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高考八大高频考点例析[对应学生用书P52][考题印证][例1](陕西高考)观察下列等式12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10…照此规律，第n个等式可为________．[解析]观察规律可知，第n个式子为12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1n(n＋1)2.[答案]12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1n(n＋1)2[跟踪演练]1．类比“在平面直角坐标系中，圆心在原点、半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2”，猜想“在空间直角坐标系中，球心在原点、半径为r的球面的方程为________________________________________________________________________”．解析：类比平面直角坐标系中圆的方程，从形式上易得空间直角坐标系中球面的方程为x2＋y2＋z2＝r2.答案：x2＋y2＋z2＝r22．(湖北高考)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如22,121,3443,94249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则(1)4位回文数有________个；(2)2n＋1(n∈N＋)位回文数有________个．解析：2位回文数有9个，4位回文数与3位回文数个数相等，都有9×10＝90个．而每一个4位回文数都对应着10个5位回文数，故5位回文数有9×10×10＝100×9个，可推出2n＋1(n∈N＋)位回文数有9×10n个．答案：909×10n3．观察下列等式：(1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5…照此规律，第n个等式可为________．解析：观察规律可知第n个等式可为：(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n·1·3·5…(2n－1)．答案：(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n×1×3×5×…×(2n－1)[考题印证][例2](陕西高考)设{a}是公比不为1的等比数列，其前n项和为S n，且a5，a3，a4n成等差数列．(1)求数列{a n}的公比；(2)证明：对任意k∈N＋，S k＋2，S k，S k＋1成等差数列．[解](1)设数列{a}的公比为q(q≠0，q≠1)，由a5，a3，a4成等差数列，得2a3＝a5＋na4，即2a1q2＝a1q4＋a1q3，由a 1≠0，q ≠0得q 2＋q －2＝0，解得q 1＝－2，q 2＝1(舍去)，所以q ＝－2. (2)证明：法一：对任意k ∈N ＋，S k ＋2＋S k ＋1－2S k ＝(S k ＋2－S k )＋(S k ＋1－S k ) ＝a k ＋1＋a k ＋2＋a k ＋1 ＝2a k ＋1＋a k ＋1·(－2) ＝0，所以，对任意k ∈N ＋，S k ＋2，S k ，S k ＋1成等差数列． 法二：对任意k ∈N ＋，2S k ＝2a 1(1－q k )1－q ，S k ＋2＋S k ＋1＝a 1(1－q k ＋2)1－q ＋a 1(1－q k ＋1)1－q＝a 1(2－q k ＋2－q k ＋1)1－q，2S k －(S k ＋2＋S k ＋1)＝2a 1(1－q k )1－q －a 1(2－q k ＋2－q k ＋1)1－q＝a 11－q[2(1－q k )－(2－q k ＋2－q k ＋1)] ＝a 1q k 1－q(q 2＋q －2)＝0， 因此，对任意k ∈N ＋，S k ＋2，S k ，S k ＋1成等差数列．[跟踪演练]4．用反证法证明命题“若a ，b ∈N ，ab 可被5整除，则a ，b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为( )A ．a ，b 都能被5整除B ．a ，b 都不能被5整除C ．a 不能被5整除D ．a ，b 中有一个不能被5整除解析：“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即a ，b 都不能被5整除． 答案：B5．如图，几何体ABCDEP 中，底面ABCD 是边长为4的正方形，P A ⊥平面ABCD ，P A ∥EB ，且P A ＝2BE ＝4 2.(1)证明：BD ∥平面PEC ；(2)若G 为BC 上的动点，求证：AE ⊥PG .证明：(1)连接AC 交BD 于点O ，取PC 的中点F ，连接OF ，EF .∵EB ∥P A ，且EB ＝12P A ，又OF ∥P A ，且OF ＝12P A ，∴EB ∥OF ，且EB ＝OF ， ∴四边形EBOF 为平行四边形， ∴EF ∥BD .又∵EF 平面PEC ，BD 平面PEC ， ∴BD ∥平面PEC .(2)连接BP ，∵EB AB ＝BA P A ＝12，∠EBA ＝∠BAP ＝90°，∴△EBA ∽△BAP ， ∴∠PBA ＝∠BEA ，∴∠PBA ＋∠BAE ＝∠BEA ＋∠BAE ＝90°， ∴PB ⊥AE .∵P A ⊥平面ABCD ，P A 平面APEB ， ∴平面ABCD ⊥平面APEB ，∵BC ⊥AB ，平面ABCD ∩平面APEB ＝AB ， ∴BC ⊥平面APEB ，∴BC ⊥AE ， ∴AE ⊥平面PBC ， ∵G 为BC 上的动点， ∴PG 平面PBC ，∴AE ⊥PG .6．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn(n ∈N ＋)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．解：(1)由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2.故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)证明：由(1)得b n ＝S nn＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， ∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0， ∵p ，q ，r ∈N ＋，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∴⎝⎛⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0.∴p ＝r ，与p ≠r 矛盾．∴数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列．7．已知点P n (a n ，b n )满足a n ＋1＝a n ·b n ＋1，b n ＋1＝b n1－4a 2n(n ∈N ＋)，且点P 1的坐标为(1，－1)．(1)求过点P 1，P 2的直线l 的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n ∈N ＋，点P n 都在(1)中的直线l 上． 解：(1)由题意，有a 1＝1，b 1＝－1， b 2＝－11－4×1＝13，a 2＝1×13＝13，∴P 2(13，13)．∴直线l 的方程为y ＋113＋1＝x －113－1，即2x ＋y ＝1.(2)证明：①当n ＝1时，2a 1＋b 1＝2×1＋(－1)＝1成立． ②假设n ＝k (k ≥1且k ∈N ＋)时，2a k ＋b k ＝1成立． 则2a k ＋1＋b k ＋1＝2a k ·b k ＋1＋b k ＋1＝b k1－4a 2k ·(2a k ＋1)＝b k1－2a k ＝1－2a k 1－2a k＝1， ∴当n ＝k ＋1时，命题也成立．由①②知，对于n ∈N ＋，都有2a n ＋b n ＝1，即点P n 在直线l 上.[考题印证][例3] (北京高考)设L 为曲线C ：y ＝ln xx 在点(1,0)处的切线．(1)求L 的方程；(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线L 的下方． [解] (1)设f (x )＝ln xx ，则f ′(x )＝1－ln x x 2.所以f ′(1)＝1，即L 的斜率为1. 又L 过点(1,0)，所以L 的方程为y ＝x －1.(2)证明：令g (x )＝x －1－f (x )，则除切点之外，曲线C 在直线L 的下方等价于g (x )＞0(∀x ＞0，x ≠1)．g (x )满足g (1)＝0，且g ′(x )＝1－f ′(x )＝x 2－1＋ln xx 2.当0＜x ＜1时，x 2－1＜0，ln x ＜0，所以g ′(x )＜0，故g (x )单调递减； 当x ＞1时，x 2－1＞0，ln x ＞0，所以g ′(x )＞0，故g (x )单调递增． 所以，g (x )＞g (1)＝0(∀x ＞0，x ≠1)． 所以除切点之外，曲线C 在直线L 的下方．[跟踪演练]8．(新课标全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D.[－2,0]解析：y ＝|f (x )|的图像如图所示，y ＝ax 为过原点的一条直线，当a >0时，与y ＝|f (x )|在y 轴右侧总有交点，不合题意．当a ＝0时成立．当a <0时，有k ≤a <0，其中k 是y ＝|－x 2＋2x |在原点处的切线斜率，显然k ＝－2，于是－2≤a <0.综上，a ∈[－2,0]．答案：D9．(广东高考)若曲线y ＝kx ＋ln x 在点(1，k )处的切线平行于x 轴，则k ＝________.解析：y ′|x ＝1＝0，即当x ＝1时，k ＋1x＝k ＋1＝0，解得k ＝－1.答案：－110．(江西高考)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________. 解析：因为f (e x )＝x ＋e x ，所以f (x )＝x ＋ln x (x >0)，所以f ′(x )＝1＋1x ，所以f ′(1)＝2.答案：2[考题印证][例4] (新课标全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝e x －ln(x ＋m )． (1)设x ＝0是f (x )的极值点，求m ，并讨论f (x )的单调性； (2)当m ≤2时，证明f (x )>0. [解] (1)f ′(x )＝e x －1x ＋m.由x ＝0是f (x )的极值点得f ′(0)＝0，所以m ＝1. 于是f (x )＝e x －ln(x ＋1)，定义域为(－1，＋∞)， f ′(x )＝e x －1x ＋1. 函数f ′(x )＝e x －1x ＋1在(－1，＋∞)上单调递增且f ′(0)＝0，因此当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． (2) 证明：当m ≤2，x ∈(－m ，＋∞)时，ln(x ＋m )≤ln(x ＋2)，故只需证明当m ＝2时，f (x )>0.当m ＝2时，函数f ′(x )＝e x －1x ＋2在(－2，＋∞)上单调递增，又f ′(－1)<0，f ′(0)>0，故f ′(x )＝0在(－2，＋∞)上有唯一实根x 0，且x 0∈(－1,0)．当x ∈(－2，x 0)时，f ′(x )<0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0，从而当x ＝x 0时，f (x )取得最小值．由f ′(x 0)＝0得e x 0＝1x 0＋2，ln(x 0＋2)＝－x 0，故f (x )≥f (x 0)＝1x 0＋2＋x 0＝(x 0＋1)2x 0＋2>0.综上，当m ≤2时，f (x )>0.[跟踪演练]11．(大纲版全国卷)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞是增函数，则a 的取值范围是 ( )A ．[－1,0]B ．[－1，＋∞)C ．[0,3]D.[3，＋∞)解析：f ′(x )＝2x ＋a －1x 2，因为函数在⎝⎛⎭⎫12，＋∞是增函数， 所以f ′(x )≥0在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上恒成立， 即a ≥1x 2－2x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上恒成立． 设g (x )＝1x 2－2x ，g ′(x )＝－2x 3－2，令g ′(x )＝－2x 3－2＝0，得x ＝－1，当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，g ′(x )<0， 故g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝3，故选D. 答案：D12．判断函数f (x )＝e x ＋e －x 在[0，＋∞)上的单调性．解：f ′(x )＝e x－e －x＝(e x )2－1e x.∵当x ∈[0，＋∞)时，e x ≥1，∴f′(x)≥0，∴f(x)＝e x＋e－x在[0，＋∞)上为增加的．13．(新课标全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝e x(cx＋d)，若曲线y＝f(x)和曲线y ＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．解：(1)由已知得f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0)＝4.而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝e x(cx＋d＋c)，故b＝2，d＝2，a＝4，d＋c＝4.从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.(2)由(1)知，f(x)＝x2＋4x＋2，g(x)＝2e x(x＋1)．设函数F(x)＝kg(x)－f(x)＝2k e x(x＋1)－x2－4x－2，则F′(x)＝2k e x(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(k e x－1)．由题设可得F(0)≥0，即k≥1.令F′(x)＝0得x1＝－ln k，x2＝－2.(ⅰ)若1≤k＜e2，则－2＜x1≤0，从而当x∈(－2，x1)时，F′(x)＜0；当x∈(x1，＋∞)时，F′(x)＞0，即F(x)在(－2，x1)上单调递减，在(x1，＋∞)上单调递增，故F(x)在[－2，＋∞)的最小值为F(x1)．而F(x1)＝2x1＋2－x21－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0.故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．(ⅱ)若k＝e2，则F′(x)＝2e2(x＋2)(e x－e－2)．从而当x＞－2时，F′(x)＞0，即F(x)在(－2，＋∞)上单调递增．而F(－2)＝0，故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．(ⅲ)若k＞e2，则F(－2)＝－2k e－2＋2＝－2e－2(k－e2)＜0.从而当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．综上，k的取值范围是[1，e2].[考题印证][例5](江苏高考)若函数y＝f(x)在x＝x处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f(x)的极值点．已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．(1)求a和b的值；(2)设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点．[解](1)由题设知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，且f′(－1)＝3－2a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b ＝0，解得a＝0，b＝－3.(2)由(1)知f(x)＝x3－3x.因为f(x)＋2＝(x－1)2·(x＋2)，所以g′(x)＝0的根为x1＝x2＝1，x3＝－2，于是函数g(x)的极值点只可能是1或－2.当x<－2时，g′(x)<0；当－2<x<1时，g′(x)>0，故－2是g(x)的极值点．当－2<x<1或x>1时，g′(x)>0，故1不是g(x)的极值点．所以g(x)的极值点为－2.[例6](浙江高考)已知a∈R，函数f(x)＝x3－3x2＋3ax－3a＋3.(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)当x∈[0,2]时，求|f(x)|的最大值．[解](1)由题意得f′(x)＝3x2－6x＋3a，故f′(1)＝3a－3.又f(1)＝1，所以所求的切线方程为y＝(3a－3)x－3a＋4.(2)由于f′(x)＝3(x－1)2＋3(a－1)，0≤x≤2，故①当a≤0时，有f′(x)≤0，此时f(x)在[0,2]上单调递减，故|f(x)|max＝max{|f(0)|，|f(2)|}＝3－3a .②当a ≥1时，有f ′(x )≥0，此时f (x )在[0,2]上单调递增，故|f (x )|max ＝max{|f (0)|，|f (2)|}＝3a －1.③当0<a <1时，设x 1＝1－1－a ，x 2＝1＋1－a ， 则0<x 1<x 2<2，f ′(x )＝3(x －x 1)(x －x 2)． 列表如下：由于f (x 1)＝1＋2(1－a )1－a ， f (x 2)＝1－2(1－a )1－a ， 故f (x 1)＋f (x 2)＝2>0， f (x 1)－f (x 2)＝4(1－a )1－a >0. 从而f (x 1)>|f (x 2)|.所以|f (x )|max ＝max{f (0)，|f (2)|，f (x 1)}． (ⅰ)当0<a <23时，f (0)>|f (2)|.又f (x 1)－f (0)＝2(1－a )1－a －(2－3a )＝a 2(3－4a )2(1－a )1－a ＋2－3a >0，故|f (x )|max ＝f (x 1)＝1＋2(1－a )1－a .(ⅱ)当23≤a <1时，|f (2)|＝f (2)，且f (2)≥f (0)．又f (x 1)－|f (2)|＝2(1－a )1－a －(3a －2)＝a 2(3－4a )2(1－a )1－a ＋3a －2，所以当23≤a <34时，f (x 1)>|f (2)|.故|f (x )|max ＝f (x 1)＝1＋2(1－a )1－a . 当34≤a <1时，f (x 1)≤|f (2)|. 故|f (x )|max ＝|f (2)|＝3a －1. 综上所述，|f (x )|max＝⎩⎪⎨⎪⎧3－3a ，a ≤0，1＋2(1－a )1－a ，0<a <34，3a －1，a ≥34.[跟踪演练]14．(重庆高考)设f (x ) ＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)．(1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值． 解：(1)因f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ， 故f ′(x )＝2a (x －5)＋6x.令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ， 所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为 y －16a ＝(6－8a )·(x －1)，由点(0,6)在切线上可得6－16a ＝8a －6， 故a ＝12.(2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x >0)，f ′(x )＝x －5＋6x ＝(x －2)(x －3)x .令f ′(x )＝0，解得x 1＝2，x 2＝3.当0<x <2或x >3时，f ′(x )>0，故f (x )在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；当2<x <3时，f ′(x )<0，故f (x )在(2,3)上为减函数．由此可知f (x )在x ＝2处取得极大值f (2)＝92＋6ln 2，在x ＝3处取得极小值f (3)＝2＋6ln 3.15．已知f (x )＝ax －ln x ，x ∈(0，e]，g (x )＝ln xx ，其中e 是自然常数，a ∈R .(1)讨论a ＝1时，函数f (x )的单调性和极值； (2)求证：在(1)的条件下，f (x )>g (x )＋12.解：(1)∵f (x )＝x －ln x ，f ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，∴当0<x <1时，f ′(x )<0，此时f (x )单调递减； 当1<x <e 时，f ′(x )>0，此时f (x )单调递增． ∴f (x )的极小值为f (1)＝1.(2)证明：∵f (x )的极小值为1，即f (x )在(0，e]上的最小值为1， ∴f (x )min ＝1.又g ′(x )＝1－ln xx 2，∴当0<x <e 时，g ′(x )>0，g (x )在(0，e]上单调递增． ∴g (x )max ＝g (e)＝1e <12，∴f (x )min －g (x )max >12，∴在(1)的条件下，f (x )>g (x )＋12.[考题印证][例7] (重庆高考)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．[解] (1)因为蓄水池侧面的总成本为100×2πrh ＝200πrh 元，底面的总成本为160πr 2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元．根据题意得200πrh ＋160πr 2＝12 000π， 所以h ＝15r (300－4r 2)，从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)．由h >0，且r >0可得0<r <53， 故函数V (r )的定义域为(0,53)． (2)由(1)知V (r )＝π5(300r －4r 3)，故V ′(r )＝π5(300－12r 2)．令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(因为r 2＝－5不在定义域内，舍去)． 当r ∈(0,5)时，V ′(r )>0，故V (r )在(0,5)上为增函数； 当r ∈(5,53)时，V ′(r )<0，故V (r )在(5,53)上为减函数．由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8，即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．[跟踪演练]16．水库的蓄水量随时间而变化，现用t 表示时间，以月为单位，年初为起点，以i －1<t ≤i 表示第i 月份(i ＝1,2，…，12)．根据历年数据，某水库的蓄水量(单位：亿立方米)关于t 的近似函数关系式为V (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧(－t 2＋14t －40)e t 4＋50， 0<t ≤10，4(t －10)(3t －41)＋50， 10<t ≤12.(1)该水库的蓄水量小于50的时期称为枯水期．问同一年内哪几个月份是枯水期？ (2)求一年内该水库的量大蓄水量(取e ＝2.7计算)．解：(1)①当0<t ≤10时，V (t )＝(－t 2＋14t －40)e x4＋50<50，化简得t 2－14t ＋40>0.解得t <4或t >10. 又0<t ≤10，故0<t <4.②当10<t ≤12时，V (t )＝4(t －10)(3t －41)＋50<50，化简得(t －10)(3t －41)<0. 解得10<t <413.又10<t ≤12，故10<t <12. 综上所述，得0<t <4或10<t ≤12.故知枯水期为1月、2月、3月、11月、12月共5个月． (2)由(1)知V (t )的最大值只能在[4,10]内达到． 令V ′(t )＝0，解得t ＝8(t ＝－2舍去)． 当t 变化时，V ′(t )与V (t )的变化情况如下表：由上表可知，V (t )在t ＝8时取得最大值V (8)＝8e 2＋50＝108.32(亿立方米)． 故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米.[考题印证][例8] (湖北高考)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D.4＋50ln 2(2)(江西高考)若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A ．S 1<S 2<S 3 B ．S 2<S 1<S 3 C ．S 2<S 3<S 1D.S 3<S 2<S 1 [解析] (1)令v (t )＝0，得7－3t ＋251＋t＝0， 解得t ＝4或t ＝－83(舍去)，所以s ＝⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎫7－3t ＋251＋t d t ＝7t －32t 2＋25ln(1＋t )⎪⎪⎪40＝7×4－32×42＋25ln 5＝4＋25ln 5，故选C.(2)S 1＝13x 3⎪⎪⎪21＝83－13＝73，S 2＝ln x ⎪⎪⎪21＝ln 2<ln e ＝1， S 3＝e x ⎪⎪⎪21＝e 2－e ≈2.72－2.7＝4.59， 所以S 2<S 1<S 3. [答案] (1)C (2)B[跟踪演练]17．(湖南高考)若∫T 0x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．解析：∵∫T 0x 2d x ＝13T 3＝9，T >0，∴T ＝3. 答案：3 18.∫20π(sin x －2cos x )d x ＝________. 解析：∫20π (sin x －2cos x )d x＝(－cos x －2sin x )|20π＝－1. 答案：－119．由直线x ＝0，x ＝2与抛物线y 2＝4x 围成的封闭区域的面积是________． 解析：由y 2＝4x 得y ＝±4x ，∴S ＝2∫204x d x ＝4∫2x d x ＝4×23x 32|20 ＝83×232＝1623. 答案：1623[考题印证][例9] (1)(新课标全国卷Ⅰ)1＋2i(1－i )2＝( )A ．－1－12iB ．－1＋12iC ．1＋12iD.1－12i(2)(山东高考)复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为( ) A ．2＋i B ．2－i C ．5＋iD.5－i(3)(北京高考)在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D.第四象限[解析] (1)1＋2i (1－i )2＝1＋2i －2i ＝(1＋2i )i 2＝－2＋i 2＝－1＋12i. (2)因为(z －3)(2－i)＝5，所以z ＝52－i ＋3＝2＋i ＋3＝5＋i ，所以z ＝5－i.(3)(2－i)2＝4－4i ＋i 2＝3－4i ， 对应的复平面内点坐标为(3，－4)． [答案] (1)B (2)D (3)D[跟踪演练]20．(安徽高考)设i 是虚数单位，若复数a －103－i (a ∈R )是纯虚数，则a 的值为( )A ．－3B ．－1C ．1 D.3解析：复数a －103－i ＝a －10(3＋i )(3－i )(3＋i )＝(a －3)－i 为纯虚数，则a －3＝0，即a ＝3.答案：D21．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝(a －2i)(1＋i)在复平面内对应的点为M ，则“a ＝1”是“点M 在第四象限”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D.既不充分也不必要条件解析：由题意得，a ＝1时，复数z ＝(1－2i)(1＋i)＝3－i ，所以复数z 对应的点在第四象限，若复数z ＝(a ＋2)＋(a －2)i 对应的点M 在第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2>0，a －2<0， 解得－2<a <2，a ＝1不一定成立． 答案：A22．设z ＝1－i(i 是虚数单位)，则复数⎝⎛⎭⎫2z ＋z 2·z ＝________. 解析：对于2z ＋z 2＝21－i ＋(1－i)2＝1＋i －2i ＝1－i ，故⎝⎛⎭⎫2z ＋z 2·z ＝(1－i)(1＋i)＝2. 答案：2模块综合检测⎣⎢⎡⎦⎥⎤对应阶段质量检测(六) 见8开试卷(时间：90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数z ＝(1＋i)(－2＋3i)(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z ＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－5＋iD.－5－i解析：z ＝(1＋i)(－2＋3i)＝(－2－3)＋(－2＋3)i ＝－5＋i ，∴z ＝－5－i. 答案：D2．用反证法证明命题：“若直线AB ，CD 是异面直线，则直线AC ，BD 也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则A ，B ，C ，D 四点共面，所以AB ，CD 共面，这与AB ，CD 是异面直线矛盾； ②所以假设错误，即直线AC ，BD 也是异面直线； ③假设直线AC ，BD 是共面直线．则正确的序号顺序为( ) A ．①→②→③ B ．③→①→② C ．①→③→②D.②→③→①解析：反证法的步骤是：反设—归谬—结论．结合本题，故选B. 答案：B3．观察式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，则可归纳出一般结论为( )A ．1＋122＋132＋…＋1n 2<12n －1B ．1＋122＋132＋…＋1n 2<12n ＋1C ．1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1nD ．1＋122＋132＋…＋1n 2<2n2n ＋1答案：C4．已知函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π2＝( ) A.π2 B ．0 C ．－1D.1解析：∵f (x )＝x sin x ＋cos x ，∴f ′(x )＝x cos x ， ∴f ′⎝⎛⎭⎫π2＝π2cos π2＝0.故选B. 答案：B5．(新课标全国卷)下面是关于复数z ＝2－1＋i 的四个命题：p 1：|z |＝2, p 2：z 2＝2i ，p 3：z 的共轭复数为1＋i, p 4：z 的虚部为－1. 其中的真命题为( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 2 C ．p 2，p 4D.p 3，p 4解析：∵复数z ＝2－1＋i ＝－1－i ，∴|z |＝2，z 2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i ，z 的共轭复数为－1＋i ，z 的虚部为－1，综上可知p 2，p 4是真命题．答案：C6．已知函数y ＝x ln x ，则这个函数的图像在点x ＝1处的切线方程是( ) A ．y ＝2x －2B ．y ＝2x ＋2C ．y ＝x －1 D.y ＝x ＋1解析：当x ＝1时，y ＝0；y ′＝ln x ＋1，k ＝1，所以切线方程为y ＝x －1. 答案：C7．(湖北高考)若函数f (x )，g (x )满足⎠⎛-11f(x)g(x)dx ＝0，则称f(x)，g(x )为区间[－1,1]上的一组正交函数．给出三组函数：①f(x)＝sin 12x ，g(x )＝cos 12x ；②f(x)＝x ＋1，g(x )＝x －1；③f(x)＝x ，g(x )＝x 2.其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D.3解析：对于①，⎠⎛-11sin 12x cos 12xdx ＝⎠⎛-1112sin xdx ＝0，所以①是一组正交函数；对于②，⎠⎛-11(x ＋1)(x －1)dx ＝⎠⎛-11(x 2－1)d x ≠0，所以②不是一组正交函数；对于③，⎠⎛-11x·x 2dx ＝⎠⎛-11x 3dx ＝0，所以③是一组正交函数．选C .答案：C8．已知函数f(x)(x ∈R )满足f (2)＝3，且f (x )在R 上的导数满足f ′(x )－1<0，则不等式f (x 2)<x 2＋1的解为( )A ．(－∞，－2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2，2)解析：令g (x )＝f (x )－x ，则g ′(x )＝f ′(x )－1<0， ∴g (x )在R 上单调递减， ∵f (x 2)<x 2＋1，∴f (x 2)－x 2<1，即g (x 2)<1.又g (2)＝f (2)－2＝1， ∴g (x 2)<g (2)，∴x 2>2， 即x >2或x <－ 2. 答案：C9．如图，抛物线y ＝－x 2＋2x ＋1与直线y ＝1形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是( )A ．1 B.43 C. 3D.2解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝1，y ＝－x 2＋2x ＋1，知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1. 故所求面积S ＝∫20(－x 2＋2x ＋1)d x －∫201 d x ＝⎝⎛⎭⎫－13x 3＋x 2＋x ⎪⎪⎪ 20－x ⎪⎪⎪20＝43. 答案：B10．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．下图中实心点的个数5,9,14,20，…被称为梯形数．根据图形的构成，记第2 014个梯形数为a 2 014，则a 2 014＝( )A ．2 015×2 013B ．2 015×2 014C ．2 015×1 008D.2 015×1 009解析：5＝2＋3＝a 1,9＝2＋3＋4＝a 2,14＝2＋3＋4＋5＝a 3，…，a n ＝2＋3＋…＋(n ＋2)＝(n ＋1)(2＋n ＋2)2＝12(n ＋1)(n ＋4)，由此可得a 2 014＝2＋3＋4＋…＋2 016＝12×2 015×2 018＝2 015×1 009.故选D.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)11．在周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大，将这个结论类比到空间，可以得到的结论是________________________________________________________________________． 答案：在表面积一定的长方体中，正方体的体积最大12．已知1＋2i a ＋b i ＝1＋i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则ab ＝________.解析：∵1＋2ia ＋b i＝1＋i ，∴1＋2i ＝(a ＋b i)(1＋i)＝(a －b )＋(a ＋b )i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1，a ＋b ＝2，∴⎩⎨⎧a ＝32b ＝12，∴ab ＝34.答案：3413．若函数f (x )的导函数f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则函数f (1＋x )的单调减区间是________． 解析：由f ′(x )＝x 2－4x ＋3<0得1<x <3，即函数f (x )的单调减区间为(1,3)， 又∵函数f (1＋x )的图像是由f (x )的图像向左平移1个单位得到， ∴函数f (1＋x )的单调减区间为(0,2)． 答案：(0,2)14．将正偶数按下表排成5列：那么解析：从2数起，2到16一组，一组两行，一行4个，也就是8个连贯偶数一组，所以从2数起，到2 014共有1 007(2 014除以2等于1 007)个偶数．然后1 007除以4等于251余3.也就说明2 014为第252行从右往左数第3个数，就是一组里第2行的最左边第二个，即2 014在第252行第2列．答案：252 2三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2＋ln x .(1)求函数f (x )的单调区间； (2)求证：当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.解：(1)依题意知函数f (x )的定义域为{x |x >0}， ∵f ′(x )＝x ＋1x ，故f ′(x )>0，∴f (x )的单调增区间为(0，＋∞)． (2)证明：设g (x )＝23x 3－12x 2－ln x ，∴g ′(x )＝2x 2－x －1x，∵当x >1时，g ′(x )＝(x －1)(2x 2＋x ＋1)x>0，∴g (x )在(1，＋∞)上为增函数， ∴g (x )>g (1)＝16>0，∴当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.16．(本小题满分12分)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n2＋a n，n ∈N ＋，猜想这个数列的通项公式，试证明这个猜想．解：在数列{a n }中，∵a 1＝1，a 2＝2a 12＋a 1＝23，a 3＝2a 22＋a 2＝24，a 4＝2a 32＋a 3＝25，……，∴猜想{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1. 证明如下：∵a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n ，∴1a n ＋1＝2＋a n 2a n ＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝1为首项，12为公差的等差数列，∴1a n ＝1a 1＋n －12＝n ＋12， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1. 17．(本小题满分12分)设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中常数a ，b ∈R .(1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)设g (x )＝f ′(x )e －x ，求函数g (x )的极值．解：(1)因f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1， 故f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .令x ＝1，得f ′(1)＝3＋2a ＋b ，由已知f ′(1)＝2a ， 因此3＋2a ＋b ＝2a ，解得b ＝－3.又令x ＝2，得f ′(2)＝12＋4a ＋b ，由已知f ′(2)＝－b ， 因此12＋4a ＋b ＝－b ，解得a ＝－32.因此f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1，从而f (1)＝－52.又因为f ′(1)＝2×⎝⎛⎭⎫－32＝－3，故曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －⎝⎛⎭⎫－52＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0.(2)由(1)知g (x )＝(3x 2－3x －3)e －x ，从而有g ′(x )＝(－3x 2＋9x )e －x .令g ′(x )＝0，得－3x 2＋9x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝3. 当x ∈(－∞，0)时，g ′(x )＜0， 故g (x )在(－∞，0)上为减函数； 当x ∈(0,3)时，g ′(x ) ＞0， 故g (x )在(0,3)上为增函数； 当x ∈(3，＋∞)时，g ′(x )＜0， 故g (x )在(3，＋∞)上为减函数；从而函数g (x )在x 1＝0处取得极小值，g (0)＝－3，在x 2＝3处取得极大值g (3)＝15e －3.18．(本小题满分14分)(安徽高考)设实数c >0，整数p >1，n ∈N *. (1)证明：当x >－1且x ≠0时，(1＋x )p >1＋px ； (2)数列{a n }满足a 1>c 1p ，a n ＋1＝p －1p a n ＋c p a 1－pn .证明：a n >a n ＋1>c 1p.证明：(1)用数学归纳法证明：①当p ＝2时，(1＋x )2＝1＋2x ＋x 2>1＋2x ，原不等式成立． ②假设p ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式(1＋x )k >1＋kx 成立．当p ＝k ＋1时，(1＋x )k ＋1＝(1＋x )(1＋x )k >(1＋x )·(1＋kx )＝1＋(k ＋1)x ＋kx 2>1＋(k ＋1)x .所以p ＝k ＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，当x >－1，x ≠0时，对一切整数p >1，不等式(1＋x )p >1＋px 均成立． (2)法一：先用数学归纳法证明a n >c 1p. ①当n ＝1时，由题设知a 1>c 1p成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式a k >c 1p成立． 由a n ＋1＝p －1p a n ＋c p a 1－p n 易知a n >0，n ∈N *. 当n ＝k ＋1时，a k ＋1a k ＝p －1p ＋c p a －p k ＝1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p k －1. 由a k >c 1p >0得－1<－1p <1p ⎝⎛⎭⎫c a p k －1<0. 由(1)中的结论得⎝⎛⎭⎫a k ＋1a k p ＝⎣⎡⎦⎤1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p k－1p >1＋p ·1p ⎝⎛⎭⎫c a p k －1＝c a p k .因此a p k ＋1>c ，即a k ＋1>c 1p. 所以n ＝k ＋1时，不等式a n >c 1p也成立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式a n >c 1p 均成立．再由a n ＋1a n ＝1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p n －1可得a n ＋1a n <1，即a n ＋1<a n . 综上所述，a n >a n ＋1>c 1p，n ∈N *.法二：设f (x )＝p －1p x ＋c p x 1－p ，x ≥c 1p ，则x p ≥c ，并且f ′(x )＝p －1p ＋c p (1－p )x －p ＝p －1p⎝⎛⎭⎫1－c x p >0，x >c 1p .由此可得，f (x )在1,p c ⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎢⎣⎭上单调递增，因而，当x >c 1p 时，f (x )>f (c 1p )＝c 1p .①当n ＝1时，由a 1>c 1p>0，即a p 1>c 可知a 2＝p －1p a 1＋c p a 1－p1＝a 1⎣⎡⎦⎤1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p 1－1<a 1，并且a 2＝f (a 1)>c 1p ， 从而a 1>a 2>c 1p.故当n ＝1时，不等式a n >a n ＋1>c 1p成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式a k >a k ＋1>c 1p成立，则 当n ＝k ＋1时，f (a k )>f (a k ＋1)>f (c 1p)，即有a k ＋1>a k ＋2>c 1p. 所以n ＝k ＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式a n >a n ＋1>c 1p均成立．。
学习目标 1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的积分．知识点 微积分基本定理(牛顿—莱布尼茨公式)思考1 已知函数f (x )＝2x ＋1，F (x )＝x 2＋x ，则ʃ10(2x ＋1)d x 与F (1)－F (0)有什么关系？答案 由定积分的几何意义知，ʃ10(2x ＋1)d x ＝12×(1＋3)×1＝2，F (1)－F (0)＝2，故ʃ10(2x ＋1)d x ＝F (1)－F (0)．思考2 对一个连续函数f (x )来说，是否存在唯一的F (x )，使得F ′(x )＝f (x )?答案 不唯一．根据导数的性质，若F ′(x )＝f (x )，则对任意实数c ，都有[F (x )＋c ]′＝F ′(x )＋c ′＝f (x )．梳理 (1)微积分基本定理①条件：f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )； ②结论：ʃb a f (x )d x ＝F (b )－F (a )；③符号表示：ʃb a f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．(2)常见的原函数与被积函数关系①ʃb a C d x ＝Cx |b a (C 为常数)．②ʃb a x n d x ＝1n ＋1xn ＋1|b a (n ≠－1)； ③ʃb a sin x d x ＝－cos x |b a ； ④ʃb a cos x d x ＝sin x |b a ；⑤ʃb a 1xd x ＝ln x |b a (b >a >0)； ⑥ʃb ae x d x ＝e x |b a ； ⑦ʃb a a x d x ＝⎪⎪a x ln a ba (a >0且a ≠1)；⑧3223＝b ax x ⎰(b >a >0)．类型一 求定积分命题角度1 求简单函数的定积分 例1 求下列定积分．(1)ʃ10(2x ＋e x)d x ；(2)ʃ21(1x －3cos x )d x ； (3)π220(sin cos )d 22－；x xx ⎰(4)ʃ30(x －3)(x －4)d x .解 (1)ʃ10(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )|1＝(1＋e 1)－(0＋e 0)＝e.(2)ʃ21(1x －3cos x )d x ＝(ln x －3sin x )|21 ＝(ln2－3sin2)－(ln1－3sin1) ＝ln2－3sin2＋3sin1. (3)∵(sin x 2－cos x 2)2＝1－2sin x 2cos x2＝1－sin x ，∴π220(sin cos )d 22－x x x ⎰＝π20(1sin )d －x x ⎰π20(cos )|＝＋x x＝(π2＋cos π2)－(0＋cos0)＝π2－1. (4)∵(x －3)(x －4)＝x 2－7x ＋12， ∴ʃ30(x －3)(x －4)d x＝ʃ30(x 2－7x ＋12)d x＝(13x 3－72x 2＋12x )|30 ＝(13×33－72×32＋12×3)－0＝272. 反思与感悟 (1)当被积函数为两个函数的乘积或乘方形式时一般要转化为和的形式，便于求得函数F (x )．(2)由微积分基本定理求定积分的步骤 ①求被积函数f (x )的一个原函数F (x )； ②计算函数的增量F (b )－F (a )． 跟踪训练1 计算下列定积分．(1)ʃ21(x －x 2＋1x)d x ； (2)π2220(cos sin )d 22－；x xx ⎰(3)ʃ94x (1＋x )d x .解 (1)ʃ21(x －x 2＋1x)d x ＝(12x 2－13x 3＋ln x )|21 ＝(12×22－13×23＋ln2)－(12－13＋ln1) ＝ln2－56.(2)π2220(cos sin )d 22－x x x ⎰ ＝π20cos d x x ⎰π20sin | 1.＝＝x(3)ʃ94x (1＋x )d x ＝ʃ94(x ＋x )d x ＝(23x 32＋12x 2)|94＝(23×932＋12×92)－(23×432＋12×42)＝2716. 命题角度2 求分段函数的定积分例2 (1)求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x (0≤x <π2)，1(π2≤x ≤2)，x －1(2<x ≤4)在区间[0,4]上的定积分；(2)求定积分ʃ20|x 2－1|d x .解 (1)⎠⎛04f (x )d x ＝π222π042sin d 1d (1)d x x x x ⎰⎰⎰＋＋－＝(－cos x )⎪⎪⎪⎪ π20＋x ⎪⎪⎪⎪2π2＋(12x 2－x )⎪⎪⎪42＝1＋(2－π2)＋(4－0)＝7－π2.(2)∵|x 2－1|＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ∈[0，1)，x 2－1，x ∈[1，2]，又(x －x 33)′＝1－x 2，(x 33－x )′＝x 2－1，∴ʃ20|x 2－1|d x ＝ʃ10|x 2－1|d x ＋ʃ21|x 2－1|d x ＝ʃ10(1－x 2)d x ＋ʃ21(x 2－1)d x＝(x －x 33)|10＋(x 33－x )|21＝1－13＋83－2－13＋1＝2.反思与感悟 分段函数的定积分的求法(1)利用定积分的性质转化为各区间上定积分的和计算．(2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数的定积分再计算．跟踪训练2 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋2x ，0≤x ≤1，x 2，1<x ≤2，求ʃ20f (x )d x .解 ʃ20f (x )d x＝ʃ10(1＋2x )d x ＋ʃ21x 2d x＝(x ＋x 2)|10＋13x 3|21 ＝2＋73＝133.(2)求ʃ2－2|x 2－x |d x 的值．解 ∵|x 2－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，－2≤x <0，x －x 2，0≤x ≤1，x 2－x ，1<x ≤2，∴ʃ2－2|x 2－x |d x＝ʃ0－2(x 2－x )d x ＋ʃ10(x －x 2)d x ＋ʃ21(x 2－x )d x＝(13x 3－12x 2)|0－2＋(12x 2－13x 3)|10＋(13x 3－12x 2)|21 ＝143＋16＋56＝173. 类型二 利用定积分求参数例3 (1)已知t >0，f (x )＝2x －1，若ʃt 0f (x )d x ＝6，则t ＝________.(2)已知2≤ʃ21(kx ＋1)d x ≤4，则实数k 的取值范围为________． 答案 (1)3 (2)[23，2]解析 (1)ʃt 0f (x )d x ＝ʃt 0(2x －1)d x ＝t 2－t ＝6， 解得t ＝3或－2，∵t >0，∴t ＝3. (2)ʃ21(kx ＋1)d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫12kx 2＋x 21＝32k ＋1. 由2≤32k ＋1≤4，得23≤k ≤2.引申探究1．若将例3(1)中的条件改为ʃt 0f (x )d x ＝f (t2)，求t .解 由ʃt 0f (x )d x ＝ʃt 0(2x －1)d x ＝t 2－t ， 又f (t2)＝t －1，∴t 2－t ＝t －1，得t ＝1.2．若将例3(1)中的条件改为ʃt 0f (x )d x ＝F (t )，求F (t )的最小值． 解 F (t )＝ʃt 0f (x )d x ＝t 2－t ＝(t －12)2－14(t >0)，当t ＝12时，F (t )min ＝－14.反思与感悟 (1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提．(2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f (x )、积分上限与积分下限、积分区间与函数F (x )等概念．跟踪训练3 (1)已知x ∈(0，1]，f (x )＝ʃ10(1－2x ＋2t )d t ，则f (x )的值域是________．(2)设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)．若ʃ10f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．答案 (1)[0，2) (2)33解析 (1)f (x )＝ʃ10(1－2x ＋2t )d t ＝(t －2xt ＋t 2)|10＝－2x ＋2(x ∈(0，1])． ∴f (x )的值域为[0，2)．(2)∵ʃ10f (x )d x ＝ʃ10(ax 2＋c )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13ax 3＋cx 10＝a 3＋c . 又f (x 0)＝ax 20＋c ，∴a 3＝ax 20，即x 0＝33或－33.∵0≤x 0≤1，∴x 0＝33.1．若ʃa 1(2x ＋1x )d x ＝3＋ln2，则a 的值是( ) A ．5B ．4C ．3D ．2 答案 D解析 ʃa 1(2x ＋1x )d x ＝ʃa 12x d x ＋ʃa 11xd x ＝x 2|a 1＋ln x |a 1＝a 2－1＋ln a ＝3＋ln2，解得a ＝2. 2.π230(12sin )d 2θθ-⎰等于( )A ．－32B ．－12C.12D.32答案 D 解析π230(12sin )d 2θθ-⎰＝π30cos d θθ⎰＝sin θ⎪⎪⎪⎪π3＝32.3．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，ʃ10f (x )d x ＝－2.求a ，b ，c 的值． 解 ∵f (－1)＝2，∴a －b ＋c ＝2， ① f ′(x )＝2ax ＋b ，f ′(0)＝b ＝0，②ʃ10f (x )d x ＝ʃ10(ax 2＋c )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13ax 3＋cx 10＝13a ＋c ＝－2， ③由①②③可得a ＝6，b ＝0，c ＝－4.4．已知f (x )＝⎩⎨⎧4x －2π，0≤x ≤π2，cos x ，π2<x ≤π，计算：⎠⎛0πf (x )d x .解 ⎠⎛0πf (x )d x ＝ππ2π02()d ()d f x x f x x +⎰⎰＝ππ2π02(42π)d cos d －x x x x +⎰⎰，取F 1(x )＝2x 2－2πx ，则F 1′(x )＝4x －2π； 取F 2(x )＝sin x ，则F 2′(x )＝cos x . 所以ππ2π02(42π)d cos d －x x x x +⎰⎰＝(2x 2－2πx )⎪⎪⎪⎪ π20＋sin x ⎪⎪⎪⎪ππ2 ＝－12π2－1，即⎠⎛0πf (x )d x ＝－12π2－1.1．求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分．(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．2．由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x 轴下方的图形面积要取定积分的相反数．课时作业一、选择题1．ʃ21(e x＋1x )d x 等于( ) A ．e 2－ln2 B ．e 2－e －ln2 C ．e 2＋e ＋ln2 D ．e 2－e ＋ln2答案 D解析 ʃ21(e x ＋1x )＝(e x ＋ln x )|21 ＝(e 2＋ln2)－(e ＋ln1)＝e 2－e ＋ln2. 2．ʃ0－4|x ＋2|d x 等于( )A ．ʃ0－4(x ＋2)d xB ．ʃ0－4(－x －2)d xC ．ʃ－2－4(x ＋2)d x ＋ʃ0－2(－x －2)d xD ．ʃ－2－4(－x －2)d x ＋ʃ0－2(x ＋2)d x答案 D解析 ∵|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，－2≤x ≤0，－x －2，－4≤x <－2，∴ʃ0－4|x ＋2|d x ＝ʃ－2－4(－x －2)d x ＋ʃ0－2(x ＋2)d x .故选D.3．若S 1＝ʃ21x 2d x ，S 2＝ʃ211xd x ，S 3＝ʃ21e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A ．S 1<S 2<S 3 B ．S 2<S 1<S 3 C ．S 2<S 3<S 1 D ．S 3<S 2<S 1答案 B解析 因为S 1＝ʃ21x 2d x ＝13x 3|21＝13×23－13＝73， S 2＝ʃ211xd x ＝ln x |21＝ln2， S 3＝ʃ21e x d x ＝e x |21＝e 2－e ＝e(e －1)．又ln2<lne ＝1，且73<2.5<e(e －1)，所以ln2<73<e(e －1)，即S 2<S 1<S 3.4．若ʃk 0(2x －3x 2)d x ＝0，则正数k 的值为( )A ．0B ．1C ．0或1D ．2答案 B解析 ʃk 0(2x －3x 2)d x ＝x 2－x 3|k 0＝k 2－k 3＝0，解得k ＝1或0(舍去)．5．若函数f (x )＝x m ＋nx 的导函数是f ′(x )＝2x ＋1，则ʃ21f (－x )d x 等于( ) A.56 B.12 C.23 D.16答案 A解析 ∵f ′(x )＝mx m －1＋n ＝2x ＋1，∴m ＝2，n ＝1. 则f (x )＝x 2＋x ，∴ʃ21f (－x )d x ＝ʃ21(x 2－x )d x＝(13x 3－12x 2)|21＝56. 6．已知f (a )＝ʃ10(2ax 2－a 2x )d x ，则函数f (a )的最大值为( )A.19B.29C ．－19D ．－29 答案 B解析 f (a )＝ʃ10(2ax 2－a 2x )d x ＝(23ax 3－12a 2x 2)|10＝－12a 2＋23a ， 由二次函数的性质，可得f (a )max ＝－(23)24×(－12)＝29.7．若f (x )＝x 2＋2ʃ10f (x )d x ，则ʃ10f (x )d x 等于( )A ．－1B ．－13C.13 D ．1答案 B解析 ∵f (x )＝x 2＋2ʃ10f (x )d x ，∴ʃ10f (x )d x ＝(13x 3＋2x ʃ10f (x )d x )|10＝13＋2ʃ10f (x )d x ， ∴ʃ10f (x )d x ＝－13. 二、填空题8．ʃa －a (x cos x －5sin x ＋2)d x ＝________. 答案 4a解析 ∵ʃa －a x cos x ＝0， ∴ʃa －a (x cos x －5sin x ＋2)d x ＝ʃa －a (－5sin x ＋2)d x ＝(5cos x ＋2x )|a －a ＝4a .9．已知f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若ʃ1－1f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________. 答案 －1或13解析 ʃ1－1f (x )d x ＝(x 3＋x 2＋x )|1－1＝4，2f (a )＝6a 2＋4a ＋2，由题意得6a 2＋4a ＋2＝4，解得a ＝－1或13.10．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，x ＋ʃa 03t 2d t ，x ≤0，若f [f (1)]＝1，则a ＝____________. 答案 1解析 因为x ＝1>0，所以f (1)＝lg1＝0.又当x ≤0时，f (x )＝x ＋ʃa 03t 2d t ＝x ＋t 3|a 0＝x ＋a 3，所以f (0)＝a 3.因为f [f (1)]＝1，所以a 3＝1， 解得a ＝1.11．已知α∈[0，π2]，则当ʃα0(cos x －sin x )d x 取最大值时，α＝________. 答案 π4解析 ʃα0(cos x －sin x )d x＝sin α＋cos α－1＝2sin(α＋π4)－1.∵α∈[0，π2]，则α＋π4∈[π4，34π]，当α＋π4＝π2，即α＝π4时，2sin(α＋π4)－1取得最大值．三、解答题12．设f (x )是一次函数，且ʃ10f (x )d x ＝5，ʃ10xf (x )d x ＝176，求f (x )的解析式． 解 ∵f (x )是一次函数， ∴设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∴ʃ10f (x )d x ＝ʃ10(ax ＋b )d x ＝ʃ10ax d x ＋ʃ10b d x ＝12a ＋b ＝5， ʃ10xf (x )d x ＝ʃ10x (ax ＋b )d x＝ʃ10(ax 2)d x ＋ʃ10bx d x ＝13a ＋12b ＝176. ∴⎩⎨⎧12a ＋b ＝5，13a ＋12b ＝176，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3.∴f (x )＝4x ＋3.13．已知函数f (x )＝ʃx 0(at 2＋bt ＋1)d t 为奇函数，且f (1)－f (－1)＝13，试求a ，b 的值． 解 f (x )＝ʃx 0(at 2＋bt ＋1)d t ＝(a 3t 3＋b 2t 2＋t )| x 0＝a 3x 3＋b 2x 2＋x . ∵f (x )为奇函数，∴b2＝0，即b ＝0.又∵f (1)－f (－1)＝13，∴a 3＋1＋a 3＋1＝13. ∴a ＝－52. 四、探究与拓展14．已知ʃ20f (x )d x ＝8，则ʃ20[f (x )－2x ]d x ＝________.答案 4解析 ∵ʃ20x d x ＝12×2×2＝2， ∴ʃ20[f (x )－2x ]d x ＝ʃ20f (x )d x －2ʃ20x d x ＝8－2×2＝4.15．已知f (x )＝ʃx －a (12t ＋4a )d t ，F (a )＝ʃ10[f (x )＋3a 2]d x ，求函数F (a )的最小值． 解 因为f (x )＝ʃx －a (12t ＋4a )d t ＝(6t 2＋4at )|x －a＝6x 2＋4ax －(6a 2－4a 2)＝6x 2＋4ax －2a 2，F (a )＝ʃ10[f (x )＋3a 2]d x ＝ʃ10(6x 2＋4ax ＋a 2)d x＝(2x 3＋2ax 2＋a 2x )|10＝2＋2a ＋a 2＝a 2＋2a ＋2＝(a ＋1)2＋1≥1.所以当a ＝－1时，F (a )取到最小值为1.。
§2微积分基本定理[对应学生用书P40]已知函数f (x )＝x ，F (x )＝12x 2.问题1：f (x ) 和F (x )有何关系？ 提示：F ′(x )＝f (x )．问题2：利用定积分的几何意义求⎠⎛12x d x 的值． 提示：⎠⎛12x d x ＝32.问题3：求F (2)－F (1)的值． 提示：F (2)－F (1)＝12×22－12×12＝32.问题4：你得出什么结论？提示：⎠⎛12f (x )d x ＝F (2)－F (1)，且F ′(x )＝f (x )．问题5：由⎠⎛12f (x )d x 与F (2)－F (1)之间的关系，你认为导数与定积分之间有什么联系？ 提示：⎠⎛a bf (x )d x ＝F (b )－F (a )，其中F ′(x )＝f (x )．微积分基本定理如果连续函数f (x )是函数F (x )的导函数，即f (x )＝F ′(x )，则有定理中的式子称为牛顿—莱布尼茨公式，通常称F (x )是f (x )的一个原函数．在计算定积分时，常常用记号F (x )| b a 来表示F (b )－F (a )，于是牛顿—莱布尼茨公式也可写作∫b a f (x )d x ＝F (x )| b a ＝F (b )－F (a )．微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的关系，即求定积分与求导互为逆运算，求定积分时只需找到导函数的一个原函数，就可以代入公式求出定积分．[对应学生用书P40][例1] 计算下列各定积分： (1)∫10(2x ＋3)d x ；(2)∫0－π(cos x ＋e x )d x ；(3)∫31⎝⎛⎫2x －1x 2d x . [思路点拨] 先求被积函数的原函数，然后利用微积分基本定理求解． [精解详析] (1)∵(x 2＋3x )′＝2x ＋3，∴∫10(2x ＋3)d x ＝(x 2＋3x )| 10＝1＋3＝4.(2)∵(sin x ＋e x )′＝cos x ＋e x ，∴∫0－π(cos x ＋e x )d x ＝(sin x ＋e x )| 0－π＝1－e－π. (3)∵⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ′＝2x －1x2， ∴∫31⎝⎛⎭⎫2x －1x 2d x ＝⎝⎛⎭⎫x 2＋1x | 31＝7＋13＝223. [一点通] 应用微积分基本定理求定积分时，首先要求出被积函数的一个原函数，在求原函数时，通常先估计原函数的类型，然后求导数进行验证，在验证过程中要特别注意符号和系数的调整，直到原函数F (x )的导函数F ′(x )＝f (x )为止(一般情况下忽略常数)，然后再利用微积分基本定理求出结果．1⎠⎛1e.1x d x ＝________. 解析：⎠⎛1e1x d x ＝ln e －ln 1＝1. 答案：12．求下列函数的定积分：(1)∫21(x 2＋2x ＋3)d x ；(2)∫π0(sin x －cos x )d x ； (3)∫21⎝⎛⎭⎫x ＋1x d x .解：(1)∫21(x 2＋2x ＋3)d x ＝∫21x 2d x ＋∫212x d x ＋∫213d x＝x 33|21＋x 2|21＋3x |21＝253. (2)∫π0(sin x －cos x )d x＝∫π0sin x d x －∫π0cos x d x＝(－cos x )|π－sin x |π0＝2.(3)∫21⎝⎛⎭⎫x ＋1x d x ＝∫21x d x ＋∫211x d x ＝12x 2|21＋ln x|21＝12×22－12×12＋ln 2－ln 1 ＝32＋ln 2. 3．求下列定积分：(1)20π⎰ sin 2x 2d x ；(2) ⎠⎛23(2－x 2)·(3－x )d x . 解：(1)sin 2x 2＝1－cos x2，而⎝⎛⎭⎫12x －12sin x ′＝12－12cos x ， ∴20π⎰sin 2x2d x ＝20π⎰⎝⎛⎭⎫12－12cos x d x ＝⎝⎛⎭⎫12x －12sin x |π2 ＝π4－12＝π－24. (2)原式＝⎠⎛23(6－2x －3x 2＋x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫6x －x 2－x 3＋14x 4|32 ＝⎝⎛⎭⎫6×3－32－33＋14×34－⎝⎛⎭⎫6×2－22－23＋14×24 ＝－74.[例2] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x ≤π2，1，π2<x <2，x －1，2≤x ≤4，先画出函数图像，再求这个函数在[0,4]上的定积分．[思路点拨] 按f (x )的分段标准，分成⎣⎡⎦⎤0，π2，⎣⎡⎦⎤π2，2，[2,4]三段积分求和． [精解详析]图像如图．⎠⎜⎛2π2⎠⎛04f (x )d x ＝20π⎰sin x d x ＋22π⎰d x ＋⎠⎛24(x －1)d x＝(－cos x ) |20π＋x|22π＋⎝⎛⎭⎫12x 2－x |42＝1＋⎝⎛⎭⎫2－π2＋(4－0)＝7－π2. [一点通] (1)分段函数在区间[a ，b ]上的定积分可分成n 段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行．(2)带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解．4．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， 0≤x <1，2－x ，1≤x ≤2，则∫20f (x )d x ＝( )A.34 B.45 C.56D.不存在解析：∫20f (x )d x ＝∫10x 2d x ＋∫21(2－x )d x ，取F 1(x )＝13x 3，F 2(x )＝2x －12x 2，则F 1′(x )＝x 2，F 2′(x )＝2－x ，所以∫20f (x )d x ＝F 1(1)－F 1(0)＋F 2(2)－F 2(1)＝13－0＋2×2－12×22－⎝⎛⎭⎫2×1－12×12＝56. 答案：C5．已知F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x －1，x ≤0，x 2，x >0，求定积分∫1－1F (x )d x .解：∫1－1F (x )d x ＝∫0－1(sin x －1)d x ＋∫10x 2d x＝(－cos x －x ) |－1＋13x 3|10＝cos 1－53.[例3] 已知函数f (x )＝∫x 0(at 2＋bt ＋1)d t 为奇函数，且f (1)－f (－1)＝13，试求a ，b 的值． [精解详析] f (x )＝∫x 0(at 2＋bt ＋1)d t＝⎝⎛⎭⎫a 3t 3＋b 2t 2＋t |x 0＝a 3x 3＋b 2x 2＋x . ∵f (x )为奇函数， ∴b2＝0，即b ＝0. 又∵f (1)－f (－1)＝13，∴a 3＋1＋a 3＋1＝13.∴a ＝－52.[一点通](1)当被积函数中含有参数时，必须分清参数和自变量，再进行计算，以免求错原函数．另外，需注意积分下限不大于积分上限．(2)当积分的上(下)限含变量x 时，定积分为x 的函数，可以通过定积分构造新的函数，进而可研究这一函数的性质，解题过程中注意体会转化思想的应用．6．若∫10(k －2x )d x ＝2 013，则k ＝________.解析：∫10(k －2x )d x ＝(kx －x 2)⎪⎪10＝k －1＝2 013，∴k ＝2 014. 答案：2 0147．已知函数f (a )＝∫a 0sin x d x ，则f ⎝⎛⎭⎫π2＝________. 解析：f (a )＝∫a 0sin x d x ＝－cos x |a＝－cos a ＋1，∴f ⎝⎛⎭⎫π2＝1.答案：18．已知f (x )是一次函数，其图像过点(3,4)，且⎠⎛01f (x )d x ＝1，求f (x )的解析式． 解：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 则4＝3a ＋b ，又⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝⎝⎛⎭⎫12ax 2＋bx |10＝a 2＋b ＝1， 所以a ＝65，b ＝25，即f (x )＝65x ＋25.求定积分的一些常用技巧：(1)对被积函数，要先化简，再求积分．(2)求被积函数是分段函数的定积分，依据定积分的性质，分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号后才能积分．[对应课时跟踪训练(十五)]1．下列积分值等于1的是( ) A.∫10x d x B.∫10(x ＋1)d xC.∫101d xD.∫1012d x 解析：∫101d x ＝x ⎪⎪10＝1.答案：C2．(福建高考)⎠⎛01(e x ＋2x )d x ＝( ) A ．1 B ．e －1 C ．eD.e ＋1解析：⎠⎛01(e x ＋2x )d x ＝(e x ＋x 2) |1＝(e 1＋1)－e 0＝e.答案：C3.∫30|x 2－4|d x ＝( )A.213B.223C.233D.253解析：∫30|x 2－4|d x ＝∫20(4－x 2)d x ＋∫32(x 2－4)d x ＝⎝⎛⎭⎫4x －13x 3⎪⎪⎪20＋⎝⎛⎭⎫13x 3－4x ⎪⎪⎪32＝233，故选C.答案：C4．函数F (x )＝∫x 0t (t －4)d t 在[－1,5]上( ) A ．有最大值0，无最小值 B ．有最大值0和最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值解析：F (x )＝∫x 0(t 2－4t )d t ＝⎝⎛⎭⎫13t 3－2t 2⎪⎪⎪x0＝13x 3－2x 2(－1≤x ≤5)．F ′(x )＝x 2－4x ，由F ′(x )＝0，得x ＝0或4，列表如下：可见极大值F (0)＝0，极小值F (4)＝－323.又F (－1)＝－73，F (5)＝－253，所以最大值为0，最小值为－323.答案：B5．若∫a －a x 2d x ＝18(a >0)，则a ＝________.解析：∫a－a x 2d x ＝x 33| a －a ＝a 33－(－a )33＝18⇒a ＝3.答案：36．(陕西高考)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ， x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，若f (f (1))＝1，则a ＝________.解析：显然f (1)＝lg 1＝0，f (0)＝0＋∫a 03t 2d t ＝t 3⎪⎪⎪a＝1，得a ＝1. 答案：17．求下列定积分： (1)∫212x 2＋x ＋1xd x ；(2)∫π02sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4d x . 解：(1)∫212x 2＋x ＋1xd x＝∫21(2x ＋1x＋1)d x ＝∫212x d x ＋∫211x d x ＋∫211d x ＝x 2 |21＋ln x |21＋x |21＝(4－1)＋ln 2－ln 1＋2－1 ＝4＋ln 2.(2)∵2sin(x ＋π4)＝2⎝⎛⎭⎫sin x ·22＋cos x ·22＝sin x ＋cos x ，(－cos x ＋sin x )′＝sin x ＋cos x ， ∴∫π02sin(x ＋π4)d x ＝∫π0(sin x ＋cos x )d x ＝(－cos x ＋sin x ) |π0＝(－cos π＋sin π)－(－cos 0＋sin 0)＝2.8．A ，B 两站相距7.2 km ，一辆电车从A 站开往B 站，电车开出t s 后到达途中C 点，这一段的速度为1.2t m /s ，到C 点的速度为24 m/s ，从C 点到B 站前的D 点这段路程做匀速行驶，从D 点开始刹车，经t s 后，速度为(24－1.2t ) m/s ，在B 站恰好停车，试求：(1)A ，C 间的距离； (2)B ，D 间的距离．解：(1)设从A 到C 的时间为t 1 s ，则1.2t 1＝24，解得t 1＝20，则AC ＝∫2001.2t d t ＝0.6t 2 |200＝240(m)．即A ，C 间的距离为240 m.(2)设从D 到B 的时间为t 2 s ，则24－1.2t 2＝0， 解得t 2＝20，则BD ＝∫200(24－1.2t )d t ＝(24t －0.6t 2) |200＝240(m)．即B ，D 间的距离为240 m.。
学习目标 1.掌握复数的有关概念及复数相等的充要条件.2.理解复数的几何意义.3.掌握复数的相关运算．知识点一 复数的有关概念(1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫作复数，其中a ，b 分别是它的________和________．若b ＝0，则a ＋b i 为实数，若________，则a ＋b i 为虚数，若____________，则a ＋b i 为纯虚数．(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔____________(a ，b ，c ，d ∈R )． (3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔____________(a ，b ，c ，d ∈R )．(4)复平面：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，我们称这个直角坐标平面为复平面．________叫作实轴，________叫作虚轴．实轴上的点都表示________；除了原点外，虚轴上的点都表示________；各象限内的点都表示非纯虚数．(5)复数的模：设复数z ＝a ＋b i 在复平面内对应的点是Z (a ，b )，点Z 到原点的距离|OZ |叫做复数z 的模或绝对值，记作________．显然，|z |＝________.两个复数一般不能比较大小，但可以比较它们模的大小． 知识点二 复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i 一一,对应,复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )． (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )一一,对应,平面向量OZ →. 知识点三 复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝______________________________________________； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝_________________________________________； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝____________________________________________________；④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)．(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝________，(z 1＋z 2)＋z 3＝____________.类型一 复数的概念 例1 已知复数z ＝a 2－a －6＋a 2＋2a －15a 2－4i ，分别求出满足下列条件的实数a 的值：(1)z 是实数；(2)z 是虚数；(3)z 是0. 引申探究例1中条件不变，若z 为纯虚数，是否存在这样的实数a ，若存在，求出a ，若不存在，说明理由．反思与感悟 (1)正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提．(2)两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据．跟踪训练1 复数z ＝log 3(x 2－3x －3)＋ilog 2(x －3)，当x 为何实数时，(1)z ∈R ；(2)z 为虚数．类型二 复数的运算例2 已知z 是复数，z －3i 为实数，z －5i2－i 为纯虚数(i 为虚数单位)．(1)求复数z ；(2)求z1－i 的模．反思与感悟 复数的综合运算中会涉及模、共轭及分类等，求z 时要注意是把z 看作一个整体还是设为代数形式应用方程思想；当z 是实数或纯虚数时注意常见结论的应用． 跟踪训练2 已知z 1，z 2为复数，(3＋i)z 1为实数，z 2＝z 12＋i，且|z 2|＝52，求z 2.类型三 数形结合思想的应用例3 在复平面内，设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则复数2z ＋z 2对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限反思与感悟 根据复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论．跟踪训练3 已知复平面内点A ，B 对应的复数分别是z 1＝sin 2θ＋i ，z 2＝－cos 2θ＋icos2θ，其中θ∈(0，π)，设AB →对应的复数为z . (1)求复数z ；(2)若复数z 对应的点P 在直线y ＝12x 上，求θ的值．1．若复数z ＝cos θ－513＋(1213－sin θ)i(i 是虚数单位)是纯虚数，则tan θ的值为( )A ．－125B.125C ．－512D ．±1252．设z ＝10i 3＋i ，则z 的共轭复数为( )A ．－1＋3iB ．－1－3iC ．1＋3iD ．1－3i3．若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( ) A ．－4B ．－45C ．4D.454．计算：2－(1＋i 2)20.5．已知复数z＝(m2－2m)＋(m2＋m－6)i所对应的点分别在(1)虚轴上；(2)第三象限．试求以上实数m的值或取值范围．1．复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算，其中除法运算的关键是将分母实数化．2．复数的几何意义是数形结合思想在复数中的一大体现．3．利用两个复数相等可以解决求参数值(或范围)和复数方程等问题．答案精析知识梳理知识点一(1)实部虚部b≠0a＝0且b≠0a＝c且b＝d(3)a＝c，b＋d＝0(4)x轴y轴实数纯虚数(5)|z|a2＋b2知识点三(1)①(a＋c)＋(b＋d)i②(a－c)＋(b－d)i③(ac－bd)＋(ad＋bc)i(2)z2＋z1z1＋(z2＋z3)题型探究例1 解 由a 2－a －6＝0，解得a ＝－2或a ＝3. 由a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3. 由a 2－4≠0，解得a ≠±2. (1)由a 2＋2a －15＝0且a 2－4≠0， 得a ＝－5或a ＝3，∴当a ＝－5或a ＝3时，z 为实数． (2)由a 2＋2a －15≠0且a 2－4≠0， 得a ≠－5且a ≠3且a ≠±2，∴当a ≠－5且a ≠3且a ≠±2时，z 是虚数． (3)由a 2－a －6＝0，且a 2＋2a －15＝0，得a ＝3， ∴当a ＝3时，z ＝0. 引申探究解 由a 2－a －6＝0，且a 2＋2a －15≠0，且a 2－4≠0， 得a 无解，∴不存在实数a ，使z 为纯虚数．跟踪训练1 解 (1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －3>0，log 2(x －3)＝0，x －3>0，解得x ＝4，所以当x ＝4时，z ∈R .(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －3>0，log 2(x －3)≠0，x －3>0，解得x >3＋212且x ≠4.所以当x >3＋212且x ≠4时，z 为虚数．例2 解 (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， ∴z －3i ＝a ＋(b －3)i 为实数，可得b ＝3. 又∵a －2i 2－i ＝2a ＋2＋(a －4)i 5为纯虚数，∴a ＝－1，即z ＝－1＋3i.(2)z1－i ＝－1＋3i 1－i ＝(－1＋3i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝－4＋2i 2＝－2＋i ，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1－i ＝|－2＋i|＝(－2)2＋12＝ 5. 跟踪训练2 解 z 1＝z 2(2＋i)， (3＋i)z 1＝z 2(2＋i)(3＋i)＝z 2(5＋5i)∈R ， 因为|z 2|＝52，所以|z 2(5＋5i)|＝50， 所以z 2(5＋5i)＝±50，所以z 2＝±505＋5i ＝±101＋i ＝±(5－5i)．例3 A跟踪训练3 解 (1)由题意得z ＝z 2－z 1＝－cos 2θ－sin 2θ＋(cos2θ－1)i ＝－1－2sin 2θ·i. (2)由(1)知，点P 的坐标为(－1，－2sin 2θ)． 由点P 在直线y ＝12x 上，得－2sin 2θ＝－12，∴sin 2θ＝14，又θ∈(0，π)，∴sin θ>0，因此sin θ＝12，∴θ＝π6或θ＝5π6.当堂训练 1．A 2.D 3.D 4．解2－(1＋i 2)20＝2－(2i )10210＝(1＋i)2－(－1)＝1＋2i.5．解 (1)由m 2－2m ＝0， 解得m ＝0或m ＝2.∴若复数z ＝(m 2－2m )＋(m 2＋m －6)i 所对应的点在虚轴上，则m ＝0或2. (2)由复数z ＝(m 2－2m )＋(m 2＋m －6)i 所对应的点在第三象限，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m <0，m 2＋m －6<0，解得0<m <2.。
[对应学生用书]一、定积分．定积分的概念：()叫函数()在区间[，]上的定积分．．定积分的几何意义：当()≥时，()表示的是＝()与直线＝，＝和轴所围成的曲边梯形的面积．．定积分的性质：()＝－.()()＝().()[()±()]＝()±().()()＝()＋().定积分的几何意义和性质相结合求定积分是常见类型，多用于被积函数的原函数不易求，且被积函数是熟知的图形．二、微积分基本定理．如果连续函数()是函数()的导函数，即()＝′()，则()＝()＝()－()．．利用微积分基本定理求定积分，其关键是找出被积函数的一个原函数．求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆运算，因此，应熟练掌握一些常见函数的导数公式．三、定积分的简单应用定积分的应用在于求平面图形的面积及简单旋转几何体的体积，解题步骤为：①画出图形．②确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限．③确定被积函数．④写出平面图形面积或旋转体体积的定积分表达式．⑤运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积或旋转几何体的体积．见开试卷)))(时间分钟，满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．已知()＝，则()＝( )．－．＋．解析：根据定积分的性质，()＝()＝.答案：(＋)等于( )．－．＋．解析：(＋)＝(＋)＝(＋)－＝，故选.答案：．若(－)＝，则等于( )．．.不确定．或解析：(－)＝(－)＝－＝，∴＝(舍去)或＝，故选.答案：．(江西高考)若()＝＋()，则()＝( )．－．－解析：∵()＝＋()，∴()＝＝＋().∴()＝－.答案：．已知()为偶函数且()＝，则()＝( )．．．解析：∵()为偶函数，∴其图像关于轴对称，∴()＝()＝.答案：．从如图所示的长方形区域内任取一个点(，)，则点取自阴影部分的概率为( )。
§微积分基本定理已知函数()＝，()＝.问题：() 和()有何关系？提示：′()＝()．问题：利用定积分的几何意义求的值．提示：＝.问题：求()－()的值．提示：()－()＝×－×＝.问题：你得出什么结论？提示：()＝()－()，且′()＝()．问题：由()与()－()之间的关系，你认为导数与定积分之间有什么联系？提示：()＝()－()，其中′()＝()．微积分基本定理如果连续函数()是函数()的导函数，即()＝′()，则有定理中的式子称为牛顿—莱布尼茨公式，通常称()是()的一个原函数．在计算定积分时，常常用记号()来表示()－()，于是牛顿—莱布尼茨公式也可写作()＝()＝()－()．微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的关系，即求定积分与求导互为逆运算，求定积分时只需找到导函数的一个原函数，就可以代入公式求出定积分．[例]计算下列各定积分：()(＋)；()( ＋)；().[思路点拨]先求被积函数的原函数，然后利用微积分基本定理求解．[精解详析]()∵(＋)′＝＋，∴(＋)＝(＋)＝＋＝.()∵( ＋)′＝＋，∴( ＋)＝( ＋)＝－－π.()∵′＝－，∴＝＝＋＝.[一点通]应用微积分基本定理求定积分时，首先要求出被积函数的一个原函数，在求原函数时，通常先估计原函数的类型，然后求导数进行验证，在验证过程中要特别注意符号和系数的调整，直到原函数()的导函数′()＝()为止(一般情况下忽略常数)，然后再利用微积分基本定理求出结果．＝.解析：＝－＝.答案：．求下列函数的定积分：()(＋＋)；()( － )；().解：()(＋＋)＝＋＋＝＋＋＝.()( － )＝－＝(－ )－＝.()＝＋＝＋＝×－×＋－＝＋ .．求下列定积分：()；() (－)·(－).解：()＝)，。
走出定积分运用的误区通过定积分与微积分基本定理部分知识的学习，初步了解定积分的概念，为以后进一步学习微积分打下基础．同时体会微积分的产生对人类文化发展的意义和价值，培养学生的创新意识和创新精神．在实际解题中，由于这部分知识的特殊性，经常会由于种种原因出现一些错误，下面结合实际加以剖析．1．公式应用出错微积分基本定理为：一般地，如果)(x f 是区间[a ，b]上的连续函数，并且)(x F '=)(x f ，那么⎰ba dx x f )(=)()(a Fb F -． 例1．计算⎰+212)1(dx xx ． 错解：⎰+212)1(dx xx =⎰++2122)12(dx x x =|213)1231(x x x -+ =|213)31(x +|21)2(x +|21)1(x -=)21(3133-+)21(2-－)211(-=－629． 错解剖析：错误的原因在于对微积分基本定理记忆不准，定理的条件与对应的公式不清而导致错误．根据微积分基本定理，相应的公式是⎰ba dx x f )(=|)(b a x F =)()(a F b F -，而不是⎰ba dx x f )(=)()(b F a F -． 正解：⎰+212)1(dx xx =⎰++2122)12(dx x x =|213)1231(x x x -+ =|213)31(x +|21)2(x +|21)1(x -=)12(3133-+)12(2-－)121(-=629． 评注：利用微积分基本定理来计算时通常是把求原函数与计算原函数值的差用一串等式表示出来．注意，把积分上、下限代入原函数求差时，要按步骤进行，以免发生符号错误．2．几何意义出错我们知道，当函数)(x f 在区间[a ，b ]上恒为正时，定积分⎰ba dx x f )(的几何意义是以曲线)(x f 为曲边的曲边梯形的面积．在一般情况下，定积分⎰b a dx x f )(的几何意义是介于x 轴，函数)(x f 的图象以及直线x=a ，x=b 之间各部分面积的代数和．例2．如图，函数)(x f y =在区间[a ，b ]上，则阴影部分的面积S 为（ ）A ．⎰b a dx x f )(B ．⎰c a dx x f )(－⎰bc dx x f )(C ．―⎰c a dx x f )(―⎰b c dx x f )(D ．―⎰c a dx x f )(+⎰bc dx x f )(错解：选择答案：A 或B 或C ．错解剖析：错误的原因在于对微积分的几何意义不理解或理解得不够透彻而导致出错．根据微积分的几何意义，若0)(≥x f ，则在[a ，b ]上的阴影面积S =⎰b a dx x f )(；若0)(≤x f ，则在[a ，b ]上的阴影面积S =－⎰ba dx x f )(． 正解：如图所示，在[a ，c ]上，0)(≤x f ；在[c ，b]上，0)(≥x f ；所以函数)(x f y =在区间[a ，b ]上的阴影部分的面积S =―⎰c a dx x f )(+⎰bc dx x f )(， 故选择答案：D ．评注：在实际求解曲边梯形的面积时要注意在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号．各部分面积的代数和即为：x 轴上方的面积减去x 轴下方的面积．3．实际应用出错利用定积分可以用来解决平面几何中的面积问题．其实，除几何方面外，定积分在工程物理等方面的应用也极其广泛，可以用来处理变速直线运动的路程和速度问题，也可以用来解决变力的作功问题等．例3．模拟火箭自静止开始竖直向上发射，设起动时即有最大加速度，以此时为起点，加速度满足24100)(t t a -=，求火箭前s 5内的位移．错解：由题设知，⎰=50)()5(dt t a s =⎰-502)4100(dt t =|503)34100(t t -=35345100⨯-⨯=31000， 即火箭前s 5内的位移为31000． 错解剖析：错误的原因在于对实际应用中的相关问题理解不够透彻，关系混淆．一般地，变速直线运动的路程问题的一般解法：作变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v =v （t ）（v （t ）≥0）在时间区间[a ，b ]上的定积分，即s=⎰ba dt t v )(．而一般地，变速直线运动的速度问题的一般解法：作变速直线运动的物体所具有的速度v ，等于其加速度函数a =a （t ）在时间区间[a ，b ]上的定积分，即v =⎰ba dt t a )(．正解：由题设知，00==t t ，0)0(=v ，0)0(=s ，所以⎰-=t dt t t v 02)4100()(=334100t t -， 那么⎰=50)()5(dt t v s =⎰-503)34100(dt t t =|5042)3150(t t -=33125， 即火箭前s 5内的位移为33125． 评注：先通过定积分求解变速直线运动的物体所具有的速度函数v （t ），再根据已求的速度函数，通过定积分求解在对应时间的位移．。
北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》全部教案§1定积分概念第一课时曲边梯形的面积一、教学目标：理解求曲边图形面积的过程：分割、以直代曲、逼近，感受在其过程中渗透的思想方法。
二、教学重难点： 重点：掌握过程步骤：分割、以直代曲、求和、逼近（取极限）难点：对过程中所包含的基本的微积分 “以直代曲”的思想的理解三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 1、创设情景我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面积，这些图形都是由直线段围成的。
那么，如何求曲线围成的平面图形的面积呢？这就是定积分要解决的问题。
定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛的应用。
本节我们将学习定积分的基本概念以及定积分的简单应用，初步体会定积分的思想及其应用价值。
一个概念：如果函数()y f x =在某一区间I 上的图像是一条连续不断的曲线，那么就把函数()y f x =称为区间I 上的连续函数．（不加说明，下面研究的都是连续函数） 2、新课探析问题：如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线()y f x =的一段，我们把由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形．如何计算这个曲边梯形的面积？例题：求图中阴影部分是由抛物线2y x =，直线1=x 以及x 轴所围成的平面图形的面积S 。
思考：（1）曲边梯形与“直边图形”的区别？（2）能否将求这个曲边梯形面积S 的问题转化为求“直边图形”面积的问题？分析：曲边梯形与“直边图形”的主要区别：曲边梯形有一边是曲线段，“直边图形”的所有边都是直线段．“以直代曲”的思想的应用．xxx 11yyy把区间[]0,1分成许多个小区间，进而把区边梯形拆为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代取”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值．分割越细，面积的近似值就越精确。
微积分基本定理第一课时一、教学目标：了解牛顿-莱布尼兹公式二、教学重难点：牛顿-莱布尼兹公式三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习：定积分的概念及计算（二）、探究新课我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。
我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。
变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥），则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为21()T T v t dt ⎰。
另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即21()T T v t dt ⎰=12()()S T S T - 且()()S t v t '=。
对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有()()()ba f x dx Fb F a =-⎰若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。
定理 如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则 ()()()ba f x dx Fb F a =-⎰证明：因为()x Φ=()xa f t dt ⎰与()F x 都是()f x 的原函数，故()F x -()x Φ=C（a x b ≤≤）其中C 为某一常数。
令x a =得()F a -()a Φ=C ，且()a Φ=()aa f t dt ⎰=0即有C=()F a ，故()F x =()x Φ+()F a ∴ ()x Φ=()F x -()F a =()xa f t dt ⎰ 令xb =，有()()()ba f x dx Fb F a =-⎰ 为了方便起见，还常用()|ba F x 表示()()Fb F a -，即()()|()()bb a a f x dx F x F b F a ==-⎰该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。
教学准备1. 教学目标知识与技能：理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的步骤；过程与方法：经历观察、思考、分析、抽象、概括出数学归纳法的两个步骤，初步形成归纳、猜想和发现的能力；情感态度价值观：通过数学归纳法的学习初步形成严谨务实的科学态度和严谨的数学思维品质与数学理性精神。
2. 教学重点/难点【教学重点】理解数学归纳法的实质意义，掌握数学归纳法的证题步骤。
【教学难点】运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。
3. 教学用具4. 标签教学过程【教学过程】一、创设情景1. 摸球实验已知盒子里面有5个小球，如何证明盒子里面的球全是绿色？2. 今天，据观察第一个到学校的是男同学，第二个到学校的也是男同学，第三个到学校的还是男同学，于是得出：这所学校里的学生都是男同学。
象这种由一系列特殊事例得出一般结论的方法，我们把它叫做归纳法。
（1）是完全归纳法，结论正确（2）是不完全归纳法，结论不一定正确。
问题：这些问题都与自然数有关，自然数有无限多个，我们无法对其一一验证，那么如何证明一个与自然数有关的命题呢？例如对于数列,已知, 通过对n=1,2,3,4前4项的归纳，猜想其通项公式为。
这个猜想是否正确，如何证明？数学中常用数学归纳法证明。
二、探索新知1、了解多米诺骨牌游戏，可得，只要满足以下两条件，所有多米诺骨牌就都能倒下：（1）第一块骨牌倒下；（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。
思考：条件（1）（2）的作用是什么？2、用多米诺骨牌原理解决数学问题。
思考：你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？分析：3、数学归纳法的原理一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当取第一个值时命题成立（为取的第一个值）；（2）（归纳递推）假设时命题成立，证明当时命题也成立。
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数都成立。
上述证明方法叫做数学归纳法。
[对应学生用书P13]一、归纳和类比1．归纳推理和类比推理是常用的合情推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理．2．从推理形式上看，归纳是由部分到整体、由个别到一般的推理；类比是两类事物特征间的推理，是由特殊到特殊的推理．二、直接证明和间接证明1．直接证明包括综合法和分析法．(1)综合法证明数学问题是“由因导果”，而分析法则是“执果索因”，二者一正一反，各有特点．综合法的特点是表述简单、条理清楚，分析法则便于解题思路的探寻．(2)分析法与综合法往往结合起来使用，即用分析法探寻解题思路，而用综合法书写过程，即“两头凑”，可使问题便于解决．2．间接证明主要是反证法．反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立．反证法主要适用于以下两种情形：(1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰； (2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．三、数学归纳法数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为归纳奠基，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为归纳递推，是命题具有后继传递性的保证，两步合在一起为完全归纳步骤．这两步缺一不可．第二步中证明“当n ＝k ＋1时结论正确”的过程中，必须用“归纳假设”，否则就是错误的．⎣⎢⎡⎦⎥⎤对应阶段质量检测(一) 见8开试卷(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．数列3,5,9,17,33，…的通项a n ＝( ) A ．2n B ．2n ＋1 C ．2n －1 D.2n ＋1答案：B2．用反证法证明命题“若关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，a ，b ，c ∈Z )有有理根，那么a ，b ，c 中至少有一个是奇数”时，下列假设正确的是( )A ．假设a ，b ，c 都是奇数B ．假设a ，b ，c 都不是奇数C ．假设a ，b ，c 至多有一个奇数D ．假设a ，b ，c 至多有两个奇数解析：命题“a ，b ，c 中至少有一个是奇数”的否定是“a ，b ，c 都不是奇数”，故选B.答案：B3．因为奇函数的图像关于原点对称(大前提)，而函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ＋1)， x >0，0， x ＝0，x (x －1)， x <0是奇函数(小前提)，所以f (x )的图像关于原点对称(结论)．上面的推理有错误，其错误的原因是( )A ．大前提错导致结论错B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提都错导致结论错解析：因为f (1)＝f (－1)＝2，所以f (－1)≠－f (1)，所以f (x )不是奇函数，故推理错误的原因是小前提错导致结论错．答案：B4．某同学在电脑上打出如下若干个“★”和“”：★★★★★★……依此规律继续打下去，那么在前 2 014个图形中的“★”的个数是( )A ．60B ．61C ．62D.63解析：第一次出现“★”在第一个位置，第二次出现“★”在第(1＋2)个位置，第三次出现“★”在第(1＋2＋3)个位置，…，第n 次出现“★”在第(1＋2＋3＋…＋n )个位置．∵1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，当n ＝62时，n (n ＋1)2＝62×(62＋1)2＝1 953,2 014－1 953＝61<63，∴在前2 014个图形中的“★”的个数是62.答案：C5．对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出：正四面体的内切球切于四面各正三角形的位置是( )A ．各正三角形内的任一点B ．各正三角形的中心C ．各正三角形边上的任一点D ．各正三角形的某中线的中点解析：正三角形类比正四面体，正三角形的三边类比正四面体的四个面，三边的中点类比正三角形的中心．答案：B6．已知函数f (x )＝5x ，则f (2 014)的末四位数字为( ) A ．3 125 B ．5 625 C ．0 625D.8 125解析：因为f (5)＝55＝3 125的末四位数字为3 125，f (6)＝56＝15 625的末四位数字为5 625，f (7)＝57＝78 125的末四位数字为8 125，f (8)＝58＝390 625的末四位数字为0 625，f (9)＝59＝1 953 125的末四位数字为3 125，故周期T ＝4.又由于2 014＝503×4＋2，因此f (2 014)的末四位数字与f (6)的末四位数字相同，即f (2 014)的末四位数字是5 625.答案：B7．用数学归纳法证明不等式“1＋12＋13＋…＋12n ≤12＋n (n ∈N ＋)”时，第一步应验证( )A ．1＋12≤12＋1B ．1≤12＋1C ．1＋12＋13＋14≤12＋2D.1＜12＋1解析：当n ＝1时不等式左边为1＋12，右边为12＋1，即需要验证：1＋12≤12＋1.答案：A8．用数学归纳法证明等式：(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)，从k 到k ＋1，左边需要增乘的代数式为( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1D.2k ＋3k ＋1解析：当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(k ＋k ＋1)(k ＋k ＋2)， 所以，增乘的式子为 (2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1＝2(2k ＋1)．答案：B9．对于函数f (x )，g (x )和区间D ，如果存在x 0∈D ，使|f (x 0)－g (x 0)|≤1，则称x 0是函数f (x )与g (x )在区间D 上的“友好点”．现给出下列四对函数：①f (x )＝x 2，g (x )＝2x －3； ②f (x )＝x ，g (x )＝x ＋2； ③f (x )＝e －x ，g (x )＝－1x ；④f (x )＝ln x ，g (x )＝x －12.其中在区间(0，＋∞)上存在“友好点”的是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④D.①④解析：对于①，|f (x )－g (x )|＝|x 2－(2x －3)|＝|(x －1)2＋2|≥2，所以函数f (x )与g (x )在区间(0，＋∞)上不存在“友好点”，故①错，应排除A ，D ；对于②，|f (x )－g (x )|＝|x －(x ＋2)|＝⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫x －122＋74≥74，所以函数f (x )与g (x )在区间(0，＋∞)上也不存在“友好点”，故②错，排除B ；同理，可知③④均正确．答案：C10．已知f (x )＝x 3＋x ，a ，b ∈R ，且a ＋b >0，则f (a )＋f (b )的值一定( ) A ．大于零 B ．等于零 C ．小于零D.正负都有可能解析：∵f (x )＝x 3＋x ，∴f (x )是增函数且是奇函数． ∵a ＋b >0，∴a >－b ， ∴f (a )>f (－b )，∴f (a )＋f (b )>0. 答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)11．设f (n )＝1＋12＋13＋…＋12n －1(n ∈N ＋)，那么f (n ＋1)－f (n )＝________.解析：∵f (n ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12n －1＋12n ＋12n ＋1，∴f (n ＋1)－f (n )＝12n ＋12n ＋1.答案：12n ＋12n ＋112．已知点A (x 1，3x 1)，B (x 2，3x 2)是函数y ＝3x 的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图像的上方，因此有结论3x 1＋3x 22>3x 1＋x 22成立．运用类比思想方法可知，若点A (x 1，tan x 1)，B (x 2，tan x 2)是函数y ＝tan x ⎝⎛⎭⎫－π2<x <0的图像上任意不同两点，则类似地有____________________成立．解析：因为y ＝tan x ⎝⎛⎭⎫－π2<x <0图像是上凸的，因此线段AB 的中点的纵坐标tan x 1＋tan x 22总是小于函数y ＝tan x ⎝⎛⎭⎫－π2<x <0图像上的点⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，tan x 1＋x 22的纵坐标，即有tan x 1＋tan x 22<tan x 1＋x 22成立． 答案：tan x 1＋tan x 22<tan x 1＋x 2213．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，….根据上述规律，第五个等式为________________________．解析：由所给等式可得：等式两边的幂式指数规律明显，底数关系如下： 1＋2＝3,1＋2＋3＝6,1＋2＋3＋4＝10，即左边底数的和等于右边的底数．故第五个等式为： 13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212. 答案：13＋23＋33＋43＋53＋63＝21214．(福建高考)已知集合{a ，b ，c }＝{0,1,2}，且下列三个关系：①a ≠2；②b ＝2；③c ≠0 有且只有一个正确，则100a ＋10b ＋c 等于________．解析：可分下列三种情形：(1)若只有①正确，则a ≠2，b ≠2，c ＝0，所以a ＝b ＝1与集合元素的互异性相矛盾，所以只有①正确是不可能的；(2)若只有②正确，则b ＝2，a ＝2，c ＝0，这与集合元素的互异性相矛盾，所以只有②正确是不可能的；(3)若只有③正确，则c ≠0，a ＝2，b ≠2，所以b ＝0，c ＝1，所以100a ＋10b ＋c ＝100×2＋10×0＋1＝201.答案：201三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)若a 1>0，a 1≠1，a n ＋1＝2a n1＋a n (n ＝1,2，…)．(1)求证：a n ＋1≠a n ；(2)令a 1＝12，写出a 2，a 3，a 4，a 5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式a n .解：(1)证明：采用反证法．假设a n ＋1＝a n ，即2a n1＋a n ＝a n，解得a n ＝0或a n ＝1， 从而a 1＝0或a 1＝1，与题设a 1>0，a 1≠1相矛盾， 故a n ＋1≠a n 成立．(2)a 1＝12，a 2＝23，a 3＝45，a 4＝89，a 5＝1617，猜想：a n ＝2n－12n －1＋1.16．(本小题满分12分)已知△ABC 的三边a ，b ，c 的倒数成等差数列，试分别用综合法和分析法证明B 为锐角．证明：法一(分析法)：要证明B 为锐角，因为B 为三角形的内角，则只需证cos B >0. 又∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，∴只需证明a 2＋c 2－b 2>0. ∴即证a 2＋c 2>b 2.∵a 2＋c 2≥2ac ，∴只需证明2ac >b 2. 由已知2b ＝1a ＋1c，即2ac ＝b (a ＋c )，∴只需证明b (a ＋c )>b 2，即证a ＋c >b 成立，在△ABC 中，最后一个不等式显然成立． ∴B 为锐角．法二(综合法)：由题意得：2b ＝1a ＋1c ＝a ＋cac ，则b ＝2aca ＋c ，b (a ＋c )＝2ac >b 2(∵a ＋c >b )．∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥2ac －b 22ac >0，又y ＝cos x 在(0，π)上单调递减， ∴0<B <π2，即B 为锐角．17．(本小题满分12分)已知a ，b ，c ∈(0,1)． 求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14.证明：假设(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 都大于14.因为0<a <1,0<b <1,0<c <1， 所以1－a >0.由基本不等式，得 (1－a )＋b2≥(1－a )b >14＝12.同理，(1－b )＋c 2>12，(1－c )＋a 2>12. 将这三个不等式两边分别相加，得(1－a )＋b 2＋(1－b )＋c 2＋(1－c )＋a 2>12＋12＋12， 即32>32，这是不成立的， 故(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14.18．(本小题满分14分)是否存在二次函数f (x )，使得对于任意n ∈N ＋，都有12＋22＋32＋…＋n 2n＝f (n )成立，若存在，求出f (x )；若不存在，说明理由．解：假设存在二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，使得对于∀n ∈N ＋，都有12＋22＋32＋…＋n 2n＝f (n )成立．当n ＝1时，a ＋b ＋c ＝1， ① 当n ＝2时，4a ＋2b ＋c ＝12＋222， ②当n ＝3时，9a ＋3b ＋c ＝12＋22＋323， ③联立①②③式得a ＝13，b ＝12，c ＝16，则由以上可假设存在二次函数f (x )＝13x 2＋12x ＋16，使得对于∀n ∈N ＋，都有12＋22＋32＋…＋n 2n＝f (n )成立．下面用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，121＝1，f (1)＝13＋12＋16＝1，所以121＝f (1)成立；(2)假设当n ＝k 时，12＋22＋32＋…＋k 2k ＝f (k )成立，那么，当n ＝k ＋1时， 12＋22＋32＋…＋(k ＋1)2k ＋1＝12＋22＋32＋…＋k 2k ·k k ＋1＋(k ＋1)＝f (k )·kk ＋1＋(k ＋1)＝⎝⎛⎭⎫13k 2＋12k ＋16·k k ＋1＋(k ＋1) ＝(k ＋1)(2k ＋1)6·kk ＋1＋(k ＋1)＝k (2k ＋1)6＋(k ＋1) ＝k 23＋76k ＋1 ＝13(k ＋1)2＋12(k ＋1)＋16 ＝f (k ＋1)，故当n ＝k ＋1时，12＋22＋32＋…＋(k ＋1)2k ＋1＝f (k ＋1)也成立．由(1)(2)知，对于∀n ∈N ＋，12＋22＋32＋…＋n 2n＝f (n )都成立．即存在二次函数f (x )＝13x 2＋12x ＋16，使得对于∀n ∈N ＋，都有12＋22＋32＋…＋n 2n ＝f (n )成立．。
[对应学生用书P25]一、导数的概念1．函数在点x0处的导数f′(x0)＝li mΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx，Δx是自变量x在x0附近的改变量，它可正、可负，但不可为零，f′(x0)是一个常数．2．导函数f′(x)＝li mΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx，f′(x)为f(x)的导函数，不是一个常数．二、导数的几何意义1．f′(x0)是函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率，这是导数的几何意义．2．求切线方程常见的类型有两种：一是函数y＝f(x)“在点x＝x0处的切线方程”，这种类型中(x0，f(x0))是曲线上的点，其切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．二是函数y＝f(x)“过某点的切线方程”，这种类型中，该点不一定为切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)，又y1＝f(x1)，由上面两个方程可解得x1，y1的值，即求出了过点P(x0，y0)的切线方程．三、导数的运算1．基本初等函数的导数(1)f(x)＝c，则f′(x)＝0；(2)f(x)＝xα，则f′(x)＝α·xα－1；(3)f(x)＝a x(a>0且a≠1)，则f′(x)＝a x ln a；(4)f(x)＝log a x，则f′(x)＝1x ln a；(5)f(x)＝sin x，则f′(x)＝cos x；(6)f(x)＝cos x，则f′(x)＝－sin x；(7)f(x)＝tan x，则f′(x)＝1cos2x；(8)f(x)＝cot x，则f′(x)＝－1 sin2x.2．导数四则运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；(2)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x ). 3．复合函数的求导法则设复合函数μ＝g (x )在点x 处可导，y ＝f (μ)在点μ处可导，则复合函数f (g (x ))在点x 处可导，且f ′(x )＝f ′(μ)·g ′(x )，即y x ′＝y μ′·μx ′.利用复合函数求导法则求导后，要把中间变量换成自变量．⎣⎢⎡⎦⎥⎤对应阶段质量检测(二) 见8开试卷 (时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知函数f (x )＝1x 2，则f ′⎝⎛⎭⎫12＝( ) A ．－14B ．－18C ．－8D.－16解析：∵f ′(x )＝(x －2)′＝－2x －3， ∴f ′⎝⎛⎭⎫12＝－2×⎝⎛⎭⎫12－3＝－16. 答案：D2．若曲线f (x )＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1 D.a ＝－1，b ＝－1解析：由f ′(x )＝2x ＋a ，得f ′(0)＝a ＝1，将(0，b )代入切线方程得b ＝1，故选A. 答案：A3．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是( )A ．在点x ＝x 0处的函数值B ．在点(x 0，f (x 0))处的切线与x 轴所夹锐角的正切值C ．曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率D ．点(x 0，f (x 0))与点(0,0)连线的斜率答案：C4．若f (x )＝sin α－cos x ，则f ′(x )＝( )A ．sin xB ．cos xC ．cos α＋sin x D.2sin α＋cos x解析：函数是关于x 的函数，因此sin α是一个常数．答案：A5．曲线y ＝x ＋13x 3在点⎝⎛⎭⎫1，43处的切线和坐标轴围成的三角形的面积为( ) A ．3B ．2 C.13 D.19解析：y ′＝1＋x 2，故切线的斜率k ＝f ′(1)＝2，又切线过点⎝⎛⎭⎫1，43，∴切线方程为y －43＝2(x －1)， 即y ＝2x －23， 切线和x 轴，y 轴交点为⎝⎛⎭⎫13，0，⎝⎛⎭⎫0，－23. 故所求三角形的面积＝12×13×23＝19，故选D. 答案：D6．函数f (x )＝x sin x 的导函数f ′(x )在区间[－π，π]上的图像大致为( )解析：∵f (x )＝x sin x ，∴f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，∴f ′(－x )＝－sin x －x cos x ＝－f ′(x )，∴f ′(x )为奇函数，由此可排除A ，B ，D ，故选C.答案：C7．若f (x )＝log 3(2x －1)，则f ′(3)＝( )A.23B ．2ln 3 C.23ln 3 D.25ln 3解析：∵f ′(x )＝2(2x －1)ln 3，∴f ′(3)＝25ln 3. 答案：D8．若函数f (x )满足f (x )＝13x 3－f ′(1)·x 2－x ，则f ′(1)的值为( ) A ．0 B ．2C ．1D.－1解析：f ′(x )＝x 2－2f ′(1)x －1， 所以f ′(1)＝1－2f ′(1)－1，则f ′(1)＝0.答案：A9．函数y ＝x 2＋a 2x(a >0)在x ＝x 0处的导数为0，那么x 0＝( ) A ．aB ．±aC ．－a D.a 2解析：因为y ′＝(x 2＋a 2)′x －x ′(x 2＋a 2)x 2＝2x 2－a 2－x 2x 2＝x 2－a 2x 2，所以x 20－a 2＝0，解得x 0＝±a .答案：B10．若函数f (x )＝－1be ax (a >0，b >0)的图像在x ＝0处的切线与圆x 2＋y 2＝1相切，则a ＋b 的最大值是( )A ．4B ．2 2C ．2 D. 2解析：函数的导数为f ′(x )＝－1be ax ·a ， 所以f ′(0)＝－1b e 0·a ＝－a b， 即在x ＝0处的切线斜率k ＝－a b， 又f (0)＝－1b e 0＝－1b，所以切点为⎝⎛⎭⎫0，－1b ， 所以切线方程为y ＋1b ＝－a bx ，即ax ＋by ＋1＝0. 圆心到直线ax ＋bx ＋1＝0的距离d ＝1a 2＋b 2＝1， 即a 2＋b 2＝1，所以a 2＋b 2＝1≥2ab ，即0<ab ≤12. 又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1，所以(a ＋b )2＝2ab ＋1≤1＋1＝2，即a ＋b ≤2，所以a ＋b 的最大值是2，选D.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)11．若f (x )＝log 3(x －1)，则f ′(2)＝________.解析：∵f (x )＝log 3(x －1)，∴f ′(x )＝[log 3(x －1)]′＝1(x －1)ln 3， ∴f ′(2)＝1ln 3. 答案：1ln 312．已知0<x <14，f (x )＝x 2，g (x )＝x ，则f ′(x )与g ′(x )的大小关系是____________． 解析：由题意，得f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝12x. 由0<x <14，知0<f ′(x )<12，g ′(x )>1， 故f ′(x )<g ′(x )．答案：f ′(x )<g ′(x )13．已知函数f (x )＝x －1x ＋a＋ln(x ＋1)，其中实数a ≠－1.若a ＝2，则曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为________________．解析：f ′(x )＝x ＋a －(x －1)(x ＋a )2＋1x ＋1＝a ＋1(x ＋a )2＋1x ＋1.当a ＝2时，f ′(0)＝2＋1(0＋2)2＋10＋1＝74，而f (0)＝－12，因此曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y －⎝⎛⎭⎫－12＝74(x －0)，即7x －4y －2＝0.答案：7x －4y －2＝014．曲线y ＝f (x )＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是________．解析：f ′(x )＝22x －1，由22x －1＝2，得x ＝1，又f (1)＝0，所以与直线2x －y ＋3＝0平行的切线的方程为y ＝2(x －1)，则两直线间的距离，即曲线上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离为d ＝|3＋2|5＝ 5. 答案： 5三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)求下列函数的导数：(1)y ＝sin x ＋1x； (2)y ＝(x 2＋2)(3x －1)；(3)y ＝x ·e －x ；(4)y ＝12sin 2x . 解：(1)y ′＝(sin x )′＋⎝⎛⎭⎫1x ′＝cos x －1x 2. (2)y ′＝(x 2＋2)′(3x －1)＋(x 2＋2)(3x －1)′＝2x (3x －1)＋3(x 2＋2)＝9x 2－2x ＋6.(3)y ′＝x ′·e －x ＋x ·(e －x )′ ＝e －x －x e －x ＝(1－x )e －x . (4)y ′＝12(sin 2x )′＝12×2·cos 2x ＝cos 2x . 16．(本小题满分12分)求满足下列条件的函数f (x )．(1)f (x )是三次函数，且f (0)＝3，f ′(0)＝0，f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0；(2)f (x )是二次函数，且x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1.解：(1)由题意设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .由已知⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＝d ＝3，f ′(0)＝c ＝0，f ′(1)＝3a ＋2b ＋c ＝－3，f ′(2)＝12a ＋4b ＋c ＝0，解得a ＝1，b ＝－3，c ＝0，d ＝3，故f (x )＝x 3－3x 2＋3.(2)由题意设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b .所以x 2(2ax ＋b )－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c )＝1，化简得(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c ＝1，此式对任意x 都成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ，b ＝2c ，c ＝1，解得a ＝2，b ＝2，c ＝1，即f (x )＝2x 2＋2x ＋1.17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝13x 3＋3xf ′(a )(其中a ∈R )，且f (a )＝76，求： (1)f (x )的表达式；(2)曲线y ＝f (x )在x ＝a 处的切线方程．解：(1)f ′(x )＝x 2＋3f ′(a )，于是有f ′(a )＝a 2＋3f ′(a )⇒f ′(a )＝－a 22， ∴f (x )＝13x 3－3a 22x ， 又f (a )＝76，即13a 3－32a 3＝76⇒a ＝－1， f (x )＝13x 3－32x ； (2)由(1)知切点为⎝⎛⎭⎫－1，76， 切线的斜率f ′(a )＝－12， ∴切线方程为y －76＝－12(x ＋1)， 即3x ＋6y －4＝0.18．(本小题满分14分)设函数f (x )＝ax ＋1x ＋b(a ，b ∈Z )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝3.(1)求f (x )的解析式；(2)求曲线y ＝f (x )在点(3，f (3))处的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围三角形的面积． 解：(1)f ′(x )＝a －1(x ＋b )2， 于是⎩⎨⎧ 2a ＋12＋b ＝3，a －1(2＋b )2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－1或⎩⎨⎧ a ＝94，b ＝－83.因为a ，b ∈Z ，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，即f (x )＝x ＋1x －1. (2)由(1)知当x ＝3时，f (3)＝72， f ′(x )＝1－1(x －1)2，f ′(3)＝1－1(3－1)2＝34， 过点⎝⎛⎭⎫3，72的切线方程为y －72＝34(x －3)， 即3x －4y ＋5＝0.切线与直线x ＝1的交点为(1,2)，切线与直线y ＝x 的交点为(5,5)，直线x ＝1与直线y ＝x 的交点为(1,1)．从而所围三角形的面积为12×|5－1|×|2－1|＝2.。
[对应学生用书P44]一、定积分 1．定积分的概念：⎠⎛a bf (x )d x 叫函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分．2．定积分的几何意义：当f (x )≥0时，⎠⎛a bf (x )d x 表示的是 y ＝f (x )与直线x ＝a ，x ＝b 和x 轴所围成的曲边梯形的面积．3．定积分的性质： (1)∫b a 1d x ＝b －a . (2)⎠⎛a bkf (x )d x ＝k ⎠⎛a b f (x )d x .(3)⎠⎛a b [f (x )±g (x )]d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ±⎠⎛a bg (x )d x .(4)⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛a cf (x )d x ＋⎠⎛c bf (x )d x .定积分的几何意义和性质相结合求定积分是常见类型，多用于被积函数的原函数不易求，且被积函数是熟知的图形．二、微积分基本定理1．如果连续函数f (x )是函数F (x )的导函数，即f (x )＝F ′(x )，则⎠⎛a bf (x )d x ＝F (x )| b a ＝F (b )－F (a )．2．利用微积分基本定理求定积分，其关键是找出被积函数的一个原函数．求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆运算，因此，应熟练掌握一些常见函数的导数公式．三、定积分的简单应用定积分的应用在于求平面图形的面积及简单旋转几何体的体积，解题步骤为： ①画出图形．②确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限．③确定被积函数．④写出平面图形面积或旋转体体积的定积分表达式．⑤运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积或旋转几何体的体积．⎣⎢⎡⎦⎥⎤对应阶段质量检测(四) 见8开试卷 (时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知∫b a f (x )d x ＝m ，则∫ba nf (x )d x ＝( )A ．m ＋nB ．m －nC ．mnD.m n解析：根据定积分的性质，∫b a nf (x )d x ＝n ∫b a f (x )d x ＝mn .答案：C2.∫10(e x ＋2x )d x 等于( )A ．1B ．e －1C ．eD.e ＋1解析：∫10(e x ＋2x )d x ＝(e x ＋x 2)⎪⎪⎪1＝(e 1＋1)－e 0＝e ，故选C. 答案：C3．若∫k 0(2x －3x 2)d x ＝0，则k 等于( )A ．0B ．1C ．0或1D.不确定解析：∫k 0(2x －3x 2)d x ＝(x 2－x 3)⎪⎪⎪k＝k 2－k 3＝0，∴k ＝0(舍去)或k ＝1，故选B. 答案：B4．(江西高考)若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13C.13D.1解析：∵f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，∴⎠⎛01f (x )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋2x ⎠⎛01f (x )d x 10＝13＋2⎠⎛01f (x )d x . ∴⎠⎛01f (x )d x ＝－13. 答案：B5．已知f (x )为偶函数且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛-66f (x )d x ＝( ) A ．0 B ．4 C ．8D.16解析：∵f (x )为偶函数，∴其图像关于y 轴对称， ∴⎠⎛-66f (x )d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝16. 答案：D6．从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为( )A.12B.13C.14D.15解析：根据题意得S 阴影＝∫103x 2d x ＝x 3⎪⎪⎪1＝1，则点M 取自阴影部分的概率为S 阴影S 长方形＝13×1＝13. 答案：B7．由y ＝－x 2与直线y ＝2x －3围成的图形的面积是( ) A.53 B.323C.643D.9解析：解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，y ＝2x －3，得交点A (－3，－9)，B (1，－1)．则y ＝－x 2与直线y ＝2x －3围成的图形的面积S ＝∫1－3(－x 2)d x －∫1－3(2x －3)d x＝－13x 3| 1－3－(x 2－3x ) |1－3＝323. 答案：B8．由曲线y ＝x ，x ＝4和x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转生成的旋转体的体积为( ) A ．16π B ．32π C ．8πD.4π解析：由图知旋转体的体积为π∫40(x )2d x ＝π2x 2 |4＝8π.答案：C9．已知自由落体运动的速率v ＝gt ，则落体运动从t ＝0到t ＝t 0所走的路程为( ) A ．gt 20B.gt 203C.gt 202D.gt 206解析：s ＝∫t 00v (t )d t ＝12gt 2 |t 00＝12gt 20.答案：C10．如图，两曲线y ＝3－x 2与y ＝x 2－2x －1所围成的图形面积是()A ．6B ．9C ．12D.3解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3－x 2，y ＝x 2－2x －1， 解得交点(－1,2)，(2，－1)，所以S ＝∫2－1[(3－x 2)－(x 2－2x －1)]d x ＝∫2－1(－2x 2＋2x ＋4)d x＝⎝⎛⎭⎫－23x 3＋x 2＋4x ⎪⎪⎪2－1＝9. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)11. ⎠⎜⎛0π3cos x d x ＝________.解析：⎠⎜⎛0π3cos x d x ＝sin x ⎪⎪⎪⎪π30＝32.答案：3212．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若∫10f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．解析：∫10f (x )d x ＝∫10(ax 2＋c )d x ＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋cx |10＝a 3＋c ＝ax 20＋c ， 则x 0＝33. 答案：3313．有一横截面面积为4 cm 2的水管控制往外流水，打开水管后t s 末的流速为v (t )＝6t －t 2(单位：cm/s)(0≤t ≤6)．则t ＝0到t ＝6这段时间内流出的水量为________cm 3.解析：由题意可得t ＝0到t ＝6这段时间内流出的水量V ＝∫604(6t －t 2)d t ＝4∫60(6t －t 2)d t＝4⎝⎛⎭⎫3t 2－13t 3⎪⎪⎪60＝144(cm 3)． 答案：14414．已知函数y ＝f (x )的图像是折线段ABC ，其中A (0,0)，B ⎝⎛⎭⎫12，5，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图像与x 轴围成的图形的面积为________．解析：由题意可得f (x )＝⎩⎨⎧10x ，0≤x ≤12，10－10x ，12<x ≤1，所以y ＝xf (x )＝⎩⎨⎧10x 2，0≤x ≤12，10x －10x 2，12<x ≤1.与x 轴围成的图形的面积为⎠⎜⎛0 1210x 2d x ＋⎠⎜⎛112(10x －10x 2)d x ＝103x 3⎪⎪⎪⎪ 120＋⎝⎛⎭⎫5x 2－103x 3⎪⎪⎪⎪112＝54.答案：54三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)求由曲线y ＝x 2＋2与直线y ＝3x ，x ＝0，x ＝2所围成的平面图形的面积．解：S ＝⎠⎛01(x 2＋2－3x )d x ＋⎠⎛12(3x －x 2－2)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－32x 2＋2x |10＋⎝⎛⎭⎫－13x 3＋32x 2－2x |21 ＝⎝⎛⎭⎫13－32＋2＋⎝⎛⎭⎫－13×8＋32×4－4－⎝⎛⎭⎫－13＋32－2 ＝56－23＋56＝53－23＝1. 16．(本小题满分12分)如图，求由曲线y ＝－x 2,4y ＝－x 2及直线y ＝－1所围图形的面积．解：由图形的对称性知，所求图形面积为位于y 轴右侧图形面积的2倍．法一：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，y ＝－1，得C (1，－1)．同理得D (2，－1)．则所求图形的面积S ＝2⎩⎨⎧⎭⎬⎫∫10⎣⎡⎦⎤－x 24－(－x 2)d x ＋∫21⎣⎡⎦⎤－x 24－(－1)d x ＝2⎝⎛⎭⎫∫103x 24d x －∫21x 24d x ＋∫21d x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 34⎪⎪⎪10－x 312⎪⎪⎪ 21＋x ⎪⎪⎪21＝43.法二：同法一得C (1，－1)，D (2，－1)．则所求图形的面积为S ＝2∫0－1(2－y －－y )d y＝2∫0－1－y d y ＝2×⎝⎛⎭⎫－23×(－y )32⎪⎪⎪－1＝43. 17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x －1，直线l 1：x ＝1，l 2：y ＝e t －1(t 为常数，且0≤t ≤1)，直线l 1，l 2与函数f (x )的图像围成的封闭图形，以及直线l 2，y 轴与函数f (x )的图像围成的封闭图形如图中阴影部分所示．求当t 变化时，阴影部分的面积的最小值．解：依题意知，阴影部分的面积S ＝∫t 0(e t －1－e x ＋1)d x ＋∫1t (e x －1－e t＋1)d x ＝∫t 0(e t －e x )d x ＋∫1t (e x －e t )d x＝(x e t－e x)⎪⎪⎪t0＋(e x －x e t )⎪⎪⎪1t＝(2t －3)e t ＋e ＋1，令g (t )＝(2t －3)e t ＋e ＋1(0≤t ≤1)， 则g ′(t )＝(2t －1)e t ， 取g ′(t )＝0，解得t ＝12.当t ∈⎣⎡⎭⎫0，12时，g ′(t )<0，g (t )是减函数； 当t ∈⎝⎛⎦⎤12，1时，g ′(t )>0，g (t )是增函数． 因此g (t )的最小值为g ⎝⎛⎭⎫12＝e ＋1－2e 12＝(e －1)2， 故阴影部分的面积的最小值为(e －1)2.18．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝13x 3＋12ax 2＋bx ，f ′(x )是函数f (x )的导数．在区间[－1,1]内任取实数a ，b ，求方程f ′(x )＝0有实数根的概率．解：f ′(x )＝x 2＋ax ＋b .若方程f ′(x )＝0，即x 2＋ax ＋b ＝0有实数根，则Δ≥0，即a 2≥4b ， 因此方程f ′(x )＝0有实数根的条件是⎩⎪⎨⎪⎧－1≤a ≤1，－1≤b ≤1，a 2≥4b ，满足此不等式组的点P (a ，b )形成的图形为图中阴影部分，其面积为S 1＝∫1－1⎣⎡⎦⎤a24－(－1)d a ＝∫1－1⎝⎛⎭⎫a24＋1d a ＝a 312 |1－1＋2＝136. 而坐标满足条件－1≤a ≤1，－1≤b ≤1的点形成的图形的面积S ＝4，根据几何概型的概率公式可知，方程f ′(x )＝0有实数根的概率为P ＝S 1S ＝1324.。
