柯西不等式 赫尔德 卡尔松

数分常用不等式-概述说明以及解释1. 引言1.1 概述概述:数学分析中，不等式是一种重要的数学工具，可以对数学问题进行限制和约束。

在数分领域中，有一些常用的不等式被广泛运用，能够帮助我们证明定理或解决一些数学问题。

本篇文章将重点介绍柯西不等式、霍尔德不等式和马尔可夫不等式这三种常用的不等式，讨论它们的定义、性质和具体应用。

通过深入了解这些不等式，我们可以更好地理解数学分析中的知识并应用于解决实际问题。

1.2 文章结构本文将围绕数分中常用的三种不等式展开讨论，包括柯西不等式、霍尔德不等式和马尔可夫不等式。

首先将介绍每种不等式的定义和基本性质，然后阐述其应用场景和实际意义。

接着将分析每种不等式的证明过程，以便读者深入理解不等式背后的数学原理。

最后将探讨这些不等式在数学推导和问题求解中的具体应用，以及未来可能的拓展方向。

通过对这些常用不等式的系统讨论，读者将能够更好地掌握数分领域中的重要概念和方法，从而提升数学分析能力。

1.3 目的：本文的目的是介绍数学分析中常用的不等式，其中包括柯西不等式、霍尔德不等式和马尔可夫不等式。

通过深入讨论这些不等式的性质和应用，读者可以更好地理解和掌握数学分析中的基本概念和技巧。

通过学习这些不等式，读者可以提高对数学分析问题的解决能力，使得在解题过程中更加灵活和高效。

同时，通过具体的例子和应用，帮助读者更好地理解不等式在实际问题中的作用和重要性。

最终目的是希望读者通过本文的学习，能够掌握和应用这些常用不等式，进一步提升数学分析和解题能力，为未来的学习和研究打下坚实的基础。

2. 正文2.1 柯西不等式柯西不等式是数学分析中非常重要的一种不等式，可以用来描述内积空间中向量的长度和夹角之间的关系。

柯西不等式的表述如下：对于任意的实数或复数向量x 和y ，有以下不等式成立：\langle x, y \rangle \leq \ x\ \cdot \ y\其中，\langle x, y \rangle 表示x 和y 的内积，\ x\ 和\ y\ 分别表示x 和y 的范数。

高中赫尔德不等式（最新版）目录1.赫尔德不等式的定义与表达式2.赫尔德不等式与柯西不等式的关系3.赫尔德不等式的证明4.赫尔德不等式在数学中的应用5.赫尔德不等式的意义与价值正文一、赫尔德不等式的定义与表达式赫尔德不等式，又称为柯西 - 布尼亚科夫斯基 - 许瓦尔兹不等式，是一种在数学中广泛应用的不等式。

其表达式如下：设 a_1, a_2,..., a_n 和 b_1, b_2,..., b_n 是实数，那么：(a_1^2 + a_2^2 +...+ a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 +...+ b_n^2) >=(a_1b_1 + a_2b_2 +...+ a_nb_n)^2二、赫尔德不等式与柯西不等式的关系赫尔德不等式其实是柯西不等式的一种推广。

柯西不等式表达式如下：设 a_1, a_2,..., a_n 和 b_1, b_2,..., b_n 是实数，那么：(a_1^2 + a_2^2 +...+ a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 +...+ b_n^2) >=(a_1b_1 + a_2b_2 +...+ a_nb_n)^2可以看出，赫尔德不等式是柯西不等式在多维空间的推广，它的表达式更加复杂。

三、赫尔德不等式的证明赫尔德不等式的证明比较复杂，需要涉及到多元函数的微积分知识。

这里我们简单介绍一下它的证明思路：首先，我们将赫尔德不等式转化为一个关于矩阵的不等式，然后通过求导、配方等方法，最终证明出赫尔德不等式成立。

四、赫尔德不等式在数学中的应用赫尔德不等式在数学中有广泛的应用，例如在概率论、线性代数、微积分等领域都有重要的应用。

在概率论中，赫尔德不等式可以用来求解随机变量的期望；在线性代数中，赫尔德不等式可以用来求解矩阵的特征值和特征向量；在微积分中，赫尔德不等式可以用来求解多元函数的最值问题。

五、赫尔德不等式的意义与价值赫尔德不等式在数学中的意义和价值非常重要，它为我们解决许多实际问题提供了有力的工具和方法。

柯西施瓦茨不等式证明第一篇：柯西施瓦茨不等式证明柯西不等式的证明数学上，柯西-施瓦茨不等式，又称施瓦茨不等式或柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式，是一条很多场合都用得上的不等式；例如线性代数的矢量，数学分析的无穷级数和乘积的积分，和概率论的方差和协方差。

不等式以奥古斯丁·路易·柯西（Augustin Louis Cauchy），赫尔曼·阿曼杜斯·施瓦茨（Hermann Amandus Schwarz），和维克托·雅科夫列维奇·布尼亚科夫斯基（Виктор Яковлевич Буняковский）命名。

柯西不等式(Cauchy inequality)：对任意的实数a1,a2,⋯,an,b1,b2,⋯,bn,都有(a21+a22+⋯+a2n)(b21+b22+⋯+b2n)≥(a1b1+a2b2+⋯+anbn)2证明一:(数学归纳法)当n=2时,(a21+a22)(b21+b22)−(a1b1+a2b2)2=(a1b2−b1a2)2≥0 所以n=2时,(a21+a22)(b21+b22)≥(a1b1+a2b2)2 假设n时命题成立,则n+1时(a21+a22+⋯+a2n+a2n+1)(b21+b22+⋯+b2n+b2n+1)≥((a21+a22+⋯+a2n)(b21+b22+⋯+b2n)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√+|an+1bn+1|)2又由条件假设(a21+a22+⋯+a2n)(b21+b22+⋯+b2n)≥(a1b1+a2b2+⋯+anbn)2所以((a21+a22+⋯+a2n)(b21+b22+⋯+b2n)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√+|an+1bn+1|)2≥(|a1b1+a2b2+⋯+anbn|+|an+1bn+1|)2很明显有(|a1b1+a2b2+⋯+anbn|+|an+1bn+1|)2≥(a1b1+a2b2+⋯+anbn+an+1bn+1)2因此n+1时命题也成立,由数学归纳法,命题得证.证明二:(构造二次函数)如果a1,a2,⋯,an都为0,那么此时不等式明显成立.如果a1,a2,⋯,an不全为0,那么a21+a22+⋯+a2n>0构造二次函数f(x)=(a21+a22+⋯+a2n)x2+2(a1b1+a2b2+⋯+anbn)x+(b21+b22+⋯+b2n)那么此时f(x)=(a1x+b1)2+⋯+(anx+bn)2≥0对任意的实数x都成立,所以这个二次函数的判别式应该是不大于0的,也就是Δ=4(a1b1+a2b2+⋯+anbn)2−4(a21+a22+⋯+a2n)(b21+b22+⋯+b2n)≤0从而不等式得证.证明三:(恒等变形)注意到恒等式(a21+a22+⋯+a2n)(b21+b22+⋯+b2n)−(a1b1+a2b2+⋯+anbn)2 =∑1≤i所以不等式成立.证明四:(均值不等式)不妨设ai,bi不全为0,理由同证明二a21+a22+⋯+a2n=S,b21+b22+⋯+b2n=T那么由均值不等我们有a2iS+b2iT≥2∣∣aibi∣∣ST√对i从1到n求和,可以得到∑i=1na2iS+∑i=1nb2iT≥2∑i=1n|aibi|ST−−−√于是2≥2∑i=1n|aibi|ST−−−√≥2∣∣∣∑i=1naibiST−−−√∣∣∣得到(a21+a22+⋯+a2n)(b21+b22+⋯+b2n)≥(a1b1+a2b2+⋯+anbn)2现在我们由证法二来得到等号成立条件,如果等号成立,那么f(x)能取到0,也就是说存在一个x使得 aix+bi=0对任意的i=1,2,⋯,n都成立,这就是等号成立条件,在a1a2⋯an≠0时,可以将它写成b1a1=b2a2=⋯=bnan.变形式(A)设ai∈R,bi>0(i=1,2⋯,n),则∑i=1na2ibi≥(∑ai)2∑bi.变形式(B)设ai,bi同号且不为零(i=1,2⋯,n),则∑i=1naibi≥(∑ai)2∑aibi.第二篇：利用柯西不等式证明不等式[范文模版]最值1.求函数y=x2+4x,(x∈R+)的最小值。

6中等数学谈谈赫尔德不等式中图分类号:0122.3王永中（四川省绵阳中学,621000）文献标识码：A 文章编号:1005 - 6416（2019）08 - 0006 - 07（本讲适合高中）1知识介绍赫尔德（Holder ）不等式 若5 0GR +（i = 1 ,2,…，n ） ,p ＞0,pMl , — + — = 1,则p q丄丄S 5® V创）（p ＞ 1）；①i = l' i = l ' \ i = 1 '\_ 丄空恥禺空引"（空汀（0＜卩＜1）.②i\ i =1/' i =1'p p p当且仅当善=菩=…=詈时，以上两式等号成立.常见的资料中只介绍了不等式①，当P=g=2时,式①即为柯西不等式，可以认为它是柯西不等式的推广，故也称为柯西一赫尔德不等式.1. 1赫尔德不等式的证明取幕函数/（%）=%"（% G （0, +00））.因为r （x ）=p （P -i ）^-2,所以，当卩＞1 时,r （%）＞o,/（%）为下凸函数.对于任意的 Pi 、叫 W R + （i = 1,2,-",n ）,由琴生不等式得Pl +P2 + …+P ”IPl X l +P2%2 + *■ +Pn X A'Pl +P2 + •-• +Pn)一 P i 琲 +p 2x^ +…+p X当且仅当衍=勺=…=%”时，上式等号成立. 显然，收稿日期:2019-01 -31式③1 = 1 ' I = 1 ' \ i = 1记q =』7，贝』+丄=1.令p -1 p qPi = b ：,叫=a ：b 訐（i = 1 ,2,…，zz ；5、®W R + ）.故Pi 叫=bgb 户=a 屈（心）=ab,Pi 减=b ：a ：b 「q =af.将以上各式代入式④得丄丄i = l\ i = 1 / ' i = 1 /当且仅当a®芦=a 2b^ =…=a ”b 拦,即 訂訂…主时，上式等号成立，这样便证明了不等式①.又当o＜p＜i 时,r （x ）＜o,/（%）为上凸 函数，不等式③反向，从而，相应地有不等 式②.上述证明表明，赫尔德不等式本质上是幕函数的凸性；不等式③是加权的幕平均不 等式的一种特殊情况.当Pl =P2 =…=Pn = 1时,式③成为幕平均不等式勺+%2 +…+ 乂” 一/姊+舄+…+犹Vn ）'当p=2时，上式即不等式A5）WQ5）（算2019年第8期7术平均值W 平方平均值).关于赫尔德不等式①，常见的证法是引 用如下不等式：几何不等式 若％、y 、a 、0 € R+,a +0=1,则x a )fi W ox + 0y ,当且仅当％ =y 时，上式等号成立.事实上，因为对数函数/(%)=ln%是上 凸函数，所以，由琴生不等式得a +0=aln x + 01n y = In x a y^,当且仅当咒二y 时，上式等号成立.1? 1另证记4 = »?,B =工那.i=\i=\由几何不等式得丄上式取i = 1,2,…，ti 1 /笙I)7B后，对n 个不等式p q£qn 浜g 叽①引］宜计.i =1\ i =1 ' 'i=l >若记 a =-,/3 =-,WJp qa 〉O,0>O,a+0 = l.令 a> =%：,仇=於(咎、%W R+ ).易知,赫尔德不等式①可表示为y xi = lBS W i = l1.2赫尔德不等式①的推论及推广(1)权方和不等式若 a,A 6, 6 R + (/ = 1 ,2,---,n) ,m >0 或m < 一 1 ,则m +1nm + 1/ J im-**~i = lb i存J(SM m ，当且仅当#亡=••煜时，上式等号成立.证明 当m>0时,由赫尔德不等式①有m + 1 )—m _ J_ 'm +1 q上式两端zn + 1次方即导出所需的不 等式.当mV -1,即-(m + l)>0时，对数组(“，篦，…爲)及(© ,。

各种常用不等式汇总文章目录•一、一般不等式•o1、一元二次不等式o2、正弦余弦不等式o3、均值不等式o4、绝对值不等式o5、排序不等式o6、权方和不等式•二、人名不等式•o1、柯西不等式o2、卡尔松不等式o3、琴声不等式o4、杨氏不等式o5、赫尔德不等式o6、闵可夫斯基不等式o7、伯努利不等式一、一般不等式经常会用到的不等式一般有前面三个是下面均值不等式的特殊情况。

一般情况下a=b时，才取到等号1、一元二次不等式首先回顾一下一元二次方程的求根公式一元二次不等式的解以及图像2、正弦余弦不等式3、均值不等式均值不等式中一般包含四个公式：调和平均数公式、算数平均数公式、平方平均数公式、几何平均数公式，下面一一介绍。

•调和平均数又称倒数平均数，是总体各统计变量倒数的算术平均数的倒数。

调和平均数是平均数的一种。

但统计调和平均数，与数学调和平均数不同，它是变量倒数的算术平均数的倒数。

由于它是根据变量的倒数计算的，所以又称倒数平均数。

调和平均数也有简单调和平均数和加权调和平均数两种。

•算术平均数又称均值，是统计学中最基本、最常用的一种平均指标，分为简单算术平均数、加权算术平均数。

它主要适用于数值型数据，不适用于品质数据。

根据表现形式的不同，算术平均数有不同的计算形式和计算公式。

•一组数据的平方的平均数的算术平方根。

英文缩写为RMS。

它是2次方的广义平均数的表达式，也可称为2次幂平均数。

英文名一般缩写成RMS。

•几何平均数是n个变量值连乘积的n次方根，分为简单几何平均数与加权几何平均数。

1）几何平均数受极端值的影响较算术平均数小；2）如果变量值有负值，计算出的几何平均数就会成为负数或虚数；3）它仅适用于具有等比或近似等比关系的数据；4）几何平均数的对数是各变量值对数的算术平均数。

它们的公式如下：调和平均数≤ 几何平均数≤ 算术平均数≤ 平方平均数（方均根）4、绝对值不等式5、排序不等式反序和≤乱序和≤顺序和6、权方和不等式权方和不等式是一个数学中重要的不等式。

卡尔松不等式和赫尔德不等式卡尔松不等式和赫尔德不等式是数学中的两个重要的不等式。

下面我们将分别介绍这两个不等式的定义、证明以及应用。

一、卡尔松不等式1.定义卡尔松不等式是指对于任意非负实数$x_1,x_2,...,x_n$和任意正整数$p$，有以下不等式成立：$$(x_1^p+x_2^p+...+x_n^p)^{\frac{1}{p}}\leqslant(x_1^{p+1}+x_2^{p+1}+...+x_n^{p+1})^{\frac{1}{p+1}}$$其中$p\neq-1$。

2.证明卡尔松不等式的证明可以采用数学归纳法。

当$p=1$时，左右两边都是$n$个数的算术平均数，显然成立。

假设当$p=k$时不等式成立，则当$p=k+1$时，有：$$\begin{aligned}&(x_1^{k+1}+x_2^{k+1}+...+x_n^{k+1})^{\frac{1}{k+1}}\\=&[(x_1^k+x_2^k+...+x_n^k)x_1+(x_1^k+x_2^k+...+x_n^k)x_2+...+(x_1^ k+x_2^k+...+x_n^k)x_n]^{\frac{1}{k+1}}\\=&[(x_1^{k+1}+x_2^{k+1}+...+x_n^{k+1})+(x_1^kx_2+x_1^kx_3+ (x)1^kx_n+x_2^kx_1+x_2^kx_3+...+x_2^kx_n+...+x_n^kx_1+x_n^kx_2+...+x _n^kx_{n-1})]^{\frac{1}{k+1}}\\\geqslant&[(x_1^{k+1}+x_2^{k+1}+...+x_n^{k+1})]^{\frac{1}{k+1}}+\lef t|\frac{x_1^kx_2+x_1^kx_3+...+x_1^kx_n+x_2^kx_1+x_2^kx_3+...+x_2^k x_n+...+x_n^kx_1+x_n^kx_2+...+x_n^kx_{n-1}}{(k+1)(x_1^{k+1}+x_2^{k+1}+...+x_n^{k+1})^{\frac{k}{k+1}}}\right| ^{\frac{1}{k+1}}\\=&[(x_1^{k+1}+x_2^{k+1}+...+x_n^{k+1})]^{\frac{1}{k+1}}+\left[\frac{ \sum_{i<j}x_i^kx_j^k}{(k+1)(x_1^{k+1}+x_2^{k+1}+...+x_n^{k+1})^{\fr ac{k}{k+1}}}\right]^{\frac{1}{k+1}}\\\geqslant&[(x_1^{k+1}+x_2^{k+1}+...+x_n^{k+1})]^{\frac{1}{k+1}}\\ \end{aligned}$$其中，最后一步应用了均值不等式和幂平均不等式。

6中等数学谈谈赫尔德不等式中图分类号:0122.3王永中（四川省绵阳中学,621000）文献标识码：A 文章编号:1005 - 6416（2019）08 - 0006 - 07（本讲适合高中）1知识介绍赫尔德（Holder ）不等式 若5 0GR +（i = 1 ,2,…，n ） ,p ＞0,pMl , — + — = 1,则p q丄丄S 5® V创）（p ＞ 1）；①i = l' i = l ' \ i = 1 '\_ 丄空恥禺空引"（空汀（0＜卩＜1）.②i\ i =1/' i =1'p p p当且仅当善=菩=…=詈时，以上两式等号成立.常见的资料中只介绍了不等式①，当P=g=2时,式①即为柯西不等式，可以认为它是柯西不等式的推广，故也称为柯西一赫尔德不等式.1. 1赫尔德不等式的证明取幕函数/（%）=%"（% G （0, +00））.因为r （x ）=p （P -i ）^-2,所以，当卩＞1 时,r （%）＞o,/（%）为下凸函数.对于任意的 Pi 、叫 W R + （i = 1,2,-",n ）,由琴生不等式得Pl +P2 + …+P ”IPl X l +P2%2 + *■ +Pn X A'Pl +P2 + •-• +Pn)一 P i 琲 +p 2x^ +…+p X当且仅当衍=勺=…=%”时，上式等号成立. 显然，收稿日期:2019-01 -31式③1 = 1 ' I = 1 ' \ i = 1记q =』7，贝』+丄=1.令p -1 p qPi = b ：,叫=a ：b 訐（i = 1 ,2,…，zz ；5、®W R + ）.故Pi 叫=bgb 户=a 屈（心）=ab,Pi 减=b ：a ：b 「q =af.将以上各式代入式④得丄丄i = l\ i = 1 / ' i = 1 /当且仅当a®芦=a 2b^ =…=a ”b 拦,即 訂訂…主时，上式等号成立，这样便证明了不等式①.又当o＜p＜i 时,r （x ）＜o,/（%）为上凸 函数，不等式③反向，从而，相应地有不等 式②.上述证明表明，赫尔德不等式本质上是幕函数的凸性；不等式③是加权的幕平均不 等式的一种特殊情况.当Pl =P2 =…=Pn = 1时,式③成为幕平均不等式勺+%2 +…+ 乂” 一/姊+舄+…+犹Vn ）'当p=2时，上式即不等式A5）WQ5）（算2019年第8期7术平均值W 平方平均值).关于赫尔德不等式①，常见的证法是引 用如下不等式：几何不等式 若％、y 、a 、0 € R+,a +0=1,则x a )fi W ox + 0y ,当且仅当％ =y 时，上式等号成立.事实上，因为对数函数/(%)=ln%是上 凸函数，所以，由琴生不等式得a +0=aln x + 01n y = In x a y^,当且仅当咒二y 时，上式等号成立.1? 1另证记4 = »?,B =工那.i=\i=\由几何不等式得丄上式取i = 1,2,…，ti 1 /笙I)7B后，对n 个不等式p q£qn 浜g 叽①引］宜计.i =1\ i =1 ' 'i=l >若记 a =-,/3 =-,WJp qa 〉O,0>O,a+0 = l.令 a> =%：,仇=於(咎、%W R+ ).易知,赫尔德不等式①可表示为y xi = lBS W i = l1.2赫尔德不等式①的推论及推广(1)权方和不等式若 a,A 6, 6 R + (/ = 1 ,2,---,n) ,m >0 或m < 一 1 ,则m +1nm + 1/ J im-**~i = lb i存J(SM m ，当且仅当#亡=••煜时，上式等号成立.证明 当m>0时,由赫尔德不等式①有m + 1 )—m _ J_ 'm +1 q上式两端zn + 1次方即导出所需的不 等式.当mV -1,即-(m + l)>0时，对数组(“，篦，…爲)及(© ,。

柯西不等式柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。

但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。

柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。

柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。

其形式有以下几种：二维形式(a^2+b^2)(c^2+ d^2)≥(ac+bd)^2等号成立条件：ad=bc (a/b=c/d)扩展：（（a1)^2;+(a2)^2;+(a3)^2;+...+(an)^2;)((b1)^2;+(b2)^2;+(b3)^2;+ ...(bn)^2；）≥（a1b1+a2b2+a3b3+..+anbn)^2;等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn（当ai=0或bi=0时ai和bi都等于0，不考虑ai:bi，i=1,2,3，…，n）三角形式√（a^2+b^2)+√（c^2+d^2）≥√[(a-c)^2+(b-d)^2]等号成立条件：ad=bc注：“√”表示平方根，向量形式|α||β|≥|α·β|，α=(a1,a，…，an），β=(b1,b，…，bn）（n∈N，n≥2）等号成立条件：β为零向量，或α=λβ（λ∈R）。

一般形式（∑（ai^2；））（∑（bi^2;)) ≥ （∑ai·bi)^2;等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均为零。

上述不等式等同于图片中的不等式。

推广形式(x1+y1+…）（x2+y2+…）…（xn+yn…）≥[（Πx)^(1/n)+（Πy)^(1/n)+…]^n注：“Πx”表示x1，x2，…，xn的乘积，其余同理。

此推广形式又称卡尔松不等式，其表述是：在m*n矩阵中，各行元素之和的几何平均不小于各列元素之和的几何平均之积。

柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。

但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。

柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。

柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。

一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式()()()22222bd ac d c b a+≥++等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：()()()222222222123123112233nn n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪=⋅⋅⋅⎝⎭当或时，和都等于，不考虑二维形式的证明：()()()()()()22222222222222222222222,,,220=ab c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立三角形式ad bc=等号成立条件：三角形式的证明：222111nn n k k k k k k k a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑()()22222222222222222-2a b c d a b c d ac bd a ac c b bd d a c b d =++++≥+++++≥-+++=-+-≥注：表示绝对值向量形式()()()()123123=,,,,,,,,2=n n a a a a b b b b n N n R αβαβαββαλβλ≥⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈≥∈，等号成立条件：为零向量，或向量形式的证明：()()123123112233222222312322222222112233123123=,,,,,,,,,cos ,cos ,cos ,1n n n n n n n n n nm a a a a n b b b b m n a b a b a b a b m n m na a ab b b b m nm n a b a b a b a b a a a a b b b b =⋅=++++==++++++++≤∴++++≤++++++++令一般形式211212⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∑∑∑===n k k k nk k nk k b a b a 1122:::n n i i a b a b a b a b ==⋅⋅⋅=等号成立条件：，或 、均为零。

自招竞赛秋季数学讲义其他重要不等式赫尔的不等式，闵可夫斯基不等式，钟开来不等式以及阿贝尔不等式的证明以及应用。

知识梳理、例题精讲一、 幂平均不等式幂平均不等式：设12,,,n x x xR +∈ ，且αβ<，有111212()()n n x x x x x x n nαααββββα++++++≤ ，等号当且仅当12n x x x === 时取到。

注：调和平均值相当于1α=-，算术平均值相当于1α=，均方根平均值相当于2α=，几何平均值则则相当于1120lim()nx x x nααααα→+++ ，大小关系由幂平均不等式显而易见。

【例1】 【题目来源】【题目】设i x R +∈(1,2,,)i n = ，求证：10111020120()()()()n n n n n n n n x x x x x x xx x x x x x x -++++≥+++ 【知识点】其他重要不等式 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【例2】 【题目来源】【题目】对于1p ≥，0q >，120n a a a ≥≥≥> ，120n b b b <≤≤≤ 或120n a a a <≤≤≤ ，120n b b b ≥≥≥> ，证明1111()()np p i np q i i nq qi ii i a an bb -+===≥∑∑∑【知识点】其他重要不等式 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【例3】【题目来源】第四届CMO【题目】设12,,,n x x x 都是正数(2)n ≥，且11nii x==∑，求证：11nni i ==≥【知识点】其他重要不等式 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4 【例4】【题目来源】2010中国国家集训队测验题【题目】给定整数2n ≥和正实数a ，正实数12,,n x x x 满足121n x x x = ，求最小的实数(,)M M n a =，使得11ni iMa s x =≤+-∑【知识点】其他重要不等式 【适用场合】当堂例题 【难度系数】5二、 权方和不等式权方和不等式：设1212,,,,,,,n n x x x y y y R +∈ ，若0m >或1m <-，则11111()()nm m i ni i nm mi ii i x x yy ++===≥∑∑∑若10m -<<，则11111()()nm m i ni i nm mi ii i x x yy ++===≤∑∑∑【例5】【题目来源】28届IMO 预选题【题目】设,,a b c 是一三角形的三条边长，1()2s a b c =++，求证： 22()3n n n n a b c b c c a a b -++≥+++，n Z +∈ 【知识点】其他重要不等式 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3三、 琴生不等式琴生不等式：若连续函数()f x 在区间I 内下凸（或上凸），则对任意12,,,n x x x I ∈ 及任意12,,,n R λλλ+∈ ，且11nii λ==∑，则有11221122()()()()n n n n f x x x f x f x f x λλλλλλ+++≤+++或11221122()()()()n n n n f x x x f x f x f x λλλλλλ+++≥+++判断函数下凸（上凸）的办法：（1） 设连续函数()f x 的定义域为(,)a b ，如果对于(,)a b 内任意两数12,x x 都有1212()()()()22x x f x f x f ++≤≥，则称()f x 为(,)a b 上的下（上）凸函数 （2） 当函数()f x 二阶可导时，其凸性可根据二阶导数的符号来确定即()0f x ''>→()f x 在D 上严格下凸()0f x ''<→()f x 在D 上严格上凸注：下凸函数有时也被成为凸函数，上凸函数有时也被成为凹函数。

柯西不等式柯西不等式柯西-施瓦茨不等式，又称施瓦茨不等式或柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式，是一条很多场合都用得上的不等式;例如线性代数的矢量，数学分析的无穷级数和乘积的积分，和概率论的方差和协方差。

不等式以奥古斯丁·路易·柯西（Augustin Louis Cauchy），赫尔曼·阿曼杜斯·施瓦茨（Hermann Amandus Schwarz），和维克托·雅科夫列维奇·布尼亚科夫斯基（Виктор Яковлевич Буняковский）命名。

快速导航1内容柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的"留数"问题时得到的.但从历史的角度讲,该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式,因为,正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之,并将这一不等式应用到近乎完善的地步。

柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。

可在证明不等式，解三角形相关问题，求函数最值，解方程等问题的方面得到应用。

2 证法柯西不等式的一般证法有以下几种：■①Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai, bi，则有(∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai *bi)^2.我们令f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)则我们知道恒有f(x) ≥ 0.用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有Δ = 4 * (∑ai *bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0.于是移项得到结论。

■②用向量来证.m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn)mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+......+bn^2)^(1/2)乘以cosX．因为cosX小于等于1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小于等于a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+.....+bn^2)^(1/2)这就证明了不等式．柯西不等式还有很多种，这里只取两种较常用的证法．3 应用柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。

赫尔德不等式在赫尔德共轭的定义中，1/∞意味着零。

如果1 ≤ p，q < ∞，那么||f ||p和||g||q表示（可能无穷的）表达式：以及如果p = ∞，那么||f ||∞表示|f |的本性上确界，||g||∞也类似。

在赫尔德不等式的右端，0乘以∞以及∞乘以0意味着 0。

把a > 0乘以∞，则得出∞。

赫尔德不等式有许多证明，主要的想法是杨氏不等式。

如果||f ||p = 0，那么fμ-几乎处处为零，且乘积fgμ-几乎处处为零，因此赫尔德不等式的左端为零。

如果||g||q = 0也是这样。

因此，我们可以假设||f ||p > 0且||g||q > 0。

如果||f||p = ∞或||g||q = ∞，那么不等式的右端为无穷大。

因此，我们可以假设||f ||p和||g||q位于(0,∞)内。

如果p= ∞且q = 1，那么几乎处处有|fg| ≤ ||f||∞ |g|，不等式就可以从勒贝格积分的单调性推出。

对于p = 1和q= ∞，情况也类似。

因此，我们还可以假设p, q∈ (1,∞)。

分别用f和g除||f ||p||g||q，我们可以假设：我们现在使用杨氏不等式：对于所有非负的a和b，当且仅当a = b时等式成立。

因此：两边积分，得：这便证明了赫尔德不等式。

在p∈ (1,∞)和||f ||p = ||g||q = 1的假设下，等式成立当且仅当几乎处处有|f |p = |g|q。

更一般地，如果||f ||p和||g||q位于(0,∞)内，那么赫尔德不等式变为等式，当且仅当存在α, β > 0（即α = ||g||q 且β = ||f ||p），使得：μ-几乎处处 (*) ||f ||p = 0的情况对应于(*)中的β = 0。

||g||q = 的情况对应于(*)中的α = 0。

柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。

但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。

柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。

柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。

一、柯西不等式的各种形式及其证明 二维形式在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式()()()22222bd ac d c b a+≥++等号成立条件：()d c b a bc ad //== 扩展：()()()222222222123123112233nn n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪=⋅⋅⋅⎝⎭当或时，和都等于，不考虑二维形式的证明：()()()()()()22222222222222222222222,,,220=ab c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立三角形式ad bc≥=等号成立条件：三角形式的证明：222111nn n k k k k k k k a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑()()22222222222222222-2a b c d a b c d ac bd a ac c b bd d a c b d =++++≥+++++≥-+++=-+-≥注：表示绝对值向量形式()()()()123123=,,,,,,,,2=n n a a a a b b b b n N n R αβαβαββαλβλ≥⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈≥∈，等号成立条件：为零向量，或向量形式的证明：()()123123112233112233=,,,,,,,,,cos ,,cos ,1n n n n n n m a a a a n b b b b m n a b a b a b a b m n m nm nm n a b a b a b a b =⋅=++++==≤∴++++≤令一般形式211212⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∑∑∑===n k k k nk k n k k b a b a 1122:::n n i i a b a b a b a b ==⋅⋅⋅=等号成立条件：，或 、均为零。