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构造向量巧解有关不等式问题

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构造向量巧解有关不等式问题
陈静
新教材中新增了向量的内容，其中两个向量的数量积有一个性质：a b a b ⋅=⋅||||cos θ（其中θ为向量a 与b 的夹角），则|||||||cos |a b a b ⋅=⋅θ，又-≤≤11c o s θ，则易得到以下推论：
（1）a b a b ⋅≤⋅||||；
（2）||||||a b a b ⋅≤⋅；
（3）当a 与b 同向时，a b a b ⋅=⋅||||；当a 与b 反向时，a b a b ⋅=-⋅||||；
（4）当a 与b 共线时，||||||a b a b ⋅=⋅。

下面例析以上推论在解不等式问题中的应用。

一、证明不等式
例1 已知a b R a b a b 、，，求证：∈+=+++≤+1212122。

证明：设m=（1，1），n a b =++()2121，，则
m n a b ⋅=+++2121
||||m n a b ==+++=221212，
由性质m n m n ⋅≤⋅||||，得212122a b +++≤
例2 已知x y z x y z ++=++≥113222，求证：。

证明：设m=（1，1，1），n=（x ，y ，z ），则
m n x y z m n x y z ⋅=++===++13222||||， 由性质||||||m n m n x y z ⋅≤++≥22222213，得
例3 已知a ，b ，c ∈+R ，求证：a b c b c a c a b a b c 2222+++++≥++。

证明：设m a b c b c a c a b =+++()222，，，n b c a c a b =+++()，，，
则m n a b c ⋅=++
||||()m a b c b a c c a b n a b c =+++++=++2222，
由性质||||||m n m n ⋅≤222，得a b c b c a c a b a b c 2222+++++≥++
例4 已知a,b 为正数，求证：()()()a b a b a b 4422332++≥+。

证明：设m a b n a b ==()()，，，，则22
m n a b m a b n a b ⋅=+=+=+332244||||，
由性质||||||m n m n ⋅≤222，得
()()()a b a b a b 4422332++≥+
例5 设a b c d R ,,,∈，求证：ad bc a b c d +≤+⋅+2222。

证明：设m=（a,b ），n=（c,d ），则 m n ad bc ⋅=+
||||m a b n c d =+=+2222，
由性质a b a b ⋅≤⋅||||，得
ad bc a b c d +≤+⋅+2222
二、比较大小 例6 已知m,n,a,b,c,d ∈=+=+⋅++R p ab cd q ma nc b m d n
，且，，那么p ，q 的大小关系为（ ）
A. p q ≤
B. p q ≥
C. p<q
D. p,q 大小不能确定 解：设h ma nc =()，，k b
m d
n =()，，则 h k ab cd
h ma nc k b
m d n
⋅=+=+=+||||，
由性质||||||h k h k ⋅≤⋅得 ab cd ma nc b
m d
n +≤+⋅+
即p q ≤，故选（A ）
三、求最值
例7 已知m,n,x,y ∈R ，且m n a x y b 2222+=+=，，那么mx+ny 的最大值为（
）
A. ab
B. a b
+2
C. a b 22
2+ D. a b 22
2+
解：设p=（m,n ），q=（x,y ），则
由数量积的坐标运算，得p q mx ny ⋅=+
而||||p m n q x y =+=+2222，
从而有mx ny m n x y +≤+⋅+2222
当p 与q 同向时，mx+ny 取最大值m n x y ab 2222+⋅+=，故选（A ）。

例8 求函数y x x x =-+-<<21521
25
2()的最大值。

解：设m x x n =--=()()215211，，，，则 m n x x
m n ⋅=-+-==215222||||，
由性质m n m n ⋅≤⋅||||，得 y x x =-+-≤215222
当1211523
22x x x y -=-==时，即时，max
四、求参数的取值范围
例9 设x,y 为正数，不等式x y a x y +≤+恒成立，求a 的取值范围。

解：设m x y n ==()，，（，）11，则
m n x y m x y n ⋅=+=+=，，||||2
由性质m n m n ⋅≤⋅||||，得
x y x y +≤⋅+2 又不等式x y a x y +≤+恒成立 故有a ≥2
黑龙江省大庆市66中学（163000）。

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高中数学不等式与向量教案

高中数学不等式与向量教案

高中数学不等式与向量教案
教学内容：不等式与向量
教学目标：通过本节课的学习，学生能够掌握不等式的基础知识，能够解决一元不等式、二元不等式等基础问题，并且能够应用向量的基础知识解决简单问题。

教学重点：不等式的解法；向量的基础知识
教学难点：不等式的应用问题；向量的实际问题
教学过程：
1. 导入新知识（5分钟）：通过举例引出不等式的概念，并与学生讨论不等式的性质和解法。

2. 不等式的解法（15分钟）：介绍一元不等式和二元不等式的解法方法，让学生通过练习题来巩固对不等式解法的理解和掌握。

3. 向量的基础知识（10分钟）：引入向量的概念，讨论向量的性质和表示方法，让学生熟悉向量的基本概念。

4. 课堂练习（15分钟）：让学生进行一些不等式和向量的练习题，帮助他们巩固所学知识。

5. 应用实例（10分钟）：通过一些实际问题让学生应用所学知识解决问题，提高他们的应用能力。

6. 总结回顾（5分钟）：总结本节课所学内容，让学生复习并巩固知识点。

作业布置：布置一些不等式和向量的练习题，让学生在家中进行练习并完成。

教学反思：本节课主要是让学生掌握不等式和向量的基础知识，并且能够应用所学知识解决实际问题。

通过练习题和应用实例的训练，可以提高学生的解题能力和思维能力，为进一步学习数学打下良好的基础。

招教 笔试 技巧类 教师招聘考试数学基础知识考试辅导 构造向量巧解有关不等式问题 付明慧 编写

招教 笔试 技巧类 教师招聘考试数学基础知识考试辅导 构造向量巧解有关不等式问题 付明慧 编写

构造向量巧解有关不等式问题付明慧有关不等式这一知识点，是教师招聘考试的常考考点之一，这一部分的考察题型一部分是选择题，另一部分就是在解答有关函数大题的时候会应用不等式的相关性质进行解题。

在这里，主要是向大家介绍一种应用向量性质的解题技巧。

向量的性质其中两个向量的数量积有一个性质：a b a b ⋅=⋅||||cos θ（其中θ为向量a 与b 的夹角），则|||||||cos |a b a b ⋅=⋅θ，又-≤≤11cos θ，则易得到以下推论：a b a b ⋅≤⋅||||；||||||a b a b ⋅≤⋅；当a 与b 同向时，a b a b ⋅=⋅||||；当a 与b 反向时，a b a b ⋅=-⋅||||；当a 与b 共线时，||||||a b a b ⋅=⋅。

下面通过几道例题向大家详解以上性质及推论在解不等式问题中的应用。

一、证明不等式例1、已知a b R a b a b 、，，求证：∈+=+++≤+1212122。

证明：设m=（1，1），n a b =++()2121，，则m n a b ⋅=+++2121||||m n a b ==+++=221212，由性质m n m n ⋅≤⋅||||，得212122a b +++≤例2、已知x y z x y z ++=++≥113222，求证：。

证明：设m=（1，1，1），n=（x ，y ，z ），则 m n x y z m n x y z⋅=++===++13222||||， 由性质||||||m n m n x y z ⋅≤++≥22222213，得 例3、已知a ，b ，c ∈+R ，求证：a b c b c a c a b a b c 2222+++++≥++。

证明：设m a b c b c a c a b=+++()222，，，n b c a c a b =+++()，，，则m n a b c ⋅=++ ||||()m a b c b a c c a bn a b c =+++++=++2222，由性质||||||m n m n ⋅≤222，得a b c b c a c a b a b c 2222+++++≥++ 例4、已知,a b 为正数，求证：()()()a b a b a b 4422332++≥+。

均值不等式等号成立的常见错误及解决途径

均值不等式等号成立的常见错误及解决途径

均值不等式等号成立的常见错误及解决途径第一篇：均值不等式等号成立的常见错误及解决途径均值不等式等号成立的常见错误及解决途径湖北省郭松不等式的应用是高中数学的重难点，众所周知在均值不等式的应用中应该注意等号成立的条件。

由于对公式的理解不够透彻，会造成一些错误。

一、常见错误１.不能正确判断公式中的a,b例1：已知x∈(0,值？错解：y=x(1-2x)=当x=1-2x即x=1),求函数y=x(1-2x)的最大值，并判断当x为何值时函数取最大2112x+1-2x212x(1-2x)≤()= 22281时等号成立31时等号成4以上解答错误地判断了均值不等式中的a,b。

解答应为当2x=1-2x,当x=立2.错误理解a=b时等号成立例2：已知函数y=x+1(x∈R)求函数的值域错解：y=x+1≥2x,当x=1时等号成立，故y≥2显然解答错误，但许多同学对错误原因不了解。

首先y=x+1≥2x,当x=1时等号成立是正确的。

但并不代表函数的最小值为2，例如x=1时 y=2=2x,x=2222+15时y=>1=2x。

如右图，我们可以 24发现y=x+1≥2x，当x=1时等号成立。

但正确解答为y>1二、解决途径1.利用单调性例3：已知函数y=sinx+解：Θ函数y=x+24,求函数的值域sin2x42在x∈(0,2)函数单调递减，且044∴函数y=sin2x+2≥1+=5 1sinx∴ y∈[5,+∞)因为以上题型是高中常见题，所以我们不妨记一下。

函数y=x+a(a为正常x数,x>0)。

x∈（0，a函数单调递减，x∈]a,+∞函数单调递增。

利用函数的单调性证)明不等式是证明不等式的一种通法。

理论上说不等式都能用函数单调性解答。

2.通过配系数同例3：方法2：(略解)sinx+44222=4 sinx+-3 sinx8-3sinx≥5 ≥22sinxsinx413322方法3：（略解）sinx+= sinx++ 2+≥≥5 sin2xsin2xsin2xsin2x2充分利用，理解不等式等号成立的条件是配系数的关键3.利用换元法例4：已知a+b=1,m+n=9.求am+bn的最大值错解：10= a+b+m+n≥2（am+bn）得：am+bn≤5显然等号不能成立正解：设：a=sinα,b=cosα,m=3sinβ,n=3cosβ得am+bn=3cos(α-β)≤34.构造向量利用向量的性质z1z2≥z1z2同例4：设z1=(a,b),z2=(m,n)得z1z2=am+bn≤z1z2=a2+b222222222m2+n2=3 加强多种方法的解答，注意各部分知识的联系。

思路大全：构造向量巧解有关不等式问题

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构造向量巧解有关不等式问题新教材中新增了向量的内容，其中两个向量的数量积有一个性质：a b a b ⋅=⋅||||cos θ（其中θ为向量a 与b 的夹角），则|||||||cos |a b a b ⋅=⋅θ，又-≤≤11cos θ，则易得到以下推论：（1）a b a b ⋅≤⋅||||；（2）||||||a b a b ⋅≤⋅；（3）当a 与b 同向时，a b a b ⋅=⋅||||；当a 与b 反向时，a b a b ⋅=-⋅||||； （4）当a 与b 共线时，||||||a b a b ⋅=⋅。

下面例析以上推论在解不等式问题中的应用。

一、证明不等式例1 已知a b R a b a b 、，，求证：∈+=+++≤+1212122。

证明：设m=（1，1），n a b =++()2121，，则m n a b ⋅=+++2121||||m n a b ==+++=221212，由性质m n m n ⋅≤⋅||||，得212122a b +++≤ 例2 已知x y z x y z ++=++≥113222，求证：。

证明：设m=（1，1，1），n=（x ，y ，z ），则 m n x y z m n x y z ⋅=++===++13222||||， 由性质||||||m n m n x y z ⋅≤++≥22222213，得 例3 已知a ，b ，c ∈+R ，求证：a b c b c a c a b a b c 2222+++++≥++。

证明：设m a b c b c a c a b=+++()222，，，n b c a c a b =+++()，，， 则m n a b c ⋅=++||||()m a b c b a c c a bn a b c =+++++=++2222，由性质||||||m n m n ⋅≤222，得a b c b c a c a b a b c 2222+++++≥++ 例4 已知a,b 为正数，求证：()()()a b a b a b 4422332++≥+。