三一设计二轮资料核心考点6 计数原理、概率及其分布、统计

概率论中的计数原理例题和知识点总结在概率论中，计数原理是非常基础且重要的一部分，它为我们解决各种概率问题提供了有力的工具。

接下来，我们将通过一些具体的例题来深入理解计数原理，并对相关知识点进行总结。

一、知识点梳理1、加法原理如果完成一件事有 n 类不同的方案，在第一类方案中有 m1 种不同的方法，在第二类方案中有 m2 种不同的方法，……，在第 n 类方案中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝ m1 ＋ m2 ＋… ＋ mn 种不同的方法。

2、乘法原理如果完成一件事需要 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，……，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝m1 × m2 × … × mn 种不同的方法。

3、排列从 n 个不同元素中取出 m（m ≤ n）个元素的排列数，记作 Anm ，Anm ＝ n(n 1)（n 2)…（n m ＋ 1) 。

4、组合从 n 个不同元素中取出 m（m ≤ n）个元素的组合数，记作 Cnm ，Cnm ＝ n! ／ m!（n m)！。

二、例题解析例 1：从 0 到 9 这 10 个数字中，任取 3 个数字组成一个没有重复数字的三位数，有多少种取法？解：第一步，百位数字不能为 0，有 9 种选择；第二步，十位数字有 9 种选择（因为百位已经选了一个数字）；第三步，个位数字有 8种选择。

根据乘法原理，共有 9 × 9 × 8 ＝ 648 种取法。

例 2：有 5 本不同的语文书，4 本不同的数学书，3 本不同的英语书，从中任取 2 本不同学科的书，有多少种不同的取法？解：分三种情况讨论：（1）取语文和数学书，有 5 × 4 ＝ 20 种取法；（2）取语文和英语书，有 5 × 3 ＝ 15 种取法；（3）取数学和英语书，有 4 × 3 ＝ 12 种取法。

第十一章计数原理概率随机变量及其分布列计数原理是概率论中的重要概念之一，它是研究集合元素个数或事件发生次数的基础。

本章将介绍计数原理、概率、随机变量及其分布列的概念与性质。

首先，我们来介绍计数原理。

计数原理包括排列、组合和乘法原理。

排列是指从一组元素中选取若干元素，按一定顺序排列的方法数。

排列的基本公式为nPm=n!/(n-m)!(n≥m)，其中n为元素个数，m为选取个数，n!表示n的阶乘。

组合是指从一组元素中选取若干元素，不考虑其排列顺序的方法数。

组合的基本公式为nCm=n!/[m!(n-m)!]，其中n为元素个数，m为选取个数。

乘法原理是指若有多个相互独立的事件，每个事件发生的方法数分别为n1，n2，…，nk，则这些事件同时发生的方法数为n1·n2·····nk。

计数原理在概率论中有着重要的应用，它可以帮助我们计算事件发生的可能性。

接下来，我们来介绍概率的概念。

概率是指其中一事件在所有可能事件中发生的可能性大小。

概率的取值范围在0到1之间，0表示不可能发生，1表示必然发生。

概率的计算可以使用频率法、古典概型和几何概率等方法。

频率法是通过大量实验的结果来估计概率，公式为P(A)=n/N，其中n 为事件A发生的次数，N为试验总次数。

古典概型是指每个事件发生的可能性相等的情况下，计算概率。

公式为P(A)=m/n，其中m为事件A包含的基本事件数，n为所有基本事件的总数。

几何概率是指利用几何方法计算概率。

例如，在正方形区域中随机选择一个点，落在一些子区域中的概率等于子区域的面积与正方形区域的面积之比。

随机变量是指对随机事件的其中一种度量或描述。

随机变量可以分为离散型随机变量和连续型随机变量。

离散型随机变量的值在其中一区间内只能取有限或可数个值。

离散型随机变量的分布列可以通过概率函数或分布列来描述。

概率函数表示离散型随机变量取值的概率。

例如，设X为一些离散型随机变量，其取值为x1，x2，…，xn，对应的概率为p1，p2，…，pn，则其概率函数为P(X=xi)=pi。

知识梳理：计数原理与排列组合、概率及概率分布一、计数原理与排列组合解决计数应用题时，要认真审题，弄清楚问题的背景：①搞清问题是否“有序”，即不同元素间是否有先后顺序、位置差异或识别区分，从而分清是排列问题还是组合问题；②弄清目标的实现是该分步实行还是需要分类研究，复杂的问题一般是先按元素的性质分类，再按事件发生的连续过程分步，操作上一般遵循先选元素（组合）后排列的原则．分类时要明确标准，做到不重复不遗漏，类与类之间是“互斥”关系，而分步时要注意各步间的连续性；③准确分清弄清题目中的关键字眼，如“在”与“不在”，“相邻”与“不相邻”，“至少”与“至多”，“有”与“恰好有”等．复杂的计数问题常常通过枚举试验、列表画图（树形图）、小数字简化等手段使问题直观化，从而寻求解题途径；或者利用转化的思想，把问题转化为若干简单的基本问题后再用两个原理去求解．由于结果的正确性难以直接检验，因而常需要用不同的方法求解来获得检验，例如，“正面算”与“反面剔”等．提倡一题多解．常见的解题策略有：⑴特殊元素特殊位置优先安排⑵相邻元素捆绑法（内部先排，团体与其他元素一起再排）（不全相邻，排除处理）⑶不相邻问题插空法（其他元素先排得空，不相邻元素插空）（相间排列，定位处理）⑷顺序一定问题他人先坐法（只要先将其他元素安排就座，顺序一定元素再依序入座）或者，顺序一定问题用“除法”（先全体元素全排，再除以顺序一定元素的全排）⑸多面手问题集合法（画出韦恩图，按某一类的元素入选情况分类）⑹“至多”、“至少”问题分类处理或间接排除⑺分排问题直排处理；混合问题先选后排；复杂问题穷举画图，分类讨论，间接排除，构造处理⑻有序分组（组有标识区别或个数有差异）依次分配；无序均分（组无区分）先分配再除法；（防止重复，体会“分步乘法即有序”）各组元素个数不定问题先依次分配再乘法处理．⑼个数不定的分类组合（每组至少一个）问题，隔板处理⑽相同元素隔板处理（无限制要求的一字排开，隔板（代表限制元素）插空）（或者把无限制元素理解成顺序一定）二、古典概型古典概型的特征：⑴基本事件是有限的；⑵基本事件都是等可能的．解决古典概型的基本步骤：明确所有基本事件，确定它们是等可能的，确定它们的个数n，确定事件A包含的基本事件的个数m ，利用古典概型的概率计算公式()m P A n=计算概率． 在古典概型中，难点之一是从怎样的角度看基本事件，选择最优的方式解决；难点之二是计数问题，涉及到是排列还是组合的问题．古典概型的解题规范：① 建立计数模型，并确定总的（等可能）基本事件数；（建模方法：标识编号并枚举/列图表/画树形图/排列组合模型）② 交代等可能性：“每个基本事件的发生是等可能的”；③ 标记所求事件A ，并确定事件A 包含的基本事件数；④ 由古典概型的概率计算公式，计算()P A 的值；⑤ 答：所求事件A 发生的概率是()P A ．三、几何概型几何概型的特征：⑴ 基本事件是无限的；⑵ 基本事件都是等可能的；几何概型的概率计算公式()的测度的测度d P A D =．在几何概型中，应紧紧抓住“基本事件是点”这条主线，难点是将一些实际问题转化成几何概型问题．解题中要关注等可能的切入维度，关注随机点需要几个变量来控制（一维线段长度、二维平面区域面积、三维空间体积）．几何概型的解题规范：① 标记所求事件A ；② 建立几何模型，交代随机点出现在区域内任一点处是等可能的；③ 确定几何区域D 和d （当且仅当随机点落在区域d 内时事件A 发生）；④ 计算D 和d 的测度，由几何概型的概率计算公式，计算概率()P A ；⑤ 答：所求事件A 发生的概率是()P A ．四、互斥事件与对立事件互斥（对立）事件的概率解题规范：① 标识相关互斥事件A 、B 等（常标识至每个单位互斥事件(12)，，，i A i n =）；② 交代事件A 、B 等彼此互斥；③ 计算出各相关互斥事件的概率()P A 、()P B 等；④ 标记所求和事件A B +，由互斥事件的概率加法公式计算()()()P A B P A P B +=+； 或者，标记所求对立事件A ，由对立事件的概率公式，计算()1()P A P A =-；⑤ 答：所求事件A 发生的概率是()P A ．五、随机变量的概率分布列随机变量是随机事件的数量化，把随机实验的每一个可能出现的结果（基本事件）对应于一个实数，即用一个数来表示一个结果，这样就建立了从随机实验的每一个可能的结果的集合到实数集的映射．引进随机变量后，了解随机现象的规律转化为了解随机变量的所有可能取值以及随机变量取各个值的概率（也就是随机变量的概率分布列）．由于随机现象所有可能的结果的集合Ω对应的事件是一个必然事件，概率是1，而每一次实验结果是Ω的一个“元素”，故随机变量所有取值对应的概率和为1．求随机变量的概率分布列的步骤：① 明确随机变量的所有取值；② 指出随机变量取每个值所表示的意义；③ 利用古典概型的知识求出随机变量取每个值的概率；④ 按规范给出随机变量的概率分布（列）表．六、超几何分布超几何分布模型的特征：① 研究的是两类对象，一类看作正品，一类看作次品（与要发生的事件相关，数目较少）；② 每类对象的数目确定（次品M 件，正品N M -件，总产品共N 件）；③ 从中抽取n 件，即无放回的抽样考察；④ 研究取出某类对象的个数的概率分布（随机变量ξ为抽到次品的件数，求恰好抽到k 件次品的概率()()(012min{})；，，，，，，，k n k M N M n NC C P k H k n M N k n M C ξ--====）； ⑤ 若()，，H n M N ξ，在公式中，分子两组合数的上标之和等于分母组合数的上标，分子两组合数的下标之和等于分母组合数的下标，这也是判断一个随机变量是否服从超几何分布的一个方面．超几何分布模型的解题规范：① 标识各类产品及具体数目（将多少件什么看作一批产品，多少件什么看作正品，多少件什么看作次品）从中（不放回）随机抽取多少件；② 引进随机变量，交代随机变量服从怎样的超几何分布；③ 标记所求事件，并用超几何分布的概率表示所求事件的概率；④ 答（按题目要求详细、明确回答）．例题（2006山东文改编）盒中装着标有数字1，2，3，4的蓝色卡片4张，标有数字1，2，3，4的红色卡片4张，现从盒中任意任取3张，每张卡片被抽出的可能性都相等，设取到一张求红色卡片记2分，取到蓝色卡片记1分，以X 表示抽出的3张卡片的总得分，Y 表示抽出的3张卡片上最大的数字，求X 和Y 的概率分布．解：① 设盒中8张卡片为一批产品，其中蓝色的为不合格品，依题意，随机变量X 的可能取值为3，4，5，6，相应地，蓝色卡片被抽出的张数Z 为3，2，1，0．由题意，随机变量(348)，，Z H ．3044384(3)(3)(3348)56；，，C C P X P Z H C ======，(4)P X = 21443824(2)(2348)56C C P Z H C =====；，，，12443824(5)(1)(1348)56C C P X P Z H C ======；，，，0344384(6)(0)(0348)56；，，C C P X P Z H C ======．故X 的概率分布为：② 由于Y 表示抽出的3张卡片中的最大数字，则随机变量Y 可能的取值为2，3，4． 当2Y =时，表示抽出的3张卡片中最大数字为2，它包含两种情况：2张2，1张1；或1张2，2张1．所以，由古典概型，得12212222381(2)14C C C C P Y C +===； 当3Y =时，表示抽出的3张卡片中最大数字为3，它包含两种情况：2张3，1张为1或2；或1张3，另两张为1或2．所以，由古典概型，得21122424382(3)7C C C C P Y C +===； 当4Y =时，表示抽出的3张卡片中最大数字为4，它包含两种情况：2张4，1张为1或2或3；或1张4，另两张为1或2或3．由古典概型，得12212626389(4)14C CC C P Y C +===． 所以，随机变量Y 的概率分布为：七、条件概率条件概率(|)P B A （在事件A 已发生的条件下事件B 发生的概率）条件概率是指当试验结果的一部分信息已知（即在原随机试验的条件上，再加上一件事已发生的条件）求另一件事在此条件下发生的概率．一般不放回问题常可用条件概率解决．()(|)()P AB P B A P A =；()()(|)P AB P A P B A =；()()(|)(|)P ABC P A P B A P C AB =； 当B ，C 互斥时，有(()|)(|)(|)P B C A P B A P C A +=+．条件概率问题的解题规范：① 标识各相关事件（一般第i 次（步）抽到什么为事件i A ）；② 说明所求事件可以转化为什么样的条件概率；③ 利用条件概率的相关公式求其概率；④ 答（按题目要求详细、明确回答）．八、事件的独立性事件A 与B 独立，是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响，即(|)()P A B P A =⇔()()()P AB P A P B =．有放回问题多为独立事件模型．若事件A ，B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 之间也相互独立．独立事件问题的解题规范：① 标识各相关事件（A ，B 等）；② 交代它们相互独立；③ 标识所求事件，并用独立事件表示；④ 利用乘法公式求概率；⑤ 答（按题目要求详细、明确回答）．例题（2009湖南文）为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的12、13、16.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．求：⑴ 他们选择的项目所属类别互不相同的概率；⑵ 至少有1人选择的项目属于民生工程的概率．解：记第i 工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件 i A ，i B ，i C (123)，，i =．由题意知1A ，2A ，3A 相互独立，1B ，2B ，3B 相互独立，1C ，2C ，3C 相互独立，(123)，，，，，，，且，，互不相同i j k A B C i j k i j k =相互独立，且1()2i P A =，1()3i P B =，1()6i P C =．⑴ 记“他们选择的项目所属类别互不相同”为事件A ，则123A A B C =+ 132213231312321A B C A B C A B C A B C A B C ++++，123123()6()6()()()P A P A B C P A P B P C =⋅=⋅⋅⋅111162366=⨯⨯⨯=．⑵ 记“至少有1人选择民生工程项目”为事件B ，则123()1()P B P B B B =- 31231191()()()1(1)327P B P B P B =-=--=． 九、二项分布n 次独立重复试验（伯努利试验）要从三个方面考虑：一是每次试验在相同条件下进行；二是每次实验相互独立，即每次试验与前后其他各次试验的结果无关，不受影响．从而，确保事件A 在相同条件下发生的概率()0P A p =>保持不变；三是每次实验的结果只有两种对立状态，即要么事件A 发生，要么事件A 发生．在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为(01)p p <<，那么在n 次独立重复试验中，设事件A 恰好发生k 次的概率为()(1)(012)，，，，，k k n k nP x k C p p k n -==-=，此时称随机变量X 服从二项分布，记作()，X B n p ．二项分布问题的解题规范：① 标识事件A ，求出事件A 发生的概率p ；② 指出每次试验（事件A 发生一次）相互独立，引进随机变量X ，()，XB n p ； ③ 将所求事件用随机变量的取值表示；④ 用二项分布概率公式计算概率；⑤ 答（按题目要求详细、明确回答）．十、随机变量的均值和方差 (，H n M ()，X B n p aX b +均值（数学期望）：11()()(1012)，，，，，ni i i i i i E x x p p p i n ===⋅==∑∑≥； 方差：211(){[()]}(10)，n ni i i i i i V x x E x p p p ===-⋅=∑∑≥．。

统计学复习资料概率论与数理统计重点知识点整理概率论与数理统计是统计学的基础课程之一，也是应用最为广泛的数学工具之一。

下面将对概率论与数理统计的重点知识点进行整理，以供复习使用。

一、概率论的基本概念1. 样本空间和事件：样本空间是指随机试验的所有可能结果构成的集合，事件是样本空间的子集。

2. 古典概型和几何概型：古典概型是指样本空间中的每个结果具有相同的概率，几何概型是指采用几何方法进行分析的概率模型。

3. 概率公理和条件概率：概率公理是概率论的基本公理，条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。

4. 独立事件和全概率公式：独立事件是指两个事件的发生与否互不影响，全概率公式是用于计算复杂事件的概率的公式。

5. 随机变量和概率分布函数：随机变量是对样本空间中的每个结果赋予一个数值，概率分布函数是随机变量的分布情况。

二、概率分布的基本类型1. 离散型概率分布：包括二项分布、泊松分布和几何分布等。

2. 连续型概率分布：包括正态分布、指数分布和均匀分布等。

三、多维随机变量及其分布1. 边缘分布和条件分布：边缘分布是指多维随机变量中的某一个或几个变量的分布，条件分布是指在已知某些变量取值的条件下，其他变量的分布。

2. 二维随机变量的相关系数：相关系数用于刻画两个随机变量之间的线性关系的强度和方向。

3. 多维随机变量的独立性：多维随机变量中的各个分量独立时，称为多维随机变量相互独立。

四、参数估计与假设检验1. 参数估计方法：包括点估计和区间估计，点估计是通过样本数据得到参数的估计值，区间估计是对参数进行一个范围的估计。

2. 假设检验的基本概念：假设检验是用于对统计推断的一种方法，通过与某个假设进行比较来得出结论。

3. 假设检验的步骤：包括建立原假设和备择假设、选择显著性水平、计算检验统计量和做出统计决策等步骤。

五、回归分析与方差分析1. 简单线性回归分析：简单线性回归分析是研究两个变量之间的线性关系的方法，通过建立回归方程来拟合数据。

计数原理与概率的应用知识点总结计数原理和概率是数学中非常重要的概念，广泛应用于各个领域，包括统计学、计算机科学、工程学等。

本文将对计数原理和概率的应用进行知识点总结。

一、计数原理的应用计数原理是研究如何对事物进行计数和排列的原则。

在实际应用中，计数原理常常被用于解决组合、排列、选择等问题。

1. 组合问题组合是从给定的元素集合中选取若干个元素的方式，不考虑元素的顺序。

计数原理中的组合公式为C(n,m)，表示从n个元素中选取m个元素的组合数。

组合问题的应用场景包括抽奖、选课、排队等。

2. 排列问题排列是指从给定的元素集合中选取若干个元素，并考虑元素的顺序。

计数原理中的排列公式为P(n,m)，表示从n个元素中选取m个元素的排列数。

排列问题的应用场景包括密码锁、团队选拔、奖牌的颁发等。

3. 选择问题选择问题是指从给定元素集合中选取若干个元素，并考虑元素的顺序和重复情况。

计数原理中的选择公式为n^m，表示从n个元素中选取m个元素的选择数。

选择问题的应用场景包括密码破解、密码设置、排队时的座位选择等。

二、概率的应用概率是描述事件发生可能性的数值，并且具有数学计算的特性。

在实际应用中，概率经常被用于预测、风险评估、统计等领域。

1. 概率模型概率模型是用来描述事件发生可能性的数学模型。

常见的概率模型包括离散型和连续型概率模型。

在实际应用中，概率模型被广泛用于生物医学、金融、气象等领域的数据分析和预测。

2. 概率分布概率分布是描述随机变量可能取值及其对应概率的函数。

常见的概率分布包括均匀分布、正态分布、泊松分布等。

概率分布在统计学中被用来描述随机事件的概率分布情况，为相关的数据分析提供支持。

3. 统计推断统计推断是通过已有的样本数据对总体参数进行估计和推断的过程。

根据概率的理论基础，通过对样本数据进行分析，可以得出总体参数的概率分布情况。

统计推断在医学研究、社会调查、市场调研等领域中被广泛应用。

总结：计数原理和概率作为数学中的重要概念，广泛应用于各个领域。

概率统计知识点总结概率统计是一门研究随机现象数量规律的学科，在日常生活、科学研究、工程技术等领域都有着广泛的应用。

下面就来为大家总结一下概率统计中的一些重要知识点。

一、随机事件与概率随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件。

比如抛硬币时，正面朝上就是一个随机事件。

概率则是用来衡量随机事件发生可能性大小的数值。

概率的定义有古典概型和几何概型两种。

古典概型中，事件 A 的概率等于 A 包含的基本事件数除以基本事件总数。

而在几何概型中，事件 A 的概率等于 A 对应的区域长度（面积或体积）除以总区域长度（面积或体积）。

概率的性质包括：0 ≤ P(A) ≤ 1；P(Ω) ＝ 1，其中Ω表示必然事件；P(∅）＝ 0，∅表示不可能事件；如果 A 和 B 是互斥事件，那么P(A∪B) ＝ P(A) ＋ P(B)。

条件概率是指在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率，记作P(A|B)，其计算公式为 P(A|B) ＝ P(AB) ／ P(B)。

二、随机变量及其分布随机变量是用来表示随机现象结果的变量。

常见的随机变量有离散型随机变量和连续型随机变量。

离散型随机变量的概率分布可以用分布列来表示，比如二项分布、泊松分布等。

二项分布描述的是 n 次独立重复试验中成功的次数，其概率质量函数为 P(X ＝ k) ＝ C(n, k) p^k （1 p)＾（n k)，其中 p 是每次试验成功的概率。

泊松分布常用于描述在一定时间或空间内稀有事件发生的次数。

连续型随机变量的概率分布用概率密度函数来描述，常见的有正态分布。

正态分布的概率密度函数为 f(x) ＝ 1 ／（σ √（2π)） e^（（x μ)＾2 ／（2σ^2)），其中μ是均值，σ是标准差。

正态分布在自然界和社会现象中非常常见，很多随机现象都近似服从正态分布。

三、随机变量的数字特征期望是随机变量的平均值，离散型随机变量 X 的期望 E(X) ＝Σx P(X ＝ x)，连续型随机变量 X 的期望 E(X) ＝∫x f(x) dx。

第十一章计数原理概率随机变量及其分布列概率论是数学的一个重要分支，它研究的是随机现象的规律性。

而计数原理则是概率论的基本工具之一，用于计算事件的可能性。

本章将介绍计数原理、概率、随机变量及其分布列等概念与相关理论。

首先，我们来介绍计数原理。

计数原理是概率论的基础，它包含了排列、组合和乘法原理。

排列是指从n个不同的元素中取出m个元素（m<=n），按照一定顺序排列的方式。

组合是指从n个不同的元素中取出m个元素（m<=n），不考虑排列顺序的方式。

排列和组合都与阶乘有关，即n!=n(n-1)(n-2)...3x2x1、乘法原理是指在多个步骤中，每个步骤的可能性相乘，得到整个过程的可能性。

接下来，我们来介绍概率的概念。

概率是研究随机事件可能性大小的数学工具，它是一个介于0和1之间的实数。

概率越接近于0，表示事件发生的可能性越小；概率越接近于1，表示事件发生的可能性越大。

我们用事件的概率来描述事件的可能发生性，概率可以通过实验或推理来确定。

然后，我们来介绍随机变量及其分布列。

随机变量是以数值形式表示随机事件的变量，它可以是离散型的或连续型的。

离散型随机变量取有限或可列无穷个数值，而连续型随机变量则可以取任意实数。

在概率论中，我们通过分布列（也称为概率质量函数）来描述随机变量的取值及其可能发生的概率。

对于离散型随机变量，分布列列举了所有可能的取值及其对应的概率。

分布列可以用一个表格或一个函数来表示，其中表格的每一行表示一个取值，对应的每一列表示概率值。

每个取值的概率必须在0和1之间，所有可能的取值的概率之和为1、分布列通常用于描述投掷骰子、抽取球等离散性事件的概率。

对于连续型随机变量，分布列被替换为密度函数，它表示变量取到其中一数值的概率密度。

密度函数是将随机变量的取值映射到一个非负实数上的函数，其积分在整个实数范围内等于1、在连续型随机变量的情况下，我们通常使用概率密度函数来描述其分布。

总结起来，本章主要介绍了计数原理、概率、随机变量及其分布列等重要概念。

知识梳理（三）计数原理、概率统计两个计数原理1．分类加法计数原理如果完成一件事，有n 类方式，在第1类方式中有m 1种不同的方法，在第2类方式中有m 2种不同的方法，…在第n 类方式中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝_________________种不同的方法．2．分步乘法计数原理如果完成一件事需要分成n 个步骤，做第1步有m 1种不同的方法，做第2步有m 2种不同的方法，…，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝______________种不同的方法．3．分类计数原理与分步计数原理，都涉及完成一件事的不同方法的种数．它们的区别在于：分类计数原理与_______有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与_______有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．排列与组合1．排列(1)排列的定义：从n 个不同的元素中取出m (m ≤n )个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个_______．(2)排列数的定义：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用_______表示．(3)排列数公式：A m n ＝____________________________．(4)全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个_______，A n n ＝______________＝n ！．排列数公式写成阶乘的形式为A m n ＝______________，这里规定0！＝_______．2．组合(1)组合的定义：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个_______．(2)组合数的定义：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用_______表示．(3)组合数的计算公式：C m n ＝_______＝n ！m ！(n －m )！＝_____________________，C 0n ＝_______．(4)组合数的性质：①C m n ＝_______；②C m n ＋1＝C mn ＋_______．二项式定理1．二项式定理(a ＋b )n ＝______________________________(n ∈N *)．这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a ＋b )n 的二项展开式，其中的系数______(r ＝0，1，2，…，n )叫做二项式系数．式中的C r n a n -r b r叫做二项展开式的通项，用T r ＋1表示，即展开式的第r ＋1项：T r ＋1＝__________．2．二项展开式形式上的特点(1)项数为______．(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为______．(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ．(4)二项式的系数为C 0n ，C 1n ，…，C n -1n ，C nn ．3．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C m n ＝______．(2)增减性与最大值：二项式系数C rn ，当r ________时，二项式系数是递增的；当r _________时，二项式系数是递减的．当n 是偶数时，那么其展开式中间一项______的二项式系数最大．当n 是奇数时，那么其展开式中间两项__________和_________的二项式系数相等且最大．(3)各二项式系数的和(a ＋b )n 的展开式的各个二项式系数的和等于______，即C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C k n ＋…＋C nn ＝______．二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝______．统计与概率初步1．抽样掌握随机抽样方法：简单随机抽样，分层抽样2．总体估计（1）作频率分布直方图的方法①先制作频率分布表，然后作直角坐标系；②把横轴分成若干段，每一线段对应一个组的组距，然后以此线段为底作一矩形，它的高等于该组的______，这样得出一系列的矩形．③每个矩形的面积恰好是该组的频率，这些矩形就构成了频率分布直方图．（2）用样本的数字特征估计总体的数字特征对于一组数据：x 1，x 2，…，x n ．①平均数：x ＝__________________.②样本方差、标准差方程差s 2＝______________________________；标准差s ＝s 2．3.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P (A )≤1.(2)必然事件的概率P (Ω)＝1.(3)不可能事件的概率P (Ø)＝0.(4)互斥事件概率的加法公式①如果事件A 与事件B 互斥，则P (A ＋B )＝____________.②若事件B 与事件A 互为对立事件，则P (A )＝____________.4.古典概型的概率公式如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n；如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P (A )＝______.离散型随机变量及其分布列1.条件概率(1)条件概率：设A ，B 为两个事件，且P (A )＞0，称P (B |A )＝________为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率.(2)性质：①0≤P (B |A )≤1；②如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝________________.(3)乘法公式：P (AB )＝________________.(4)全概率公式：若样本空间Ω中的事件A 1，A 2，…，A n 满足：①任意两个事件均互斥,即A i A j ＝⌀，i ，j ＝1，2，…，n ，i ≠j ；②A 1∪A 2∪…∪A n ＝Ω；③P (A i )>0，i ＝1，2，3，…，n ．则对Ω中的任意事件B ,都有B ＝BA 1∪BA 2∪…∪BA n ,且P (B )=i ＝1nP (BA i )=________________.2．事件的独立性(1)一般地，若事件A ，B 满足________________，则称事件A ，B 独立．(2)两个事件A ，B 相互独立的充要条件是P (AB )＝______________．(3)若事件A 1，A 2，…，A n 相互独立，则这n 个事件同时发生的概率P (A 1A 2…A n )＝_______________．(4)若事件A 与B 相互独立，则事件A 与B －也相互独立．A －与B 相互独立，A －与B －相互独立，P (B |A )＝________，P (A |B )＝________.3．离散型随机变量的概率分布(1)如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量；按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.(2)若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则表X x 1x 2…x i …x n P p 1p 2…p i …p n称为随机变量X 的概率分布列，具有性质：①p i ≥0，i ＝1,2，…，n ；②p 1＋p 2＋…＋p i ＋…＋p n ＝________．离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．(3)均值称x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望，记为E (X )或μ，即E (X )＝μ＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n ．它反映了随机变量取值的________水平．(4)方差与标准差(x i －μ)2(μ＝E (X ))描述了x i (i ＝1，2，…，n )相对于均值μ的偏离程度，随机变量X 的方差，记为D (X )或σ2．即D (X )＝σ2＝________________________________．方差也可用公式D (X )＝ni =1x 2i p i －μ2计算，随机变量X 的方差也称为X 的概率分布的方差，X 的方差D (X )的算术平方根称为X 的标准差，即σ＝D (X )．随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度.方差或标准差越________，随机变量偏离于均值的平均程度就越小.(5)均值与方差的性质①E (aX ＋b )＝________________；②D (aX ＋b )＝_______________(a ，b 为常数)．均值与方差的关系：D (X )＝E (X 2)－________．4．两点分布如果随机变量X 的概率分布为：X 10P p q其中0<p <1，q ＝1－p ，则称离散型随机变量X 服从参数为p 的两点分布.两点分布的数学期望与方差：E (X )＝________，D (X )＝________.5．超几何分布在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{X ＝r }发生的概率：P (X ＝r )＝______________(r ＝0,1,2，…，l )，其中l ＝min{n ，M }，且n ≤N ，M ≤N ，n 、M 、N ∈N *，则称X 服从超几何分布，记为X ～H (n ，M ，N )，并将P (X ＝r )＝C r M C n －r N －MC nN，记为H (r ；n ，M ，N ).超几何分布的数学期望：E (X )＝________．二项分布和正态分布1．独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验：在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验．(2)二项分布：在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝_______________(k ＝0，1，2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率.2．正态分布(1)正态分布：如果对于任何实数a ，b (a ＜b )，随机变量X 满足P (a ＜X ≤b )是正态密度曲线下方和x 轴上(a ，b ]上方所围成的图形的面积，则称随机变量X 服从正态分布，记为X ～N (μ，σ2)．P (x )＝12πσe (x －μ)22σ2，x ∈(－∞，＋∞)的图象称为正态曲线．μ和σ是参数，分别表示总体的平均数与标准差.(2)正态曲线的性质①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交，与x 轴之间的面积为1；②曲线是单峰的，它关于直线________对称；③曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π；④当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越______，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越______，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.6826；②P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.9544；③P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.9974.线性回归分析与独立性检验一．回归分析回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；判断相关性的常用统计图是：散点图；统计量有相关系数与相关指数.1.相关关系：(1)在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为______相关；点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为______相关.(2)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，称两个变量具有_______相关关系.2.线性回归方程：(1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最_____的方法叫做最小二乘法.(2)回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，其回归方程为^y＝^bx＋^a，则^b＝∑ni＝1(x i－x－)(y i－y－)∑ni＝1(x i－x－)2＝∑ni＝1x i y i－n x－·y－∑ni＝1x i2－n x－2，^a＝________，其中，^b是回归方程的斜率，^a是在y轴上的截距，回归直线一定过样本点的中心________．3.线性回归分析：(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.(2)样本点的中心：对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，其中(－x，－y)称为样本点的中心.(3)相关系数当r>0时，表明两个变量________相关；当r<0时，表明两个变量________相关.r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越________.r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性.(4)相关指数：R2＝1－n∑i=1(y i－y^)2n∑i=1(y i－y－)2，其中n∑i=1(y i－^y i)2是残差平方和，其值越小，则R2越大(接近1)，模型的拟合效果越______.二．独立性检验1.利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验.2.列联表：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表.假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(2×2列联表)为y1y2总计x1a b a＋bx2c d c＋d总计a＋c b＋d a＋b＋c＋d则随机变量K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(a＋c)(b＋d)(c＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量．根据K2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若K2越大，则两分类变量有关的把握越________.利用K2进行独立性检验临界值表：P(K2≥k)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0.4450.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828。

第四节事件的独立性、条件概率与全概率公式【课程标准】1.了解两个事件相互独立的含义.2.了解条件概率与独立性的关系,会利用乘法公式计算概率.3.会利用全概率公式计算概率.【考情分析】考点考法:高考命题常以现实生活为载体,考查相互独立事件、条件概率、全概率;条件概率、全概率是高考热点,常以选择题的形式出现.核心素养:数学抽象、数学运算【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.相互独立事件(1)概念:对任意两个事件A与B,如果P(AB)=__P(A)P(B)__成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立.(2)性质:若事件A与B相互独立,那么A与,与B,与也都相互独立.2.条件概率(1)概念:一般地,设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,我们称P(B|A)=(B)()为在事件A 发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率.(2)两个公式:①利用古典概型:P(B|A)=(B)();②概率的乘法公式:P(AB)=__P(A)P(B|A)__.【微点拨】P(B|A)与P(A|B)是两个不同的概率,前者是在A发生的条件下B发生的概率,后者是在B发生的条件下A发生的概率.3.全概率公式一般地,设A1,A2,…,A n是一组__两两互斥__的事件,A1∪A2∪…∪A n=Ω,且P(A i)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B⊆Ω,有P(B)=.我们称此公式为全概率公式.【基础小题·自测】类型辨析改编易错高考题号12341.(多维辨析)(多选题)下列说法正确的是()A.对于任意两个事件,公式P(AB)=P(A)P(B)都成立B.若事件A,B相互独立,则P(B|A)=P(B)C.抛掷2枚质地均匀的硬币,设“第一枚正面朝上”为事件A,“第二枚正面朝上”为事件B,则A,B相互独立D.若事件A1与A2是对立事件,则对任意的事件B⊆Ω,都有P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)【解析】选BCD.因为当两个事件A,B相互独立时公式P(AB)=P(A)P(B)成立,所以选项A错误;因为事件A,B相互独立,所以P(AB)=P(A)P(B),P(B|A)=(B)()=P(B),所以选项B正确;因为抛掷2枚质地均匀的硬币,第一枚正面朝上,与第二枚正面的朝向无关,所以选项C正确;因为事件A1与A2是对立事件,所以B=A1B+A2B,所以P(B)=P(A1B)+P(A2B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2),所以选项D正确.2.(必修第二册P253习题4改条件)甲、乙两人独立地破解同一个谜题,破解出此谜题的概率分别为12,23,则此谜题没被破解出的概率为()A.16B.13C.56D.1【解析】选A.设“甲独立地破解出此谜题”为事件A,“乙独立地破解出此谜题”为事件B,则P(A)=12,P(B)=23,故P()=12,P()=13,所以P()=12×13=16,即此谜题没被破解出的概率为16.3.(条件概率公式使用错误)已知3件次品和2件正品混在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,则在第一次取出次品的条件下,第二次取出的也是次品的概率是()A.310B.35C.12D.14【解析】选C.设事件A表示第一次取出次品,事件B表示第二次取出次品,P(A)=35,P(AB)=35×24=310,则在第一次取出次品的条件下,第二次取出的也是次品的概率是P(B|A)=(B)()=31035=12.4.(2022·天津高考)52张扑克牌,没有大小王,无放回地抽取两次,则两次都抽到A 的概率为________;已知第一次抽到的是A,则第二次抽取A的概率为________.【解析】由题意,设第一次抽到A为事件B,第二次抽到A为事件C,则P(BC)=452×351=1221,P(B)=452=113,所以P(C|B)=(B)()=1221113=117.答案:1221117【巧记结论·速算】如果事件A1,A2,…,A n相互独立,那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,即P(A1A2…A n)=P(A1)P(A2)…P(A n).【即时练】从应届高中生中选拔飞行员,已知这批学生体型合格的概率为13,视力合格的概率为16,其他几项标准合格的概率为15,从中任选一名学生,则该生各项均合格的概率为(假设各项标准互不影响)()A.49B.190C.45D.59【解析】选B.各项均合格的概率为13×16×15=190.【核心考点·分类突破】考点一事件的相互独立性角度1事件独立性的判断[例1](2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则()A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立【解析】选B.设甲、乙、丙、丁事件发生的概率分别为P(A),P(B),P(C),P(D).则P(A)=P(B)=16,P(C)=56×6=536,P(D)=66×6=16,对于A选项,P(AC)=0;对于B选项,P(AD)=16×6=136;对于C选项,P(BC)=16×6=136;对于D选项,P(CD)=0.若两事件X,Y相互独立,则P(XY)=P(X)P(Y),因此B选项正确.【解题技法】两个事件相互独立的判断方法(1)定义法:由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.(2)充要条件法:事件A,B相互独立的充要条件是P(AB)=P(A)P(B).【对点训练】某校为提升学生的综合素养、大力推广冰雪运动,号召青少年成为“三亿人参与冰雪运动”的主力军,开设了“陆地冰壶”“陆地冰球”“滑冰”“模拟滑雪”四类冰雪运动体验课程.甲、乙两名同学各自从中任意挑选两门课程学习,设事件A=“甲、乙两人所选课程恰有一门相同”,事件B=“甲、乙两人所选课程完全不同”,事件C=“甲、乙两人均未选择陆地冰壶课程”,则()A.A与B为对立事件B.A与C互斥C.A与C相互独立D.B与C相互独立【解析】选C.依题意,甲、乙两人所选课程有如下情形:①有一门相同;②两门都相同;③两门都不相同.故A与B互斥不对立,A与C不互斥,所以P(A)=C41C31C21C42C42=23,P(B)=C42C42C42=16,P(C)=C32C32C42C42=14,且P(AC)=C31C21C42C42=16,P(BC)=0,所以P(AC)=P(A)P(C),P(BC)≠P(B)P(C),即A与C相互独立,B与C不相互独立.角度2独立性事件的概率[例2](2023·临沂模拟)“11分制”乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成10∶10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平后,若甲先发球,两人又打了2个球后该局比赛结束的概率为________;若乙先发球,两人又打了4个球后该局比赛结束,则甲获胜的概率为________.【解析】记两人又打了X个球后该局比赛结束,设双方10∶10平后的第k个球甲得分为事件A k(k=1,2,3…),则P(X=2)=P(A1A2)+P(12)=P(A1)P(A2)+P(1)P(2)=0.5×0.4+0.5×0.6=0.5.由乙先发球,且甲获胜的概率P=P(A12A3A4)+P(1A2A3A4)=P(A1)P(2)P(A3)P(A4)+P(1)P(A2)P(A3)P(A4)=0.4×0.5×0.4×0.5+0.6×0.5×0.4×0.5= 0.1.答案:0.50.1【解题技法】求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)相互独立事件同时发生的概率等于它们各自发生的概率之积.(2)当正面计算较复杂或难以入手时,可从其对立事件入手计算.【对点训练】(2020·全国Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12.(1)求甲连胜四场的概率;(2)求需要进行第五场比赛的概率;(3)求丙最终获胜的概率.【解析】(1)甲连胜四场的概率为116.(2)根据赛制,至少需要进行四场比赛,至多需要进行五场比赛.比赛四场结束,共有三种情况:甲连胜四场的概率为116;乙连胜四场的概率为116;丙上场后连胜三场的概率为18.所以需要进行第五场比赛的概率为1-116-116-18=34.(3)丙最终获胜有两种情况:比赛四场结束且丙最终获胜的概率为18.比赛五场结束且丙最终获胜,则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况:胜胜负胜,胜负空胜,负空胜胜,概率分别为116,18,18.因此丙最终获胜的概率为18+116+18+18=716.【加练备选】某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成,元件1和元件2同时正常工作,或元件3正常工作,则部件正常工作.设三个电子元件正常工作的概率均为34且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件正常工作的概率为()A.764B.1532C.2732D.5764【解析】选D.讨论元件3正常与不正常:第一类,元件3正常,上部分正常或不正常都不影响该部件正常工作,则正常工作的概率为34×1=34;第二类,元件3不正常,上部分必须正常,则正常工作的概率为14×(34×34)=964,故该部件正常工作的概率为34+964=5764.考点二条件概率[例3](1)七巧板是中国民间流传的智力玩具.它是由如图所示的七块板组成:五块等腰直角三角形(其中两块小型三角形、一块中型三角形和两块大型三角形)、一块正方形和一块平行四边形.可以拼成人物、动物、植物、房亭、楼阁等多种图案.现从七巧板中取出两块,已知取出的是三角形,则两块板恰好是全等三角形的概率为()A .35B .25C .27D .15【解析】选D .设事件A 为“从七巧板中取出两块,取出的是三角形”,事件B 为“两块板恰好是全等三角形”,则P (AB )=2C 72=221,P (A )=C 52C 72=1021,所以P (B |A )=(B )()=2211021=15.(2)(2022·新高考Ⅰ卷改编)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了100人(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组),得到如下数据:项目不够良好良好病例组4060对照组1090从该地的人群中任选一人,A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”,B 表示事件“选到的人患有该疾病”.(|)(|)与(|)(|)的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标,记该指标为R.①证明:R =(|)(|)·(|)(|);②利用该调查数据,给出P (A |B ),P (A |)的估计值,并利用①的结果给出R 的估计值.【解析】①因为R =(|)(|)·(|)(|)=(B )()·()(B )·(B )()·()(B ),所以R =(B )()·()(B )·(B )()·()(B ).所以R =(|)(|)·(|)(|).②由已知P (A |B )=40100=25,P (A |)=10100=110,又P (|B )=60100=35,P (|)=90100=910,所以R =(|)(|)·(|)(|)=25×91035×110=6.所以指标R 的估计值为6.【解题技法】求条件概率的常用方法(1)定义法:P (B |A )=(B )().(2)样本点法:P (B |A )=(B )().【对点训练】1.某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰,50%的同学爱好滑雪,70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪,在该地的中学生中随机调查一位同学,若该同学爱好滑雪,则该同学也爱好滑冰的概率为()A .0.8B .0.4C .0.2D .0.1【解析】选A .根据题意,在该地的中学生中随机调查一位同学,设选出的同学爱好滑冰为事件A,选出的同学爱好滑雪为事件B,由于该地中学生中有60%的同学爱好滑冰,50%的同学爱好滑雪,70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪,则P(B)=0.5,同时爱好两个项目的占该地中学生总人数的50%+60%-70%=40%,则P(AB)=0.4,则P(A|B)=(B)()=0.40.5=0.8.2.根据历年的气象数据可知,某市5月份发生中度雾霾的概率为0.25,刮四级以上大风的概率为0.4,既发生中度雾霾又刮四级以上大风的概率为0.2.则在发生中度雾霾的情况下,刮四级以上大风的概率为()A.0.8B.0.625C.0.5D.0.1【解析】选A.设“发生中度雾霾”为事件A,“刮四级以上大风”为事件B,所以P(A)=0.25,P(B)=0.4,P(AB)=0.2,则在发生中度雾霾的情况下,刮四级以上大风的概率为P(B|A)=(B)()=0.20.25=0.8.考点三全概率公式的应用[例4](1)一份新高考数学试卷中有8道单选题,小胡对其中5道题有思路,3道题完全没有思路.有思路的题做对的概率是0.9,没有思路的题只能猜一个答案,猜对答案的概率为0.25,则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为() A.79160B.35C.2132D.58【解析】选C.设事件A表示“小胡做对”,事件B表示“小胡选到有思路的题”,则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率P(A)=P(B)P(A|B)+P()P(A|) =58×0.9+38×0.25=2132.(2)在数字通信中,信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰,发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知当发送信号0时,被接收为0和1的概率分别为0.93和0.07;当发送信号1时,被接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的,则接收的信号为1的概率为()A.0.48B.0.49C.0.52D.0.51【解析】选D.设事件A=“发送的信号为0”,事件B=“接收的信号为1”,则P(A)=P()=0.5,P(B|A)=0.07,P(B|)=0.95,因此P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=0.5×(0.07+0.95)=0.51.【解题技法】利用全概率公式解题的思路(1)按照确定的标准,将一个复杂事件分解为若干个互斥事件A i(i=1,2,…,n).(2)求P(A i)和所求事件B在各个互斥事件A i发生条件下的概率P(B|A i).(3)代入全概率公式计算.【对点训练】某商店收进甲厂生产的产品30箱,乙厂生产的同种产品20箱,甲厂每箱装100个,废品率为0.06,乙厂每箱装120个,废品率为0.05.(1)任取一箱,求从中任取一个为废品的概率;(2)若将所有产品开箱混放,求任取一个为废品的概率.【解析】记事件A为取到的是甲厂的产品,事件B为取到的是乙厂的产品,事件C 为取到的是废品.(1)P(A)=3050=35,P(B)=2050=25,P(C|A)=0.06,P(C|B)=0.05,由全概率公式,得P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=7125.(2)P(A)=30×10030×100+20×120=59,P(B)=20×12030×100+20×120=49,P(C|A)=0.06,P(C|B)=0.05,由全概率公式,得P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=118.。

概率与统计的复习知识点概率与统计是数学中的重要分支，在我们的日常生活和众多领域中都有着广泛的应用。

从预测天气变化到评估股票市场的风险，从医学研究中的临床试验到质量控制中的抽样检测，概率与统计无处不在。

下面让我们一起来复习一下这部分的重要知识点。

一、概率的基本概念1、随机事件随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件。

比如抛硬币，正面朝上或者反面朝上就是随机事件。

2、样本空间样本空间是随机试验中所有可能结果组成的集合。

还是以抛硬币为例，样本空间就是{正面，反面}。

3、概率的定义概率是对随机事件发生可能性大小的度量。

通常用 0 到 1 之间的数值来表示。

概率为 0 表示事件不可能发生，概率为 1 表示事件必然发生。

4、古典概型如果一个随机试验具有以下两个特征：（1）试验的样本空间只包含有限个元素；（2）试验中每个基本事件发生的可能性相同。

那么这种概率模型就称为古典概型。

二、概率的计算方法1、加法公式如果事件 A 和事件 B 互斥（即 A 和 B 不可能同时发生），那么 A或 B 发生的概率等于 A 发生的概率加上 B 发生的概率，即 P(A∪B) ＝P(A) ＋ P(B) 。

2、乘法公式如果事件 A 和事件 B 相互独立（即事件 A 的发生不影响事件 B 发生的概率，反之亦然），那么 A 和 B 同时发生的概率等于 A 发生的概率乘以 B 发生的概率，即P(A∩B) ＝ P(A) × P(B) 。

3、条件概率条件概率是在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。

记为 P(B|A)，表示在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率。

计算公式为 P(B|A) ＝P(A∩B) ／ P(A) 。

三、概率分布1、离散型随机变量及其概率分布离散型随机变量的取值是有限个或可列无限个。

常见的离散型概率分布有：（1）二项分布：在 n 次独立重复试验中，每次试验中某事件发生的概率为 p ，则恰好发生 k 次的概率为 P(X ＝ k) ＝ C(n, k) × p^k ×（1 p)＾（n k) 。

2024届高考数学大一轮复习配套讲义第九章计数原理与概率随机变量及其分布一、计数原理与概率计数原理是概率论的基础，它通过数学方法统计事件发生的可能性。

常用的计数原理有排列、组合、分支法则等。

1.排列排列是从一组元素中选择若干个元素进行排列，排列可以有重复，也可以没有重复。

排列有两种情况，一种是从n个元素中选取m个进行排列，这种情况下，排列数用P(n,m)表示，计算公式为P(n,m)=n!/(n-m)!；另一种是从n个元素中选取n个进行排列，这种情况下，排列数用P(n,n)表示，计算公式为P(n,n)=n。

2.组合组合是从一组元素中选择若干个元素进行组合，组合不考虑排列顺序，只考虑元素的选取。

从n个元素中选取m个进行组合，组合数用C(n,m)表示，计算公式为C(n,m)=n!/[(n-m)!*m!]。

3.分支法则分支法则是指当一件事情分为若干个步骤时，每个步骤的选择数目是相互独立的，那么整个事情的选择数目就等于每个步骤的选择数目的乘积。

1.随机变量随机变量是概率论中的重要概念，用来描述随机事件的数量特征。

随机变量可以是离散的，也可以是连续的。

离散随机变量取有限或可数个值，连续随机变量取无限个值。

2.离散随机变量的分布列对于离散随机变量X，它的取值用x1、x2、..表示，概率用P(X=xi)表示，离散随机变量的概率分布列可以通过列出所有可能取值和对应的概率进行计算。

3.连续随机变量的密度函数对于连续随机变量X，它的取值无限多，因此不能列出所有可能取值和对应的概率。

连续随机变量的概率可以使用密度函数描述，密度函数是一个非负函数，且积分等于1、连续随机变量的概率可以通过概率密度函数在一些区间上的积分进行计算。

三、常见的离散分布1.二项分布二项分布是一种离散分布，它描述了n个独立重复试验中成功次数的概率分布。

记为B(n,p)，其中n表示试验次数，p表示每次试验成功的概率。

二项分布的概率质量函数为P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)，其中X表示成功次数。

计数原理、概率、随机变量及其分布一、两个计数原理1.分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法。

2.分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法。

3.两个计数原理的区别分类加法计数原理针对“分类”问题,其中各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步乘法计数原理针对“分步”问题,各个步骤中的方法相互依存,只有各个步骤都完成了才算完成这件事。

注意:分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础,并贯穿其始终。

(1)分类加法计数原理中,完成一件事的方法属于其中一类,并且只属于其中一类。

(2)分步乘法计数原理中,各个步骤中的方法相互依存,步与步之间“相互独立,分步完成”。

【重点难点易错点】1.根据题目特点恰当选择一个分类标准。

分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在,应抓住题目中的关键词、关键元素和关键位置。

2.分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类,并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法,不能重复。

3.分类时除了不能交叉重复外,还不能有遗漏。

4.一类元素允许重复选取的计数问题,可以采用分步乘法计数原理来解决,关键是明确要完成的一件事是什么。

用分步乘法计数原理求解元素可重复选取的问题时,哪类元素必须“用完”就以哪类元素作为分步的依据。

5.与数字有关的问题常见的有以下4类:①组成的数为“奇数”“偶数”“被某数整除的数”;②在某范围内的数;③各数字的和具有某种特征;④各数字满足某种关系。

6.涂色问题一般综合利用两个计数原理求解,但也有两种常用方法:按区域的不同,以区域为主分步计数,用分步乘法计数原理分析;以颜色为主分类讨论,用分类加法计数原理分析。

二、排列与组合1.两个概念(1)排列:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

计数原理概率随机变量及其分布总结计数原理是一种概率理论中的基本原理，用于计算一个事件集合中具有某些性质的元素的数量。

在概率论中，计数原理用于确定样本空间中每个事件的概率，从而计算总体的概率。

计数原理包括排列、组合和多重集合。

排列是指从一个集合中选取若干元素，按照一定的顺序进行排列的方法数，可以表示为n!/(n-k)!。

组合是指从一个集合中选取若干元素，不考虑它们的排列顺序的方法数，可以表示为n!/[(n-k)!k!]。

多重集合是指一个集合中每个元素出现的次数不限，选取若干元素的组合总数。

概率随机变量是指随机试验中，对于每一个结果赋予一个数字的函数。

它可以是离散型随机变量或连续型随机变量。

离散型随机变量是指随机变量只能取到有限个或可数个值的情况，如掷骰子的点数；连续型随机变量是指随机变量可以取到无限个值的情况，如身高、体重等。

概率分布是指随机变量取不同值时，对应的概率值的分布情况。

常见的离散型概率分布有伯努利分布、二项分布、泊松分布等；常见的连续型概率分布有正态分布、指数分布、卡方分布等。

伯努利分布是指只有两种结果的随机试验，成功的概率为p，失败的概率为1-p。

其概率分布函数为f(x) = p^x(1-p)^(1-x)，其期望为E(x) = p，方差为Var(x) = p(1-p)。

二项分布是指进行n次相互独立的伯努利试验，每次试验的成功概率为p，失败概率为1-p，成功的次数为X，则X的概率分布函数为f(x) = C(n,x)p^x(1-p)^(n-x)，其期望为E(x) = np，方差为Var(x) = np(1-p)。

泊松分布是指某个时间段内某个事件发生的次数，假设每个事件发生的概率相等，但是发生次数是不确定的，符合泊松分布。

其概率分布函数为f(x) = e^(-λ)λ^x/x!，其中λ为事件发生的平均次数，其期望为E(x) = λ，方差为Var(x) = λ。

正态分布是指连续型随机变量最常用的分布，其概率密度函数为f(x) = 1/(σ√(2π))e^-((x-μ)^2/2σ^2)，其中μ为期望，σ为标准差，其期望和方差分别为E(x) = μ，Var(x) = σ^2。

概率与统计的基础知识点总结一、概率的基本概念概率是研究随机现象中数量规律的数学分支。

在日常生活中，我们经常会遇到各种不确定的情况，比如掷骰子出现的点数、明天是否会下雨等，这些都可以通过概率来进行描述和分析。

首先，随机试验是指在相同条件下可以重复进行，并且每次试验的结果不止一个，且事先不能确定的试验。

例如，抛硬币就是一个随机试验，因为每次抛硬币出现正面或反面的结果是不确定的。

样本空间是随机试验中所有可能结果组成的集合。

例如，抛一次硬币，样本空间就是{正面，反面}。

随机事件是样本空间的子集，即随机试验中可能出现也可能不出现的结果。

比如，抛硬币出现正面就是一个随机事件。

事件的概率是指在大量重复试验中，该事件发生的频率稳定在某个常数附近，这个常数就称为该事件的概率。

概率的取值范围在 0 到 1 之间，0 表示不可能事件，1 表示必然事件。

二、概率的计算方法1、古典概型古典概型是一种最简单的概率模型，具有以下特点：试验的样本空间有限；每个样本点出现的可能性相等。

例如，从装有 5 个红球和 3 个白球的袋子中随机取出一个球，求取出红球的概率。

样本空间共有 8 个样本点（5 个红球和 3 个白球），取出红球的样本点有 5 个，所以取出红球的概率为 5/8。

计算古典概型的概率公式为：P(A) ＝ n(A) ／n(Ω)，其中 P(A)表示事件 A 的概率，n(A)表示事件 A 包含的样本点个数，n(Ω)表示样本空间的样本点总数。

2、几何概型几何概型是另一种常见的概率模型，适用于无限个样本点且每个样本点出现的可能性相等的情况。

比如，在一个时间段内等待公共汽车，假设公共汽车到达的时间是均匀分布的，求等待时间不超过 5 分钟的概率。

这时可以通过计算时间长度的比例来得到概率。

几何概型的概率计算公式为：P(A) ＝ m(A) ／m(Ω)，其中 m(A)表示事件 A 对应的区域长度（面积或体积），m(Ω)表示样本空间对应的区域长度（面积或体积）。