2012年考研数学三真题及答案

2012年考研数学三真题

一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）

(1)曲线𝑦=𝑥2+𝑥𝑥2−1渐近线的条数为

(A)0 (B)1

(C)2 (D)3

【答案】C。

【解析】

由𝑙𝑖𝑚𝑥→+∞𝑦=𝑙𝑖𝑚𝑥→+∞𝑥2+𝑥𝑥2−1=1=𝑙𝑖𝑚𝑥→−∞𝑦=𝑙𝑖𝑚𝑥→−∞𝑥2+𝑥𝑥2−1,

得𝑦=1是曲线的一条水平渐近线且曲线没有斜渐近线；

由𝑙𝑖𝑚𝑥→1𝑦=𝑙𝑖𝑚𝑥→1𝑥2+𝑥𝑥2−1=∞得𝑥=1是曲线的一条垂直渐近线；

由𝑙𝑖𝑚𝑥→−1𝑦=𝑙𝑖𝑚𝑥→−1𝑥2+𝑥𝑥2−1=12得𝑥=−1不是曲线的渐近线；

综上所述，本题正确答案是C

【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸、拐点及渐近线

(2)设函数𝑓(𝑥)=(𝑒𝑥−1)(𝑒2𝑥−2)⋯(𝑒𝑛𝑥−𝑛),其中𝑛为正整数，则𝑓′(0)=

(A)(−1)𝑛−1(𝑛−1)! (B) (−1)𝑛(𝑛−1)!

(C)(−1)𝑛−1(𝑛)! (D) (−1)𝑛(𝑛)!

【答案】A

【解析】

【方法1】 令g(𝑥)=(𝑒2𝑥−2)⋯(𝑒𝑛𝑥−𝑛),则

𝑓(𝑥)=(𝑒𝑥−1)g(𝑥)

𝑓′(𝑥)=𝑒𝑥g(𝑥)+(𝑒𝑥−1)g′(𝑥)

𝑓′(0)=g(0)=(−1)(−2)⋯(−(𝑛−1))

=(−1)𝑛−1(𝑛−1)!

故应选A.

【方法2】

由于𝑓(0)=0,由导数定义知

𝑓′(0)=𝑙𝑖𝑚𝑥→0𝑓(𝑥)𝑥=𝑙𝑖𝑚𝑥→0(𝑒𝑥−1)(𝑒2𝑥−2)⋯(𝑒𝑛𝑥−𝑛)𝑥

=𝑙𝑖𝑚𝑥→0(𝑒𝑥−1)𝑥∙𝑙𝑖𝑚𝑥→0(𝑒2𝑥−2)⋯(𝑒𝑛𝑥−𝑛)

=(−1)(−2)⋯(−(𝑛−1))=(−1)𝑛−1(𝑛−1)!.

【方法3】

排除法，令𝑛=2,则

𝑓(𝑥)=(𝑒𝑥−1)(𝑒2𝑥−2)

𝑓′(𝑥)=𝑒𝑥(𝑒2𝑥−2)+2𝑒2𝑥(𝑒𝑥−1)

𝑓′(0)=1−2=−1

则(B)(C)(D)均不正确

综上所述，本题正确答案是(A)

【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念

(3)设函数𝑓(𝑡)连续，则二次积分∫𝑑𝜃𝜋20∫𝑓(𝑟2)𝑟𝑑𝑟22𝑐𝑜𝑠𝜃=

(A)∫𝑑𝑥20∫√𝑥2+𝑦2𝑓(𝑥2+𝑦2)𝑑𝑦√4−𝑥2√2𝑥−𝑥2

(B) ∫𝑑𝑥20∫𝑓(𝑥2+𝑦2)𝑑𝑦√4−𝑥2√2𝑥−𝑥2 (C) ∫𝑑𝑦20∫√𝑥2+𝑦2𝑓(𝑥2+𝑦2)𝑑𝑥√4−𝑦21+√1−𝑦2

(D) ∫𝑑𝑦20∫𝑓(𝑥2+𝑦2)𝑑𝑥√4−𝑦21+√1−𝑦2

【答案】B。

【解析】

令𝑥=𝑟𝑐𝑜𝑠 𝜃,𝑦=𝑟𝑠𝑖𝑛 𝜃,则𝑟=2所对应的直角坐标方程为𝑥2+𝑦2=4,𝑟=2𝑐𝑜𝑠 𝜃所对应的直角坐标方程为(𝑥−1)2+𝑦2=1。

由∫𝑑𝜃𝜋20∫𝑓(𝑟2)𝑟𝑑𝑟22𝑐𝑜𝑠𝜃的积分区域

2𝑐𝑜𝑠𝜃<𝑟<2,0<𝜃<𝜋2

得在直角坐标下的表示为

√2𝑥−𝑥2<𝑦<√4−𝑥2, 0<𝑥<2

所以∫𝑑𝜃𝜋20∫𝑓(𝑟2)𝑟𝑑𝑟22𝑐𝑜𝑠𝜃=∫𝑑𝑥20∫𝑓(𝑥2+𝑦2)𝑑𝑦√4−𝑥2√2𝑥−𝑥2

综上所述，本题正确答案是(B)。

【考点】高等数学—多元函数微积分学—二重积分的概念、基本性质和计算

(4)已知级数∑(−1)𝑛√𝑛𝑠𝑖𝑛1𝑛𝛼∞𝑛=1绝对收敛，级数∑(−1)𝑛𝑛2−𝛼∞𝑛=1条件收敛，则

(A)0<𝛼≤12 (B) 12<𝛼≤1

(C)1<𝛼≤32 (D) 32<𝛼<2

【答案】D。

【解析】

由级数∑(−1)𝑛√𝑛𝑠𝑖𝑛1𝑛𝛼∞𝑛=1绝对收敛，且当𝑛→∞时|(−1)𝑛√𝑛𝑠𝑖𝑛1𝑛𝛼|~1𝑛α−12，故α−12>1,即α>32 由级数∑(−1)𝑛𝑛2−𝛼∞𝑛=1条件收敛，知α<2

综上所述，本题正确答案是(D)

【考点】高等数学—无穷级数—数项级数敛散性的判定

(5)设𝜶1=[00𝑐1],𝜶2=[01𝑐2],𝜶3=[1−1𝑐3],𝜶4=[−11𝑐4], 其中𝑐1,𝑐2,𝑐3,𝑐4为任意常数，则下列向量组线性相关的为

(A) 𝜶1,𝜶2,𝜶3 (B) 𝜶1,𝜶2,𝜶4

(C) 𝜶1,𝜶3,𝜶4 (D) 𝜶2,𝜶3,𝜶4

【答案】C。

【解析】

𝑛个𝑛维向量相关⇔|𝜶1,𝜶2,⋯𝜶𝑛|=0

显然,,,,,,|𝜶1,𝜶3,𝜶4|=|01−10−11𝑐1𝑐3𝑐4|=0

所以𝜶1,𝜶3,𝜶4必线性相关

综上所述，本题正确答案是(C)。

【考点】线性代数—向量—向量组的线性相关和线性无关

(6)设𝑨为3阶矩阵，𝑷为3阶可逆矩阵，且𝑷−𝟏𝑨𝑷=[100010002].若𝑷=(𝜶𝟏,𝜶𝟐,𝜶𝟑),𝑸=(𝜶𝟏+𝜶𝟐,𝜶𝟐,𝜶𝟑),则𝑸−𝟏𝑨𝑸=

(A) [100020001] (B)[100010002]

(C) [200010002] (D)[200020001]

【答案】B。 【解析】由于𝑷经列变换(把第2列加至第1列)为𝑸，有

𝑸=𝑷[100110001]=𝑷𝑬21(1)

那么𝑸−1𝑨𝑸=[𝑷𝑬𝟐𝟏(𝟏)]−𝟏𝑨𝑷𝑬𝟐𝟏(𝟏)=𝑬𝟐𝟏(𝟏)−𝟏𝑷−𝟏𝑨𝑷𝑬𝟐𝟏(𝟏)

=[100−110001][100010002][100110001]=[100010002]

综上所述，本题正确答案是(B)。

【考点】线性代数—矩阵—矩阵运算、初等变换

(7)设随机变量𝑋,𝑌相互独立，且都服从区间(0,1)上的均匀分布，则𝑃{𝑋+𝑌2≤1}=

(A) 14 (B) 12

(C) π8 (D) π4

【答案】D。

【解析】

𝑃{𝑋2+𝑌2≤1}=∬𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑥2+𝑦2≤1

而𝑓(𝑥,𝑦)=𝑓𝑋(𝑥)𝑓𝑌(𝑦)={1,0<𝑥<1,0<𝑦<1,0,其他

即𝑓(𝑥,𝑦)是在正方形0<𝑥<1,0<𝑦<1上等于常数1，其余地方均为0，

∬𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑥2+𝑦2≤1实际上就是单位圆𝑥2+𝑦2≤1在第一象限的面积。

综上所述，本题正确答案是D。

【考点】概率论与数理统计—多维随机变量的分布—二维随机变量分布

(8)设𝑋1,𝑋2,𝑋3,𝑋4为来自总体𝑁(1,𝜎2)(𝜎>0)的简单随机样本，则统计量𝑋1−𝑋2|𝑋3+𝑋4−2|的分布为

(A)𝑁(0,1) (B)𝑡(1)

(C)𝜒2(1) (D)𝐹(1,1)

【答案】B。

【解析】

1，𝑋1−𝑋2~𝑁(0,2𝜎2)，故𝑋1−𝑋2√2σ~𝑁(0,1)；

2，𝑋3+𝑋4−2~𝑁(0,2𝜎2)，故𝑋3+𝑋4−2√2σ~𝑁(0,1)，(𝑋3+𝑋4−2√2σ)2~𝜒2(1)

,,,√(𝑋3+𝑋4−2√2σ)2/1=|𝑋3+𝑋4−2|√2σ

3，𝑋1−𝑋2与𝑋3+𝑋4−2相互独立。𝑋1−𝑋2√2σ与(𝑋3+𝑋4−2√2σ)2也相互独立，

,,,所以𝑋1−𝑋2√2σ|𝑋3+𝑋4−2|√2σ=𝑋1−𝑋2|𝑋3+𝑋4−2|~𝑡(1)

综上所述，本题正确答案是B。

【考点】概率论与数理统计—数理统计的概念

二、填空题（9~14小题，每小题4分，共24分。）

(9)𝑙𝑖𝑚𝑥→𝜋4(𝑡𝑎𝑛𝑥)1𝑐𝑜𝑠𝑥−𝑠𝑖𝑛𝑥=,,,,,,,。

【答案】𝑒−√2。

【解析】这是一个‘1∞’型极限，由于 (𝑡𝑎𝑛𝑥)1𝑐𝑜𝑠𝑥−𝑠𝑖𝑛𝑥=[1+(𝑡𝑎𝑛𝑥−1)]1𝑐𝑜𝑠𝑥−𝑠𝑖𝑛𝑥

𝑙𝑖𝑚𝑥→𝜋4𝑡𝑎𝑛𝑥−1𝑐𝑜𝑠𝑥−𝑠𝑖𝑛𝑥=𝑙𝑖𝑚𝑥→𝜋4𝑡𝑎𝑛𝑥−1𝑐𝑜𝑠𝑥(1−𝑡𝑎𝑛𝑥)=𝑙𝑖𝑚𝑥→𝜋4−1𝑐𝑜𝑠𝑥=−√2

所以𝑙𝑖𝑚𝑥→𝜋4(𝑡𝑎𝑛𝑥)1𝑐𝑜𝑠𝑥−𝑠𝑖𝑛𝑥=𝑒−√2

【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限

(10)设函数𝑓(𝑥)={𝑙𝑛√𝑥,𝑥≥12𝑥−1,𝑥<1 𝑦=𝑓(𝑓(𝑥)),则𝑑𝑦𝑑𝑥|𝑥=𝑒=,,,,,,。

【答案】1𝑒

【解析】

𝑦=𝑓(𝑓(𝑥))可看做𝑦=𝑓(𝑢) 与𝑢= 𝑓(𝑥)的复合，当𝑥=𝑒时

𝑢= 𝑓(𝑒)=𝑙𝑛√𝑒=12𝑙𝑛𝑒=12

由复合函数求导法则知

𝑑𝑦𝑑𝑥|𝑥=𝑒=𝑓′(12)∙𝑓′(𝑒)=2∙12𝑥|𝑥=𝑒=1𝑒

【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念

(11)设连续函数𝑧=𝑓(𝑥,𝑦)满足lim𝑥→0𝑦→1𝑓(𝑥,𝑦)−2𝑥+𝑦−2√𝑥2+(𝑦−1)2=0 则𝑑𝑧|(0,1)=

,,,,,,,。

,,,【答案】2𝑑𝑥−𝑑𝑦

,,,【解析】

,,,由lim𝑥→0𝑦→1𝑓(𝑥,𝑦)−2𝑥+𝑦−2√𝑥2+(𝑦−1)2=0，且𝑧=𝑓(𝑥,𝑦)连续，可得𝑓(0,1)=1 且

,,,𝑓(𝑥,𝑦)−𝑓(0,1)=2𝑥−(𝑦−1)+𝑜(√𝑥2+(𝑦−1)2) (𝑥→0𝑦→1)

,,,由可微的定义得,,𝑓′𝑥(0,1)=2,𝑓′𝑦(0,1)=−1 即