益阳市桃江县2019-2020年高二下期末统考数学试题(文)含答案

湖南省益阳市2019-2020学年数学高二第二学期期末综合测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知具有线性相关关系的五个样本点A 1（0,0），A 2（2,2），A 3（3,2），A 4（4,2）A 5（6,4），用最小二乘法得到回归直线方程l 1:y=bx+a ，过点A 1,A 2的直线方程l 2:y=mx+n 那么下列4个命题中(1) ,m b a n >>；(2)直线1l 过点3A ； (3)()()552211i i i i i i y bx a y mx n ==--≥--∑∑； (4) 5511i i i i i i y bx a y mx n ==--≥--∑∑. （参考公式()()55115522211()i i i i i i i i i i x y nxyx x y y b x nx x x ====---==--∑∑∑∑，a y bx =-）正确命题的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B【解析】分析：先求均值，再代公式求b,a ，再根据最小二乘法定义判断命题真假. 详解：因为023********,255x y ++++++++==== ，所以直线1l 过点3A ； 因为515221i ii i i x y nxy b x nx ==-=-∑∑，所以0.6b = 因为a y bx =-，所以0.2a =，因为过点A 1,A 2的直线方程，所以2:l y x = ，即,m b a n >>；根据最小二乘法定义得()()552211 i i i i i i y bx a y mx n ==----∑∑； (4) 5511 i i i i i i y bx a y mx n ==----∑∑.因此只有（1）（2）正确，选B. 点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求,a b ，写出回归方程，回归直线方程恒过点(,)x y .2．下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ）A ．1y x=- B ．12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭ C ．3y x = D ．2log y x =【答案】C【解析】【分析】根据函数奇偶性定义，代入-x 检验即可判断是奇函数或偶函数；根据基本初等函数的图像即可判断函数是否为增函数．【详解】A ．1y x=-在定义域上既不是增函数，也不是减函数； B ．12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在定义域上既不是偶函数，也不是奇函数； C ．3y x = 在其定义域上既是奇函数又是增函数；D ．2log y x =在定义域上既不是偶函数，也不是奇函数，故选C ．【点睛】本题考查了函数的奇偶性及单调性的简单应用，属于基础题．3．对于椭圆22(,)221(,0,):a b x y C a b a b a b +=>≠，若点()00,x y 满足2200221x v a b+<，则称该点在椭圆内，在平面直角坐标系中，若点A 在过点(2,1)的任意椭圆内或椭圆上，则满足条件的点A 构成的图形为（ ） A ．三角形及其内部B ．矩形及其内部C ．圆及其内部D ．椭圆及其内部【答案】B【解析】【分析】由(2,1)P 在椭圆上，根据椭圆的对称性，则P 关于坐标轴和原点的对称点(2,1),(2,1),(2,1)B C D ----都在椭圆上，即可得结论．【详解】设00(,)A x y 在过(2,1)P 的任意椭圆(,)a b C 内或椭圆(,)a b C 上， 则22411a b +=，2200221x y a b +≤，即22002222411x y a b a b +≤+=， 由椭圆对称性知，(2,1),(2,1),(2,1)B C D ----都在任意椭圆上，∴满足条件的A 点在矩形PBCD 上及其内部，故选：B ．【点睛】本题考查点到椭圆的位置关系．考查椭圆的对称性．由点(,)P m n 在椭圆上，则(,),(,),(,)B m n C m n D m n ----也在椭圆上，这样过P 点的所有椭圆的公共部分就是矩形PBCD 及其内部．4．考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于( )A．175B．275C．375D．475【答案】D【解析】【分析】先求出基本事件总数，再列举出所得的两条直线相互平行但不重合的个数，利用古典概型公式即可得解. 【详解】甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，共有22 661515225C C⋅=⨯=种不同取法，其中所得的两条直线相互平行但不重合有//,//,//,AC DB AD CB AE BF//,//,//AF BE CE FD CF ED共12对，所以所求概率为12422575p==，选D.【点睛】本题主要考查了古典概型的计算，涉及空间直线平行的判断，属于中档题.5．地球半径为R,北纬45°圈上A,B两点分别在东径130°和西径140°,并且北纬45°圈小圆的圆心为O´,则在四面体O-ABO´中，直角三角形有（）A．0个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】【分析】画图标注其位置，即可得出答案。

2019-2020学年湖南省益阳市桃江县高二第二学期期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．已知集合A＝{x|1≤x≤4}，B＝{x∈N*|x2﹣2x≤3}，则A∩B＝（）A．{x|1≤x≤3}B．{x|0≤x≤3}C．{1，2，3}D．{0，1，2，3} 2．“x＜2”是“lgx＜lg2”的条件（）A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分又不必要3．若双曲线C：＝1的离心率为，则C的虚轴长为（）A．4B．2C．2D．24．已知x＝lg2，y＝ln3，z＝log23，则（）A．x＜z＜y B．z＜y＜x C．x＜y＜z D．z＜x＜y5．函数y＝2|x|sin2x的图象可能是（）A．B．C．D．6．两个不同的小球要放到编号分别为1，2，3，4，5，6的盒子中，每个盒子中最多放入一个小球，则放入小球的盒子的编号不连续的概率为（）A．B．C．D．7．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈[0，+∞）时，f（x）＝x2+2x，若实数m满足f（log2m）≤3，则m的取值范围是（）A．（0，2]B．[，2]C．（0，8]D．[，8]8．已知数列{a n}是等比数列，S n为其前n项和，若a1+a2+a3＝4，a4+a5+a6＝8，则S12＝（）A．40B．60C．32D．509．已知菱形ABCD边长为4，∠DAB＝60°，M为CD的中点，N为平面ABCD内一点，且满足AN＝NM，则的值为（）A．B．16C．14D．810．若函数f（x）＝sin2x的图象向右平移个单位得到的图象对应的函数为g（x），则下列说法正确的是（）A．g（x）的图象关于对称B．g（x）在[0，π]上有2个零点C．g（x）在区间上单调递减D．g（x）在上的值域为二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．11．设公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，若S17＝S18，则下列各式的值为0的是（）A．a17B．S35C．a17﹣a19D．S19﹣S1612．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，且|F1F2|＝2，点P （1，1）在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（）A．|QF1|+|QP|的最小值为2a﹣1B．椭圆C的短轴长可能为2C．椭圆C的离心率的取值范围为D．若，则椭圆C的长轴长为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分；其中第16小题，第一空2分，第二空3分．13．已知平面向量＝（1，2），＝（4，m），若⊥，则||＝．14．已知a＞1，则a+的最小值为．15．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BB1的中点，则异面直线A1E与AC1所成角的余弦值为．16．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，点P为准线l上一点，且不在x轴上，直线PF交抛物线C于A，B两点，且，则|AB|＝；设坐标原点为O，则△AOB的面积为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）＝log a（a x﹣1）（a＞0且a≠1）．（1）求f（x）的定义域；（2）解关于x的不等式f（x）＜f（1）．18．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a sin（A+C﹣B）＝b sin（B+C）．（1）求角B的大小；（2）已知2a+c＝6，且a＜c，若△ABC的面积为，求b边的长以及△ABC外接圆的半径R．19．一饮料店制作了一款新饮料，为了进行合理定价先进行试销售，其单价x（元）与销量y（杯）的相关数据如表：单价x（元）8.599.51010.5销量y（杯）120110907060（Ⅰ）已知销量y与单价x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；（Ⅱ）若该款新饮料每杯的成本为8元，试销售结束后，请利用（Ⅰ）所求的线性回归方程确定单价定为多少元时，销售的利润最大？（结果保留到整数）参考公式：线性回归方程＝x中斜率和截距最小二乘法估计计算公式：＝，＝﹣，参考数据：x i y i＝4195，x i2＝453.75．20．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝，D，E分别是棱CC1，BB1的中点．（1）证明：B1D⊥平面A1C1E；（2）求二面角B1﹣A1D﹣A的余弦值．21．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，S6＝﹣7S3，且a2，1，a3成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝|a n﹣1|，求数列{b n}的前2n项的和T2n．22．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，且经过点A（，）．（1）求椭圆C的方程；（2）若不过坐标原点的直线l与椭圆C相交于M、N两点，且满足，求△MON面积最大时直线l的方程．参考答案一、单项选择题（共10小题）.1．已知集合A＝{x|1≤x≤4}，B＝{x∈N*|x2﹣2x≤3}，则A∩B＝（）A．{x|1≤x≤3}B．{x|0≤x≤3}C．{1，2，3}D．{0，1，2，3}【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：∵集合A＝{x|1≤x≤4}，B＝{x∈N*|x2﹣2x≤3}＝{x∈N*|﹣1≤x≤3}＝{1，2，3}，∴A∩B＝{1，2，3}．故选：C．2．“x＜2”是“lgx＜lg2”的条件（）A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分又不必要【分析】由对数函数的性质结合充分必要条件的判定得答案．解：由x＜2不一定得到lgx＜lg2，原因是当x＜0时lgx无意义，反之，由lgx＜lg2可得x＜2．∴“x＜2”是“lgx＜lg2”的必要不充分条件．故选：B．3．若双曲线C：＝1的离心率为，则C的虚轴长为（）A．4B．2C．2D．2【分析】通过双曲线的离心率求出m，然后求解双曲线的虚轴长即可．解：双曲线C：＝1的离心率为，可得e＝＝＝，解得m＝6，故C的虚轴长为2．故选：B．4．已知x＝lg2，y＝ln3，z＝log23，则（）A．x＜z＜y B．z＜y＜x C．x＜y＜z D．z＜x＜y 【分析】利用对数函数的性质求解．解：∵x＝lg2＜1，y＝ln3＞1，z＝log23＞1，所以x最小，又∵y＝，z＝，而lge＞lg2，∴x＜y＜z，故选：C．5．函数y＝2|x|sin2x的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】直接利用函数的图象和性质求出结果．解：根据函数的解析式y＝2|x|sin2x，得到：函数的图象为奇函数，故排除A和B．当x＝时，函数的值也为0，故排除C．故选：D．6．两个不同的小球要放到编号分别为1，2，3，4，5，6的盒子中，每个盒子中最多放入一个小球，则放入小球的盒子的编号不连续的概率为（）A．B．C．D．【分析】基本事件总数n＝＝15，利用列举法求出放入小球的盒子的编号连续包含的基本事件有5个，由此能求出放入小球的盒子的编号不连续的概率．解：两个不同的小球要放到编号分别为1，2，3，4，5，6的盒子中，每个盒子中最多放入一个小球，基本事件总数n＝＝15，放入小球的盒子的编号连续包含的基本事件有：（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），（5，6），共5个，则放入小球的盒子的编号不连续的概率为p＝1﹣＝．故选：A．7．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈[0，+∞）时，f（x）＝x2+2x，若实数m 满足f（log2m）≤3，则m的取值范围是（）A．（0，2]B．[，2]C．（0，8]D．[，8]【分析】根据题意，由函数的解析式可得f（x）在区间[0，+∞）上为增函数，结合奇函数的性质可得f（x）在R上为增函数，据此可得f（log2m）≤3⇒f（log2m）≤f（1）⇒log2m ≤1，解可得m的取值范围，即可得答案．解：根据题意，当x∈[0，+∞）时，f（x）＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，则f（x）在区间[0，+∞）上为增函数，又由函数f（x）是定义在R上的奇函数，则f（x）在（﹣∞，0]上为增函数，则f（x）在R上为增函数，又由当x∈[0，+∞）时，f（x）＝x2+2x，则f（1）＝1+2＝3，则f（log2m）≤3⇒f（log2m）≤f（1）⇒log2m≤1，解可得0＜m≤2，即m的取值范围为（0，2]；故选：A．8．已知数列{a n}是等比数列，S n为其前n项和，若a1+a2+a3＝4，a4+a5+a6＝8，则S12＝（）A．40B．60C．32D．50【分析】由已知结合等比数列的性质可知，a4+a5+a6＝q3（a1+a2+a3）＝8，从而可求q3，然后代入即可求解．解：∵数列{a n}是等比数列，a1+a2+a3＝4，a4+a5+a6＝q3（a1+a2+a3）＝8，∴q3＝2，则S12＝a1+a2+a3+a4+a5+a6+…+a10+a11+a12＝4+8+16+32＝60．故选：B．9．已知菱形ABCD边长为4，∠DAB＝60°，M为CD的中点，N为平面ABCD内一点，且满足AN＝NM，则的值为（）A．B．16C．14D．8【分析】取AM中点O，结合平面向量的线性运算及向量数量积的性质即可求解．解：取AM中点O，连接ON，因为AN＝NM，所以ON⊥AM，即＝0，因为，∠DAB＝60°，所以∠MDA＝120°，所以＝（）2＝＝4+16﹣2×＝28，则＝＝＝＝14故选：C．10．若函数f（x）＝sin2x的图象向右平移个单位得到的图象对应的函数为g（x），则下列说法正确的是（）A．g（x）的图象关于对称B．g（x）在[0，π]上有2个零点C．g（x）在区间上单调递减D．g（x）在上的值域为【分析】首先利用函数关系式的平移变换的应用求出g（x）的关系式，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果．解：函数f（x）＝sin2x的图象向右平移个单位得到的图象对应的函数为g（x）＝sin[2（x﹣）]＝sin（2x﹣）＝sin（2x+），所以对于选项A：当x＝时，g（x）≠±1，故A错误．对于选项B：当（k∈Z），整理得，（k∈Z），当k＝1时，x ＝，当k＝2时，x＝时，函数g（x）＝0，故选项B正确．对于选项C：，所以，故函数在该区间内有增有减，故错误．对于选项D：x，所以，所以函数g（x）的值域为[﹣1，]，故错误．故选：B．二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．11．设公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，若S17＝S18，则下列各式的值为0的是（）A．a17B．S35C．a17﹣a19D．S19﹣S16【分析】设{a n}的首项为a1，公差为d，由S17＝S18，即17a1+d＝18a1+d，得a1＝﹣17d，可得：a n，S n，即可判断出结论．解：设{a n}的首项为a1，公差为d，由S17＝S18，即17a1+d＝18a1+d，得a1＝﹣17d，∴a n＝（n﹣18）d，S n＝＝d，所以a18＝0，S35＝0．a17﹣a19＝﹣d﹣d＝﹣2d，S19﹣S16＝d﹣d＝0．故选：BD．12．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，且|F1F2|＝2，点P（1，1）在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（）A．|QF1|+|QP|的最小值为2a﹣1B．椭圆C的短轴长可能为2C．椭圆C的离心率的取值范围为D．若，则椭圆C的长轴长为【分析】由焦距的值及P的坐标可得PF2⊥x轴，由椭圆的定义到左焦点的距离转化为到右焦点的距离，当P，F2，Q三点共线时|QP|+|QF1|取到最小值，因为P在椭圆内可得b＞1，可得短轴长大于2，由P在椭圆内可得长轴长2a大于|PF1|+|PF2|，进而可得椭圆的离心率的范围；，可得F1为PQ的中点，由P，F1的坐标求出Q的坐标，进而由两点间的距离求出长轴长2a＝|QF1|+|QF2|的值．解：由|F1F2|＝2可得：F2（1，0），所以PF2⊥x轴，A中，|QF1|+|QP|＝2a﹣|QF2|+|QP|＝2a﹣（|QF2|﹣|QP|）≥2a﹣|PF2|＝2a﹣1，当且仅当Q，P，F2三点共线时，取到最小值为2a﹣1，所以A正确；B中，因为P在椭圆内，b＞1，所以短轴长2b＞2，故B不正确；C中，因为P在椭圆内，所以长轴长2a＞|PF1|+|PF2|＝1+，所以离心率e＝＜＝，所以e∈（0，），所以C不正确；D中，因为，所以F1为PQ的中点，而F1（﹣1，0），F2（1，0），P（1，1），所以Q（﹣3，﹣1），所以长轴长2a＝|QF1|+|QF2|＝+＝+，所以D 正确，故选：AD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分；其中第16小题，第一空2分，第二空3分．13．已知平面向量＝（1，2），＝（4，m），若⊥，则||＝2．【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，求出m的值，再根据向量的模的定义，求得结果．解：∵平面向量＝（1，2），＝（4，m），若⊥，则•＝4+2m＝0，∴m＝﹣2，则||＝＝2，故答案为：2．14．已知a＞1，则a+的最小值为5．【分析】由a+＝a﹣1++1，然后结合基本不等式即可求解．解：因为a＞1，则a+＝a﹣1++1＝5，当且仅当a﹣1＝即a＝3时取等号，故答案为：515．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BB1的中点，则异面直线A1E与AC1所成角的余弦值为．【分析】以D为原点，建立空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能求出异面直线A1E 与AC1所成角的余弦值．解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BB1的中点，以D为原点，建立空间直角坐标系D﹣xyz，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，则A1（2，0，2），E（2，2，1），A（2，0，0），C1（0，2，2），＝（0，2，﹣1），＝（﹣2，2，2），设异面直线A1E与AC1所成角为θ，则cosθ＝＝＝．∴异面直线A1E与AC1所成角的余弦值为．故答案为：．16．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，点P为准线l上一点，且不在x轴上，直线PF交抛物线C于A，B两点，且，则|AB|＝9；设坐标原点为O，则△AOB的面积为6．【分析】先根据题意写出直线的方程，再将直线的方程与抛物线y2＝8x的方程组成方程组，消去y得到关于x的二次方程，最后利用根与系数的关系结合抛物线的定义即可求线段AB的长，即可求出三角形的面积．解：抛物线C：y2＝8x的焦点为F（2，0），准线为l：x＝﹣2，设A（x1，y1），B（x2，y2），由抛物线的定义可知|AF|＝AD＝x1+2，|BF|＝x2+2，于是|AB|＝|AF|+|BF|＝x1+x2+4．∵＝3，∴|PA|＝3|AD|，∴|PD|＝2|AD|，∴直线PF的斜率为±2，∵F（2，0），∴直线PF的方程为y＝±2（x﹣2），将y＝±2（x﹣2），代入方程y2＝8x，得8（x﹣2）2＝8x，化简得x2﹣5x+4＝0，∴x1+x2＝5，于是|AB|＝x1+x2+4＝9，则点O到直线AB的距离d＝，∴S△AOB＝|AB|•d＝×9×＝6故答案为：9，6．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）＝log a（a x﹣1）（a＞0且a≠1）．（1）求f（x）的定义域；（2）解关于x的不等式f（x）＜f（1）．【分析】（1）根据题意，由函数的解析式可得a x＞1，分情况讨论不等式的解集，综合即可得答案；（2）根据题意，先分析a的取值范围，再分析函数f（x）的单调性，据此分析可得答案．解：（1）根据题意，函数f（x）＝log a（a x﹣1），必有a x＞1，当a＞1时，a x＞1⇒x＞0，此时函数f（x）的定义域为（0，+∞），当0＜a＜1时，a x＞1⇒0＜x＜1，此时函数f（x）的定义域为（﹣∞，0），则当a＞1时，定义域为（0，+∞）当0＜a＜1时，定义域为（﹣∞，0）（2）根据题意，不等式f（x）＜f（1），x＝1在定义域内，必有a＞1对于f（x）＝log a（a x﹣1），设t＝a x﹣1，则y＝log a t，当a＞1时，在区间（0，+∞）上，t＝a x﹣1为增函数，y＝log a t在区间（0，+∞）上为增函数，故f（x）在（0，+∞）上单调递增，故f（x）＜f（1）的解集为（0，1），故答案为：（0，1）．18．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a sin（A+C﹣B）＝b sin（B+C）．（1）求角B的大小；（2）已知2a+c＝6，且a＜c，若△ABC的面积为，求b边的长以及△ABC外接圆的半径R．【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式，结合sin A≠0，sin B ≠0，可求cos B的值，即可求B的值．（2）由已知利用三角形的面积公式可求ac＝4，由2a+c＝6，解得a，c的值，根据余弦定理可求b的值，由正弦定理即可求解△ABC外接圆的半径R．解：（1）由正弦定理以及a sin（A+C﹣B）＝b sin（B+C）得：sin A sin（π﹣2B）＝sin B sin （π﹣A），∴sin A sin2B＝sin B sin A，又sin A≠0，∴2sin B cos B＝sin B，又sin B≠0，∴．（2），∴ac＝4，由2a+c＝6，联立可得，或，∵a＜c，∴a＝1，c＝4，根据余弦定理：b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝1+16﹣4＝13，∴，由，即，综上：b边的长为，△ABC外接圆的半径R等于．19．一饮料店制作了一款新饮料，为了进行合理定价先进行试销售，其单价x（元）与销量y（杯）的相关数据如表：单价x（元）8.599.51010.5销量y（杯）120110907060（Ⅰ）已知销量y与单价x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；（Ⅱ）若该款新饮料每杯的成本为8元，试销售结束后，请利用（Ⅰ）所求的线性回归方程确定单价定为多少元时，销售的利润最大？（结果保留到整数）参考公式：线性回归方程＝x中斜率和截距最小二乘法估计计算公式：＝，＝﹣，参考数据：x i y i＝4195，x i2＝453.75．【分析】（Ⅰ）由已知数据求得与的值，则线性回归方程可求；（Ⅱ）写出利润关于售价的函数，再由二次函数求最值．解：（Ⅰ）由表格中的数据可得，．＝＝，＝﹣＝90+32×9.5＝394，∴y关于x的线性回归方程为；（Ⅱ）设定价为x元，则利润函数为y＝（﹣32x+394）（x﹣8），（x≥8）．∴y＝﹣32x2+650x﹣3152．则当x＝（元）时，销售的利润最大为148元．20．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝，D，E分别是棱CC1，BB1的中点．（1）证明：B1D⊥平面A1C1E；（2）求二面角B1﹣A1D﹣A的余弦值．【分析】（1）推导出A1C1⊥平面BCC1B1，从而A1C1⊥B1D．推导出C1E⊥B1D．由此能证明B1D⊥平面A1C1E．（2）以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B1﹣A1D﹣A的余弦值．解：（1）证明：由题意知，A1C1⊥平面BCC1B1，∵B1D⊂平面BCC1B1，∴A1C1⊥B1D．又，D，E分别是棱CC1，BB1的中点，∴C1E⊥B1D．又A1C1⊂平面A1C1E，C1E⊂平面A1C1E，A1C1∩C1E＝C1，∴B1D⊥平面A1C1E．（2）解：不妨设，如图，以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，1），A1（1，0，2），B1（0，1，2），，．设平面A1DB1的法向量为，则，令y＝1，得x＝1，z＝﹣1，∴．因为y轴垂直平面A1AD，所以可取平面A1AD的法向量为，∴．又由图知二面角B1﹣A1D﹣A为钝角∴二面角B1﹣A1D﹣A的余弦值为．21．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，S6＝﹣7S3，且a2，1，a3成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝|a n﹣1|，求数列{b n}的前2n项的和T2n．【分析】（1）设等比数列{a n}的公比为q，运用等比数列的求和公式和等差数列的中项性质，解方程可得首项和公比，即可得到所求通项公式；（2）讨论n为奇数或偶数，可得b n的正负，再由等比数列的求和公式，奇数可得所求和．解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，由S6＝﹣7S3，得（1+q3）S3＝﹣7S3，S3≠0，所以1+q3＝﹣7，解得q＝﹣2，由a1，1，a3成等差数列，可得a2+a3＝2，即﹣2a1+4a1＝2，所以a1＝1，所以；（2）当n为偶数时，，当n为奇数时，所以T2n＝（a1﹣1）﹣（a2﹣1）+（a3﹣1）﹣（a4﹣1）+…+（a2n﹣1﹣1）﹣（a2n﹣1）＝a1﹣a2+a3﹣a4+…+a2n﹣1﹣a2n＝．22．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，且经过点A（，）．（1）求椭圆C的方程；（2）若不过坐标原点的直线l与椭圆C相交于M、N两点，且满足，求△MON面积最大时直线l的方程．【分析】（1）由题意列关于a，b，c的方程组，求解a，b的值，则椭圆方程可求；（2）由题意可知，直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y＝kx+m（m≠0），M （x1，y1），N（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系及向量等式可得k值，写出三角形面积公式，得到关于m的函数式，整理后利用基本不等式求最值，然后求得MN的方程．解：（1）由题意得，，解得．∴椭圆C的方程为；（2）由题意可知，直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y＝kx+m（m≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），联立，得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3＝0．△＝36k2m2﹣4（3k2+1）（3m2﹣3）＝12（3k2+1﹣m2）＞0，①，．∴．∵，∴，得k＝﹣．代入①得，＜m＜，且m≠0．∴＝•＝．当且仅当3m2＝4﹣3m2，即m＝时，上式等号成立，符合题意．∴直线MN的方程为y＝．。

2019—2020学年湖南省益阳市高二期末统考数学试卷★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高二考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、单选择题：本题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.sin 20cos10cos 20sin10+=o o o o （ ）A. 12-B.12C. D.【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦的和角公式求解即可.【详解】()1sin 20cos10cos 20sin10sin 2010sin 302+=+==ooooo oo . 故选：B【点睛】本题主要考查了正弦的和角公式运用,属于基础题型.2.某校数学兴趣小组对高二年级学生的期中考试数学成绩（满分100分）进行数据分析，将全部的分数按照[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100分成5组，得到如图所示的频率分布直方图.若成绩在80分及以上的学生人数为360，估计该校高二年级学生人数约为（ ）A. 1200B. 1440C. 7200D. 12000【答案】A 【解析】 【分析】根据频率分布直方图求出成绩在80分及以上的学生人数占比再求总数即可.【详解】由题, 成绩在80分及以上的学生人数占比为()1100.010.020.040.3-⨯++=. 故该校高二年级学生人数约为36012000.3=. 故选：A【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的理解运用,属于基础题型. 3.已知等比数列{}n a 中，544a a =，则128a a a ⋅⋅⋅=（ ） A. 128- B. 128 C. 256- D. 256【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的等积性求解即可.【详解】因为{}n a 为等比数列,故()128445256a a a a a ⋅⋅⋅==.故选：D【点睛】本题主要考查了等比数列的等积性,属于基础题型.4.某教育局公开招聘了4名数学老师，其中2名是刚毕业的“新教师”，另2名是有了一段教学时间的“老教师”，现随机分配到A 、B 两个学校任教，每个学校2名，其中分配给学校A 恰有1名“新教师”和1名“老教师”的概率是（ ）A. 14B.13C.12D.23【答案】D【解析】【分析】求出分配给学校A两个“新教师”与两个“老教师”的概率之和,再用1去减即可.【详解】分配给学校A两个“新教师”与两个“老教师”的概率之和为24213C=.故分配给学校A恰有1名“新教师”和1名“老教师”的概率是12133-=.故选：D【点睛】本题主要考查了根据对立事件的概率求原事件的概率的问题,需要利用组合方法求解对应的概率,属于基础题型.5.函数()()sinf x A x=+ωϕ（0A>，0>ω，2πϕ<）的部分图象如图所示，则()f x的解析式为（）A. ()2sin3f x xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭B. ()2sin6f x xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭C. ()2sin26f x xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭D. ()2sin26f x xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】C【解析】【分析】先求出振幅与周期,再代入对高点求解即可.【详解】易得2A =,又周期T 满足2362T T ππππ⎛⎫=--=⇒=⎪⎝⎭.故22ππωω=⇒=.故()()2sin 2f x x ϕ=+,代入最高点23π⎛⎫⎪⎝⎭，有2sin 13πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭,因为2πϕ<,故6πϕ=-. 故()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 故选：C【点睛】本题主要考查了根据三角函数图像求解三角函数解析式的问题,属于基础题型. 6.在边长为1的正方形ABCD 内任取一点P ，使APB ∠是钝角的概率等于（ ） A. 42π-B. 18π-C.8π D.2π 【答案】C 【解析】 【分析】先求出使APB ∠是直角的情况再分析即可.【详解】由题,当APB ∠为直角时,P 的轨迹是以AB 为直径的半圆,故当P 在半圆内时满足APB ∠是钝角,故APB ∠是钝角的概率等于211221π⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭8π=故选：C【点睛】本题主要考查了几何概型的方法,需要先分析临界条件再根据几何概型的方法求解即可.属于基础题型.7.ABC ∆中，M 是AC 边上的点，2AM MC =，N 是边的中点，设1AB e =uu u r u r ，2AC e =u u u r u u r，则MN u u u u r可以用1e u r，2e u u r表示为（ ） A. 121126e e -ur u u rB. 121126e e -+ur u u rC. 121126e e +ur u u rD. 121726e e +ur u u r【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的线性运算求解即可.【详解】由题, ()12111111322626MN MC CN AC AB AC AB AC e e =+=+-=-=-u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u r u u r .故选：A【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算,属于基础题型. 8.“[)1,3x ∀∈，20x a -≤”成立的一个充分不必要条件是（ ） A. 0a ≥ B. 1a >C. 9a ≥D. 9a >【答案】D 【解析】 【分析】先求出“[)1,3x ∀∈，20x a -≤”成立的充要条件再判定即可. 【详解】若 “[)1,3x ∀∈，20x a -≤” 则()2maxxa ≤,故9a ≥.“[)1,3x ∀∈，20x a -≤”成立的一个充分不必要条件是9a >. 故选：D【点睛】本题主要考查了恒成立的问题以及充分不必要条件的理解,属于基础题型.9.某企业通过前期考察与论证可知，投资每个A 项目第一年需资金20万元，从中可获利5万元；投资每个B 项目第一年需资金30万元，从中可获利6万元.现公司拟投资两个项目共不多于8个且投入资金不超过200万元，需合理安排这两个项目的个数使第一年获利最多，则获利最多可达到（ ） A. 40万元 B. 44万元C. 48万元D. 50万元【答案】B 【解析】 【分析】设投资x 个A 项目,y 个B 项目,再列出,x y 满足的不等式,根据线性规划的方法求解即可.【详解】设投资x 个A 项目,y 个B 项目,则{}20302008,0,1,2...,7,8x y x y x y ⎧+≤⎪+≤⎨⎪∈⎩,再求56z x y=+的最大值.则投资的项目组合(),x y 为上不等式组的可行域中的整数点.易得56z x y =+在2030200484x y x x y y +==⎧⎧⇒≥⎨⎨+==⎩⎩即()4,4处取得最大值. 最大值为546444z =⨯+⨯=万元故选：B【点睛】本题主要考查了线性规划的应用题,需要注意满足条件的(),x y 为可行域中的整数点.属于基础题型.10.已知离心率为2的双曲线C ：22221x y a b-=（0a b >>）的左右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，直线()3y x c =+与双曲线C 在第一象限的交点为P ，12PF F ∠的角平分线与2PF 交于点Q ，若2PF PQ λ=，则λ的值是（ ） A.4343- B.4313- C.233D.3233+ 【答案】B 【解析】 【分析】利用角平分线的性质,计算112,PF F F 的比值关系再分析即可.【详解】先推导角平分线的性质,如图,设ABC V 中AD 为BAC ∠的角平分线,则根据正弦定理sin sin AB BDBDA BAD =∠∠①.sin sin AC CDCDA CAD=∠∠②又BDA CDA π∠+∠=,故sin sin BDA CDA ∠=∠,又sin sin BAD CAD ∠=∠, 故①÷②可得AB BDAC CD=.故由题, 2PF PQ λ=,22212111PF PQ QF QF F F PQ PQ PQ PF λ+===+=+. 再计算1PF 即可.因为2c a=,故2c a =,直线)3y x c =+,倾斜角为6π且过左焦点.设2112,2,2PF x PF x a x c F F c ==+=+=,由余弦定理有()()()()222222cos6x c x cc x c π=++-⋅⋅+⋅.化简得523331232x c c --==-.12124313311111F F c PF x c λ-=+=+=+=+-+.故选：B【点睛】本题主要考查了双曲线中根据定义以及余弦定理求解边角关系的方法,同时也考查了角平分线定理的应用,属于难题.二、多项选择题：本题共2小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求11.若命题p ：x R ∀∈，10x +>.命题q ：对每一个无理数x ，2x 也是无理数.则下列命题是真命题的是（ ） A. p q ⌝∨ B. p q ∧C. ()p q ⌝∧D. ()()p q ⌝∧⌝【答案】AD 【解析】 【分析】分别判断,p q 的真假,再分析即可.【详解】命题p 中,当1x =-时10x +>不成立.故命题p 为假命题. 命题q 中,当无理数3x =, 23x =不是无理数,故命题q 为假命题. 故选：AD【点睛】本题主要考查了命题真假的判断以及或且非命题的运用等.属于基础题型.12.如图，在平面四边形ABCD 中，等边ABC V 的边长为2，30ADC ∠=o ，AC CD ⊥，点M 为边上一动点，记DM CM λ=⋅u u u u r u u u u r，则λ的取值可以是（ ）A. 4-B.154C. 5D. 10【答案】CD 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系将向量用坐标表示求解即可.【详解】以A 为坐标原点建立如图平面直角坐标系,设[]0,2AM t =∈.则()()13,,1,3,4,02M t t C D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. 故13134,1,32222DM CM t t t t λ⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝-----u u u u r u u u u r 2221533444242t t t t t t =+++-=++在[]0,2t ∈上为增函数, 故[]244,10t t λ=++∈.故选：CD【点睛】本题主要考查了建立平面直角坐标系解决向量的问题,需要找到合适的坐标原点建系,利用平面向量的坐标表达求数量积再分析范围,属于中等题型.三、填空题：本题共4小题13.若1sin 3α=，则cos2=α__________． 【答案】79【解析】【详解】2217cos 212sin 12().39αα=-=-⨯= 14.若0x >，则92y x x =++的最小值等于______. 【答案】4 【解析】 【分析】配凑出基本不等式的结构求解即可.【详解】99222422y x x x x =+=++-≥=++. 当且仅当23,1x x +==时取等号. 故答案为：4【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用,属于基础题型. 15.直线l 过抛物线214y x =的焦点F ，与抛物线交于A ，B 两点，若=16AB ，则AB 的中点D 到x 轴的距离为______. 【答案】7 【解析】 【分析】根据抛物线的焦点弦长公式求解即可. 【详解】抛物线214y x =的焦点为()0,1F ,设()()1122,,,A x y B x y ,则12216AB y y =++=.即1214y y +=.所以AB 的中点1212,22x x y y D ++⎛⎫⎪⎝⎭到x 轴的距离1272y y +=. 故答案：7 【点睛】本题主要考查了抛物线的焦点弦长公式的运用,属于基础题型.16.已知数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且223n S n n =+，233n n T b =-，若两个数列的公共项按原顺序构成数列{}n c ，若2020n c ≤，则n 的最大值为______.【答案】3【解析】【分析】先求得数列{}n a ,{}n b 的通项公式,再分析公共项的满足的条件即可.【详解】由题, 223n S n n =+.当1n =时, 15a =,当2n ≥时, ()()()()221232131412n n n a S S n n n n n n -⎡⎤=+--+-=+⎣⎦-≥=. 当1n =时也满足41n a n =+.故41n a n =+又233n n T b =-,当1n =时1112333b b b =-⇒=.当2n ≥时, 11112332333233n n n n n n n n n T b b b b b b T b ----=-⎧⇒=-⇒=⎨=-⎩. 故{}n b 是以13b =为首项,3为公比的等比数列.故3n n b =.故数列{}n c 为41n a n =+与3n n b =的公共项.又12234203,9421,27,814201b b a b b a ===⨯+====⨯+=,561827243,72941821,21872020b b a b ===⨯+==>.故12349,81,729,2020c c c c ===>,且{}n c 为单调增数列.故满足2020n c ≤,n 的最大值为3.故答案为：3【点睛】本题主要考查了根据数列的前n 项和求解通项的方法以及等差等比数列的综合运用,属于中等题型.四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()2cos cos 0a b C c A ++=.（1）求C ；（2）若4a =，c =ABC ∆的面积.【答案】（1）23π；（2）【解析】【分析】(1)利用正弦定理边化角以及和差角公式进行求解即可.(2)利用余弦定理求解得6b =,再用三角形面积公式求解即可.【详解】（1）∵()2cos cos 0a b C c A ++=，由正弦定理得：∵()sin 2sin cos sin cos 0A B C C A ++=∴()sin cos sin cos 2sin cos 0A C C A B C ++=∴()sin 2sin cos 0A C B C ++=，即sin 2sin cos 0B B C +=，∵()0,B π∈，∴sin 0B ≠，∴1cos 2C =-， 又∵()0,C π∈，∴23C π=. （2）由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-，即217616242b b ⎛⎫=+-⨯- ⎪⎝⎭， ∴6b =，∴11sin 4622ABC S ab C ∆==⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查了解三角形中的正余弦定理以及面积公式的运用,属于中等题型.18.某消费品企业销售部对去年各销售地的居民年收入（即此地所有居民在一年内的收入的总和）及其产品销售额进行抽样分析，收集数据整理如下：销售地 A B C D 年收入x（亿元）15 20 35 50 销售额y（万元）16 20 40 48（1）在图a中作出这些数据的散点图，并指出y与x成正相关还是负相关？（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程？（3）若B地今年的居民年收入将增长20%，预测B地今年的销售额将达到多少万元？回归方程系数公式：1221ˆni iiniix y nxybx nx==-=-∑∑，ˆˆa y bx=-.参考数据：15162020354050484440⨯+⨯+⨯+⨯=，2222152035504350+++=.【答案】（1）散点图见解析，y与x成正相关；（2）ˆ0.96 2.2y x=+；（3）23.04万元.【解析】【分析】(1)根据表中给的数据描点再判断即可.(2)代入参考数据与公式计算出方程即可.(3)根据(2)中的回归方程,代入20120%24x=⨯=求解即可.【详解】（1）如图，y与x成正相关.（2）30x =，31y =，414440i i i x y ==∑，4214350i i x ==∑，41422214444043031ˆ0.9643504304i i i i i x y xyb x x ==--⨯⨯===-⨯-∑∑，ˆˆ310.9630 2.2a y bx =-=-⨯=，故所求线性回归方程为ˆ0.96 2.2y x =+.（3）当20120%24x =⨯=时，ˆ0.9624 2.223.04y =⨯+=，预测B 地今年的销售额将达到23.04万元.【点睛】本题主要考查了线性回归方程的求解及其实际意义的理解,属于基础题型.19.已知向量13,42xa ⎫=⎪⎭r ，cos ,cos 42xx b ⎛⎫= ⎪⎝⎭r，记()f x a b =⋅r r.（1）求()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）当[],x ππ∈-，求函数()f x 的取值范围.【答案】（1）4π，424,433k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k Z ∈）；（2）3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】【分析】(1)代入()f x a b =⋅r r ,根据降幂公式与辅助角公式化简再求最小正周期和单调递增区间即可.(2)由(1)有()sin 26x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,根据[],x ππ∈-可求得2,2633x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦,再根据正弦函数在区间内的单调性与最值求解函数()f x 的取值范围即可.【详解】（1）()1313sin cos cos sin cos sin 4422222226x x x f x x x x π⎛⎫=⋅=+=+=+ ⎪⎝⎭a b ， 所以()f x 的最小正周期2412T ππ==. 令222262x k k πππππ-≤+≤+（k Z ∈）， 解得424433k x k ππππ-≤≤+（k Z ∈）， 所以()f x 的单调递增区间为424,433k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k Z ∈）. （2）当[],x ππ∈-时，2,2633x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦所以当x π=-时，sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭取到最小值3-， 当23x π=时，sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭取到最大值1，因此()f x 的值域为3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查了向量与三角函数恒等变换的运用以及根据三角形函数解析式求解在区间内的取值范围等问题.属于中等题型.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，O ，E 分别为AD ，PB 的中点，平面PAD ⊥平面ABCD ，2PA PD ==，24AB AD ==.（1）求证：//OE 平面PCD ；（2）求证：AP ⊥平面PCD ；（3）求二面角A PD B --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）13.【解析】【分析】(1) 取PC 的中点G ，连接EG ，DG .再证明//OE DG 即可.(2)分别证明CD AP ⊥与AP PD ⊥即可.(3)以O 为原点,建立空间直角坐标系,利用二面角的向量方法求解即可.【详解】（1）证明：取PC 的中点G ，连接EG ，DG .∵E ，G 分别为PB ，PC 的中点，∴1//2EG BC =，∵四边形ABCD 为矩形，且O 为AD 的中点，∴1//2OD BC =，∴//OD EG =，∴四边形ODGE 为平行四边形，∴//OE DG .又因为OE ⊄平面PCD ，DG ⊂平面PCD ，∴//OE 平面PCD ，.（2）∵底面ABCD 为矩形，∴CD AD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，∴CD ⊥平面P AD ，∴CD AP ⊥，∵PA PD ==2AD =，∴222AP PD AD +=，∴AP PD ⊥，又CD PD D =I∴AP ⊥平面PCD .（3）解：取BC 的中点F ，连接OF ，OP ，则OP AD ⊥，OF AD ⊥，OF OP ⊥.以O 为原点，OA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则()0,0,1P ，()1,0,0D -，()1,4,0B ，平面P AD 的一个法向量()0,1,0n =r ，()1,4,1PB =-u u u r ，()1,0,1PD =--u u u r ，设平面PBD 的法向量(),,m x y z r=， 则00m PB m PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v r u u u v r ，所以400x y z x z +-=⎧⎨--=⎩，可取()2,1,2m =-r ，所以1cos ,3n m m n n m ⋅===⋅r r r r r r ， 结合图形可知二面角A PD B --的余弦值为13. 【点睛】本题主要考查了线面平行,线面垂直的证明以及空间向量求解二面角的问题,属于中等题型. 21.已知公差不为0等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10751S S -=，且2a ，5a ，14a 成等比数列.数列{}n b 的各项均为正数，前n 项和为n T ，且13b =，()21111223n n n n n n b T b b T b ----+=+（2n ≥）.（1）求数列{}n a ，{}n b 通项公式；（2）设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和.【答案】（1）21n a n =-，3n n b =；（2）()1133n n +-⨯+.【解析】【分析】(1)利用基本量法求解数列{}n a 的通项公式,再根据递推公式证明数列{}n b 是等比数列,进而求得通项公式即可.(2)根据错位相减的方法求解即可.【详解】（1）因为10789109351S S a a a a -=++==，所以，917a =，∴1817a d +=①又2a ，5a ，14a 成等比数列，所以22145a a a =，即()()()2111134a d a d a d ++=+②联立①②解得11a =，2d =，所以21n a n =-.因为()21111223n n n n n n b T b b T b ----+=+， 所以，()22111230n n n n n b b T T b ------= 所以，2211230n n n n b b b b ----=，解得：13n n b b -=或1n n b b -=-（舍），所以，数列{}n b 是3为首项，3为公比的等比数列，所以，3n n b =. （2）数列{}n c 的前n 项和()()1211333233213n n n C n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯∴()()23131333233213n n n C n n +=⨯+⨯++-⨯+-⨯L∴()()231232333213n n n C n +-=++++--⨯L()()119313221331n n n -+-=+⨯--⨯-()12236n n +=--⨯-∴()1133n n C n +=-⨯+【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量求解方法以及根据递推公式证明等比数列以及错位相减求和的方法,属于中等题型.22.已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率e =1F ，2F ，过右焦点2F 任作一条不垂直于坐标轴的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，1F AB ∆的周长为（1）求椭圆C 的方程；（2）记点B 关于x 轴的对称点为B '点，直线AB '交x 轴于点D .求ABD ∆的面积的取值范围.【答案】（1）22132x y +=；（2）⎛ ⎝⎭. 【解析】【分析】(1)根据椭圆的定义以及基本量的关系求解方程即可.(2)联立直线与椭圆的方程求解关于A ，B 两点的韦达定理,再根据题意表达出ABD ∆的面积,代入韦达定理表示再根据二次不等式的方法求解范围即可.【详解】（1）根据椭圆的定义可知1F AB ∆的周长等于4a ， 所以4a =，a =又离心率3e =，所以1c =，22b =， 所以椭圆C 的方程为22132x y +=. （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，则()22,B x y '-设直线AB 的方程为：1x my =+（0m ≠），由221236x my x y =+⎧⎨+=⎩，得()2223440m y my ++-=， 所以122423m y y m +=-+，122423y y m =-+， 直线AB '的方程为()121112y y y y x x x x +-=--， 令0y =得()121112D y x x x x y y -=++， 又因为111x my =+，221x my =+， 所以()1211211212211D y my my my y x my y y y y -=++=+++，∴1213D x m m =⋅+=，所以D 点的坐标为()3,0，221212122ABD AF D BF D S S S y y y y ∆∆∆=+=⨯⨯-=-====∵0m ≠，∴2110,233m ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭ ∴0,3ABD S ∆⎛∈ ⎝⎭即ABD △面积的取值范围为⎛ ⎝⎭.【点睛】本题主要考查了椭圆的定义与基本量的求解以及直线与椭圆的位置关系求解椭圆中的面积问题.需要联立直线与椭圆得出韦达定理代入运算,最后根据不等式的方法求解.属于难题.21。

湖南省益阳市2019-2020学年数学高二下期末综合测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在平面内，点到直线的距离公式为，通过类比的方法，可求得在空间中，点到平面的距离为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】类比得到在空间，点到直线的距离公式,再求解.【详解】类比得到在空间，点到直线的距离公式为，所以点到平面的距离为.故选：B 【点睛】本题主要考查类比推理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.2．若二项式22)nx x-（的展开式中二项式系数的和是64，则展开式中的常数项为 A ．-240 B ．-160 C ．160 D ．240【答案】D 【解析】 【分析】由二项式定义得到二项展开式的二项式系数和为2n ，由此得到n ，然后求通项，化简得到常数项，即可得到答案. 【详解】由已知得到264n =，所以6n =， 所以展开式的通项为261231662()()(2)rrr r r r r T C x C x x--+=-=-， 令1230r -=，得到4r =，所以展开式的常数项为4456(2)240T C =-=，故选D.【点睛】本题主要考查了二项展开式的二项式系数以及特征项的求法，其中熟记二项展开式的系数问题和二项展开式的通项是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3．已知122,,,8a a --成等差数列，1232,,,,8b b b --成等比数列，则212a ab -等于（ ）A ．14B ．12C ．12-D ．12或12-【答案】B 【解析】试题分析：因为122,,,8a a --成等差数列，所以()21822,3a a ----==-因为1232,,,,8b b b --成等比数列，所以()()222816b =--=，由21220b b =->得24b =-，2122142a ab --==-，故选B. 考点：1、等差数列的性质；2、等比数列的性质.4．已知集合{}{}21,2,4,8,|log ,A B y y x x A ===∈，则AB =（ ）A ．{}12， B ．{}0123，，， C ．{}123，， D ．{}03，【答案】A 【解析】 【分析】先求得集合B 的元素，由此求得两个集合的交集. 【详解】依题意{}0123B =，，，，故{}1,2A B =,故选A.【点睛】本小题主要考查两个集合的交集的求法，考查对数运算，属于基础题. 5．若220a x dx =⎰，230b x dx =⎰，2sin c xdx =⎰，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c a b <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．a c b <<【答案】A 【解析】分析：利用定积分，将已知,,a b c 化简，即可比较大小．详解：由题意，可得22320018|33a x dx x ===⎰，2342001|44b x dx x ===⎰，2200sin cos |cos 21c xdx x ==-=-+⎰，则23,3,12a b c <<<，所以c a b <<，故选A ．点睛：本题主要考查了定积分的运算，其中根据微积分基本定理，求解,,a b c 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．6．执行如图所示的程序框图，若输入的x 值为2019，则输出的y 值为（ ）A ．18B ．14C ．12D ．1【答案】C 【解析】 【分析】读懂流程图，可知每循环一次，x 的值减少4，当0x <时，得到2xy =的值.【详解】根据流程图，可知每循环一次，x 的值减少4，输入2019x =，因为2019除以4余3，经过多次循环后3x =，再经过一次循环后1x =-满足0x <的条件， 输出11222xy -===【点睛】流程图的简单问题，找到循环规律，得到x 的值，得到输出值.属于简单题. 7．通过随机询问111名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由2222()110(40302030),7.8()()()()60506050n adbc K K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯算得 附表：参照附表，得到的正确结论是（ ）A ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过1．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过1．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】由27.8 6.635K ≈>，而()26.6350.010P K ≥=，故由独立性检验的意义可知选A8．把18个人平均分成两组，每组任意指定正副组长各1人，则甲被指定为正组长的概率为（ ） A ．118B ．19C ．16D ．13【答案】B 【解析】 【分析】把18个人平均分成2组，再从每组里任意指定正、副组长各1人，即从9人中选一个正组长，甲被选定为正组长的概率，与组里每个人被选中的概率相等．【详解】由题意知，把18个人平均分成2组，再从每组里任意指定正、副组长各1人，即从9个人中选一个正组长，∴甲被选定为正组长的概率是19．故选B．【点睛】本题考查了等可能事件的概率应用问题，是基础题目．9．设随机变量服从正态分布，若，则实数的值为A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据正态分布的特征，可得，求解即可得出结果.【详解】因为随机变量服从正态分布，，根据正态分布的特征，可得，解得.故选D【点睛】本题主要考查正态分布的特征，熟记正态分布的特征即可，属于基础题型.10．复数z满足，则复数z＝( )A．1－i B．1＋2i C．1＋i D．－1－i【答案】D【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】，，故选D ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．11．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的短轴长为2，上顶点为A ，左顶点为B ，12,F F 分别是椭圆的左、右焦点，且1F AB ∆23-P 为椭圆上的任意一点，则1211PF PF +的取值范围为（ ）A ．[1,2]B ．2,3]C ．2,4]D ．[1,4]【答案】D 【解析】分析： 由得椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的短轴长为2，()112322F AB S a c b ∆-=-=可得，2,3a c ==，1PF x =可得()21211442PF PF x +=--，从而可得结果. 详解：由得椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的短轴长为22,1b b ==，()11232F AB S a c b ∆-=-=解得23,2,3a c a c -=∴==1224PF PF a +==，设1PF x =，则24PF x =-，[],x a c a c ∈-+，即23,23x ⎡⎤∈⎣⎦，()[]212111141,4442PF PF x x x ∴+=+=∈---，故选D. 点睛：本题考查题意的简单性质，题意的定义的有意义，属于中档题. 求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴、等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系. 12．已知某随机变量X 的概率密度函数为0,0,(),0,xx P x e x -≤⎧=⎨>⎩则随机变量X 落在区间(1,3)内在概率为( )A ．21e e+B ．231e e-C ．2e e -D ．2e e +【答案】B【解析】【分析】求概率密度函数在（1，3）的积分，求得概率．【详解】由随机变量X的概率密度函数的意义得3233111d x xeP e x ee---==-=⎰，故选B．【点睛】随机变量X的概率密度函数在某区间上的定积分就是随机变量X在这一区间上概率．二、填空题：本题共4小题13．数列{}n a 的通项公式是1nan n=++，若前n项和为20，则项数n为__________.【答案】440【解析】【详解】由数列的通项公式可得：()1111nn na n nn nn n-+===+--+++,则：()()()()213243111nS n n n=-+-+-+++-=+-，结合前n项和的结果有：1120n+-=，解得：440n=.点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．14．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图), 45ABC∠=，2AB=，1AD=，DC BC⊥，则这块菜地的面积为______．【答案】32【解析】【分析】首先由斜二测图形还原平面图形，然后求解其面积即可.【详解】由几何关系可得，斜二测图形中：2sin4512BC=+=，由斜二测图形还原平面图形，则原图是一个直角梯形，其中上下底的长度分别为1,2，高为，其面积()1122S =⨯+⨯=【点睛】本题主要考查斜二测画法，梯形的面积公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 15．用0，1，3，5，7这五个数字可以组成______个无重复数字的五位数. 【答案】96 【解析】 【分析】先排无重复数字的五位数的万位数，再排其余四个数位，运算即可得解. 【详解】解：先排无重复数字的五位数的万位数，有4种选择，再排其余四位，有44A 种选择，故无重复数字的五位数的个数为44496N A ==，故答案为：96. 【点睛】本题考查了排列组合中的特殊位置优先处理法，属基础题.16．已知某公司生产的一种产品的质量X (单位：千克)服从正态分布(100,64)N .现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，则其中质量在区间(92,100)内的产品估计有________件. 附：若2(,)XN μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+≈，(22)0.9544P X μσμσ-<<+≈.【答案】3413 【解析】 【分析】可以根据X 服从正态分布(100,64)N ，可以知道100,8μσ==，根据()0.6826P X μσμσ-<<+≈，可以求出(92108)0.6826P X <<=，再根据对称性可以求出(92100)P X <<，最后可以估计出质量在区间(92,100)内的产品的数量. 【详解】 解:100,8μσ==，0.6826(92100)0.34132P X ∴<<==， ∴质量在区间(92,100)内的产品估计有100000.34133413⨯=件.【点睛】本题考查了正态分布，正确熟悉掌握正态分布的特点以及,2σσ原则是解题的关键. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。