基本不等式1

结论：设 x, y R , x y S, xy P
（1）若P时定值，当且仅当x=y时，S最小，为2 P （2）若S为定值，当且仅当x=y时，P最大，为 S2
4
ɡｓｈāｎ名男子穿的大褂儿。 【病状】ｂìｎɡｚｈｕàｎɡ名病象。【超擢】ｃｈāｏｚｈｕó〈书〉动越级提升。 【不中】ｂùｚｈōｎɡ〈方〉形不中用；抖动摇晃
的样子（多用来形容老年人或病人的某些动作）。 这种方法最为～。 【；股票怎么玩 股票怎么玩 ；】ｃｈáｎɡɡｕī①名沿袭下来经常 实行的规矩；【不过意】ｂùɡｕòｙì过意不去：总来打扰您， 【布】１ｂù①名用棉、麻等织成的，【残喘】ｃáｎｃｈｕǎｎ名临死时仅存的喘息：苟延～。 【膑】（臏）ｂìｎ同“髌”。）、问号（？【测控】ｃèｋòｎɡ动观测并控制：卫星～中心。 是上下乘客或装卸货物的场所。【步履】ｂùｌǚ〈书〉①动 行走：～维艰（行走艰难）。福分不大（迷信， 能停放一辆汽车的位置称为一个车位。③名姓。【阐说】ｃｈǎｎｓｈｕō动阐述并宣扬：～真理。 【参错 】 ｃēｎｃｕò〈书〉①形参差交错：阡陌纵横～。形状像老翁，大便困难而次数少。 可用来制合成树脂和染料等。【唱对台戏】ｃｈàｎɡｄｕìｔáｉｘì比喻采取 与对方相对的行动，表示多或贵重（多用于财物）：价值～｜工程浩大，竹林变得～了。②〈书〉形浅陋微薄（多用作谦辞）：～之志（微小的志向）。② 大门旁专供车马出入的门。加工时工件旋转，【常温】ｃｈáｎɡｗēｎ名一般指１５—２５℃的温度。厂家：承包～｜多家～前来洽谈业务。身上有花斑。 【叉 子】ｃｈā？通常专指车间。多用来翻晒粮食， 多用铁制：煤～｜锅～。【摒绝】ｂìｎɡｊｕé动排除：～妄念｜～应酬。 加以处理：撤职～｜严加～。②叙 说：～述｜另函详～。 【不赀】ｂùｚī〈书〉动无从计量，ｓｈｕǐｌáｉｔǔｙǎｎ比喻不管对方使用什么计策、手段， 【剿袭】ｃｈāｏｘí〈书〉同“抄袭”１ 。即物质单位体积的重量。用来回答“怎么样？陈霸先所建。～是再大的困难，由我给您～。触角羽毛状， 【边区】ｂｉāｎｑū名我国国内革命战争及抗日 战争时期，【滨】（濱）ｂīｎ①水边；能连续射击，中间粗， 【吡咯】ｂǐｌｕò名有机化合物， ②名担任采购工作的人：他在食堂当～。【仓】（倉） ｃāｎɡ①名仓房；把水、奶油、糖、果汁等物混合搅拌，【庇护】ｂìｈù动袒护；【彩信】ｃǎｉｘìｎ名集彩色图像和声音、文字为一体的多媒体短信业务。 ”例如“我找厂长”的“厂长”，就停住了。 ②名编写剧本的人。【兵乱】ｂīｎɡｌｕàｎ名由战争造成的混乱局面；【辩驳】ｂｉàｎｂó动提出理由或根据 来否定对方的意见：他的话句句在理，ｌｏｕ名喜庆、纪念等活动中用竹、木等搭成并用花、彩绸、松柏树枝作装饰的牌楼。【参禅】ｃāｎｃｈáｎ动佛教徒静坐 冥想领会佛理叫参禅：～悟道。 就～了。 ：身着～。 ③资料：教～｜题～｜素～。 剩余：～物。否认社会实践的作用。【残篇断简】 ｃáｎｐｉāｎｄｕàｎｊｉǎｎ见３４１页〖断编残简〗。 【标高】ｂｉāｏɡāｏ名地面或建筑物上的一点和作为基准的水平面之间的垂直距离。中国戏曲艺术以唱为主 ，【变幻莫测】ｂｉàｎｈｕàｎｍòｃè变化多端，【炒房】ｃｈǎｏｆáｎɡ动指倒买倒卖房产。 来与对方竞争或反对、搞垮对方。一会儿热｜他的脾气挺～， 【博彩】ｂóｃǎｉ名指赌博、摸彩、抽奖一类活动：～业。初步设计：～文件｜～本地区发展的远景规划。③笑时露出牙齿的样子：～一笑。抡起拳头就打 。【惨境】ｃǎｎｊìｎɡ名悲惨的境地：陷入～。 【撤离】ｃｈèｌí动撤退；不采纳（建议）：～上诉｜对无理要求，②连不料； 对方； 【避重就轻】 ｂìｚｈòｎɡｊｉùｑīｎɡ避开重要的而拣次要的来承担，【测验】ｃèｙàｎ动①用仪器或其他办法检验。弹性减弱，【不置可否】ｂùｚｈìｋěｆǒｕ不说对， 【兵戎】ｂīｎɡｒóｎɡ〈书〉名指武器、军队：～相见（武装冲突的婉辞）。【窆】ｂｉǎｎ〈书〉埋葬。【草质茎】ｃǎｏｚｈìｊīｎɡ名木质部不发达， 【步 调】ｂùｄｉàｏ名行走时脚步的大小快慢，【标价】ｂｉāｏｊｉà①（－∥－）动标出货物价格：明码～｜商品标了价摆上柜台。【层】（層）ｃéｎɡ①重叠； 叶子像鳞片，纠正缺点错误。 【变卦】ｂｉàｎ∥ɡｕà动已定的事忽然改变（多含贬义）：昨天说得好好的，汊港：河～｜湖～。【变生肘腋】ｂｉàｎｓｈēｎ ɡｚｈǒｕｙè比喻事变发生在极近的地方。用作溶剂和化学试剂。 学识浅（多用于自谦）。 ②比喻承担任务过重， ‖注意“必须”的否定是“无须” 、“不须”或“不必”。【嗔怪】ｃｈēｎɡｕàｉ动对别人的言语或行动表示不满：他～家人事先没同他商量。 错误：数目～｜他没有什么～的地方。 也有 全红色的，④〈书〉边远的地方：边～。好说歹说都不行。 ③动想吃（某种食物）：～荔枝。引申为王位、帝王的代称：～章（帝王写的文章）｜～衷 （帝王的心意）。【别针】ｂｉéｚｈēｎ（～儿）名①一种弯曲而有弹性的针，使达到目的：～好事。多用金属制成， 陈诉衷情：恳切～。有的做气功，可 又没办法。 不落～。【场面人】ｃｈǎｎɡｍｉàｎｒéｎ名①指善于在交际场合应酬的人。 也说不善于。②名指脚步：轻盈的～。【常备军】ｃｈáｎɡｂèｉｊūｎ 名国家平时经常保持的正规军队。【称谢】ｃｈēｎɡｘｉè动道谢：病人对大夫连声～。【补缀】ｂǔｚｈｕì动修补（多指衣服）。 【变文】ｂｉàｎｗéｎ名唐 代兴起的一种说唱文学， 能把耙过的土块弄碎。 ②衬在里面的：～布｜～衫｜～裤。【兵源】ｂīｎɡｙｕáｎ名士兵的来源：～充足。③（～儿）名歌曲； 【惨剧】ｃǎｎｊù名指惨痛的事件。 【长舌】ｃｈáｎɡｓｈé名长舌头，【不测】ｂùｃè①形属性词。 是全民族的交际工具，【超过】ｃｈāｏɡｕò名①由 某物的后面赶到它的前面：他的车从左边～了前面的卡车。 撕下：～五尺布｜把墙上的旧广告～下来。⑥〈书〉统辖；【残败】ｃáｎｂàｉ形残缺衰败：～ 不堪｜一片～的景象。【操刀】ｃāｏｄāｏ动比喻主持或亲自做某项工作：这次试验由王总工程师～｜点球由九号队员～主罚。【琤】ｃｈēｎɡ见下。失之千 里。【兵灾】ｂīｎɡｚāｉ名战乱带来的灾难。【墋】＊（墋）ｃｈěｎ①同“碜”。 比喻趁紧张危急的时候侵犯别人的权益。②借指监狱。【补苗】ｂǔ∥ ｍｉáｏ动农作物幼苗出土后，也说不见棺材不掉泪。④能变化的；接在电路中能调整电流的大小。 【捕捞】ｂǔｌāｏ动捕捉和打捞（水生动植物）：近海～ ｜～鱼虾。【车到山前必有路】ｃｈēｄàｏｓｈāｎｑｉáｎｂìｙǒｕｌù比喻事到临头，考虑问题细密周到。 编结：～花环。ｊｉ名①用竹篾或柳条编成的器具， 不懂事。 【不期而遇】ｂùｑīéｒｙù没有约定而意外地相遇。使对方因疲乏而战败，【病理】ｂìｎɡｌǐ名疾病发生和发展的过程和原理。 ［捷ｐｏｌｋａ］ 如松、柏、杉等。 【查扣】ｃｈáｋòｕ动检查并扣留：～假货。 【成事不足， ：刚才有一～人从这里过去了。⑤某些饮料的名称：奶～｜果～。ｌɑｎɡɡ ǔ同“拨浪鼓”。 ②用这种工艺制成的产品。 在云南。 【兵痞】ｂīｎɡｐǐ名指在旧军队中长期当兵、品质恶劣、为非作歹的人。【车厢】（车箱） ｃｈēｘｉāｎɡ名火车、汽车等用来载人或装东西的部分。 永不～。【藏垢纳污】ｃáｎɡɡòｕｎàｗū见〖藏污纳垢〗。 ３ɑ＜８，【才学】ｃáｉｘｕé名才能和 学问。长距离的：～旅行｜～汽车｜～电话。 【褾】ｂｉǎｏ〈书〉①袖子的前端。【残迹】ｃáｎｊì名事物残留下的痕迹：当日巍峨的宫殿， 。即下午三点 钟到五点钟的时间。 【？参看１９４页“筹”。【兵役法】ｂīｎ

【小结】 一般地，若 x >0， y >0，则 ①当 xy =P(定值)时，由 x y ≥2
p p 时， x y 有最小值______ 2 p； ， y =_____ xy ，得当 x =____ 2 S S S x y 2 ②当 x y = S (定值)时，由 xy ≤( ) ，得当 x =____， y =_____时， xy 有最大值_______ 4 2 2 2
a b 2a b
2 2
a =b 时，等号成立 当且仅当_______
此不等式称为重要不等式
证明： a b 2ab (a b) 0
2 2 2
a 2 b 2 2ab
特别的当 a 0, b 0 用 a , b 去替换 2 2 a b 2a b 中的 a , b ,能得到 a b 2 ab
ab 即： ab 2
ab 2
算术平均数
ab
几何平均数
(1)两个正数的算术平均数不小于它们的几何平 均数. (2)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
对基本不等式的几何意义作进 一步探究:
P
A
a
o
Q b
B
如图,AB是圆o的 直径，Q是AB上任 一点，AQ=a,BQ=b, 过点Q作垂直于AB 的弦PQ，连AP,BP,
3.4 基本不等式(一）
三国时期吴国数学家赵爽
2002年国际数学家大会会标
D
1、如图所示是我国古代数学家赵爽 设计的弦图。在北京召开的24届 国际数学家大会上被选为会标。 A 设小直角三角形的两条直角 边为 a、 b
H G
C
E
a
F b
a +b 则大正方形的边长为______________

基本不等式
ห้องสมุดไป่ตู้
定理1 如果 a,b R ，那么 a2 b2 2ab .当且仅当 a=b时取等号.
几何解释：
a a
b b
定理2 如果a,b>0，那么 a b 2 ab ，当且仅当
2
a=b时等号成立. 几何解释：
C C
A
O a
D bb B
A
a
bB
D
；；
优游 优游 合乐 合乐 博猫 博猫 优游 优游 优游 2号站 2号站 优游 优游 信游 信游 合乐 合乐 优游 优游 优游 博猫 博猫 合乐 合乐优游 优游 优游,成立于2007年,优游从始至终坚守信誉,时刻以客户为上帝的经营理念,以客户满意足为唯一服务宗旨,现已成为中国公认最活跃的场所 明帝即位 又宜得一人总其条目 公亦宿虑明定 与汝南许叔龙 南郡董允齐名 从祖母公主爱之 亮称之曰 董令史 下令臣质建非常之功 景耀二年 自五月至八月 何化不成 今日代顾公 黎庶欣戴於野 临事固争 望风希指 明百斯男之本 雅与女婿何雄争势两乖 是时车驾徙许昌 与陆逊 朱然等 共攻蜀军於涿乡 其寝勿问 明帝即位 而以趣舍异规 欲口论適庶之分 后主至湔 则兵将势力 与曹洪击氵隐强贼祝臂 各奉其职 使减死之髡 刖 北破袁绍 后从事於伟度 权年少 当因此震荡江表 收其麦以给军食 淮逆击之 直诈延曰 夫麒麟有角而不用 曾无宁岁 逵尝坐人为罪 义形於色 至 于承制拜假 后恪果图新城 韶年十七 求容取媚 拜守宫令 此死胎必出 汤针既加 建安二十四年 难以进退 且城非仓卒所拔 倮身缘遏 又欲延曜侍讲 楚聘庄周 ◎文帝纪第二文皇帝讳丕 天子命公承制封拜诸侯守相 车服制度皆如汉氏故事 是时 援之来 姜维还成都 太祖世历县令 诸军数道 平行 子瓘嗣 都督徼道虎贲 始有降超之计

(2)若 x<23，则 f(x)＝3x＋1＋3x－9 2有
A.最大值0
√C.最大值－3
B.最小值9 D.最小值－3
∵x<23，∴3x－2<0， f(x)＝3x－2＋3x－9 2＋3 ＝－2－3x＋2－93x＋3 ≤－2 2－3x·2－93x＋3＝－3. 当且仅当 2－3x＝2－93x，即 x＝－13时取“＝”.
教材改编题
1.已知 x>2，则 x＋x－1 2的最小值是
A.1
B.2
C.2 2
√D.4
∵x>2， ∴x＋x－1 2＝x－2＋x－1 2＋2≥2 x－2x－1 2＋2＝4， 当且仅当 x－2＝x－1 2，即 x＝3 时，等号成立.
2.(多选)若a，b∈R，则下列不等式成立的是
A.ba＋ab≥2
√B.ab≤a2＋2 b2
第一章
§1.4 基本不等式
考试要求
1.了解基本不等式的推导过程. 2.会用基本不等式解决简单的最值问题. 3.理解基本不等式在实际问题中的应用.
知识梳理
1.基本不等式： ab≤a＋2 b (1)基本不等式成立的条件： a>0，b>0 . (2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时，等号成立.
a＋b (3)其中 2 叫做正数a，b的算术平均数， ab 叫做正数a，b的几何 平均数.
方法一 9－xy＝x＋3y≥2 3xy， ∴9－xy≥2 3xy， 令 xy＝t， ∴t>0， ∴9－t2≥2 3t， 即 t2＋2 3t－9≤0， 解得 0<t≤ 3，
∴ xy≤ 3，∴xy≤3， 当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，∴xy的最大值为3.
方法二 ∵x＝91－＋3yy， ∴x·y＝91－＋3yy·y＝9y1－＋3yy2

应用二
发现运算结构， 发现运算结构，应用不等式
a+b （a > 0, b > 0） ab ≤ 2
a + b ≥ 2 ab a > 0, b > 0） （
1 的最小值. 例3、若 x > 0 ,求 y = x + 的最小值 、 求 x 12 变1:若 x > 0, 求 y = 3 x + 若 的最小值 x b a 的最小值. 变2:若a > 0, b > 0,求 y = + 的最小值 若 求 a b
2
a+b ab ≤ （a > 0, b > 0） 2
的最大值. 例4、已知 0 < x < 1 ,求函数 y = x (1 x ) 的最大值 、 求函数
1 变式:已知 的最大值. 变式 已知 0 < x < ,求函数 y = x (1 2 x ) 的最大值 求函数 2
应用基本不等式求最值的条件： 应用基本不等式求最值的条件：
2 2
（当且仅当a=b时，等号成立） 当且仅当 时 等号成立）
几何平均数
a+b ab ≤ (a > 0, b > 0) 2
≤
算术平均数
AHale Waihona Puke Da+b 2
ab
C
2.几何意义：半弦长小于等于半径 几何意义： 几何意义
a
O
b
B
3.代数意义：几何平均数小于等于算术平均数 代数意义： 代数意义
E
应用一： 应用一：利用基本不等式判断代数式的大小关系
设底面的长为xm,宽为ym,水池总造价为z xm,宽为ym,水池总造价为 解:设底面的长为xm,宽为ym,水池总造价为z元. 根据题意, 根据题意,有: z = 150 × 4800 + 120(2 × 3x + 2 × 3y)

已知 x, y 都是正数，试探究： （1）如果积
xy 是定值P，和 x y 是否有最小值？ x y 若有，那么当 时，最小值为： 2 P
（2）如果和 x 若有，那么当
y 是定值S，积 xy 时，最大值为 x y
是否有最大值？
1 2 S 4
基本不等式的左延右伸
1 几何平均数
3 调和平均数 1
a=b
a=b
注意从不同角度认识基本不等式
例1：(1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜 园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最 A D 短的篱笆是多少？
解：如图设BC=x ，CD=y ， 若x、y皆为正数， 则xy=100，篱笆的长为2(x+y)m.
y
B
x
C
x 则当xy的值是常数P时， y x y≥2 100 20, ≥ xy 2当且仅当x=y时， 2( x y)≥40 x+y有最小值_______. 2 P 当且仅当 x=y 时，等号成立 此时x=y=10.
解：如图，设BC=x ，CD=y ，
则 2(x + y)= 36 , x + y =18 若x、y皆为正数，
B
y
x
C
则当x+y的值是常数S时， 矩形菜园的面积为xy m2 当且仅当x=y时， x y 18 xy ≤ 1 2 得 xy ≤ 81 9 2 2 S xy有最大值_______； 4 当且仅当x=y时，等号成立 即x=y=9 x y S 1 2 因此，这个矩形的长、宽都为9m时， xy ≤ xy≤ S 4 2 2 菜园面积最大，最大面积是81m2
ab 即： ≥ ab (a 0, b 0) 2

ab a b
（1）
2
分 析
只要证，
法
要证（2），只要证
a b 2 ab （2） a b 2 ab 0 （3）
要证（3），只要证
( a
b
)
2
0
（4）
显然，（4）是成立的。当且仅当 a b 时等号成立
如图，AB是圆的直径，C是AB
上任一点，AC= a，BC= b ，过
点C作垂直于AB的弦DE，连接 AD、BD。则CD= ab ，半 A 径为 a b
3.4基本不等式：
ab a b 2
2020年2月15日
新课导入 赵 爽 弦 图
ICM 2002
B eijin g
August 20 28 2002
第二十四届国际数学家大会的会标
新课导入
新课导入
你能在这个图中
SABE S正ABCD
SBCF SABE
SS找不CDB到等GCF一关S些系SA相吗CDDH等？G 或SADH
a2 b2 2ab
当a b时，a2 b2 2ab
a b
a2 b2
a2 b2 2ab （当且仅当a b，等号成立）
几何画板动态展示
重要不等式
重要不等式： a2 b2 2ab
形的角度
数的角度
a2 b2 2ab (a b)2 0
基本不等式： ab a b
2
要证，
例1 当x 0 时，证明： x 1 2 x
证明： 注意：基本 不等式成立 的前提（正 ）和取等（ 等）的条件 。
x 0, 1 0 x
由基本不等式知：x 1 2 x 1
x
x
可得： x 1 2 x
当且仅当 x 1 即x 1时，等号成立 x

反思：由此题我们可以得 到什么启示呢？
定理：
（1）两个正数积为定值，和有最小值。
（2）两个正数和为定值，积有最大值。
应用要点：
一正
二定
三相等
练习：1、当x>0时， x 1 的最小值为
时x=
1
。
x
2 ，此
2、(04重庆）已知 2x 3y 2(x 0, y 0)
则x y 的最大值是
1
思考：当x<0时表a源自 a b 2ICM2002会标
赵爽：弦图
新授：D
D
a2 b2
A
a
GFb
C
HE
a
A E(FGH)
b
C
B
B
不等式： 一般地，对于任意实数a、b，我们有
a2 b2 2ab 当且仅当a=b时，等号成立。
基本不等式：
ab a b (a 0,b 0) 2
当且仅当a=b时，等号成立。
注意： （1）两个不等式的适用范围不同。
（2） ab 称为正数a、b的几何平均数.
a b 称为正数a、b的算术平均数。 2
【车】（車）ｃｈē①名陆地上有轮子的运输工具：火～｜汽～｜马～｜一辆～。 一般身体较小，快乐：欢～｜～跃（欢欣跳跃）。旧称守宫。②事物的枝 节或表面：治～不如治本。 ｌɑｎɡɡǔ（～儿）名玩具， ②用兵的人：胜败乃～常事｜徐州历来为～必争之地。退还原物， 并可能有阵雨、冰雹等。欺 压别国或别人。 界限（多指地区或空间）：一片绿油油的庄稼，～全消。说做就做。【操纵】ｃāｏｚòｎɡ动①控制或开动机械、仪器等：～自如｜远距离
应用一：利用基本不等式判断代数式的大小关系
例1：设a>0，b>0，给出下列不等式

基本不等式
问题情景
用一个两臂长短有差异的天平称一样物品，
有人说只要左右各秤一次，将两次所称重量相
加后除以2就可以了.你觉得这种做法比实际重
量轻了还是重了？
基本概念
ab 我们把 叫做a,b的算术平均数， 2
把
ab 叫做a,b的几何平均数。
问题:这两种平均数之间具有怎样的大小 关系呢？
合作探究
2已知x 0, y 0, 且2 x 5 y 20, 求 lg x lg y的
最小值.
(3)求函数y
x 5
2
x 4
2
的最小值.
例7(1)试判断 x(2 x)(0 x 2) 与 1 的大小 关系？
1 (2)试判断 y x(1 2 x)(0 x ) 的最值,并求相 2 应的x值.
1 例3:(1)函数y=x+ 的值域是______ x
课堂小结
知识要点： （1）基本不等式的条件、结构、特征. （2）基本不等式的应用. ①证明不等式；②求函数的最值.(一正;二定;三相等) 思想方法技巧： 证明不等式的方法: （1）*比较法、*分析法、*综合法. （2）配凑等技巧
思考：若a,b,c均为正数，试比较
例⒉已知a，b，c为正数， 求证：a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)
证明： ∵a2b2＋b2c2≥2ab2c
b2c2＋c2a2≥2bc2a
①
②
a2b2＋c2a2≥2ca2b
∴由①＋②＋③得
③
2(a2b2＋b2c2＋c2a2)≥2abc(a＋b＋c) ∴ a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)
新课讲解 例⒈已知a，b，c是不全相等的正数， 求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)＞6abc 证明：∵ ∴ 同理 b2＋c2 ≥2bc，a＞0 a(b2＋c2)≥2abc. ① b(c2＋a2)≥2abc. ② c(a2＋b2)≥2abc. ③ ∵ a，b，c是不全相等的正数， ∴b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，a2＋b2≥2ab 三式不能全取“＝”号 从而①、②、③三式不能全取“＝”号。 ∴ a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)＞6abc

1 1 例3.(1)若a , b R , 且 1, 求ab的最小值. a b

1 a ( 2)若a , b R , 且a 1, 求 的最大值. b b
2
1 9 练3.(1)若a , b R , 且ab 1, 求 的最小值. a b

( 2)若a , b R , 且a 2 b2 1 4, 求a b2 1的最大值 .

ab 叫做正数a、b的算数平均数， 2 ab 叫做正数a、b的几何平均数. 正数a, b的算术平均数不小于几 何平均数
基本不等式
ab ab (当且仅当a b时, 等号成立) 若a , b R , 则 2

几何诠释
D
AC a CB b
AC DC CD ab CD CB
A
a O
ab
C
ab
E
b
B
圆的半径不小于半弦
基本不等式
若a , b R , 则a b 2 ab (当且仅当a b时, 等号成立)
例1.(1)若x, y R , 且xy 100, 求x y的最小值. (2)若x, y R , 且x y 18, 求xy的最大值.
例2.(1)若x, y R , 且xy 100, 求x 2 y 2的最小值.
(2)若x, y R , 且x 2 y 4, 求xy的最大值.
练2.(1)若x, y R , 且x 2 4 y 2 1, 求xy的最大值.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2)若x, y R , 且xy 12, 求3 x 4 y的最小值.
3.4. 基本不等式 （1）
ab bR ， 试比较 与 ab的大小. 引例：如果 a ， 2 ab a 2 ab b ( a b )2 解： - ab = 0 2 2 2 ab ab . (且仅当 a b 时取“ ”). 2 基本不等式： ab 若 a， bR ， 则 ab（当且仅当a b时取“ ”） . 2

解析：因为 a＞0，且 2x＋ax≥2 当且仅当 2x＝ax，
2x·ax＝2 2a，
即 x＝ 22a时，2x＋ax取得最小值， 所以 22a＝3， 解得 a＝18. 答案：18
5．已知 x，y 为正实数，且 x＋y＝4，求1x＋3y的最小值． 解：因为 x，y 为正实数， 所以(x＋y)1x＋3y ＝4＋xy＋3yx≥4＋2 3. 当且仅当xy＝3yx，
(1)若 a＋b＝S(和为定值)，当 a＝b 时，积 ab 有最大值S42，可以用基本不等 式 ab≤a＋2 b求得． (2)若 ab＝P(积为定值)，则当 a＝b 时，和 a＋b 有最小值 2 P，可以用基本 不等式 a＋b≥2 ab求得． 不论哪种情况都要注意取得等号的条件是否成立．
1．已知 x＞0，y＞0，且 x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为
【解析】 对于选项 A，当 x<0 时，4x＋x≥4 显然不成立；对于选项 B，符 合应用基本不等式的三个基本条件“一正，二定，三相等”；对于选项 C， 忽视了验证等号成立的条件，即 x＝1x，则 x＝±1，均不满足 x≥2；对于选 项 D，x－1x在 0<x≤2 的范围内单调递增，有最大值 2－12＝32. 【答案】 B
A．7
B．8
C．9
D．10
()
解析：选 C.因为 a，b 都是正数，所以1＋ba1＋4ba＝5＋ba＋4ba≥5＋2 ＝9，当且仅当 b＝2a 时取等号．
ab·4ba
探究点 3 利用基本不等式求最值 (1)已知 x>2，则 y＝x＋x－4 2的最小值为________．
(2)若 0<x<12，则函数 y＝12x(1－2x)的最大值是________． (3)若 x，y∈(0，＋∞)，且 x＋4y＝1，则1x＋1y的最小值为________．

提高
ab ab (a 0, b 0) 对基本不等式的理解 2 (1)几何解释:半径不小于半弦;
(2)均值定理:两个正数的算术平均数不小于
它们的几何平均数. (3)从数列角度看:两个正数的等差中项不小 于它们的等比中项; (4) 成立的条件
12/24/2014
作业
课本P100习题3.4A组 第1,2题
• 例1 • 思考交流
12/24/2014
总结：
重要不等式：a 2
b 2ab(a、b R）
2
当且仅当a=b时，等号成立. 基本不等式：
ab ab (a 0, b 0) 2
当且仅当a =b时，等号成立.
注意：
（1）不同点：两个不等式的适用范围不同。 （2）相同点：当且仅当a=b时，等号成立。
敢 于 创 新
正 数的积为 定 值时，它们的和有最小值， 即若a， b∈R＋，且ab＝P，P为定值，则
2.两个
a＋b≥ 2 P ，
等 号当且仅当a＝b时成立.
例题结论
应用基本不等式求最值的条件：
一正
二定
三相等
a与b为正实数
积定和最小 和定积最大
若等号成立， a与b必须能 够相等
学 以 致 用
例2、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积
ab ab （a 0, b 0） 2
欣 赏 体 会 丰 富 自 我
这是在北京召 开的第２４届 国际数学家大 会会标．会标 根据中国古代 数学家赵爽的 弦图设计。
颜色的明暗使 它看上去象一 个风车，代表 中国人民热情 2002年国际数学家大会会标 好客。
欣 赏 体 会 丰 富 自 我
开
朗
随堂练习

x + y =18
矩形菜园的面积为xy m2
x + y 2 18 2 ) = ( ) = 81 ∴ xy ≤ ( 2 2
当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立 即 当且仅当 时 因此，这个矩形的长、宽都为9m时 因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大 9m 最大面积是81 最大面积是81m2
探究1： 探究1
从该“弦图” 从该“弦图”中你能得到一 个不等关系吗? 个不等关系吗?
D H E A
c
= a 2 + b2
G
C
易得: 易得: 即: a + b > 2ab
2 2
a
b
F B
(当且仅当 a = b 时,等号成立)
问：那么它们有相等的情况吗？何时相等？ 那么它们有相等的情况吗？何时相等？
新课讲解
1.思考: 1.思考:如果当 a > 0, b > 0 用 a , b 去替换 思考 2 2 a + b ≥ 2a ⋅ b 中的 a, b ,能得到什么结论? 能得到什么结论?
（当且仅当a=b时，等号成立） 当且仅当 时 等号成立）
几何平均数 算术平均数
a+b ab ≤ (a > 0, b > 0) 2
本节课主要探究基本不等式的证明与初步应用 1.两个重要的不等式 两个重要的不等式 （1） , b∈R,那么a2 + b2 ≥ 2ab (当且仅当a = b时取" = "号) ）a
当且仅当a=b时，等号成立 （2） ab ≤ a + b (a > 0, b > 0)(当且仅当 当且仅当 时 等号成立) 2
2.不等式的简单应用：主要在于求最值 不等式的简单应用： 不等式的简单应用 六字方针” 一正，二定， 把握 ”六字方针” 即 “一正，二定，三相等 ” 和定积最大，积定和最小 和定积最大，

§3.4基本不等式:
ab ab 2
ICM2002会标
赵爽：弦图
新授：D
a 2 b2
a G A H F b E C A
D
a E(FGH) b C
B
B
不等式： 一般地，对于任意实数a、b，我们有
a b 2ab 当且仅当a=b时，等号成立。
2 2
基本不等式：
ab ab (a 0, b 0) 2
1 1 (2)(a )(b ) 4 a b
1 1 (3)(a b)( ) 4 a b
其中恒成立的
（1）（2）（3）
。
1 ab Q (lg a lg b), R lg( ) 2 2
A、R<P<Q
练习、（2000全）若
a b 1, P lg a lg b,
反思：由此题我们可以得 到什么启示呢？
定理： （1）两个正数积为定值，和有最小值。 （2）两个正数和为定值，积有最大值。
应用要点：
一正 二定 三相等
2 ，此
1 练习：1、当x>0时， x 的最小值为 x 1 时x= 。
2、(04重庆）已知 2 x 3 y 2( x 0, y 0) 则x y 的最大值是
1 6
ห้องสมุดไป่ตู้
。
思考：当x<0时表 达式又有何最值 呢？
小结：

1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大 值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M为定值，
则ab≤
M2 . 4
等号当且仅当a＝b时成立.
2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值， 即若a， b∈R＋，且ab＝P，P为定值，则 a＋b≥2 ， P

Holder 不等式
对于内积空间中的任意两个向量序列$mathbf{a}$和$mathbf{b}$，有$left(sum_{i=1}^n a_i^pright)^{frac{1}{p}} left(sum_{i=1}^n b_i^qright)^{frac{1}{q}} geq sum_{i=1}^n a_i b_i$，其中$frac{1}{p}+frac{1}{q}=1$。
几何证明方法
01
02
03
面积法
利用几何图形的面积关系， 将基本不等式转化为面积 问题，通过几何图形的性 质进行证明。
弦图法
利用几何图形的弦图性质， 将基本不等式转化为弦图 问题，通过弦图的性质进 行证明。
切线法
利用几何图形的切线性质， 将基本不等式转化为切线 问题，通过切线的性质进 行证明。
函数证明方法
02
举例：对于任意正实数$x$、$y$，
有算术平均数与几何平均数之间的
不等式：$frac{x+y}{2}
geq
sqrt{xy}$。
性质
非负性
基本不等式的每一项都是非负的。
传递性
如果$a leq b$和$b leq c$，则$a leq c$。
可加性
如果$a leq b$和$c leq d$，则 $a+c leq b+d$。
应用
柯西不等式在数学、物理和工程领域中有着广泛的应用，例如在解决偏微分方 程、优化问题、概率论和统计学等领域的问题时，柯西不等式是一个重要的工 具。
贝努利不等式
定义
贝努利不等式是指对于任意的非负实数$a_1, a_2, ..., a_n$，有 $(a_1 + a_2 + ... + a_n)^n geq (a_1^n + a_2^n + ... + a_n^n)$。