第四章 线性方程组

线性方程组复习题（4）

一、填空题：

1. 设矩阵A=0 00000 10100 0101，则矩阵A的秩为 ，线性方程组OXA的基础解系的向量个数为 .

2. 若A为nm矩阵，则非齐次线性方程组AXb有唯一解的充分要条件是_________.

3. 若A为nm矩阵，则齐次线性方程组0AX有非零解的充分要条件是_________.

4. 设A为n阶方阵，且1)(nAr， 21,是AX=0的两个不同解，则21，一定

线性

5.设123456333A， 则齐次线性方程组0Ax 的基础解系所含向量个数为_____ ___。

6．在n元齐次线性方程组0Ax中，若秩(),RAk 且12,,,r是它的一个基础解系，则r= ___ 。

二、 选择题：

1. 当( )时，齐次线性方程组02020kxzxkyzkxyz，仅有零解

(A) 0k (B) 1k (C) 2k (D) 2k

2..设A为nm矩阵,0b,且nAr)(,则线性方程组bAx___ . （A). 有唯一解；（B). 有无穷多解； （C). 无解； （D). 可能无解。

3. 当( )时，齐次线性方程组000321321321xxxxxxxxx，有非零解

(A) 1或2 (B) －1或－2 (C) 1或－2 (D) －1或2

4. 设A为n阶方阵，且秩12()1.,An是非齐次方程组AXB的两个不同的解向量,则AX0的通解为( )

A、1k B、2k C、)(21k D、)(21k

陇东学院数学系常微分方程精品课程教案

教案编写人:李相锋 李万军

1 第四讲 常系数线性微分方程组的解法（4课时）

一、目的与要求: 理解常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念, 掌握常系数线性微分方程组的基本解组的求法.

二、重点：常系数线性微分方程组的基本解组的求法.

三、难点：常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念.

四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法.

五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合.

六、教学过程：

1 新课引入

由定理3.6我们已知道，求线性齐次方程组(3.8)的通解问题，归结到求其基本解组. 但是对于一般的方程组(3.8)，如何求出基本解组，至今尚无一般方法. 然而对于常系数线性齐次方程组

dYAYdx (3.20)

其中A是nn实常数矩阵，借助于线性代数中的约当(Jordan)标准型理论或矩阵指数，可以使这一问题得到彻底解决. 本节将介绍前一种方法，因为它比较直观.

由线性代数知识可知，对于任一nn矩阵A，恒存在非奇异的nn矩阵T，使矩阵1TAT成为约当标准型. 为此，对方程组(3.20)引入非奇异线性变换

YTZ (3.21)

其中()(,1,2,,),ijTtijn det0T,将方程组(3.20)化为

1dZTATZdx (3.22)

我们知道，约当标准型1TAT的形式与矩阵A的特征方程

北京市朝阳外国语学校教案 初中数学教研组 2011级

第1页 共9页 第四讲 方程与方程组

（一）知 识 点 总 结

一、方程、方程组

1.等式及其性质：

（1）等式：用 来表示 关系的式子,叫做等式.

（2）等式性质1：

等式性质2:

2．方程的有关概念

（1）方程：含有 的 叫做方程.

（2）方程的解：使方程左右两边的值 的 的取值叫方程的解，含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根.

（3）解方程：求方程的 或判断方程 的过程叫做解方程.

（4）增根：在方程变形时产生的不适合 的根叫原方程的增根.

3.一元一次方程

（1）一元一次方程的一般形式：ax+b=0（a≠0）

（2）解法： 、 、 、 和 .

（3）一元一次方程有唯一的一个解.

4.二元一次方程组

（1）二元一次方程的一般形式：ax+by=c（a≠0, b≠0）；

二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边的值 的 个未知数的取值叫二元一次方程的解.任何一个二元一次方程都有 个解.

（2）方程组的解：方程组中各方程的公共解叫做方程组的解.

解方程组：求方程组的解或判断方程组无解的过程叫做解方程组.

（3）二元一次方程组的一般形式：222111cybxacybxa（212121,,,,,ccbbaa不全为0）

解法： 法和 法

第四章 线性方程组

§1 消元法

在实际问题中，我们经常要研究一个线性方程组的解，解线性方程

组最常用的方法就是消元法，其步骤是逐步消除变元的系数，把原方程

组化为等价的三角形方程组，再用回代过程解此等价的方程组，从而得

出原方程组的解.

例1 解线性方程组

解 将第一个方程加到第二个方程，再将第一个方程乘以（-2）加

到第三个方程得

在上式中交换第二个和第三个方程，然后把第二个方程乘以-2加到

第三个方程得

再回代,得.

分析上述例子，我们可以得出两个结论：

（1） 我们对方程施行了三种变换：

① 交换两个方程的位置；

② 用一个不等于0的数乘某个方程；

③ 用一个数乘某一个方程加到另一个方程上.

我们把这三种变换叫作线性方程组的初等变换.

由初等代数可知，以下定理成立.

定理1 初等变换把一个线性方程组变为一个与它同解的线性方程

组.

（2） 线性方程组有没有解,以及有些什么样的解完全决定于它的

系数和常数项，因此我们在讨论线性方程组时，主要是研究它的系数和

常数项.

定义1 我们把线性方程组的系数所组成的矩阵叫做线性方程组的

系数矩阵，把系数及常数所组成的矩阵叫做增广矩阵.

设线性方程组

则其系数矩阵是

增广矩阵是显然，对一个方程组实行消元法求解，即对方程组实行了初等变

换，相当于对它的增广矩阵实行了一个相应的初等变换.而化简线性方

程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵，这样，不但讨论起来比较

方便，而且能够给予我们一种方法，利用一个线性方程组的增广矩阵来

解这个线性方程组，而不必每次把未知量写出.

例2 解线性方程组

解 增广矩阵是

,

交换矩阵第一行与第二行，再把第一行分别乘以和(-2)加到第二行

和第三行，再把第二行乘以(-2)得

,

在中将第二行乘以2加到第三行得

,

相应的方程组变为三角形(阶梯形)方程组：

回代得.

§2 线性方程组有解判别定理

上一节我们讨论了用消元法解方程组

(4.1)

这个方法在实际解线性方程组时比较方便，但是我们还有几个问题

没有解决，就是方程组(4.1)在什么时候无解?在什么时候有解?有解