2011年考研数学三真题及答案
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2011年考研数学三真题
一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分。下列媒体给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）
(1)已知当𝑥→0时，𝑓(𝑥)=3𝑠𝑖𝑛𝑥−𝑠𝑖𝑛3𝑥与𝑐𝑥𝑘是等价无穷小，则
(A)𝑘=1,𝑐=4 (B) 𝑘=1,𝑐=−4
(C)𝑘=3,𝑐=4 (D) 𝑘=3,𝑐=−4
【答案】C。
【解析】
【方法一】
𝑙𝑖𝑚𝑥→03𝑠𝑖𝑛𝑥−𝑠𝑖𝑛3𝑥𝑐𝑥𝑘=𝑙𝑖𝑚𝑥→03𝑐𝑜𝑠𝑥−3𝑐𝑜𝑠3𝑥𝑐𝑘𝑥𝑘−1 (洛必达法则)
=3𝑙𝑖𝑚𝑥→0−𝑠𝑖𝑛𝑥+3𝑠𝑖𝑛3𝑥𝑐𝑘(𝑘−1)𝑥𝑘−2 (洛必达法则)
=1𝑐(𝑙𝑖𝑚𝑥→0−𝑠𝑖𝑛𝑥2𝑥+𝑙𝑖𝑚𝑥→03𝑠𝑖𝑛3𝑥2𝑥) (𝑘=3)
=1𝑐(−12+92)=1
由此得𝑐=4。
【方法二】
由泰勒公式知
𝑠𝑖𝑛𝑥=𝑥−𝑥33!+𝑜(𝑥3)
𝑠𝑖𝑛3𝑥=3𝑥−(3𝑥)33!+ 𝑜(𝑥3)
则𝑓(𝑥)=3𝑠𝑖𝑛𝑥−𝑠𝑖𝑛3𝑥=3𝑥−𝑥32−3𝑥+(3𝑥)33!+ 𝑜(𝑥3)
=4𝑥3+ 𝑜(𝑥3)~4𝑥3 (𝑥→0)
故𝑘=3,𝑐=4。 【方法三】
𝑙𝑖𝑚𝑥→03𝑠𝑖𝑛𝑥−𝑠𝑖𝑛3𝑥𝑐𝑥𝑘=𝑙𝑖𝑚𝑥→03𝑠𝑖𝑛𝑥−3𝑥+3𝑥−𝑠𝑖𝑛3𝑥𝑐𝑥𝑘
=1𝑐[𝑙𝑖𝑚𝑥→03(𝑠𝑖𝑛𝑥−𝑥)𝑥𝑘+𝑙𝑖𝑚𝑥→03𝑥−𝑠𝑖𝑛3𝑥𝑥𝑘]
=1𝑐[𝑙𝑖𝑚𝑥→03∙(−16𝑥3)𝑥𝑘+𝑙𝑖𝑚𝑥→016(3𝑥)3𝑥𝑘]
=1𝑐(−12+92) (𝑘=3)
=82𝑐=1
故𝑐=4
综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算
高等数学—一元函数微分学—洛必达(L'Hospital)法则
(2)已知𝑓(𝑥)在𝑥=0处可导，且𝑓(0)=0,则𝑙𝑖𝑚𝑥→0𝑥2𝑓(𝑥)−2𝑓(𝑥3)𝑥3=
(A)−2𝑓′(0) (B)−𝑓′(0)
(C) 𝑓′(0) (D)0
【答案】B。
【解析】
【方法一】加项减项凑𝑥=0处导数定义
𝑙𝑖𝑚𝑥→0𝑥2𝑓(𝑥)−2𝑓(𝑥3)𝑥3=𝑙𝑖𝑚𝑥→0𝑥2𝑓(𝑥)−𝑥2𝑓(0)−2𝑓(𝑥3)+2𝑓(0)𝑥3 =𝑙𝑖𝑚𝑥→0𝑓(𝑥)−𝑓(0)𝑥−2𝑓(𝑥3)−𝑓(0)𝑥3
=𝑓′(0)−2𝑓′(0)=−𝑓′(0)
【方法二】拆项用导数定义
𝑙𝑖𝑚𝑥→0𝑥2𝑓(𝑥)−2𝑓(𝑥3)𝑥3=𝑙𝑖𝑚𝑥→0𝑓(𝑥)𝑥−2𝑙𝑖𝑚𝑥→0𝑓(𝑥3)𝑥3
由于𝑓(0)=0，由导数定义知
𝑙𝑖𝑚𝑥→0𝑓(𝑥)𝑥=𝑓′(0), 𝑙𝑖𝑚𝑥→0𝑓(𝑥3)𝑥3=𝑓′(0)
所以𝑙𝑖𝑚𝑥→0𝑥2𝑓(𝑥)−2𝑓(𝑥3)𝑥3=𝑓′(0)−2𝑓′(0)=−𝑓′(0)
【方法三】排除法：选择符合条件的具体函数𝑓(𝑥)=𝑥,则
𝑙𝑖𝑚𝑥→0𝑥2𝑓(𝑥)−2𝑓(𝑥3)𝑥3=𝑙𝑖𝑚𝑥→0𝑥3−2𝑥3𝑥3=−1
而对于𝑓(𝑥)=𝑥.𝑓′(0)=1,显然选项(A)(C)(D)都是错误的，故应选(B)
【方法四】由于𝑓(𝑥)在𝑥=0处可导，则
𝑓(𝑥)=𝑓(0)+𝑓′(0)𝑥+𝑜(𝑥)=𝑓′(0)𝑥+𝑜(𝑥)
𝑓(𝑥3)=𝑓′(0)𝑥3+𝑜(𝑥3)
𝑙𝑖𝑚𝑥→0𝑥2𝑓(𝑥)−2𝑓(𝑥3)𝑥3=𝑙𝑖𝑚𝑥→0𝑥2[𝑓′(0)𝑥+𝑜(𝑥)]−2[𝑓′(0)𝑥3+𝑜(𝑥3)]𝑥3
=𝑓′(0)−2𝑓′(0)=−𝑓′(0)
综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念，导数和微分的四则运算
(3)设{𝑢𝑛}是数列，则下列命题正确的是
(A)若∑𝑢𝑛∞𝑛=1收敛，则∑(𝑢2𝑛−1+𝑢2𝑛)∞𝑛=1收敛。
(B)若∑(𝑢2𝑛−1+𝑢2𝑛)∞𝑛=1收敛，则∑𝑢𝑛∞𝑛=1收敛。
(C)若∑𝑢𝑛∞𝑛=1收敛，则∑(𝑢2𝑛−1−𝑢2𝑛)∞𝑛=1收敛。
(D)若∑(𝑢2𝑛−1−𝑢2𝑛)∞𝑛=1收敛，则∑𝑢𝑛∞𝑛=1收敛。
【答案】A。
【解析】
若∑𝑢𝑛∞𝑛=1收敛，则该级数加括号后得到的级数仍收敛
综上所述，本题正确答案是A。
【考点】高等数学—无穷级数—级数的基本性质与收敛的必要条件
(4)设𝐼=∫𝑙𝑛𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥𝜋40,𝐽=∫𝑙𝑛𝑐𝑜𝑡𝑥𝑑𝑥𝜋40,𝐾=∫𝑙𝑛𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥𝜋40,则𝐼,𝐽,𝐾的大小关系为
(A) 𝐼<𝐽<𝐾 (B) 𝐼<𝐾<𝐽
(C) 𝐽<𝐼<𝐾 (D)𝐾<𝐽<𝐼
【答案】B。
【解析】
同一区间上定积分的大小比较最常用的思想就是比较被积函数大小，
由于当0<𝑥<𝜋4时，0<𝑠𝑖𝑛𝑥<𝑐𝑜𝑠𝑥<1<𝑐𝑜𝑡𝑥
又因为𝑙𝑛𝑥为(0,+∞)上的单调增函数，所以 𝑙𝑛𝑠𝑖𝑛𝑥<𝑙𝑛𝑐𝑜𝑠𝑥<𝑙𝑛𝑐𝑜𝑡𝑥 , 0<𝑥<𝜋4
故∫𝑙𝑛𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥𝜋40<∫𝑙𝑛𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥𝜋40<∫𝑙𝑛𝑐𝑜𝑡𝑥𝑑𝑥𝜋40
即𝐼<𝐾<𝐽
综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的概念和基本性质
(5)设𝑨为3阶矩阵，将𝑨第2列加到第1列得矩阵𝑩,再交换𝑩的第2行和第3行得单位矩阵，记𝑷1=[100110001], 𝑷2=[100001010],则𝑨=
(A) 𝑷1𝑷2 (B)𝑷1−1𝑷2
(C) 𝑷2𝑷1 (D)𝑷2𝑷1−1
【答案】D。
【解析】本题是常规的初等变换、初等矩阵的考题
矩阵的初等行变换是左乘初等矩阵，矩阵的初等列变换是右乘初等矩阵
按题意𝑨[100110001]=𝑩，[100001010] 𝑩=𝑬
从而𝑨𝑷1=𝑩,𝑷2𝑩=𝑬，从而𝑷2(𝑨𝑷1)=𝑬
所以𝑨=𝑷2−1𝑬𝑷1−1=𝑷2𝑷1−1
【考点】线性代数—矩阵—矩阵的初等变换，初等矩阵
(6)设𝑨为4×3矩阵，𝜼1,𝜼2,𝜼3是非齐次线性方程组𝑨𝒙=𝜷的3个线性无关的解，𝑘1,𝑘2为任意常数，则𝑨𝒙=𝜷的通解为
(A)𝜼2+𝜼32+𝑘1(𝜼2−𝜼1) (B) 𝜼2−𝜼32+𝑘1(𝜼2−𝜼1) (C) 𝜼2+𝜼32+𝑘1(𝜼2−𝜼1)+𝑘2(𝜼3−𝜼1)
(D) 𝜼2−𝜼32+𝑘1(𝜼2−𝜼1)+𝑘2(𝜼3−𝜼1)
【答案】C。
【解析】
因为𝜼1,𝜼2,𝜼3是非齐次线性方程组𝑨𝒙=𝜷的3个线性无关的解，
那么𝜼2−𝜼1,𝜼3−𝜼1是𝑨𝒙=𝟎的2个线性无关的解。
从而 𝑛−𝑟(𝑨)≥2 即3−𝑟(𝑨)≥2⇒𝑟(𝑨)≤1
显然𝑟(𝑨)≥1，因此𝑟(𝑨)=1
由于𝑛−𝑟(𝑨)=3−1=2知(A),(B)均不正确。
又𝑨𝜼2+𝜼32=12𝑨𝜼2+12𝑨𝜼3=𝜷，所以𝜼2+𝜼32是方程组𝑨𝒙=𝜷的解
综上所述，本题正确答案是C。
【考点】线性代数—线性方程组—非齐次线性方程组的解与相应的齐次线性方程组(导出组)的解之间的关系，非齐次线性方程组的通解
(7)设𝐹1(𝑥)与𝐹2(𝑥)为两个分布函数，其对应的概率密度𝑓1(𝑥)与𝑓2(𝑥)是连续函数，则必为概率密度的是
(A) 𝑓1(𝑥) 𝑓2(𝑥) (B)2𝑓2(𝑥) 𝐹1(𝑥)
(C) 𝑓1(𝑥)𝐹2(𝑥) (D) 𝑓1(𝑥)𝐹2(𝑥)+𝑓2(𝑥) 𝐹1(𝑥)
【答案】D。
【解析】
判断函数𝑓(𝑥)是否为概率密度，一般地说有两种常用方法：
(1) 𝑓(𝑥)满足是概率密度的充要条件 𝑓(𝑥)≥0和∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥+∞−∞=1
(2)𝑓(𝑥)=𝐹′(𝑥)或者∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑥−∞=𝐹(𝑥),而𝐹(𝑥)为分布函数
由于𝐹1(𝑥)与𝐹2(𝑥)为两个分布函数，显然𝐹1(𝑥) 𝐹2(𝑥)也是分布函数，而
[𝐹1(𝑥)𝐹2(𝑥)]′=𝑓1(𝑥)𝐹2(𝑥)+𝑓2(𝑥) 𝐹1(𝑥)
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】概率论与数理统计—多随机变量及其分布—随机变量分布函数的概念及其性质，连续型随机变量的概率密度
(8)设总体𝑋的服从参数为λ(λ>0)的泊松分布，𝑋1,𝑋2,⋯𝑋𝑛(𝑛≥2)为来自该总体的简单随机样本，则对于统计量𝑇1=1𝑛∑𝑋𝑖𝑛𝑖=1和𝑇2=1𝑛−1∑𝑋𝑖𝑛−1𝑖=1+1𝑛𝑋𝑛,有
(A)𝐸𝑇1>𝐸𝑇2,𝐷𝑇1>𝐷𝑇2 (B)𝐸𝑇1>𝐸𝑇2,𝐷𝑇1<𝐷𝑇2
(C)𝐸𝑇1<𝐸𝑇2,𝐷𝑇1>𝐷𝑇2 (D) 𝐸𝑇1<𝐸𝑇2,𝐷𝑇1<𝐷𝑇2
【答案】D。
【解析】
𝑋~𝑃(𝜆),所以，𝐸𝑋=𝜆,𝐷𝑋=𝜆, 𝑋1,𝑋2,⋯𝑋𝑛相互独立均服从𝑃(𝜆)
可求得𝐸𝑇1=𝐸𝑋=𝜆,𝐷𝑇1=𝐷𝑋=𝜆𝑛
而𝐸𝑇2= 𝜆+𝜆𝑛，𝐷𝑇2=𝜆𝑛−1+𝜆𝑛2
所以𝐸𝑇1<𝐸𝑇2,𝐷𝑇1<𝐷𝑇2
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】概率论与数理统计—数理统计的概念—常见随机变量的分布，总体个体，简单随机样本
