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平行四边形的不稳定性
江苏省海门市海南小学周巾
侠
我们都知道三角形具有稳定性,不容易变形。
平行四边形与三角形不同,容易变形,也就是具有不稳定性。
这种不稳定性在生活中有广泛的应用。
如电动伸缩门（图1）、铁拉门（图2）、活动衣架（图3）等等。
图
1 图2
图3
那你理解平行四边形的不稳定性吗?不妨做个对比实验:(1)准备三根不同长度的小棒摆三角形。
（2）准备四根小棒（2长2短）摆平行四边形。
看看你分别有多少种不同的摆法？
可能细心的小朋友就会发现，三角形就摆出了一种。
是的，当三角形的三条边长度确定后，三角形的形状和大小也就被确定了,只是位置的不同。
如图4
图4
而摆出的平行四边形不止一种，如图5
图5
这里摆出的4个平行四边形，用了同样的2长2短四根小棒，但形状各不相同，面积也是越来越小。
这个对比试验，告诉我们三角形稳定性的实质是指边长确定，则形状、大小唯一；而平行四边形不稳定性的实质是指平行四边形边长确定，其形状、大小不能完全确定。
四边形的不稳定性学习目标通过探究和操作，了解四边形具有不稳定性，了解四边形的不稳定性在生活、生产中的利与弊；探寻克服和运用不稳定性的方法，能用三角形的稳定克服四边形不稳定性．经历独立思考、动手操作、合作讨论等探究四边形不稳定性的过程，会运用实验的方法判断一个图形是否具有稳定性，知道在生活中克服四边形不稳定性所用的方法，提高探究问题、应用知识及合作学习的能力．在探究四边形不稳定性的活动中了解这种不稳定性在生活中的应用价值，提高在生活中应用几何知识的意识，获得努力和成功的心理体验，增强探究的积极性与合作交流的意识．重难点分析探究四边形的不稳定性在生活中的应用及克服四边形的不稳定性的方法．为了突出重点，本子主题安排了两个活动，在活动中通过问题的探究，发现四边形的不稳定性并能运用在生活、生产中．四边形的不稳定在生活、生产中的运用．为了突破难点，在两个活动中要注重学生应用意识的培养和应用技能的训练．活动建议方案《四边形的不稳定性》活动建议方案一、活动流程框图二、活动过程2.1活动一：在比较中感受三角形的稳定性2.1.1活动任务通过比较三角形的稳定性和四边形的不稳定性，理解“不稳定性”的数学涵义．2.1.2活动内容第一步：观察，感知四边形的不稳定性展示生活中利用三角形的稳定性和四边形不稳定性的应用例子（见媒体资源），提出问题：不稳定性的数学涵义是什么？第二步，自主合作探究请同学以小组为单位进行合作探究，教师进行巡视并参与一些小组的讨论，根据需要可以给出如下建议：第三，描述一个图形的特点可以从形状、大小等方面进行，还要深入到组成图形的线段长度、角的大小等要素；第四，通过比较三角形和四边形，分析稳定指的是图形的什么没变，不稳定指的是图形的什么变了。
第三步，集体交流请3～4个小组的同学代表本组汇报本组讨论结果，教师引导提出刻画稳定性的几种方式的总结，建议从如下几个方面进行总结：第一，关于四边形的不稳定性的描述的方式。
5.2.2平行四边形的不稳定性（导学案）2023-2024学年数学四年级上册-人教版教学内容本节课我们将探讨平行四边形的不稳定性，理解其性质，并学会如何在实际问题中应用。
我们将通过观察、实验、推理等方法，让学生深入理解平行四边形的特性，培养他们的空间想象能力和逻辑思维能力。
教学目标1. 理解平行四边形的不稳定性，知道其变形的可能性。
2. 学会利用平行四边形的不稳定性解决实际问题。
3. 培养学生的观察能力、实验能力和逻辑思维能力。
教学难点1. 理解平行四边形的不稳定性，知道其变形的可能性。
2. 学会利用平行四边形的不稳定性解决实际问题。
教具学具准备1. 平行四边形的模型或图片。
2. 实验器材：直尺、圆规、量角器等。
3. 多媒体设备：用于展示平行四边形的动态变化。
教学过程1. 引入：通过展示平行四边形的图片或模型，引导学生观察其特点，提出问题：“你们知道平行四边形有什么特性吗？”2. 探究：让学生通过实验，观察平行四边形的变形情况，引导他们发现平行四边形的不稳定性。
3. 解释：讲解平行四边形的不稳定性，让学生理解其变形的可能性。
4. 应用：通过实例，让学生学会利用平行四边形的不稳定性解决实际问题。
5. 总结：回顾本节课的内容，强调平行四边形的不稳定性及其在实际问题中的应用。
板书设计1. 5.2.2平行四边形的不稳定性2. 内容：- 平行四边形的定义- 平行四边形的不稳定性- 平行四边形的不稳定性在实际问题中的应用作业设计1. 完成课后练习题，巩固对平行四边形不稳定性及其应用的理解。
2. 观察生活中的平行四边形，思考其不稳定性在实际中的应用。
课后反思本节课通过观察、实验、推理等方法，让学生深入理解平行四边形的不稳定性，培养他们的空间想象能力和逻辑思维能力。
在教学过程中，要注意引导学生的思考，让他们通过自己的观察和实验，发现平行四边形的不稳定性，从而更好地理解其性质。
同时，要注重理论联系实际，让学生学会利用平行四边形的不稳定性解决实际问题。
四边形不稳定性的思考作者：郝四柱朱金玲来源：《中学数学杂志(初中版)》2015年第05期1 问题的提出在一次活动课上，学生们探究如何让六边形实现稳定.问题是：一个六边形钢架ABCDEF，由6条钢管连接而成，为了使这一钢架稳固，请你用三条钢管做对角线使它固定，你能设计两种不同的方案吗？同学们的思路各种各样，如图1的6个图形是出现比较多的情况.前面4种容易判断.图1①不稳定，图1②—④都是稳定的，并且能够证明.老师们认为后两种方法含有四边形，不具有稳定性，因而不符合要求（解释一下，图形中对角线用虚线，突出对角线交点不存在；只保持对角线的长度不变）.最后两种方法本人凭感觉它们是稳定的.几何画板演示之后，验证了这两个图确实是稳定的.但是如何解释呢？解铃还须系铃人，问题必须回到“四边形的不稳定性”上来，进行深度探究，弄清楚四边形不稳定性的内在规律.众所周知，三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性.对于四边形不稳定性，有不少人还会产生误解：（1）有人会说，三角形有时也不具有稳定性，你看：如图2，△ABC，具有AB、AC和∠ABC确定，这样的三角形可以有两个，能稳定吗？（2）有人还会说：四边形我能让它稳定；用长度一定的四根钢筋，把四边的顶点依次焊接起来，这个四边形不就稳定了吗？以上两种想法都是不正确的.对于看法（1），把图形的两种情况和不稳定性混淆了.△ABC1和△ABC2虽然是两种情况，但是△ABC1运动变成△ABC2的过程中，AC长度和∠ABC度数至少有一个发生变化；也就是说这两情况虽然是存在的，但是不可能通过连续变化实现△ABC1和△ABC2这两种情况的相互转换.对于看法（2）涉及到顶点的连接方式问题：顶点处必须是可动的，如同四肢的关节一样.否则稳定性研究无从谈起.那么四边形不稳定性有哪些内在的规律？课本中有四边形不稳定性的明确定义：四边形具有不稳定性，也就是说，当一个四边形的四边的长度确定时，这个四边形的形状、大小不唯一确定.如图3，不妨让一边AB固定，四边长度确定，此时四边形形状变化时，点D的轨迹是以点A为圆心、AD为半径的圆（弧），点C的轨迹是以点B为圆心、BC为半径的圆（弧）.在边BC、AD上的固定点的轨迹也是圆.此时四边形ABCD中，CD上的某个固定点的轨迹又是什么？是圆（弧）？显然四边形ABCD如果是平行四边形，在AB确定的情况下，图形变化过程中有cos（α-β）=1，R=r；此时点P的轨迹显然是圆.但是对于四边形ABCD不是平行四边形的时候，点P 的轨迹通过几何画板演示发现：点P在直线CD上的不同位置的点的轨迹如图4.显然轨迹不是一个圆，而是一个封闭图形.那么四边形在运动过程中除了平行四边形外，是否还有其它点的轨迹是圆？也就是说：有cos（α-β）为定值呢？答案是没有，证明如下.特别的：当四边形是梯形且BC∥AD时，那么α-β=0，随着图形的变化，那么这种平行的位置关系发生变化，α-β也不可能是定值.所以，除了平行四边形之外的其它四边形均不可能有α-β是定值.也就是说：只有平行四边形的情况下，CD边上的点P（异于C、D）的轨迹才是圆，否则，根据（1）可知：点P轨迹方程是围绕一个中心运动，但是半径不断发生变化的方程，其图形是一种有中心的封闭图形（或其一部分）不妨称之为变圆.4 问题的拓展推论1：根据结论（2）可知：当四边形ABCD以一边AB固定，其它边运动时，①直线AD、BC上的任意一点（除A、B外）运动的轨迹是：半径和圆心都固定的确定的圆.②直线CD上的点（除点C、D外）运动的轨迹是圆心确定但半径不断变化的一种似圆非圆的变圆（或变圆的一部分）.③如果某个点E是以BC（或AD为定边）而被固定的点，那么这个点E的轨迹是一个圆.④如图6某个点E是以CD为定边，CE、DE边长确定三角形CDE，当四边形ABCD以AB不动其他部分运动时，点E的轨迹是圆心和半径都改变的变圆.根据推论可知：显然五边形需要且只需要任意2条对角线就能把五边形固定.那么对于六边形至少需要3条对角线才能把六边形固定.如图1①—④易于发现是否是固定的了.对于如图1的⑤⑥两图，是否稳定呢？如图7就是图1⑤，让△ABF固定不动，根据推论1③可知：当四边形BCEF图形变化时，点D的轨迹是变圆，点D到点A的距离是不断变化的，所以一旦AD长度确定，那么点D确定，整个图形就固定了了.说明这种情况下是稳定的.对于图1⑥情况，即：图8，由于一时找不到一个固定不变的三角形，故只能另用它法.我们首先画出六边形ABCDEF然后画出A′B′，使得A′B′=AB，然后以B′为圆心BC为半径画圆，在圆上找一点为对应的点C′，以A′、C′分别为圆心，AD、CD为半径确定点D′，进而确定点E′、F′，显然当点C′绕圆运动时，点F′的运动轨迹是变圆，用几何画板验证了这一点（如图9）.所以点A′F′长度一旦确定，则点F′也就确定，因而六边形就是稳定的图形了.推论2：对于四边形只需增添一条对角线即可稳定.对于五边形，只需增添两条对角线即可稳定.对于六边形增添3条对角线，还需考虑放置的方法才能稳定.相应的对于n边形，至少需要（n-3）条对角线方可稳定，最简洁的放置方法是从一个顶点出发引出（n-3）条对角线即可.。
《平行四边形的不稳定性》教学反思《平行四边形的不稳定性》教学反思平行四边形的特性是不稳定性。
因为平行四边形的形状、大小不能仅由平行四边的四条边确定。
如果把两两相等的四根木条用可活动的铰钉钉成平行四边形木框，推动木条可以得出形状、大小各不相同的平行四边形，由此说明平行四边形具有不稳定性。
课前我事先为学生准备了可以活动的平行四边形，以及小棒。
课堂上，我先拉动平行四边形的两个对角，使它变成不同的平行四边形。
在反复拉动的过程中，引发学生思考：你发现了什么？两组对边有什么变化？引发学生的理性思考。
然后通过伸缩门、升降机这样的生活实例，让学生了解平行四边形容易变形这一特性在生活中的应用。
考虑到学生可能会把平行四边形的不稳定理解成不牢固性，所以，我又安排了摆小棒的活动。
让学生同桌合作，先用四根小棒摆成一个平行四边形，找一组学生投影展示，然后，我让学生尝试摆出不一样的平行四边形，这个时候，学生非常积极，摆出了很多不同的平行四边形，同时引导学生观察什么变了，什么没变。
让学生从另一角度体会平行四边形的不稳定性：四条边确定了，但所拼的平行四边形不唯一。
此外，我又让学生用三根小棒来摆三角形，同样找一组学生投影展示，当我提出：你还能摆出不同的三角形吗？刚开始学生非常肯定的说：“能！”我顺势让学生尝试，连续找了几个学生上台摆都没有成功。
通过这两个活动的对比，学生在对比中区别了两个图形的特征，进一步加深了对平行四边形特性的认识。
这节课下来学生表现非常积极，课后还有学生提出：五边形有稳定性吗？六边形呢？这说明这节课学生真正的思考了。
从学生学习的状态来说，我认为这节课还是很成功的!课后，我在思考为什么这节课学生积极性如此高？本节课我一直让学生在动手操作，而且一边操作一边思考，将理性思考与实际操作相结合，加深学生对平行四边形特性的认识。
这是本节课成功的关键的原因。
此外，本节课学生每次操作完，我都会让学生在脑子里再回想一下刚刚操作的过程，这样也避免了活动流于形式。
四边形的不稳定性
四边形的不稳定性是指当四边形的边界发生变化时，它的形状也会发生变化。
这种不稳定性是由于四边形的边界是由四条直线组成的，而这四条直线之间的关系是相互依赖的，因此当其中一条直线发生变化时，其他三条直线也会发生变化，从而导致四边形的形状发生变化。
四边形的不稳定性在很多领域都有着重要的应用，比如在机械设计中，当设计者需要设计一个稳定的结构时，他们就会考虑四边形的不稳定性，以确保结构的稳定性。
此外，四边形的不稳定性也可以用来解释一些自然现象，比如地震时地壳的变形，这是由于地壳的边界是由四边形组成的，当地壳发生变形时，四边形的形状也会发生变化，从而导致地壳的变形。
总之，四边形的不稳定性是一个重要的概念，它在很多领域都有着重要的应用，比如机械设计和自然现象的解释等。
因此，我们应该加强对四边形的不稳定性的研究，以更好地理解它的作用，并利用它来解决实际问题。
