2014届高三数学一轮复习专讲专练(教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练)：11.2 排列与组合

2
(72－75)2＋(90－75)2]＝49，∴标准差s＝7.
(2)从前5位同学中，随机地选出2位同学的成绩有： (70,76)，(70,72)，(70,70)，(70,72)，(76,72)，(76,70)， (76,72)，(72,70)，(72,72)，(70,72)，共10种， 恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的有：(70,76)， 4 (76,72)，(76,70)，(76,72)，共4种，所求的概率为 10 ＝0.4， 则恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率为0.4.
方法点睛
有关古典概型与统计结合的题型是高考考查
概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计 结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、分布直方 图、茎叶图等给出信息，只需要能够从题中提炼出需要的信 息，则此类问题即可解决．
变式训练3 一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿 车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单 位：辆)： 轿车A 舒适型 标准型 100 300 轿车B 150 450 轿车C z 600
01教材回扣
自主学习
必考必记,学教相长
知识梳理 1.基本事件的特点 1 ______的． (1)任何两个基本事件是□ 2 ______的 (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成 □ 和．
2．古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称 古典概型． 3 __________. (1)试验中所有可以出现的基本事件□ 4 ________. (2)每个基本事件出现的可能性□
第十二章 概率、随机变量及其分布
§12.2 古典概型
01教材回扣
02考点分类
03课堂内外
双基限时练
[高考调研 明确考向] 考纲解读 考情分析

2014届高三数学一轮复习专讲专练（教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练）：2.3 函数的单调性与最值一、选择题1．给定函数①y ＝x 12 ；②y ＝log 12 (x ＋1)；③y ＝|x －1|；④y ＝2x ＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析：①是幂函数，其在(0，＋∞)上为增函数，故此项不符合题意；②中的函数是由函数y ＝log 12 x 向左平移1个单位而得到的，因原函数在(0，＋∞)上为减函数，故此项符合题意；③当x ∈(0,1)时，y ＝|x －1|＝1－x ，故符合题意；④中的函数为指数函数，其底数大于1，故其在R 上单调递增，不符合题意，综上可知选择B.答案：B2．(2012·广东)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．y ＝x ＋1x解析：函数y ＝ln(x ＋2)的定义域为(－2，＋∞)，且在定义域内单调递增，满足题意，故选A.答案：A3．(2013·安庆月考)函数y ＝x －5x －a －2在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．a ＝－3B ．a ＜3C ．a ≤－3D ．a ≥－3解析：y ＝x －5x －a －2＝1＋a －3x －a ＋2，需⎩⎪⎨⎪⎧a －3＜0，a ＋2≤－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＜3，a ≤－3，∴a ≤－3.答案：C4．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2x ，x ≥2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1，x ＜2是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，138 C ．(0,2)D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫138，2 解析：由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a －2＜0a －2×2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1，解得a ≤138. 答案：B5．(2013·山东曲阜师大附中月考)已知函数f (x )在[0，＋∞)上为增函数，g (x )＝－f (|x |)，若g (lg x )＞g (1)，则x 的取值范围是( )A ．(0,10)B ．(10，＋∞) C.⎝⎛⎭⎪⎫110，10D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，110∪(10，＋∞)解析：∵g (lg x )＞g (1)，g (x )＝－f (|x |)， ∴－f (|lg x |)＞－f (1)． ∴f (|lg x |)＜f (1)．又∵f (x )在[0，＋∞)上是增函数，∴|lg x |＜1. ∴－1＜lg x ＜1. ∴110＜x ＜10.选C. 答案：C6．(2013·江西师大附中月考)设奇函数f (x )在[－1,1]上是增函数，且f (－1)＝－1，当a ∈[－1,1]时，f (x )≤t 2－2at ＋1对所有的x ∈[－1,1]恒成立，则t 的取值范围是( )A ．t ≥2或t ≤－2或t ＝0B ．t ≥2或t ≤－2C ．t ＞2或t ＜－2或t ＝0D ．－2≤t ≤2解析：由题意可知f (x )在[－1,1]上的最大值为f (1)＝－f (－1)＝1，所以，当a ∈[－1,1]时，f (x )≤t 2－2at ＋1对所有的x ∈[－1,1]恒成立等价于t 2－2at ＋1≥1时，即t 2－2at ≥0对a ∈[－1,1]恒成立．令g (a )＝(－2t )·a ＋t 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧g －1＝t 2＋2t ≥0，g 1＝t 2－2t ≥0.解得t ≤－2或t ≥2或t ＝0.选A.答案：A 二、填空题7．函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为__________．解析：∵y ＝x －x ＝－(x )2＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14，∴y max ＝14.答案：148．若函数f (x )＝4xx 2＋1在区间(m,2m ＋1)上是单调递增函数，则m ∈__________. 解析：∵f ′(x )＝41－x 2x 2＋12，令f ′(x )＞0得－1＜x ＜1，∴f (x )的增区间为(－1,1)．又∵f (x )在(m,2m ＋1)上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－1，2m ＋1≤1.∴－1≤m ≤0.∵区间在(m,2m ＋1)上，∴隐含2m ＋1＞m ，即m ＞－1. 综上，－1＜m ≤0. 答案：(－1,0]9．(2013·厦门调研)已知函数f (x )＝ax －32x 2的最大值不大于16，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12时，f (x )≥18，则a 的值为__________．解析：f (x )＝－32⎝⎛⎭⎪⎫x －a 32＋16a 2，由f (x )max ＝16a 2≤16得－1≤a ≤1，函数f (x )的图像的对称轴为x ＝a3，当－1≤a ＜34时，－13≤a 3＜14，⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12是f (x )的递减区间，而f (x )≥18，即f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝a 2－38≥18，得a ≥1，与－1≤a ＜34矛盾，即不存在这样的a 值；当34≤a ≤1时，14≤a 3≤13， 结合图像知道区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12的端点12离对称轴的距离大，故f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝a 2－38≥18，a ≥1，而34≤a ≤1，得a ＝1，∴a ＝1. 综上可知，a ＝1.答案：1 三、解答题10．已知函数f (x )＝1a －1x(a ＞0，x ＞0)．(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数；(2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值． 解析：(1)设x 2＞x 1＞0，则x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0，∵f (x 2)－f (x 1)＝⎝⎛⎭⎪⎫1a －1x 2－⎝⎛⎭⎪⎫1a －1x1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2＞0，∴f (x 2)＞f (x 1)．∴f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数．(2)∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递增， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f (2)＝2，解得a ＝25.11．已知函数f (x )＝a ·2x＋b ·3x，其中常数a ，b 满足ab ≠0. (1)若ab ＞0，判断函数f (x )的单调性；(2)若ab ＜0，求f (x ＋1)＞f (x )时的x 的取值范围．解析：(1)当a ＞0，b ＞0时，因为a ·2x、b ·3x都单调递增，所以函数f (x )单调递增； 当a ＜0，b ＜0时，因为a ·2x、b ·3x都单调递减，所以函数f (x )单调递减． (2)f (x ＋1)－f (x )＝a ·2x＋2b ·3x＞0.(ⅰ)当a ＜0，b ＞0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32x＞－a 2b ，解得x ＞log 32⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b ；(ⅱ)当a ＞0，b ＜0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32x＜－a 2b ，解得x ＜log 32⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b .12．(2013·南昌调研)f (x )的定义域为(0，＋∞)，且对一切x ＞0，y ＞0都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y＝f (x )－f (y )，当x ＞1时，有f (x )＞0.(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性并证明；(3)若f (6)＝1，解不等式f (x ＋3)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＜2. 解析：(1)f (1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x x＝f (x )－f (x )＝0，x ＞0.(2)设0＜x 1＜x 2，则由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )，得f (x 2)－f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1，∵x 2x 1＞1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1＞0.∴f (x 2)－f (x 1)＞0，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(3)∵f (6)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫366＝f (36)－f (6)，∴f (36)＝2， 原不等式化为：f (x 2＋3x )＜f (36)， ∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＞0，1x ＞0，x 2＋3x ＜36，解得0＜x ＜317－32.故原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，317－32.。

∴y＜0，sinθ＝ 16y＋y2＝－255⇒y＝－8.
答案：－8
02考点分类 案例剖析
研习考点,触类旁通
考点一 角的集合表示及象限角的判定
[例1] (1)写出终边在直线y＝ 3x上的角的集合；
(2)若角θ的终边与
6π 7
角的终边相同，求在[0,2π)内终边与
θ 3
的终边相同的角；
(3)已知角α是第二象限角，试确定2α、α2所在的象限．
弦、余弦、正切)的定义. 形式考查.
01教材回扣 自主学习
必考必记,学教相长
知识梳理 1.角的概念的推广
(1)按旋转方向不同分为□1 ______、□2 _____、□3 ___. (2)按终边位置不同分为 □4 ______和终边落在坐标轴上
的角．
2．终边相同的角
终边与角α相同的角可写成□5 ________________.
rl与所取的r的大小□11 ________，仅与□12 ________有关． (4)弧度与角度的换算：360°＝ □13 ____弧度；180°＝ □14
____弧度．
□ (5)弧长公式：l＝ 15 __________，扇形面积公式：S扇形 ＝□16 ________＝□17 ________.
正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延
长线相交于点T，则tanα＝ □23 ________.我们把有向线段 OM、MP、AT叫做α的□24 ______、□25 _____、□26 _______.
三角函数
正弦
三角函数线 有向线段MP为正弦线
三角函数
余弦
三角函数线 有向线段OM为余弦线
3．弧度制
(1)1弧度的角：把长度等于□6 ________长的弧所对的圆

2014届高三数学一轮复习专讲专练（教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练）：6.4 数列求和一、选择题1．(2013·菏泽调研)等差数列{a n }的通项公式a n ＝2n －1，数列(1a n a n ＋1)，其前n 项和为S n ，则S n 等于( )A.2n2n ＋1B.n 2n ＋1C.n2n －1D ．以上都不对解析：∵a n ＝2n －1， ∴1a n a n ＋1＝12n ＋12n －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1.∴S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋15－17＋…＋12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1. 答案：B2．(2013·济宁月考)若数列{a n }的通项为a n ＝4n －1，b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n，n ∈N *，则数列{b n }的前n 项和是( )A ．n 2B ．n (n ＋1)C ．n (n ＋2)D ．n (2n ＋1)解析：a 1＋a 2＋…＋a n ＝(4×1－1)＋(4×2－1)＋…＋(4n －1)＝4(1＋2＋…＋n )－n ＝2n (n ＋1)－n ＝2n 2＋n ，∴b n ＝2n ＋1，b 1＋b 2＋…＋b n ＝(2×1＋1)＋(2×2＋1)＋…＋(2n ＋1)＝n 2＋2n ＝n (n ＋2). 答案：C3．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－4n ＋2，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝( ) A ．66 B ．65 C ．61 D ．56 解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－4n ＋2－[(n －1)2－4(n －1)＋2] ＝2n －5.∴a 2＝－1，a 3＝1，a 4＝3，…，a 10＝15. ∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝1＋1＋81＋152＝2＋64＝66. 答案：A4．若S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1·n ，则S 17＋S 33＋S 50等于( )A ．1B ．－1C ．0D ．2解析：S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＋12n 为奇数，－n2n 为偶数.故S 17＝9，S 33＝17，S 50＝－25，S 17＋S 33＋S 50＝1. 答案：A5．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋2(n ∈N *)，若前n 项和为S n ，则S n 为( )A.n ＋2－1B.n ＋2＋n ＋1－2－1C.12(n ＋2－1) D.12(n ＋2＋n ＋1－2－1) 解析：∵a n ＝1n ＋n ＋2＝12(n ＋2－n )，∴S n ＝12(3－1＋4－2＋5－3＋6－4＋…＋n －n －2＋n ＋1－n －1＋n ＋2－n )＝12(－1－2＋n ＋1＋n ＋2)＝12(n ＋2＋n ＋1－2－1).答案：D6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－6n ，则{|a n |}的前n 项和T n ＝( ) A ．6n －n 2B ．n 2－6n ＋18C.⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 21≤n ≤3，n 2－6n ＋18 n ＞3D.⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 21≤n ≤3，n 2－6n n ＞3解析：由S n ＝n 2－6n ，得{a n }是等差数列，且首项为－5，公差为2. ∴a n ＝－5＋(n －1)×2＝2n －7. ∴n ≤3时，a n ＜0；n ＞3时a n ＞0.∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 21≤n ≤3，n 2－6n ＋18 n ＞3.答案：C 二、填空题7．设{a n }是等差数列，{b n }是各项都为正数的等比数列，且a 1＝b 1＝1，a 3＋b 5＝19，a 5＋b 3＝9，则数列{a n b n }的前n 项和S n ＝__________.解析：由条件易求出a n ＝n ，b n ＝2n －1(n ∈N *)．∴S n ＝1×1＋2×21＋3×22＋…＋n ×2n －1，①2S n ＝1×2＋2×22＋…＋(n －1)×2n －1＋n ×2n.②由①－②，得 －S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ×2n，∴S n ＝(n －1)·2n＋1. 答案：(n －1)·2n＋1 8．在数列{a n }中，a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1，又b n ＝2a n a n ＋1，则数列{b n }的前n 项和为__________．解析：∵a n ＝n n ＋12n ＋1＝n 2，∴b n ＝8n n ＋1＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1. ∴b 1＋b 2＋…＋b n ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝8n n ＋1.答案：8nn ＋19．若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋3n (n ∈N *)，则a 12＋a 23＋…＋a nn ＋1＝__________.解析：令n ＝1，得a 1＝4，∴a 1＝16.当n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(n －1)2＋3(n －1)． 与已知式相减，得a n ＝(n 2＋3n )－(n －1)2－3(n －1)＝2n ＋2.∴a n ＝4(n ＋1)2.∴n ＝1时，a 1适合a n .∴a n ＝4(n ＋1)2. ∴a nn ＋1＝4n ＋4，∴a 12＋a 23＋…＋a n n ＋1＝n 8＋4n ＋42＝2n 2＋6n .答案：2n 2＋6n 三、解答题10．设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3·22n －1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解析：(1)由已知，当n ≥1时，a n ＋1＝[(a n ＋1－a n )＋(a n －a n －1)＋…＋(a 2－a 1)]＋a 1＝3(22n－1＋22n －3＋…＋2)＋2＝22(n ＋1)－1.∴当n ≥2时a n ＝22n －1，而a 1＝2，符合上式，于是数列{a n }的通项公式为a n ＝22n －1.(2)由b n ＝na n ＝n ·22n －1，知S n ＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n ·22n －1.①从而22·S n ＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n ·22n ＋1.②①－②，得(1－22)S n ＝2＋23＋25＋…＋22n －1－n ·22n ＋1.即S n ＝19[(3n －1)22n ＋1＋2]．11．已知等差数列{a n }满足a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ； (2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n . 解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d .因为a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2.故a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，S n ＝3n ＋n n －12×2＝n 2＋2n .(2)由(1)知，a n ＝2n ＋1， 从而b n ＝1a 2n －1＝12n ＋12－1＝14·1n n ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， 从而T n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n4n ＋1，即数列{b n }的前n 项和T n ＝n4n ＋1.12．已知数列{a n }是首项为a 1＝14，公比q ＝14的等比数列，设b n ＋2＝3log 14 a n (n ∈N *)，数列{c n }满足c n ＝a n ·b n .(1)求数列{b n }的通项公式； (2)求数列{c n }的前n 项和S n .解析：(1)由题意，知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14n (n ∈N *)，又b n ＝3log 14a n －2，故b n ＝3n －2(n ∈N *)．(2)由(1)，知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ，b n ＝3n －2(n ∈N *)，∴c n ＝(3n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n (n ∈N *)．∴S n ＝1×14＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋7×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…＋(3n －5)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1＋(3n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n，于是14S n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋7×⎝ ⎛⎭⎪⎫144＋…＋(3n －5)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋(3n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋1，两式相减，得34S n ＝14＋3⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…⎦⎥⎤＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －(3n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋1＝12－(3n ＋2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋1，∴S n ＝23－3n ＋23×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n (n ∈N *)．。