基本不等式
- 格式：doc
- 大小：706.00 KB
- 文档页数：4
一对一个性化辅导教案 一对一个性化辅导教案
任课教师 所在学校 填写时间 课 题 基本不等式 同步教学知识内容：基本不等式的推导 基本不等式的应用 个性化学习问题解决：基本不等式的应用 朱老师 所授科目 教材版本 授课时间 数学 学生姓名 人教版 年 月 课时计划 日 共计 学生年级
共（ 第（
高三
）课时 ）课时
例 1 已知 x、y 都是正数，求证： (1)
y x + ≥2； x y
2 2 3 3 3 3
（ （ (2)（x＋y） x ＋y ） x ＋y ）≥８x y . 例 2（1）用篱笆围成一个面积为 100m 2 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽 各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？ （2）段长为 36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、 宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?
小时
教 学 目 标
教学重点 教学难点
基本不等式的应用 基本不等式的应用 1．探究图形中的不等关系 将图中的“风车”抽象成如图，在正方形 ABCD 中右个全等的直角三角形。 设直角三角形的两条直角边长为 a,b 那么正方形的边长为 a + b 。这样，4
2 2
个直角三角形的面积的和是 2ab，正方形的面积为 a 2 + b 2 。由于 4 个直角三角 形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式： a 2 + b 2 ≥ 2 ab 。 教 学 过 程 当直角三角形变为等腰直角三角形，即 a=b 时，正方形 EFGH 缩为一个点，这时 有 a 2 + b 2 = 2ab 。 授课 层次 2 ． 得 到 结 论 ： 一 般 的 ， 如 果
2 2
（ 1 ）． 基 本 不 等 式 ： 如 果
a,b
是 正 数 ， 那 么
a+b ≥ ab (当且仅当 a = b时取" =" 号). 2 a+b （2）.我们称 为a, b 的算术平均数，称 ab为a, b 的几何平均数. 2 a 2 + b 2 ≥ 2ab和 a+b 2 ≥ ab 成立的条件是不同的： 前者只要求 a,b 都是实
学生的课堂表现：很积极□ 课 后 记
比较积极□
一般□
不积极□
学生上次作业完成情况：数量_______ 完成质量_______分 存在问题___________ 配合需求： 家长：_______________________________________________________ 学管师：______________________________________________________ 课 后 反 思
第 2 页 共Biblioteka 4 页解： （1）设矩形菜园的长为 x m，宽为 y m，则 xy=100，篱笆的长为 2（x+y） m。由
x+ y ≥ xy ， 2
x + y ≥ 2 100 ，
2( x + y ) ≥ 40 。等号当且仅当 x=y 时成立，
可得
此时 x=y=10. 因此， 这个矩形的长、 宽都为 10m 时， 所用的篱笆最短， 最短的篱笆是 40m. （2）解法一：设矩形菜园的宽为 x m，则长为（36－2x）m，其中 0 ＜ x＜
a+b (a>0,b>0) 2
比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 2.在数学中，我们称
何平均数.本节定理还可叙述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均 数. 5．重要不等式： 如果 a, b ∈ R, 那么a + b ≥ 2ab(当且仅当a = b时取" =" 号)
第 1 页 共 4 页
4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式 ab ≤
a+b 2
特别的，如果 a>0,b>0,我们用分别代替 a、b ，可得 a + b ≥ 2 ab ， 通常我们把上式写作： ab ≤ 注：1.如果把
a+b 看作是正数 a、b 的等差中项， ab 看作是正数 a、b 的等 2 a+b 为 a、b 的算术平均数，称 ab 为 a、b 的几 2
5
若 x>0,y>0,且
6．证明： a 2 + b 2 + 2 ≥ 2a + 2b
7．若 x > −1 ，则 x 为何值时 x +
1 有最小值，最小值为几？ x +1
第 3 页 共 4 页
作业 布置
另附纸张
本节课教学计划完成情况：照常完成□
提前完成□
延后完成□
学生的接受程度：完全接受□
部分接受□
不能接受□
数，而后者要求 a,b 都是正数。 ＋ R 归纳：1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若 a，b∈R ，且 归纳：
a＋b＝M，M 为定值，则 ab≤
M2 ，等号当且仅当 a＝b 时成立. 4
＋
2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若 a，b∈R ，且 R
ab＝P，P 为定值，则 a＋b≥2 P ，等号当且仅当 a＝b 时成立.
24 + 6m ≥ 24 。 m
例 4 求证:
4 +a ≥7. a −3
例 5 (1) 若 x>0,求 f ( x) = 4 x +
9 的最小值; x 9 (2)若 x<0,求 f ( x) = 4 x + 的最大值. x
随堂练习 1.已知 a、b、c 都是正数，求证 （a＋b） b＋c） c＋a）≥８abc （ （
2 已知 a,b,c,d 都是正数，求证 (ab + cd )( ac + bd ) ≥ 4abcd .
同步 习题 设计
3 求证 ( a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) ≥ ( ac + bd ) 2
4 求 f ( x) = 4 x +
9 (x>5)的最小值. x −5 2 8 + = 1 ,求 xy 的最小值. x y
1 1 1 2 x + 36 − 2 x 2 36 2 ， 其面积 S＝x （36－2x） ＝ ·x 2 （36－2x） ≤ ( ) = 2 2 2 2 8
当且仅当 2x＝36－2x，即 x＝9 时菜园面积最大，即菜园长 9m，宽为 9 m 时 菜园面积最大为 81 m2 例 3 已知 m>0,求证
a, b ∈ R, 那么a 2 + b 2 ≥ 2ab(当且仅当a = b时取" =" 号)
3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证 明 ： 因 为
a 2 + b 2 − 2ab = (a − b) 2
当
a ≠ b时, (a − b)2 > 0, 当a = b时, (a − b) 2 = 0,
2 2 2 所以， ( a − b) ≥ 0 ，即 ( a + b ) ≥ 2ab.
提交时间
教研组长签字
教务部长签字
第 4 页 共 4 页
任课教师 所在学校 填写时间 课 题 基本不等式 同步教学知识内容：基本不等式的推导 基本不等式的应用 个性化学习问题解决：基本不等式的应用 朱老师 所授科目 教材版本 授课时间 数学 学生姓名 人教版 年 月 课时计划 日 共计 学生年级
共（ 第（
高三
）课时 ）课时
例 1 已知 x、y 都是正数，求证： (1)
y x + ≥2； x y
2 2 3 3 3 3
（ （ (2)（x＋y） x ＋y ） x ＋y ）≥８x y . 例 2（1）用篱笆围成一个面积为 100m 2 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽 各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？ （2）段长为 36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、 宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?
小时
教 学 目 标
教学重点 教学难点
基本不等式的应用 基本不等式的应用 1．探究图形中的不等关系 将图中的“风车”抽象成如图，在正方形 ABCD 中右个全等的直角三角形。 设直角三角形的两条直角边长为 a,b 那么正方形的边长为 a + b 。这样，4
2 2
个直角三角形的面积的和是 2ab，正方形的面积为 a 2 + b 2 。由于 4 个直角三角 形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式： a 2 + b 2 ≥ 2 ab 。 教 学 过 程 当直角三角形变为等腰直角三角形，即 a=b 时，正方形 EFGH 缩为一个点，这时 有 a 2 + b 2 = 2ab 。 授课 层次 2 ． 得 到 结 论 ： 一 般 的 ， 如 果
2 2
（ 1 ）． 基 本 不 等 式 ： 如 果
a,b
是 正 数 ， 那 么
a+b ≥ ab (当且仅当 a = b时取" =" 号). 2 a+b （2）.我们称 为a, b 的算术平均数，称 ab为a, b 的几何平均数. 2 a 2 + b 2 ≥ 2ab和 a+b 2 ≥ ab 成立的条件是不同的： 前者只要求 a,b 都是实
学生的课堂表现：很积极□ 课 后 记
比较积极□
一般□
不积极□
学生上次作业完成情况：数量_______ 完成质量_______分 存在问题___________ 配合需求： 家长：_______________________________________________________ 学管师：______________________________________________________ 课 后 反 思
第 2 页 共Biblioteka 4 页解： （1）设矩形菜园的长为 x m，宽为 y m，则 xy=100，篱笆的长为 2（x+y） m。由
x+ y ≥ xy ， 2
x + y ≥ 2 100 ，
2( x + y ) ≥ 40 。等号当且仅当 x=y 时成立，
可得
此时 x=y=10. 因此， 这个矩形的长、 宽都为 10m 时， 所用的篱笆最短， 最短的篱笆是 40m. （2）解法一：设矩形菜园的宽为 x m，则长为（36－2x）m，其中 0 ＜ x＜
a+b (a>0,b>0) 2
比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 2.在数学中，我们称
何平均数.本节定理还可叙述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均 数. 5．重要不等式： 如果 a, b ∈ R, 那么a + b ≥ 2ab(当且仅当a = b时取" =" 号)
第 1 页 共 4 页
4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式 ab ≤
a+b 2
特别的，如果 a>0,b>0,我们用分别代替 a、b ，可得 a + b ≥ 2 ab ， 通常我们把上式写作： ab ≤ 注：1.如果把
a+b 看作是正数 a、b 的等差中项， ab 看作是正数 a、b 的等 2 a+b 为 a、b 的算术平均数，称 ab 为 a、b 的几 2
5
若 x>0,y>0,且
6．证明： a 2 + b 2 + 2 ≥ 2a + 2b
7．若 x > −1 ，则 x 为何值时 x +
1 有最小值，最小值为几？ x +1
第 3 页 共 4 页
作业 布置
另附纸张
本节课教学计划完成情况：照常完成□
提前完成□
延后完成□
学生的接受程度：完全接受□
部分接受□
不能接受□
数，而后者要求 a,b 都是正数。 ＋ R 归纳：1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若 a，b∈R ，且 归纳：
a＋b＝M，M 为定值，则 ab≤
M2 ，等号当且仅当 a＝b 时成立. 4
＋
2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若 a，b∈R ，且 R
ab＝P，P 为定值，则 a＋b≥2 P ，等号当且仅当 a＝b 时成立.
24 + 6m ≥ 24 。 m
例 4 求证:
4 +a ≥7. a −3
例 5 (1) 若 x>0,求 f ( x) = 4 x +
9 的最小值; x 9 (2)若 x<0,求 f ( x) = 4 x + 的最大值. x
随堂练习 1.已知 a、b、c 都是正数，求证 （a＋b） b＋c） c＋a）≥８abc （ （
2 已知 a,b,c,d 都是正数，求证 (ab + cd )( ac + bd ) ≥ 4abcd .
同步 习题 设计
3 求证 ( a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) ≥ ( ac + bd ) 2
4 求 f ( x) = 4 x +
9 (x>5)的最小值. x −5 2 8 + = 1 ,求 xy 的最小值. x y
1 1 1 2 x + 36 − 2 x 2 36 2 ， 其面积 S＝x （36－2x） ＝ ·x 2 （36－2x） ≤ ( ) = 2 2 2 2 8
当且仅当 2x＝36－2x，即 x＝9 时菜园面积最大，即菜园长 9m，宽为 9 m 时 菜园面积最大为 81 m2 例 3 已知 m>0,求证
a, b ∈ R, 那么a 2 + b 2 ≥ 2ab(当且仅当a = b时取" =" 号)
3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证 明 ： 因 为
a 2 + b 2 − 2ab = (a − b) 2
当
a ≠ b时, (a − b)2 > 0, 当a = b时, (a − b) 2 = 0,
2 2 2 所以， ( a − b) ≥ 0 ，即 ( a + b ) ≥ 2ab.
提交时间
教研组长签字
教务部长签字
第 4 页 共 4 页
