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凯里一中2018-2019学年度第二学期开学考试高二数学（文）参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）二、填空题（每小题5分，共计20分）13、 10- 14、8 15、72 16、12三、解答题17、解：)3cos(sin 4)(π+=x x x f)sin 23cos 21(sin 4x x x -= 22cos 1322sin xx -⨯-= 3)32sin(2-+=πx（I ）ππ==22T ………………………………………… 5分（II ）03)3sin(2)2(=-+=πααf23)3sin(=+∴πα 20πα<<6533ππαπ<+<∴323ππα=+∴ 3πα=∴ ……………………………………….……………….. 10分题号 123456789101112答案A C D CB A B D D DC C18．解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d 又因为32,1236-=-=a a S S⎩⎨⎧-=++-=+∴32)33(1561111a d a d a d a 1,21-==∴d a3)1()1(2+-=-⨯-+=∴n n a n ……………………………………………………………6分（II ）由3+-=n a n 代入()n b a n n 14-=⋅-得()11+=n n b n ，即得 ： 111+-=n n b n设数列{}n b 的前n 项和为nTnn n b b b b T +⋅⋅⋅++=-121()()1111321211++-+⋅⋅⋅+⨯+⨯=∴n n n n T n 11111111113121211+=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n n n n n T n ……………… 12分 19、解：证明：（Ⅰ） 连接EF PO EF AC OB ⊥∴⊥,,设32,2,60,4,==∴=∠===AG BG DAB AD AB G BD AC10,7,3===∴PB BO PO BO PO PB BO PO ⊥∴=+∴,222ABFED EF BO O EF BO 平面⊂=,,ABFED PO 平面⊥ ……………………………………….6分（Ⅰ） 由题易知4,10===BD PB PD ， 求出等腰三角形PBD 底边BD 边上的高为6=d62642121=⨯⨯=⋅=∴∆d BD S PBD3460sin 21=︒⋅⋅=∆AD AB S ABD 设A 到面PBD 的距离为h66231334313131=∴⋅=⋅∴⋅=⋅⇒=∆∆--h hhS PO S V V PBD ABD PBD A ABD P ……………………………………….12分 20、解：（I ） 由401200050= 所以甲类工人抽查人数为：20401800=⨯乙类工人抽查人数为：304011200=⨯，所以8,3==b a 8120595885375265255=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=甲x74302955851375865255=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=乙x所以甲类工人生产能力的平均数与乙类工人生产能力的平均数的估计值分别为74,81…6分 （II ）甲类工人生产能手5人，记为E D C B A ,,,,，乙类工人生产能手2人，记为b a , 从中选人，则所有的结果如下表()B A , ()C A , ()D A , ()E A , ()a A , ()b A , ()C B , ()D B , ()E B , ()a B , ()b B , ()D C , ()E C , ()a C , ()b C ,()E D ,()a D ,()b D ,()a E ,()b E ,()b a ,记事件1A 为 “这两名生产能手来自不同类型”则，基本事件总数为21，事件1A 发生的基本事件数为21 所以2110)(1=A P ………………………………………………………………………………….12分21、 解:（1）2,2,0)(),2(3)(212=-=='-='x x x f x x f 得令∴当22()0;22,()0x x f x x f x ''<->>-<<<或时,当时，∴)(x f 的单调递增区间是(,2)(2,)-∞-+∞和，单调递减区间是)2,2(-……4分 (2)由（1）可知当245)(,2+-=有极大值x f x ； 当245)(,2-=有极小值x f x .由 )(x f y =图象的大致形状及走向（图略）易知当a 取到极值时满足()f x a =有两解. ∴245±=a …………………………………………8分 （3）)1()5)(1()1()(2-≥-+--≥x k x x x x k x f 即 ∵),1(5,12+∞-+≤∴>在x x k x 上恒成立.令5)(2-+=x x x g ，由二次函数的性质，),1()(+∞在x g 上是增函数，∴,3)1()(-=>g x g ∴所求k 的取值范围是3-≤k ……………………………………12分22、解:（I ）⎩⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+==13,326222b a c b a ab a c 解得由已知得： ∴椭圆方程为13:22=+y x C ………………………………………….5分 （II ）当直线l 斜率不存在时，4332321,3,23:=⨯⨯==±=∆OPQ S PQ x l 当直线l 斜率为0时，4332321,3,23:=⨯⨯==±=∆OPQ S PQ y l 当直线l 斜率不存在且不为0时，设),(),,(,:2211y x Q y x P m kx y l +=由0336)313322222=-+++⎩⎨⎧=++=m kmx x k y x mkx y 得（ 2221221223133,316,0123612k m x x k km x x k m +-=+-=+>++-=∆)1(43,231222+=∴=+k m k m2122124)(1x x x x k PQ -+⋅+=169123612124222++++-⋅+=k k k m k169330272424++++=k k k k 261912322≤+++=kk当且仅当312=k 取到等号 当01,3122>∆==满足m k ,2323221(=⨯⨯=∆最大值）OPQ S综上23(=∆最大值）OPQ S ························································ 12分。
是输入x 否x≤2？开始凯里一中2015—2016学年度第二学期入学考试高二文科数学试卷注意事项：1. 本试卷共150分，考试时间120分钟。
2. 答卷前，考生务必在答题卡上相应的位置准确填写自己的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在指定位置。
3．选择题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号按要求涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
非选择题用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题：（本大题共12小题, 每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的）1． 已知集合}4,3,2{=A ，}5,4,3{=B ,则B A ⋂= ( ) A. }3{ B. }4,3{ C. }4,3,2{ D. }5,4,3,2{2. 18cos22-π=（ ）A.21 B. 21- C. 22- D.22 3. 函数()2xf x x =+的零点所在的一个区间是（ ）A ．(1,2)B ．(0,1)C ．(1,0)-D ．(2,1)--4. 已知数列{}n a 是公比为2的等比数列，若416a =，则1a = ( ) A. 1 B. 2 C. 3D. 435. 曲线x x y +=ln 在点（1,)1(f ）处的切线方程为( ) A. 12-=x y B. 1y x =-+ C. 1y x =- D. 22y x =-+6． 双曲线221916x y -=的渐近线方程为 ( ) A. 169y x =± B. 916y x =± C. 34y x =±D. 43y x =±7. 设a R ∈,则1a >是11a<的 （ ）A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8． 将函数)42sin()(π-=x x f 图象上的所有点向左平移4π个单位长度，则所得图象的函数解析式 是（ ） A. )4sin(π-=x y B. )4cos(π+=x y C. )42sin(π+=x yD. )42cos(π-=x y9．如图（1）一个边长为4的正方形及其内切圆，若随机向正方形内丢一粒豆子，则豆子落入圆内的概率是（ ）图（1）A.8π B. 2π C. 4πD. π 10．执行图（2）所示的程序框图，若输入的x 值为14，则输出的y 的值为（ ）A ．2B ．-2C ．12D ．42 11．如图，有一个几何体的三视图及其尺寸（单位：cm ）则该几何体的表面积和体积分别为 ( ) A ．224cm π ，312cm πB ．215cm π，312cm πC ．224cm π，336cm πD ． (24+9π)cm 2，36πcm 212. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x ,过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M ，N 两点，O 为坐标原点， 若ON OM ⊥,则双曲线的离心率为 ( ) A.132-+ 错误!未找到引用源。
贵州省凯里市第一中学2018届高三数学下学期开学（第一次模拟）考试试题 理第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{|lg(1)0}M x x =-<，2{|230}N x x x =-≤，则M N = （ ） A ．3(0,]2 B ．3(1,]2 C ．3[,2)2D ．(1,2) 2.已知i 是虚数单位，且224(1)iz i +=+，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.据新闻报道，因永冻土层融化，进水，位于挪威北部的“末日种子库”进水.为了解其中的种子是否受到影响，专家先随机从中抽取10种不同的种子（包括,,A B C ）进行检测，若专家计划从这10种种子中随机选取3种进行试种，则其中至少包含,,A B C 中之一的概率为（ ） A ．532 B ．1724 C ．712 D ．154.已知4πα-的终边上有一点(1,2)-，则tan 2α=（ ）A ．-2B ．-3 C.13- D ．34-5.已知函数()f x =4(log )f a a 的取值范围是（ ）A ．1(,1)3B ．1(0,)4C.11(,)43D ．1(,2)26.已知某几何体是两个正四棱锥的组合体，其三视图如下图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）A ．2π B． C. 4π D ．8π7.已知实数,x y 满足不等式组220100x y x y y ++≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则3||2z x y =-的最大值为（ ）A ．0B ．3 C.9 D ．118.公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米.当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟.根据这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为210-米时，乌龟爬行的总距离为（ ）A ．410190--B ．5101900-- C.510990-- D ．4109900--9.如图所示的程序框图，若输出的结果为4，则输入的实数x 的取值范围是（ ）A ．18[,)279-B ．81[,)927- C. 1[2,)9- D ．1[,2)9- 10.函数21()44f x x x=-的大致图像为（ ）A ．B ．C. D ．11.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为A ，与另外一条渐近线交于点B ，若||2AB a =，则ba=（ ） A ．2 B ．12D12.在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，点,D E 在线段BC 上，2AB BD =，BAD DAE CAE θ∠=∠=∠=，若EC ，则E 到AC 的距离为（ ）A ．1 B．2C. 25 D．2第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上.）13.已知向量,a b 的夹角为θ，且1a b ⋅=- ，(1,2)a =-，||b =tan θ= ．14.多项式1(21)n x x-+展开式中所有项的系数之和为64，则该展开式中的常数项为 ．15.已知函数20()12x x f x x x -⎧≥⎪=+⎨⎪<⎩，则不等式2(2)(2)f x x f x -<的解集为 ．16.已知椭圆22132x y C +=：的左，右焦点分别为12,F F ，直线:1l y kx =+与椭圆C 交于,A B两点，给出下列结论：①若12//F A F B ，则1k =±；②1F A 与2F B 不可能平行；③若12AF AF ⊥，则2k =±；④1AF 与2AF 不可能垂直.其中正确结论的序号为 （请把正确结论的序号全部填写在横线上）．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知{}n a 的前n 项和为12n n S m +=+，且145,,2a a a -成等差数列. （1）求{}n a 的通项公式； （2）若1(1)(1)nn n n a b a a +=--，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.第三届移动互联创新大赛，于2017年3月～10月期间举行，为了选出优秀选手，某高校先在计算机科学系选出一种子选手A ，再从全校征集出3位志愿者分别与A 进行一场技术对抗赛，根据以往经验，A 与这三位志愿者进行比赛一场获胜的概率分别为332,,453，且各场输赢互不影响.（1）求甲恰好获胜两场的概率； （2）求甲获胜场数的分布列与数学期望.19.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，//AD BC ，36AD BC ==，PB =M 在线段AD 上，且4MD =，AD AB ⊥，PA ⊥平面ABCD.（1）求证：平面PCM ⊥平面PAD ；（2）当四棱锥P ABCD -的体积最大时，求平面PCM 与平面PCD 所成二面角的余弦值. 20.过圆22:4O x y +=上的点1)M -作圆O 的切线，过点作切线的垂线l ，若直线l 过抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点F . （1）求直线l 与抛物线E 的方程；（2）直线12y k x =+与抛物线E 交于,A B ，直线2y k x m =+与抛物线交于,C D 且AC 与BD 交于点(0,1)，求12k k 的值. 21.已知1()2ln(21)ln(21)f x x x x mx e=----+. （1）若方程()0f x =在231(,)52e +上有实数根，求实数m 的取值范围； （2）若()yf x =在3[1,]2上的最小值为14e-+，求实数m 的值. 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号. 22.选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为12x m t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（其中t 为参数，m 为常数），以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=，直线l 与曲线C 交于点,A B 两点. （1）若||2AB =，求实数m 的值； （2）若1m =，点P 坐标为(1,0)，求11||||PA PB +的值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|1||23|f x mx x =++-.（1）当2m =时，若()4f x =，求x 的取值范围；（2）若228(1)a f a+≤对任意正实数a 恒成立，求实数m 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:BABDB 6-10:DCBAA 11、12：CC 二、填空题13.-3 14.141 15. (,0)(4,)-∞+∞ 16. ②④ 三、解答题17.解：（1）由条件可得114a S m ==+， 当2n ≥时，12n n n n a S S -=-=，由145,,2a a a -成等差数列可得41522a a a =+-， 即4522422m ⨯=++-， 解之得2m -，故2(*)n n a n N =∈.（2）1(1)(1)n n n n a b a a +==--11211(21)(21)2121n n n n n ++=-----， 故223111(1)()212121n T =-+-+---111()2121n n ++--- ， 即11121n n T +=--.18.解：（1）设甲与三位志愿者比赛一场获胜的事件分别为,,A B C ， 则3()4P A =，3()5P B =，2()3P C =， 则甲恰好获胜两场的概率为：()()()P P ABC P ABC P ABC =++()()()()()()P A P B P C P A P B P C =⋅⋅+⋅⋅()()()P A P B P C +⋅⋅33233(1)(1)45345=-⋅⋅+⋅-23329(1)345320⋅+⋅⋅-=；（2）设甲获胜场次为X ，则X 的可能取值为：0，1，2，3，则(0)()P X P ABC ==()()()P A P B P C =⋅⋅3321(1)(1)(1)45330=---=， (1)()()()P X P ABC P ABC P ABC ==++()()()P A P B P C =⋅⋅+()()()P A P B P C ⋅⋅+()()()P A P B P C ⋅⋅332(1)(1)453=⋅-⋅-332(1)(1)453+-⋅⋅-+33213(1)(1)45360-⋅-⋅=； 9(2)20P X ==；(3)()P X P ABC ==()()()P A P B P C =⋅⋅322345310=⋅⋅=.∴X 的分布列为：∴X 的数学期望为：113013060EX =⨯+⨯+9312123201060⨯+⨯=. 19.解：（1）由6,4AD DM ==可得2AM =， 易得四边形ABCM 是矩形，∴CM AD ⊥，又PA ⊥平面ABCD ，CM ⊂平面ABCD ，∴PA CM ⊥， 又PM AD M = ，,PM AD ⊂平面PAD ，∴CM ⊥平面PAD ， 又CM ⊂平面PCM ，∴平面PCM ⊥平面PAD （2）四棱锥P ABCD -的体积为114()323V AD BC AB PA AB PA =⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅， 要使四棱锥P ABCD -的体积取最大值，只需AB PA ⋅取得最大值. 由条件可得22272PA AB PB +==， ∴722PA AB ≥⋅，即36PA AB ⋅≤，当且仅当6PA AB ==时，PA AB ⋅取得最大值36.分别以,,AP AB AD 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -.则(6,0,0)P ，(0,6,2)C ，(0,0,6)D ，(0,0,2)M ，(6,6,2)PC =- ，(6,0,6)PD =- ，(6,0,2)PM =-，设平面PCD 的一个法向量为1111(,,)n x y z = ，由10n PC ⋅= ，10n PD ⋅=可得 111116620660x y z x z -++=⎧⎨-+=⎩，令12y =可得1(3,2,3)n = ， 同理可得平面PCM 的一个法向量为2(1,0,3)n =，设平面PCM 与平面PCD 所成二面角为θ，1212cos ||||||n n n n θ⋅===⋅ . 由于平面PCM 与平面PCD. 20.解：（1）过点M 且与圆O4y -=，l的斜率为-l的方程为：2y x -=-，即0x -=.令0x =，可得3y =，故F 的坐标为(0,3)，∴6p =，抛物线E 的方程为212x y =；（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ， 由12212y k x x y=+⎧⎨=⎩可得2112240x k x --=，则12112x x k +=，1224x x =-，同理，由,AB CD 过点(0,1)可得132412x x x x ==-， ∴3112x x =-，4212x x =-，43243y y k x x -=-22343443121212x x x x x x -+===-12121121212121224x x x x k x x --+=-=--， ∴122k k =. 21.解：（1）方程()0f x =可化为12ln(21)ln(21)x x x mx e---=-， 令()2ln(21)ln(21)g x x x x =---，则'()2ln(21)g x x =-+422ln(21)22121x x x x -=-+--， 由'()0g x >可得12e x e +>，由'()0g x <可得1122e x e+<<，∴()g x 在11(,)22e e +上单调递减，在1(,)2e e++∞上单调递增， ∴()g x 的极小值为11()2e g e e +=-，而3ln 5()55g =-，221()22e g e +=， 要使方程()0f x =在231(,)52e +上有实数根， 只需使得函数()y g x =与1y mx e =-在231(,)52e +有交点， ∵点1(0,)e -与221(,2)2e e +连线的斜率为3342e e e++，点1(0,)e -与3ln 5(,)55-连线的斜率为5ln 53e e -，且33425ln 53e e e e e +->+，∴结合图像可得33420e m e e+≤<+时，函数()y g x =与1y mx e =-有交点.∴方程()0f x =在231(,)52e +上有实数根时，实数m 的取值范围是3342[0,)e e e++ （2）由1()2ln(21)ln(21)f x x x x mx e=----+可得'()2ln(21)2f x x m =--+， ①若ln 22m ≥+，则'()0f x ≤在3[1,]2上恒成立，即()f x 在3[1,]2单调递减，则()f x 的最小值为3311()2ln 2422m f e e =-+=-+，故4(ln 22)3m +=，满足ln 22m ≥+；②若2m ≤，则'()0f x ≥在3[1,]2上恒成立，即'()f x 在3[1,]2单调递增， 则()f x 的最小值为11(1)4f m e e=-+=-+，故4m =，不满足2m ≤，舍去； ③若2ln 22m <<+，则221[1,)2m ex -+∈时，'()0f x <；2213(,]22m e x -+∈时，'()0f x >. ∴()f x 在221[1,)2m e-+上单调递减，在2213(,]22m e-+上单调递增， ∴()f x 的最小值为221()2m ef -+221142m m e e e -=--+=-+，即2242m me -+=. 令22()2m m h m e-=+，则221'()(1)02m h m e -=+>， ∴()h m 在(2,ln 22)+上单调递增，∴(2)()(ln 22)h h m h <<+，ln 22()12h m <<+ln 2142+<，故2242m me -+=不可能成立. 综上可知，实数m 的值为4(ln 22)3+. 22.解：（1）曲线C 的极坐标方程可化为22sin ρρθ=， 转化为普通方程可得222x y y +=，即22(1)1x y +-=.把122x m t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22(1)1x y +-=并整理可得22(0(*)t m t m -+=，- 11 -由条件可得22(40m m ∆=->，解之得3m -<<设,A B 对应的参数分别为12,t t，则12t t m +=2120t t m =≥，12||||AB t t =-=2==，解之得2m =或6；（2）当1m =时，(*)式变为2(110t t -+=，121t t +=121t t =， 由点P 的坐标为(1,0)可得11||||PA PB +=1212121212||||||111||||||||t t t t t t t t t t +++===+23.解：（1）当2m =时，()|21||23|f x x x =++-(21)(23)|4x x ≥+--=， 当且仅当(21)(23)0x x +-≤时，等号成立， 故1322x -≤≤，即x 的取值范围13[,]22-（2）当0a >时，228828a a a a +=+≥=， 当且仅当82a a =，即2a =时，228a a +取得最小值8，而(1)|1|1f m =++，则只需|1|18m ++≤，解之得86m -≤≤，即实数m 的取值范围是[8,6]-.。
参考答案第I 卷 选择题 共60分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CACDBACBACDB1．【解析】由题知{}|12M x x =-≤≤，则M N =I {}|12x x <≤，故选C . 2．【解析】由(,)2παπ∈， 3sin 5α=，则234sin()cos 1sin 25πααα--==--=-， 故选A.3．【解析】由12l l ⊥，则320m -=，解得32m =，故选C. 4．【解析】由3330log 1log 2.8log 31=<<=，103221>=，1122log 3log 10<=，则b ac >>，故选D.5．【解析】由ab c b a =-+222，则222c a b ab =+-，又由余弦定理得2222222()1cos 222a b c a b a b ab C ab ab +-+-+-===，由(0,180)C ∈o o ，则C =60︒，故选B.6．【解析】因为每一尺的重量构成等差数列{}n a ，14a =，52a =，156a a ∴+=，数列的前5项和为155553152a a S =⨯=⨯=+．即金锤共重15斤，故选A ． 7．【解析】由题知，几何体的体积为122222ABC V S AD ∆=⋅=⨯⨯⨯=，故选C. 8．【解析】由cos5sin(5)sin[5()]210y x x x ππ==+=+，sin(5)sin[5()]420y x x ππ=-=-设平移ϕ个单位长度，则1020ππϕ+=-，解得320πϕ=-，则只需将函数cos5y x =的图像向右平移320π个单位长度可得到函数sin(5)4y x π=-的图像.故选B. 9．【解析】由题知221:(1)(2)1O x y ++-=，222:(5)(4)4O x y -++=，则两圆心的距离为，22(15)(24)62--++=，又由M 为圆1O 上一点， N 为圆2O 上一点， 则，1212max 623MN OO r r =++=+故选A.10．【解析】取BC 中点为M ，连接,OM EM ,在正方体1111ABCD A B C D -中O 为底面ABCD 的中心，E 为1C C 的中点,易知：1//AD EM ,异面直线1D A 与EO 所成角为OEM ∠设正方体边长为2，在EMO ∆中：1,2,3OM EM OE ===，3in 3s OEM ∠=故答案选C.11．【解析】由0MA MB MC ++=u u u r u u u r u u u u r r可知M 为ABC ∆的重心，取BC 的中点N ，则有23AM AN =u u u u r u u u r ，所以23AB AC AM AN λλ+==u u u r u u u r u u u u r u u u r，则3λ=，故选D.12．【解析】由(1)(1)f x f x -=+则(11)(11)f x f x -+=++，即()(2)f x f x =+，则的()f x 周期2T=，又[0,1]x ∈时，2()f x x =，且()f x 为偶函数， 则可做出()f x 与1()()10x g x =在10[0,]3的图像 如图所示，则关于x 的方程1()()10xf x =在10[0,]3上跟的个数为3个，故选B.-1yxO1103531第II 卷 非选择题 共90分二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．题号 13141516 答案36129π①②13．【答案】36【解析】()(2,4)(0,9)204936a a b ⋅+=⋅=⨯+⨯=r r r14．【答案】12【解析】不等式组对应的平面区域如图所示，2yz x =+的几何意义是可行域的点(,)P x y 与点(2,0)M -所连直线的斜率.可知1010(2)2BM k -==--，结合图形可得12z ≥，故的最小值为1215．【答案】9π【解析】如图由PB ⊥平面,ABC AB AC ⊥，则可在四面体的基础上构造长方体，可知长方体的外接球与四面体的外接球相同长方体的体对角线为外接球的直径22221223R =++=， 所以32R =，则49S R ππ==球 16．【答案】①② 【解析】①若222a b +=，则a b +的最大值为2，2222222()242a b ab a b a b ab a b +=≥⇒+=++≤⇒+≤，正确Oyx12-2-121CBA M 221C BAP②当0,0a b >>时，1124ab ab++≥1112224ab ab a b ab++≥+≥，1a b ==时等号成立，正确 ③41y x x =+-最小值为5，取0,4x y ==- 错误④只有,a b 都为正数时，2a bba+≥才成立，,a b 均为负数时也成立.故答案为①②三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 【解析】（I ）由()cos 2cos c B a b C =-，则由正弦定理得：()sin cos 2sin sin cos 2sin cos sin cos C B A B C A C B C =-=-， 所以()sin cos sin cos sin sin 2sin cos C B B C B C A A C +=+== 又sin 0A ≠，所以1cos 2C =因为()0,C π∈，解得3C π=．………………………………… 5分（II ）由1,3b c ==，由正弦定理得sin sin b c B C=，即13sin sin 3B π=则1sin 2B =，由c b >，则C B >，则(0,)3B π∈ 所以6B π=，则2A π=所以1322ABC S bc ∆== …………………10分 18. （本小题满分12分）【解析】（I ）证明：因为G 为CD 的中点，则2,////AB CD EF AB EF CD ==， 所以//,EF DG EF DG =. 则四边形DEFG 为平行四边形， 所以//FG ED .又由FG ⊄平面ADE ，DE ⊂平面ADE ，所以//FG 平面ADE ………………………………………………………………………6分的（II ）因为平面ABFE ⊥平面ABCD ，平面ABFE I 平面ABCD AB =，AD AB ⊥，AD ⊂平面ABCD ，所以AD ⊥平面ABF ，又AD ⊂平面ADF ，所以平面ADF ⊥平面ABF . ······································· 12分 19. （本小题满分12分）【解析】（I ）设公差为d ，又因为4a ，64a +，14a 等比数列.()()()213113154d d d ∴++=++，解得：3d =或47d =-（舍去）()11332n a n n ∴=+-⋅=- ······································································· 6分 （II ）由（I ）可知()213231222n n n S n n+-⨯==-()2331112231211222n S n n n n n n n n ⎛⎫∴==⋅=⋅- ⎪+++⎝⎭-+()111111112212233411n n T n N n n n +⎛⎫∴=⋅-+-+-++-=∈ ⎪++⎝⎭L ··················· 12分 20.（本小题满分12分）【解析】证明：（Ⅰ） 由题知在直角梯形ABCE 中，CD AE ⊥，,CD AD CD DE '∴⊥⊥，又AD DE D '=I 所以CD ⊥平面ADE '又AE ⊂平面ADE '，AE CD '∴⊥ ····························································· 6分 (Ⅱ) （文）作AD 的中点O ，连接OE '由60ADE '∠=o ，224AE AB BC ===，则OE AD '⊥ 又（Ⅰ）知CD ⊥平面ADE 'OE CD '∴⊥由CD AD D =I 所以OE '⊥平面ABCD由60ADE '∠=o ，224AE AB BC ===，则3OE '=则13B ACE E ABC ABC V V S OE ''--∆'==⋅ 1123223323=⨯⨯⨯⨯=……………………………..12 (Ⅱ) （理）作AD 的中点O ，连接OE '由60ADE '∠=o ，224AE AB BC ===，则OE AD '⊥又（Ⅰ）知CD ⊥平面ADE '，OE CD '∴⊥由CD AD D =I ，所以OE '⊥平面ABCD 则可过点O 作平行于AB 的直线建立空间直角坐标系O xyz -， 由60ADE '∠=o ，224AE AB BC ===，则3OE '=， 则(2,1,0),(2,1,0),(0,0,3)B C E '-，则(0,2,0),(2,1,3)BC BE '==-u u u r u u u r设平面BCE '的一个法向量为(,,)n x y z =r则00BC n BE n ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r 即0230y x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩ 令33z =，则12x =，则13(,0,)23n =r 易知(0,0,1)m =u r为平面ABCD 的一个法向量，设平面BCE '与平面ABCD 所成的角为θ，则3273cos 71143n mn mθ⋅===+r u r r u r (12)21．（本小题满分12分）．【解析】（I ）由题意知，汽车从A 地匀速到B 地所用时间为120v， 全程成本为2120()120(),(0,120]ay bv a bv v v v=+⋅=+∈································· 6分 （II ）当150,200a b ==时， zyxOE 'DCBA150150120()240120200200y v v v v=+≥⋅= 当且仅当100v =时取等号所以汽车应以100/km h 的速度行驶，才能使得全程运输成本最小 ···················· 12分22．（本小题满分12分）【解析】（I ）由于直线4x =与圆1C 不相交，所以直线l 的斜率存在，设直线l 方程为(4)y k x =- ，圆1C 的圆心到直线l 的距离为d ，因为直线l 被圆1C 截得的弦长为23 ， 所以222(3)1d =-= ，又2|17|1k d k --=+ ，从而(24 7)0k k +=即0k =或724k =- 所以直线的方程为0y =或724280x y +-= .············································································································· 6分 (II) 设点(, )P a b 满足条件，由题意分析可得直线1l 和2l 的斜率均存在且不为0， 不妨设直线1l 的方程为()y b k x a -=-，则直线2l 方程为1()y b x a k-=-- ， 因为1C 和2C 的半径相等，及直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等， 所以圆1C 的圆心到直线1l 的距离和圆2C 的圆心到直线2l 的距离相等， 即2215(4)|1(3)|111a b k a b k k k+------=++ 整理得|13||54|k ak b k a bk ++-=+--即13(54)k ak b k a bk ++-=±+--(2)3a b k b a +-=-+或(8)5a b k a b -+=+-因为k 的取值有无穷多个，所以2030a b b a +-=⎧⎨-+=⎩ 或8050a b a b -+=⎧⎨+-=⎩解得5212ab⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或32132ab⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩这样的点只可能是点151 , 22P ⎛⎫-⎪⎝⎭或点2313,22P⎛⎫-⎪⎝⎭.···········································································································12分。
2018-2019学年度第二学期期末试题高二文科数学参考答案一、选择题1、选B .【分析】集合是以点(,)x y 为元素的集合，只有Ｂ选项满足题意．2、选A . 【分析】 2(1)(2)i i i--+=2(2)(21)131i ii --++=--，故选A. 3、选C . 【分析】由421558381x =有172x ≈. 4、选C . 【分析】由正弦定理可知：2sin 2sin sin sin a b R A R B A B >⇔⇔⇔>； 5、选A . 【分析】由题意知4519a q a ==， 有23q =，故2311313a a q ==⨯=. 6、选B . 【分析】由已知有1'()44f x x x=+-，故1k =，易知切点为(1,2)-，故所求方程为30x y --=.7、选D . 【分析】设这个数为x ，则257xx +=，众数为2. 若2x ≤，则中位数为2，故222x +=⨯，即25=27xx +=，解得11x =-（舍去）. 若24x <≤，则中位数为x ，故22x x +=，即25=227xx x +=-，解得3x =. 若4x ≥，则中位数为4，故224x +=⨯，即25=67xx +=，解得17x =. 综上可知，3x =或17x =，故这个数的所有可能值的和为20.8、选C . 【分析】将直三棱柱补全为正方体1111ABDC A B D C -，连结1,C D AD ，易知11//A B C D ，则1AC D 为正三角形，故1A B 与1AC 的夹角为060.9、选C . 【分析】执行程序如下：364,143,78m n r ===→143,78,65m n r ===→78,65,13m n r ===→65,13,0m n r ===→输出的13n =.10、选D由图表易知所求概率为：217(6)3612P x >==，故选D . 11、选B . 【分析】设左焦点为'F ，由0AB AF +=知A 为BF 中点，而O 为'FF 中点，故OA 为'BFF 的中位线，易知,O Aa A Fb ==，所以2=B aby c，=B x ，代入by xa=-，有222(ab bab c c ac =-，化简得2ce a==. 12、选D . 【分析】易知函数()f x 为偶函数，且在(0,)+∞上单调递增.所以0.30.30.31(lo g )(lo g 0.2)=(lo g 0.2)0.2f f f =-，故欲比较,,a b c 的大小，只需比较0.20.30.30.3,0.2,log 0.2的大小即可.由于210.210100.3=0.3=0.09，310.310100.2=0.2=0.2，11101010.090.0080>>>，0.30.3log 0.2log 0.31>=.所以0.30.20.300.20.31log 0.2<<<<，即b a c <<.故选D .二、填空题13、；14、24；15、5(3；16【解析】13、【分析】由于222222)22233a b a a b b a b +=++=++=（，所以2a b =-.故22222442a b a a b b +=++=+=14、24.【分析】由已知有36396,,S S S S S --成等差数列，故633962()S S S S S -=+-，所以，9633()3(124)24S S S =-=-=.15、5(3.【分析】如图所示，过,A B 分别作准线的垂线，垂足分别为,C D ，过B 作AC 的垂线，垂足为E .设BF m =，则3AF m =，4AB m =.由抛物线的定义知3,AC m BD m ==，故在R t A B E 中，有AB m AE 212==，所以060EAB ∠=，即直线AB 的倾斜角为060.所以可设直线AB 的方程为：1)y x =-，代入24y x=，有231030x x -+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 中点为00(,)M x y .则：12103x x +=，所以120523x x x +==，所以0051)1)33y x =-=-=.故AB 中点坐标为533（，）.16、4.【分析】三棱锥P ABC -中，,,,P A B C 均在球心为O 的球面上，且AB BC ==，120ABC ∠=︒，则1sin1202ABC S ∆=︒=设球O 的半径为R ，ABC ∆的外接圆的圆心为G ，半径为r .易知ABG 为正三角形，且r =.由343233V R ππ==得2R =．所以21O G ==.在三棱锥P A B C-中，底面ABC ∆的面积确定，当点P 到平面ABC 的距离最大时，,,P O G 三点共线，且,P O 在平面ABC 的同侧，所求最大体积为：max 11··33434ABC V S h ∆==⨯=．三、解答题17、（12分）【解析】（1）设抽取的20人中，男、女生人数分别为12,n n ，则122012001220002080082000n n ⨯⎧==⎪⎪⎨⨯⎪==⎪⎩……………………………………………………4分 所以 12534x =--=， ………………………………………………………5分8332y =--=． …………………………………………………………6分（2）列联表如下：………………………………………………………………………8分2K 的观测值220(4628)100.159 2.70612814663k ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯， ………………………11分 所以没有90%的把握认为“参加阅读与否”与性别有关． … ……………………12分 18.（12分）【解析】（1）由C B B A C sin sin 31sin sin cos 222-=-+，得C B A C B sin sin 3sin sin sin 222=-+∴ bc a c b 3222=-+，232cos 222=-+=bc a c b A又 (0,)A π∈，故6A π=. ……………………………………………6分（2）由（1）知6π=A ，而，1a =，则122sin sin 6a R A π===， ……………7分 又,,,(0,)A B C A B C ππ++=∈，有56C B π=-(5(0,)6B π∈. …………8分 故 11sin 24ABCSbc A bc ==1=2sin 2sin 4R B R C sin sin B C = 5sin sin()6B B π=-1=sin (cos 22B B B +）211=sin cos sin 2224B B B B B =+1=sin(2)23B π-+ …………………………………10分 由5(0,)6B π∈，知42(,)333B πππ-∈-， ∴sin(2)123B π-<-≤，即110sin(2)23424B π<-+≤+. ………11分 故ABC的面积的取值范围是：1(0,24+. ………………………………12分19．（1）在矩形ABCD 中有AD AB ⊥. ……………………………1分 由平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面A B C D 平面=ABEF AB，有AD ⊥平面ABEF . …………………2分 又AG ⊂平面ABEF∴AD AG ⊥. ………………………3分 连结AE .在菱形ABEF 中，B E A ==，60ABE ∠=︒，故ABE 为正三角形，而G 为BE 的中点．∴AG BE ⊥，即AG AF ⊥. ………………………5分 而ADAF A =，,AD AF ⊂平面ADF .∴ AG ⊥平面ADF ．………………………………6分 （2）在矩形ABCD 中有//BC AD .由（1）知AD ⊥平面ABEF∴ BC ⊥平面ABEF . ………………………………………………7分 在正ABE 中，G 为BE 的中点． ∴32AG ==. …………………………………………………8分 由（1）知AG AF ⊥，故113222AGFS AF AG ==⨯=. ………10分 ∴ 13ACGF C AGF AGFV V SBC --==⨯⨯11344=⨯⨯=. …………12分 20．解析：（1）函数()f x 的定义域为：(1,)-+∞ ……………………………1分 则()21af x a xx =--+'…………………………………………2分 令()10f '=,即22aa -=,解得4a =-. ………………………………3分此时，'()2f x x =-，令'()0f x >有10x -<<；令'()0f x <有0x >.∴ 函数()f x 在(1,0)-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减.∴ 函数()f x 在1x =处取得极大值，满足题意. …………………………………4分故所求值为4a =-. ……………………………………………………………5分（2）有易知有：22()2'()211a x x af x a x x x ++=--=-++（(1,)x ∈-+∞）. …………………………………………………………6分令'()0f x =，有0x =或22a x +=-. …………………………………7分 ①当212a +-≤-即0a ≥时,令'()0f x >有10x -<<，故函数()f x 在(1,0)-上单调递增，在0+∞（，）上单调递减，0x =为极大值点，不满足题意，舍去；……………………………………………………………………………8分②当2102a +-<-<即20a -<<时，令'()0f x >有212a x +-<<-或0x >，故函数()f x 在2(1,)2a +--和0+∞（，）上单调递减；在2(,0)2a +-上单调递增，不满足题意，舍去； ………………………………………………………………………9分③当2=02a +-即2a =-时，'()0f x ≤，故函数()f x 在(1,)-+∞上单调递减，不满足题意，舍去； ………………………………………………………………………10分④当202a +->即2a <-时，令'()0f x >有202a x +<<-，故函数()f x 在(1,0)-和2(,)2a +-+∞上单调递减，在2(0,)2a +-上单调递增，0x =是极小值点，满足题意，故2a <-. …………………………………………………………………11分综上可知，实数a 的取值范围是：(,2)-∞-. ……………………………12分21．解析：（1）由题意得222432c e a b a b c ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎪⎩， …………………………………………3分解得42a b =⎧⎨=⎩…………………………………………………………4分所以椭圆C 的方程为221164x y +=.………………………………5分 （2）证明：易知直线l 斜率恒小于0，设直线l 的方程：2(4)y k x +=-（0k <且1k ≠-），…………………………………………………………6分代入椭圆方程得22(14)16(21)64(1)0k x k k x k k +-+++= ……………………………7分设1122(,),(,)A x y B x y ，则 12216(21)14k k x x k ++=+，12264(1)14k k x x k +=+ ……………………………………8分 121221121222(44)(44)M A M By y k x k x k x k x k k x x x x ----+--+=+=……………10分 ∴ 121216(21)2(44)24(1)2(21)164(1)MA MB x x k k k k k k k k k k x x k k +++=-+=-+=-+=-+为定值. 故得证. …………………………………………………………………12分22．（1）∵1cos 452sin 45x t y t =-+︒=-+︒⎧⎨⎩（t 为参数），∴直线l 的普通方程为10x y --=． ……2分∵sin tan 2a ρθθ=，∴22sin 2cos a ρθρθ=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得曲线C 的直角坐标方程为22y ax =． ……………………………5分 （2）∵22y ax =，∴0x ≥，设直线l 上的点M ，N 对应的参数分别是1t ，()2120,0t t t >>，则1PM t =，2PN t =， ∵PM MN =，∴12PM PN =，∴212t t =. …………………………6分 将1cos 452sin 45x t y t =-+︒=-+︒⎧⎨⎩，代入22y ax =，得)()22420t a t a -+++=，………7分∴)()1212242t t a t t a ⎧+=+⎪⎨⋅=+⎪⎩， …………………………………………………8分 又0a >，解得14a =． 故所求值为：14a =． ……………………………………………………10分 23．（1）当2a =时，由()3f x ≥-，可得2213x x ---≥-，①122213x x x <-+-≥-⎧⎪⎨⎪⎩或②1222213x x x ≤<--+≥-⎧⎪⎨⎪⎩或③22213x x x ≥--+≥-⎧⎨⎩ ………3分 解①得：142x -≤<，解②得：122x ≤<，解③得：2x =， ………………4分 综上所述，不等式的解集为{}42x x -≤≤． …………………………5分 23．（1）当2a =时，由()3f x ≥-，可得2213x x ---≥-，①122213x x x <-+-≥-⎧⎪⎨⎪⎩或②1222213x x x ≤<--+≥-⎧⎪⎨⎪⎩或③22213x x x ≥--+≥-⎧⎨⎩ ………3分 解①得：142x -≤<，解②得：122x ≤<，解③得：2x =. 即 122x ≤≤． ………………………………………………4分故不等式的解集为：{}42x x -≤≤． …………………………………5分 （2）若当[]1,3x ∈时，()3f x ≤成立，即32122x a x x -≤+-=+， …………………………………………6分故2222x x a x --≤-≤+， 即322x a x --≤-≤+，232x a x ∴--≤≤+对[]1,3x ∈时恒成立， …………………………………7分当[1,3]x ∈时，max (2)3x --=-，min (325x +=）. …………………9分∴ 35a -≤≤故所求范围是：[]3,5a ∈-． ……………………………………10分。
贵州省凯里市第一中学2018-2019学年高二数学上学期入学考试试题（扫描版）凯里一中2020届高二上入学考试参考答案数学一、选择题（每小题5分，共60分） 二、填空题（每小题5分，共计20分） 13、 350x y +-= 14、2xx -- 15、2 16、34π三、解答题17．（I ）{}|1m m ≤；（II ）{}|35m m -<<. 解：（I ）因为()()214f x x m x =+-+开口向上所以该函数的对称轴是102m x -=-≥ 因此10m -≤，解得1m ≤所以m 的取值范围是{}|1m m ≤ ····················· 5分 （II ）因为()()2140f x x m x =+-+>恒成立，所以()21160m ∆=--<，整理得22150m m --<解得35m -<<,因此 m 的取值范围是{}|35m m -<<. ···········10分18．（I ）21n a n =+，3n n b =；（II ） 13n n S n +=⋅. 详解：（I ）设{}n a 的公差为d ，则由已知得21134a a a =即()()2331233d d ⨯+=+，解得：2d =或0d =（舍） 所以()32121n a n n =+-=+因为249b a ==，所以{}n b 的公比3q =所以3n n b = ······························ 6分（II ）由（I ）可知()213nn n n c a b n ==+⋅所以()12123353213n n n S c c c n =+++=⨯+⨯+++⨯ ①()23133353213n n S n +=⨯+⨯+++⨯ ②○1-②式得： ()()()()()231211111223339213313292131339921323n n n n n n n n S n n n n +-++++-=⨯++++-+⨯-=⨯+-+⨯-=-+-+⨯=-⨯所以13n n S n +=⋅ ···························· 12分19．（I ）3=b ；（II ）4. 详解：（I ）由题意及正弦定理得，03=-bca ac0≠ac，b ∴=·························· 6分（II）由题意得cos 2sin 26B B B π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭， ∴sin(+=16B π），∵()0,B π∈，∴62B ππ+=，∴3B π=.由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-， ∴2232a c ac ac ac ac =+-≥-=， 3ac ∴≤，当且仅当a c ==∴11sin 32224S ac B =≤⨯⨯=． ∴ABC ∆． ···················· 12分 20．（I ）见解析；（II详解：证明：（Ⅰ）取AD 的中点O ，连接,PO COPAD 为等边三角形，PO AD ∴⊥//,,BC AO BC AO AB BC=⊥∴四边形ABCO为矩形CO AD∴⊥CO PO O=AD∴⊥平面POC又PC ⊂平面POC，AD PC∴⊥··················· 6分 (Ⅱ)由（Ⅰ）知PO AD⊥又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD平面ABCD AD=，PO⊂平面PAD PO∴⊥平面ABCD，PO∴为三棱柱P ABC-的高PAD为等边三角形，2AD=，所以PO=3,1 CD OD==，OC AB∴==11122ABCS AB BC∆∴=⋅==113326B PAC P ABC ABCV V S PO--∆∴==⋅=⨯=···········12分21．（I）1a=；（II）(],1-∞-.详解：（I）由已知()()22sin sin cos2sin2sin cos1cos2sin2214f x x x x a x x x ax x a x aπ=+-=+-⎛⎫=-+-=-+-⎪⎝⎭因为()f x经过点,12π⎛⎫⎪⎝⎭，所以11422sin2=-+⎪⎭⎫⎝⎛-⨯aππ，解得1=a. ·· 6分（II）由（I）知()24f x xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭，因为0,2xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以32,444xπππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当244xππ-=-，即0x=时，()min1f x=-，因为()f x m≥恒成立，即()minm f x≤，所以1m≤-因此m的取值范围为：(],1-∞-·····················12分22．（I ）()()22231x y -+-= ；（II ） 不存在直线1l 解:（I ）由已知，线段AB 的中点35,22E ⎛⎫⎪⎝⎭，32112AB k -==--故线段AB 的中垂线方程为：5322y x -=-，即10x y -+= 因为圆C 经过,A B 两点，故圆心在线段AB 的中垂线上 又因为直线l ：320x y -=平分圆C ，所以直线l 经过圆心由10320x y x y -+=⎧⎨-=⎩， 解得23x y =⎧⎨=⎩，即圆心的坐标为()2,3C而圆的半径1r BC ===所以圆C 的方程为：()()22231x y -+-= ················ 6分 （II ）设()11,M x y ，()22,N x y将2y kx =+代入方程()()22231x y -+-=，得：()()22211x kx -+-= 即()()2212440k x k x +-++= ① 由()()22241610k k ∆=+-+>，得212160kk -+>所以122241k x x k ++=+，12241x x k ⋅=+. 又因为()()()()121212122121222124OM ON x x y y x x kx kx kx xk x x ⋅=+=+++=++++所以()222424124611k kk kk ++⨯+⨯+=++ 即23410k k ++=，解得1k =-或13k =-此时①式中0∆<，没有实根，直线1l 与C 交于,M N 两点相矛盾，所以不存在直线1l ，使得6OM ON ⋅= ·················· 12分。
贵州省凯里市2018-2019学年第一中学高二下学期期中考试数学试题（理）一、单选题1．已知集合{}=|03A x x ≤≤，(){},|1B x y y ==，则A B ⋂=（ ）A ．{}|13x x ≤≤B ．{}|13x x <≤C ．∅D ．{}|0x x ≥【答案】C【解析】因为集合A 是数集，集合B 是点集， 所以A B ⋂=∅故选：C 2．已知i 是虚数单位，则复数241ii+-位于复平面内第几象限（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】由241ii+-可得：()()()()2412426131112i i i i i i i i +++-+===-+--+， 该复数对应的点()1,3-在第二象限. 故选：B 3．已知1cos 3=α，则cos2α=（ ） A ．97B ．79-C ．98-D ．89【答案】B【解析】2cos 22cos 1αα=-将1cos 3=α代入上式可得：217cos22139α⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭故选：B4．已知某四棱锥的三视图如图所示，正视图和侧视图是全等的等腰直角三角形，则该四棱锥的最长棱与底面所成角的正切值为（ ）A B C D ．42 【答案】C【解析】由三视图可得：该几何体是正方体中的一个四棱锥， 如下图中的四棱锥1D ABCD -设正方体的边长为1，该四棱锥1D ABCD -中最长的棱为1BD = 它与底面ABCD 所成角为1DBD ∠，又2=BD ,所以1tan 2DBD ∠== 故选：C5．如图程序框图输出的4=y ，则输入x 的所有取值为（ ）A ．-2或2B ．4或2C ．-2或4或2D ．-2或4【答案】D【解析】由流程图可得：当1x <时，2y x =，令4=y ，解得：2x =-或2x =（舍去）当1x ≥时，y x =，令4=y ，解得：4x = 所以输入x 的所有取值为：2x =-或4x = 故选：D6．已知等差数列{}n a ，且48,a a 是方程212200x x -+=的两根，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则11S 的值为（ ） A ．110 B ．66C ．44D ．33【答案】B【解析】因为48,a a 是方程212200x x -+=的两根， 所以4812a a +=. 所以()()111481*********a a a a S ++=== 故选：B7．已知圆22:450C x y x +--=，过点(0,A 作圆C 的切线，其中一个切点为B ，则AB 的长度为（ ）AB ．5C ．D ．4【答案】A【解析】由22:450C x y x +--=得：()2229x y -+=，所以该圆的半径为3，圆心为()2,0， 依据题意作出图象如下：B 为直线与圆的切点所以AB ===故选：A8．已知函数()2x xe ef x x--=，其图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】因为()()2x x e e f x f x x ---==-，所以()2x xe ef x x --=为奇函数，排除C,D当0x >时，()()()242xx x x e e x e e xf x x--+⋅--⋅'=所以()()()222224222212022e e e e f e--+⋅--⋅⨯'==>， 所以()f x 在()0,∞+上存在递增区间，排除A. 故选：B 9．()6111x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为（ ） A ．-5 B ．5 C ．35 D ．-90【答案】A【解析】()61x -的展开式的通项公式为()16rrr T C x +=-，所以()6111x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式是由()161r r r T C x +⨯=-与()3611rr C x T x x+-⨯=这些项的和组成，当2r =时，()22236115T C x x ⨯=-= 当3r =时，()33264120C x T x x x-⨯==- 所以()6111x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为20155-+=-. 故选：A10．在区间[]0,1上任意取两个实数y x 、，则x y ≥的概率为（ ）A ．12B ．13C ．34D ．35【答案】A【解析】由题可得：0101x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩作出点(),x y 所表示的平面区域如下图的正方形OABC ，又满足x y ≥的点(),x y 在线段OB 左上方的阴影部分，所以x y ≥的概率为11212OBC OABCS p S ∆===正方形. 故选：A11．已知ABC ∆的三个顶点落在半径为R 的球O 的表面上，三角形有一个角为3π且其对边长为3，球心O 到ABC ∆所在的平面的距离恰好等于半径R 的一半，点P 为球面上任意一点，则ABC P -三棱锥的体积的最大值为（ ） A ．338 B ．337 CD【答案】C【解析】设ABC ∆外接圆的圆心为1O ，则1OO ⊥平面ABC ，所以12R OO =设ABC ∆外接圆的半径为r ，3AB c ==，3C π∠=由正弦定理可得：32sin3rπ=，解得：r =由球的截面圆性质可得：2222132R R OO r ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，解得：2=R所以点P 到平面ABC 的距离的最大值为：13R OO +=.在ABC ∆中，由余弦定理可得：2222232cos 2a b ab C a b ab ab ab ab =+-=+-≥-= 当且仅当3==b a 时，等号成立，所以()max 9ab =.所以1sin 234ABC S ab π∆=?，当且仅当3==b a 时，等号成立. 当三棱锥ABC P -的底面面积最大，高最大时，其体积最大.所以三棱锥ABC P -的体积的最大值为133P ABC V -=⨯=故选：C 12．已知椭圆2222:1x y C a b +=，0a b >>，12,F F 分别为椭圆的左右焦点，若椭圆C 上存在点()()000,0P x y x ≥使得1260PF F o∠=，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）A ．2⎫⎪⎢⎪⎣⎭B ．0,2⎛ ⎝⎦C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】依据题意作出如下图象：由已知可得：当点P 在椭圆的上（下）顶点处时，21F PF ∠最大，要满足椭圆C 上存在点()()000,0P x y x ≥使得1260PF F o∠=，则()max 126090PF F ∠≥>oo所以()max 12tan tan60PF F ≥∠=o即：bc≥b ≥ 又22222234a bc c c c =+≥+=，即：224a c ≥所以12c e a ==≤=所以椭圆离心率的取值范围为102e <≤ 故选：D 二、填空题13．已知不共线的非零向量,a b r r ，若b a 2-与2a b λ+r r平行，则实数λ的值为__________．【答案】-4.【解析因为2 a b -r r 与2a b λ+r r 平行，所以()22a b k a b λ-=+r r r r所以212k k λ=⎧⎨=-⎩，解得：4λ=-14．实数,x y 满足约束条件：1130x y x y >⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则1yz x =-的取值范围为__________．【答案】[1,)+∞.【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图：其中()2,1B因为1yz x =-表示(),x y 与点()1,0连线斜率，由图可得： 当点(),x y 在点B 处时，它与点()1,0连线斜率最小为10121k -==-. 所以1yz x =-的取值范围为[)1,+∞15．函数()π2sin 2π6f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间[]0,1的单调增区间为__________． 【答案】1[0]6，，]132[，（开闭都可以）. 【解析】令πππ2π2π2π262k x k -+≤+≤+（k ∈Z ） 解得：1136k x k -≤≤+（k ∈Z ）所以函数()f x 的单调增区间为11,36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） 当0k =时，[]0,1⋂11,36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦=1[0]6，当1k =时，[]0,1⋂11,36k k ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦]132[，当k 取其它整数时，[]0,1⋂11,36k k ⎡⎤-+=∅⎢⎥⎣⎦所以函数()2sin 26f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间[]0,1的单调增区间为1[0]6，，]132[， 16．已知函数()f x 满足：()()4f x f x =--，且()()11lim4x f x f x∆→-∆-=-∆，当02x <<时，()ln f x ax x x =+，则函数()f x 在点()()3,3f 的切线方程为__________． 【答案】413y x =-.【解析】由题可得：()()()111lim4x f x f f x∆→-∆-'==-∆因为()1ln111f a =+=，所以点()1,1在曲线()y f x =上， 又函数()f x 满足：()()4f x f x =--， 所以函数()y f x =的图象关于点()2,0对称，所以点()1,1关于点()2,0对称的点()3,1-也在函数()y f x =的图象上 所以点()()3,3f 为点()3,1-，又函数()y f x =的图象在点()1,1处的切线与在点()3,1-处的切线也关于点()2,0对称，所以两切线平行.即：()()314f f ''==所以函数()f x 在点()()3,3f 的切线方程为：()143y x +=-，即：413y x =- 三、解答题17．已知(),2cos a x x =r ，()cos ,cos b x x =v，()()1f x a b x R =⋅-∈r r .（1）求函数()f x 的最大值，及此时x 的取值；（2）在三角形ABC 中角的对边,,A B C 分别为,,a b c ，若()1f B =，2512，b =角形ABC 的面积.解：（1）由题可得：2()cos 2cos 1f x x x x =⋅+-，化简得：π()2sin(2)6f x x =+ ，当ππ2262πx k +=+，即ππ,6x k k =+∈Z 时，此时()f x 取得最大值为2.（2）由()1f B =得：π1sin(2)62B +=，(0,π)B ∈Q π3B ∴=.1,c b ==Q 222cos 32πa c b ac+-=2a ∴= 112sin23πABC S ∆∴=⨯⨯⨯=18．已知数列{}n a 满足11n n a a +=+，且134a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21n n b a =，记n b 的前项和为n S ，证明：2n S <. 解：（1）11n n a a Q +=+ {}n a ∴是等差数列，公差为1=d .Q 134a a +=1124a a ∴++= 11a ∴=()11n a a n d n ∴=+-=.（2）21n b n = 22221111123n S n =+++⋅⋅⋅+ 1111221212<=-⨯⨯Q ,1111332323<=-⨯⨯,1111443434<=-⨯⨯,1111(1)1n n n n n n<=-⨯-⨯-， 11111122334(1)n S n n∴<++++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯-⨯ 111111122113n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝+⎭⎝=⎭L 111(1)22n n=+-=-< 2n S ∴<.19．如图多面体111ABC A B C -，120ABC ∠=︒，棱111,,AA BB CC 垂直平面ABC ，且1112224CC BB BC AB AA ====.（1）证明：111B C AC ⊥.（2）求直线1AB 与平面111A B C 所成角的正弦值.解：（1）作1BB ,1CC 的中点分别为,E F ，连接111,,A E B F A C ，设14CC =则112,1A E B E ==,11A B ∴=AC =可算得11AC BC ==. 在三角形11A B C中，1111A B AC BC ===2221111A C A B B C ∴=+，即111A B B C ⊥同理可得111B C B C ⊥又11111A B B C B ⋂=Q1B C ∴⊥面111A B C ,又Q 11AC ⊂面111A B C111B C AC ∴⊥.（用向量证明也可以）（2）如图建立空间直角坐标系,O 为AC 的中点，设14CC =，则111(((0,1,2),A A B C设平面111A B C 的法向量为(),,m a b c =u r ，因为)11A B =u u u u r，()11AC =u u u u r ，所以111100A B m AC m u u u u v v u u u u v v ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以030b c c ++=+=⎪⎩，不妨设2c =，则1a b ==所以()m =u r，又)12AB u u u v = 所以直线1AB 与平面111A B C 所成角α的正弦值为:1111sin cos ,4m AB m AB m AB α⋅====u r u u u r u r u u u r u r u u u r 所以直线1AB 与平面111A B C 所成角的正弦值为14. 20．为了了解学生考试时的紧张程度，现对100名同学进行评估，打分区间为[]50,100，得到频率分布直方图如下，其中,,a b c 成等差数列，且0.01a =.（1）求,b c 的值；（2）现采用分层抽样的方式从紧张度值在[60,70)，[)70,80中共抽取5名同学，再从这5名同学中随机抽取2人，求至少有一名同学是紧张度值在[60,70)的概率. 解：（1）由题可得：0.110100.250.1510.012b c c b ++++=⎧⎨+=⎩解得0.02,0.03b c ==.（2）根据分层抽样[)60,70中抽2人记为11,b a ，[)70,80中抽3人记为,,A B C 共有10种本事件：11111111,,,,,,,,,AB AC Aa Ab BC Ba Bb Ca Cb a b ，记M 事件为：至少有一名在[)60,70的同学，该事件包含7个基本事件，所以至少有一名同学是紧张度值在[60,70)的概率710P =公式，属于中档题.21．已知椭圆2222:1x y C a b +=，0a b >>，12,F F 分别为椭圆的左右焦点，离心率21=e ，上顶点(P .（1）求椭圆的方程；（2）是否存在过点2F 且斜率不为0的直线l 交椭圆于,M N 两点，且24MN F N =满足，若存在，求出该直线方程，若不存在，请说明理由. 解：（1）由题可得：22212c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2,1a b c ===， 所以椭圆方程为：13422=+y x （2）设直线为:1l x ky =+，点1122(,),(,)M x y N x y 由221143x ky x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩化简得：22(34)690k y ky ++-= 12122269,3434k y y y y k k -+=-=++ 24MN F N =Q 即223MF F N =223MF F N ∴=u u u u r u u u u r Q 211222(1,),(1,)MF x y F N x y =--=-u u u u r u u u u r123y y ∴-=122634k y y k +=-+Q 212239,3434k k y y k k -∴==++ ∴12222399343434k k y y k k k --=⋅=+++，化简得22334k k =+，此方程无解 所以不存在满足题意的直线l .22．已知函数()ln f x x x =.（1）求()f x 的单调区间；（2）设()()4F x f x x =+，证明：()F x 只有一个极值点0x ，且()02326F x <<.解：（1）由题可得：1ln )(+='x x f ，(0,)x ∈+∞ '()0f x >即1ln ln x e ->，即1x e ->所以()f x 的增区间为1(,)e+∞，减区间为1(0,]e （2）4()ln F x x x x=+，(0,)x ∈+∞ ∴24()ln 1F x x x '=+-，318()F x x x =+''，显然()0F x ''> 即()y F x ='在(0,)+∞上单调递增337()ln 0,(2)ln 20229F F =-='<'>Q ∴在区间3(,2)2存在唯一一个0x ，使得0()0F x '= 即在区间),0(0x 上，()0F x '<，)(x F y =为减函数 在区间0(,)x +∞上，()0F x '>，)(x F y =为增函数 ()F x ∴只有一个极小值点Q 在区间3(,2)2上存在唯一一个0x 使得0()0F x '= 即0204ln 10x x +-=，0204ln 1x x =- ∴00000200004448()ln (1)F x x x x x x x x x =+=-+=- 当03(,2)2x ∈时，0082326x x <-< 0232()6F x ∴<<。
贵州省凯里市2016-2017学年高二数学下学期开学考试试题文（扫描版）B 11凯里一中2016—2017学年度高二第二学期开学考试文科数学答案一、选择题二、填空题17．解：（1）设依题意设()(0)f x kx b k =+≠由(1)2f =及(1)(2)(3)15f f f ++=得2 3(123)315 1k b k k b b +==⎧⎧⇒⎨⎨+++==-⎩⎩，故()31f x x =-………5分（2）由(1)得()31f n n =-，则1(31)(32)n a n n =-+则1111111111()2558(31)(32)325583132n S n n n n =+++=-+-++-⨯⨯-+-+ 111()323264nn n =-=++． ………10分18．解：（1）由sin sin sin sin A C B C b c a --=+及正弦定理得a c b cb c a --=⇒+222222a ac b c a c b ac -=-⇒+-=，由余弦定理得2221cos 22a c b B ac +-==，又03B B ππ<<⇒=………………6分（2）由2b =及ABC ∆的周长为64a c ⇒+=，由（1）得224a c ac +-=2()434a c ac ac ⇒+-=⇒=，由4242a c a ac b ⎧+==⎧⇒⎨⎨==⎩⎩ ………………12分19．解：（1）设11A C 的中点为E ，则由111A B C ∆是正角形，知111B E AC ⊥，又1AA ⊥平面111A B C ，1B E ⊂平面111A B C ，则1AA ⊥1B E ，故1B E ⊥平面11A MC ，故11111111111332MA C A MB C B MA C V V B E S ∆--==⨯⨯==三棱锥三棱锥 ……………6分（2）设AB 中点为F ，连接NF ，依题意知11//NF B C ，则直线MN 与直线11B C 所成角等于FN 与11B C 所成的角，设这个角为θ，在MNF ∆中，由已知条件得MN MF ==112NF BC ==，由余弦定理得cos θ==． ……………12分即直线MN 与直线11B C ． 20．解：（1）分别用甲、乙、丙、丁来表示它们的答卷，从中随机抽出两份答卷，基本事件有 （甲，乙）、（甲，丙）、（甲，丁）、（乙、丙）、（乙、丁）、（丙，丁），共6个； 其中求丁的答卷必须张贴的的基本事件有（甲，丁）、（乙、丁）、（丙，丁），共3个． 则丁的答卷必须张贴的概率13162p ==．………………6分 （2）由（1）知从中随机抽出两份答卷，基本事件有6个，而张贴出来的两份答卷的得分之和超过13的基本事件有（甲，乙）、（甲，丁）、（乙、丁）、（丙，丁），共4个． 则张贴出来的两份答卷的得分之和超过13的概率24263p ==．………………12分 21．解：（1）'1()1f x x=-，则切线的斜率'(1)0k f ==，又(1)1f m =+． 则()ln f x x x m =-+在点(1,(1))f 处的切线方程为1y m =+．依题意得10m +=，则1m =-． ……………5分（2）由（1）得()ln 1f x x x =--，'11()1x f x x x-=-=． 由'()01f x x =⇒=，列表如下：……………8分 由上表知，()f x 在区间1[,1)e上为减函数，在区间(1,]e 上为增函数，又 11()f e e=，()2f e e =-， 21121 2.7210.71()()20e e e e e f e f e e e e e e ------=--=>=>，即1()()f e f e>． 故()f x 在区间1[,]e e上的最大值为()2f e e =-．……………12分22．解：（1）设椭圆的焦距为2c ，则222c a b =-，由C 的离心率e =得c a =，又由它被直线y =截得线段的长为C 过点，则有222112a b+=． 解得21a b =⎧⎨=⎩，故椭圆C 的方程为2214x y +=． ……………5分 (Ⅱ)因为ON OA OB =+，所以四边形OANB 为平行四边形． 依题意得直线l 的方程为23y x =-+，由22223174832044y x x x x y =-+⎧⇒-+=⎨+=⎩ ……………7分 248417321280∆=-⨯⨯=>，知直线l 与椭圆有两个交点则4817A B x x +=，3217A B x x = ……………9分则||17AB ==O 点到直线l 的距离d =．则1||2AOB S d AB ∆=⨯=，从而2OANBS S AB ∆==．……………12分。
贵州省凯里市第一中学2018-2019学年高二下学期开学考试数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U={1,2，3，4，5，6}，集合A={1,3，4，6}，集合B={2,3，5}，则集合A∩(∁U B)为()A. {3}B. {2,5}C. {1,4，6}D. {2,3，5}【答案】C【解析】解：∁U B={1,4，6}；∴A∩(∁U B)={1,4，6}．故选：C．进行补集、交集的运算即可．考查列举法的定义，以及补集和交集的运算．2.直线3x−√3y−1=0的倾斜角是()A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6【答案】B【解析】解：直线3x−√3y−1=0，即y=√3x−√33故直线的斜率为：√3．设直线的斜率为α，则0≤α<π，且tanα=√3，故α=π3，故选：B．把直线的方程化为斜截式，求出斜率，根据斜率和倾斜角的关系，倾斜角的范围，求出倾斜角的大小．本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小.求出直线的斜率是解题的关键．3.下列说法正确的是()A. 函数f(x)=1x在其定义域上是减函数B. 两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件C. 命题“∃x∈R，x2+x+1>0”的否定是“∀x∈R，x2+x+1<0”D. 给定命题p、q，若p∧q是真命题，￢p则是假命题【答案】D【解析】解：A.函数 f ( x)=1x 在其定义域上不具备单调性，故A 错误， B .两个三角形全等，则两个三角形面积相等，即充分性成立，当两个三角形面积相等时，两个三角形不一定全等，即必要性不成立， 即两个三角形全等是这两个三角形面积相等的充分不必要条件，故B 错误，C .命题“∃x ∈R ，x 2+x +1>0”的否定是“∀x ∈R ，x 2+x +1≤0”，故C 错误，D .给定命题 p 、q ，若 p ∧q 是真命题，则p ，q 都是真命题，则￢p 则是假命题正确，故D 正确 故选：D ．A .根据函数f(x)单调性的性质进行判断B .结合充分条件和必要条件的定义进行判断C .根据特称命题的否定是全称命题进行判断D .根据复合命题真假关系进行判断本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，但难度不大．4. 若120∘角的终边上有一点(−4,a)，则a 的值为( )A. −4√3B. ±4√3C. 4 √3D. 2√3【答案】C【解析】解：∵120∘角的终边上有一点(−4,a)，∴tan120∘=−tan60∘=−√3=a−4， ∴a =4√3， 故选：C ．利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得a 的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．5. 已知向量a ⃗ =(−1,1), b ⃗ =(2,−3)，则2a ⃗ −b ⃗ 等于( )A. (4,−5)B. (−4,5)C. (0,−1)D. (0,1)【答案】B【解析】解：∵a ⃗ =(−1,1), b⃗ =(2,−3) ∴2a ⃗ −b ⃗ =(−2,2)−(2,−3)=(−4,5) 故选：B ．利用向量的数乘运算法则和向量的减法运算法则求出向量的坐标．利用向量的运算法则求向量的坐标，注意向量的加、减、数乘的运算结果仍为向量，而向量的数量积为实数．6. 若函数f(x)=ax 2+x +a +1在(−2,+∞)上是单调递增函数，则a 取值范围是()A. (−∞,14]B. (0,14] C. [0,14] D. [14,+∞)【答案】C【解析】解：根据题意，函数f(x)=ax2+x+a+1，分2种情况讨论：①，当a=0时，f(x)=x+1，在R上为增函数，符合题意；②，当a≠0时，函数f(x)=ax2+x+a+1为二次函数，其对称轴为x=−12a，若函数f(x)=ax2+x+a+1在(−2,+∞)上是单调递增函数，则有{a>0−12a≤−2，解可得0<a≤14；综合可得：a的取值范围为[0,14]；故选：C．根据题意，分2种情况讨论：①，当a=0时，f(x)=x+1，分析可得其符合题意，②，当a≠0时，函数f(x)=ax2+x+a+1为二次函数，结合二次函数的性质分析可得a 的取值范围，综合2种情况即可得答案．本题考查二次函数的单调性，注意a的值可能为0，属于基础题．7.如果执行如图的程序框图，那么输出的S=()A. 90B. 110C. 250D. 209【答案】B【解析】解：第一次循环，k=1，S=0+2=2；第二次循环，k=2，S=2+2×2=2+4=6；第三次循环，k=3，S=6+2×3=6+6=12；第四次循环，k=4，S=12+2×4=12+8=20；第五次循环，k=5，S=20+2×5=20+10=30；第六次循环，k=6，S=30+2×6=30+12=42；第七次循环，k=7，S=42+2×7=42+14=56；第八次循环，k=8，S=56+2×8=56+16=72；第九次循环，k=9，S=72+2×9=72+18=90；第十次循环，k=10，S=90+2×10=90+20=110；此时k=10+1=11，不满足循环条件k<11，终止循环输出S=110．故选：B．根据题意，模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的S值．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序的运行过程，是基础题．8.设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是()A. 若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB. 若l//α，m//α，则l//mC. 若l//α，m⊂α，则l//mD. 若l⊥α，l//m，则m⊥α【答案】D【解析】解：由l，m是两条不同的直线，α是一个平面，知：在A中，若l⊥m，m⊂α，则l与α相交或l⊂α，故A错误；在B中，若l//α，m//α，则l与m相交、平行或异面，故B错误；在C中，若l//α，m⊂α，则l与m平行或异面，故C错误；在D中，若l⊥α，l//m，则由线面垂直的判定定理得m⊥α，故D正确．故选：D．在A中，l与α相交或l⊂α；在B中，l与m相交、平行或异面；在C中，l与m平行或异面；在D中，由线面垂直的判定定理得m⊥α．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数表结合思想，是中档题．9.如表是某小卖部一周卖出热茶的杯数与当天气温的对比表：气温/℃18131040杯数2434395162若热茶杯数y与气温x近似地满足线性关系，则其关系式最接近的是()A. y=x+6B. y=−x+42C. y=−2x+60D. y=−3x+78【答案】C【解析】解：五日的气温的平均值为9，杯数的平均值为42，根据线性回归方程的定义可知，当x=9时，y=42，代入验证可知C正确，故选：C．根据线线回归直线方程过(x−,y−)，求出代入验证即可．考查了线性回归直线的概念和求法，掌握回归直线方程的求法．10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的体积为()A. 83B. 8C. 43D. 4【答案】A【解析】解：几何体为三棱锥，直观图如图所示：其中PA⊥底面ABCD，是正方体的一部分，棱长为：2，棱锥的体积V=13×2×2×2=83．故选：A．作出几何体的直观图，得出外接球的半径，代入体积公式计算得出答案．本题考查了棱锥的三视图，棱锥与外接球的位置关系，体积公式，属于中档题．11.设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30∘，则C的离心率为()A. √66B. 13C. 12D. √33【答案】D【解析】解：|PF2|=x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30∘，∴|PF1|=2x，|F1F2|=√3x，又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c∴2a=3x，2c=√3x，∴C的离心率为：e=2c2a =√33．故选：D．设|PF2|=x，在直角三角形PF1F2中，依题意可求得|PF1|与|F1F2|，利用椭圆离心率的性质即可求得答案．本题考查椭圆的简单性质，求得|PF1|与|PF2|及|F1F2|是关键，考查理解与应用能力，属于中档题．12.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=lnx+x2f′(1)，则f′(1)=()A. −1B. eC. −eD. 1【答案】A【解析】解：根据题意，f(x)=lnx +x 2f′(1)， 则f′(x)=1x +2xf′(1)，令x =1可得：f′(1)=1+2f′(1)， 解可得：f′(1)=−1， 故选：A ．根据题意，求出函数的导数，f′(x)=1x +2xf′(1)，令x =1可得：f′(1)=1+2f′(1)，解可得f′(1)的值，即可得答案．本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设{a n }是等差数列，a 1=2且a 3+a 6=8，则a 8=______． 【答案】6【解析】解：在等差数列{a n }中，由a 1=2且a 3+a 6=8， 得2a 1+7d =8，即7d =8−2a 1=4，d =47． ∴a 8=a 1+7d =2+7×47=6．故答案为：6．由已知求得等差数列的公差，再由等差数列的通项公式求得a 8． 本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题．14. 已知实数x ，y 满足{y ≤2xx +y ≥1x −y ≤1，则目标函数z =2y −x 的最小值为______．【答案】−1【解析】解：由约束条件{y ≤2xx +y ≥1x −y ≤1作出可行域如图，A(1,0)，化z =2y −x 为y =x2+z2，由图可知，当直线y =x2+z2过A 时， 直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为−1．故答案为：−1．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．15.已知圆C：(x−4)2+(y+2)2=5.由直线y=x+2上离圆心最近的点M向圆C引切线，切点为N，则线段MN的长为______．【答案】3√3【解析】解：根据题意，圆C：(x−4)2+(y+2)2=5的圆心为(4,2)，半径r=√5，在直线y=x+2上离圆心最近的点M为圆心在直线y=x+2的射影，最小距离为圆心C到直线的距离，且其最小距离d=√1+1=4√2，则线段MN的长为√32−5=√27=3√3；故答案为：3√3．根据题意，分析圆C的圆心与半径，分析可得在直线y=x+2上离圆心最近的点M为圆心在直线y=x+2的射影，最小距离为圆心C到直线的距离，由点到直线的距离公式求出d的值，由切线长公式计算可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的切线方程，属于基础题．16.已知直线l的方程为x−y+2=0，抛物线为y2=2x，若点P是抛物线上任一点，则点P到直线l的最短距离是______．【答案】3√24【解析】解：设P(y022,y0)是抛物线上任意一点，则点P到直线l：x−y+2=0的距离：d=|y022−y+2|√2=122√2，当y0=1时，点P到直线l的最短距离：d min=2√2=3√24．∴点P到直线l的最短距离为3√24．故答案为：3√24．设P(y022,y0)是抛物线上任意一点，则点P到直线l：x−y+2=0的距离：d=|y022−y+2|√2=1 202√2，由此能求出点P到直线l的最短距离．本题考查抛物线上的点到直线的距离的最小值的求法，考查抛物线性质、点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.等比数列{a n}中，a1=2，a4=16．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)若a3，a5分别为等差数列{b n}的第4项和第16项，试求数列{b n}的前项和S n．【答案】解：(Ⅰ)设{a n}的公比为q，由a1=2，a4=16得：16=2q3，解得q=2，又a1=2，所以a n=a1q n−1=2⋅2n−1=2n；(Ⅱ)由(I)得a3=8，a5=32，则b4=8，b16=32，设{b n}的公差为d，则有{b1+15d=32b1+3d=8，解得b1=d=2，则数列{b n}的前n项和S n=2n+12n(n−1)⋅2=n2+n．【解析】(Ⅰ)设{a n}的公比为q，由等比数列的通项公式，可得公比q，即可得到所求通项公式；(Ⅱ)运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和首项，再由等差数列的求和公式，计算即可得到所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式，以及等差数列的求和公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．18.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=bcosC+√3csinB．(1)求B；(2)若b=1，求△ABC面积的最大值．【答案】解：(1)由已知a=bcosC+√3csinB及正弦定理得：sinA=sinBcosC+√3sinCsinB.①又A=π−(B+C)，故sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC.②由①②和C∈(0,π)得：√3sinB=cosB,tanB=√33，又B∈(0,π)，所以B=π6．(2)△ABC的面积S=12acsinB=14ac，由已知及余弦定理得1=a2+c2−2accosπ6=a2+c2−√3ac，又a2+c2≥2ac，故ac≤2−√3=2+√3，当且仅当a=c时，等号成立．因此△ABC面积的最大值为2+√34．【解析】(1)由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可得tanB的值，结合范围B∈(0,π)，可求B的值．(2)由已知及余弦定理，基本不等式可求ac≤2−√3=2+√3，根据三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19.分别抛掷两颗骰子各一次，观察向上的点数，求：(1)两数之和为5的概率；(2)以第一次向上的点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点(x,y)在圆x2+y2=15内部的概率．【答案】解：(1)将一颗骰子先后抛掷2次，含有36个等可能基本事件：(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)，记“两数之和为5”为事件A，则事件A中含有4个基本事件：(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)∴两点数之和为5的概率P(A)=436=19；(2)点(x,y)在圆x2+y2=15的内部记为事件C，则C包含8个事件：(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)(3,1)(3,2)，∴点(x,y)在圆x2+y2=15的内部的概率P(C)=836=29．【解析】(1)列举可得共有36个等可能基本事件，“两数之和为5”含有4个基本事件，由概率公式可得；(2)点(x,y)在圆x2+y2=15的内部包含8个事件，由概率公式可得．本题考查列举法计算基本事件数以及事件发生的概率，属基础题．20.如图所示，正四棱椎P−ABCD中，底面ABCD的边长为2，侧棱长为2√2，E为PD的中点．(1)求证：PB//平面AEC；(2)若F为PA上的一点，且PFFA=3，求三棱椎A−BDF的体积．【答案】(1)证明：设BD交AC于O，连接OE，则在三角形BDP中，O、E分别为BD、PD的中点，∴OE//PB，又OE⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，∴PB//平面AEC；(2)解：由已知可得，PO=√PD2−OD2=√6．又PO⊥平面ABCD，且PFFA=3，∴F到平面ABD的距离为14PO．∴V A−BDF=V F−ABD=13×S△ABD×(14PO)=13×12×2×2×14×√6=√66．【解析】(1)设BD交AC于O，连接OE，由三角形中位线定理可得OE//PB，再由线面平行的判定可得PB//平面AEC；(2)求出PO，结合已知可得F到平面ABD的距离为14PO，然后利用等积法求三棱椎A−BDF的体积．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．21.已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2，点(1,32)在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程；(2)过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且△AF2B的面积为12√27，求直线l的方程．11 【答案】解：(1)由题意可设椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)， 由|F 1F 2|=2得c =1，∴F 1(−1,0)，F 2(1,0)，又点(1,32)在椭圆C 上，∴2a =√(1+1)2+(32)2+√(1−1)2+(32)2=4，a =2.则b 2=a 2−c 2=4−1=3． ∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1； (2)如图，设直线l 的方程为x =ty −1，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，把x =ty −1代入x 24+y 23=1，得：(3t 2+4)y 2−6ty −9=0 ∴{y 1+y 2=6t 3t 2+4y 1y 2=−93t 2+4， ∴|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√(6t 3t 2+4)2−4×−9(3t 2+4)=12√t 2+13t 2+4， ∴S =12|F 1F 2||y 1−y 2|=12√t 2+13t 2+4=12√27，∴t 2=1，解得：t 2=−1718(舍)或t 2=1，t =±1．故所求直线方程为：x ±y +1=0． 【解析】(1)由题意可设椭圆的标准方程，并求出椭圆两个焦点的坐标，又点(1,32)在椭圆C 上，利用椭圆定义可求出长轴长，从而求出椭圆C 的方程；(2)为避免讨论可设过F 1的直线l 的方程为x =ty −1，和椭圆方程联立后化为关于y 的一元二次方程，利用根与系数的关系求出直线和椭圆两个交点纵坐标的和与积，△AF 2B 的面积就是12|F 1F 2||y 1−y 2|=12√27，由此求出t 的值，则直线l 的方程可求．本题考查了利用定义求椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，采用了设而不求的数学方法，该题把直线l 的方程设为x =ty −1，避免了讨论直线斜率存在和不存在的情况，此题属中档题．22. 已知函数f(x)=x 3−3x 2−9x +1(x ∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间．(2)若f(x)−2a +1≥0对∀x ∈[−2,4]恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】解：(1)f′(x)=3x 2−6x −9，令f′(x)>0，解得：x <−1或x >3，令f′(x)<0，解得：−1<x <3，故函数f(x)的单调增区间为(−∞,−1)，(3,+∞)，单调减区间为(−1,3)；(2)由(1)知f(x)在[−2,−1]上单调递增，在[−1,3]上单调递减，在[3,4]上单调递增，又f(−2)=−1，f(3)=−26，f(3)<f(−2)，∴f(x)min=−26，∵f(x)−2a+1≥0对∀x∈[−2,4]恒成立，∴f(x)min≥2a−1，即2a−1≤−26，∴a≤−25．2【解析】(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；(2)根据函数的单调性求出端点值和极值，从而求出f(x)的最小值，得到关于a的不等式，求出a的范围即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．第!异常的公式结尾页，共12页12。
