《周期性、奇偶性》三角函数PPT【推荐课件】30页PPT

第2课时 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性1.周期函数 (1)周期函数. 条件①对于函数f (x )，存在一个非零常数T②当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x ) 结论函数f (x )叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期 (2)最小正周期.条件 周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数结论这个最小正数叫做f (x )的最小正周期状元随笔 关于最小正周期(1)并不是所有的周期函数都有最小正周期，如常数函数f(x)＝C ，对于任意非零常数T ，都有f(x ＋T)＝f(x)，即任意常数T 都是函数的周期，因此没有最小正周期．(2)对于函数y ＝A sin (ωx ＋φ)＋B ，y ＝A cos (ωx ＋φ)＋B ，可以利用公式T ＝2π|ω|求最小正周期．2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性函数 y ＝sin x y ＝cos x 周期 2k π(k ∈Z 且k ≠0) 2k π(k ∈Z 且k ≠0) 最小正周期 2π 2π 奇偶性 奇函数 偶函数状元随笔 关于正、余弦函数的奇偶性(1)正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，反映在图象上，正弦曲线关于原点O 对称，余弦曲线关于y 轴对称．(2)正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．提醒：诱导公式三是正弦函数、余弦函数的奇偶性的另一种表示形式． [小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果存在常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么这个函数的周期为T .( )(2)如果存在非零常数T ，使得定义域内存在一个值x ，有f (x ＋T )＝f (x )，那么这个函数的周期为T .( )(3)函数y ＝sin x ，x ∈(－π，π]是奇函数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)×2．下列函数中，周期为π2的是( )A ．y ＝sin x2 B ．y ＝sin 2xC ．y ＝cos x4D ．y ＝cos 4x解析：对于A ，T ＝2π12＝4π，对于B ，T ＝2π2＝π，对于C ，T ＝2π14＝8π，对于D ，T ＝2π4＝π2.答案：D3．函数f (x )＝sin(－x )的奇偶性是( ) A ．奇函数 B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数解析：由于x ∈R ，且f (－x )＝sin x ＝－sin(－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，故选A. 答案：A4．下列函数中是偶函数的是( ) A ．y ＝sin 2x B ．y ＝－sin x C ．y ＝sin|x | D ．y ＝sin x ＋1解析：A 、B 是奇函数，D 是非奇非偶函数，C 符合f (－x )＝sin|－x |＝sin|x |＝f (x )，∴y ＝sin|x |是偶函数．答案：C类型一 求三角函数的周期例1 (1)下列函数中，不是周期函数的是( ) A.y ＝|cos x | B ．y ＝cos|x | C ．y ＝|sin x | D ．y ＝sin|x |(2)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3－π6的周期为________．【解析】 (1)画出y ＝sin|x |的图象，易知y ＝sin|x |不是周期函数．(2)方法一 因为2sin ⎝⎛⎭⎫x 3－π6＋2π＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3－π6， 即2sin ⎣⎡⎦⎤13(x ＋6π)－π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3－π6. 所以y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3－π6的最小正周期是6π.方法二 函数的周期T ＝2π|ω|＝2π13＝6π.【答案】 (1)D (2)6π(1)作出函数的图象，根据周期的定义判断．(2)利用周期的定义，需要满足f(x ＋T)＝f(x) ；也可利用公式T ＝2π|ω|计算周期．方法归纳求函数周期的方法(1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数x 都满足f (x ＋T )＝f (x )的非零常数T .该方法主要适用于抽象函数．(2)公式法：对形如y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中A ，ω，φ是常数，且A ≠0)，可利用T ＝2π|ω|来求．(3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般采用此法．跟踪训练1 求下列函数的周期． (1)y ＝2sin 2x ；(2)y ＝cos ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6.解析：(1)方法一 因为2sin(2x ＋2π)＝2sin 2x ，即2sin 2(x ＋π)＝2sin 2x .由周期函数的定义，可知原函数的周期为π.方法二 T ＝2π2＝π.(2)方法一 因为cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12x ＋π6＋2π＝cos ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6，即cos ⎣⎡⎦⎤12(x ＋4π)＋π6＝cos ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6. 由周期函数的定义，可知原函数的周期为4π.方法二 T ＝2π12＝4π(1)利用周期的定义求函数周期．(2)利用公式T ＝2π|ω |求函数周期．类型二 正、余弦函数的奇偶性问题 例2 判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π2； (2)f (x )＝sin(cos x )．【解析】 (1)函数的定义域为R .且f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＝－sin 2x . 因为f (－x )＝－sin(－2x )＝sin 2x ＝－f (x )，所以函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π2是奇函数． (2)函数的定义域为R .且f (－x )＝sin[cos(－x )]＝sin(cos x )＝f (x )， 所以函数f (x )＝sin(cos x )是偶函数.先用诱导公式化简，再利用定义法判断函数的奇偶性．方法归纳利用定义判断函数奇偶性的三个步骤注意：若函数f (x )的定义域不关于原点对称，无论f (－x )与f (x )有何关系，f (x )仍然是非奇非偶函数．跟踪训练2 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝|sin x |＋cos x ；(2)f (x )＝1－cos x ＋cos x －1.解析：(1)函数的定义域为R ，又f (－x )＝|sin(－x )|＋cos(－x )＝|sin x |＋cos x ＝f (x )，所以f (x )是偶函数． (2)由1－cos x ≥0且cos x －1≥0，得cos x ＝1，从而x ＝2k π，k ∈Z ，此时f (x )＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数． (1)利用定义法判断函数的奇偶性．(2)由偶次根式被开方数大于等于0求出cos x 的值以及x 的值，最后判断函数的奇偶性．类型三 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用例3 定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，求f ⎝⎛⎭⎫5π3的值． 【解析】 因为f (x )的最小正周期是π，所以f ⎝⎛⎭⎫5π3＝f ⎝⎛⎭⎫5π3－2π＝f ⎝⎛⎭⎫－π3， 因为f (x )是R 上的偶函数，所以f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin π3＝32. 利用周期性 f ⎝⎛⎭⎫5π3＝f ⎝⎛⎭⎫53π－2π＝f ⎝⎛⎭⎫－π3，再利用奇偶性f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3，最后代入求值．方法归纳三角函数周期性与奇偶性的解题策略(1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的形式，再利用公式求解．(2)判断函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y ＝A sin ωx (Aω≠0)或y ＝A cos ωx (Aω≠0)其中的一个．跟踪训练3 若本例中函数的最小正周期变为π2，其他条件不变，求f ⎝⎛⎭⎫－176π的值． 解析：因为f (x )的最小正周期是π2，所以f ⎝⎛⎭⎫－176π＝f ⎝⎛⎭⎫－3π＋π6＝f ⎝⎛⎭⎫－6×π2＋π6＝f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin π6＝12利用周期性f ⎝⎛⎭⎫－176π＝f ⎝⎛⎭⎫－3π＋π6＝f ⎝⎛⎭⎫π6代入求值．1.4.1-2.2[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．函数y ＝－5cos(3x ＋1)的最小正周期为( ) A.π3B ．3πD ．因为cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝sin x ，所以π2是y ＝cos x 的一个周期 解析：若T 是f (x )的周期，则对于f (x )的定义域内任意x 都有f (x ＋T )＝f (x )成立，B ，C ，D 错误．答案：A12．若函数f (x )的定义域为R ，最小正周期为3π2，且满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，－π2≤x <0，sin x ，0≤x <π，则f ⎝⎛⎭⎫－15π4＝________. 解析：f ⎝⎛⎭⎫－154π＝f ⎝⎛⎭⎫－15π4＋3π2×3＝f ⎝⎛⎭⎫3π4＝sin 3π4＝22. 答案：2213．已知函数y ＝12cos x ＋12|cos x |.(1)画出函数的图象；(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期．解析：(1)y ＝12cos x ＋12|cos x |＝⎩⎨⎧cos x ，x ∈⎝⎛⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，0，x ∈⎝⎛⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )，函数图象如图所示．(2)由图象知这个函数是周期函数，且最小正周期是2π. 14．已知f (x )是R 上的奇函数，且f (x ＋2)＝－f (x )． (1)求证：f (x )是以4为周期的函数；(2)当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，求f (7.5)的值．解析：(1)证明：f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )， 所以f (x )是以4为周期的函数． (2)由(1)可知f (x ＋4)＝f (x )，所以f (7.5)＝f (3.5＋4)＝f (3.5)＝f (－0.5＋4)＝f (－0.5)＝－f (0.5)＝－0.5.。