课件 1.3 正方形的判定与性质(一)

A A' D' D
C'
B
B'
C
2.已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°， CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，E、 F是垂足。 求证：四边形DECF是正方形。
C F E A
D
B
小结
1.判定一个矩形是正方形的方法有哪些？ 2.判定一个菱形是正方形的方法有哪些？。 3.如何判定一个图形是正方形若点E、F、G、H分别在正方形ABCD的各边上， 且AE=BF=CG=DH，则四边形A’B’C’D’还是正 方形吗？证明你的结论。
H A A' E B' B F C D' C' G D
尝试练习
1. 已知：如图，点A‘、B’、C‘、D’分别是正方 形ABCD四条边上的点，并且AA‘＝BB’＝ CC‘＝DD’。 求证：四边形A’B’C’D’是正方形
1.对角线相等的菱形是正方形。
2.对角线垂直的矩形是正方形。
例题
例1 :已知：如图，E、F、G、H分别是正方形 各边的中点，AF、BG、CH、DE分别两两相 交于点A’、B’、C’、D’.求证：四边形是正方 形. 是否还有其他证明方法？与同学交流）
H A A' E B' B F C D' C' G D
初中数学九年级下册 （苏科版）
1.3正方形的判定
一、知识回顾：
1、正方形的性质有哪些？ 2、正方形的定义如何描述？ 3、判定一个图形是矩形还有哪些 方法？
1.有一个角是直角且一组邻边相等的平
行四边形是正方形。 2.对角线相等的菱形是正方形。 3.对角线垂直的矩形是正方形。
二、验证定理的正确性：
网址导航 / 网址导航

18.2.3 正方形
龙山一中：彭尧
2002年世界数学大会会标
1、给你一张正方形的彩色纸，你能一刀剪出如
图的正方形孔吗？
2、给你一张矩形纸能把它折成一个正方形吗？
正方形 矩形






90
创设情景 ☞
情景一

90
问题:
从这个图形中你想到了什么？
A
D
B
C
A
D
B
C
A
平行四 边形 √ √ √
矩形 √
√ √ √ √
菱形 正方形 √ √ √
√
√ √ √ √
√
√
√
√
√
√
作业： 习题18.2第8题
成功就是99%的血汗，加上1%的灵感。
------爱迪生
在科学上从没有平坦的大道，只有不畏艰 险勇于攀登的人，才能达到光辉的顶点 ------马克思
谢谢大家! 再见
拓展讨论:
正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形？
A
D
O
B
C
结论：
分成八个等腰直角三角形，分别是△ABC、 △ADC、 △ABD、 △BCD ； △AOB、 △BOC、 △COD、 △DOA.
1. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ B） A、四个角相等. B、对角线互相垂直. C、对角互补. D、对角线相等. 2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ D ） A、四条边相等. B、对角线互相垂直平分. C、对角线平分一组对角. D、对角线相等.
想一想：正方形是怎样的菱形？
正方形 菱形
一个角是直角的菱形
矩形 两组 对边
四边形
分别 平行

例2.已知：如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE，求证：四边形 BECF 是正方形.
45°
45°
证明: ∵ BF∥CE,CF∥BE， ∴四边形BECF是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形, ∴ ∠ABC=90°, ∠DCB=90°, ∵BE平分∠ABC, CE平分∠DCB, ∴∠EBC=45°, ∠ECB=45°，∴ ∠EBC=∠ECB . ∴ EB=EC,∴□BECF是菱形 . 在△EBC中 ∵∠EBC=45°,∠ECB=45°, ∴∠BEC=90°,∴菱形BECF是正方形.
对角线相等
正方形
定理3：有一个角是直角的菱形是正方形.
已知：ABCD是菱形，∠A=90°，试证明，ABCD是正方形.
证明：∵ABCD 是菱形，∴ AB = BC = CD = DA，又∵∠A = 90° ，∴ABCD 是正方形（正方形的定义）.
已知：如图,在菱形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB. 求证：四边形ABCD是正方形.证明：∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB.∵AC=DB,∴ AO=BO=CO=DO,∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形，∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,∴四边形ABCD是正方形.
∴四边形 EFGH 为平行四边形.又∵四边形 ABCD是矩形∴AC=BD（矩形的对角线相等），∴EF=EH∴四边形 EFGH 是菱形（菱形的定义）
决定中点四边形 EFGH 的形状的主要因素是原四边形 ABCD 的对角线的长度和位置关系。
原四边形对角线关系
不相等、不垂直
相等
垂直
相等且垂直
中点四边形形状

(2)如图 2，结论不变．DM⊥EM，DM＝EM.理由：在图 2 中，延长 EM 交 DA
2．正方的形是延轴对长称图线形，于它的对H称.轴∵有(四边) 形 ABCD 是正方形，四边形 EFGC 是正方形，∴∠ADE＝∠
10．【易错题】已知正方形ABCD中，点E为直线BC上一点，若AE＝2BE，则∠DAE＝__________度．
1．正方形具有而矩形不具有的性质是( )
11．如图，正方形OABC的边OA和OC都在坐标轴上，将正方形OABC绕点O旋转到OA′B′C′，这时点A′的坐标为(2,3)，则点B′的坐标为__________.
∴∠FAE＋∠AED＝90°， 注意：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，即有一组邻边相等的矩形是正方形或有一个角是直角的菱形是正方形．
知识点1 正方形的定义 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 注意：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，即有一组邻边相等的矩形是 正方形或有一个角是直角的菱形是正方形．
第一章 特殊平行四边形
上一页 返回导航 下一页
数学·九年级（上）·配北师
知识点2 正方形的性质 (1)定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等． (2) 定 理 2 ： 正 方 形 的 对 角 线 相 等 且 互 相 垂 直 平 分 ， 每 一 条 对 角 线 平 分 一 组 对 角． (3)对称性：正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心．正方形是 轴对称图形，两条对角线所在的直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称 轴．
90°，∴∠DAF＋∠EAD＝90°，即∠EAF＝90°，∴EF＝ AE2＋AF2＝ 2AE＝5 2.
第一章 特殊平行四边形
上一页 返回导航 下一页