【解析版】广东省惠州市2013届高三第三次调研数学试卷(理科)
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广东省惠州市2013届高三第三次调研数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）（2013•惠州模拟）复数的共轭复数是（）
的分子、分母同时乘以复数
=
2．（5分）（2013•惠州模拟）已知向量=（2，﹣3），=（x，6），且，则|+|的值
B
解：由向量==，且
，
=．
3．（5分）（2013•惠州模拟）已知集合A={﹣1，1}，B={x|ax+1=0}，若B⊆A，则实数a的
4．（5分）（2013•惠州模拟）已知幂函数y=f（x）的图象过点（，），则log4f（2）的
B
，图象过点（，
），
=．
22
转化为，然后根据椭圆的定义判断．
转化为，
，且
，可得出
6．（5分）（2013•济宁一模）某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员的中位数分别为（）
7．（5分）（2013•惠州模拟）已知x、y满足约束条件，则Z=2x+4y的最小值为
解：满足约束条件
（﹣，﹣
×）
8．（5分）（2013•惠州模拟）数列{a n} 中，a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则数列{a n}前12项和
二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分）(必做题:第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答,选做题:14～15题，考生只能从中选做一题）
9．（5分）（2013•惠州模拟）在等比数列{a n}中，a1=1，公比q=2，若{a n}前n项和S n=127，则n的值为7．
127=
10．（5分）（2013•济宁二模）阅读如图的程序框图．若输入n=5，则输出k的值为3．
11．（5分）（2013•惠州模拟）已知双曲线﹣=1的一个焦点与抛线线y2=4x的焦
点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为．
=4
双曲线的离心率等于
x的焦点（
=
．
故答案为：．
12．（5分）（2013•惠州模拟）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的有④．
①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
③若m∥α，m∥β，则α∥β；④若m⊥α，n⊥α，则m∥n．
13．（5分）（2013•惠州模拟）已知函数f（x）=．若f（x）在（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为1＜a≤2．
递增，且a
递增，且
①，由a
14．（5分）（2013•梅州二模）如图，PA切⊙O于点A，割线PBC经过圆心O，OB=PB=1，
OA绕点O逆时针旋转60°到OD，则PD的长为．
POD=
，
15．（2013•惠州模拟）在极坐标系中，已知两点A、B的极坐标分别为（3，），（4，），则△AOB（其中O为极点）的面积为3．
首先由极坐标与直角坐标系转换公式
解：由极坐标与直角坐标系转换公式
，）
的直角坐标分别为
三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）16．（12分）（2013•惠州模拟）已知函数f（x）=sinxcosφ+cosxsinφ（其中x∈R，0＜φ＜π），
且函数y=f（2x+）的图象关于直线x=对称．
（1）求φ的值；
（2）若f（a﹣）=，求sin2a的值．
）+
；
代入（a+=
sina+cosa=
））2x+
+x=
满足2x++k
++
…
）+a+
）sina+cosa=，
=a=
，解之可得…
对称，求
17．（12分）（2013•惠州模拟）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求图中实数a的值；
（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60
分的人数；
（3）若从数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．
．
18．（14分）（2005•江西）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动．
（1）证明：D1E⊥A1D；
（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；
（3）AE等于何值时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．
殊功效，减少了推理，但计算相对较为复杂．根据既
，
的法向量为，从而
为
的法向量，可求得．
的大小为AE=
的大小为．
．∴
∴，∴
，∴
∵
∴
∴
，的法向量为
则，得，从而的距离为
的法向量，∴
由
∴
依题意
∴．
的大小为
19．（14分）（2013•惠州模拟）已知点（1，）是函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1）的图象上一点，等比数列{a n}的前n项和为f（n）﹣c，数列{b n}（b n＞0）的首项为c，且前n项和S n满足：S n﹣S n﹣1=+（n≥2）．
（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；
（2）若数列{c n}的通项c n=b n，求数列{c n}的前n项和R n；
（3）若数列{}前n项和为T n，问T n＞的最小正整数n是多少？
，
，然后由
+（{
n
{进行求解．
）是函数
所以，所以，
所以
．成等比数列，所以，
所以
所以
+
，所以
{
，所以
，
所以，；
）由
①两边同时乘以
②
所以
）
；
，得＞，所以，满足
20．（14分）（2013•惠州模拟）（理科）设椭圆的右焦点为F1，直线与x轴交于点A，若（其中O为坐标原点）
（1）求椭圆M的方程；
（2）设点P是椭圆M上的任意一点，线段EF为圆N：x2+（y﹣2）2=1的任意一条直径（E、F为直径的两个端点），求的最大值．
的坐标，利用
的最大值转化为求的最大值，
）由题设知，）
，∴
的方程为
=
从而将求的最大值转化为求
，即
，∴=x
，∴当时，
21．（14分）（2013•惠州模拟）已知函数f（x）=ln（2ax+1）+﹣x2﹣2ax（a∈R）．
（1）若x=2为f（x）的极值点，求实数a的值；
（2）若y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；
（3）当a=﹣时，方程f（1﹣x）=有实根，求实数b的最大值．）由题意可得
）由题意可得
lnx+
=
，其对称轴为
的取值范围为
）若时，方程0
．
．
）在
）在
故必有，又
使得
，lnx+。
