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单因素方差分析 前提

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生物统计学第九章单因素方差分析

生物统计学第九章单因素方差分析

E(MSA )
=
σ2 +
n a1
a i=1
a
2 i
=
σ2 +
n a1
a i=1
(μi -μ)2
即 MSA 除了代表随机误了σ2 外， 还，还有效应，
也就是说MS
是代表了各处理间的差异．
A
4. 统计量
当零假设 H0 : α1 = α2 = = αa成=立0 时，处理效
应的方差为零，亦即各处理观察值总体均数i (i=1， 2，…，a) 相等时，处理间均方MSA与处理内均方 一样，也是误差方差2的估计值。
❖ 在计算处理间平方和时，各处理均数要受
a
(xi -x)2 0 这一条件的约束，故处理间自由度
i 1
为处理数减1，即a-1。 处理间自由度记为dft ，则dft= a-1。
在计算处理内平方和时，要受a个条件的约束， n
即 (xij -x，i )i=01,2,...a。故处理内自由度为资料中观 j 1
… Xi …
χi1
χa1
χi2
χa2
χi3
χa3
…
j
ห้องสมุดไป่ตู้xχ11j xχ22j xχ33j
n
xχ11n x 2χ2n x3χ3n
合计 μ1 μ2 μ3
平均数 a1 a2 a3
xχi ij
xχaaj x
x iχin
x aχan x
μi
μa μ
ai
aa
符号
a n
xij n
xi. xij
j 1
xi.
1 n
方差分析实质上是关于观测值变异原因的数量分析。
二 固定模型fixed model

单因素试验方差分析(试验数据处理)

单因素试验方差分析(试验数据处理)

SST ( X ij X ) 2
j 1 i 1
r nj
r
nj
SSA ( X j X ) 2
j 1 i 1
n j ( X j X )2
j 1
s
SSA反映了在每个水平下的样本均值与样本总均 值的差异，它是由因子A 取不同水平引起的，所以， 称SA是因子A的效应（组间）平方和.
单因素试验——在一项试验中只有一个因素改变.
多因素试验——在一项试验中有多个因素在改变.
例1 下表列出了随机选取的、用于计算器的四种 类型的电路的响应时间（以毫秒计）. 表1 电路的响应时间 类型Ⅰ 类型Ⅱ 类型Ⅲ 类型Ⅳ 19 20 16 18 22 21 15 22 20 33 18 19 18 27 26 试验指标:电路的响应时间 因素:电路类型 水平: 四种电路类型为因素的四个不同的水平 单因素试验 试验目的:考察电路类型这一因素对响应时间有无 显著的影响.（从哪些值来看是否有影响呢？）
F值 31.10
显著性
934.73
2
6
467.36
**
组内 总和
90.17
1024.89
15.03
8
不同的饲料对猪的体重有非常显著的影响。
三、单因素试验方差分析的简化计算
由于方差分析的计算量比较大，所以引入一种离 差平方和的简单算法：
令
Ti —Ai 水平时,ni个试验值之和 Qi —Ai 水平时,ni个试验值的平方和 T—n个试验值之和 Q—n个试验值的平方和
r
列平均X i Ti ni
（组内平均值）
X1
X2
...
r i 1
Xr
n n i 其中诸 ni 可以不一样，

单因素方差分析

单因素方差分析

单因素方差分析定义：单因素方差分析测试某一个控制变量的不同水平是否给观察变量造成了显著差异和变动.例如，培训是否给学生成绩造成了显著影响；不同地区的考生成绩是否有显著的差异等。

前提:1总体正态分布。

当有证据表明总体分布不是正态分布时，可以将数据做正态转化。

2变异的相互独立性。

3各实验处理内的方差要一致。

进行方差分析时，各实验组内部的方差批次无显著差异，这是最重要的一个假定,为满足这个假定，在做方差分析前要对各组内方差作齐性检验。

一、单因素方差分析1选择分析方法本题要判断控制变量“组别”是否对观察变量“成绩"有显著性影响，而控制变量只有一个，即“组别”，所以本题采用单因素分析法，但需要进行正态检验和方差齐性检验。

2在“组别”，3正态检验（P>0。

05,服从正态分布）正态检验操作过程:“分析"→“描述统计”→“探索"，出现“探索”窗口，将因变量“成绩"放入“因变量列表”，将自变量“组别"放入“因子列表”,将“人名”放入“标注个案”;点击“绘制”,出现“探索:图"窗口，选中“直方图"和“带检验的正态图”，点击“继续”; 点击“探索”窗口的“确定"，输出结果.因变量是用户所研究的目标变量。

因子变量是影响因变量的因素,例如分组变量。

标注个案是区分每个观测量的变量。

带检验的正态图（Normality plots with test，复选框）：选择此项，将进行正态性检验，并生成正态Q—Q概率图和无趋势正态Q-Q概率图.正态检验结果分析:p值都大于0.05，因而我们不能拒绝零假设，也就是说没有证据表明各组的数据不服从正态分布（检验中的零假设是数据服从正态分布)。

即p值≥0。

05,数据服从正态分布。

4单因素方差分析操作过程“分析”→“比较均值”→“单因素ANOVA”，出现“单因素方差分析”窗口，将因变量“成绩”放入“因变量列表”，将自变量“组别”放入“因子”列表;点击“选项”选择“方差同质性检验"和“描述性”，点击“继续”，回到主对话框；点击“两两比较”选择“LSD”和“S—N-K” 、“Dunnett’s C",点击“继续”，回到主对话框；点击“对比”，选择“多项式" ,点击“继续”，回到主对话框；点击“单因素方差分析”窗口的“确定",输出结果。

单因素试验的方差分析

单因素试验的方差分析

其中
r n i
2r
2
S S A X iX n i ii
i 1j 1
i 1
组间平方和（系
如果H0 成立，则SSA 较小。 统离差平方和）
反映的是各水平平均值偏离总平均值的偏离程度。
其中
1 r ni
ni1 j1
ij,
ni
i ij
j1
r ni
2 r ni
2
由P106定理5.1可推得：
S S 2 T~2 n 1 ,S S 2 A ~2 r 1 ,S S 2 E ~2 n r
将 分别SS记2T 作, SS2A
,
SSE
2
的自d由fT度,dfA,dfE
则 FSSA dfA~Fr1,nr
SSE dfE
（，称记作均S S 方A 和d f）A M S A ,S S Ed fE M S E
j1
i1
同一水平 下观测值 之和
所以观测 值之和
例2 P195 2 以 A、B、C 三种饲料喂猪，得一个月后每猪 所增体重（单位：500g）于下表，试作方差分析。
饲料
增重
A
51
40
43
48
B
23
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ25
26
C
23
28
解：T1 51404348182, T2 232526 74, T3 232851
F0.012,610.92
1 5 .0 3
总和 1024.89 8
不同的饲料对猪的体重的影响极有统计意义。
例2的上机实现步骤
输入原始数 据列，并存 到A，B，C 列；
各水平数据放同一列
各水平数据 放在不同列

第9.1节 单因素试验的方差分析——概率论与数理统计(李长青版)

第9.1节 单因素试验的方差分析——概率论与数理统计(李长青版)

ES A ( s 1) 2 n j 2 j
j 1
s
由此得
Se 2 E , ns
1 s SA 2 2 E n j j s 1 s 1 j 1
在 H0 为真时, 即 1 2 s 0 时, 有
S A ( s 1) 将 从而在 H0 不真时, 比值 S ( n s ) 有偏大的趋势, 其 e
S A ( s 1) . 记为 F, 即 F Se (n s )
则 F 可以作为检验 H0 的统
计量. 将 Se 写成如下分项相加的形式
Se ( xi1 x1 ) 2 ( xi 2 x2 ) 2 ( xis xs ) 2
的 影响.
种子品种代 号 (水平) 重复试验序号及作物实测产量
1 128 125 148 2 126 137 132 3 139 125 139 4 130 117 125 5 142 106 151 133 122 139
A1 A2
A3
这里试验的指标是作物产量, 作物是因素, 三种种 子品种代表三个不同的水平. 首先,形成数据差异的直接原因是种子的不同品 种.因此, 每个品种下产量的均值差异检验是我们的主 要任务.这种由因素(种子品种)造成的差异称为条件(系
s nj
从而有
Se ( ij j ) ,
2 j 1 i 1
s
nj
S A n j ( j j ) 2
j 1
s
由此知, Se 反映了误差的波动, 称其为误差的偏差 平方和(或称为组内平方和), 它集中反映了试验中与因 素及其水平无关的全部随机误差. 在 H0 为真时, SA 反 映误差的波动, 在 H0 不真时, SA 反映因子A 的不同水

研究生 试验设计与数据处理 第四章

研究生 试验设计与数据处理 第四章

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举 例
1. 判断颜色对销售量是否有显著影响，实际上也
就是检验具有同方差的四个正态总体的均值是 否相等的问题 2. 如果四个总体的均值相等，可以期望四个样本 的均值也会很接近 § 四个样本的均值越接近，我们推断四个总体均值
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1. 随机误差
2.
在因素的 同一 水平 ( 同一 个总体 ) 下 ，样本的 各观 察值之间的差异 § 比如，同一种颜色的饮料在不同超市上的销售量 是不同的 § 不同超市销售量的差异可以看成是随机因素的影 响 ，或者 说是 由 于 抽样的随 机 性 所 造 成 的， 称 为 随机误差 系统误差 § 在因素的不 同 水平 ( 不 同 总体 ) 下 ， 各观 察值之 间 的差异 § 比如，同一家超市，不同颜色饮料的销售量也是 不同的 § 这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的，也 可能 是由 于颜色本 身所造成 的，后者 所形成的 误 差是由系统性因素造成的，称为系统误差
什么是方差分析?
（例子的进一步分析）
① 检验饮料的颜色对销售量是否有影响，也就 是检验四种颜色饮料的平均销售量是否相同 ② 设µ1为无色饮料的平均销售量，µ2粉色饮料的 平均销售量，µ3为橘黄色饮料的平均销售 量， µ 4 为绿色饮料的平均销售量， 也就是检 验下面的假设 ① H0: µ1 = µ2 = µ3 = µ4 ② H1: µ1 , µ2 , µ3 , µ4 不全相等 ③ 检验上述假设所采用的方法就是方差分析
1 2 3 4 5
该饮料在五家超市的销售情况 无色
26.5 28.7 25.1 29.1 27.2

单因素方差分析

单因素方差分析

单因素方差分析定义：单因素方差分析测试某一个控制变量的不同水平是否给观察变量造成了显著差异和变动。

例如，培训是否给学生成绩造成了显著影响；不同地区的考生成绩是否有显著的差异等。

前提：1总体正态分布。

当有证据表明总体分布不是正态分布时，可以将数据做正态转化。

2变异的相互独立性。

3各实验处理内的方差要一致。

进行方差分析时，各实验组内部的方差批次无显著差异，这是最重要的一个假定，为满足这个假定，在做方差分析前要对各组内方差作齐性检验。

一、单因素方差分析1选择分析方法本题要判断控制变量“组别”是否对观察变量“成绩”有显著性影响，而控制变量只有一个，即“组别”，所以本题采用单因素分析法，但需要进行正态检验和方差齐性检验。

2在控制变量为“组别”，3正态检验（P>0.05，服从正态分布）正态检验操作过程:“分析”→“描述统计”→“探索”，出现“探索”窗口，将因变量“成绩”放入“因变量列表”，将自变量“组别”放入“因子列表”，将“人名”放入“标注个案”；点击“绘制”，出现“探索：图”窗口，选中“直方图”和“带检验的正态图”，点击“继续”；点击“探索”窗口的“确定”，输出结果。

因变量是用户所研究的目标变量。

因子变量是影响因变量的因素，例如分组变量。

标注个案是区分每个观测量的变量。

带检验的正态图（Normality plots with test，复选框）：选择此项，将进行正态性检验，并生成正态Q-Q概率图和无趋势正态Q-Q概率图。

正态检验结果分析:p值都大于0.05，因而我们不能拒绝零假设，也就是说没有证据表明各组的数据不服从正态分布（检验中的零假设是数据服从正态分布）。

即p值≥0.05，数据服从正态分布。

4单因素方差分析操作过程“分析”→“比较均值”→“单因素ANOVA”，出现“单因素方差分析”窗口，将因变量“成绩”放入“因变量列表”，将自变量“组别”放入“因子”列表；点击“选项”选择“方差同质性检验”和“描述性”，点击“继续”，回到主对话框；点击“两两比较”选择“LSD”和“S-N-K”、“Dunnett’s C”，点击“继续”，回到主对话框；点击“对比”，选择“多项式”，点击“继续”，回到主对话框；点击“单因素方差分析”窗口的“确定”，输出结果。

单因素方差分析-SPSS

单因素方差分析-SPSS

2
1.2相关概念
（1）影响因素的分类：在所有的影响因素中根据是否可以人为控制可以分 为两类，一类是人为可以控制的因素，称为控制因素或控制变量，如种子 品种的选定，施肥量的多少；另一类因素是认为很难控制的因素，称为随 机因素或随机变量，如气候和地域等影响因素。在很多情况下随机因素指 的是实验过程中的抽样误差。 （2）控制变量的不同水平：控制变量的不同取值或水平，称为控制变量的 不同水平。如甲品种、乙品种；10公斤化肥、20公斤化肥、30公斤化肥等。 （3）观测变量：受控制变量和随机变量影响的变量称为观测变量，如农作 物的产量等。 方差分析就是从观测变量的方差入手，研究诸多控制变量中哪些变量是对 观测变量有显著影响的变量以及对观测变量有显著影响的各个控制变量其 不同水平以及各水平的交互搭配是如何影响观测变量的一种分析方法。
i 1
k
SSE ( xij xi ) 2
i 1 j 1
ni
6
各离差平方和的计算-例题
职称 基本工资 职称 基本工资
1 1014 3 848
1 1044 3 827
1 1014 3 938
2 984 3 887
2 859 3 887
2 989 4 824
2 889 4 824
3 866 4 824
先验对比检验 如果发现某些水平与另一些水平的均值差距显著，就可以进一 步比较这两组总的均值是否存在显著差异。在检验中，SPSS根 据用户确定的各均值的系数，再对其线性组合进行检验，来判 断各相似性子集间均值的差异程度。 趋势检验 当控制变量为定序变量时，趋势检验能够分析随着控制变量水 平的变化，观测变量值变化的总体趋势是怎样的。
13
① Option选项

第三节单因素方差分析

第三节单因素方差分析

第三节单因素⽅差分析试验中要考察的指标称为试验指标，影响试验指标的条件称为因素（分类变量），因素所处的状态称为⽔平，若试验中只有⼀个因素改变则称为单因素试验，若有两个因素改变则称为双因素试验，若有多个因素改变则称为多因素试验。

⽅差分析就是对试验数据进⾏分析，检验⽅差相等的多个正态总体均值是否相等，进⽽判断各因素对试验指标的影响是否显著，根据影响试验指标条件的个数可以区分为单因素⽅差分析、双因素⽅差分析和多因素⽅差分析。

如果有4组的均数需要⽐较，如果使⽤t检验进⾏两两⽐较，那需要进⾏6次。

⽽每次t检验不犯第⼀类错误的概率为0.95，6次都不犯的概率即是0.95的6次⽅，所以如果使⽤t检验进⾏两两⽐较，6次t检验⾄少有⼀次犯第⼀类错误的概率为0.2469，将被放⼤。

如果仍然要使⽤两两的t 检验，就需要控制总的犯第⼀类错误的概率各组内部变异（组内变异）：反映个体差异（随机变异）的⼤⼩各组均数差异（组间变异）：反映了个体差异（随机效⽤）的影响与可能存在的处理因素的影响之和总变异=组内变异+组间变异F检验统计量： F=(SSA/(k-1))/(SSE/(n-k))=MSA/MSE前提条件：独⽴性，正态性，⽅差齐性（）如果得出的结论是多组均数间存在差异，则需要进⾏事后的两两⽐较两两⽐较中会遇到的⼀类错误CER：⽐较误差，即每做⼀次⽐较犯⼀类错误的概率EERC：在完全⽆效假设下的试验误差率，即在H0成⽴时做完全⽐较所犯的⼀类错误的概率，⽅差分析检验/卡⽅检验本⾝控制的就是EERCMEER：最⼤试验误差率，即在任何完全或者部分⽆效假设下，做完全部⽐较所犯的⼀类错误的最⼤概率值，适⽤范围更⼴控制⼀类错误 直接校正P值： sidak校正，当⽆效假设实际成⽴，即各组均数⽆差别时，完全两两⽐较犯第⼀类错误的概率为1-0.95^(k(k-1)/2)，次即EERC，通过控制总的EERC=0.05反向推导没⼀个检验犯第⼀类错误的概率，统计软件直接往往将每个检验的屁p值放⼤（最⼤放⼤为1），⽽固定每个⽐较的α⽔准仍为0.05⽅便阅读 bonferroni校正：⼤多数实际问题中，都是有些组均数相同，有些不同，因此使⽤MEER更合适，通过控制CER，使得MEER被控制在所设定的⽔准内，计算公式为CER=α/c(需要进⾏⽐较的次数) 直接校正的缺陷：将两两⽐较分别进⾏，不仅使⽤⿇烦，也增加了误差的影响，因为每次两两⽐较只会⽤到这⼀组的数据⽽利⽤不到所有的数据，联合检验可解决此类问题，⽽且对⼀类错误的控制太严格，结果往往是偏保守的 联合检验：LSD-t检验，LSD最⼩显著差异，t检验的⼀个变形，在标准误和⾃由度的计算上利⽤了全部样本信息，使得结果更为准确，t 检验的标准误和⾃由度的计算只利⽤了相应的两组的信息。

MATLAB进行单因素方差分析——ANOVA

MATLAB进行单因素方差分析——ANOVA

MATLAB进行单因素方差分析—ANOVA 方差分析的目的是确定因素的不同处理（方法、变量）下，响应变量（类别、结果）的均值是否有显著性差异。

方差分析用于两个或者两个以上因素样本均值的检验问题，如果直接使用假设检验的方法进行检验，那么需要对两两变量进行假设检验，如果有r个变量，需要进行的检验数量为r*(r-1)个，计算量相当庞大。

对此，R.A.Fisher提出一种基于总误差分解分析的方法对所有样本的误差量分解为随机误差（组内的波动误差）和条件误差（组间的、由不同因素或者不同处理造成的误差），分别表示为SSE和SSA，总误差为SST，那么，SST=SSE+SSA。

由随机误差和波动误差构造F统计量对样本均值进行检验的过程，称之为方差分析（Analysis of Variance,ANOVA）。

使用常用的统计工具可以方便的进行方差分析，并给出方差分析表。

方差分析表如有如下格式，可以一目了然的获得关于样本总误差分配情况以及所构造的统计量大小、检验显著性等。

方差分析的前提是以下两个假设：（1）正态性假设；（2）方差齐性假设；第一个假设即各变量服从正态分布，可以通过一般的正态性检验方法进行检验，这里不再赘述；主要关注一下方差齐性检验，所谓方差齐性，也即方差分析是针对方差一致的情况下，检验样本均值是否一致。

因此，所使用样本首先要通过方差齐性检验，其H0假设即为所有样本的样本方差相等。

为检验该假设，Bartlett提出了一种卡方检验方法，所构造统计量服从自由度为r-1的卡方分布，r为变量个数。

其检验的思想是，首先求出各个样本的样本方差，然后得到样本方差的算术平均值和几何平均值，那么，几何平均值<=算术平均值（GMSSE&lt;=MSSE），当所有样本方差相等时，取等号。

因此，MSSE/GMSSE比较大时，说明H0假设不能够被接受，方差不一致。

所构造的统计量是对上述比值进行的对数变换并添加了一些新项目。

第2章单因素方差分析

第2章单因素方差分析

第12章方差分析（Analysis of V ariance）方差分析是鉴别各因素效应的一种有效统计方法，它是通过实验观察某一种或多种因素的变化对实验结果是否带来显著影响，从而选取最优方案的一种统计方法。

在科学实验和生产实践中，影响一件事物的因素往往很多，每一个因素的改变都有可能影响产品产量和质量特征。

有的影响大些，有的影响小些。

为了使生产过程稳定，保证优质高产，就有必要找出对产品质量有显著影响的那些因素及因素所处等级。

方差分析就是处理这类问题，从中找出最佳方案。

方差分析开始于本世纪20年代。

1923年英国统计学家R.A. Fisher 首先提出这个概念，（ANOV A）。

因当时他在Rothamsted农业实验场工作，所以首先把方差分析应用于农业实验上，通过分析提高农作物产量的主要因素。

Fisher1926年在澳大利亚去世。

现在方差分析方法已广泛应用于科学实验，医学，化工，管理学等各个领域，范围广阔。

在方差分析中，把可控制的条件称为“因素”（factor），把因素变化的各个等级称为“水平”或“处理”（treatment）。

若是试验中只有一个可控因素在变化，其它可控因素不变，称之为单因素试验，否则是多因素试验。

下面分别介绍单因素和双因素试验结果的方差分析。

1.1 单因素方差分析（One Way Analysis of Variance）1.一般表达形式2.方差分析的假定前提3.数学模形4.统计假设5.方差分析：（1）总平方和的分解；（2）自由度分解；（3）F检验6.举例7.多重比较1.1.1 一般表达形式首先通过一个例子引出单因素方差分析方法。

某农业科研所新培养了四种水稻品种，分别用A1，A2，A3，A4表示。

每个品种随机选种在四块试验田中，共16块试验田。

除水稻品种之外，尽量保持其它条件相同（如面积，水分，日照，肥量等），收获后计算各试验田中产量如下表：通过这些数据要考察四个不同品种的单位产量，是否有显著性差异。

单因素方差分析

单因素方差分析

2. 3.
一、方差分析的内容
4. 试验
这里只涉及一个因素，因此称为单因素四水
平的试验
5. 总体
个总体 6. 样本数据 上面的数据可以看作是从这四个总体中抽取 的样本数据
因素的每一个水平可以看作是一个总体 比如A1、A2、A3、 A4四种颜色可以看作是四
二、方差分析的基本思想
（一）比较两类误差，以检验均值是否相等 （二）比较的基础是方差比
该饮料在五家超市的销售情况 超市
1 2 3 4 5
无色
26.5 28.7 25.1 29.1 27.2
粉色
31.2 28.3 30.8 27.9 29.6
橘黄色
27.9 25.1 28.5 24.2 26.5
绿色
30.8 29.6 32.4 31.7 32.8
一、方差分析的内容
（二）几个基本概念
1. 因素或因子 所要检验的对象称为因子 要分析饮料的颜色对销售量是否有影响，颜色是要检 验的因素或因子 水平 因素的具体表现称为水平 A1、A2、A3、 A4四种颜色就是因素的水平 观察值 在每个因素水平下得到的样本值 每种颜色饮料的销售量就是观察值
什么时候起最好的影响作用。
方差分析是鉴别各因素效应的一种有效统计 方法，它是通过实验观察某一种或多种因素 的变化对实验结果是否带来显著影响，从而 选取最优方案的一种统计方法。
在科学实验和生产实践中，影响一件事
物的因素往往很多，每一个因素的改变 都有可能影响产品产量和质量特征。有 的影响大些，有的影响小些。为了使生 产过程稳定，保证优质高产，就有必要 找出对产品质量有显著影响的那些因素 及因素所处等级。方差分析就是处理这
（三）如果系统(处理)误差显著地不同于随机误差， 则均值就是不相等的；反之，均值就是相等的 （四）误差是由各部分的误差占总误差的比例来测 度的

最新SPSS单因素方差分析步骤

最新SPSS单因素方差分析步骤

spss教程：单因素方差分析用来测试某一个控制变量的不同水平是否给观察变量造成显著差异和变动。

方差分析前提：不同水平下，各总体均值服从方差相同的正态分布。

所以方差分析就是研究不同水平下各个总体的均值是否有显著的差异。

统计推断方法是计算F统计量，进行F检验，总的变异平方和 SST，控制变量引起的离差SSA（Between Group离差平方和），另一部分随机变量引起的SSE（组内Within Group离差平方和），SST=SSA+SSE。

方法/步骤1.计算检验统计量的观察值和概率P_值：Spss自动计算F统计值，如果相伴概率P小于显著性水平a，拒绝零假设，认为控制变量不同水平下各总体均值有显著差异，反之，则相反，即没有差异。

2.方差齐性检验：控制变量不同水平下各观察变量总体方差是否相等进行分析。

采用方差同质性检验方法（Homogeneity of variance），原假设“各水平下观察变量总体的方差无显著差异，思路同spss两独立样本t检验中的方差分析”。

图中相伴概率0.515大于显著性水平0.05，故认为总体方差相等。

趋势检验：趋势检验可以分析随着控制变量水平的变化，观测变量值变化的总体趋势是怎样的，线性变化，二次、三次等多项式。

趋势检验可以帮助人们从另一个角度把握控制变量不同水平对观察变量总体作用的程度。

图中线性相伴概率为0小于显著性水平0.05，故不符合线性关系。

3.多重比较检验：单因素方差分析只能够判断控制变量是否对观察变量产生了显著影响，多重比较检验可以进一步确定控制变量的不同水平对观察变量的影响程度如何，那个水平显著，哪个不显著。

常用LSD、S-N-K方法。

LSD方法检测灵敏度是最高的，但也容易导致第一类错误（弃真）增大，观察图中结果，在LSD项中，报纸与广播没有显著差异，但在别的方法中，广告只与宣传有显著差异。

4. 相似性子集：由图可知，划分的子集结果是一样的。

通常在相似性子集划分时多采用S-N-K 方法的结论。

方差分析

方差分析

第二节 单因素试验方差分析
ST ( xij x.. )2
i 1 j 1 m r
式（1）
将式（1）进行分解：
ST ( xij xi. )2 r ( xi. x.. )2
i 1 j 1 i 1
m
r
m
式（2）
第二节 单因素试验方差分析
ST ( xij xi. )2 r ( xi. x.. )2
fT=mr-1=n-1，fA=m-1，fe=mr-m=n-m
显然 fT= fA+ fe 式（10）
第二节 单因素试验方差分析
fT= fA+ fe 式（10）
式（10）称为偏差平方和自由度分解公式。因为总自 由度fT=n-1是总的数据个数减1，而组间自由度fA=m-1是因 素的水平数减1，都很好计算，所以一般先求出fT和fA，再 利用 fe =fT- fA 式（11） 求出组内自由度fe。
xi.
105.6 110.9 107.9 114.2 85.0 523.6

4
i 1
2 x ij
2820.24 3092.61 2958.13 3276.50 1807.24 13954.72
第二节 单因素试验方差分析
1、计算偏差平方和及自由度 x..=523.6 CT= x..2/n=523.62/20=13707.85
式（8） 式（9）
第二节 单因素试验方差分析
（三）计算自由度和方差
偏差平方和的大小，与参与求和的项数有关，为了比较 SA与Se的大小，应消除求和项数的影响，比较它们的平均值。 从数学上的理论推导知道，SA与Se的平均值，不是把SA与Se 分别除以相应的参与求和的项数，而应除以它们的自由度， 下面分别为ST 、SA与Se的自由度fT、fA和fe。

单因素方差分析

单因素方差分析

综合性课程设计题目: 某校学生成绩单因素方差分析学院：理学院班级：统计13-2班学生姓名:黄克韬胡远亮贺鹏杰学生学号： 27 23 24 指导教师：姚君2016年 12月 1日课程设计任务书目录摘要 (I)1 问题重述 (1)2 模型假设 (3)3 模型建立 (4)3.1 单因素方差分析前提条件 (4)3.2 单因素方差分析步骤 (5)3.3 模型推导 (9)4 模型求解 (12)4.1 做出直方图 (12)4.2 做假设检验 (15)4。

3 检验原假设 (17)4。

4 计算平方和 (19)4。

5 比较F值和临界值 (20)5 模型检验 (20)6 模型评价 (27)7 结论与体会 (28)8 参考文献 (29)9 源程序 (30)摘要方差分析用于多个样本均数差别的显著性检验。

它的基本思想是通过分析研究不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定可控因素对研究结果影响力的大小。

本文研究学生成绩与课设等级之间的关系，其中可明确观测变量为学生成绩，控制变量为课设等级。

由于仅研究单个因素（课设等级）对观测变量（学生成绩)的影响，因此称为单因素方差分析。

本文利用了假设检验和方差分析来对学生成绩进行分析,首先对学生汇编成绩的分布进行假设，其次利用皮尔逊2 对所得的分步进行检验，结合spss数据处理软件求出想要得到的结果，最后用单因素的方差分析判断学生汇编课设等级对学生汇编成绩的影响，从而得出汇编成绩与学生人数之间呈正态分布，学生汇编课设等级对学生汇编成绩有着显著影响.关键词：假设检验；单因素方差分析; Spss、卡方检验1 问题重述从网络搜取某大学信息学院学生的汇编成绩,并对其进行分析，要求如下： 1、分析汇编成绩与学生人数之间的关系（取显著性水平05.0=α);2、为了查看学生动手操作能力与理论结合的情况，分析汇编课程设计等级对汇编成绩之间的影响。

1。

1问题背景在科学研究和生产实践中，常常需要同时研究两个以上因素对试验结果的影响，t 检验法使用于样本平均数及两个样本平均数间的差异显著性检验,但是在生产和科学研究中经常会遇到比较多个处理优劣的问题，即需进行多个平均数间的差异显著性检验。

统计学第八章 单因素方差分析(1)

统计学第八章 单因素方差分析(1)

称为处理平方 处理平方 和，记为 SSA
总平方和SST＝处理平方和SSA＋误差平方和SSe
即， ( y ij − y •• ) = n∑ ( y i • − y •• ) + ∑∑ ( y ij − y i• ) 2 ∑∑
2 i =1 j =1 i =1 i =1 j =1 a n 2 a a n
i =1 j =1
a
n
= n∑ ( y i• − y •• ) + 2∑ [( y i• − y •• )∑ ( y ij − y i• )] + ∑∑ ( y ij − y i • )
2 i =1 i =1 j =1 i =1 j =1
a
a
n
a
n
j =1
∑ ( y ij − y i • ) = 0
换句话说，采用两两t检验法，要进行45次t检验，程序太繁琐。
原因（2）：检验的I 型错误增大，从而检验的 可靠性低
a = 2 时， H 0 只有一个，即
µ 1＝ µ 2
a = 3 时， H 0 有 3 个，即 µ 1＝ µ 2， µ 2＝ µ 3， µ 1＝ µ 3
a = 5时，H 0 有10个，即µ1＝µ 2，µ 2＝µ3， , µ 4＝µ5 L
二、方差分析的几个概念
1、方差分析（analysis of variance）：将试验数据的总变异分 解成不同来源的变异，从而评定不同来源的变异相对重要性 的一种统计方法。 2、试验指标（experiment index）：为衡量试验结果的好坏或 处理效应的高低，在试验中具体测定的性状或观测的项目。 3、试验因素（experiment factor）：试验中所研究的影响试验 指标的因素：单因素、双因素或多因素试验。 4、因素水平（level of factor）：因素的具体表现或数量等级。

方差分析(ANOVA)

方差分析(ANOVA)
方差分析（ANOVA）
n4
n3 n2 n1
Y4
Y3 Y2
Y1
例子：某研究者在某单位工作人员中进行了体重指 数（BMI）抽样调查，随机抽取不同年龄组男性受试 者各16名，测量了被调查者的身高和体重值，由此按 照BMI=体重/身高2公式计算了体重指数，请问，不 同年龄组的体重指数有无差异。
项目
样本量 平均值 标准差
关于因素与水平
因素也称为处理因素（factor） 每一处理因素至少有两个水平(level)（也称“处理组”
）。
完全随机设计：
将实验对象随机分配到不同处理组的单因素 设计方法。针对一个处理因素，通过比较该 因素不同水平组均值，推断该处理因素不同 水平组的均值是否存在统计学差异。
例 在评价某药物耐受性及安全性的I期临床试验 中，对符合纳入标准的30名健康自愿者随机分为 3组每组10名，各组注射剂量分别为0.5U、1U、 2U，观察48小时部分凝血活酶时间（s）试问不 同剂量的部分凝血活酶时间有无不同？
当各组样本含量不同，选择Scheffe法，得结果：
Dependent Variable: no Scheffe
Multiple Comparisons
M ea n
Di ffe re nce
(I) group (J) group
(I-J)
Std. Error
Si g.
1
2
13.61250 26.51068
方差分析步骤 ：
（1）提出检验假设，确定检验水准
H0:μ1=μ2=μ3 H1:μ1，μ2，μ3不全相同 a=0.05
（2）计算检验统计量F 值
（3）确定P值，做出推断结论
F0.05(2，26) =2.52，F>F0.05(2，26) ，P<0.05，拒绝 H0。 三种不同剂量48小时部分凝血活酶时间 不全相同。

单因素试验的方差分析

单因素试验的方差分析
2
j
μ 各个随机误差 ε ij 相互独立， 1 , μ 2 , , μ s 和 σ
未知.
单因素试验表 部分总体 样 本 A1 A2 … As
X11
X21
· · ·
X12 …
X22 … Xn22 … T.2 …
X 2
· · ·
X1s
X2s
· · ·
…
Xn11 样本和T.j 样本均值 X j T.1
是 σ 的无偏估计
.
结合定理(1)(2)(3)，有
F S A /( s 1 ) S E /( n s ) ~ F ( s 1, n s )
ST ，SA ，SE 的计算方法
n
j
记 T j 化简得

i1
X
ij
， T

j1 i1
s
2
s
n
j
X
ij

T
j1
s
j
j1 i1
s
n
j
(X
ij
X
j )
2
说明：
SE 表示在每个水平下的样本值与该水平下的样本 均值的差异，它是由随机误差引起的，所以，称SE是 误差（组内）平方和.
平方和分解公式：
ST S A S E
证明：S
i1
s
n
j
(X
ij
X)
2

( X
j1 i1
2
都是未知参数。
在水平Aj下进行nj次独立试验，得样本
X 1 j， X
2 j
， ，X
nj j
，
则
记
X
ij
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单因素方差分析前提
单因素方差分析（One-WayAnalysisofVariance,ANOVA）是一种探讨不同条件下总体均值差异的数理统计方法。

它是统计分析中重要的统计技术之一，在数据的统计分析及研究解释中占有重要的地位。

本文将综述单因素方差分析的前提条件，期望提供一定的参考。

首先，单因素方差分析要求有足够的样本数量，以保证分析结果的稳定性和可靠性。

一般来说，每组样本数量最好超过5个，以保证统计性质满足单因素方差分析的要求。

其次，单因素方差分析要求实验条件必须是完全随机的，不能存在任何指定性因素。

除此之外，单因素方差分析的变量必须是定性的，比如“性别”，“教育程度”等，而不能是定量的，比如“收入”，“体重”等。

另外，两个以上的实验组间要求服从正态分布，方差也要求相等，并且每个实验组里的样本要求具有相同的方差。

最后，单因素方差分析还要求实验结果要能够反映客观性的现象，而不是特定的主观性假设。

总之，正确遵循单因素方差分析的诸多前提条件是很重要的，只有这样，才能保证获得的结果真实可靠，具有科学性。

首先，单因素方差分析要求有足够的样本数量，以保证分析结果的稳定性和可靠性。

在实验环节上，需要根据实际情况选择对应的样本数量。

如果实验对象量较小，要求在每组样本中至少有5个以上的样本，以保证统计性质满足单因素方差分析的要求。

其次，单因素方差分析要求实验条件必须是完全随机的，不能存在任何指定性因素。

在实验设计环节上，必须保证实验条件的独立，不能受到外部环境特
定的影响。

此外，单因素方差分析的变量必须是定性的，比如“性别”，“教育程度”等，而不能是定量的，比如“收入”，“体重”等。

在实验数据收集环节上，需要精准把控，只选择定性数据，而不是定量数据。

继续来说，两个以上的实验组间要求服从正态分布，方差也要求相等，并且每个实验组里的样本要求具有相同的方差。

首先，在实验数据收集环节，实验组的样本数量应该尽量一致，以保证方差的相等性。

此外，实验组的样本要求服从正态分布，以保证结果的正确性。

同时，每个实验组里的样本要求具有相同的方差，这样才能确保实验结果的一致性。

最后，实验结果要能够反映客观性的现象，而不是特定的主观性假设。

在实验设计环节上，要清晰明确实验目的，不要有过多的主观性操纵，以保证实验结果的真实可靠性。

总之，遵循单因素方差分析的前提是很重要的，只有这样，才能保证获得的结果真实可靠，具有科学性。

在实验环节上，需要精准把控，从而确保实验结果的真实可靠性，避免出现意外的偏差。

同时，也可以通过更加注重实验设计的方式来保证单因素方差分析的精准
性和准确性，从而更好地获得有用的结果。