹣3i•z+6i，即3i•z=﹣3+6i，∴=，∴|z|=．故选：B．3．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则在该几何体中，最长的棱的长度是（）A．4 B．2 C．6 D．4【解答】解：由几何体的三视图得到几何体是以俯视图为底面的四棱锥，如图：由网格可得AD最长为=；故选：D．4．（5分）已知函数，若a＜﹣2，b＞2，则“f（a）＞f（b）”是“a+b＜0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由2|x|﹣4＞0，解得x＞2或x＜﹣2，关于原点对称．又f（﹣x）=f（x）．可得函数f（x）在定义域内为偶函数．x＞2时，f（x）=5x﹣在（2，+∞）上单调递增．∴a+b＜0⇔2＜b＜﹣a⇔f（b）＜f（﹣a）=f（a），∴“f（a）＞f（b）”是“a+b＜0”的充要条件．故选：C．5．（5分）宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n=（）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：当n=1时，a=，b=4，满足进行循环的条件，当n=2时，a=，b=8满足进行循环的条件，当n=3时，a=，b=16满足进行循环的条件，当n=4时，a=，b=32不满足进行循环的条件，故输出的n值为4，故选：B．6．（5分）各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，数列是首项和公差都为2的等差数列，公比为负数的等比数列{b n}，其首项和公比相等，且数列{|b n|}为等差数列，则数列的前2018项的和为（）A． B．0 C．D．【解答】解：由数列是首项和公差都为2的等差数列，可得，∴，则，当n≥2时，，验证适合上式，∴；设等比数列{b n}的首项为b1，公比为q（q＜0），由题意可知，b1=q，且2|b2|=|b1|+|b3|，∴2q2=﹣q﹣q3，解得b1=q=﹣1．∴，∴，∴的前2018项的和为=．故选：C．7．（5分）求（x2+2）（）6的展开式的常数项是（）A．15 B．﹣15 C．17 D．﹣17=（﹣1）r=（﹣1）r 【解答】解：（）6的展开式的通项公式：T r+1x r﹣6，（r=0，1，2，…，6），分别令r﹣6=0，r﹣6=﹣2，解得r=6，r=4．∴（x2+2）（）6的展开式的常数项是2×+1×=17．故选：C．8．（5分）任取实数x，y∈[0，1]，则满足的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：任取实数x，y∈[0，1]，对应区域为边长是1 的正方形，面积为1，而满足的区域面积为==，所以所求概率为；故选：D．9．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P 在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）A．[，1]B．[，1]C．[，]D．[，1]【解答】解：由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪．不妨取AB=2．在Rt△AOA1中，==．sin∠C1OA1=sin（π﹣2∠AOA1）=sin2∠AOA1=2sin∠AOA1cos∠AOA1=，=1．∴sinα的取值范围是．故选：B．10．（5分）两圆x2+y2+2ax+a2﹣4=0和x2+y2﹣4by﹣1+4b2=0恰有三条公切线，若a∈R，B∈R，且ab≠0，则的最小值为（）A．B．C．1 D．3【解答】解：由题意可得，两圆相外切，两圆的标准方程分别为（x+a）2+y2=4，x2+（y﹣2b）2=1，（0，2b），半径分别为2和1，故有=3，∴a2+4b2=9，圆心分别为（﹣a，0），∴=1，∴+=+=+++≥+2=1，当且仅当=，并且a2+4b2=9时，等号成立，故选：C．11．（5分）已知双曲线Γ：（a＞0，b＞0）的一条渐近线为l，圆C：（x﹣a）2+y2=8与l交于A，B两点，若△ABC是等腰直角三角形，且（其中O为坐标原点），则双曲线Γ的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线Γ：的一条渐近线l的方程为y=x，圆C：（x﹣a）2+y2=8的圆心C（a，0），半径为r=2，由△ABC为等腰直角三角形，可得AB=r=4，设OA=t，由，可得OB=5t，AB=4t，可得t=1，过C作CD⊥AB，且D为AB的中点，OD=3，AB=4，AD=2，C到直线l的距离为CD=，在直角三角形OCD中，CD2=OC2﹣OD2，在直角三角形ACD中，CD2=AC2﹣AD2，即有a2﹣9=8﹣4，解得a=，即有CD=2=，解得b=，c===，e==．故选：D．12．（5分）若关于x不等式xlnx﹣x3+x2≤ae x恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[e，+∞）B．[0，+∞）C．D．[1，+∞）【解答】解：【方法一】设f（x）=xlnx﹣x3+x2，x＞0，则f′（x）=lnx+1﹣3x2+2x，且f′（1）=ln1+1﹣3+2=0，∴1是f（x）的极值点，也是最值点；∴f（x）＜0恒成立，又x＞0时，e x＞1恒成立，∴a的取值范围是[0，+∞）．【方法二】不等式xlnx﹣x3+x2≤ae x可化为lnx﹣x2+x≤，设f（x）=lnx﹣x2+x，g（x）=，其中x＞0；∴f′（x）=﹣2x+1=，令f′（x）=0，解得x=1或x=﹣（舍去），∴x=1时f（x）取得极大值，也是最大值，为0；又g′（x）=a•，令g′（x）=0，解得x=1，∴x=1时g（x）取得极值，也是最值，a≥0时g（x）取得最小值为a；由题意知实数a的取值范围是a≥0．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）某沿海四个城市A、B、C、D的位置如图所示，其中∠ABC=60°，∠BCD=135°，AB=80nmile，BC=40+30nmile，CD=250nmile，D位于A的北偏东75°方向．现在有一艘轮船从A出发以50nmile/h的速度向D直线航行，60min 后，轮船由于天气原因收到指令改向城市C直线航行，收到指令时城市C对于轮船的方位角是南偏西θ度，则sinθ=．【解答】解：由题意，AC==50nmile，60min后，轮船到达D′，AD′=50×1=50nmile∵==，∴cos∠ACD=cos（135°﹣∠ACB）=，∴AD==350，∴cos∠DAC==0，∴∠DAC=90°，∴CD′==100，∴∠AD′C=60°，∴sinθ=sin（75°﹣60°）=，故答案为．14．（5分）已知数列{a n}满足a1=，a n+1=（n∈N*），若不等式++ta n≥0恒成立，则实数t的取值范围是[﹣6，+∞）．=（n∈N*），【解答】解：∵a n+1∴==（n+1）+，即﹣=1，又=2，∴数列{}是以2为首项，1为公差的等差数列，∴=2+（n﹣1）=n+1，∴a n=．∵不等式++ta n≥0恒成立，∴﹣t≤+n+1恒成立，令h（n）=+n+1，则﹣t≤h（n）min．∵h（1）=4+1+1=6，h（2）=6+2+1=9，h（3）=6+3+1=10，h（4）=5+4+1=10，当n≥5时，n+1≥6，h（n）＞6，∴h（n）min=6．∴﹣t≤6，∴t≥﹣6．故答案为：[﹣6，+∞）．15．（5分）A=，点P∈A，过点P作圆C：（x+2）2+（y+1）2=1的两条切线PA，PB，切点为A，B，则的最小值为0．【解答】解：解方程组得R（1，1），解方程组得S（﹣1，1），解方程组得T（0，﹣2）．∵直线l：ax﹣by=1与不等式组表示的平面区域无公共点，∴R，S，T三点在直线l的同侧或在直线l上，∴或，作出P点所在的平面区域如图所示：设C（﹣2，﹣1），∠APC=θ，PC=d，则sinθ=，PA=PB=，cos2θ=1﹣2sin2θ=1﹣，∴=（d2﹣1）（1﹣）=d2+﹣3．由图象可知d的最小值为C（﹣2，﹣1）到直线﹣x﹣y﹣1=0的距离=，d的最大值为|CM|==．∴2≤d2≤．令d2=t，f（t）=t+﹣3，（2≤t≤），则f′（t）=1﹣≥0，∴f（t）在[2，]上单调递增，∴当t=2时，f（t）取得最小值f（2）=0．∴的最小值为0．故答案为：0．16．（5分）已知函数f（x）=，若对于任意实数x1，x2，x3，均存在以f（x1），f（x2），f（x3）为三边边长的三角形，则实数k的取值范围是﹣．【解答】解：因对任意实数x1、x2、x3，都存在以f（x1）、f（x2）、f（x3）为三边长的三角形，故f（x1）+f（x2）＞f（x3）对任意的x1、x2、x3∈R恒成立．f（x）==1+，令t=2x++1≥3，则y=1+（t≥3），当k﹣1＞0，即k＞1时，该函数在[3，+∞）上单调递减，则y∈（1，]，当k﹣1=0，即k=1时，y∈{1}，当k﹣1＜0，即k＜1时，该函数在[3，+∞）上单调递增，y∈[，1），当k＞1时，∵2＜f（x1）+f（x2）≤且1＜f（x3）≤，故≤2，∴1＜k≤4；当k=1时，∵f（x1）=f（x2）=f（x3）=1，满足条件；当k＜1时，∵≤f（x1）+f（x2）＜2，且≤f（x3）＜1，故≥1，∴﹣≤k＜1；综上所述：﹣≤k≤4．故答案为：﹣≤k≤4三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=4，D在线段AC上，∠DBC=．（1）若△BCD的面积为24，求CD的长；（2）若，且c=12，求CD的长．=•BD•BC•=24，【解答】解：（1）由S△BCD解得：BD=12，在△BCD中，CD2=BC2+BD2﹣2BC•BD•cos45°，即CD2=32+BD2﹣8BD，故CD2=32+144﹣8×12，解得：CD=4；（2）∵tanA=，且A∈（0，π），故sinA=，cosA=，由题意得=，即=，解得：sinC=，∵C ∈（0，），∴cosC=， ∴sin ∠BDC=sin （C +）=，在△BCD 中，由正弦定理得=，解得：CD=2．18．（12分）某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．【解答】解：（I ）设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A ， 则P （A ）=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55．（II ）设续保人保费比基本保费高出60%为事件B ， 则．（III ）解：设本年度所交保费为随机变量X ． 则X 的分布列为：∴平均保费EX=0.85a×0.30+0.15a+1.25a+5×0.20+1.5a×0.20+1.75a×0.10+2a×0.05=0.255a+0.15a+0.25a+0.3a+0.175a+0.1a=1.23a，∴平均保费与基本保费比值为1.23．19．（12分）如图（1）所示，已知正方形AMCD的边长为2，延长AM，使得M 为AB的中点，连接AC．现将△ACD沿AC折起，使得平面ACD⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图（2）所示．（1）求证：BC⊥平面ACD；（2）求平面ACD与平面MCD的夹角的余弦值．【解答】证明：（1）由图（1）可知，AC=BC=，AB=4，∴AC2+BC2=AB2，即AC⊥BC，又∵平面ADC⊥平面ABC，且平面ADC∩平面ABC=AC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥平面ACD；解：（2）取AC中点O，连DO，由平面ACD⊥平面ABC知，DO⊥平面ABC，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，则M（0，，0），C（﹣，0，0），D（0，0，），，．设平面CDM的一个法向量为，则，取x=﹣1，得，又=（0，1，0）为平面ACD的一个法向量，则cos＜＞==，∴平面ACD与平面MCD的夹角的余弦值为．20．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与抛物线C的交点为Q，且|QF|=2|PQ|，过F的直线l与抛物线C相交于A，B两点．（1）求C的方程；（2）设AB的垂直平分线l'与C相交于M，N两点，试判断A，M，B，N四点是否在同一个圆上？若在，求出l的方程；若不在，说明理由．【解答】解：（1）设Q（x0，4），代入y2=2px得x0=，∴|PQ|=，|QF|=+x0=+．由题设得+=2×，解得p=﹣4（舍去）或p=4，∴抛物线C的方程为y2=8x．（2）由题设知，l与坐标轴不垂直，且过焦点F（2，0），故可设l的方程为x=my+2（m≠0），代入y2=8x得y2﹣8my﹣16=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=8m，y1y2=﹣16．故AB的中点为D（4m2+2，4m），|AB|=|y1﹣y2|=•=8（m2+1）．又l′⊥l，所以l′的斜率为﹣m，所以l′的方程为x=﹣y+4m2+6．将上式代入y2=8x，并整理得y2+y﹣8（4m2+6）=0，设M（x3，y3），N（x4，y4），则y3+y4=﹣，y3y4=﹣8（4m2+6）．故MN的中点为E（+4m2+6，﹣），|MN|=|y3﹣y4|=•=，由于MN垂直平分AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=|MN|，又在Rt△ADE中，丨AD丨2+丨DE丨2=丨AE丨2，从而|AB|2+|DE|2=|MN|2，即16（m2+1）2+（4m+）2+（+4）2=，化简得m2﹣1=0，m=±1，所以当A，M，B，N四点在同一圆上时，l的方程为x=±y+2，即x±y﹣2=0．21．（12分）已知函数f（x）=x，函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[﹣1，1]上的减函数．（Ⅰ）求λ的最大值；（Ⅱ）若g（x）＜t2+λt+1在x∈[﹣1，1]上恒成立，求t的取值范围；（Ⅲ）讨论关于x的方程的根的个数．【解答】解：（I）∵f（x）=x，∴g（x）=λx+sinx，∵g（x）在[﹣1，1]上单调递减，∴g'（x）=λ+cosx≤0∴λ≤﹣cosx在[﹣1，1]上恒成立，λ≤﹣1，故λ的最大值为﹣1．（II）由题意[g（x）]max=g（﹣1）=﹣λ﹣sinl∴只需﹣λ﹣sinl＜t2+λt+1∴（t+1）λ+t2+sin+1＞0（其中λ≤﹣1），恒成立，令h（λ）=（t+1）λ+t2+sin1+1＞0（λ≤﹣1），则，∴，而t2﹣t+sin1＞0恒成立，∴t＜﹣1又t=﹣1时﹣λ﹣sinl＜t2+λt+1故t≤﹣1（9分）（Ⅲ）由﹣2ex+m．令f1（x）=﹣2ex+m，∵f1′（x）=，当x∈（0，e）时，f1′（x）≥0，∴f1（x）在（0，e]上为增函数；当x∈[e，+∞）时，f1′（x）≤0，∴f1（x）在[e，+∞）为减函数；当x=e时，[f1（x）]max=f1（e）=，而f2（x）=（x﹣e）2+m﹣e2，∴当m﹣e2＞，即m＞时，方程无解；当m﹣e2=，即m=时，方程有一个根；当m﹣e2＜时，m＜时，方程有两个根．（14分）请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中．（1）求圆C的普通方程；（2）直线l的极坐标方程是，射线OM的倾斜角为，射线OM与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【解答】（1）圆C参数方程（φ为参数）知，圆C圆心为（0，2），半径为2．所以：圆C的普通方程为：x2+（y﹣2）2=4 …（4分）（2）极坐标方程是，转化为：，已知：射线OM的倾斜角为，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入x2+（y﹣2）2=4得圆C极坐标方程为ρ=4sinθ．设P（ρ1，θ1），则由，解得…（7分）设Q（ρ2，θ2），则由，解得…（9分）所以|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=3 …（10分）[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+1|，不等式f（x）＞4的解集为P．（Ⅰ）求P；（Ⅱ）证明：当m，n∈P时，|mn+4|＞2|m+n|．【解答】（Ⅰ）解：f（x）=|x﹣1|+|x+1|=，由f（x）的单调性及f（x）＞4，得或，解得x＞2或x＜﹣2．所以不等式f（x）＞4的解集为P={x|x＞2或x＜﹣2}．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知|m|＞2，|n|＞2，所以m2＞4，n2＞4，（mn+4）2﹣4（m+n）2=（m2﹣4）（n2﹣4）＞0，所以（mn+4）2＞4（m+n）2，从而有|mn+4|＞2|m+n|．。

2017-2018学年高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1．集合A={1，2}的非空子集个数为（）A．4 B．2 C．1 D．32．设集合A={x|x＜3}，B={x|2x＞4}，则A∩B=（）A．∅B．{x|0＜x＜3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|2＜x＜3}3．已知角α的终边经过点P（﹣3，4），则sinα的值等于（）A．﹣B．C．D．﹣4．周长为9，圆心角为1rad的扇形面积为（）A．B．C．πD．25．与函数f（x）=|x|表示同一函数的是（）A．f（x）=B．f（x）=C．f（x）=（）2D．f（x）=6．下列函数既是奇函数，又在区间（0，+∞）上是增函数的是（）A．y=x﹣1B．y=x2C．y=lgx D．y=x37．已知函数f（x）=的图象如图所示，则a+b+c=（）A．B．C．3 D．8．已知函数y=f（x）与函数y=e x的图象关于直线y=x对称，函数y=g（x）的图象与y=f（x）的图象关于x轴对称，若g（a）=1，则实数a的值为（）A．﹣e B．C．D．ex+x 的零点依次为a，b，c，则下9．已知三个函数f（x）=2x+x，g（x）=x﹣3，h（x）=log2列结论正确的是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b10．设函数f（x）定义在实数集R上，满足f（1+x）=f（1﹣x），当x≥1时，f（x）=2x，则下列结论正确的是（）A．f（）＜f（2）＜f（）B．f（）＜f（2）＜f（）C．f（）＜f（）＜f（2）D．f（2）＜f（）＜f（）11．已知函数f（x）定义在实数集R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递减，若实数aa）+f（log a）≤2f（﹣1），则a的取值范围是（）满足f（log2A．[2，+∞]∪（﹣∞，] B．（0，]∪[2，+∞）C．[，2] D．（0，]12．已知函数，则函数y=f[f（x）]﹣1的图象与x轴的交点个数为（）A．3个B．2个C．0个D．4个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题纸的横线上，填在试卷上的答案无效.13．f（x）=的定义域为．14．函数f（x）=a x﹣1﹣2恒过定点．15．函数f（x）=lg（﹣x2+2x）的单调递减区间是．16．已知tanα=，，则sinα﹣cosα= ．三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知全集U=R，集合A={x|1≤x＜5}，B={x|2≤x≤8}，C={x|﹣a＜x≤a+3}．A）∩B；（1）求A∪B，（∁R（2）若A∩C=C，求a的取值范围．18．（12分）已知f（α）=+cos（2π﹣α）．（1）化简f（α）；（2）若f（α）=，求+的值．19．（12分）已知函数f（x）=log2（1）判断f（x）的奇偶性并证明；（2）若f（3m+1）＜f（m），求m的取值范围．20．（12分）已知函数g（x）=x2﹣（m﹣1）x+m﹣7．（1）若函数g（x）在[2，4]上具有单调性，求实数m的取值范围；（2）若在区间[﹣1，1]上，函数y=g（x）的图象恒在y=2x﹣9图象上方，求实数m的取值范围．21．（12分）某化工厂生产的一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%．若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？（已知：lg2=0.3010，lg3=0.4771）22．（12分）已知f（x）=ln（e x+1）+ax是偶函数，g（x）=e x﹣be﹣x是奇函数．（1）求a，b的值；（2）判断g（x）的单调性（不要求证明）；（3）若不等式g（f（x））＞g（m﹣x）在[1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．2017-2018学年高一（上）期中试卷（理科数学）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1．集合A={1，2}的非空子集个数为（）A．4 B．2 C．1 D．3【考点】子集与真子集．【分析】若集合A中有n个元素，则集合A中有2n﹣1个真子集．【解答】解：集合{1，2}的子集的个数为22=4个，去掉空集，得到集合{1，2}的非空子集的个数为22﹣1=3个．故选：D．【点评】本题考查子集的概念和应用，解题时要熟记若集合A中有n个元素，则集合A中有2n个子集，有2n﹣1个真子集．2．设集合A={x|x＜3}，B={x|2x＞4}，则A∩B=（）A．∅B．{x|0＜x＜3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|2＜x＜3}【考点】交集及其运算．【分析】求解指数不等式化简集合B，然后直接利用交集运算求解【解答】解：∵B={x|2x＞4}={x|x＞2}，又A={x|x＜3}，∴A∩B={x|2＜x＜3}，故选：D【点评】本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式及指数不等式的解法，是基础的计算题．3．已知角α的终边经过点P（﹣3，4），则sinα的值等于（）A．﹣B．C．D．﹣【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由任意角的三角函数的定义可得x=﹣3，y=4，r=5，由此求得sinα=的值．【解答】解：∵已知角α的终边经过点P（﹣3，4），由任意角的三角函数的定义可得x=﹣3，y=4，r=5，∴sinα==，故选C．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，4．周长为9，圆心角为1rad的扇形面积为（）A．B．C．πD．2【考点】扇形面积公式．【分析】根据扇形的面积公式进行求解，即可得出结论．【解答】解：设扇形的半径为r，弧长为l，则l+2r=9，∵圆心角为1rad的弧长l=r，∴3r=9，则r=3，l=3，则对应的扇形的面积S=lr=×3=，故选A．【点评】本题主要考查扇形的面积计算，根据扇形的面积公式和弧长公式是解决本题的关键．5．与函数f（x）=|x|表示同一函数的是（）A．f（x）=B．f（x）=C．f（x）=（）2D．f（x）=【考点】判断两个函数是否为同一函数．【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数．【解答】解：对于A，函数f（x）==|x|（x≠0），与函数f（x）=|x|（x∈R）的定义域不同，所以不是同一函数；对于B，函数f（x）==|x|（x∈R），与函数f（x）=|x|（x∈R）的定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数；对于C，函数f（x）==x（x≥0），与函数f（x）=|x|（x∈R）的定义域不同，对应关系也不同，所以不是同一函数；对于D，函数f（x）==x（x∈R），与函数f（x）=|x|（x∈R）的对应关系不同，所以不是同一函数．故选：B．【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题目．6．下列函数既是奇函数，又在区间（0，+∞）上是增函数的是（）A．y=x﹣1B．y=x2C．y=lgx D．y=x3【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．【解答】解：A．y=x﹣1为奇函数，在（0，+∞）上是减函数，不满足条件．B．y=x2是偶函数，当x＞0时，函数为增函数，不满足条件．C．y=lgx定义域为（0，+∞），函数为非奇非偶函数，不满足条件．D．y=x3是奇函数，在（﹣∞，+∞）上是增函数，满足条件．故选：D【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数奇偶性和单调性的性质．7．已知函数f（x）=的图象如图所示，则a+b+c=（）A．B．C．3 D．【考点】函数的图象．【分析】先由图象可求得直线的方程，又函数的图象过点（0，2），将其坐标代入可得c值，从而即可求得a+b+c的值．【解答】解：由图象可求得直线的方程为y=2x+2，（x+）的图象过点（0，2），又函数y=logc将其坐标代入可得c=，所以a+b+c=2+2+=．故选：B【点评】本题考查了函数图象的识别和应用，属于基础题．8．已知函数y=f（x）与函数y=e x的图象关于直线y=x对称，函数y=g（x）的图象与y=f（x）的图象关于x轴对称，若g（a）=1，则实数a的值为（）A．﹣e B．C．D．e【考点】指数函数的图象与性质．【分析】根据y=f（x）与y=e x的图象关于直线y=x对称，求出f（x），再根据y=g（x）的图象与y=f（x）的图象关于x轴对称，求出y=g（x），再列方程求a的值即可．【解答】解：函数y=f（x）与函数y=e x的图象关于直线y=x对称，∴f（x）=lnx，函数y=g（x）的图象与y=f（x）的图象关于x轴对称，∴y=﹣lnx，∴g（a）=﹣lna=1，a=．故选：C．【点评】本题考查了函数图象对称的应用问题，是基础题目．x+x 的零点依次为a，b，c，则下9．已知三个函数f（x）=2x+x，g（x）=x﹣3，h（x）=log2列结论正确的是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据零点存在定理，分别求三个函数的零点，判断零点的范围，再判断函数的单调性，确定函数的零点的唯一性，从而得到结果．【解答】解：函数f（x）=2x+x，f（﹣1）=﹣1=﹣＜0，f（0）=1＞0，可知函数的零点a ＜0；令g（x）=x﹣3=0得，b=3；函数h（x）=logx+x=0，h（）=﹣1+=﹣＜0，h（1）=1＞0，2∴函数的零点满足＜c＜1，∵f（x）=2x+x，g（x）=x﹣3，h（x）=logx+x在定义域上是增函数，2∴函数的零点是唯一的，则a＜c＜b，故选：B．【点评】本题考查的重点是函数的零点及个数的判断，基本初等函数的单调性的应用，解题的关键是利用零点存在定理，确定零点的值或范围．10．设函数f（x）定义在实数集R上，满足f（1+x）=f（1﹣x），当x≥1时，f（x）=2x，则下列结论正确的是（）A．f（）＜f（2）＜f（）B．f（）＜f（2）＜f（）C．f（）＜f（）＜f（2）D．f（2）＜f（）＜f（）【考点】抽象函数及其应用．【分析】由已知得函数f（x）的图象关于直线x=1对称，⇒函数f（x）在（1，+∞）上递增，在（﹣∞，1）上递减，⇒f（）＜f（）＜f（0），及f（）＜f（）＜f（2）．【解答】解：函数f（x）定义在实数集R上，且满足f（1+x）=f（1﹣x），∴函数f（x）的图象关于直线x=1对称，∴f（2）=f（0）．又∵当x≥1时，f（x）=2x，∴函数f（x）在（1，+∞）上递增，在（﹣∞，1）上递减，∴f （）＜f （）＜f （0），及f （）＜f （）＜f （2）．故选：C ．【点评】本题考查了函数的对称性及单调性，属于中档题．11．已知函数f （x ）定义在实数集R 上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递减，若实数a满足f （log 2a ）+f （log a ）≤2f （﹣1），则a 的取值范围是（ ）A ．[2，+∞]∪（﹣∞，]B ．（0，]∪[2，+∞）C ．[，2]D ．（0，]【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由偶函数的性质将f （log 2a ）+f （log a ）≤2f （﹣1），化为：f （log 2a ）≤f （1），再由f （x ）的单调性列出不等式，根据对数函数的性质求出a 的取值范围．【解答】解：因为函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，所以f （log a ）=f （﹣log 2a ）=f （log 2a ），则f （log 2a ）+f （loga ）≤2f （﹣1），为：f （log 2a ）≤f （1）， 因为函数f （x ）在区间[0，+∞）上单调递减，所以|log 2a|≥1，解得0＜a ≤或a ≥2，则a 的取值范围是（0，]∪[2，+∞）故选：B ．【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的应用，以及对数函数的性质，属于中档题．12．已知函数，则函数y=f[f （x ）]﹣1的图象与x 轴的交点个数为（ ） A ．3个 B ．2个 C ．0个 D ．4个【考点】函数的图象．【分析】函数y=f[f （x ）]﹣1的图象与x 轴的交点个数即为f[f （x ）]﹣1=0的解得个数，根据函数解析式的特点解得即可，【解答】解：y=f[f （x ）]﹣1=0，即f[f （x ）]=1，当f（x）+1=1时，即f（x）=0时，此时log2x=0，解得x=1，或x+1=0，解得x=﹣1，当log2f（x）=1时，即f（x）=2时，此时x+1=2，解得x=1（舍去），或log2x=2，解得x=4，综上所述函数y=f[f（x）]﹣1的图象与x轴的交点个数为3个，故选：A．【点评】此题考查的是函数于函数图象交点个数的问题．在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思想、问题转化的思想．值得同学们体会反思．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题纸的横线上，填在试卷上的答案无效.13．f（x）=的定义域为[﹣1，1）∪（1，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据函数f（x）的解析式，列出不等式组，求出解集即可．【解答】解：要使函数f（x）=有意义，应满足，即，解得x≥﹣1且x≠1；所以函数f（x）的定义域为[﹣1，1）∪（1，+∞）．故答案为：[﹣1，1）∪（1，+∞）．【点评】本题考查了根据函数解析式求定义域的应用问题，是基础题目．14．函数f（x）=a x﹣1﹣2恒过定点（1，﹣1）．【考点】指数函数的单调性与特殊点．【分析】根据指数函数的性质进行求解．【解答】解：令x﹣1=0得x=1，此时f（1）=1﹣2=﹣1．故函数f（x）=a x﹣1﹣2恒过定点（1，﹣1）．故答案为：（1，﹣1）．【点评】本题主要考查指数函数的图象和性质，利用指数函数过定点，是解决本题的关键．15．函数f（x）=lg（﹣x2+2x）的单调递减区间是[1，2）．【考点】复合函数的单调性．【分析】令t=﹣x2+2x＞0，求得函数的定义域，根据f（x）=g（t）=lgt，故本题即求函数t 的减区间．再利用二次函数的性质，得出结论．【解答】解：令t=﹣x2+2x＞0，求得0＜x＜2，故函数的定义域为（0，2），则f（x）=g（t）=lgt，故本题即求函数t的减区间．利用二次函数的性值可得令t=﹣x2+2x在定义域内的减区间为[1，2），故答案为：[1，2）．【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，属于中档题．16．已知tanα=，，则sinα﹣cosα= ．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】根据同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，求得sinα、cosα的值，可得sinα﹣cosα的值．【解答】解：∵tanα==，，sin2α+cos2α=1，∴sinα=﹣，cosα=﹣，∴sinα﹣cosα=，故答案为：．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）（2016秋•扶余县校级期中）已知全集U=R，集合A={x|1≤x＜5}，B={x|2≤x ≤8}，C={x|﹣a＜x≤a+3}．（1）求A∪B，（∁A）∩B；R（2）若A∩C=C，求a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算．【分析】（1）直接利用并集、补集和交集的概念求解；（2）由C∩A=C，∴C⊆A，然后分C为空集和不是空集分类求解a的范围，最后取并集．【解答】解：（1）A∪B={x|1≤x≤8}，∁R A═{x|x≥5或x＜1}，（∁RA）∩B═{x|5≤x≤8}，（2）∵A∩C=C，∴C⊆A当C=∅时 a+3＜﹣a解得a≤﹣当C≠∅时解得：﹣综上所述：a≤﹣1【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，考查了集合间的关系，解答的关键是端点值的取舍，是基础题．18．（12分）（2016秋•扶余县校级期中）已知f（α）=+cos（2π﹣α）．（1）化简f（α）；（2）若f（α）=，求+的值．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】（1）利用诱导公式即可化简求值得解．（2）将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式可求sinαcosα的值，即可化简所求计算得解．【解答】解：（1）f（α）=+cosα=sinα+cosα．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）∵f（α）=sinα+cosα=，∴1+2sinαcosα=，∴sinαcosα=﹣，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∴+==﹣．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．19．（12分）（2016秋•扶余县校级期中）已知函数f（x）=log2（1）判断f（x）的奇偶性并证明；（2）若f（3m+1）＜f（m），求m的取值范围．【考点】复合函数的单调性；函数奇偶性的判断；对数函数的图象与性质．【分析】（1）f（x）为奇函数，结合对数的运算性质和奇偶性的定义，可得答案．（2）根据复合函数的单调性“同增异减”的原则，可得f（x）在定义域（﹣1，1）上是减函数，则f（3m+1）＜f（m）可化为：﹣1＜m＜3m+1＜1，解得答案．【解答】解：（1）f（x）为奇函数，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）证明如下：因为，定义域为（﹣1，1）关于原点对称﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣f（﹣x）=，∴f（x）+f（﹣x）=0，即f（﹣x）=﹣f（x），故f（x）为奇函数﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）令u==﹣1为（﹣1，1）上的减函数，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）由复合函数的单调性可知f（x）在定义域（﹣1，1）上是减函数，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）所以f（3m+1）＜f（m）可化为：﹣1＜m＜3m+1＜1，解得：＜m＜0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】本题考查的知识点是复合函数的单调性，函数的奇偶性，对数函数的图象和性质，难度中档．20．（12分）（2016秋•扶余县校级期中）已知函数g（x）=x2﹣（m﹣1）x+m﹣7．（1）若函数g（x）在[2，4]上具有单调性，求实数m的取值范围；（2）若在区间[﹣1，1]上，函数y=g（x）的图象恒在y=2x﹣9图象上方，求实数m的取值范围．【考点】二次函数的性质；函数单调性的判断与证明．【分析】（1）求出函数的对称轴，根据二次函数的单调性求出m的范围即可；（2）问题转化为x2﹣（m+1）x+m+2＞0对任意x∈[﹣1，1]恒成立，设h（x）=x2﹣（m+1）x+m+2，求出函数的对称轴，通过讨论对称轴的范围，求出m的范围即可．【解答】解：（1）对称轴x=，且图象开口向上．若函数g（x）在[2，4]上具有单调性，则满足≤2或≥4，解得：m≤5或m≥9；（2）若在区间[﹣1，1]上，函数y=g（x）的图象恒在y=2x﹣9图象上方，则只需：x2﹣（m﹣1）x+m﹣7＞2x﹣9在区间[﹣1，1]恒成立，即x2﹣（m+1）x+m+2＞0对任意x∈[﹣1，1]恒成立，设h（x）=x2﹣（m+1）x+m+2其图象的对称轴为直线x=，且图象开口向上①当≥1即m≥1时，h（x）在[﹣1，1]上是减函数，=h（1）=2＞0，所以h（x）min所以：m≥1；②当﹣1＜＜1，即﹣3＜m＜1，函数h（x）在顶点处取得最小值，=h（）=m+2﹣＞0，解得：1﹣2＜m＜1；即h（x）min③当≤﹣1即m≤﹣3时，h（x）在[﹣1，1]上是增函数，所以，h（x）min=h（﹣1）=2m+4＞0，解得：m＞﹣2，此时，m∈∅；综上所述：m＞1﹣2．【点评】本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性以及分类讨论思想，是一道中档题．21．（12分）（2014秋•增城市期末）某化工厂生产的一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%．若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？（已知：lg2=0.3010，lg3=0.4771）【考点】指数函数的实际应用．【分析】设出过滤次数，由题意列出基本不等式，然后通过求解指数不等式得n的取值．【解答】解：设过滤n次，则，即，∴n≥．又∵n∈N，∴n≥8．即至少要过滤8次才能达到市场要求．【点评】本题考查了等比数列，考查了等比数列的通项公式，训练了指数不等式的解法，是基础题．22．（12分）（2016秋•扶余县校级期中）已知f（x）=ln（e x+1）+ax是偶函数，g（x）=e x ﹣be﹣x是奇函数．（1）求a，b的值；（2）判断g（x）的单调性（不要求证明）；（3）若不等式g（f（x））＞g（m﹣x）在[1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】（1）根据函数奇偶性的性质即可求a，b的值；（2）根据指数函数的单调性即可判断g（x）的单调性；（3）根据函数的单调性将不等式g（f（x））＞g（m﹣x）在[1，+∞）上恒成立，进行转化，即可求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=ln（e x+1）﹣ax是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即f（﹣x）﹣f（x）=0，则ln（e﹣x+1）+ax﹣ln（e x+1）+ax=0，ln（e x+1）﹣x+2ax﹣ln（e x+1）=0，则（2a﹣1）x=0，即2a﹣1=0，解得a=．若g（x）=e x﹣be﹣x是奇函数．则g（0）=0，即1﹣b=0，解得b=1；（2）∵b=1，∴g（x）=e x﹣e﹣x，则g（x）单调递增；（3）由（II）知g（x）单调递增；则不等式g（f（x））＞g（m﹣x）在[1，+∞）上恒成立，等价为f（x）＞m﹣x在[1，+∞）上恒成立，即ln（e x+1）﹣x＞m﹣x在[1，+∞）上恒成立，则m＜ln（e x+1）+x，设m（x）=ln（e x+1）+x，则m（x）在[1，+∞）上单调递增。