高考数学总复习教案:任意角和弧度制及任意角的三角函数
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第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第1课时 任意角和弧度制及任意角的三角函数
(对应学生用书(文)、(理)40~41页)
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考情分析
考点新知
① 了解任意角的概念;了解终边相同的角的意义.
② 了解弧度的意义,并能进行弧度与角度的互化.
③ 理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义;初步了解有向线段的概念,会利用单位圆中的三角函数线表示任意角的正弦、余弦、正切.
① 能准确进行角度与弧度的互化.
② 准确理解任意角三角函数的定义,并能准确判断三角函数的符号.
1. (必修4P15练习6改编)若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0,则角θ的终边一定落在第________象限. 答案:四 解析:由sin θ<0,可知θ的终边可能位于第三或第四象限,也可能与y 轴的非正半轴重合.由tan θ<0,可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限,可知θ的终边只能位于第四象限.
2. 角α终边过点(-1,2),则cos α=________. 答案:-5
5
3. 已知扇形的周长是6cm ,面积是2cm2,则扇形的圆心角的弧度数是________. 答案:1或4
4. 已知角α终边上一点P(-4a ,3a)(a<0),则sin α=________. 答案:-3
5
5. (必修4P15练习2改编)已知角θ的终边经过点P(-x ,-6),且cos θ=-5
13,则sin θ=____________,tan θ=____________. 答案:-1213 12
5 解析:cos θ=
-x
x2+36=-513,解得x =5
2.sin θ=-6⎝
⎛⎭
⎫-52
2
+(-6)2=-1213,tan θ=12
5.
1. 任意角
(1) 角的概念的推广
① 按旋转方向不同分为正角、负角、零角. ② 按终边位置不同分为象限角和轴线角. (2) 终边相同的角
终边与角α相同的角可写成α+k·360°(k ∈Z). (3) 弧度制
① 1弧度的角:长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.
② 规定:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零,|α|=l
r ,l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长,r 为半径.
③ 弧度与角度的换算:360°=2π弧度;180°=π弧度. ④ 弧长公式:l =|α|r .
扇形面积公式:S 扇形=12lr =1
2|α|r2. 2. 任意角的三角函数
(1) 任意角的三角函数定义
设P(x ,y)是角α终边上任一点,且|PO|=r(r >0),则有sin α=y r ,cos α=x r ,tan α=y
x ,它们都是以角为自变量,以比值为函数值的函数.
(2) 三角函数在各象限内的正值口诀是:Ⅰ全正、Ⅱ正弦、Ⅲ正切、Ⅳ余弦. 3. 三角函数线
设角α的顶点在坐标原点,始边与x 轴非负半轴重合,终边与单位圆相交于点P ,过P 作PM 垂直于x 轴于M ,则点M 是点P 在x 轴上的正射影.由三角函数的定义知,点P 的坐标为(cos α,sin α),即P(cos α,sin α),其中cos α=OM ,sin α=MP ,单位圆与x 轴的正半轴交于点A ,单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ,则tan α=AT .我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线. 三角函数线
[备课札记]
题型1 三角函数的定义
例1 α是第二象限角,P(x ,5)为其终边上一点,且cos α=2
4x ,求sin α的值.
解:∵ OP =x2+5,∴ cos α=x
x2+5=
2
4x.又α是第二象限角,∴ x<0,得x =-3, ∴ sin α=5x2+5
=104. 变式训练
已知角α终边上一点P(-3,y),且sin α=2
4y ,求cos α和tan α的值. 解:r2=x2+y2=y2+3,由sin α=y
r =
y
y2+3=24y , ∴ y =±5或y =0.当y =5即α是第二象限角时,cos α=x r =-64,tan α=-15
3;当y =-5即α是第三象限角时,
cos α=x r =-64,tan α=15
3;当y =0时,P(-3,0),
cos α=-1,tan α=0.
题型2 三角函数值的符号及判定
例2 (1) 如果点P(sin θ·cos θ,2cos θ)位于第三象限,试判断角θ所在的象限; (2) 若θ是第二象限角,试判断sin(cos θ)的符号. 解:(1) 因为点P(sin θ·cos θ,2cos θ)位于第三象限, 所以sin θ·cos θ<0,2cos θ<0,
即⎩
⎪⎨⎪⎧sin θ>0,cos θ<0,所以θ为第二象限角. (2) ∵ 2k π+π
2<θ<2k π+π(k ∈Z),∴ -1 ∴ sin(cos θ)<0.∴ sin(cos θ)的符号是负号. 备选变式(教师专享) 已知点P(tan α,cos α)在第二象限,则角α的终边在第________象限. 答案:四 解析:由题意,得tan α<0且cos α>0,所以角α的终边在第四象限. 题型3 弧长公式与扇形面积公式 例3 已知一扇形的中心角是α,所在圆的半径是R. (1) 若α=60°,R =10cm ,求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积; (2) 若扇形的周长是一定值C(C>0),当α为多少弧度时,该扇形有最大面积? 解:(1) 设弧长为l ,弓形面积为S 弓. ∵ α=60°=π3,R =10,∴ l =10 3π(cm).