北京师大二附中高三(上)期中数学试卷

2024-2025学年北京师大二附中高三（上）统练数学试卷（一）一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集U={−2,−1,0,1,2,3}，集合A={x∈Z||x|<2}，则C U A=( )A. {−1,0,1}B. {−2,2,3}C. {−2,−1,2}D. {−2,0,3}2.若i(1−z)=1，则z+−z=( )A. −2B. −1C. 1D. 23.如果a>b>0，那么下列不等式一定成立的是( )A. |a|<|b|B. 1a >1bC. (12)a>(12)b D. lna>lnb4.从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为( )A. 15B. 13C. 25D. 235.“空气质量指数(AQI)”是定量描述空气质量状况的指数．当AQI大于200时，表示空气重度污染，不宜开展户外活动．某地某天0～24时的空气质量指数y随时间t变化的趋势由函数y={−10t+290,0≤t≤1256t−24,12<t≤24描述，则该天适宜开展户外活动的时长至多为( )A. 5小时B. 6小时C. 7小时D. 8小时6.已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d>0”是“S4+S6>2S5”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为( )A. 0.8B. 0.6C. 0.5D. 0.48.有12个砝码，总质量为45g，它们的质量从小到大依次构成等差数列，且最重的3个砝码质量之和是最轻的3个砝码质量之和的4倍.用这些砝码称一个质量为30g的物体，则需要的砝码个数至少为( )A. 4B. 5C. 6D. 79.已知函数f(x)=3log2x−2(x−1)，则不等式f(x)>0的解集是( )A. (1,4)B. (−∞,1)∪(4,+∞)C. (0,1)∪(4,+∞)D. (0,4)10.设a ，b ∈R ，数列{a n }中a 1=a ，a n +1=a 2n +b ，n ∈N ∗，则 ( )A. 当b =12时，a 10>10B. 当b =14时，a 10>10C. 当b =−2时，a 10>10D. 当b =−4时，a 10>10二、填空题：本题共5小题，每小题6分，共30分。

2020-2021北京师范大学第二附属中学高中必修一数学上期中试卷含答案一、选择题1．设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B =( ) A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,52．函数()ln f x x x =的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．3．不等式()2log 231a x x -+≤-在x ∈R 上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞B ．(]1,2C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦4．设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，5．已知定义域为R 的函数()f x 在[1,)+∞单调递增，且(1)f x +为偶函数，若(3)1f =，则不等式(21)1f x +<的解集为（ ） A ．(1,1)- B ．(1,)-+∞ C ．(,1)-∞ D ．(,1)(1,)-∞-+∞U6．已知函数)245fx x x =+，则()f x 的解析式为( )A ．()21f x x =+ B ．()()212f x x x =+≥C ．()2f x x =D ．()()22f x xx =≥7．已知111,2,,3,23a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，若()a f x x =为奇函数，且在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的值是( ) A ．1,3-B ．1,33C ．11,,33-D ．11,,3328．函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是 A ．(,2)-∞-B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞9．函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．10．已知0.80.820.7,log 0.8, 1.1a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．b c a <<11．已知函数21,0,()|log ,0,x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪⎩若函数()y f x a =-有四个零点1x ，2x ，3x ，4x ，且12x x <3x <4x <，则312342()x x x x x ++的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．(1,0)-C ．(0,1]D ．[1,0)-12．函数2ln(1)y 34x x x +=--+的定义域为（ ）A ．(41)--，B ．(41)-，C ．(11)-，D ．(11]-， 二、填空题13．若42x ππ<<，则函数3tan 2tan y x x =的最大值为 ．14．已知函数()x xf x e e -=-，对任意的[3,3]k ∈-，(2)()0f kx f x -+<恒成立，则x的取值范围为______. 15．函数的定义域为______________．16．已知函数()log ,03,40a x x f x x x >⎧=⎨+-≤<⎩，其中0a >且1a ≠，若函数()f x 的图象上有且只有一对点关于y 轴对称，则a 的取值范围是__________．17．定义在[3,3]-上的奇函数()f x ，已知当[0,3]x ∈时，()34()x xf x a a R =+⋅∈，则()f x 在[3,0]-上的解析式为______．18．函数()()log 2a f x ax =-在[]0,1上是x 的减函数，则实数a 的取值范围是______． 19．已知()f x 定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，，则函数()()3g x f x x =-+的零点的集合为 .20．已知函数())ln1f x x =+，()4f a =，则()f a -=________．三、解答题21．已知函数()212ax f x x b +=+是奇函数，且()312f =.（1）求实数a ，b 的值；（2）判断函数()f x 在(],1-∞-上的单调性，并用定义加以证明． （3）若[]2,1x ∈--，求函数的值域22．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元,此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元,年产量为x （x N *∈）件.当20x ≤时，年销售总收人为（233x x -）万元；当20x >时，年销售总收人为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元.(年利润=年销售总收入一年总投资) (1)求y (万元)与x (件)的函数关系式；(2)当该工厂的年产量为多少件时,所得年利润最大?最大年利润是多少?23．设集合A ＝{x ∈R|x 2＋4x ＝0}，B ＝{x ∈R|x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R }，若B ⊆A ，求实数a 的值．24．设集合222{|40},{|2(1)10}A x x x B x x a x a =+==+++-=，若A ∩B=B ，求a 的取值范围．25．已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |1≤x ≤5，x ∈Z}，C ＝{x |2<x <9，x ∈Z}．求 (1)A ∪(B ∩C )；(2)(∁U B )∪(∁U C )．26．某辆汽车以x 千米/小时的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求60120)x 剟时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为14500()5x k x-+升，其中k 为常数，且60100k 剟． （1）若汽车以120千米/小时的速度行驶时，每小时的油耗为11.5升，欲使每小时的油耗不超过9升，求x 的取值范围；（2）求该汽车行驶100千米的油耗的最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C【解析】∵ 集合{}124A ，，=，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B ⋂= ∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C2．A解析：A 【解析】 【分析】从图象来看图象关于原点对称或y 轴对称，所以分析奇偶性，然后再用特殊值确定. 【详解】因为函数()ln f x x x =是奇函数，排除C ，D 又因为2x = 时()0f x >，排除B 故选：A 【点睛】本题主要考查了函数的图象的判断，还考查了数形结合的思想，属于基础题.3．C解析：C 【解析】 【分析】由()2223122-+=-+≥x x x 以及题中的条件，根据对数函数的单调性性，对a 讨论求解即可. 【详解】由()2log 231a x x -+≤-可得()21log 23log -+≤a ax x a， 当1a >时，由()2223122-+=-+≥x x x 可知2123-+≤x x a无实数解，故舍去； 当01a <<时，()2212312-+=-+≥x x x a在x ∈R 上恒成立，所以12a ≤，解得112a ≤<. 故选：C 【点睛】本题主要考查对数函数的单调性，涉及到复合函数问题，属于中档题.4．D解析：D 【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果.详解：将函数()f x 的图像画出来，观察图像可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，，故选D .点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果.5．A解析：A 【解析】 【分析】由函数y ＝f （x +1）是定义域为R 的偶函数，可知f （x ）的对称轴x ＝1，再利用函数的单调性，即可求出不等式的解集． 【详解】由函数y ＝f （x +1）是定义域为R 的偶函数，可知f （x ）的对称轴x ＝1，且在[1，+∞）上单调递增，所以不等式f （2x+1）＜1=f （3）⇔ |2x+1﹣1|）＜|3﹣1|， 即|2x |＜2⇔|x |＜1，解得-11x ＜＜ 所以所求不等式的解集为：()1,1-. 故选A ． 【点睛】本题考查了函数的平移及函数的奇偶性与单调性的应用，考查了含绝对值的不等式的求解，属于综合题．6．B解析：B 【解析】【分析】利用换元法求函数解析式，注意换元后自变量范围变化. 【详解】2t =,则2t ≥，所以()()()()2224t 251,2,f t t t t =-+-+=+≥即()21f x x =+ ()2x ≥.【点睛】本题考查函数解析式，考查基本求解能力.注意换元后自变量范围变化.7．B解析：B 【解析】 【分析】先根据奇函数性质确定a 取法，再根据单调性进行取舍，进而确定选项. 【详解】因为()af x x =为奇函数，所以11,3,3a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭因为()()0,f x +∞在上单调递增，所以13,3a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭因此选B. 【点睛】本题考查幂函数奇偶性与单调性，考查基本判断选择能力.8．D解析：D 【解析】由228x x -->0得：x ∈(−∞,−2)∪(4,+∞)， 令t =228x x --，则y =ln t ，∵x ∈(−∞,−2)时,t =228x x --为减函数； x ∈(4,+∞)时,t =228x x --为增函数； y =ln t 为增函数，故函数f (x )=ln(228x x --)的单调递增区间是(4,+∞)， 故选D.点睛：形如()()y f g x =的函数为()y g x =,() y f x =的复合函数，() y g x =为内层函数,()y f x =为外层函数. 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单增；当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单减；当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单增. 简称为“同增异减”.9．C解析：C 【解析】 由题意知，函数sin 21cos xy x =-为奇函数，故排除B ；当πx =时，0y =，故排除D ；当1x =时，sin 201cos 2y =>-，故排除A ．故选C ． 点睛:函数图像问题首先关注定义域，从图像的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择项，从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值，利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．10．B解析：B 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出a b c 、、的取值范围，从而可得结果. 【详解】0.8000.70.71a <=<=Q ，22log 0.8log 10b =<=， 0.801.1 1.11c =>=，b ac ∴<<，故选B. 【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.11．C解析：C 【解析】作出函数函数()21,0,|log ,0,x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪⎩的图象如图所示，由图象可知，123442,1,12x x x x x +=-=<≤， ∴ ()312334422222x x x x x x x ++=-+=-+， ∵422y x =-+在412x <≤上单调递增， ∴41021x <-+≤，即所求范围为(]0,1。

北京师大二附中2019-2020学年度高三第一学期期中数学测试题一、选择题1.已知全集U =R ，集合{}0,1,2,3,4,5A =，{}3B x x =∈≥R ，则U A C B =( ) A.{}4,5B.{}3,4,5C.{}0,1,2D.{}0,1,2,32.下列命题中的假命题是( ) A.x ∀∈R ，120x -> B.*x ∀∈N ，()210x -> C.x ∃∈R ，lg 1x <D.x ∃∈R ，tan 2x =3.若复数z 满足11z i -=+，则z 的共轭复数的虚部是( ) A.i B.1 C.i - D.1-4.在ABC △中，内角C 为钝角，3sin 5C =，5AC =，AB =，则BC =( ) A.2B.3C.5D.105.若不等式11x -<成立的必要条件是14x <≤，则实数t 的取值范围是( ) A.[]2,3B.(]2,3C.[)2,3D.()2,36.在等比数列{}n a 中，13a =，前n 项和为n S ，若数列{}1n a +也是等比数列，则n S 等于( )A.122n +-B.3nC.2nD.31n -7.在梯形ABCD 中，AB DC ∥，5AB AD ==，2DC =，4BC =，M 为AB 边上一点，则MD MC ⋅的最小值为( ) A.10B.12C.15D.168.函数()f x 在[],a b 上有定义，若对任意[]12,,x x a b ∈，有()()1212122x x f f x f x +⎛⎫≤+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，则称()f x 在[],a b 上具有性质P ，设()f x 在[]1,3上具有性质P ，现给出如下命题：①()f x 在[]1,3上的图象是连续不断的；②()2f x 在⎡⎣上具有性质P ； ③若()f x 在2x =处取得最大值1，则()1f x =，[]1,3x ∈； ④对任意[]1234,,,1,3x x x x ∈，有()()()()12341234144x x x x f f x f x f x f x +++⎛⎫⎡⎤≤+++ ⎪⎣⎦⎝⎭.其中真命题的序号是( ) A.①② B.①③ C.②④ D.③④二、填空题9.已知向量a ，b 均为单位向量，若它们的夹角是60︒，则3a b -等于_________. 10.把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：若函数()23log f x x =+的图象与()g x 的图象关于__________对称，则函数()g x =___________(填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考试所有可能的情形).11.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()22210y x b b-=>经过点()3,4，则该双曲线的渐近线方程是__________.12.在ABC △中，若15a =，10b =，60A =︒，则cos B =____________.13.已知抛物线22y px =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且满足2MN NF =，则NMF =∠________________.14.对于三次函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠，给出定义：设()'f x 是函数()y f x =的导数，()''f x 是函数()'f x 的导数，若方程()''0f x =有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数()3211533212f x x x x =-+-，请你根据上面的探究结果，解答以下问题：①函数()3211533212f x x x x =-+-的对称中心坐标为____________；②计算12320182019201920192019f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭…_______________.三、解答题15.已知等差数列{}n a 满足32a =，前3项和392S =. (1)求{}n a 的通项公式；(2)设等比数列{}n b 满足11b a =，415b a =，求{}n b 的前n 项和n T .16.已知函数()()sin ,0,02f x A x x πωϕωϕ⎛⎫=+∈><< ⎪⎝⎭R 的部分图象如图所示.(1) 求函数()f x 的解析式；(2) 求函数()1212g x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的单调递增区间.17.已知圆22:4O x y +=.(1)直线10l y +-与圆O 相交于A 、B 两点，求AB ；(2)如图，设()11,M x y ，()22,P x y 是圆O 上的两个动点，点M 关于原点的对称点为1M ，点M 关于x 轴的对称点为2M ，如果直线1PM ，2PM 与y 轴分别交于()0,m 和()0,n ，问m n ⋅是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由.18.已知函数()2f x x ax b =++，()()x g x e cx d =+.若曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点()0,2P ，且在点P 处有相同的切线42y x =+.(1)求,,,a b c d 的值；(2)当2x ≥-时，()()f x kg x ≤恒成立，求k 的取值范围.19.设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A 、B 两点，点M 的坐标为()2,0.(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2)设O 为坐标原点，证明：OMA OMB =∠∠.20.设数列()12:,,,2N A a a a N ≥….如果对小于()2n n N ≤≤的每个正整数k 都有k n a a <，则称n 是数列A 的一个“G 时刻”.记()G A 是数列A 的所有“G 时刻”组成的集合. (1)对数列:2,2,1,1,3A --，写出()G A 的所有元素； (2)证明：若数列A 中存在n a ，使得1n a a >，则()G A ≠∅；(3)证明：若数列A 满足()112,3,,n n a a n N --≤=…，则()G A 的元素个数不小于1N a a -.。

2017-2018学年北京师大二附中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：1．已知集合M={x|﹣1＜x＜1}，N={x|x2＜2，x∈Z}，则（）A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N={0}D．M∪N=N2．复数z满足z•i=3﹣i，则在复平面内，复数z对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，cosA=．且b＜c，则b=（）A．3 B．2C．2 D．4．已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，下列四个命题中，正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊂α，n⊂α，且m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α5．将函数y=sin2x的图象先向左平移个单位长度，然后将所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应函数解析式为（）A．B．y=2cos2x C．y=2sin2x D．y=cosx6．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（）A．8 B．C．4 D．7．如果关于x的方程正实数解有且仅有一个，那么实数a的取值范围为（）A．{a|a≤0}B．{a|a≤0或a=2}C．{a|a≥0}D．{a|a≥0或a=﹣2}8．设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f′（x）﹣g（x）（f′（x）为函数f（x）的导函数）在[a，b]上有且只有两个不同的零点，则称f（x）是g（x）在[a，b]上的“关联函数”．若f（x）=+4x是g（x）=2x+m在[0，3]上的“关联函数”，则实数m的取值范围是（）A．B．[﹣1，0] C．（﹣∞，﹣2]D．二、填空题9．设复数z满足（1﹣i）z=2+2i，其中i是虚数单位，则|z|的值为．10．若||=3，||=2，且与的夹角为60°，则|﹣|=11．命题p：“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”，则¬p为．12．已知，则cos2x=．13．已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且为偶函数，对于函数y=f（x）有下列几种描述：①y=f（x）是周期函数②x=π是它的一条对称轴；③（﹣π，0）是它图象的一个对称中心；④当时，它一定取最大值；其中描述正确的是．14．若对任意x∈A，y∈B，（A⊆R，B⊆R）有唯一确定的f（x，y）与之对应，则称f（x，y）为关于x、y的二元函数．现定义满足下列性质的二元函数f（x，y）为关于实数x、y的广义“距离”；（1）非负性：f（x，y）≥0，当且仅当x=y时取等号；（2）对称性：f（x，y）=f（y，x）；（3）三角形不等式：f（x，y）≤f（x，z）+f（z，y）对任意的实数z均成立．今给出三个二元函数，请选出所有能够成为关于x、y的广义“距离”的序号：①f（x，y）=|x﹣y|；②f（x，y）=（x﹣y）2；③．能够成为关于的x、y的广义“距离”的函数的序号是．三、解答题15．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）设α是锐角，且，求f（α）的值．16．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且=﹣．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=，a+c=4，求△ABC的面积．17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．18．已知函数f（x）=﹣x3+ax2+bx+c图象上的点P（1，﹣2）处的切线方程为y=﹣3x+1．（1）若函数f（x）在x=﹣2时有极值，求f（x）的表达式（2）若函数f（x）在区间[﹣2，0]上单调递增，求实数b的取值范围．19．已知函数f（x）=cos，g（x）=e x•f（x），其中e为自然对数的底数．（1）求曲线y=g（x）在点（0，g（0））处的切线方程；（2）若对任意时，方程g（x）=xf（x）的解的个数，并说明理由．20．已知集合A=a1，a2，a3，…，a n，其中a i∈R（1≤i≤n，n＞2），l（A）表示和a i+a j（1≤i＜j≤n）中所有不同值的个数．（Ⅰ）设集合P=2，4，6，8，Q=2，4，8，16，分别求l（P）和l（Q）；（Ⅱ）若集合A=2，4，8，…，2n，求证：；（Ⅲ）l（A）是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？2016-2017学年北京师大二附中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：1．已知集合M={x|﹣1＜x＜1}，N={x|x2＜2，x∈Z}，则（）A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N={0}D．M∪N=N【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】N={x|x2＜2，x∈Z}={﹣1，0，1}，从而解得．【解答】解：N={x|x2＜2，x∈Z}={﹣1，0，1}，故M∩N={0}，故选：C．2．复数z满足z•i=3﹣i，则在复平面内，复数z对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【解答】解：由z•i=3﹣i，得，∴复数z对应的点的坐标为（﹣1，﹣3），位于第三象限．故选：C．3．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，cosA=．且b＜c，则b=（）A．3 B．2C．2 D．【考点】正弦定理．【分析】运用余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，解关于b的方程，结合b＜c，即可得到b=2．【解答】解：a=2，c=2，cosA=．且b＜c，由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccosA，即有4=b2+12﹣4×b，解得b=2或4，由b＜c，可得b=2．故选：C．4．已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，下列四个命题中，正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊂α，n⊂α，且m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【分析】由题意知，用平行和垂直的定理进行判断，对简单的可在长方体中找反例．【解答】解：A错，平行于同一平面的两直线可平行、相交和异面；B错，必须平面内有两条相交直线分别与平面平行，此时两平面才平行；C错，两垂直平面内的任一直线与另一平面可平行、相交或垂直；D对，由α⊥β，在α内作交线的垂线c，则c⊥β，因m⊥β，m⊄α，所以m∥α．故选D．5．将函数y=sin2x的图象先向左平移个单位长度，然后将所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应函数解析式为（）A．B．y=2cos2x C．y=2sin2x D．y=cosx【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换步骤，进行解答即可．【解答】解：函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，得y=sin2（x+）=cos2x将该函数所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得y=cosx的图象所以函数的解析式为y=cosx．故选：D．6．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（）A．8 B．C．4 D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知，几何体是对角线长为2的正方形，侧棱垂直于底面的四棱锥，侧棱长为2，利用体积公式可得结论．【解答】解：由三视图可知，几何体是对角线长为2的正方形，侧棱垂直于底面的四棱锥，侧棱长为2，则该几何体的体积是=故选D．7．如果关于x的方程正实数解有且仅有一个，那么实数a的取值范围为（）A．{a|a≤0}B．{a|a≤0或a=2}C．{a|a≥0}D．{a|a≥0或a=﹣2}【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），故我们可将关于x的方程有且仅有一个正实数解，转化为方程ax3﹣3x2+1=0有且仅有一个正实数解，求出函数的导函数后，分类讨论函数的单调性，即可得到答案．【解答】解：由函数解析式可得：x≠0，如果关于x的方程有且仅有一个正实数解，即方程ax3﹣3x2+1=0有且仅有一个正实数解，构造函数f（x）=ax3﹣3x2+1，则函数f（x）的图象与x正半轴有且仅有一个交点．又∵f'（x）=3x（ax﹣2）①当a=0时，代入原方程知此时仅有一个正数解满足要求；②当a＞0时，则得f（x）在（﹣∞，0）和（，+∞）上单调递增，在（0，）上单调递减，f（0）=1，知若要满足条件只有x=时，f（x）取到极小值0，x=入原方程得到正数解a=2，满足要求；③当a＜0时，同理f（x）在（﹣∞，）和（0，+∞）上单调递减，在（，0）上单调递增f（0）=1＞0，所以函数f（x）的图象与x轴的正半轴有且仅有一个交点，满足题意综上：a≤0或a=2．故答案为：{a|a≤0或a=2}8．设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f′（x）﹣g（x）（f′（x）为函数f（x）的导函数）在[a，b]上有且只有两个不同的零点，则称f（x）是g（x）在[a，b]上的“关联函数”．若f（x）=+4x是g（x）=2x+m在[0，3]上的“关联函数”，则实数m的取值范围是（）A．B．[﹣1，0] C．（﹣∞，﹣2]D．【考点】导数的运算．【分析】先对f（x）求导，由题意可得h（x）=f′（x）﹣g（x）=x2﹣5x+4﹣m 在[0，3]上有两个不同的零点，故有，由此求得m的取值范围．【解答】解：f′（x）=x2﹣3x+4，∵f（x）与g（x）在[0，3]上是“关联函数”，故函数y=h（x）=f′（x）﹣g（x）=x2﹣5x+4﹣m在[0，3]上有两个不同的零点，故有，即，解得﹣＜m≤﹣2，故选：A．二、填空题9．设复数z满足（1﹣i）z=2+2i，其中i是虚数单位，则|z|的值为2．【考点】复数求模．【分析】变形可得复数z=，化简可得z=2i，可得其模．【解答】解：∵（1﹣i）z=2+2i，∴z====2i，∴|z|=2故答案为：210．若||=3，||=2，且与的夹角为60°，则|﹣|=【考点】向量加减法的应用．【分析】向量求模的运算，要求向量的模，一般用求模的公式，先求向量的平方运算，题目中给的条件能让我们先求数量积，进而求向量的模．【解答】解：∵||=3，||=2，且与的夹角为60，∴||====，故答案为：．11．命题p：“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”，则¬p为∃x∈R，x2﹣x+1≤0．【考点】命题的否定．【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”，则¬p为：∃x∈R，x2﹣x+1≤0．故答案为：∃x∈R，x2﹣x+1≤0．12．已知，则cos2x=．【考点】二倍角的余弦．【分析】利用两角差的正弦函数公式化简已知可得cosx﹣sinx=﹣，利用二倍角公式两边平方可求sin2x，进而结合2x的范围，利用同角三角函数基本关系式即可计算得解．【解答】解：∵sin（﹣x）=（cosx﹣sinx）=﹣，解得：cosx﹣sinx=﹣，∴两边平方可得：1﹣sin2x=，可得：sin2x=，∵x∈（，），2x∈（，π），∴cos2x=﹣=．故答案为：．13．已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且为偶函数，对于函数y=f（x）有下列几种描述：①y=f（x）是周期函数②x=π是它的一条对称轴；③（﹣π，0）是它图象的一个对称中心；④当时，它一定取最大值；其中描述正确的是①③．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数的奇偶性和对称性对每一个选支进行逐一判定即可．【解答】解：∵为偶函数∴f（﹣x+）=f（x+），对称轴为而y=f（x）是定义在R上的奇函数∴f（﹣x+）=﹣f（x﹣）=f（x+）即f（x+）=﹣f（x﹣），f（x+π）=﹣f（x），f（x+2π）=f（x）∴y=f（x）是周期函数，故①正确x=（k∈Z）是它的对称轴，故②不正确（﹣π，0）是它图象的一个对称中心，故③正确当时，它取最大值或最小值，故④不正确故答案为：①③14．若对任意x∈A，y∈B，（A⊆R，B⊆R）有唯一确定的f（x，y）与之对应，则称f（x，y）为关于x、y的二元函数．现定义满足下列性质的二元函数f（x，y）为关于实数x、y的广义“距离”；（1）非负性：f（x，y）≥0，当且仅当x=y时取等号；（2）对称性：f（x，y）=f（y，x）；（3）三角形不等式：f（x，y）≤f（x，z）+f（z，y）对任意的实数z均成立．今给出三个二元函数，请选出所有能够成为关于x、y的广义“距离”的序号：①f（x，y）=|x﹣y|；②f（x，y）=（x﹣y）2；③．能够成为关于的x、y的广义“距离”的函数的序号是①．【考点】函数的概念及其构成要素．【分析】利用函数f（x，y）为关于实数x、y的广义“距离“的定义需满足三个条件对各个函数判断是否具有这三个性质．【解答】解：对于①，f（x，y）=|x﹣y|≥0满足（1），f（x，y）=|x﹣y|=f（y，x）=|y ﹣x|满足（2）；f（x，y）=|x﹣y|=|（x﹣z）+（z﹣y）|≤|x﹣z|+|z﹣y|=f（x，z）+f（z，y）满足（3）故①能够成为关于的x、y的广义“距离”的函数对于②不满足（3）对于③不满足（2）故答案为①三、解答题15．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）设α是锐角，且，求f（α）的值．【考点】正弦函数的单调性；两角和与差的正弦函数．【分析】（Ⅰ）=cos2x，由2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈z，求得f（x）的单调递减区间．（Ⅱ）由α是锐角，且，得=，α=，故f（α）=cos2x=cos．【解答】解：（Ⅰ）=cos2x﹣sin2x=cos2x．由2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈z，可得kπ≤x≤kπ+，故求f（x）的单调递减区间为[kπ，kπ+]，k∈z．（Ⅱ）∵α是锐角，且，∴=，α=．∴f（α）=cos2x=cos==﹣．16．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且=﹣．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=，a+c=4，求△ABC的面积．【考点】解三角形．【分析】（1）根据正弦定理表示出a，b及c，代入已知的等式，利用两角和的正弦函数公式及诱导公式变形后，根据sinA不为0，得到cosB的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出角B的度数；（2）由（1）中得到角B的度数求出sinB和cosB的值，根据余弦定理表示出b2，利用完全平方公式变形后，将b，a+c及cosB的值代入求出ac的值，然后利用三角形的面积公式表示出△ABC的面积，把ac与sinB的值代入即可求出值．【解答】解：（1）由正弦定理得：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，将上式代入已知，即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0，即2sinAcosB+sin（B+C）=0，∵A+B+C=π，∴sin（B+C）=sinA，∴2sinAcosB+sinA=0，即sinA（2cosB+1）=0，∵sinA≠0，∴，∵B为三角形的内角，∴；（II）将代入余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB得：b2=（a+c）2﹣2ac﹣2accosB，即，∴ac=3，∴．17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．【考点】二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，说明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出CD，即可三棱锥E﹣ACD的体积．【解答】（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O点，连接EO，∵O为BD中点，E为PD中点，∴EO∥PB，EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC；（Ⅱ）解：延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，∴CD⊥平面AMD，∵二面角D﹣AE﹣C为60°，∴∠CMD=60°，∵AP=1，AD=，∠ADP=30°，∴PD=2，E为PD的中点．AE=1，∴DM=，CD==．三棱锥E﹣ACD的体积为：==．18．已知函数f（x）=﹣x3+ax2+bx+c图象上的点P（1，﹣2）处的切线方程为y=﹣3x+1．（1）若函数f（x）在x=﹣2时有极值，求f（x）的表达式（2）若函数f（x）在区间[﹣2，0]上单调递增，求实数b的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）对函数f（x）求导，由题意点P（1，﹣2）处的切线方程为y=﹣3x+1，可得f′（1）=﹣3，再根据f（1）=﹣1，又由f′（﹣2）=0联立方程求出a，b，c，从而求出f（x）的表达式．（2）由题意函数f（x）在区间[﹣2，0]上单调递增，对其求导可得f′（x）在区间[﹣2，0]大于或等于0，从而求出b的范围．【解答】解：f′（x）=﹣3x2+2ax+b，因为函数f（x）在x=1处的切线斜率为﹣3，所以f′（1）=﹣3+2a+b=﹣3，即2a+b=0，又f（1）=﹣1+a+b+c=﹣2得a+b+c=﹣1．（1）函数f（x）在x=﹣2时有极值，所以f'（﹣2）=﹣12﹣4a+b=0，解得a=﹣2，b=4，c=﹣3，所以f（x）=﹣x3﹣2x2+4x﹣3．（2）因为函数f（x）在区间[﹣2，0]上单调递增，所以导函数f′（x）=﹣3x2﹣bx+b在区间[﹣2，0]上的值恒大于或等于零，则得b≥4，所以实数b的取值范围为[4，+∞）19．已知函数f（x）=cos，g（x）=e x•f（x），其中e为自然对数的底数．（1）求曲线y=g（x）在点（0，g（0））处的切线方程；（2）若对任意时，方程g（x）=xf（x）的解的个数，并说明理由．【考点】余弦函数的图象．【分析】（1）利用导数的几何意义即可求出曲线y=g（x）在点（0，g（0））处的切线方程；（2）构造函数H（x）=g（x）﹣xf（x），；利用导数判断函数的单调性，根据根的存在性定理即可判断函数H（x）在上零点的个数．【解答】解：（1）由题意得，f（x）=sinx，g（x）=e x sinx，∴g（0）=e0sin0=0；g'（x）=e x（cosx+sinx），∴g'（0）=1；故曲线y=g（x）在点（0，g（0））处的切线方程为y=x；（2）设H（x）=g（x）﹣xf（x），；则当时，H'（x）=e x（cosx+sinx）﹣sinx﹣xcosx=（e x﹣x）cosx﹣（e x﹣1）sinx，当，显然有；当时，由，即有，即有H'（x）＜0，所以当时，总有H'（x）＜0，故H（x）在上单调递减，故函数H（x）在上至多有一个零点；又，；且H（x）在上是连续不断的，故函数H（x）在上有且只有一个零点．20．已知集合A=a1，a2，a3，…，a n，其中a i∈R（1≤i≤n，n＞2），l（A）表示和a i+a j（1≤i＜j≤n）中所有不同值的个数．（Ⅰ）设集合P=2，4，6，8，Q=2，4，8，16，分别求l（P）和l（Q）；（Ⅱ）若集合A=2，4，8，…，2n，求证：；（Ⅲ）l（A）是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？【考点】数列的应用；计数原理的应用．【分析】（Ⅰ）直接利用定义把集合P=2，4，6，8，Q=2，4，8，16中的值代入即可求出l （P）和l（Q）；（Ⅱ）先由a i+a j（1≤i＜j≤n）最多有个值，可得；再利用定义推得所有a i+a j（1≤i＜j≤n）的值两两不同，即可证明结论．（Ⅲ）l（A）存在最小值，设a1＜a2＜＜a n，所以a1+a2＜a1+a3＜…＜a1+a n＜a2+a n＜…＜a n﹣1+a n．由此即可证明l（A）的最小值2n﹣3．【解答】解：（Ⅰ）根据题中的定义可知：由2+4=6，2+6=8，2+8=10，4+6=10，4+8=12，6+8=14，得l（P）=5．由2+4=6，2+8=10，2+16=18，4+8=12，4+16=20，8+16=24，得l（Q）=6．（Ⅱ）证明：因为a i+a j（1≤i＜j≤n）最多有个值，所以．又集合A=2，4，8，，2n，任取a i+a j，a k+a l（1≤i＜j≤n，1≤k＜l≤n），当j≠l时，不妨设j＜l，则a i+a j＜2a j=2j+1≤a l＜a k+a l，即a i+a j≠a k+a l．当j=l，i≠k时，a i+a j≠a k+a l．因此，当且仅当i=k，j=l时，a i+a j=a k+a l．即所有a i+a j（1≤i＜j≤n）的值两两不同，所以．（Ⅲ）l（A）存在最小值，且最小值为2n﹣3．不妨设a1＜a2＜a3＜…＜a n，可得a1+a2＜a1+a3＜…＜a1+a n＜a2+a n＜…＜a n+a n，﹣1所以a i+a j（1≤i＜j≤n）中至少有2n﹣3个不同的数，即l（A）≥2n﹣3．事实上，设a1，a2，a3，，a n成等差数列，考虑a i+a j（1≤i＜j≤n），根据等差数列的性质，当i+j≤n时，a i+a j=a1+a i；+j﹣1+a n；当i+j＞n时，a i+a j=a i+j﹣n因此每个和a i+a j（1≤i＜j≤n）等于a1+a k（2≤k≤n）中的一个，或者等于a l+a n（2≤l≤n﹣1）中的一个．所以对这样的A，l（A）=2n﹣3，所以l（A）的最小值为2n﹣3．2016年12月18日。

2020-2021学年北京师大二附中高三（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1. 设S ={x|2x +1>0}，T ={x|3x −5<0}，则S ∩T =( )A. ⌀B. {x|x <−12} C. {x|x >53}D. {x|−12<x <53}2. 若sinx <0，且sin(cosx)>0，则角x 是( )A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角3. 已知命题p ：∀x ∈R ，x 2+2x −a >0.若p 为真命题，则实数a 的取值范围是( )A. a >−1B. a <−1C. a ≥−1D. a ≤−14. 已知定义在R 上的函数f(x)，g(x)满足g(x)=f(|x −1|)，则函数y =g(x)的图象关于( )A. 直线x =−1对称B. 直线x =1对称C. 原点对称D. y 轴对称5. 已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N ∗满足a p+q =a p +a q ，且a 2=−6，那么a 10等于 ( )A. −165B. −33C. −30D. −216. 已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin2,−2cos2)，则sinα等于( )A. sin2B. −sin2C. cos2D. −cos27. 如图，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AB ，CC 1的中点，在平面ADD 1A 1内且与平面D 1EF 平行的直线( )A. 不存在B. 有1条C. 有2条D. 有无数条8. 已知两个单位向量e 1⃗⃗⃗ ,e 2⃗⃗⃗ 的夹角为45°，且满足e 1⃗⃗⃗ ⊥(λe 2⃗⃗⃗ −e 1⃗⃗⃗ )，则实数λ的值为( )A. 1B. √2C. 2√33D. 29. 已知a ，b ∈R 且ab ≠0，若(x −a)(x −b)(x −2a −b)≥0在x ≥0上恒成立，则( )A. a <0B. a >0C. b <0D. b >010. 1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2020这2020个数中，能被2除余1，且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{a n}，则a20=()A. 181B. 191C. 201D. 211二、单空题（本大题共5小题，共25.0分）≤0，则实数m的取值范围是11.若不等式|x−m|<1成立的充分不必要条件是xx−1______．12.已知向量a⃗,b⃗ 满足a⃗⋅(a⃗+b⃗ )=5，且|a⃗|=2，|b⃗ |=1，则向量a⃗与b⃗ 的夹角为______．13.已知sinθ+cosθ=7，θ∈(0,π)，则tanθ=______ ．1314.如图是表示一个正方体表面的一种平面展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有______对．15.已知数列a1，a2，…，a n是1，2，…，n(n≥2,n∈N∗)满足下列性质T的一个排列，性质T：排列a1，a2，…，a n有且仅有一个a i>a i+1(i∈{1,2,…,n−1})，则满足性质T的所有数列a1，a2，…，a n的个数f(n)=______三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.已知等比数列{a n}满足a3=12，a8=3，记其前n项和为S n．8(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)若S n=93，求n．)(A>0,ω>0)只能同时满足下列三个条件中的两个：17.已知函数f(x)=Asin(ωx+π6)的图象平移得①函数f(x)的最大值为2；②函数f(x)的图象可由y=√2sin(x−π4到；③函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π．2(1)请写出这两个条件序号，并求出f(x)的解析式；(2)求方程f(x)+1=0在区间[−π,π]上所有解的和．18.如图，四边形ABCD中∠BAC=90°，∠ABC=30°，AD⊥CD，设∠ACD=θ(1)若△ABC面积是△ACD面积的4倍，求sin2θ；(2)若∠ADB=π，求tanθ．619.如图所示，四边形ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF//DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．(1)求证：AC⊥平面BDE；(2)求二面角F−BE−D的余弦值；(3)设点M是线段BD上的一个动点，试确定点M的位置，使得AM//平面BEF，并证明你的结论．20.已知函数f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x(1)讨论f(x)的单调性−2(2)当a<0时，证明f(x)≤−34a21.有限个元素组成的集合A={a1,a2,…,a n}，n∈N∗，记集合A中的元素个数为card(A)，即card(A)=n.定义A+A={x+y|x∈A,y∈A}，集合A+A中的元素个时，称集合A具有性质P．数记为card(A+A)，当card(A+A)=n(n+1)2(Ⅰ)A={1,4,7}，B={2,4,8}，判断集合A，B是否具有性质P，并说明理由；(Ⅱ)设集合A={a1,a2,a3,2020}，a1<a2<a3<2020，且a i∈N∗(i=1,2,3)，若集合A具有性质P，求a1+a2+a3的最大值；(Ⅲ)设集合A={a1,a2,…,a n}，其中数列{a n}为等比数列，a i>0(i=1,2,…,n)且公比为有理数，判断集合A是否具有性质P并说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】 【分析】本题考查一次不等式的解集及集合的交集问题，较简单．集合S 、T 是一次不等式的解集，分别求出再求交集． 【解答】解：S ={x|2x +1>0}={x|x >−12}，T ={x|3x −5<0}={x|x <53}， 则S ∩T ={x|−12<x <53}， 故选：D ．2.【答案】D【解析】解：∵−1≤cosx ≤1，且sin(cosx)>0， ∴0<cosx ≤1， 又sinx <0， ∴角x 为第四象限角， 故选：D ．根据三角函数角的范围和符号之间的关系进行判断即可．本题主要考查三角函数角象限的确定，根据三角函数值的符号去判断象限是解决本题的关键．3.【答案】B【解析】解：若命题p ：∀x ∈R ，x 2+2x −a >0为真命题， 则△=4+4a <0， 解得：a <−1， 故选：B若命题p ：∀x ∈R ，x 2+2x −a >0为真命题，则△=4+4a <0，解得实数a 的取值范围．本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，全称命题，函数恒成立问题，难度中档．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查了函数图象的变换，属于基础题．根据图象变换即可求出答案．【解答】解：由y=f(|x|)关于y轴对称，y=f(|x|)向右平移一个单位可得y=f(|x−1|)，得函数y=f(|x−1|)关于x=1对称，即函数y=g(x)的图象关于直线x=1对称，故选B．5.【答案】C【解析】解：∵a4=a2+a2=−12，∴a8=a4+a4=−24，∴a10=a8+a2=−30，故选：C．根据题目所给的恒成立的式子a p+q=a p+a q.给任意的p，q∈N∗，我们可以先算出a4，再算出a8，最后算出a10，也可以用其他的赋值过程，但解题的原理是一样的．给这道题解起来有点出乎意料，它和函数的联系非常密切，通过解决探索性问题，进一步培养学生创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力．6.【答案】D【解析】解：∵角α终边上一点P的坐标是(2sin2,−2cos2)，∴x=2sin2，y=−2cos2，r=|OP|=2，∴sinα=yr =−2cos22=−cos2，故选：D．由条件利用任意角的三角函数的定义，求得sinα的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查的知识点是平面的基本性质，正方体的几何特征，线面平行的判定定理，熟练掌握这些基本的立体几何的公理、定理，培养良好的空间想像能力是解答此类问题的关键．由已知中E，F分别为棱AB，CC1的中点，结合正方体的结构特征易得平面ADD1A1与平面D1EF相交，由公理3，可得两个平面必有交线l，由线面平行的判定定理在平面ADD1A1内，只要与l平行的直线均满足条件，进而得到答案．【解答】解：由题设知平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1，由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共线l，在平面ADD1A1内与l平行的线有无数条，且它们都不在平面D1EF内，由线面平行的判定定理知它们都与面D1EF平行，故选D8.【答案】B【解析】解：由单位向量e1⃗⃗⃗ ,e2⃗⃗⃗ 的夹角为45°，，则e1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ =1×1×cos45°=√22由e1⃗⃗⃗ ⊥(λe2⃗⃗⃗ −e1⃗⃗⃗ )，可得，e1⃗⃗⃗ ⋅(λe2⃗⃗⃗ −e1⃗⃗⃗ )=0，即λe1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ −e1⃗⃗⃗ 2=0，λ−1=0，则√22解得λ=√2．故选：B．运用向量的数量积的定义，可得两个单位向量e1⃗⃗⃗ ,e2⃗⃗⃗ 的数量积，再由向量垂直的条件：数量积为0，计算即可得到所求值．本题考查平面向量的数量积的坐标定义和性质，考查向量垂直的条件，考查运算能力，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：设f(x)=(x−a)(x−b)(x−2a−b)，f(0)=−ab(2a+b)，由题意知，f(x)≥0在x≥0上恒成立，则ab(2a+b)≤0，a<0，b<0，可得2a+b≤0，ab(2a+b)≤0恒成立，排除B，D；我们考虑零点重合的情况，即中间和右边的零点重合，左边的零点在负半轴上．则有a=b或a=2a+b或b=b+2a三种情况，此时a=b<0显然成立；若b=b+2a，则a=0不成立；若a=2a+b，即a+b=0，可得b<0，a>0且a和2a+b都在正半轴上，符合题意，综上b<0恒成立．故选：C．设f(x)=(x−a)(x−b)(x−2a−b)，求得f(x)的零点，根据f(x)≥0在x≥0上恒成立，讨论a，b的符号，结合三次函数的图象，即可得到结论．本题考查不等式恒成立问题，注意三次函数的图象，考查分类讨论思想和转化思想，属于中档题．10.【答案】B【解析】解：由题意可知a n−1既是2的倍数，也是5的倍数，即a n−1是10的倍数，则a n−1=10(n−1)(n∈N∗)，故a20=10×(20−1)+1=191．故选：B．由题意可知a n−1是10的倍数，则a n−1=10(n−1)(n∈N∗)，代入求值即可．考查数列模型在实际问题中的应用，考查等差数列的通项公式的运用，考查运算能力，属于基础题．11.【答案】[0,1)【解析】解：∵|x −m|<1，∴m −1<x <m +1， ∵xx−1≤0，∴{x(x −1)≤0x ≠1，∴0≤x <1， ∵不等式|x −m|<1成立的充分不必要条件是xx−1≤0， ∴[0,1)⊊(m −1,m +1)， 则{m −1<0m +1≥1，∴0≤m <1， ∴实数m 的取值范围是[0,1)． 故答案为：[0,1)．先求出绝对值不等式，分式不等式的解集，再由题意可得[0,1)⊊(m −1,m +1)，列出不等式组，求出m 的范围即可．本题主要考查充分条件、必要条件，集合间的包含关系，绝对值不等式，分式不等式的应用，属于中档题．12.【答案】π3【解析】解：设向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为θ，向量a ⃗ ,b ⃗ 满足a ⃗ ⋅(a ⃗ +b ⃗ )=5，且|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=1， 可得22+2×1×cosθ=5， 可得cosθ=12， 所以θ=π3． 故答案为：π3．直接利用向量的数量积化简求解即可．本题考查向量的数量积的应用，是基本知识的考查．13.【答案】−125【解析】解：∵sinθ+cosθ=713，∴1+2sinθcosθ=49169，∴2sinθcosθ=−120169<0， 结合θ∈(0,π)，可得θ为钝角，∴tanθ<0．再根据2sinθcosθ=2sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=2tanθtan 2θ+1=−120169，∴tanθ=−125，故答案为：−125．利用同角三角函数的基本关系求得2sinθcosθ=−120169，可得θ为钝角，tanθ<0；再根据2sinθcosθ=2tanθtan2θ+1=−120169，求得tanθ的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用，属于基础题．14.【答案】3【解析】解：画出展开图复原的几何体，所以C与G重合，F，B重合，所以：四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有：AB与GH，AB与CD，GH与EF，共有3对．故答案为：3．展开图复原几何体，标出字母即可找出异面直线的对数．本题考查几何体与展开图的关系，考查异面直线的对数的判断，考查空间想象能力．15.【答案】2n−n−1【解析】解：∵当n=3时，1，2，3所有的排列有：(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,2,1)，(3,1,2)，其中满足仅存在一个i∈{1,2,3}，使得a i>a i+1的排列有：(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)；∴f(3)=4；同理可得：f(4)=11，f(5)=26；∴归纳出f(n)=2n−n−1．证明：∵在1，2，…，n的所有排列(a1,a2,…,a n)中，若a i=n，(1≤i≤n−1)，从n−1个数1，2，3…n−1中选i−1个数从小到大排列为：a1，a2，…，a i−1，其余的则按从小到大的顺序排列在余下位置；∴满足题意的排列个数为C n−1i−1；若a i=n，则满足题意的排列个数为f(n−1)，综上：f(n)=f(n−1)+n−1i−1Cn−1i−1=f(n−1)+2n+1−1；∴f(n)=23(1−2n−3)1−2−(n −3)+f(3)=2n −n −1．故答案为：2n −n −1．利用归纳法求解，先求出f(3).f(4)，f(5)，再由此推出f(n)，最后证明结论即可． 本题考查了数学归纳法，属于难题．16.【答案】解：(1)∵等比数列{a n }满足a 3=12，a 8=38，∴{a 1q 2=12a 1q 7=38，解得q =12，a 1=48， a n =a 1q n−1=48×(12)n−1．(2)S n =48×(12)n−1=93，∴(12)n−1=3116， 解得n −1=log 123116，∴n =log 123116+1．【解析】(1)由等比数列{a n }满足a 3=12，a 8=38，利用等比数列的通项公式求出q =12，a 1=48，由此能求出数列{a n }的通项公式a n ． (2)由(1)知S n =48×(12)n−1=93，由此能求出n ．本题考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．17.【答案】解：(1)函数f(x)=Asin(ωx +π6)满足条件为①③：理由如下：由题意可知条件①②互相矛盾， 故③为函数f(x)=Asin(ωx +π6)满足的条件之一． 由③可知：T =π，所以ω=2． 故②不合题意．所以函数f(x)=Asin(ωx +π6)满足条件为①③： 由①知：A =2．所以f(x)=2sin(2x +π6)． (2)由于f(x)+1=0．所以sin(2x+π6)=−12，所以2x+π6=−π6+2kπ或2x+π6=7π6+2kπ(k∈Z)，解得：x=−π6+kπ或π2+kπ(k∈Z)，由于x∈[−π,π]，所以x的取值为−π6,5π6,−π2,π2．所以方程f(x)+1=0的所有的解的和为2π3．【解析】(1)直接利用①③得到函数的解析式．(2)利用三角函数的方程的应用求出所有的x的值，进一步求出它们的和．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．18.【答案】解：(1)设AC=a，则AB=√3a，AD=asinθ，CD=acosθ，由题意S△ABC=4S△ACD，则12a⋅√3a=4⋅12acosθ⋅asinθ，可得sin2θ=√32．(2)在△ABD中，由正弦定理BDsin∠BAD =ABsin∠ADB，可得BDsin(π−θ)=√3asinπ6，①在△BCD中，BDsin∠BCD =BCsin∠CDB，可得BDsin(π3+θ)=2asinπ3，②①÷②可得：2sin(π3+θ)=3sinθ，可得√3cosθ=2sinθ，可得tanθ=√32．【解析】(1)设AC=a，可求AB=√3a，AD=asinθ，CD=acosθ，由题意S△ABC=4S△ACD，利用三角形的面积公式即可求解；(2)在△ABD中，△BCD中，分别应用正弦定理，联立可得2sin(π3+θ)=3sinθ，利用两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式即可求解．本题主要考查了三角形的面积公式，正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19.【答案】证明：(1)因为DE ⊥平面ABCD ，所以DE ⊥AC ．因为ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD ， 从而AC ⊥平面BDE.…(4分)解：(2)因为DA ，DC ，DE 两两垂直，所以建立空间直角坐标系D −xyz 如图所示．因为BE 与平面ABCD 所成角为600，即∠DBE =60°， 所以EDDB =√3．由AD =3，可知DE =3√6，AF =√6．则A(3,0,0)，F(3,0,√6)，E(0,0,3√6)，B(3,3,0)，C(0,3,0)， 所以BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−3,√6)，EF⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0,−2√6)． 设平面BEF 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)，则{n ⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−3y +√6z =03x −2√6z =0．令z =√6，则n ⃗ =(4,2, √6)．因为AC ⊥平面BDE ，所以CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 为平面BDE 的法向量，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−3,0)． 所以cos〈n ⃗ ,CA⃗⃗⃗⃗⃗ >=n⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ ||CA⃗⃗⃗⃗⃗ |=3√2×√26=√1313． 因为二面角为锐角，所以二面角F −BE −D 的余弦值为√1313.…(8分)(3)点M 是线段BD 上一个动点，设M(t,t,0)．则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(t −3,t,0)． 因为AM//平面BEF ，所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n =0，即4(t −3)+2t =0，解得t =2．此时，点M 坐标为(2,2,0)，即当BM =13BD 时，AM//平面BEF.…(12分)【解析】(1)由已知中DE ⊥平面ABCD ，ABCD 是边长为3的正方形，我们可得DE ⊥AC ，AC ⊥BD ，结合线面垂直的判定定理可得AC ⊥平面BDE ；(2)以D 为坐标原点，DA ，DC ，DE 方向为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，分别求出平面BEF 和平面BDE 的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角F −BE −D的余弦值；(3)由已知中M是线段BD上一个动点，设M(t,t,0).根据AM//平面BEF，则直线AM的方向向量与平面BEF法向量垂直，数量积为0，构造关于t的方程，解方程，即可确定M点的位置．本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，空间中直线与平面垂直的判定，向量法确定直线与平面的位置关系，其中(I)的关键是证得DE⊥AC，AC⊥BD，熟练掌握线面垂直的判定定理，(II)的关键是建立空间坐标系，求出两个半平面的法向量，将二面角问题转化为向量夹角问题，(III)的关键是根据AM//平面BEF，则直线AM的方向向量与平面BEF法向量垂直，数量积为0，构造关于t的方程．20.【答案】解：(1)∵f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x，∴f′(x)=1x +2ax+2a+1=(2ax+1)(x+1)x，x>0，①当a≥0时，f′(x)>0恒成立，此时函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，②当a<0时，令f′(x)=0，解得x=−12a，当x∈(0,−12a)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，当x∈(−12a,+∞)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，综上所述当a≥0时，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，当a<0时，函数f(x)在(0,−12a )上单调递增，在(−12a,+∞)上单调递减；证明：(2)由(1)可知，当a<0时，函数f(x)在(0,−12a)上单调递增，在(−12a,+∞)上单调递减，∴f(x)max=f(−12a )=−1−ln2−14a−ln(−a)，从而要证f(x)≤−34a −2，只要证−1−ln2−14a−ln(−a)≤−34a−2，令t=−1a ，则t>0，问题转化为证明−12t+lnt≤−1+ln2，令g(t)=−12t+lnt，则g′(t)=−12+1t，当0<t<2时，g′(t)>0，函数g(t)单调递增，当t>2时，g′(t)<0，函数g(t)单调递减，∴g(t)≤g(2)=−1+ln2，即−12t+lnt≤−1+ln2成立，∴当a<0时，f(x)≤−34a−2成立．【解析】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查不等式的证明，是一道综合题．(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；(2)由(1)求出函数的最大值，令t=−1a ，则t>0，问题转化为证明−12t+lnt≤−1+ln2，令g(t)=−12t+lnt，根据函数的单调性证明即可．21.【答案】解：(Ⅰ)集合A不具有性质P，集合B具有性质P．事实上，∵A={1,4,7}，∴A+A={2,5,8,11,14}，card(A+A)=5≠3(3+1)2，故A不具有性质P；∵B={2,4,8}，∴B+B={4,6,8,10,12,16}，card(B+B)=6=3(3+1)2，故B具有性质P．(Ⅱ)若三个数a，b，c成等差数列，则A={a,b,c,d}不具有性质P，理由是a+c=2b，则card(A+A)<4×(4+1)2=10．∵a1<a2<a3<2020，且a i∈N∗(i=1,2,3)，∴a3≤2019，要使a1+a2+a3取最大，则a3=2019，故a2≤2018，易知{a1,2018,2019,2020}不具有性质P，要使a1+a2+a3取最大，则a2=2017，故a1≤2016，要使a1+a2+a3取最大，检验可得a1=2014；∴(a1+a2+a3)max=6050；(Ⅲ)集合A具有性质P．设等比数列的公比为q，∴a n=a1q n−1(a1>0)且q为有理数．假设当i<k≤l<j时，有a i+a j=a k+a l成立，则有q j−i=q k−i+q l−i−1．∵q为有理数，设q=mn(m,n∈N∗且m与n互质)，因此有(mn )j−i=(mn)k−i+(mn)l−i−1，即m j−i=m k−i n j−k+m l−i n j−l−n j−i．上式左边是m的倍数，右边是n的倍数，而m与n互质，显然a i+a j=a k+a l不成立．∴card(A+A)=C n1+C n2=n(n+1)，故集合A具有性质P．2【解析】(Ⅰ)由已知集合结合定义求得A+A与B+B，再由性质P的概念判断；(Ⅱ)首先说明若三个数a，b，c成等差数列，则A={a,b,c,d}不具有性质P，由a1<a2< a3<2020，得a3≤2019，结合集合A具有性质P依次求出a3=2019，a2=2017，a1= 2014时，可得a1+a2+a3的最大值；(Ⅲ)根据等比数列的概念结合反证法证明结论．本题是新定义题，考查等差数列与等比数列的性质，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题．。

北京师范大学第二附属中学2024-2025学年高三上学期期中考试数 学本试卷共6页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，只收答题纸，不收试卷。

一、单选题（本大题共10小题，共40分）1．设集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．曲线在点处的切线斜率为（ ）A ．B ．C ．D ．3．在复平面内，复数对应的点分别是，则的模是（ ）A ．5BC ．2D4．已知直线是函数图像的一条对称轴，则的值为（ ）A ．3B ．4C ．2D ．15．若，则的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ． 6．在中，为边上的中线，为的中点．则（ ）A ．B ．C ．D ．7．在长方体的八个顶点任两点连线中，随机取一直线，则该直线与平面平行的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知都大于零且不等于1，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件{}22M x x =<{}13N x x =-≤≤M N U ={1x x -≤<{}12x x -≤<}3x <≤{}23x x -<≤3113y x =+(),38--95-81012,z z ()(),,,--211321z z 6x π=()sin (08)6f x x πωω⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭ω0.5.43200.4,0.5,log 4a b c ===a b c ，，a b c <<b c a <<c b a<<c a b <<ABC V AD BC E ADEB =3144AB AC -3344AB AC - 3144AB AC +3344AB AC +1111ABCD A B C D -11AB D 314514328528,a b log 1a b >()()-->110a b9．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．或10．核酸检测分析是用荧光定量PCR 法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR 扩增进程中成指数级增加的靶标DNA 实时监测，在PCR 扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA 的数量与扩增次数n 满足，其中p 为扩增效率，为DNA 的初始数量．已知某被测标本DNA 扩增10次后，数量变为原来的100倍，那么该样本的扩增效率p 约为（ ）（参考数据：，）A ．36.9%B ．41.5%C ．58.5%D ．63.4%二、填空题（本大题共5小题，共25分）11．函数的定义域为 .12．已知等差数列的前n 项和为18，则 .13．在中，角的对边分别为，，，则的面积是 .14．已知函数的值域是R ，则实数的最大值是 ．15．如图所示，在四棱锥中，底面ABCD 为正方形，PA 底面ABCD ，PA =AB =4．E ，F ，H 分别是棱PB ，BC ，PD 的中点，对于平面EFH 截四棱锥所得的截面多边形，有以下三个结论：①截面面积等于；②截面是一个五边形；③直线PC 与截面所在平面EFH 无公共点．其中，所有正确结论的序号是 ．三、解答题（共6题，共85分）16．已知函数，()22,,⎧-≥=⎨<⎩x x x mf x x x m R m 1m ≥3m ≥13m ≤≤1m ≤3m ≥n X ()lg lg lg 01n X n p X =++0X ..≈02101585..-≈02100631y ={}n a 13,1,n S a S ==6S =ABC V ,,A B C ,,a b c ()226b a c =+-23B π=ABC V ()()22log 2,014,03x x x a x f x x ⎧++≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩a -P ABCD ⊥P ABCD-()()22sin cos 2cos f x x x x =+-(1) 求函数的最小正周期和单调递减区间；(2) 当时，求的最大值和最小值17．在中，角A ，B ，C 的对边分别为，且___________.在下面的三个条件中任选一个补充到上面的横线中，并给出下面问题的解答.①，②，③，，.(1) 求角C ；(2) 若，求周长的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，是的中点． (1) 求证：平面；(2) 求平面与平面夹角（锐角）的余弦值；(3 )在棱上是否存在一点，使直线与平面，若存在，求出求线段的长；若不存在，说明理由．19．某市两所中学的学生组队参加信息联赛，中学推荐了3名男生、2名女生，中学推荐了3名男生、4名女生. 两校所推荐的学生一起参加集训. 由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队参赛.(1 )求中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2) 设表示中学参赛的男生人数，求的分布列和数学期望；(3) 已知3名男生的比赛成绩分别为76、80、84；3名女生的比赛成绩分别为77、、81；若3名男生的比赛成绩的方差大于3名女生的比赛成绩的方差，写出的取值范围（不要求过程）.20．已知函数（且）.（1）当在点处的切线方程；（2）若，讨论函数的单调性与单调区间；()fx π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x ABC V ,,a b c 22cos -=a b c B 1sin cos 62⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭πC C (,)=-- m a c b a (,)=+ n a c b ⊥ m n c =ABC V -P ABCD ABCD ⊥PD ABCD ===22PD DC AD E PC PA ∥EDB EDB PAD PB F EF EDB BF ,A B A B A X A X a()*∈N a a ()ln =--+21122f x a x x ∈R a ≠0a =a ()=y f x ()()1,1f 0>a ()f x（3）若有两个极值点，证明：.21．设为正整数，集合对于，设集合.(1) 若，写出集合；(2) 若，且满足令，求证：；(3) 若，且，求证：.()=y f x 12,x x ()()ln +<-129f x f x a n (){}{}12|,,,,0,1,1,2,,. n n i A a a a a i n αα==∈=()12,,, n n a a a A α=∈(){}N 01,,1,2,,i t i P t t n a a i n t α+=∈≤≤-==⋯-()()0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,1,0,0,1,0αβ==()(),αβP P ()12,,, n n a a a A α=∈(),s t P α∈<，s t ()12,,, n s n s a a a A α--=∈'()t s P α-∈'()12,,, n n a a a A α=∈(){}1212,,,,3 m m P s s s s s s m α=<<<≥（）()1221,2,,2 k k k s s s k m ++≥+=-参考答案一、单选题（本大题共10小题，共40分）题号12345678910答案CADCDACABC二、填空题（本大题共5小题，共25分）11．12．811314．15．②③三、解答题（本大题共6小题，共85分）16（13分）．(1)最小正周期，单调递减区间，；6分(2)-1．7分【详解】（1）最小正周期，由，得单调递减区间为，；（2）由得，故当时，；当时，的最小值为-1.17（14分）．(1) 6分(2) 7分【详解】（1）选①由正弦定理及，，()0,28π3π7ππ,π88k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦k ∈Z ()()()222πsin cos 2cos 12sin cos 2cos 1sin 21cos 224f x x x x x x x x x x ⎛⎫=+-=+-=+-+=- ⎪⎝⎭2ππ2T ==ππ3π22π,2π422x k k ⎡⎤-∈++⎢⎥⎣⎦k ∈Z 3π7ππ,π88x k k ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦k ∈Z π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ3π2,444x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦ππ242x -=()f x ππ244x -=-()f x 3π22cos a b c B -=2sin sin 2sin cos A B C B -=又，，，又，.选②由，，.，，，.选③，...化简得，.又，.（2）由余弦定理得，又当且仅当时等号成立.，.又，周长的取值范围为.18（15分）．(1)证明见解析 4分分 (3)存在；的长为或 6分【详解】（1）连接，交于点，连接，点是的中点，点是的中点，所以,平面,平面，所以平面；（2）如图，以向量，，为轴的正方向建立空间直角坐标系，即，，，则，设平面的法向量，则，sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+2sin cos sin B C B∴=sin 0B ≠ 1cos 2C ∴=(0,)C π∈3C π∴=1sin cos 62C C π⎛⎫+=+⎪⎝⎭11cos cos 22C C C +=+11cos 22C C -=1sin 62C π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭(0,)C π∈ 5,666C πππ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭66C ππ∴-=3C π∴=(,)m a c b a =-- (,)n a c b =+ m n ⊥()()()0a c a c b a b ∴-⋅++-⋅=222a b c ab +-=2221cos 22a b c C ab +-==(0,)C π∈ 3C π∴=2222222cos ()3c a b ab C a b ab a b ab =+-=+-=+-2a b+³Q 2()4a b ab +∴≤a b =2233()3()4ab a b a b ∴=+-≤+0a b ∴<+≤a b ==a b c ∴++≤=a b c +>2a b c c ∴++>=ABC ∴ BF 3294AC BD O OE E PC O AC PA ∥OE OE ⊂EDB PA ⊄EDB PA ∥EDB DADCDP,,x y z ()0,0,0D ()1,2,0B ()0,1,1E ()()1,2,0,0,1,1DB DE ==EDB (),,m x y z = 200DB m x y DE m y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩令得，所以平面的法向量，平面的一个法向量为，设平面和平面的夹角为，则，所以平面和平面（3）由（2）知，，，，，，，，由（2）知平面的法向量，设直线与平面的夹角为，则整理得，解得或故当时，；当时，则的长为或．19（14分）．(1)3分(2)分布列见解析，期望为 8分(3) 3分【详解】（1）由题意知，参加集训的男、女生各有6名.参赛学生全部从B 中学中抽取（等价于A 中学没有学生入选代表队）的概率为.因此，A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为.（2）根据题意得，X 的可能取值为0，1，2，3.则，，1y =-2,1x z ==EDB ()2,1,1m =-PAD ()0,1,0n =EDB PAD θcos cos ,m n m n m n θ⋅====EDB PAD ()0,0,0D ()1,2,0B ()0,1,1E ()0,0,2P ()1,1,1EB =- ()1,2,2BP =-- (),2,2(01)BF BP λλλλλ==--<<()()()1,1,1,2,21,12,12EF EB BF λλλλλλ=+=-+--=---+EDB ()2,1,1m =- EF EDB αsin cos ,1EF m αλ===<<281030λλ-+=12λ=3,4λ=12λ=32BF =34λ=94BF =BF 32949910032{|738},5N a a a *<∈<33343366C C 1C C 100=1991100100-=()()031233333366,0C C C C 1901C 20C 2P X P X ⋅⋅======()213336C C 92C 20P X ⋅===()330363C C 13.C 20P X ⋅===所以X 的分布列为：X 0123P因此，X 的数学期望.（3）3名男生的比赛成绩分别为76，80，84，平均值为80，方差为，3名女生的比赛成绩为77，，81，平均值为，所以，即，代入检验，可知最小为74，最大，故，即的取值范围.20（15分）．（Ⅰ）； 5分（Ⅱ）详见解析； 4分（Ⅲ）证明见解析. 6分【详解】由题可知：函数的定义域为(0,+∞)（Ⅰ）因为时，，所以，那么，所以曲线在处的切线方程为：，即；（Ⅱ）因为可得：①当，，时，有，和时，即函数在和上为减函数；时，，即函数在上为增函数；120920920120()199130123202020202EX =⨯+⨯+⨯+⨯=2224)043233-++=(a ()*a ∈N 1583a+222158158158327781333a a a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫>-+-+- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()()()222222329732158857347985a a a a a a ⨯>-+-+-=-+-+-a 847385a <<N a *∈a {|738},5N a a a *<∈<10x y +-=()f x a =()21122f x x x =--+()f x x '=()11f '=-()1f =()y f x =()()1,1f ()1y x -=--10x y +-=()a f x x x '=-=20x a -+-=1240a ∆=->()0,3a ∈1x =2x =120x x >>()20,x x ∈()1,x x ∈+∞()0f x '<()y f x =()+∞()21,x x x ∈()0f x '>()y f x =②当时，，恒成立，所以函数在(0,+∞)为减函数.综上可知：当时，函数在和上为减函数，在上为增函数；当时，函数在(0,+∞)上为减函数；（Ⅲ）因为有两个极值点、，则有两个正根、，则有，且，，即，所以若要，即要，构造函数，则，易知在上为增函数，且，，所以存在使即，且当时，函数单调递减；当时，，函数单调递增.所以函数在上有最小值为，又因为则，所以在上恒成立，即成立.21（15分）．(1)；4分(2) 5分 (3) 6分【详解】（1）；（2）因为，所以，当时，，所以，即，，3a ≥0∆≤()0f x '≤()y f x =0<<3a ()y f x=()+∞+3a ≥()y f x =()y f x =1x 2x ()0f x '=1x 2x 1240a ∆=->12x x +=120x x a =>()0,3a ∈()())()()22121212121ln 1ln 72f x f x x x a x x x x a a a +=+--++=-++()()129ln f x f x a +<-ln ln 20a a a a --+>()ln ln 2x x g x x x =--+()1ln g x x x'=-()y g x '=()0,3()110g '=-<()12ln 202g '=->()01,2x ∈()00g x '=001ln x x =()01,x x ∈()0g x '<()y g x =()0,2x x ∈()0g x '>()y g x =()y g x =()1,2()00000001ln ln 23g x x x x x x x ⎛⎫=-++=-+⎪⎝⎭()01,2x ∈00152,2x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭()00g x >()01,2x ∈()()129ln f x f x a +<-(){}(){}0,3,5,0,5,8,10P P αβ==(){0,3,5},(){0,5,8,10}P P αβ==()s P α∈,1,2,,i s i a a i n s +==- 1j n t ≤≤-1j t s n t t s n s <+-≤-+-=-j t s s j t s a a +-++-=j t j t s a a ++-=1,2,,j n t =-又因为，所以，所以，所以；（3）对任意，令，若且，则，所以，因为，所以，所以，所以.对，因为，由（2）可知，令，则.若，因为，所以，即，又因为，所以.若，则，所以.综上，即.()t P α∈,1,2,,j t j a a j n t +==- ,1,2,,j t s j a a j n t +-==- ()t s P α'-∈()s P α∈12(,,,)n s n s a a a A α--'=∈ ()t P α'∈2t n s <-,1,2,,i t i a a i n s t +==-- 2,1,2,,2i t i a a i n s t +==-- ()s P α∈1,1,2,,j j a a j n s +==- 22,1,2,,2i i t i t s a a a i n s t +++===-- 2()s t P α+∈1,()(1,2,,2)k k s s P k m α+∈=- 1k k s s +<12(,,,)kk n s a a a α-= 1()k k k s s P α+-∈12()k k k s s n s +-<-()k s P α∈12()()k k k s s s P α++-∈12()k k s s P α+-∈11112()k k k k k k s s s s s s ++++-=+->122k k k s s s ++-≥12()k k k s s n s +-≥-122()k k k m k s s s n s s +++-≥>≥122k k k s s s ++->122k k k s s s ++-≥122(1,2,,2)k k k s s s k m ++≥+=-。

2020-2021学年北京师大二附中高三上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共24.0分）1.若集合M={x|0≤x≤1}，N={x|y=lg1−xx}，则M∩∁R N=()A. {0}B. {0,1}C. {x|0≤x≤1}D. {x|x<0或x>1}2.下面是关于复数z=2i−1−i的四个命题：p1：|z|=2；p2：z2=2i；p3：z的共轭复数为1+i；p4：z 的虚部为−1．其中的真命题为()A. p1，p2B. p2，p4C. p2，p3D. p3，p43.若复数满足(为虚数单位)，则的共轭复数为()A. B. C. D.4.已知sin(α−π4)=√55，α∈(π2,5π4)，则sinα=()A. 3√1010B. −√1010C. ±√1010D. −√1010或3√10105.8.下列命题为真命题的是A. 已知，则“”是“”的充分不必要条件B. 已知数列为等比数列，则“”是“”的既不充分也不必要条件C. 已知两个平面，，若两条异面直线满足且//，//，则//D. ，使成立6.{a n}为等比数列，S n是其前n项和，若a2⋅a3=8a1，且a4与2a5的等差中项为20，则S5=()A. 29B. 30C. 31D. 327.如图，在平行四边形ABCD中，于点H，BH交AC于点E，已知，，则( )A. 6B. 3C. 2D.8.下列函数中既是偶函数，又在区间(0,+∞)上单调递增的是( )A. y =−|x|B. y =−x 2+1C. y =x 3D. y =−1|x|二、单空题（本大题共5小题，共15.0分） 9.已知a ⃗ =(m,3)，b ⃗ =(−2,2)，且(a ⃗ −b⃗ )⊥b ⃗ ，则m =______． 10. 函数f(x)与g(x)的定义域为[m,n]，它们的图象如图所示，则不等式f(x)g(x)<0的解集是______．11. F 1、F 2分别为双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，O 为坐标原点，若双曲线左支上存在一点P ，使(OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(F 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −F 2F 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，且|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，则此双曲线的离心率为______． 12. P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a2+y 2b 2=1 (a >b >0)上的任意一点，若∠PF 1F 2=α，∠PF 2F 1=β，且cosα=√55，sin(α+β)=35，则此椭圆的离心率为______ ．13. 若抛物线的焦点与圆圆心重合，则抛物线的准线被圆截得的线段长为 ．三、多空题（本大题共1小题，共3.0分） 14. 已知函数f(x)={−x 2+ax,x <1alnx 2x,x ≥1．(1)若函数f(x)在(−∞,1)有且只有一个极值点，则实数a 的取值范围 (1) ； (2)若函数的最大值为，则a = (2) ． 四、解答题（本大题共6小题，共72.0分） 15. 已知在△ABC 中，2B =A +C ，且c =2a ． (1)求角A ，B ，C 的大小；(2)设数列{a n }满足a n =n|cosnC|，前n 项和为S n ，若S n =20，求n 的值．16. 已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示． (1)求f(x)的解析式；(2)将y =f(x)的图象向左平移π6个单位，得到y =g(x)的图象．若函数y =g(mx)(m >0)在区间[−π2,2π3]上是增函数，求实数m 的取值范围；(3)已知A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且f(A2)=−1，sinAsinB =cos 2C2，BC 边上的中线AP 的长为√7，试判断△ABC 的形状，并求△ABC 的面积．17. 已知点H(−3,0)，点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上，且满足HP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−32MQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． (1)当点P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹C ；(2)过定点D(m,0)(m >0)作直线l 交轨迹C 于A 、B 两点，E 是D 点关于坐标原点O 的对称点，试问∠AED =∠BED 吗？若相等，请给出证明，若不相等，说明理由．18. 已知函数f(x)=lnx +(a −12)x 2−2ax ，a ∈R ．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)在定义域内是增函数，且存在不相等的正实数x1，x2使得f(x1)+f(x2)=−3，证明：x1+x2>2．19.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为√32，过F1作直线l1，l2分别与椭圆C交于A，B，C，D四点，且l1⊥l2，△ABF2的周长为8．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若M，N分别是AB，CD的中点，求证：直线MN过定点，并求出该定点的坐标．20.已知首项为2的正项数列{a n}的前n项和为S n，当n≥2时，S n+S n−1=a n2+23．(1)证明：数列{a n}是等差数列；(2)若b n=(−1)n a n，求数列{b n}的前n项和T n．【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵集合N={x|y=lg1−xx}={x|x(1−x)>0}=(0,1)，又∴M={x|0≤x≤1}，∴(C R N)=(−∞,0]∪[1,+∞)，∴M∩∁R N={0,1}，故选：B．出M的解集，求出N的补集，根据交集的定义求出即可．本题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2.答案：B解析：解：复数z=2i−1−i =2i(−1+i)(−1−i)(−1+i)=−1−i．∴|z|=√2，z2=2i，z=−1+i，z的虚部为−1．因此只有p2，p4是真命题．故选：B．利用复数的运算法则、模的计算公式、共轭复数的定义、虚部的定义即可判断出．本题考查了复数的运算法则、模的计算公式、共轭复数的定义、虚部的定义，属于基础题．3.答案：B解析：试题分析：因为复数满足，所以，其共轭复数为，选B．考点：复数的概念，复数的代数运算．4.答案：B解析：本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题．利用同角三角函数的基本关系求得cos(α−π4)的值、再利用两角和的正弦公式求出sinα的值．解：∵已知sin(α−π4)=√55，α∈(π2,5π4)，∴α−π4∈(π4,π)，∴cos(α−π4)=−√1−sin2(α−π4)=−2√55，。

北京市西城区北京师范⼤学第⼆附属中学2020届⾼三数学上学期期中试题（含解析）如果您喜欢这份⽂档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！北京市西城区北京师范⼤学第⼆附属中学2020届⾼三数学上学期期中试题（含解析）⼀、选择题1.已知全集U =R ，集合{0,1,2,3,4,5}A =，{|3}B x x =∈≥R ，则U A C B ?=（） A. {4,5}B. {3,4,5}C. {0,1,2}D.{0,1,2,3}【答案】C 【解析】【分析】通过补集的概念与交集运算即可得到答案.【详解】根据题意得{}|3U C B x x =<，故{}0,1,2U A C B ?=，答案选C. 【点睛】本题主要考查集合的运算，难度很⼩. 2.下列命题中的假命题是（） A. x R ?∈，120x -> B. x N *?∈，()210x -> C. x R ?∈，lg 1x < D. x R ?∈，tan 2x =【答案】B 【解析】【详解】试题分析：当x=1时，（x-1）2=0,显然选项B 中的命题为假命题，故选B 。

考点：特称命题与存在命题的真假判断。

【此处有视频，请去附件查看】3.若复数z 满⾜11z i -=+，则z 的共轭复数的虚部是( ) A. B. 1 C. i -D. 1-【答案】B 【解析】【分析】先由复数的加减运算求出z i =-，得到共轭复数，即可得出结果. 【详解】因为11z i -=+，所以z i =-，因此其共轭复数为z i =，所以虚部为1. 故选：B【点睛】本题主要考查复数的虚部，熟记复数的概念，复数的加减运算，以及复数的共轭复数即可，属于基础题型.4.在ABC △中，内⾓C 为钝⾓，3sin 5C =，5AC =，AB =BC =（） A. 2 B. 3C. 5D. 10【答案】A 【解析】【分析】先根据同⾓三⾓函数平⽅关系求cos C ，再根据余弦定理求.BC 【详解】因为3sin ,5C C =为钝⾓，所以4cos ,5C =-因此由余弦定理得(22245255BC BC ??=+--2BC ∴=（负值舍去），选A. 【点睛】解三⾓形问题，多为边和⾓的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和⾓之间的关系，从⽽达到解决问题的⽬的.5.若不等式||1x t -<成⽴的必要条件是14x <≤，则实数t 的取值范围是（） A. [2,3] B. (2,3]C. [2,3)D. (2,3)【答案】A 【解析】由1x t -<得：11t x t -+<<+，∵不等式1x t -<成⽴的必要条件是14x <≤，∴{}{}|11|14x t x t x x -+<<+?<≤，故11{2314t t t -+≥?≤≤+≤，故选A.6.在等⽐数列{}n a 中，13a =，前n 项和为n S ，若数列{}1n a +也是等⽐数列，则n S 等于( ) A. 122n +- B. 3nC. 2nD. 31n -【答案】B 【解析】【分析】先设等⽐数列{}n a 的公⽐为q，根据数列{}1n a +也是等⽐数列，得到()()()2213111a a a +=++，求出1q =，进⽽可求出结果.【详解】设等⽐数列{}n a 的公⽐为q ，⼜数列{}1n a +也是等⽐数列，所以()()()2213111a a a +=++，即()()2231431+=+q q ，解得1q =，所以3n a =；因此3==n n na S n ；故选：B【点睛】本题主要考查等⽐数列的应⽤，熟记等⽐数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型.7.如图，在梯形ABCD 中，AB DC ，5,2,4AB AD DC BC ====，M 为AB 边上⼀点，则MD MC ?的最⼩值为A. 10B. 12C. 15D. 16【答案】C 【解析】【分析】先取CD 中点N ，化简MD MC ?，再根据N 到直线AB 距离最⼩值得结果.【详解】取CD 中点N ，则2221MD MC MN CN MN ?=-=-,在AB 上取AE=2，连接CE ，则四边形AECD 为平⾏四边形，则CE=AD=5,因为BE=3,BC=4,所以BC AB ⊥,即22||16MN BC ≥=,15MD MC ?≥,选C.【点睛】以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三⾓函数、曲线⽅程等相结合的⼀类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解⽅程、解不等式、求函数值域或直线与曲线位置关系，是解决这类问题的⼀般⽅法. 8.函数()f x 在[,]a b 上有定义,若对任意12,[,]x x a b ∈,有12121()[()()]22x x f f x f x +≤+ 则称()f x 在[,]a b 上具有性质P .设()f x 在[1,3]上具有性质P ,现给出如下题:①()f x 在[1,3]上的图像是连续不断的; ②()f x 在上具有性质P ;③若()f x 在2x =处取得最⼤值1,则()1,[1,3]f x x =∈;④对任意1234,,,[1,3]x x x x ∈,有123412341()[()()()()]44x x x x f f x f x f x f x +++≤+++其中真命题的序号（） A. ①② B. ①③C. ②④D. ②③④【答案】D 【解析】①可以不连续，只要满⾜图像是向下凸的特征即可。

北京师大二附中2020——2021学年度第一学期期中高三数学理科试题一.选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1. sin 585的值为 ( )A ．2-B ．2C ．【答案】A【解析】sin585sin(360225)sin 225=+= 2sin(18045)sin 452=+=-=-故答案为：A 【考点】 【难度】2. 与函数y ＝x 有相同图象的一个函数是 ( )A.y =log a xy a=(a ＞0且1a ≠)C. 2x y x =D. log xa y a = (a ＞0且1a ≠)【答案】D 【解析】函数y x =的定义域为R ，其图像为一、三象限角平分线对于选项A ：y ={}0x x ≥ ，所以选项A 错误；对于选项B ：log a xy ax ==，其定义域为{}0x x >，所以选项B 错误；对于选项C ：2x y x x==，其定义域为{}0x x ≠，所以选项C 错误； 对于选项D ：log xa y a x ==，其定义域为R ，所以选项C 正确。

故答案为：D 【考点】 【难度】3. 在数列{}n a 中，若12a =，且对任意的正整数n 都有22n n a a =，则8a 的值为 （ ）A ．256B ．128C ．64D ．32 【答案】A 【解析】 由题意得：22242488842211()()2256a a a a a a =======故答案为：A 【考点】 【难度】4. 预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是()01(1)nn P P k k =+>-，其中n P 为预测人口数，0P 为初期人口数，k 为预测年内增长率，n 为预测期间隔年数．如果在某一时期有10k -<<，那么这期间人口数 ( )A. 呈上升趋势B. 呈下降趋势C. 摆动变化D. 不变【答案】B 【解析】因为10k -<<，所以011k <+<，所以()1nk +为减函数，又因为0o P >，所以()01nP k +为减函数 所以，这期间的人口数呈下降趋势。

2023北京北师大二附中高三（上）期中数 学一、单选题（共10小题；共40分）1. 已知集合{}23A x x =−≤≤，{}0B x x =>，则A B ⋃=（ ） A. []2,3− B. []0,3C. ()0,∞+D. [)2,−+∞2. 复数21iz =+的共轭复数z =（ ） A. 1i − B. 1i + C.11i 22− D.11i 22+ 3. 已知向量()(),1,1,2a m b ==−．若a ∥b ，则m =（ ） A. 2B. 1C. 1−D. 12−4. 下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（ ） A. ()sin f x x = B. ()2xf x =C.()3f x x x =+D. ()()1e e 2x xf x −=− 5. 记0cos(80)k −=，那么0tan100=A.kB. k− D.6. 已知两点(2,0)A −，(0,2)B ，点C 是圆224460x y x y +−++=上任意一点，则ABC 面积的最小值是（ ）A. 8B. 6C. 3D. 47. 函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为A. 13(,),44k k k Z ππ−+∈ B. 13(2,2),44k k k Z ππ−+∈ C. 13(,),44k k k Z −+∈ D. 13(2,2),44k k k Z −+∈8. 若0,0x y >>，则“2x y +=”的一个充分不必要条件是 A. x y = B. 2x y = C. 2x =且1y = D. x y =或1y =9. 已知函数11()221x f x =−+，()f x '是()f x 的导函数，则下列结论正确的是（ ） A. ()()0f x f x −−= B. ()0f x '<C. 若120x x <<，则()()1221x f x x f x >D. 若120x x <<，则()()()1212f x f x f x x +>+10. 设数列{} n a 的前n 项和为n S ，若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，下列正确命题的个数是（ ）①{} n a 可能为等差数列； ②{} n a 可能为等比数列；③(2)i a i ≥均能写成{} n a 的两项之差；④对任意n ∈N ，1n ≥．总存在N m ∈，m 1≥．使得n m a S =． A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（共5小题：共25分）11.函数2()log (1)f x x =−+的定义域是_____________．12. 已知OA a =，OB b =，5OA =，12OB =，90AOB ∠=︒，则a b −=_________. 13. 能够说明“x e >1x +恒成立”是假命题的一个x 的值为______.14. 《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，被誉为人类科学史上应用数学的最早巅峰.全书分为九章，卷第六“均输”有一问题：“今有竹九节下三节容量四升，上四节容量三升问中间二节欲均容各多少”其意思为：“今有竹9节，下3节容量4升，上4节容量3升使中间两节也均匀变化，每节容量是多少?”这一问题中从下部算起第5节容量是 _________________升.(结果保留分数)15. 设0a >，函数2,,(),1,.x x a f x a x a x a +<−⎧=−≤≤−>⎪⎩，给出下列四个结论：①()f x 在区间(1,)a −+∞上单调递减； ②当1a ≥时，()f x 存在最大值； ③设()()()()()()111222,,,M x f x xa N x f x x a ≤>，则||1MN >；④设()()()()()()333444,,,P x f x xa Q x f x x a <−≥−．若||PQ 存在最小值，则a 的取值范围是10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦． 其中所有正确结论的序号是____________．三、解答题（共6小题：共85分）16. 在ABC 中，2sin a B =．（1）求A ；（2）若b =，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得ABC 存在且唯一确定，求ABC 的面积．条件①：cos 10C =−； 条件②：2a =；条件③：sin 5B =． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．17. 已知以点(1,2)A −为圆心的圆与直线m ：270x y ++=相切，过点(2,0)B −的动直线l 与圆A 相交于M 、N 两点.（1）求圆A 的方程；（2）当MN =l 的方程.18. 某校设计了一个实验学科的实验考查方案；考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成其中2题便可通过.已知6道备选题中考生甲有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是23，且每题正确完成与否互不影响，求： （1）分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望； （2）试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力.19. 小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为()W x 万元．在年产量不足8万件时，()213W x x x =+万元；在年产量不小于8万件时，()100638W x x x=+−万元，每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完．（1）写出年利润()L x 万元关于年产量x 万件的函数解析式；(注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本)（2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 20. 已知函数()ln f x x a x =−，()1(0)ag x a x+=−>．（1）若1a =，求函数()f x 的极值； （2）设函数()()()hx f x g x =−，求函数()h x 的单调区间；（3）若存在[]01x e ∈，，使得()()00f x g x <成立，求a 的取值范围． 21. 已知{}n a 为无穷递增数列，且对于给定的正整数k ，总存在i ，j ，使得,i j a k a k ≤≥，其中i j ≤．令k b 为满足i a k ≤的所有i 中的最大值，k c 为满足j a k ≥的所有j 中的最小值．（1）若无穷递增数列{}n a 的前四项是1，2，3，5，求4b 和4c 的值；（2）若{}n a 是无穷等比数列，11a =，公比q 是大于1的整数，34534,b b b c c <==，求q 的值； （3）若{}n a 是无穷等差数列，11a =，公差为1m，其中m 为常数，且*1,m m >∈N ，求证：12,,,,k b b b 和12,,,,k c c c 都是等差数列，并写出这两个数列的通项公式．参考答案一、单选题（共10小题；共40分）1. 【答案】D【分析】利用并集的定义可求得集合A B ⋃.【详解】因为集合{}23A x x =−≤≤，{}0B x x =>，因此，[)2,A B ⋃=−+∞. 故选：D. 2. 【答案】B【分析】先利用复数的除法得到复数z ，再求共轭复数. 【详解】解：因为复数21iz =+， 所以()()()21i 21i 1i 1i 1i z −===−++−， 所以z =1i +， 故选：B 3. 【答案】D【分析】由两向量共线直接列方程求解即可 【详解】因为()(),1,1,2a m b ==−，且 a ∥b ， 所以112m =−，解得12m =−，故选：D 4. 【答案】D【分析】根据函数的奇偶性，基本初等函数的单调性，逐项判断即可.【详解】对于A ，函数()sin f x x =为奇函数，但在定义域R 上函数不单调，故A 不符合； 对于B ，()2xf x =的定义域为R ，()()22xxf x f x −−===，则()2xf x =为偶函数，故B 不符合；对于C ，()3f x x x =+的定义域为R ，()()3f x x x f x −=−−=−，则()3f x x x =+为奇函数，又函数3,y x y x ==在R 上均为增函数，故()3f x x x =+在R 上为增函数，故C 不符合；对于D ，()()1e e 2x x f x −=−的定义域为R ，()()()1e e 2x xf x f x −−=−=−，则()()1e e 2x x f x −=−为奇函数，又函数e x y −=在R 上为减函数，e x y =在R 上为增函数，故()()1e e 2x xf x −=−在R 上为减函数，故D 符合. 故选：D.5. 【答案】B 【详解】()0cos 80k −=,cos80k ∴=,从而22sin801cos 801k =−=−，sin801tan80cos80k∴==，那么tan100tan(18080)tan80k=−=−=−， 故选B ． 6. 【答案】D【分析】求出圆心坐标和半径，可得圆心到直线的距离，求得圆上的点到直线AB 距离的最小值，从而得三角形面积最小值．【详解】解：圆224460x y x y +−++= 即22(2)(2)2x y −++=，∴圆心(2,2)−，半径是r =直线AB 的方程为20xy −+=， 圆心到直线AB3=，直线AB 和圆相离，点C 到直线AB 距离的最小值是3r −=2−=，ABC 的面积的最小值为142= 故选：D ． 7. 【答案】D【详解】由五点作图知，1+42{53+42πωϕπωϕ==，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k −＜x ＜324k +，Z k ∈，故单调减区间为（124k −，324k +），Z k ∈，故选D. 考点：三角函数图像与性质 8. 【答案】C【详解】0,0x y >>，∴2x y +≥，当且仅当2x y = 时取等号.故“2,x =且1y = ”是“2x y +=”的充分不必要条件.选C ． 9. 【答案】D【分析】根据函数的奇偶性概念判断A ，根据导函数值域判断B ，利用特例法排除选项C ，利用指数运算及指数函数的单调性结合不等式的性质即可判断D.【详解】对于A ，易知R x ∈，1121()2212(21)x x x f x −=−=++，所以2112()2(21)2(12)x xx x f x −−−−−==++，所以()()f x f x −=−，错误； 对于B ，因为11()221x f x =−+，所以22ln 2()(21)x x f x =+'，由ln 20>知()0f x '>，错误； 对于C ，111(1)2216f =−=+，2113(2)22110f =−=+，虽然012<<，但是()()1221f f ⨯<⨯，故对120x x <<，()()1221x f x x f x >不恒成立，错误；对于D ，函数1121()221222x x x f x −=−=+⋅+， 则()()12121221212(21)2(21)x x x x f x f x −−+=+++，()121212212(21)x x x x f x x ++−+=+，因为210x x >>，所以21221x x >>，所以1222(21)210x x x −>−>， 所以12122122x x x x ++>+，所以1212122222221x x x x x x ++⋅+>+++， 即12122(21)(21)(21)x x x x ++>++，所以121221(21)(21)21x x x x +>+++，所以121212122(21)21(21)(21)21x x x x x x x x +++−−>+++， 又()()()()()12211221212121221xxxxx x +−++−+=−，所以1221121212(21)(21)(21)(21)21(21)(21)21x x x x x x x x x x ++−++−+−>+++， 所以1221121212(21)(21)(21)(21)212(21)(21)2(21)x x x x x x x x x x ++−++−+−>+++，即121212122121212(21)2(21)2(21)x x x x x x x x ++−−−+>+++，所以()()()1212f x f x f x x +>+，正确. 故选：D 10. 【答案】C【分析】对于①,取n a n =,可知①正确;对于②,当{}n a 的公比1,2q n =≥时,n n S a =不存在正整数m ,当1q ≠时,n n S a =即111n m q q q −−+++=无有理数根,可知②错误;对于③,根据()12n n n a S S n −=−≥,可知③正确;对于④取数列n a n =,显然不存在m ,使得22m S a ==,故④不正确. 【详解】对于①，取等差数列n a n =,易验证其满足要求,①正确. 对于②,若{}n a 为等比数列,设公比为q ,显然1q =不满足要求, 考虑1q ≠的情况,依题意,应有12122,n m n m S a S a ++==, 即121n m q q q q ++++=2211n q q q +++++=()()21211n m n q q q q q ++++=++,两式相除,得2111m n m q q+−+=.若1q >,则取n 为奇数,那么10n q +>,所以212||m m n q q −+,所以()21211111n n m m n n qq qq qq ++−++=−=−−.当n 足够大时,显然不成立;若1q <,则(2110,,m m q q q ∞−⎡⎫⎤∈⋃+⎪⎢⎦⎪⎢⎣⎭, 因为11q q<<,所以当足够大时, 可以使111,n qq q +⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭,故也不成立.从而知②错误; 对于选项③,取2n =,则 12m a a a +=,所以12m a a a =−, 当2n 时,211m n n n m a S S a a −=−=−,故③正确.对于选项④, 取数列n a n =, 显然不存在m ,使得22m S a ==,故④错误. 故选：C二、填空题（共5小题：共25分）11. 【答案】[0,1)【分析】根据对数型函数的定义域，结合二次根式的性质进行求解即可.【详解】由题意可知：10010x x x −>⎧⇒≤<⎨≥⎩， 所以该函数的定义域为[0,1)， 故答案为：[0,1) 12. 【答案】13【分析】根据向量减法几何意义，向量模的定义，结合勾股定理计算． 【详解】由题意AOB是直角三角形，13a b BA −===，故答案为：13. 13. 【答案】0【分析】不等式1x e x >+恒成立等价于10x e x −−>恒成立，因此可构造函数()1x f x e x =−−，求其最值，从而找到命题不成立的具体值． 【详解】设函数()1x f x e x =−−，则有'()1x f x e =−，当(,0)x ∈−∞时，有'()0f x <，()f x 单调递减；当(0,)x ∈+∞时，有'()0f x >，()f x 单调递增；故0x =为最小值点，有()(0)0f x f ≥=．因此，当0x =时，命题不能成立．故能够说明“1x e x >+恒成立”是假命题的一个x 的值为0 【点睛】说明一个命题为假命题，只需举出一个反例即可，怎样找到符合条件的反例是关键．在处理时常要假设命题为真，进行推理，找出命题必备条件． 14. 【答案】6766【分析】记从下部算起第n 节的容量为n a ，可知数列{}n a 为等差数列，利用等差数列通项公式可构造关于1,a d 的方程组，解方程组求得1,a d 后，利用通项公式可求得5a . 【详解】记从下部算起第n 节的容量为n a ，由题意可知：数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，则1231678913344263a a a a d a a a a a d ++=+=⎧⎨+++=+=⎩，解得：19566766a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩，5167466a a d ∴=+=，即从下部算起第5节容量是6766升.故答案为：6766. 15. 【答案】②③【分析】先分析()f x 的图像，再逐一分析各结论；对于①，取12a =，结合图像即可判断；对于②，分段讨论()f x 的取值范围，从而得以判断；对于③，结合图像可知MN 的范围；对于④，取45a =，结合图像可知此时PQ 存在最小值，从而得以判断. 【详解】依题意，0a >，当x a <−时，()2f x x =+，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；当a x a −≤≤时，()f x =()0,0，半径为a 的圆在x 轴上方的图像（即半圆）；当x a >时，()1f x =，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线； 对于①，取12a =，则()f x 的图像如下，显然，当(1,)x a ∈−+∞，即1,2x ⎛⎫∈−+∞ ⎪⎝⎭时，()f x 在1,02⎛⎫− ⎪⎝⎭上单调递增，故①错误； 对于②，当1a ≥时，当x a <−时，()221f x x a =+<−+≤；当a x a −≤≤时，()f x =a ；当x a >时，()112f x =<≤−， 综上：()f x 取得最大值a ，故②正确；对于③，结合图像，易知在1x a =，2x a >且接近于x a =处，()()()()()()111222,,,M x f x x a N x f x x a ≤>的距离最小，当1x a =时，()10y f x ==，当2x a >且接近于x a =处，()221y f x =<−，此时，1211MN y y >−>+>，故③正确；对于④，取45a =，则()f x 的图像如下，因为()()()()()()333444,,,P x f x xa Q x f x x a <−≥−，结合图像可知，要使PQ 取得最小值，则点P 在()425f x x x ⎛⎫=+<− ⎪⎝⎭上，点Q 在()4455f x x ⎫=−≤≤⎪⎭， 同时PQ 的最小值为点O 到()425f x x x ⎛⎫=+<− ⎪⎝⎭的距离减去半圆的半径a ， 此时，因为()425f x y x x ⎛⎫==+<−⎪⎝⎭的斜率为1，则1OP k =−，故直线OP 的方程为y x =−， 联立2y xy x =−⎧⎨=+⎩，解得11x y =−⎧⎨=⎩，则()1,1P −，显然()1,1P −在()425f x x x ⎛⎫=+<− ⎪⎝⎭上，满足PQ 取得最小值， 即45a =也满足PQ 存在最小值，故a 的取值范围不仅仅是10,2⎛⎤⎥⎝⎦，故④错误. 故答案为：②③.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是分析得()f x 的图像，特别是当a x a −≤≤时，()f x =的图像为半圆，解决命题④时，可取特殊值进行排除即可.三、解答题（共6小题：共85分）16. 【答案】（1）π4A =或3π4A =； （2）答案见解析.【分析】（1）由正弦定理边化角可得sin 2A =，即可求出结果； （2）若选①：根据已知可得C 为钝角，则A为锐角，sin sin 10C A =>，三角形唯一，根据两角和的正弦公式可求出sin 5B =，根据正弦定理求出a 的值，根据1sin 2ABCS ab C =即可求出面积；若选②：根据正弦定理可求出sin 1B =，B 为直角，三角形唯一确定，可求出C A =，即可求出122ABCSac ==；若选③：由sin sin A B >，可知π4A =或3π4A =，有两解.【小问1详解】由2sin a B =可得，2sin sin A B B =.因为sin 0B ≠，所以sin 2A =，又0πA <<，所以π4A =或3π4A =. 【小问2详解】若选①：cos 10C =−. 因为0πC <<，所以C 为钝角，A 为锐角，又()sin sin sin πC A A ==>=−， 又π<ππ2A −<，所以πC A <−，即πA C +<，所以ABC 存在且唯一确定. 则π4A =，由πA B C ++=可得()πB A C =−+. ()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+2102105⎛⎫=⨯−+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭ 根据正弦定理sin sin sin a b cA B C ==可得，sin sin 5b A a B===所以1sin 2ABCSab C=16210=⨯=；若选②：2a =.因为b a =>，所以π4A =，由正弦定理sin sin a b A B=可得，sin 2sin 12b A B a ===， 因为0πB <<，所以π2B =，所以ABC 存在且唯一确定. 则ππ4C A B A =−−==，所以2c a ==，122ABCS ac ==；若选③：sin 5B =.因为sin sin 2A B =>，所以A B >，此时π4A =或3π4A =， 所以，此时ABC 存在但不唯一.17. 【答案】（1）()()221220x y ++−= （2）2x =−或3460x y −+=【分析】（1）根据题意结合点到直线的距离公式求圆的半径，即可得圆的方程；（2）先求圆心到直线l 的距离，在结合点到直线的距离公式求直线l 的斜率，注意讨论直线l 的斜率是否存在.【小问1详解】点(1,2)A −到直线m ：270x y ++=的距离为d ==即圆A 的圆心(1,2)A −，半径r =A 的方程为()()221220x y ++−=. 【小问2详解】设圆心(1,2)A −到直线l 的距离为d，则MN =1d =，当直线l 的斜率不存在时，则:2l x =−，此时圆心(1,2)A −到直线l 的距离为1d =，符合题意，成立； 当直线l 的斜率存在时，设为k ，则():2l y k x =+，即20kx y k −+=，∵1d ==，解得34k =， ∴直线l ：3460x y −+=；综上所述：直线l 的方程为2x =−或3460x y −+=.18. 【答案】（1）甲分布列见解析，()2E ξ=；乙分布列见解析，()2E η=； （2）答案不唯一，见解析.【分析】（1）由题意可知，甲、乙两位考生正确完成实验操作的题数分别服从超几何和二项分布，分别列出分布列，计算均值即可；（2）结合分布列中的数据，分别计算对应的均值、方差及至少正确完成2题的概率比较即可. 【小问1详解】设考生甲正确完成实验操作的题数为ξ，则ξ的取值范围是{}1,2,3，124236C C 1(1)C 5P ξ===，214236C C 3(2)C 5P ξ===，304236C C 1(3)C 5P ξ===，所以ξ的分布列为则()1232555E ξ=⨯+⨯+⨯=. 设考生乙正确完成实验操作的题数为η，易知23,3B η⎛⎫~ ⎪⎝⎭，所以30321(0)C 1327P η⎛⎫==−= ⎪⎝⎭，1213222(1)C 1339P η⎛⎫⎛⎫==−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2123224(2)C 1339P η⎛⎫⎛⎫==−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33328(3)C 327P η⎛⎫=== ⎪⎝⎭. 所以η的分布列为所以()323E η=⨯=. 【小问2详解】由（1），知()()2E E ξη==，2221312()(12)(22)(32)5555D ξ=−⨯+−⨯+−⨯=， 222()31333D η⎛⎫=⨯⨯−= ⎪⎝⎭，314(2)555P ξ≥=+=，4820(2)92727P η≥=+=．所以()()D D ξη<，(2)(2)P P ξη≥>≥，故从正确完成实验操作的题数的均值方面分析，两人水平相当； 从正确完成实验操作的题数的方差方面分析，甲的水平更稳定；从至少正确完成2题的概率方面分析，甲通过的可能性更大.因此甲的实验操作能力较强.19. 【答案】（1）()2143,08310035,8x x x L x x x x ⎧−+−<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪−+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是15万元 【分析】（1）根据已知，分08x <<以及8x ≥，分别求解，即可得出函数解析式；（2）分为08x <<以及8x ≥两种情况，根据二次函数的性质以及基本不等式，即可得出答案. 【小问1详解】因为每件产品售价为5元，则x （万件）商品销售收入为5x 万元，依题意得： 当08x <<时，()2211534333L x x x x x x ⎛⎫=−+−=−+−⎪⎝⎭，当8x ≥时，()1001005638335L x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=−+−−=−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴()2143,08310035,8x x x L x x x x ⎧−+−<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪−+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩．【小问2详解】当08x <<时，()()216993L x x =−−+≤， 当6x =时，()L x 取得最大值9； 当8x ≥时，()100353515L x x x ⎛⎫=−+≤−= ⎪⎝⎭， 此时，当100x x=即10x =时，()L x 取得最大值159>. 综上所述，年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是15万元. 20. 【答案】（1）极小值为1，无极大值（2）单调递增区间为()1,a ++∞，单调递减区间为()0,1a +.（3）21,1e e ⎛⎫++∞⎪−⎝⎭【分析】（1）研究()ln f x x x =−的单调区间，进而求出()f x 的极值；（2）先求()h x '，再解不等式()0h x '>与()0h x '<，求出单调区间，注意题干中的0a >的条件；（3）先把题干中的问题转化为在[]1x e ∈，上有()min 0h x <，再结合第二问研究的()h x 的单调区间，对a 进行分类讨论，求出不同范围下的()min h x ，求出最后结果【小问1详解】当1a =时，()ln f x x x =−，定义域为()0,∞+，()111x f x x x−'=−=令()0f x '=得：1x =，当1x >时，0fx，()f x 单调递增；当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，故1x =是函数()f x 的极小值点，()f x 的极小值为()11f =，无极大值 【小问2详解】()()()()1ln 0ah x f x g x x a x a x+=−=−+>，定义域为()0,∞+ ()()()222211111x x a a a x ax a h x x x x x+−−+−−−'=−−== 因为0a >，所以10a +>，令()0h x '>得：1x a >+，令()0h x '<得：01x a <<+，所以()h x 在()1,a ++∞单调递增，在()0,1a +单调递减.综上：()h x 单调递增区间为()1,a ++∞，单调递减区间为()0,1a +. 【小问3详解】存在[]01x e ∈，，使得()()00f x g x <成立，等价于存在[]01x e ∈，，使得()00h x <，即在[]1x e ∈，上有()min 0h x <由（2）知，()h x 单调递增区间为()1,a ++∞，单调递减区间为()0,1a +，所以当1a e +≥，即1a e ≥−时，()h x 在[]1x e ∈，上单调递减，故()h x 在x e =处取得最小值，由()()min 10a hxheea e +==−+<得：211e a >e +−，因为2111e e e +>−−，故211e a >e +−. 当11a e <+<，即01a e <<−时，由（2）知：()h x 在()1,1x a ∈+上单调递减，在()1,x a e ∈+上单调递增，()h x 在[]1x e ∈，上的最小值为 令()()12ln 1h a a a a +=+−+因为()0ln 11a <+<，所以()0ln 1a a a <+<，则()2ln 12a a a +−+>，即()12h a +>，不满足题意，舍去综上所述：a 的取值范围为21,1e e ⎛⎫++∞ ⎪−⎝⎭【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．21. 【答案】（1）43b =，44c =，（2）2q 或4q =（3）证明见解析，1n b nm m =−+，1n c nm m =−+ 【分析】（1）根据题意求解即可；（2）由等比数列的通项公式写出{}n a 的通项，由题意列式后解指数型方程可得结果； （3）由等差数列的通项公式写出{}n a 的通项，用定义法证明等差数列即可. 【小问1详解】∵11a =，22a =，33a =，45a =， 又∵4i a ≤，4j a ≥，∴3i ≤且N i *∈，4j ≥且N j *∈， ∴43b =，44c = 【小问2详解】由题意知，11a = ，∴111n n n a a q q −−==，1q >且Z q ∈，∵3i a ≤， ∴13i q −≤， ∴1log 3q i ≤+∴3[1log 3]q b =+，1q >且Z q ∈，同理：4[1log 4]q b =+，1q >且Z q ∈，5[1log 5]q b =+，1q >且Z q ∈， 又∵345b b b <=，∴[1log 3][1log 4][1log 5]q q q +<+=+，即：[log 3][log 4][log 5]q q q <=，1q >且Z q ∈， ∵3j a ≥， ∴13j q −≥， ∴1log 3q j ≥+，∴当log 3N q *∈时，31log 3q c =+，当log 3N q *∉时，3[2log 3]q c =+， 同理：当log 4N q *∈时，41log 4q c =+，当log 4N q *∉时，4[2log 4]q c =+，又∵34c c =，[log 3][log 4][log 5]q q q <=，1q >且Z q ∈， ∴log 3N q *∉，log 4N q *∈，[2log 3]1log 4q q +=+， 解得：2q或4q =【小问3详解】证明：由题意知，111(1)1(1)n m n a a n d n m m+−=+−=+−⨯=，m 为常数，且1m >且N m *∈， ∴{}n a 为单调递增数列， 又∵1i a ≤，1j a ≥，11a = ∴1i =，1j =， ∴11b =，11c =， ∵i a k ≤，j a k ≥， ∴1m i k m +−≤，1m j k m+−≥， ∴1i mk m ≤−+，1j mk m ≥−+，1m >且N m *∈且N k *∈， ∴1N mk m *−+∈，∴1k b mk m =−+，1k c mk m =−+，∴1(1)11k b m k m mk +=+−+=+，1(1)11k c m k m mk +=+−+=+，∴1(1)(1)k k b b mk mk m m +−=+−−+=，1(1)(1)k k c c mk mk m m +−=+−−+=， 又∵m 为常数，1m >且N m *∈， ∴{}k b 为等差数列， {}k c 为等差数列， 又∵1k b mk m =−+，1k c mk m =−+， ∴ 1n b mn m =−+，1n c mn m =−+。