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第六讲解线性方程组

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6 - 1 绪 论

0.1数值计算方法与算法

1. 准确解和数值解

数学是在寻求准确解（解析解）中不断发展

 数的定义

 数的运算规则

2. 计算方法是用计算机求解数学问题数值解

 理论上有解，无计算公式

例如，计算6阶矩阵的全部特征值。

 有计算公式，无法承受计算量

解一个有100个未知量的线性方程组；

3.科学计算和计算方法

第三种科学方法：理论、实验、科学计算

计算方法是一门理论性和实践性都很强的学科，计算方法既有数学类课程中理论上的抽象性和严谨性，又有实用性和实验性的技术特征。计算方法的前提课程是微积分，线性代数，常微分方程和一门计算机语言。

0.2 误差与有效数字

绝对误差与绝对误差界

定义： 设*x为精确值（或准确值），x是*x的一个近似值，

称 xxe*为近似值x的绝对误差或误差。

绝对误差 = 精确值  近似值

定义：如果精确值*x与近似值x的误差的绝对值不超过某正数，即

||||*xxe

称 为绝对误差限或误差限。（例：迭代序列终止控制)

例：若经四舍五入得到 456.123x，

对于数 4564.123,4561.123,4555.123,4559.123的近似值都是456.123x，

6 - 2 它的误差限是：

34*1021510||||xxe

若0123456.0*x，则它的误差限是：

78*1021510||||xxe

相对误差与相对误差限

定义：设*x为精确值，x是*x的一个近似值

称 ***xxxxeer 为近似值x的相对误差。

在实际计算中，有时得不到精确值*x，当re较小时*x可用近似值x代替，即

xxxxeer*

相对误差 =绝对误差精确值 或 相对误差 =近似值绝对误差

相对误差re的值也可正可负，与绝对误差一样不易计算，常用相对误差限控制相对误差的范围。

定义：如果有正数r使得 rrxee||* ，则称r为*x的相对误差限。

产生误差的因素很多，产生误差的原因主要有

原始误差

由客观存在的模型抽象到物理模型产生的误差。包括模型误差和原始数据误差。

截断误差

用有限项近似无限项时，由截取函数的部分项产生的误差，称为截断误差。

例如：02!!21nnkxnxkxxxe，在计算中用00!!nnNnnxnxnxe

舍入误差

在数值计算中，通常都按有限位进行运算。例如，按照4舍5入的原则，2 / 3=0.666667

或2 / 3=0.667，由舍入产生的误差，称为舍入误差。

在实际计算中的数据通常是近似值，它们由观察、估计或一些计算而得到，这些数在计算机表示后也会带来进一步误差，即误差的积累和传播。关于误差的传播似乎没有多少统一的理论，通常积累误差的界是以通例分析为基础而建立的。

6 - 3 有效位数

定义：当x的误差限为某一位的半个单位，则这一位到第一个非零位的位数称为x的有效位数。

例如，x= 12.34 ,y = 0.004067均有4位有效数字 ，

3.00与3.0000分别有3位和5位有效位数。

0.3约束误差

选择收敛的稳定的方法

对同一问题选择不同的数值计算方法，可能得到不同的计算结果。在计算方法中，除了给出方法的数值计算公式，还要讨论计算公式的收敛性、稳定性和截断误差的特性。选择收敛性要求低、稳定性好的方法是约束误差扩张最重要的措施。例如，样条插值函数比高次多项式的效果好的多，是构造插值函数的首选方法。

提高数值计算精度（用优质计算机）

数值在计算机中存放的位数称为字长。有限位的字长是带来舍入误差和抑制数值计算精度的根源。对同一种方法，在字长大的计算机上的计算效果要比在字长小的计算机上优越。

在计算机上，用同一种数值计算方法对数据选用不同的数值类型，有时会直接影响到计算效果。例如，对病态的线性方程组，采用单精度数据使用消元方法，其数据解大大失真，而用双精度数据有时却可得到满意的数值解。

第6章 解线性方程组

在数值计算和工程应用中，求解线性代数方程都具有中心的作用。在石油勘探，天气预报等问题中常常出现成百上千阶的方程组，也就产生了各种形式方程组数值解法的需求。研究大型方程组的解是目前计算数学中的一个重要方向和课题。

解方程组的方法可归纳为直接解法和迭代解法。从理论上来说，直接法经过有限次四则运算，假定每一步运算过程中没有舍入误差，那么，最后得到方程组的解就是精确解。但是，在计算过程中，完全杜绝舍入误差是不可能的，只能控制和约束舍入误差的增长和危害，这样直接法得到的解也不一定是绝对精确的。

迭代法是将方程组的解看作某种极限过程的向量极限的值。在用迭代算法时，我们不可能将极限过程算到底，只能将迭代进行有限多次，得到满足一定精度的方程组的近似解。

在数值计算历史上，直接解法和迭代解法交替生辉。一种解法的兴旺与计算机的硬件环境

6 - 4 和问题规模是密切相关的。一般说来，对同等规模的线性方程组，直接法对计算机的要求高于迭代法。对于中等规模的线性方程组（方程组200n），由于直接法的准确性和可靠性，一般都用直接法求解。对于高阶方程组和稀疏方程组（非零元素较少），一般用迭代法求解。

未知量xxxn12,,,的数值，

axaxaxbaxaxaxbaxaxaxbnnnnnnnnnn11112211211222221122 (6.1)

其中abiji,为常数。

写成矩阵形式 Axb

称 Aaij()为系数矩阵，xxxxnT(,,,)12 为解向量，bbbbnT(,,,)12为常数向量。

§6.1高斯（Gauss）列主元消元

§6.1.1 高斯（Gauss）消元法

高斯消元法是我们熟悉的古老、简单而有效的解方程组的方法。下列中学阶段解二元方程组（高斯消元法）的步骤：

xxxx1212113282()() 方程(1)乘以 3加到第(2)个方程，得到方程(3)

1221(1)055(3)xxx x21 代入(1) 得x12

在线性代数中，对方程组的增广矩阵做行的初等变换

(,)(~,~)()()AbAb131218101515312

~A已是上三角阵，

xxx122155

为原方程组的等价方程组，再用回代方法，得到：

6 - 5 这就是高斯消元法解方程组的消元和回代过程。

在解方程组中施行以下三种初等变换：

(1) 对换某两个方程的次序；

(2) 对其中某个方程的两边同乘一个不为零的数；

(3) 把某一个方程两边同乘一个常数后加到另一个方程的两边。

我们以n = 4为例演示高斯消元过程。

方程组 AXb，其增广矩阵为

(,)Abaaaabaaaabaaaabaaaab111213141212223242313233343414243444

k=1，若 a110， 将第一行乘以aa2111/加到第二行上；

将第一行乘以aa3111/加到第三行上；

将第一行乘以aa4111/加到第四行上，

即 1111111124{,}iiiiiiaaforitoAAAbbbaa

得到

111213141(1)(1)(1)(1)2223332(1)(1)(1)(1)(1)3233343(1)(1)(1)(1)4243444000aaaabaaabAaaabaaab

即 )1()1(bXA，

k=2，若 a2210()

将第二行乘以aa321221()()/加到第三行上；将第二行乘以aa421221()()/加到第四行上；

即 2222222234{,}iiiiiiaaforitoAAAbbbaa

得到

111213141(1)(1)(1)(1)2223242(2)(2)(2)(2)33343(2)(2)(2)4344400000aaaabaaabAaabaab

6 - 6 k=3，若 a3320()

将第三行乘以aa432332()()/加到第四行上；

即 3333333344{,}iiiiiiaaforitoAAAbbbaa

得到

111213141(1)(1)(1)(1)2223242(2)(2)(2)33343(3)(3)4440(,)00000aaaabaaabAbaabab （10）

~A已是上三角阵，于是得到了与原方程等价的上三角形式的方程组：

axaxaxaxbaxaxaxbaxaxbaxb1111221331441221223132414213323342432443443()()()()()()()()() （11）

再对上方程组(.11)依次回代解出xxxx4321,,, 。

可以得到系数矩阵A的行列式的值为~A的对角元素的乘积。即

DetAaaaa()()()()11221332443

这也正是在计算机上计算方阵A的行列式的常规方法。

 高斯消元法算法

在上述描述中用aijk()的上标是为了帮助理解在消元过程系数矩阵元素的变换。由于在消元过程中，将aijk()仍放在aijk()1元素的位置上，在下列算法中将略去aijk()的上标。

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线性方程组求解及应用

线性方程组求解及应用

线性方程组求解及应用

线性方程组是数学中一个非常重要的概念，在实际生活中也有广泛的应用。本文将介绍线性方程组的求解方法以及其在实际问题中的应用。

一、线性方程组的定义和解法

线性方程组是由多个线性方程组成的方程组，每个方程都是一次方程。一般形式为：

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1

...

a11, a12, ...,a2n为方程组的系数，x1, x2, ..., xn为未知数，b1, b2, ..., bm为常数。

线性方程组的解是一组解x1*, x2*, ..., xn*，满足每个方程都成立。

根据线性方程组的定义，我们可以使用多种方法来求解线性方程组。下面是常用的几种解法：

1. 直接代入法

直接代入法是最简单的求解线性方程组的方法之一。我们可以将一个方程的解代入另一个方程，从而得到一个只有一个未知数的方程。然后，我们可以继续代入得到下一个只有一个未知数的方程，直到求解出所有的未知数。

2. 消元法

消元法是一种常用的求解线性方程组的方法。我们可以通过将多个方程相加或相减，从而消除一个或多个未知数。通过反复进行消元操作，我们可以将线性方程组化简为一个更简单的形式，最终求解出未知数。

3. 矩阵法

线性方程组在实际生活中有广泛的应用。下面是一些常见的应用场景：

1. 经济学

在经济学中，线性方程组常用于描述供求关系和价格变动等经济现象。通过求解线性方程组，我们可以分析市场的平衡价格和数量，评估供求关系的弹性，预测价格的变动趋势等。

2. 物理学 在物理学中，线性方程组常用于描述天体运动、电路分析、力学问题等。通过求解线性方程组，我们可以计算物体的位置、速度、加速度等物理量，预测天体的运动轨迹，分析电路中的电流和电压分布等。

请简述线性方程组

请简述线性方程组

- 1 - 请简述线性方程组

从本质上说，线性方程组只不过是向量和向量之间的一种关系。它们不仅反映了空间的线性关系，还反映了时间的线性关系。它们既可以表示实际问题中的数学模型，又可以描述日常生活中的各种物理量和物理现象，为人类解决许多实际问题提供了便利条件。因此，它在工农业生产、医药卫生、军事科研和交通运输等领域得到广泛应用。

线性方程组是一个集合，而向量空间则是由向量组成的一个线性空间。线性方程组就是这样一个集合，但它不是一个普通的集合，因为其中每一个量都含有两个自变量，即两个未知数，一般称为未知数。也正是这两个未知数使得原来的代数方程式具有了新的意义，其中一个已知数代表的是自变量的取值范围，另一个未知数代表的是自变量所处的变化区间。例如： x=0——实数； x=1——自变量在定义域内；

x=-1——实数在负无穷到正无穷之间； x=1——自变量在-1到1之间； ……

“线性方程组”是由一些元素组成的一种基本代数结构。由于线性方程组中每一个方程都有一个相同的变量(未知数)和两个相同的未知数(系数)，所以我们又把线性方程组称作“方程组”。这个概念最早由中国宋朝数学家秦九韶在他的《数书九章》中提出来。当时他给出的第一个方程组中，只含有两个方程，这些方程经过演变，后来发展成了包括n个方程的“ n元一次方程组”。也就是说，线性方程组包括了n个未知数， n个方程，而这n个方程中的每一个方程对应一个未知数，而这n个方程中的每一个方程对应一个未知数，又叫 - 2 - 做线性方程组的一个“解”。

线性方程组也有一定的局限性，那就是当x和y在变化区间为零时，方程式不再是一个线性方程组，此时该方程组没有解，也就是没有唯一的解。线性方程组不仅可以解决数学中的一些难题，还可以解决一些实际问题。例如，日常生活中的几乎所有物理现象都可以归结为某种物理模型。比如在交通运输中，运用“高速铁路”模型，大大减少了运输时间，在医学领域，利用核磁共振成像技术进行疾病诊断和手术，并根据成像的不同信号得到不同的病症，等等。

实验五 解线性方程组的直接法

实验五 解线性方程组的直接法

毕节学院实验报告

实验名称： 解线性方程组的直接法

实验报告序号： 5

组 别 姓 名 罗晟 同组实验者

实验项目 解线性方程组的直接法 实验日期 2012年11月 17日

实验类别 □√ 1、验证性实验或基础性实验； □ 2、综合性实验

□ 3、设计性实验； □ 4、创新性实验和研究性实验；

教师评语

实验成绩 指导教师（签名） 赖志柱 年 月 日

实验目的

掌握线性方程组直接解法的基本思想，进一步熟练掌握高斯消去法，提高编程能力和解算线性方程组问题的实践技能。

实验任务与要求

用一种高级语言（推荐用MATLAB）编写高斯消去法具体实现的函数，要求输入参数包含方程组的系数矩阵及常数项向量，输出方程组的解，并使用若干个有代表性的例子进行调试。

小组合作分工说明：

实验过程及内容：

function [x,det,index] = LGuass(A,b)

[n,m] = size(A);nb = length(b);

if n ~= m

error('矩阵A的行列必须相等！');

return;

end

if m ~= nb

error('b矩阵的个数必须与矩阵A的行数相等！');

return;

end

%开始计算，先赋初值

index = 1;

det = 1;

x = zeros(n,1);

for k = 1:n-1

%选主元

a_max = 0;

for i = k:n if abs(A(i,k)) > a_max

a_max = abs(A(i,k));r = i;

end

end

if a_max < 1e-20

index = 0;

return;

简单的线性方程组

简单的线性方程组

简单的线性方程组

线性方程组是数学中常见的问题，可简单理解为一组有关线性关系的方程式。它们的解决可以帮助我们找到未知数的值，解决实际问题。本文将介绍简单的线性方程组，包括它们的定义、解法和一些例子。

1. 线性方程组的定义

线性方程组是由一组线性方程组成的方程集合。每个方程都可以写成以下形式：

a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ = b

其中，a₁、a₂、...、aₙ是已知的系数，x₁、x₂、...、xₙ是待求的未知数，b是已知的常数。

一个线性方程组通常包含n个未知数和m个方程，可以写成如下形式：

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂

...

aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ

2. 解线性方程组的方法

解线性方程组的方法有多种，下面介绍两种常用的方法：代入法和消元法。 2.1 代入法

代入法是通过将已知的变量代入到方程中，逐步求解未知变量的过程。

首先，从方程组中选取一个方程，利用该方程求出其中的一个变量。然后，将求得的变量的值代入到其他方程中，继续求解其他变量。最终，得到所有变量的解。

2.2 消元法

消元法是通过将方程组中的变量相互消去，逐步减少未知数的个数。

首先，将方程组进行适当的变换，使得某一个方程中只有一个变量的系数不为0。然后，通过将其他方程中的变量消去，将方程组化简为只含有一个未知数的方程。最终，解得该未知数的值，并逆推求解其他未知数。

3. 线性方程组的例子

下面给出两个简单的线性方程组的例子，通过代入法和消元法求解。

例子一：

2x + 3y = 7

x - y = 1

代入法： 由第二个方程得到 x = 1 + y，代入第一个方程中，得到 2(1 + y) +

3y = 7。

化简得 2 + 5y = 7，解得 y = 1。

代入 y = 1 到第二个方程中，得到 x = 1 + 1 = 2。