安徽省滁州市定远县育才学校2019届高三(普通班)上学期入学考试数学(理)试卷
- 格式：doc
- 大小：853.00 KB
- 文档页数：12
定远育才学校2018-2019学年第一学期入学考试高三（普通班）数学理科全卷满分150分，考试用时120分钟第I 卷（选择题 60分）一、选择题（本题有12小题，每小题5分，共60分。
）1.命题“若1a b +>，则,a b 中至少有一个大于1”的否命题为（ ） A.若,a b 中至少有一个大于1，则1a b +> B. 若1a b +≤，则,a b 中至多有一个大于1 C. 若1a b +≤，则,a b 中至少有一个大于1 D. 若1a b +≤，则,a b 都不大于12.若复数 （ 为虚数单位）为纯虚数，则实数 的值是（ ）A.B.或 C. 或D.3.已知数列{}n a 的前n 项和3n n S a =+，则“1a =-”是“{}n a 为等比数列”的 A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分又不必要条件4.为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为（ ）A. 10B. 9C. 11D. 85.在的展开式中， 项的系数为（ ）A.28B.56C.-28D.-566.在平面直角坐标系xOy 中，动点(),P x y 与两点()()1,0,1,0A B -的连线,PA PB 的斜率之积为1y，则点P 的轨迹方程为（ ） A.()2310x y y -=≠B. ()23211x y x +=≠C.231x y -=D. 231x y += 7.设点是曲线上的点,，，则（ ）A. B.C. D.与10的大小关系不确定8.已知抛物线C ： 28x y =的焦点为F ， ()00A x y ，是C 上一点，且02AF y =，则0x =（ ）A. 2B. 2±C. 4D. 4±9.在平面直角坐标系xOy 中，已知((,0,,A B P 为函数y =图象上一点，若2PB PA =，则cos APB ∠= （ ）A. 13B. C.34 D. 3510.函数()21ln 2f x x x =-的单调递减区间为 ( )A. (),1-∞B. (1，＋∞)C. (0，1)D. （0，＋∞）11.如图，60°的二面角的棱上有,A B 两点，直线,AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ．已知4,6,8AB AC BD ===，则CD 的长为（ ）A.B. 7C. D. 912.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面为正三角形，侧棱垂直于底面， 4AB =，16AA =，若E 、F 分别是棱1BB ， 1CC 上的点，且1BE B E =， 1113C F CC =，则异面直线1A E 与AF 所成角的余弦值为（ ）A.B.C.D. 二、填空题（本题有4小题，每小题5分，共20分。
）13.在正方体中, 分别是的中点, 则异面直线与所成角的大小是_________.14.若某一射手射击所得环数X 的分布列如下：则此射手“射击一次命中环数7X ＜”的概率是_________.15.一圆形纸片的半径为10cm ，圆心为O ， F 为圆内一定点， 6OF cm =， M 为圆周上任意一点，把圆纸片折叠，使M 与F 重合，然后抹平纸片，这样就得到一条折痕CD ，设CD 与OM 交于P 点（如图），以FO 所在直线为x 轴，线段FO 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系，则点P 的轨迹方程为__________．16.已知()3223f x x ax bx a =+++在1x =-时有极值0，则a b +=__________. 三、解答题（本题有6小题，共70分。
）17. （10分）命题p ：已知实数x ， y 满足约束条件20{2 2x y y x y x-≥≥-≥-，二元一次不等式220x y a +-≤恒成立，命题q ：设数列{}n a 的通项公式为29n n a n +=，若*x N ∃∈，使得n a a ≤．（1）分别求出使命题p ， q 为真时，实数a 的取值范围； （2）若命题p 与q 真假相同，求实数a 的取值范围.18. （10分）第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行,这是2017年我国重要的主场外交活动,对推动国际和地区合作具有重要意义.某高中政数处为了调查学生对“一带一络"的关注情况,在全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试,并从中随机抽取了12份问卷,得到其测试成绩(百分制),如茎叶图所示.（1）写出该样本的众数、中位数,若该校共有3000名学生,试估计该校测试成绩在70分以上的人数；（2）从所轴取的70分以上的学生中再随机选取4人.①记 表示选取4人的成绩的平均数,求；②记 表示测试成绩在80分以上的人数,求 的分布列和数学期望. 19.（14分）如图,四棱锥P ABCD -,侧面PAD 是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面A B C D 是60ABC ∠=的菱形, M 为棱PC 上的动点,且[]()01PMPCλλ=∈，. (I)求证： PBC ∆为直角三角形；(II)试确定λ的值，使得二面角P AD M --20. （14分）设椭圆M ： 22221(0)y x a b a b+=>>的离心率与双曲线221x y -=的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4． （1）求椭圆M 的标准方程；（2）若直线y m =+交椭圆M 于A ， B 两点， ()1,P t （0t >）为椭圆M 上一点，求PAB ∆面积的最大值．21. （12分）数列{}n a 满足116a =，前n 项和()12n n n n S a +=． （1）写出234,,a a a ；（2）猜出n a 的表达式，并用数学归纳法证明．22. （10分）以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的参数方程为{x y == (t 为参数) {4x y π=⎛⎫⎪⎝⎭=．(1)若曲线C 在点(1,1)处的切线为l ，求l 的极坐标方程；(2)若点A的极坐标为4π⎛⎫ ⎪⎝⎭，且当参数t ∈[0，π]时，过点A 的直线m 与曲线C 有两个不同的交点，试求直线m 的斜率的取值范围．参考答案一、选择题（本题有12小题，每小题5分，共60分。
）1.D2.D3.A4.A5.A6.A7.A8.D9.C 10.C 11.C 12.D二、填空题（本题有4小题，每小题5分，共20分。
） 13.14.0.1215.2212516x y += 16.11三、解答题（本题有6小题，第17、18、22题各10分；第19、20题各14分；第21题12分，共70分。
） 17.解：（1）约束条件2022x y y x y x-≥≥-≥-，画出可行域，结合图象可得当目标函数2z x y =+过点A 时，目标函数取得最大值.20{ 2x y y x -==-得()42A ，，则2z x y =+的最大值为10.所以命题p 为真： 5a ≥ 由299n n a n n n +==+6≥=（当且仅当9n n =，即3n =时取等号.）所以命题q 为真： 6a ≥ （2）因为命题p 与q 真假相同 ①若p 与q 同为真：则5{ 6a a ≥≥，∴6a ≥，②若p 与q 同为假，则5{ 6a a <<，∴5a <. 综上： 5a <或6a ≥. 18. 解：（1）众数为76，中位数为76.抽取的12人中，70分以下的有4人，不低于70分的有8人，故从该校学生中人选1人，这个人测试成绩在70分以上的概率为，故该校这次测试成绩在70分以上的约有（人）（2）①由题意知70分以上的有72，76，76，76，82，88，93，94. 当所选取的四个人的成绩的平均分大于87分时，有两类. 一类是82，88，93，94，共1种；另一类是76，88，93，94，共3种.所以 .②由题意可得， 的可能取值为0，1，2，3，4,,,,.的分别列为.19. 解：(I)取AD 中点O ,连结,,OP OC AC ，依题意可知,PAD ACD ∆∆均为正三角形，所以,OC AD OP AD ⊥⊥,又OC OP O OC ⋂=⊂，平面,POC OP ⊂平面POC ， 所以AD ⊥平面POC ，又PC ⊂平面POC ，所以AD PC ⊥,因为//BC AD ,所以BC PC ⊥，即90PCB ∠=, 从而PBC ∆为直角三角形.说明:利用 PC ⊥平面AMD 证明正确,同样满分!(II)由(I)可知P O A D ⊥,又平面PAD ⊥平面A B C D ,平面PAD ⋂平面A B C D A D =,PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥平面ABCD .以O 为原点，建立空间直角坐标系O xyz -如图所示,则(()())00,010,010,0P A D C-，，，，，,(3,0PC =由PM PC λλ==可得点M 的坐标()3,0,λ所以())3,1,,AM DM λ==-，,设平面MAD 的法向量为(),,n x y z =，则0{n AM n DM ⋅=⋅=,即))0 0x y z x y z ++=-+=解得1{x z y λλ-==， 令z λ=，得()1,0,n λλ=-， 显然平面PAD 的一个法向量为()3,00OC =，,依题意(3cos(,)|n OC n OC n OCλλ-⋅===， 解得13λ=或1λ=-（舍去），所以，当13λ=时，二面角P AD M --20.解：（Ⅰ）双曲线的离心率为（1分），则椭圆的离心率为（2分）， 2a=4， （3分）由⇒，故椭圆M 的方程为22142y x +=．（5分）（Ⅱ）由，得， （6分） 由，得﹣2＜m ＜2∵，． （7分）∴=（9分）又P 到AB 的距离为． （10分）则， （12分） 当且仅当取等号 （13分） ∴． （14分）21.解：（1）令2n =，∵116a =，∴()222212s a ⨯+=，即1223a a a +=，∴2112a =． 令3n =，得()333312S a ⨯+=，即12336a a a a ++=，∴3120a =．令4n =，得()444412S a ⨯+=，即1234410a a a a a +++=，∴4130a =．（2）猜想()()112n a n n =++，下面用数学归纳法给出证明．①当1n =时， ()()11161112a ==++，结论成立．②假设当n k =时，结论成立，即()()112k a k k =++，则当1n k =+时， ()()()()()111221222k k k k k k kS a k k k ++==⋅=+++，()()11122k k k k S a --++=，即()()11122k k k k k S a a --+++=．∴()()()1112222k k k k ka a k -++++=+，∴()()()()()()()122112322312k kk ka k k k k k k k ++===++++++-．当1n k =+时结论成立．由①②可知，对一切n N +∈都有()()112n a n n =++．22.解：(1)∵{x y ==，∴222x y +=，点()1,1在圆上，故切线方程为2x y +=， ∴sin cos 2ρθρθ+=，l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ (2)点A 的直角坐标为()2,2，设m ： ()22y k x =-+，m 与半圆222x y += (0y ≥)相切时，=∴2410k k -+=，∴2k =2舍去)．设点B ()，则2k =m的斜率的取值范围为(2．。
