中考复习专题(六) 《一次函数与反比例函数的综合》(含答案)

中考复习之一次函数和反比例函数的综合一、选择题1.已知直线y=ax （a≠0）与双曲线()ky=k 0x≠的一个交点坐标为（2，6），则它们的另一个交点坐标是【 】 A ．（﹣2，6）B ．（﹣6，﹣2）C ．（﹣2，﹣6）D ．（6，2）2.如图，正比例函数1y=k x 与反比例函数2k y=x的图象相交于点A 、B 两点，若点A 的坐标为（2，1），则点B 的坐标是【 】A ．（1，2）B ．（－2，1）C ．（－1，－2）D ．（－2，－1）3.如图，正比例函数y 1=k 1x 和反比例函数22k y =x的图象交于A （﹣1，2）、 B （1，﹣2）两点，若y 1＜y 2，则x 的取值范围是【 】A ．x ＜﹣1或x ＞1B ．x ＜﹣1或0＜x ＜1C ．﹣1＜x ＜0或0＜x ＜1D ．﹣1＜x ＜0或x ＞1 4. 在同一直角坐标系下，直线y=x+1与双曲线1y=x的交点的个数为【 】 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．不能确定 5.若反比例函数ky x=与一次函数y x 2=+的图像没有．．交点，则k 的值可以是【 】 A. -2 B. -1C. 1D. 26.若双曲线ky=x与直线y=2x+1的一个交点的横坐标为﹣1，则k 的值为【 】 A ．﹣1B ．1C ．﹣2D ．27.在同一坐标系中，直线y ＝x ＋1与双曲线y ＝ 1x 的交点个数为【 】A ．0个B ．1个C ．2个D ．不能确定 8.已知反比例函数by x=（b 为常数），当x 0>时，y 随x 的增大而增大，则一次函数y x b =+的图像不经过第几象限【 】A.一B. 二C. 三D. 四9.直线1y x 12=--与反比例函数k y x =的图象（x<0）交于点A ，与x 轴相交于点B ，过点B 作x 轴垂线交双曲线于点C ，若AB=AC ，则k 的值为【 】 A.－2 B.－4 C.－6 D.－810.当a≠0时，函数y=ax+1与函数y ax=在同一坐标系中的图象可能是【 】 A.B ．C ．D ．11.如图，一次函数y 1=x+1的图象与反比例函数2y 2x=的图象交于A 、B 两点，过点作AC⊥x 轴于点C ，过点B 作BD⊥x 轴于点D ，连接AO 、BO ，下列说法正确的是【 】A ．点A 和点B 关于原点对称 B ．当x ＜1时，y 1＞y 2C ．AOC BOD S S ∆∆= D ．当x ＞0时，y 1、y 2都随x 的增大而增大 12. 一次函数1y kx b(k 0)=+≠与反比例函数2my (m 0)x=≠，在同一直角坐标系中的图象如图所示，若y 1＞y 2，则x 的取值范围是【 】A 、－2＜x ＜0或x ＞1B 、x ＜－2或0＜x ＜1C 、x ＞1D 、－2＜x ＜1 13.在同一直角坐标系中，正比例函数y=2x 的图象与反比例函数4-2ky=x的图象没有交点，则实数k 的取值范围在数轴上表示为【 】。

中考数学复习《一次函数与反比例函数综合》真题练习（含答案）（2016·青海西宁·2分）如图，一次函数y=x+m的图象与反比例函数y=的图象交于A，B两点，且与x轴交于点C，点A的坐标为（2，1）．（1）求m及k的值；（2）求点C的坐标，并结合图象写出不等式组0＜x+m≤的解集．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）把点A坐标代入一次函数y=x+m与反比例函数y=，分别求得m及k的值；（2）令直线解析式的函数值为0，即可得出x的值，从而得出点C坐标，根据图象即可得出不等式组0＜x+m≤的解集．【解答】解：（1）由题意可得：点A（2，1）在函数y=x+m的图象上，∴2+m=1即m=﹣1，∵A（2，1）在反比例函数的图象上，∴，∴k=2；（2）∵一次函数解析式为y=x﹣1，令y=0，得x=1，∴点C的坐标是（1，0），由图象可知不等式组0＜x+m≤的解集为1＜x≤2．m（m≠0）（2016·贵州安顺·10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=x的图象交于A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（n，6），点C的坐标为（﹣2，0），且tan∠ACO=2．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）求点B的坐标．解：（1）过点A作AD⊥x轴，垂足为D由A（n，6），C（﹣2，0）可得，OD=n，AD=6，CO=2∵tan∠ACO=2∴=2，即=2∴n=1∴A（1，6）将A（1，6）代入反比例函数，得m=1×6=6∴反比例函数的解析式为将A（1，6），C（﹣2，0）代入一次函数y=kx+b，可得解得∴一次函数的解析式为y=2x+4（2）由可得，解得x1=1，x2=﹣3∵当x=﹣3时，y=﹣2∴点B坐标为（﹣3，﹣2）（2016·四川泸州）如图，一次函数y=kx+b（k＜0）与反比例函数y=的图象相交于A、B 两点，一次函数的图象与y轴相交于点C，已知点A（4，1）（1）求反比例函数的解析式；（2）连接OB（O是坐标原点），若△BOC的面积为3，求该一次函数的解析式．解：（1）∵点A（4，1）在反比例函数y=的图象上，∴m=4×1=4，∴反比例函数的解析式为y=．（2）∵点B在反比例函数y=的图象上，∴设点B的坐标为（n，）．将y=kx+b代入y=中，得：kx+b=，整理得：kx2+bx﹣4=0，∴4n=﹣，即nk=﹣1①．令y=kx+b中x=0，则y=b，即点C的坐标为（0，b），∴S△B O C=bn=3，∴bn=6②．∵点A（4，1）在一次函数y=kx+b的图象上，∴1=4k+b③．联立①②③成方程组，即，解得：，∴该一次函数的解析式为y=﹣x+3．4．（2016·四川南充）如图，直线y=x+2与双曲线相交于点A（m，3），与x轴交于点C．（1）求双曲线解析式；（2）点P在x轴上，如果△ACP的面积为3，求点P的坐标．【分析】（1）把A坐标代入直线解析式求出m的值，确定出A坐标，即可确定出双曲线解析式；（2）设P（x，0），表示出PC的长，高为A纵坐标，根据三角形ACP面积求出x的值，确定出P坐标即可．【解答】解：（1）把A（m，3）代入直线解析式得：3=m+2，即m=2，∴A（2，3），把A坐标代入y=，得k=6，则双曲线解析式为y=；（2）对于直线y=x+2，令y=0，得到x=﹣4，即C（﹣4，0），设P（x，0），可得PC=|x+4|，∵△ACP面积为3，∴|x+4|3=3，即|x+4|=2，解得：x=﹣2或x=﹣6，则P坐标为（﹣2，0）或（﹣6，0）．【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，坐标与图形性质，以及三角形面积求法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．5．（2016·四川攀枝花）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直与x轴，垂足为点B，反比例函数y=（x＞0）的图象经过AO的中点C，且与AB相交于点D，OB=4，AD=3，（1）求反比例函数y=的解析式；（2）求cos∠OAB的值；（3）求经过C、D两点的一次函数解析式．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】（1）设点D的坐标为（4，m）（m＞0），则点A的坐标为（4，3+m），由点A的坐标表示出点C的坐标，根据C、D点在反比例函数图象上结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k、m的二元一次方程，解方程即可得出结论；（2）由m的值，可找出点A的坐标，由此即可得出线段OB、AB的长度，通过解直角三角形即可得出结论；（3）由m的值，可找出点C、D的坐标，设出过点C、D的一次函数的解析式为y=ax+b，由点C、D的坐标利用待定系数法即可得出结论．【解答】解：（1）设点D的坐标为（4，m）（m＞0），则点A的坐标为（4，3+m），∵点C为线段AO的中点，∴点C的坐标为（2，）．∵点C、点D均在反比例函数y=的函数图象上，∴，解得：．∴反比例函数的解析式为y=．（2）∵m=1，∴点A的坐标为（4，4），∴OB=4，AB=4．在Rt△ABO中，OB=4，AB=4，∠ABO=90°，∴OA==4，cos∠OAB===．（3））∵m=1，∴点C的坐标为（2，2），点D的坐标为（4，1）．设经过点C、D的一次函数的解析式为y=ax+b，则有，解得：．∴经过C、D两点的一次函数解析式为y=﹣x+3．（2016·重庆市A卷·10分）在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图形与反比例函数y=（k≠0）的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于C点，过点A作AH⊥y轴，垂足为H，OH=3，tan∠AOH=，点B的坐标为（m，﹣2）．（1）求△AHO的周长；（2）求该反比例函数和一次函数的解析式．解：（1）由OH=3，tan∠AOH=，得AH=4．即A（﹣4，3）．由勾股定理，得AO==5，△AHO的周长=AO+AH+OH=3+4+5=12；（2）将A点坐标代入y=（k≠0），得k=﹣4×3=﹣12，反比例函数的解析式为y=；当y=﹣2时，﹣2=，解得x=6，即B（6，﹣2）．将A、B点坐标代入y=ax+b，得，解得，一次函数的解析式为y=﹣x+1．（2016·山东省菏泽市·3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y=与直线y=﹣2x+2交于点A（﹣1，a）．（1）求a，m的值；（2）求该双曲线与直线y=﹣2x+2另一个交点B的坐标．解：（1）∵点A的坐标是（﹣1，a），在直线y=﹣2x+2上，∴a=﹣2×（﹣1）+2=4，∴点A的坐标是（﹣1，4），代入反比例函数y=，∴m=﹣4．（2）解方程组解得：或，∴该双曲线与直线y =﹣2x +2另一个交点B 的坐标为（2，﹣2）．（2016·山东省东营市·9分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ，与反比例函数y ＝x m 的图象在第二象限交于点C ，CE ⊥x 轴，垂足为点E ，tan ∠ABO ＝12，OB ＝4,OE ＝2． (1)求反比例函数的解析式；(2)若点D 是反比例函数图象在第四象限上的点，过点D 作DF ⊥y 轴，垂足为点F ，连接OD 、BF ，如果S △BAF ＝4S △DFO ，求点D 的坐标.(l )∵OB ＝4，OE ＝2，∴BE ＝OB ＋OE ＝6. ∵CE ⊥x 轴,∴∠CEB ＝90°.在Rt △BEC 中，∵tan ∠ABO ＝12，∴CE BE ＝12．即CE 6＝12，解得CE ＝3. 结合图象可知C 点的坐标为（一2，3），将C （―2，3）代入反比例函数解析式可得3＝m－2.解得m ＝－6．反比例函数解析式为y ＝－6x ．(2)解：方法一：∵点D 是y ＝－6x 的图象上的点，且DF ⊥y 轴， ∴S △DFO ＝12×|－6|＝3.∴S △BAF ＝4S △DFO ＝4×3＝12.∴12AF •OB ＝12.∴12×AF ×4＝12.∴AF ＝6.∴EF ＝AF －OA ＝6－2＝4. ∴点D 的纵坐标为－4.把y ＝－4代入y ＝－6x ，得 －4＝－6x .∴x ＝32. ∴D （32，一4）．方法二：设点D 的坐标为（a ，b ）.∵S △BAF ＝4S △DFO ，∴12AF •OB ＝4×12OF •FD .∴(AO ＋OF ) OB ＝4OF •FD . ∴[2＋（－b ）]×4＝－4ab .∴8－4b ＝－4ab .又∵点D 在反比例函数图象上，∴b ＝－6a .∴ab ＝－6.∴8－4b ＝24.解得：b ＝－4. 把b ＝－4代ab ＝－6中，解得：a ＝32. ∴D （32，一4）．（2016·四川宜宾）如图，一次函数y =kx +b 的图象与反比例函数y =（x ＞0）的图象交于A（2，﹣1），B （，n ）两点，直线y =2与y 轴交于点C ．（1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求△ABC 的面积．解：（1）把A （2，﹣1）代入反比例解析式得：﹣1=，即m =﹣2，∴反比例解析式为y =﹣，把B （，n ）代入反比例解析式得：n =﹣4，即B （，﹣4），把A 与B 坐标代入y =kx +b 中得：，解得：k =2，b =﹣5，则一次函数解析式为y =2x ﹣5； （2）∵A （2，﹣1），B （，﹣4），直线AB 解析式为y =2x ﹣5，∴AB ==，原点（0，0）到直线y =2x ﹣5的距离d ==，则S △A B C =AB •d =．（2015呼和浩特，23，7分）7分)如图，在平面直角坐标系中A 点的坐标为(8，y ) ，AB ⊥x 轴于点B , sin ∠OAB = 45 ，反比例函数y = kx 的图象的一支经过AO 的中点C ，且与AB 交于点D. （1）求反比例函数解析式;（2）若函数y = 3x 与y = kx 的图象的另一支交于点M ，求三角形OMB 与四边形OCDB 的面积的比. 解：（1） ∵A (8，y ) 又∵AB ⊥x 轴于点B∴点B 横坐标为8，∴∠ ABO =90° 又∵点B 在x 轴上 ∴OB =8.在Rt △ABO 中， ∵sin ∠OAB = 45 =OAOB∴OA =8×54 =10 ∴.∴A (8，6)又∵C 点为OA 的中点，O 点为坐标原点∴C (4，3)又∵C (4，3)在函数y = kx 上 ∴3=4k，即k =12 ∴反比例函数解析式为y =x12.（2）法一：将四边形切成两个三角形，算△OCB 的面积和△BCD 的面积，再求和先求直线y = 3x 与y =x 12的交点M 的坐标，列如下方程组∴M (2，6)或M （－2，－6）又∵M 为函数y = 3x 与函数y =x 12在第三象限的交点 ∴M （－2，－6）.∴S △OMB = 12·OB·|－6| = 12×8×6 =24∵S 四边形OCDB = S △OBC +S △BCD =12+12·DB ·4又∵D 在双曲线上，且D 点横坐标为8∴D (8，32)，即BD =32∴S 四边形OCDB =12+3=15∴S △OMB S 四边形OCDB = 85 .法二：算出△ABO 的面积，再减去△ACD 的面积先求直线y = 3x 与y =x12的交点M 的坐标，列如下方程组∴M (2，6)或M （－2，－6）又∵M 为函数y = 3x 与函数y =x12在第三象限的交点∴M （－2，－6）.∴S △OMB = 12·OB·|－6| = 12×8×6 =24又 ∵D 在双曲线上，且D 点横坐标为8∴D (8，32)，即AD =AB －BD =6－32=29 ∴S △ACD = 12·AD·|8－4|=12×29×4=9 又∵S △ABO = 12·OB·AB = 12×8×6 =24 ∴S 四边形OCDB = S △ABO －S △ACD =24－9=15∴S △OMB S 四边形OCDB = 85 .（2015•四川广安，第20题6分）如图，一次函数的图象与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，且与反比例函数y =（k ≠0）的图象在第一象限交于点C ，如果点B 的坐标为（0，2），OA =OB ，B 是线段AC 的中点． （1）求点A 的坐标及一次函数解析式．（2）求点C 的坐标及反比例函数的解析式．解：（1）∵OA =OB ，点B 的坐标为（0，2），∴点A （﹣2，0），点A 、B 在一次函数y =kx +b （k ≠0）的图象上，∴，解得k =1，b =2，∴一次函数的解析式为y =x +2．（2）∵B 是线段AC 的中点，∴点C 的坐标为（2，4），又∵点C 在反比例函数y =（k ≠0）的图象上，∴k =8；∴反比例函数的解析式为y =．（2015•四川泸州,第23题8分）如图，一次函数(0)y kx b k =+<的图象经过点C (3，0)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为3.（1）求该一次函数的解析式；（2）若反比例函数m y x=的图象与该一次函数的 图象交于二、四象限内的A 、B 两点，且AC =2BC ，求m 的值。

2023年九年级中考数学专题专练--反比例函数与一次函数的综合1．如图，在平面直角坐标系中，点A(m ，n)（m ＞0）在双曲线y ＝ 上.4x （1）如图1，m ＝1，∠AOB ＝45°，点B 正好在y ＝ （x ＞0）上，求B 点坐标； 4x （2）如图2，线段OA 绕O 点旋转至OC ，且C 点正好落在y ＝ 上，C(a ，b)，试求m 与a4x 的数量关系.2．如图，一次函数y=kx+3的图象与反比例函数y= 的图象交于P 、Q 两点，PA ⊥x 轴于点A ，mx 一次函数的图象分别交x 轴、y 轴于点C ，点B，其中OA=6，且 ．12OC CA（1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求△APQ 的面积；（3）根据图象写出当x 取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值．3．如图，已知一次函数y 1=k 1x+b （k 1为常数，且k 1≠0）的图象与反比例函数y 2= （k 2为常数，2k x 且k 2≠0）的图象相交于A （1，2），B （m ，﹣1）两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）若A 1（m 1，n 1），A （m 2，n 2），A 3（m 3，n 3）为反比例函数图象上的三点，且m 1＜m 2＜0＜m 3，请直接写出n 1、n 2、n 3的大小关系式；（3）结合图象，请直接写出关于x 的不等式k 1x+b ＞ 的解集．2k x 4．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y=x﹣2与双曲线y= (k≠0)相交于A，B 两点，且点Akx 的横坐标是3.（1）求k 的值；（2）过点P(0，n)作直线，使直线与x 轴平行，直线与直线y=x﹣2交于点M ，与双曲线y=kx (k≠0)交于点N ，若点M 在N 右边，求n 的取值范围.5．已知双曲线y= 和直线y=kx+4．6x （1）若直线y=kx+4与双曲线y= 有唯一公共点，求k 的值．6x（2）若直线y=kx+4与双曲线交于点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）．当x 1＞x 2，请借助图象比较y 1与y 2的大小．6．如图，已知A （﹣2，﹣2），B （1，4）是一次函数y ＝kx+b （k≠0）的图象和反比例函数（m≠0）的图象的两个交点，直线AB 与y 轴交于点C.my x =（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△AOC 的面积；（3）结合图象直接写出不等式的解集.mkx b x +＜7．如图，在平面直角坐标系系中，一次函数y 1=kx+b(k0）与反比例函数y 2= （m≠0）的图象交mx 于第二、第四象限A ，B 两点，过点A 作AD ⊥x 轴，垂足为D ，AD=4，sin ∠AOD= ，且点B 的45坐标为（n ，-2）．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）将一次函数y 1=kx+b(k0）向下移动2个单位的函数记为y 3，当y 3<y 2时，求x 的取值范围。

中考数学教材重点--- 反比例函数与一次函数的综合真题练习（含答案解析）1．（2023•攀枝花模拟）如图，已知直线y＝mx与双曲线的一个交点坐标为（﹣1，3），则它们的另一个交点坐标是（）A．（1，3）B．（3，1）C．（1，﹣3）D．（﹣1，3）【分析】反比例函数的图像是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．【解答】解：因为直线y＝mx过原点，双曲线的两个分支关于原点对称，所以其交点坐标关于原点对称，一个交点坐标为（﹣1，3），另一个交点的坐标为（1，﹣3）．故选：C．2．（2023•滨湖区一模）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数与一次函数y ＝ax+b（a＞0）的图像相交于A（﹣8，m）、B（﹣2，n）两点，若△AOB面积为15，则k的值为（）A．﹣8B．﹣7.5C．﹣6D．﹣4【分析】过点A、B分别作y轴的垂线，垂足分别为C、D，根据点A（﹣8，m）、B（﹣2，n）都在反比例函数的图像上，推出n＝4m，根据S梯形ACDB＝S△OAB＝15，求得n﹣m＝3，进一步计算即可求解．【解答】解：∵反比例函数与一次函数y＝ax+b（a＞0）的图像相交于A （﹣8，m）、B（﹣2，n）两点，∴A（﹣8，m）、B（﹣2，n）两点在第二象限，过点A、B分别作y轴的垂线，垂足分别为C、D，则AC＝8，BD＝2，OC＝m，OD＝n，∴CD＝n﹣m，∵点A（﹣8，m）、B（﹣2，n）都在反比例函数的图像上，∴S△AOC＝S△BOD，﹣8m＝﹣2n，即n＝4m，∵S△AOC+S梯形ACDB＝S△BOD+S△OAB，∴S梯形ACDB＝S△OAB＝15，即，∴n﹣m＝3，∴4m﹣m＝3，解得m＝1，∴A（﹣8，1），∴k＝﹣8×1＝﹣8．故选：A．3．（2023•宁波模拟）如图，一次函数y1＝x﹣1的图像与反比例函数的图像交于点A （2，m），B（n，﹣2），当y1＞y2时，x的取值范围是（）A．x＜﹣1或x＞2B．x＜﹣1或0＜x＜2C．﹣1＜x＜0或0＜x＜2D．﹣1＜x＜0或x＞2【分析】先把B（n，﹣2）代入y1＝x﹣1，求出n值，再根据图像直接求解即可．【解答】解：把B（n，﹣2）代入y1＝x﹣1，得﹣2＝n﹣1，解得：n＝﹣1，∴B（﹣1，﹣2），∵图像交于A（2，m）、B（﹣1，﹣2）两点，∴当y1＞y2时，﹣1＜x＜0或x＞2．故选：D．4．（2023•宁德模拟）如图，已知直线l与x，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图像交于C，D两点，连接OC，OD．若△AOC和△COD的面积都为3，则k的值是（）A．﹣2B．﹣3C．﹣4D．﹣6【分析】由S△AOC＝S△COD得，AC＝CD，设C（，m），A（0，n），由中点坐标公式得，D（，2m﹣n），代入解析式得到n＝m，过点作CH⊥y轴于H，利用S△AOC＝3，可求出k．【解答】解：如图，∵S△AOC＝S△COD，以AC，CD作底，高相同∴AC＝CD，即C为AD的中点，设C（，m），A（0，n），由中点坐标公式得，D（，2m﹣n），∵D（，2m﹣n）在反比例函数y＝的图像上，∴，∴n＝m过点作CH⊥y轴于H，则CH＝﹣，OA＝n＝m，∵S△AOC＝3，∴OA•CH＝3，∴×m×（﹣）＝3，∴k＝﹣4．故选：C．5．（2023•宿迁模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线l与函数的图像交于A、B两点，与x轴交于C点，若OA＝AB，且∠OAB＝90°，则tan∠AOC的值为（）A．B．C．D．【分析】作AE⊥x轴于E，BF⊥y轴于F，交于点D，设A（m，），则OE＝m，AE＝，通过证得△AOE≌△BAD（AAS），求得B（），代入，即可得到（m﹣）（m+）＝k，整理得m2﹣＝k，方程两边同除k得﹣＝1，设＝y，则方程变为﹣y＝1，化为y2+y﹣1＝0，解得y＝，即可求得tan∠AOC ＝＝＝＝．【解答】解：作AE⊥x轴于E，BF⊥y轴于F，交于点D，设A（m，），则OE＝m，AE＝，∵∠OAB＝90°，∴∠OAE+∠DAB＝90°，∵∠OAE+∠AOE＝90°，∴∠DAB＝∠AOE，∵OA＝AB，∠AEO＝∠ADB＝90°，∴△AOE≌△BAD（AAS），∴AD＝OE＝m，BD＝AE＝，∴B（），∵函数的图像过B点，∴（m﹣）（m+）＝k，整理得m2﹣＝k，方程两边同除以k得﹣＝1，设＝y，则方程变为﹣y＝1，化为y2+y﹣1＝0，解这个方程得y＝，∴k＞0，∴＞0，∴＝，∴tan∠AOC＝＝＝＝．故选：A．6．（2023•呼和浩特一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，以AB为边在第一象限作正方形ABCD，其中顶点D恰好落在双曲线上，现将正方形ABCD沿y轴向下平移a个单位，可以使得顶点C落在双曲线上，则a的值为（）A．B．C．2D．【分析】作CE⊥y轴于点E，作DF⊥x轴于点F，作CH⊥x轴于点H，交双曲线于点G，由函数解析式确定B的坐标是（0，3），A的坐标是（1，0），根据全等三角形的判定和性质得出△OAB≌△FDA≌△BEC，AF＝OB＝EC＝3，DF＝OA＝BE＝1，结合图形求解即可．【解答】解：作CE⊥y轴于点E，作DF⊥x轴于点F，作CH⊥x轴于点H，交双曲线于点G在y＝﹣3x+3中，令x＝0，解得：y＝3，即B的坐标是（0，3），令y＝0，解得：x＝1，即A的坐标是（1，0），则OB＝3，OA＝1．∵∠BAD＝90°，∴∠BAO+∠DAF＝90°，∵直角△ABO中，∠BAO+∠OBA＝90°，∴∠DAF＝∠OBA，在△OAB和△FDA中，，∴△OAB≌△FDA（AAS），同理，△OAB≌△FDA≌△EBC，∴AF＝OB＝EC＝3，DF＝OA＝BE＝1，故D的坐标是（4，1），C的坐标是（3，4），代入y＝得：k＝4，则函数的解析式是：y＝．∴OE＝4，则C的纵坐标是4，把x＝3代入y＝得：y＝．即G的坐标是，∴CG＝4﹣＝，∴a＝，故选：A．7．（2023•徐州模拟）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A，与y轴交于点C，AD⊥x轴于点D，点D坐标为（4，0），则△ADC的面积为（）A．3B．6C．8D．12【分析】根据AD⊥x轴，D（4，0）求出点A的横坐标，代入一次函数表达式中求出点A纵坐标，再利用三角形面积公式计算．【解答】解：∵AD⊥x轴，D（4，0），∴x A＝4，代入中，∴，即A（4，3），∴△ADC的面积为，故选：B．8．（2023•茅箭区一模）如图已知反比例函数C1：的图像如图所示，将该曲线绕点O顺时针旋转45°得到曲线C2，点N是由曲线C2上一点，点M在直线y＝﹣x 上，连接MN、ON，若MN＝ON，△MON的面积为，则k的值为（）A．B．C．﹣2D．﹣1【分析】将直线y＝﹣x和曲线C2绕点O逆时针旋转45°，则直线y＝﹣x与x轴重合，曲线C2与曲线C1重合，即可求解．【解答】解：∵将直线y＝﹣x和曲线C2绕点O逆时针旋转45°后直线y＝﹣x与x轴重合，∴旋转后点N落在曲线C1上，点M落在x轴上，如图所示，设点M和点N的对应点分别为点M'和N'，过点N'作N'P⊥x轴于点P，连接ON'，M'N'，∵MN＝ON，∴M'N'＝ON'，M'P＝OP，∴S△MON＝2S△PN'O＝2×＝|k|＝，∵k＜0，∴k＝﹣．故选：B．9．（2023•西安二模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+1与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图像在第二象限交于点C，若AB＝BC，则k的值为﹣2．【分析】过点C作CH⊥x轴于点H．求出点C的坐标，可得结论．【解答】解：过点C作CH⊥x轴于点H．∵直线y＝﹣x+1与x轴，y轴分别交于点A，B，∴A（1，0），B（0，1），∴OA＝OB＝1，∵OB∥CH，∴△AOB∽△AHC，∴，∴＝＝1，∴OA＝OH＝1，∴CH＝2OB＝2，∴C（﹣1，2），∵点C在y＝的图像上，∴k＝﹣2，故答案为：﹣2．10．（2023•双流区模拟）如图，已知一次函数的图像与反比例函数图像交于A，B两点．若AC∥x轴，且AC＝BC，则△ABC面积的最小值为4．【分析】由题意设点A的坐标为（m，m+b），点B的坐标为（n，n+b），即可推出m+n＝﹣，mn＝﹣3，利用勾股定理求得AB2＝4b2+16，进而推出S△ABC ＝AB•CT＝AB2＝b2+4，利用二次函数的性质即可求得△ABC的面积有最小值为4．【解答】解：由题意设点A的坐标为（m，m+b），点B的坐标为（n，n+b），联立，得x2+3bx﹣9＝0，∴m+n＝﹣，mn＝﹣3，∴AB2＝（m﹣n）2+（m+b﹣n﹣b）2＝（m﹣n）2＝[（m+n）2﹣4mn]＝4b2+16，如图，过点C作CT⊥AB于点T，∵AC＝BC，∴AT＝BT＝AB，由一次函数可知，∠CAB＝30°，∴CT＝AT＝AB，∴S△ABC＝AB•CT＝AB2＝b2+4，∴当b＝0时，△ABC的面积有最小值为4，故答案为：4．11．（2023•青羊区模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝3x与反比例函数的图像交于A，B两点，C是反比例函数位于第一象限内的图像上的一点，作射线CA交y轴于点D，连接BC，BD，若，△BCD的面积为30，则k＝6．【分析】作CF⊥y于点I，BF⊥x，交CI的延长线于点F，作AE⊥CF于点E，设BC交y轴于点M，设A（m，3m），则B（﹣m，﹣3m），k＝3m2，设点C的横坐标为a，则C （a，），可证明tan∠CAE＝tan∠CBF＝，则∠CAE＝∠CBF，即可推导出∠CDM ＝∠CMD，则CD＝CM，所以＝＝＝，则CI＝4FI，所以a＝4m，C（4m，），由＝tan∠CMD＝tan∠CBF＝，得DI＝MI＝3m，则DM＝6m，于是得×6m ×m+×6m×4m＝30，则m2＝2，所以k＝3m2＝6．【解答】解：作CF⊥y于点I，BF⊥x，交CI的延长线于点F，作AE⊥CF于点E，设BC交y轴于点M，∵直线y＝3x经过原点，且与双曲线y＝交于A，B两点，∴点A与点B关于原点对称，设A（m，3m），则B（﹣m，﹣3m），k＝3m2，设点C的横坐标为a，则C（a，），F（﹣m，），∵tan∠CAE＝＝＝，tan∠CBF＝＝＝，∴tan∠CAE＝tan∠CBF，∴∠CAE＝∠CBF，∵AE∥BF∥DM，∠CAE＝∠CDM，∠CBF＝∠CMD，∴∠CDM＝∠CMD，∴CD＝CM，∵＝＝＝，∴CI＝4FI，∴a＝4m，∴C（4m，），∵＝tan∠CMD＝tan∠CBF＝＝＝，∴DI＝MI＝CI＝×4m＝3m，∴DM＝DI+MI＝6m，∵DM•FI+DM•CI＝S△BCD＝30，∴×6m×m+×6m×4m＝30，∴m2＝2，∴k＝3m2＝3×2＝6，故答案为：6．12．（2023•余姚市校级模拟）如图，点A在y＝（x＞0）的图像上，点B，C在y＝（x ＜0）的图像上（C在B左边），直线AB经过原点O，直线AC交y轴于点M，直线BC 交x轴于点N．则＝；＝m，＝n，则＝．【分析】作AD⊥y轴交y轴于D，BE⊥x轴交x轴于E，CF⊥x轴交x轴于F，CG⊥y 轴交y轴于G，再设点A的坐标为（a，），点B的坐标为（b，），点C的坐标为（c，），从而可以表示出AD＝a，OE＝﹣bCG＝﹣c，CF＝﹣，BE＝﹣，再根据三角形相似的判定定理得出△BEO∽△ODA，△CGM∽△ADM，△NCF∽△NBE，可分别表示出OA：OB，MC：MA，NB：NC，再由直线AB经过原点O，可以表示出及的值，最后代入即可得到答案．【解答】解：如图所示，作AD⊥y轴交y轴于D，BE⊥x轴交x轴于E，CF⊥x轴交x 轴于F，CG⊥y轴交y轴于G，设点A的坐标为（a，），点B的坐标为（b，），点C的坐标为（c，），则AD＝a，OE＝﹣b，CG＝﹣c，CF＝﹣，BE＝﹣，∵BE⊥x轴，∴BE∥y轴，∴∠EBO＝∠BOG，∵∠BOG＝∠DOA，∴∠EBO＝∠DOA，∵AD⊥y轴，∴∠BEO＝∠ODA＝90°，∴△BEO∽△ODA，∴OA：OB＝AD：OE＝﹣，∵AD⊥y轴，CG⊥y轴，∴△CGM∽△ADM，∴＝＝﹣＝m，∵BE⊥x，CF⊥x轴，∴△NCF∽△NBE，∴＝＝＝＝n，∴＝＝﹣，∵直线AB经过原点O，∴＝，＝，∴＝，＝，由图像可知，a＞0，c＜b＜0，∴＝﹣，＝﹣，∴＝﹣＝，＝﹣＝，故答案为：；．13．（2023•岳阳一模）如图，已知正比例函数y1＝x的图像与反比例函数y2＝的图像相交于点A（3，n）和点B．（1）求n和k的值；（2）请结合函数图像，直接写出不等式x﹣＜0的解集；（3）如图，以AO为边作菱形AOCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，双曲线交CD于点E，连接AE、OE，求△AOE的面积．【分析】（1）先把点A（3，n）代入正比例函数解析式求出n的值，再把求出的点A坐标代入反比例函数解析式即可求出k值；（2）根据正比例函数和反比例函数都是关于原点成中心对称的，可得出点B的坐标，然后根据图像即可写出解集；（3）根据题意作出辅助线，然后求出OA的长，根据菱形的性质求出OC的长，可推出，然后求出菱形的面积即可求出△AOE的面积．【解答】解：（1）把点A（3，n）代入正比例函数可得：n＝4，∴点A（3，4），把点A（3，4）代入反比例函数，可得：k＝12；（2）∵点A与点B是关于原点对称的，∴点B（﹣3，﹣4），∴根据图像可得，不等式x﹣＜0的解集为：x＜﹣3或0＜x＜3；（3）如图所示，过点A作AG⊥x轴，垂足为G，∵A（3，4），∴OG＝3，AG＝4在Rt△AOG中，AO＝＝5∵四边形AOCD是菱形，∴OC＝OA＝5，，∴．14．（2023•锦江区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x+b的图像与x 轴交于点A（﹣2，0），与反比例函数交于点B（1，m）．（1）求反比例函数的表达式；（2）点M为反比例函数在第一象限图像上的一点，过点M作x轴垂线，交一次函数y ＝2x+b图像于点N，连接BM，若△BMN是以MN为底边的等腰三角形，求△BMN的面积；（3）点P为反比例函数图像上一点，连接PB，若∠PBA＝∠BAO，求点P的坐标．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）若△BMN是以MN为底边的等腰三角形，则点B在MN的中垂线上，进而求解；（3）取AB的中点M，过点M作MH⊥AB交x轴于点H，点M是AB的中点且MH⊥AB，则∠PBA＝∠BAO，进而求解．【解答】解：（1）将点A的坐标代入一次函数表达式得：0＝﹣4+b，解得：b＝4，即一次函数的表达式为：y＝2x+4，当x＝1时，y＝2x+4＝6，则点B（1，6），将点B的坐标代入反比例函数表达式得：k＝1×6＝6，即反比例函数表达式为：y＝；（2）设点N的坐标为（t，2t+4），则点M（t，），若△BMN是以MN为底边的等腰三角形，则点B在MN的中垂线上，则（2t+4+）＝6，解得：t＝1（舍去）或3，则点M、N的坐标分别为：（3，10）、（3，2），则△BMN的面积＝MN•（x M﹣x B）＝（10﹣2）×（3﹣1）＝8；（3）取AB的中点M，过点M作MH⊥AB交x轴于点H，∵点M是AB的中点且MH⊥AB，则∠PBA＝∠BAO，由中点坐标公式得，点M（﹣，3），在Rt△AMH中，由AB的表达式知，tan∠BAO＝2，则tan∠MHA＝，则直线MH表达式中的k值为﹣，则直线MH的表达式为：y＝﹣（x+）+3，令y＝﹣（x+）+3＝0，则x＝，即点H（，0），由点B、H的坐标得，直线BH的表达式为：y＝﹣x+，联立y＝﹣x+和y＝并解得：x＝1（舍去）或，则点P的坐标为：（，）．。

反比例函数与一次函数综合题针对演练1. 已知正比例函数y ＝2x 的图象与反比例函数y ＝k x(k ≠0)在第一象限内的图象交于点A ，过点A 作x 轴的垂线，垂足为点P ，已知△OAP 的面积为1. (1)求反比例函数的解析式；(2)有一点B 的横坐标为2，且在反比例函数图象上，则在x 轴上是否存在一点M ，使得MA ＋MB 最小若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．第1题图2. 如图，反比例函数2y x=的图象与一次函数y ＝kx ＋b 的图象交于点A 、B ，点A 、B 的横坐标分别为1、－2，一次函数图象与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D . (1)求一次函数的解析式；(2)对于反比例函数2y x=，当y ＜－1时，写出x 的取值范围；(3)在第三象限的反比例函数图象上是否存在一点P，使得S△ODP＝2S△OCA若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第2题图3. 已知，如图，一次函数y＝kx＋b(k、b为常数，k≠0)的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y＝nx(n为常数且n≠0)的图象在第二象限交于点⊥x轴，垂足为D.若OB＝2OA＝3OD＝6.(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)求两函数图象的另一个交点坐标；(3)直接写出不等式：kx＋b≤nx的解集．4. 如图，点A (－2，n )，B(1，－2)是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数y＝mx的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x 的取值范围；(3)若C 是x 轴上一动点，设t ＝CB －CA ，求t 的最大值，并求出此时点C 的坐标．第4题图5. 如图，直线y 1＝14x ＋1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，与反比例函数y 2＝m x (x >0)的图象交于点P ，过点P 作PB ⊥x 轴于点B ，且AC ＝BC . (1)求点P 的坐标和反比例函数y 2的解析式； (2)请直接写出y 1>y 2时，x 的取值范围；(3)反比例函数y 2图象上是否存在点D ，使四边形BCPD 为菱形如果存在，求出点D 的坐标；如果不存在，说明理由．第5题图6. 如图，直线y＝x＋b与x轴交于点C(4，0)，与y轴交于点B，并与双曲线y＝mx(x＜0)交于点A(－1，n)．(1)求直线与双曲线的解析式；(2)连接OA，求∠OAB的正弦值；(3)若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D、C、B构成的三角形△OAB相似若存在求出D点的坐标，若不存在，请说明理由．第6题图7. 如图，直线y＝33x－3与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y＝kx(k＞0)图象交于点C，D，过点A作x轴的垂线交该反比例函数图象于点E.(1)求点A的坐标；(2)若AE＝AC.①求k的值；②试判断点E与点D是否关于原点O成中心对称并说明理由．第7题图8. 如图，已知双曲线y＝kx经过点D(6，1)，点C是双曲线第三象限上的动点，过点C作CA⊥x轴，过点D作DB⊥y轴，垂足分别为A，B，连接AB，BC.(1)求k的值；(2)若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式；(3)判断AB与CD的位置关系，并说明理由．第8题图9. 如图，点B 为双曲线y ＝kx(x ＞0)上一点，直线AB 平行于y 轴，交直线y ＝x于点A ，交x 轴于点D ，双曲线y ＝k x与直线y ＝x 交于点C ，若OB 2－AB 2＝4.(1)求k 的值；(2)点B 的横坐标为4时，求△ABC 的面积；(3)双曲线上是否存在点P ，使△APC ∽△AOD 若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．第9题图答案1．解：(1)设A点的坐标为(x，y)，则OP＝x，PA＝y，∵△OAP的面积为1，∴12xy＝1，∴xy＝2，即k＝2，∴反比例函数的解析式为2yx；(2)存在，如解图，作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，交x轴于点M，此时MA＋MB最小，∵点B的横坐标为2，∴点B的纵坐标为y＝22＝1，即点B的坐标为（2,1）.又∵两个函数图象在第一象限交于A点，∴2 2xx=，解得x1＝1，x2＝－1(舍去)．∴y＝2，∴点A的坐标为(1，2)，∴点A关于x轴的对称点A′(1，－2)，设直线A′B的解析式为y＝kx＋b，代入A′(1，－2)，B(2，1)得，23,215k b kk b b+=-=⎧⎧⎨⎨+==-⎩⎩解得，∴直线A′B的解析式为y＝3x－5，令y＝0，得x＝53，∴直线y＝3x－5与x轴的交点为(53，0)，即点M的坐标为(53，0)．第1题解图2．解：(1)∵反比例函数y＝2x图象上的点A、B的横坐标分别为1、－2，∴点A的坐标为(1，2)，点B的坐标为(－2，－1)，∵点A (1，2)、B (－2，－1)在一次函数y ＝kx ＋b 的图象上，∴21,211k b k k b b +==⎧⎧⎨⎨-+=-=⎩⎩解得，∴一次函数的解析式为y ＝x ＋1；(2)由图象知，对于反比例函数2y x=，当y ＜－1时，x 的取值范围是－2＜x＜0；(3)存在．对于y ＝x ＋1，当y ＝0时，x ＝－1，当x ＝0时，y ＝1， ∴点D 的坐标为(－1，0)，点C 的坐标为(0，1)， 设点P (m ，n )，∵S △ODP ＝2S △OCA ，∴12×1×(－n )＝2×12×1×1，∴n ＝－2，∵点P (m ，－2)在反比例函数图象上，∴－2＝ 2m， ∴m ＝－1，∴点P 的坐标为(－1，－2)． 3．解：(1)∵OB ＝2OA ＝3OD ＝6， ∴OA ＝3，OD ＝2.∴A (3，0)，B (0，6)，D (－2，0)．将点A (3，0)和B (0，6)代入y ＝kx ＋b 得，302,66k b k b b +==-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩解得， ∴一次函数的解析式为y ＝－2x ＋6. ……………………(3分) 将x ＝－2代入y ＝－2x ＋6，得y ＝－2×(－2)＋6＝10， ∴点C 的坐标为(－2，10)．将点C (－2，10)代入y ＝nx ，得10＝2n -，解得n ＝－20，∴反比例函数的解析式为20y x=-；………………………(5分) (2)将两个函数解析式组成方程组，得26,20y x y x =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩解得x 1＝－2，x 2＝5. ………………………………………(7分)将x ＝5代入204,y x=-=- ∴两函数图象的另一个交点坐标是(5，－4)； …………… (8分) (3)－2≤x＜0或x≥5. …………………………………… (10分)【解法提示】不等式kx ＋b ≤nx的解集，即是直线位于双曲线下方的部分所对应的自变量x 的取值范围，也就是－2≤x ＜0或x ≥5.4．解：(1)∵点A (－2，n )，B (1，－2)是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数y ＝mx的图象的两个交点，∴m ＝－2，∴反比例函数解析式为2y x=-，∴n ＝1，∴点A (－2，1)，将点A (－2，1)，B (1，－2)代入y ＝kx ＋b ，得211,21k b k k b b -+==-⎧⎧⎨⎨+=-=-⎩⎩解得， ∴一次函数的解析式为y ＝－x －1；(2)结合图象知：当－2＜x ＜0或x ＞1时，一次函数的值小于反比例函数的值；(3)如解图，作点A 关于x 轴的对称点A ′，连接BA ′延长交x 轴于点C ，则点C 即为所求，∵A (－2，1)， ∴A ′(－2，－1)，设直线A ′B 的解析式为y ＝mx ＋n ，1123,253m m n m n n ⎧=-⎪-=-+⎧⎪⎨⎨-=+⎩⎪=-⎪⎩解得， ∴y ＝－13x －53，令y＝0，得x＝－5，则C点坐标为(－5，0)，∴t的最大值为A′B＝（－2－1）2＋（－1＋2）2＝10.第4题解图5．解：(1)∵一次函数y1＝14x＋1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，∴A(－4，0)，C(0，1)，又∵AC＝BC，CO⊥AB，∴O为AB的中点，即OA＝OB＝4，且BP＝2OC＝2，∴点P的坐标为(4，2)，将点P(4，2)代入y2＝mx，得m＝8，∴反比例函数的解析式为y2＝8 x；(2)x>4；【解法提示】由图象可知，当y1＞y2时，即是直线位于双曲线上方的部分，所对应的自变量x的取值范围是x＞4.(3)存在．假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，如解图，连接DC 与PB交于点E，∵四边形BCPD为菱形，∴CE＝DE＝4，∴CD＝8，∴D点的坐标为(8，1)，将D(8，1)代入反比例函数8yx=，D点坐标满足函数关系式，即反比例函数图象上存在点D，使四边形BCPD为菱形，此时D点坐标为(8，1)．第5题解图6．解：(1)∵直线y＝x＋b与x轴交于点C(4，0)，∴把点C(4，0)代入y＝x＋b，得b＝－4，∴直线的解析式为y＝x－4，∵直线也过A点，∴把点A(－1，n)代入y＝x－4，得n＝－5，∴A(－1，－5)，将A(－1，－5)代入y＝mx(x＜0)，得m＝5，∴双曲线的解析式为5yx=；(2)如解图，过点O作OM⊥AC于点M，∵点B是直线y＝x－4与y轴的交点，∴令x＝0，得y＝－4，∴点B(0，－4)，∴OC＝OB＝4，∴△OCB是等腰直角三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∴在△OMB中，sin45°＝OMOB＝4OM，∴OM＝22，∵AO＝12＋52＝26，∴在△AOM中，sin∠OAB＝OMOA＝2226＝21313；第6题解图(3)存在．如解图，过点A作AN⊥y轴于点N，则AN＝1，BN＝1，∴AB＝12＋12＝2，∵OB＝OC＝4，∴BC＝42＋42＝42，又∵∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠OBA＝∠BCD＝135°，∴△OBA∽△BCD或△OBA∽△DCB，∴OBBC＝BACD或OBDC＝BABC，即442＝2CD或4DC＝242，∴CD＝2或CD＝16，∵点C(4，0)，∴点D的坐标是(6，0)或(20，0)．7．解：(1)当y ＝0时，得0＝33x －3，解得x ＝3.∴点A 的坐标为(3，0)； ……………………………………(2分) (2)①如解图，过点C 作CF ⊥x 轴于点F . 设AE ＝AC ＝t , 点E 的坐标是(3，t ).在Rt △AOB 中， tan ∠OAB ＝OB OA ＝33，∴∠OAB ＝30°.在Rt △ACF 中，∠CAF ＝30°，∴CF ＝12t ，AF ＝AC ·cos30°＝32t ，∴点C 的坐标是(3＋32t ，12t )．∵点C 、E 在y ＝kx 的图象上，∴(3＋32t )×12t ＝3t ，解得t 1＝0(舍去)，t 2＝23，∴k ＝3t ＝63； …………………………………………… (5分) ②点E 与点D 关于原点O 成中心对称，理由如下： 由①知，点E 的坐标为(3，23)， 设点D 的坐标是(x ，33x －3)，∴x (33x －3)＝63，解得x 1＝6(舍去)，x 2＝－3， ∴点D 的坐标是(－3，－23)，∴点E 与点D 关于原点O 成中心对称．…………………(8分)第7题解图8．解：(1)∵双曲线y ＝kx 经过点D (6，1)，∴6k ＝1，解得k ＝6；(2)设点C 到BD 的距离为h ，∵点D 的坐标为(6，1)，DB ⊥y 轴， ∴BD ＝6，∴S △BCD ＝12×6×h ＝12，解得h ＝4，∵点C 是双曲线第三象限上的动点，点D 的纵坐标为1，∴点C 的纵坐标为1－4＝－3，∴6x＝－3，解得x ＝－2，∴点C 的坐标为(－2，－3)，设直线CD 的解析式为y ＝kx ＋b ，则123,2612k b k k b b ⎧-+=-=⎧⎪⎨⎨+=⎩⎪=-⎩解得，∴直线CD 的解析式为y ＝12x －2； (3)AB ∥CD .理由如下：∵CA ⊥x 轴，DB ⊥y 轴，点D 的坐标为(6，1)，设点C 的坐标为(c ，6c)，∴点A 、B 的坐标分别为A (c ，0)，B (0，1)， 设直线AB 的解析式为y ＝mx ＋n ，则10,11mc n m c n n ⎧+==-⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎩解得，∴直线AB 的解析式为y ＝－1x c＋1，设直线CD 的解析式为y ＝ex ＋f ，则16,661e ec f cc c e f f c ⎧=-⎧⎪+=⎪⎪⎨⎨+⎪⎪+==⎩⎪⎩解得， ∴直线CD 的解析式为y ＝－1x c ＋6c c +，∵AB 、CD 的解析式中k 都等于1c-，∴AB 与CD 的位置关系是AB ∥CD . 9．解：(1)设D 点坐标为(a ，0)，∵AB ∥y 轴，点A 在直线y ＝x 上，B 为双曲线y ＝kx(x ＞0)上一点，∴A 点坐标为(a ，a )，B 点坐标为(a ，k a)，∴AB ＝a －k a ，BD ＝k a ，在Rt △OBD 中，OB 2＝BD 2＋OD 2＝(k a)2＋a 2，∵OB 2－AB 2＝4，∴(k a )2＋a 2－(a －k a)2＝4，∴k ＝2；(2)如解图，过点C 作CM ⊥AB 于点M ，,2y xy x =⎧⎪⎨=⎪⎩联立2222x x y y ⎧⎧==⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩解得（舍去），∴C 点坐标为(2，2)， 第9题解图∵点B 的横坐标为4，∴A 点坐标为(4，4)，B 点坐标为(4，12)，∴AB ＝4－12＝72，CM ＝4－2，∴S △ABC ＝12CM ·AB ＝12×(4－2)×72 ＝7－724；(3)不存在，理由如下：若△APC ∽△AOD ，∵△AOD 为等腰直角三角形，∴△APC 为等腰直角三角形，∠ACP ＝90°，∴CM ＝12AP ，设P 点坐标为(a ，2a )，则A 点坐标为(a ，a )，∴AP ＝|a －2a|，∵C 点坐标为(2，2)，∴CM ＝|a －2|，∴|a －2|＝12|a －2a|，∴(a －2)2＝14×222(2)a a -，即(a －2)2＝14×222((a a a +⨯-，∴4a 2－(a ＋2)2＝0，解得a ＝2或a ＝－23(舍去)，∴P 点坐标为(2，2)，则此时点C 与点P 重合，所以不能构成三角形，故不存在．。

考点专题：反比例函数与一次函数的综合◆类型一判断函数图象1．当k＞0时，反比例函数y＝kx和一次函数y＝kx＋2的图象大致是() 2．在同一直角坐标系中，函数y＝kx与y＝kx＋k2的大致图象是() 3．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝cx 在同一平面直角坐标系内的图象大致为()◆类型二求交点坐标4．(阜阳月考)如图，直线y＝－x＋b与反比例函数y＝kx的图象的一个交点为A(－1，2)，则另一个交点B的坐标为【方法3①】()A．(－2，1) B．(2，1)C．(1，－2) D．(2，－1)第4题图第5题图5．反比例函数y＝kx和正比例函数y＝mx的部分图象如图所示，由此可以得到方程kx＝mx的实数根为()A．x＝1 B．x＝2C．x1＝1，x2＝－1 D．x1＝1，x2＝－26．(2017·菏泽中考)直线y＝kx(k＞0)与双曲线y＝6x交于A(x1，y1)和B(x2，y2)两点，则3x1y2－9x2y1的值为________．【方法4】◆类型三求值或取值范围7．已知一次函数y1＝ax＋b与反比例函数y2＝kx的图象如图所示，当y1＜y2时，x的取值范围是【方法3③】()A．x<2 B．x>5 C．0<x<5 D．0<x<2或x>5第7题图第8题图8．(2017·芜湖期末)如图，正比例函数y1＝k1x(k1≠0)的图象与反比例函数y2＝k2x(k2≠0)的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当y1＞y2时，x的取值范围是【方法3③】()A．x＜－2或x＞2 B．x＜－2或0＜x＜2C．－2＜x＜0或0＜x＜2 D．－2＜x＜0或x＞29．若一次函数y＝mx＋6与反比例函数y＝nx的图象在第一象限有公共点，则有() A．mn≥－9 B．－9≤mn≤0 C．mn≥－4 D．－4≤mn≤010．(2017·长沙中考)如图，点M是函数y＝3x与y＝kx的图象在第一象限内的交点，OM＝4，则k的值为________．第10题图第11题图11．(2017·贵港中考)如图，过C(2，1)作AC∥x轴，BC∥y轴，点A，B都在直线y＝－x＋6上．若双曲线y＝kx(x＞0)与△ABC总有公共点，则k的取值范围是____________．12．如图，一次函数y＝x＋m的图象与反比例函数y＝kx的图象交于A，B两点，且与x 轴交于点C，点A的坐标为(2，1)．(1)求m及k的值；(2)求点C的坐标，并结合图象写出不等式组0＜x＋m≤kx的解集．13．如图，反比例函数y＝kx与一次函数y＝ax＋b的图象交于点A(2，2)，B⎝⎛⎭⎫12，n.(1)求这两个函数的解析式；(2)将一次函数y＝ax＋b的图象沿y轴向下平移m个单位，使平移后的图象与反比例函数y＝kx的图象有且只有一个交点，求m的值．14．如图，直线y＝12x＋3与y轴交于点A，与x轴交于点C，直线l1与y轴交于点A，与x轴交于点B，且两直线互相垂直．(1)点A的坐标为________，点B的坐标为________，点C的坐标为________；(2)已知双曲线y＝－kx与l1的交点坐标为(－1，k)，求k的值；(3)请利用图象直接写出不等式－kx>12x＋3的解集．◆类型四求图形的面积15．(2017·亳州利辛县一模)如图，已知某一次函数与反比例函数的图象相交于A(1，3)，B(m，1)，求：(1)m的值与一次函数的解析式；(2)△ABO的面积．参考答案与解析1．C 2.C 3.B 4.D 5.C6．36 解析：由题可知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于原点对称，∴x 1＝－x 2，y 1＝－y 2.把A (x 1，y 1)代入y ＝6x，得x 1y 1＝6，∴3x 1y 2－9x 2y 1＝－3x 1y 1＋9x 1y 1＝6x 1y 1＝36.7．D 8.D9．A 解析：将y ＝mx ＋6代入y ＝n x 中，得mx ＋6＝nx ，整理得mx 2＋6x －n ＝0.∵两个图象有公共点，∴Δ＝62＋4mn ≥0，∴mn ≥－9.故选A.10．4 311．2≤k ≤9 解析：当反比例函数的图象过C 点时，把C 的坐标代入得k ＝2×1＝2.把y ＝－x ＋6代入y ＝k x 得－x ＋6＝kx ，整理得x 2－6x ＋k ＝0，Δ＝(－6)2－4k ＝36－4k .∵反比例函数y ＝kx的图象与△ABC 有公共点，∴36－4k ≥0，解得k ≤9，∴k 的取值范围是2≤k ≤9.12．解：(1)∵点A (2，1)在一次函数y ＝x ＋m 的图象上，∴2＋m ＝1，∴m ＝－1.∵点A (2，1)在反比例函数y ＝k x 的图象上，∴k2＝1，∴k ＝2.(2)由(1)可知m ＝－1，∴一次函数的解析式为y ＝x －1，令y ＝0，得x ＝1，∴点C 的坐标是(1，0)．由图象可知不等式组0＜x ＋m ≤kx的解集为1＜x ≤2.13．解：(1)∵A (2，2)在反比例函数y ＝kx 的图象上，∴k ＝4，∴反比例函数的解析式为y ＝4x .∵点B ⎝⎛⎭⎫12，n 在反比例函数y ＝4x 的图象上，∴12n ＝4，解得n ＝8，∴点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，8.由A (2，2)，B ⎝⎛⎭⎫12，8在一次函数y ＝ax ＋b 的图象上，得⎩⎪⎨⎪⎧2＝2a ＋b ，8＝12a ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝10.∴一次函数的解析式为y ＝－4x ＋10.(2)由(1)可知反比例函数的解析式为y ＝4x ，一次函数的解析式为y ＝－4x ＋10，它的图象沿y 轴向下平移m 个单位得到的直线的解析式为y ＝－4x ＋10－m .令－4x ＋10－m ＝4x ，得4x 2＋(m －10)x ＋4＝0.∵直线y ＝－4x ＋10－m 与双曲线y ＝4x 有且只有一个交点，∴Δ＝(m －10)2－64＝0，解得m ＝2或m ＝18.14．解：(1)(0，3) (1.5，0) (－6，0)(2)设l 1的解析式为y ＝k 1x ＋3，由题意可得k 1＝－2，∴y ＝－2x ＋3.∵双曲线y ＝－kx 与l 1的交点坐标为(－1，k )，∴－2×(－1)＋3＝k ，∴k ＝5.(3)从图象上看，双曲线y ＝－5x 与直线y ＝12x ＋3没有交点，且与x <0时，双曲线y ＝－5x 在直线y ＝12x ＋3的上方，∴不等式－k x >12x ＋3的解集是x <0.15．解：(1)设一次函数与反比例函数的解析式分别为y ＝ax ＋b ，y ＝kx .将A (1，3)，B (m ，1)代入y ＝kx中，得⎩⎨⎧3＝k 1，1＝k m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3，m ＝3.∴点B 的坐标为(3，1)．将A (1，3)，B (3，1)代入y ＝ax ＋b 中，得⎩⎪⎨⎪⎧3＝a ＋b ，1＝3a ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝4.∴一次函数的解析式为y ＝－x ＋4.(2)设一次函数y ＝－x ＋4的图象交x 轴于点C ，∴点C 的坐标为(4，0)，∴OC ＝4.∵A (1，3)，B (3，1)，∴S △AOB ＝S △AOC －S △BOC ＝12×4×(3－1)＝4.数学选择题解题技巧1、排除法。

一次函数与反比例函数综合1．(2016·襄阳)如图，直线y ＝ax ＋b 与反比例函数y ＝mx (x ＞0)的图象交于A(1，4)，B(4，n)两点，与x 轴，y 轴分别交于C ，D 两点．(1)m ＝4，n ＝1；若M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)是反比例函数图象上两点，且0＜x 1＜x 2，则y 1＞y 2(填“＜”“＝”或“＞”)；(2)若线段C D 上的点P 到x 轴，y 轴的距离相等．求点P 的坐标．解：∵直线y ＝ax ＋b 经过点A(1，4)，B(4，1)， ∴⎩⎨⎧a ＋b ＝4，4a ＋b ＝1.解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝5. ∴y ＝－x ＋5.当x ＝y 时，x ＝－x ＋5，解得x ＝52. ∴P(52，52)．2．(2016·威海)如图，反比例函数y ＝mx 的图象与一次函数y ＝kx ＋b 的图象交于A ，B 两点，点A 的坐标为(2，6)，点B 的坐标为(n ，1)． (1)求反比例函数与一次函数的表达式；(2)点E 为y 轴上一个动点，若S △AEB ＝5，求点E 的坐标．解：(1)把点A(2，6)代入y ＝mx ，得m ＝12， 则y ＝12x .把点B(n ，1)代入y ＝12x ，得n ＝12， 则点B 的坐标为(12，1)．由直线y ＝kx ＋b 过点A(2，6)，点B(12，1)得⎩⎨⎧2k ＋b ＝6，12k ＋b ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12，b ＝7. 则所求一次函数的表达式为y ＝－12x ＋7.(2)设直线AB 与y 轴的交点为P ，点E 的坐标为(0，t)，连接AE ，BE ，则点P 的坐标为(0，7)． ∴PE ＝|t －7|.∵S △AEB ＝S △BEP －S △AEP ＝5， ∴12×|t －7|×(12－2)＝5. ∴|t －7|＝1. 解得t 1＝6，t 2＝8.∴点E 的坐标为(0，6)或(0，8)．3．(2016·安徽)如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象分别与反比例函数y ＝ax 的图象在第一象限交于点A(4，3)，与y 轴的负半轴交于点B ，且OA ＝OB. (1)求函数y ＝kx ＋b 和y ＝ax 的表达式；(2)已知点C(0，5)，试在该一次函数图象上确定一点M ，使得MB ＝MC.求此时点M 的坐标．解：(1)将A(4，3)代入y ＝a x ，得3＝a4，∴a ＝12. OA ＝42＋32＝5.∵OA ＝OB ，且点B 在y 轴负半轴上， ∴B(0，－5)．将A(4，3)，B(0，－5)代入y ＝kx ＋b ，得 ⎩⎨⎧3＝4k ＋b ，－5＝b.解得⎩⎨⎧k ＝2，b ＝－5.∴所求函数表达式分别为y ＝2x －5和y ＝12x . (2)∵MB ＝MC ，∴点M 在线段BC 的中垂线上，即x 轴上． 又∵点M 在一次函数的图象上， ∴M 为一次函数图象与x 轴的交点．令y ＝0，即2x －5＝0，解得x ＝52.∴点M 的坐标为(52，0)．4．(2016·自贡)如图，已知A(－4，n)，B(2，－4)是一次函数y ＝kx ＋b 和反比例函数y ＝mx 的图象的两个交点．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)观察图象，直接写出方程kx ＋b －mx ＝0的解； (3)求△AOB 的面积；(4)观察图象，直接写出kx ＋b －mx ＜0的解集．解：(1)∵B(2，－4)在y ＝mx 上，∴m ＝－8. ∴反比例函数的解析式为y ＝－8x .∵点A(－4，n)在y ＝－8x 上，∴n ＝2.∴A(－4，2)． ∵y ＝kx ＋b 经过A(－4，2)，B(2，－4)， ∴⎩⎨⎧－4k ＋b ＝2，2k ＋b ＝－4.解得⎩⎨⎧k ＝－1，b ＝－2. ∴一次函数的解析式为y ＝－x －2. (2)x 1＝－4，x 2＝2.(3)设一次函数图象与y 轴交点为C.∵当x ＝0时，y ＝－2，∴点C(0，－2)．∴OC ＝2. ∴S △AOB ＝S △ACO ＋S △BCO ＝12×2×4＋12×2×2＝6.(4)－4＜x ＜0或x ＞2.5．(2016·乐山)如图，反比例函数y ＝kx 与一次函数y ＝ax ＋b 的图象交于点A(2，2)，B(12，n)．(1)求这两个函数的解析式；(2)将一次函数y ＝ax ＋b 的图象沿y 轴向下平移m 个单位，使平移后的图象与反比例函数y ＝kx 的图象有且只有一个交点，求m 的值．解：(1)∵A(2，2)在反比例函数y ＝kx 的图象上，∴k ＝4. ∴反比例函数的解析式为y ＝4x .又∵B(12，n)在反比例函数y ＝4x 的图象上， ∴12n ＝4，解得n ＝8.由A(2，2)，B(12，8)在一次函数y ＝ax ＋b 的图象上，得⎩⎪⎨⎪⎧2＝2a ＋b ，8＝12a ＋b.解得⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝10. ∴一次函数的解析式为y ＝－4x ＋10.(2)将直线y ＝－4x ＋10向下平移m 个单位得直线的解析式为y ＝－4x ＋10－m.∵直线y ＝－4x ＋10－m 与双曲线y ＝4x 有且只有一个交点，令－4x ＋10－m ＝4x ，得4x 2＋(m －10)x ＋4＝0. ∴Δ＝(m －10)2－64＝0，解得m ＝2或18.6．(2016·新疆)如图，直线y ＝2x ＋3与y 轴交于A 点，与反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象交于点B ，过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，且C 点的坐标为(1，0)． (1)求反比例函数的解析式；(2)点D(a ，1)是反比例函数y ＝kx (x ＞0)图象上的点，在x 轴上是否存在点P ，使得PB ＋PD 最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵BC ⊥x 轴于点C ，且C 点的坐标为(1，0)， ∴在直线y ＝2x ＋3中，当x ＝1时，y ＝2＋3＝5. ∴点B 的坐标为(1，5)．又∵点B(1，5)在反比例函数y ＝kx 上， ∴k ＝1×5＝5.∴反比例函数的解析式为y ＝5x .(2)存在．作D 点关于x 轴的对称点D′，连接BD′，交x 轴于点P ，P 点即为所求． 将D(a ，1)代入y ＝5x ，得a ＝5. ∴点D 的坐标为(5，1)． ∴D ′(5，－1)．设过点B(1，5)，点D′(5，－1)的直线解析式为y ＝tx ＋b ， 可得⎩⎨⎧t ＋b ＝5，5t ＋b ＝－1.解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝－32，b ＝132.∴直线BD′的解析式为y ＝－32x ＋132.当y ＝0时，－32x ＋132＝0，解得x ＝133. 故点P 的坐标为(133，0)．热点3：（2016·山东省东营市·9分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ，与反比例函数y ＝x m的图象在第二象限交于点C ，CE ⊥x 轴，垂足为点E ，tan∠ABO ＝12，OB ＝4,OE ＝2． (1)求反比例函数的解析式；(2)若点D 是反比例函数图象在第四象限上的点，过点D 作DF ⊥y 轴，垂足为点F ，连接OD 、BF ，如果S △BAF ＝4S △DFO ，求点D 的坐标.【知识点】锐角三角函数——锐角三角函数的求法、平面直角坐标系——利用图形变化确定点的坐标、反比例函数——反比例函数的表达式及反比例函数的图像及性质（k 的几何意义）【解析】（1）先由tan∠ABO ＝CE BE ＝12及OB ＝4,OE ＝2求出CE 的长度，从而得到点C 的坐标，再将点C 的坐标代入y ＝x m即可求得反比例函数的解析式．（2）先由反比例函数y ＝x k的k 的几何意义得出S △DFO ，由S △BAF ＝4S △DFO 得到S △BAF ，根据S △BAF ＝12AF •OB 得出AF 的长度，用AF-OA 求出OF 的长，据此可先得出点D的纵坐标，再求D得横坐标.【解答】(l)∵OB＝4，OE＝2，∴BE＝OB＋OE＝6. ∵CE⊥x轴,∴∠CEB＝90°.在Rt△BEC中，∵tan∠ABO＝12，∴CEBE＝12．即CE6＝12，解得CE＝3.结合图象可知C点的坐标为（一2，3），将C（―2，3）代入反比例函数解析式可得3＝m－2.解得m＝－6．反比例函数解析式为y＝－6 x ．(2)解：方法一：∵点D是y＝－6x的图象上的点，且DF⊥y轴，∴S△DFO＝12×|－6|＝3.∴S△BAF＝4S△DFO＝4×3＝12.∴12AF•OB＝12.∴12×AF×4＝12.∴AF＝6.∴EF＝AF－OA＝6－2＝4. ∴点D的纵坐标为－4.把y＝－4代入y＝－6x，得－4＝－6x.∴x＝32.∴D（32，一4）．方法二：设点D的坐标为（a，b）.∵S△BAF＝4S△DFO，∴12AF•OB＝4×12OF•FD.∴(AO＋OF) OB＝4OF•FD.∴[2＋（－b）]×4＝－4ab.∴8－4b＝－4ab.又∵点D在反比例函数图象上，∴b＝－6a.∴ab＝－6.∴8－4b＝24.解得：b＝－4.把b＝－4代ab＝－6中，解得：a＝3 2 .∴D（32，一4）．【方法总结】要确定反比例函数的表达式，只需根据题目提供的条件求出其图像上某一个点的坐标即可解决；反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y＝kx(k≠0)图象上任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，两垂线与两坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任取一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的直角三角形的面积是定值12|k|，且保持不变．。

1、一次函数y=x+2与反比例函数ky=x错误！未找到引用源。

，其中一次函数y=x+2的图象经过点P（k，5）．①试确定反比例函数的表达式；②若点Q是上述一次函数与反比例函数图象在第三象限的交点，求点Q的坐标．解：（1）①因一次函数y=x+2的图象经过点P（k，5），所以得5=k+2，解得k=3，所以反比例函数的表达式为错误！未找到引用源。

；②联立得方程组错误！未找到引用源。

，解得13xy=⎧⎨=⎩错误！未找到引用源。

或错误！未找到引用源。

31xy=-⎧⎨=-⎩，故第三象限的交点Q的坐标为（﹣3，﹣1）．2、如图所示，制作一种产品的同时，需将原材料加热，设该材料温度为y℃，从加热开始计算的时间为x分钟．据了解，该材料在加热过程中温度y与时间x成一次函数关系，已知该材料在加热前的温度为l5℃，加热5分钟使材料温度达到60℃时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度y与时问x成反比例函数关系．（1）分别求出该材料加热和停止加热过程中y与x的函数关系（要写出x的取值范）；（2）根据工艺要求，在材料温度不低于30℃的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理所用的时间为多少分钟？解答：解：（1）设加热过程中一次函数表达式为y=kx+b该函数图象经过点（0，15），（5，60）即错误！未找到引用源。

∴一次函数的表达式为y=9x+15（0≤x≤5）设加热停止后反比例函数表达式为y=错误！未找到引用源。

，该函数图象经过点（5，60）即错误！未找到引用源。

=60解得：a=300，所以反比例函数表达式为y=错误！未找到引用源。

（x＞5）（2）由题意得：错误！未找到引用源。

解得x1=错误！未找到引用源。

⎪⎩⎪⎨⎧==30300yxy错误！未找到引用源。

解得x2=10则x2﹣x1=10﹣错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

3、（2011•安顺）如图，已知反比例函数错误！未找到引用源。

《一次函数和反比例函数》中考题1、已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 轴交于点A (－2，0），与反比例函数在第一象限内的图象交于点B （2，n ），连结BO ，若4=AOB S △。

(1）求该反比例函数的解析式和直线AB 的解析式；（2）若直线AB 与y 轴的交点为C ，求△OCB 的面积.【思路分析】（1)先由A （﹣2，0)，得OA=2,点B （2，n ），S △AOB =4，得OA•n=4，n=4，则点B 的坐标是（2，4），把点B （2，4)代入反比例函数的解析式为y=，可得反比例函数的解析式为：y=;再把A （﹣2，0)、B （2，4）代入直线AB 的解析式为y=kx+b 可得直线AB 的解析式为y=x+2．（2）把x=0代入直线AB 的解析式y=x+2得y=2,即OC=2,可得S △OCB =OC×2=×2×2=2．【解】（1)由A (－2，0）,得OA =2.∵点B （2，n ）在第一象限内，4=AOB S △。

∴21OA ×n=4,∴n=4。

∴点B 的坐标为（2,4）………………（2分）设反比例函数的解析式为y=x8（a ≠0） 将点B 的坐标代入，得4=2a ，∴a=8。

∴反比例函数的解析式为y=x 8………………（4分） 设直线AB 的解析式为y=kx+b(k ≠0）将点A 、B 的坐标分别代入,得⎩⎨⎧=+=+-.42,02b k b k解得⎩⎨⎧==.2,1b k ∴直线AB 的解析式为y=x+2. ………………（6分）（2）在y=x+2中，；令x =0，得y=2。

∴点C 的坐标是（0，2）,∴OC =2。

∴2222121=⨯⨯=⨯=B OCB x OC S △.………………(10分） 2、如图11,在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，正方形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，点B 的坐标为(2,2），反比例函数xk y =（x ＞0，k ≠0）的图像经过线段BC 的中点D 。

2023年九年级中考数学高频考点突破——反比例函数与一次函数综合1. 如图，将一把直角三角尺 放在平面直角坐标系中，其中点 ，，点OAB B (2,0)∠AOB =60∘A 在第一象限，反比例函数的图象经过点 ．在 轴上取一点 ，过点 作直线y =kx (k ≠0)A x P P 的垂线 ，垂足为 ，以直线 为对称轴，线段 经轴对称变换后的像是 ．OA l M l OB OʹBʹ(1) 当点 与点 重合时，求点 的坐标．OʹA P (2) 设点 ，当线段 与反比例函数 的图象有交点时，求 的取值范围．P (t,0)OʹBʹy =kx (k ≠0)t 2. 如图，已知反比例函数 的图象经过点 ，过 作 轴于点 ．点y =kx (x >0)A (4,2)A AC ⊥y CB 为反比例函数图象上的一动点，过点 作 轴于点 ，连接 ．直线 与 轴的负B BD ⊥x D AD BC x 半轴交于点 ．E(1) 求 的值；k (2) 若 ，求四边形 的面积．BD =3OC ACED3. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象分别与 轴、 轴交于 ， 两点，y =k 1x +b x y A B 与反比例函数的图象在第二象限交于 ， 两点， 交 轴于点 ．若y =k 2x C D (−6,2)DE ∥OC x E ，求：AD AC=13(1) 一次函数和反比例函数的表达式；(2) 四边形 的面积．OCDE 4. 如图，一条直线与反比例函数 的图象交于 ， 两点，与 轴交于 点，y =kxA (1,4)B (4,n )x D 轴，垂足为 ．AC ⊥x C (1) 如图甲．①求反比例函数的解析式．②求 的值及 点坐标．n D(2) 如图乙，若点 在线段 上运动，连接 ，作 ， 交 于 点．E AD CE ∠CEF =45∘EF AC F ①试说明 ．△CDE ∽△EAF ②当 为等腰三角形时，直接写出 点坐标．△ECF F5. 如图， 的顶点 是双曲线 与直线 在第二象限的交点，Rt △ABO A y =kxy =−x−(k +1)AB ⊥x 轴于 且 ．B S △ABO =32(1) 求这两个函数的解析式．(2) 求直线与双曲线的两个交点 ， 的坐标和 的面积．A C △AOC 6. 如图，在平面直角坐标系中，正方形 的顶点 与坐标原点重合，点 的坐标为 OABC O C ，点在轴的负半轴上，点，分别在边，上，且(0,3)A x D M AB OA ，，一次函数 的图象过点 和 ，反比例函数 的图象AD =2DB AM =2MO y =kx +b D M y =mx 经过点 ，与 的交点为 ．D BC N(1) 求反比例函数和一次函数的表达式．(2) 若点 在直线 上，且使 的面积与四边形 的面积相等，直接写出点P DM △OPM OMNC P 的坐标：．7. 如图，已知点 是一次函数图象上一点，过点 作 轴的垂线 ， 是 上A y =13x (x ≥0)A x lB l 一点（ 在 上方），在 的右侧以 为斜边作等腰直角三角形 ，B A AB AB ABC(1) 若 点坐标是 ，反比例函数 的图象过点 ．求 的值．B (3,5)y =kx (x >0)C k (2) 若反比例函数的图象过点 ，，且 的面积为 ，求 的面y =kx (x >0)B C △OAB 8△ABC 积．8. 如图所示，直线与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，与反比例函数（y 1=14x +1x A y B y 2=kx）的图象交于点 ，且 ．x >0C AB =BC(1) 求点 的坐标和反比例函数 的解析式．C y 2(2) 点 在 轴上，反比例函数 图象上存在点 ，使得四边形 为平行四边形，求P x y 2M BPCM 点 的坐标．M 9. 如图，函数与的图象交于点 ，．若点 的坐标为 ．y =1k xy =kxA B A (−k,−1)(1) 点 的坐标为；B (2) 若点 为第一象限内双曲线上不同于点 的任意一点．P B ①设直线 交 轴于点 ，直线 交 轴于点 ，求证 ；PA x M PB x N PM =PN ②当 的坐标为 时，连接 延长交 于 ，求证四边形 为矩P (1,k )(k ≠1)PO y =kxC PACB 形．10. 如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 ， 两点，点 y =ax +b y =kx (x >0)A B A 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ，．m B n m <n(1) 点 的纵坐标．A (2) 作 轴， 轴，垂足分别为 ，， 与 相交于点 ，连接 ．AM ⊥x BN ⊥y M N AM BN C MN ①求证：．MN ∥AB ②若四边形 是正方形且面积为 ，把直线 向右平移 个单位，平移后的直线ABMN 8OC c 与反比例函数的图象交于 点，与 轴交于 点，求 的值．y =kx (x >0)P x Q OP 2−OQ 211. 如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 与 轴交于点 ，且与反比例函AC x A y B (0,52)数在第一象限的图象交于点 ， 轴于点 ，．y =10x C CD ⊥y D CD =2(1) 根据函数图象，直接写出当反比例函数的函数值 时，自变量 的取值范围．y =10x y ≤5x (2) 动点 在 轴上， 轴交反比例函数的图象于点 ．若 ，求P x PQ ⊥x y =10x Q S △PAC :S POQ =2点 的坐标．P 12. 如图，在 中，，直角顶点 位于 轴的负半轴，点 ，斜边Rt △ABC ∠ABC =90∘B x A (0,−2) 交 轴于点 ， 与 轴交于点 ，且 ， 轴平分 ，反比例函数AC x D BC y E tan∠OAD =12y ∠BAC 的图象经过点 ．y =kx (x >0)C(1) 求点 ， 坐标；B D (2) 求的函数表达式．y =kx (x >0)13. 已知，直线 与反比例函数 交于点 ，且点 的横坐标为 ，过 轴上一点 OA y =12xA A 4x 作 垂直于 交 于 点．B (8,0)BC OB OA C(1) 若点 是线段 上一动点，过点 作 ，，垂足分别于 ，，求线段P OC P PE ⊥OB PF ⊥BC E F长度的最小值．EF (2) 在（）的 取得最小值的前提下，将 沿射线 平移，记平移后的三角形为1EF △PEF OA ，当 时，在平面内存在点 ，使得 ，，， 四点构成平行四边形，△PʹEʹFʹOPʹ=2OA Q A EʹFʹQ 这样的点 有几个？直接写出点 的坐标．Q Q 14. 在平面直角坐标系中，已知点 ， 的坐标分别为 ，，把点 绕坐标原点A B (−2,0)(0,−1)A O 顺时针旋转 得点 ，若点 在反比例函数 的图象上．135∘C C y =kx(1) 求反比例函数的表达式．(2) 若点 在 轴上，点 在反比例函数 的图象上，且以点 ，，， 为顶点的四D yE y =kx A B D E 边形是平行四边形，请画出满足题意的示意图并在示意图的下方直接写出相应的点 ， 的D E 坐标．15. 如图，在平面直角坐标系 中，直线 与函数的图象交于点 ．xOy y =x y =kx (x <0)A (−3,m )(1) 求 ， 的值；m k (2) 点 为直线 上任意一点，将直线 沿 轴向上平移两个单位得到直线P (x p ,y p )y =x y =x y ，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，交函数的图象于点 ．l P x l C y =kx (x <0)D ①当 时，判断 与 的数量关系，并说明理由；x p =−1PC PD ②当 ，结合函数图象，直接写出 的取值范围．PC +PD ≤4x p16. 如图，在平面直角坐标系 中，函数的图象与直线 交于点 ．xOy y =kx (x >0)y =x−2A (3,m )(1) 求 ， 的值．k m (2) 已知点 ，过点 作平行于 轴的直线，交直线 于点 ，过点P (n,n )(n >0)P x y =x−2M P 作平行于 轴的直线，交函数的图象于点 ．y y =kx (x >0)N ①当 时，判断线段 与 的数量关系，并说明理由．n =1PM PN ②若 ，结合函数的图象，直接写出 的取值范围．PN ≥PM n 17. 请回答下列问题．(1) 如图，已知点 ， 在双曲线上， 轴于 ， 轴于点 ， 与A B y =kx (x >0)AC ⊥x C BD ⊥y D AC 交于点 ， 是 的中点，点 的横坐标为 ． 与 的坐标分别为 ，BD P P AC B b A B （用 与 表示），由此可以猜想 与 的数量关系是．b k AP CP(2) 四边形 的四个顶点分别在反比例函数与 的图象上，对ABCD y =mx y =nx (x >0,0<m <n )角线 轴，且 于点 ， 是 的中点，点 的横坐标为 ．BD ∥y BD ⊥AC P P BD B 4①当 ， 时，判断四边形 的形状并说明理由．m =4n =20ABCD ②四边形 能否成为正方形？若能，直接写出此时 ， 之间的数量关系；若不能，ABCD m n 试说明理由．18. 如图，直线 与双曲线相交于点 ，，已知点 的横坐标为 ．y =kx +2y =1.5x A B A 1(1) 求直线 的解析式及点 的坐标；y =kx +2B (2) 以线段 为斜边在直线 的上方作等腰直角三角形 ．求经过点 的双曲线的解析AB AB ABC C 式．19. 如图，直线 分别交 轴、 轴于 ， 两点，交反比例函数 的图象于 ，l x y A B y =kx (k ≠0)P Q 两点．若 ，且 的面积为 ．AB =2BP △AOB 4(1) 求 的值；k (2) 当点 的横坐标为 时，求 的面积．P −1△POQ 20. 已知在平面直角坐标系 中，点 是反比例函数（）图象上的一个动点，连接xOy A y =1xx ＞0， 的延长线交反比例函数 （，）的图象于点 ，过点 作 于AO AO y =kx k >0x <0B A AE ⊥y 轴点 ．E (1) 如图 ，过点 作 ，于点 ，连接 ．1B BF ⊥x 轴F EF ①若 ，求证：四边形 是平行四边形；k =1AEFO ②连接 ，若 ，求 的面积．BE k =4△BOE(2) 如图 ，过点 作 ，交反比例函数 （，）的图象于点 ，连接2E EP ∥AB y =kx k >0x <0P ．试探究：对于确定的实数 ，动点 在运动过程中， 的面积是否会发生变化？OP k A △POE请说明理由．答案1. 【答案】(1) 当点 与点 重合时，易知直线 垂直平分 ．OʹA l OA 点 ，∵B (2,0) ．∴OB =2在 中，Rt △AOB ，∵∠AOB =60∘，∴∠OAB =30∘，∴OA =2OB =4 ．∴OM =2在 中，Rt △OPM ，∵∠POM =60∘，∴∠OPM =30∘，∴OP =2OM =4 此时点 的坐标是 ．∴P (4,0)(2) 点 ，∵P (t,0) ．∴OP =∣t∣在 中，易得 ，Rt △OPM ∠OPM =30∘，∴OM =12OP =12∣t∣．∴OOʹ=∣t∣过点 作 轴于点 ．OʹOʹN ⊥x N 易得 ，∠OOʹN =30∘，∴ON =12∣t∣．∴NOʹ=32∣t∣当 时，点 在第一象限；∵t >0Oʹ当 时，点 在第三象限，t <0Oʹ 点．∴Oʹ(12t,32t)根据对称性可知，点 在直线 上，设直线 的函数表达式是 ．将点 ， P OʹBʹOʹBʹy =kx +b OʹP 的坐标代入，得{12tk +b =3t,tk +b =0,解得{k =−3,b =3t, ． ∴y =−3x +3t ⋯⋯①在 中，Rt △AOB ，，∵OB =2OA =4 ，∴AB =23点 ．∴A (2,23)将点 的坐标代入反比例函数 ，得 ，A y =kx k =2×23=43∴y =43x . ⋯⋯②联立①②，得 ，3x 2−3tx +43=0即x 2−tx +4=0, ⋯⋯③ ，∴Δ=b 2−4ac =t 2−4×1×4≥0解得 或 ．t ≥4t ≤−4当 时，易知 为等边三角形，t ≥4△OOʹP ．∴OʹP =OP =t ，∵OB =2 ，∴OʹBʹ=2 ，∴BʹP =t−2易知点 的横坐标 ．Bʹ=OP−12BʹP =1+12t 当点 为直线 与函数 图象的交点时，OʹOʹBʹy =43x 易知点 与点 重合，此时 ．OʹA t =4当点 为直线 与函数 图象的交点时，将点的横坐标代入③，得BʹOʹBʹy =43x Bʹ，(1+12t )2−t (1+12t )+4=0整理，得 ，t 2=20解得 （负值舍去）．t =25 ．∴4≤t ≤25当 时，同理可得 ．t ≤−4−25≤t ≤−4综上所述， 的取值范围是 或 ．t 4≤t ≤25−25≤t ≤−42. 【答案】(1) 反比例函数 的图象经过点 ，∵y =k x (x >0)A (4,2) ，∴2=k 4解得 ，k =8 反比例函数的解析式为 ．∴y =8x (x >0)(2) 轴，，∵AC ⊥y A (4,2) 点 的坐标为 ，，∴C (0,2)OC =2 ，∵BD =3OC ，∴BD =3×2=6轴，∵BD ⊥x 点 的纵坐标为 ，代入中，得 ，∴B 6y =8x 6=8x 解得，x =43 ，∴B (43,6)设直线 的解析式为 ，BC y =mx +b (m ≠0)将 ， 代入 中得B (43,6)C (0,2)y =mx +b {43m +b =6,b =2,解得{m =3,b =2. 直线 的解析式为 ，∴BC y =3x +2令 ，得 ，y =03x +2=0解得，x =−23，∴E (−23,0) ，∴DE =43−(−23)=2，∵AC ∥DE∴S 四边形ACED=12(AC +DE )⋅OC =12×(4+2)×2=6.3. 【答案】(1) 将 代入 中，得 ，D (−6,2)y =k 2x k 2=−6×2=−12 反比例函数的表达式为 ．∴y =−12x 过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ．D DM ⊥x M C CN ⊥x N ，．∴DM =2DM ∥CN ．∴△ADM ∽△ACN ．∴AD AC =DM CN =13 ．∴CN =3DM =6将 代入 中，得 ，y =6y =−12x x =−2 点 的坐标为 ．∴C (−2,6) 一次函数 的图象经过点 ，，∵y =k 1x +b C (−2,6)D (−6,2)解得∴{−2k 1+b =6,−6k 1+b =2,{k 1=1,b =8. 一次函数的表达式为 ．∴y =x +8(2) 设直线 对应的函数表达式为 ．OC y =mx 将 代入，得 ，解得 ，C (−2,6)−2m =6m =−3 直线 对应的函数表达式为 ．∴OC y =−3x 由 ，可设直线 对应的函数表达式为 ．DE ∥OC DE y =−3x +n 将 代入，得 ，解得 ．D (−6,2)−3×(−6)+n =2n =−16 直线 对应的函数表达式为 ．令 ，得．∴DE y =−3x−16y =0x =−163 点 的坐标为．∴E (−163,0) ．∴OE =163在 中，令 ，得 ，y =x +8y =0x =−8 点 的坐标为 ．∴A (−8,0) ．∴OA =8 ．∴AE =OA−OE =8−163=83∴S 四边形OCDE=S △AOC −S △AED=12OA ⋅CN−12AE ⋅DM=12×8×6−12×83×2=24−83=643.4. 【答案】(1) ① 点 在反比例函数图象上，∵A (1,4) ，即反比例函数关系式为 ．∴k =4y =4x ② 点 在反比例函数图象上，∵B (4,n ) ，∴n =1设一次函数的解析式为 ，y =mx +b 点 和 在一次函数 的图象上，∵A (1,4)B (4,1)y =mx +b ，，解得 ，，∴m +b =44m +b =1b =5m =−1 一次函数关系式为 ，令 ，得 ，∴y =−x +5y =0x =5 点坐标为 ．∴D D (5,0)(2) ① ， 轴于点 ，∵A (1,4)AC ⊥x C ，∴C (1,0) ．∴AC =4又 ，∵D (5,0) ，∴CD =4 ，∴AC =CD ，∴∠CAD =∠CDA =45∘ ．∴∠AFE +∠AEF =135∘又 ，∵∠CEF =45∘ ，∴∠CED +∠AEF =135∘ ．∴∠AFE =∠CED 又 ，∵∠FAE =∠EDC =45∘ ．∴△CDE ∽△EAF ② ，，(1,2)(1,4)(1,8−42)【解析】(2) ②当 时，由 ，CE =FE △CDE ≌△EAF 可得 ，，AE =CD =4DE =AF =4(2−1) ，∵A (1,4) 点的纵坐标 ，∴F =4−AF =4−4(2−1)=8−42 ，∴F (1,8−42)当 时，由 知 ，此时 与 重合，CE =CF ∠FEC =45∘∠ACE =90∘E D 与 重合，∴F A ，∴F (1,4)当 时，由 知 ，CF =EF ∠FEC =45∘∠CFE =90∘显然 为 中点，F AC ，∴F (1,2)当 为等腰三角形时，△ECF 点 的坐标为 ；；．F F 1(1,2)F 2(1,4)F 3(1,8−42)5. 【答案】(1) 方法一：轴于 ，且 ，AB ⊥x B S △ABO =32 ，∴12∣k ∣=32 ，∴k =±3 反比例函数图象在二、四象限，∵ ，∴k <0 ，∴k =−3 反比例函数解析式为 ，一次函数解析式为 ．∴y =−3x y =−x +2(2) 联立两函数解析式成方程组，解得{y =−3x ,y =−x +2,{x 1=−1,y 1=3,{x 2=3,y 2=−1, 点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，∴A (−1,3)C (3,−1)设直线 与 轴交与点 ，AC x D 当 时，，y =−x +2=0x =2 点 ，∴D (2,0) ．∴S △AOC =12OD ⋅(y A −y C )=12×2×[3−(−1)]=4【解析】(1) 方法二：设 点坐标为 ，且 ，，A (x,y )x <0y >0则 ，S △ABO =12⋅∣OB ∣⋅∣AB ∣=12⋅(−x )⋅y =32 ，∴xy =−3又 ，∵y =k x ，∴k =−3 所求的两个函数的解析式分别为，．∴y =−3x y =−x +26. 【答案】(1) 点 坐标为 ，∵C (0,3) ，∴OC =3 四边形 ∵OABC ，∴OA =AB =BC =OC =3又 ，，∵AD =2DB AM =2MO ，，∴AD =AM =2DB =OM =1 点 坐标为 ，点 坐标为 ，∴D (−3,2)M (−1,0) 点 坐标为 在反比例函数 上，∵D (−3,2)y =m x ，∴m =−6 反比例函数为 ，∴y =−6x 点 坐标为 ，点 坐标为 在一次函数 上，∵D (−3,2)M (−1,0)y =kx +b解得： ∴{2=−3k +b,0=−k +b,{k =−1,b =−1, 一次函数为：．∴y =−x−1(2) 或(−10,9)(8,−9)【解析】(2) 设 点坐标为 ，P (x P ,y P )则，S 四边形OMNC =12(1+2)×3=12×OM ×∣y P ∣=92 ，∴∣y P ∣=9 ，∴y P =−9或9则其坐标为 或 ．(−10,9)(8,−9)7. 【答案】(1) 点 是一次函数 图象上一点，过点 作 轴的垂线 ， 是 上一点∵A y =13x (x ≥0)A x l B l （ 在 上方）， 的坐标为 ，B A B (3,5) 点 的横坐标为为 ，代入一次函数解析式得 ，∴A 3A (3,1) 为等腰直角三角形，∵△ABC 根据等腰三角形的性质和直角三角形斜边中线是斜边一半可得点 的坐标为 ，∴C (5,3) 反比例函数的图象过点 ，∵y =k x (x >0)C ，∴3=k 5 ．∴k =15(2) 如图，过 作 轴于 ，交 于 ，C CD ⊥y D ABE 轴，∵AB ⊥x ，∴CD ⊥AB 是等腰直角三角形，∵△ABC ，∴BE =AE =CE 设 ，则 ，AB =2a BE =AE =CE =a 设 ，则 ，，A (x,13x )B (x,13x +2a )C (x +a,13x +a ) ， 在反比例函数的图象上，∵B C ，∴x (13x +2a )=(x +a )(13x +a)解得，x =32a ，∵S △OAB =12AB ⋅DE =12⋅2a ⋅x =8 ，∴ax =8，∴32a 2=8，∴a 2=163 ．∵S △ABC =12AB ⋅DE =12⋅2a ⋅a =a 2=1638. 【答案】(1) 直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，∵y 1=14x +1x A y B 点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．∴A (−4,0)B (0,1)过点 作 于点 ，如图 所示．C CD ⊥x 轴D 1 ，∵AB =BC 为 的中位线，∴OB △ACD ，，∴OD =OA =4CD =2OB =2 点 的坐标为 ．∴C (4,2) 点 在反比例函数（）的图象上，∵C (4,2)y 2=k x x >0 ，∴k =4×2=8 反比例函数 的解析式为 ．∴y 2y 2=8x (2) 连接 交 于点 ，如图 所示．PM BC G 2 四边形 为平行四边形，∵BPCM 点 为线段 的中点，点 为线段 的中点．∴G BC G PM 点 的坐标为 ，点 ，∵B (0,1)C (4,2) 点 的坐标为 ，即 ，∴G (0+42,1+22)(2,32) 点 的纵坐标为 ，∴M 32×2−0=3 点 的坐标为 ．∴M (83,3)9. 【答案】(1)(k,1)(2) ①设 ，直线 的解析式为 ，P (m,k m )PA y =ax +b 则有 解得{−ka +b =−1,ma +b =k m ,{a =1m ,b =k m −1,直线 的解析式为 ，∴PA y =1m x +k−m m 令 ，得到 ，y =0x =m−k 设直线 的解析式为 ，PB y =cx +d 则有 解得 {kc +d =1,mc +d =k m ,{c =−1m ,b =k m +1,直线 的解析式为 ，∴PB y =−1m x +k +m m令 ，得到 ，y =0x =k +m 如图，作 于 ．PH ⊥MN H 则 ．H (m,0) ，，∴HM =m−(m−k )=k NH =k +m−m =k ，∴MH =HN ．∴PM =PN ② ，∵P (1,k ) ，∴C (−1,−k ) ，，∵OP =OC OA =OB 四边形 是平行四边形，∴PACB ，，，∵PH =k MH =k HN =k ，∴PH =HM =HN ，∴∠MPN =90∘ 四边形 是矩形．∴PACB 【解析】(1) 函数 与 的图象交于点 ，，∵y =1k x y =k x A B ， 关于原点对称，∴A B ，∵A (−k,−1) ．∴B (k,1)10. 【答案】(1)k m (2) ①当 时，x =n y =k x n , 点 的坐标为∴B (n,k n ) 轴， 轴，∵AM ⊥x BN ⊥y 点 的坐标为 ，∴C (m,k n ) ，，，，∴NC =m BC =n−m MC =k n AC =k m −k n ，，∵NC BC =m n−m MC AC =k n k m −k n =k n k (n−m )mn =m n−m∴NC BC =MC AC 又 ，∵∠ACB =∠MCN =90∘ ，∴△ACB ∽△MCN ，∴∠ABC =∠MNC ．∴AB ∥MN②如图，四边形 是正方形，∵ABMN ，，，∴CM =CN BN =2CN AM =2CM ， 为等腰直角三角形．∴n =2m △CMN ，∵S 正方形ABMN =MN 2=8∴MN =22, ，∴CM =CN =2 ，，∴m =2n =4 点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，∴A (2,4)C (2,2) ，直线 的解析式为 ．∴k =2×4=8OC y =x 把直线 向右平移 个单位得到直线 ，∵OC c PQ 直线 的解析式为 ，点 的坐标为 ．∴PQ y =x−c Q (c,0)联立直线 和反比例函数解析式成方程组，得： PQ {y =x +c,y =8x ,解得： （舍去），{x 1=c +c 2+322,y 1=c 2+32−c2,{x 2=c−c 2+322,y 2=−c−c 2+322 点 的坐标为 ，∴P (c +c 2+322,c 2+32−c 2) ．∴OP 2−OQ 2=(c +c 2+322−0)2+(c 2+32−c 2−0)2−c 2=16【解析】(1) 当 时，，x =m y =k x =km 点 的纵坐标为 ．∴A k m 11. 【答案】(1) 或 ．x ≥2x <0(2) 轴于点 ，，∵CD ⊥y D CD =2 点的横坐标为 ．∴C 2把 代入反比例函数 ，得 ，x =2y =10x y =102=5 ．∴C (2,5)设直线 的解析式为 ，AC y =kx +b 把 ， 代入，B (0,52)C (2,5)得 解得{b =52,2k +b =5,{k =54,b =52. 直线 的解析式为 ，∴AC y =54x +52令 ，解得 ．y =54x +52=0x =−2 ，∴A (−2,0) 轴，点 在反比例函数 的图象上，∵PQ ⊥x Q y =10x ．∴S △POQ =12×10=5 ，∵S △PAC :S △POQ =2 ，则 ，∴S PAC =1012PA ⋅y c =10 ，∴PA =2×105=4 或 ．∴(−6,0)(2,0)【解析】(1) 当 时，，y =5x =10y =2观察图形可知： 时， 或 ．y ≤5x ≥2x <012. 【答案】(1) 点 ，∵A (0,−2) ，∴OA =2 ，∵tan∠OAD =OD OA =12 ，∴OD =1 轴平分 ，∵y ∠BAC ，∴∠BAO =∠DAO ，，∵∠AOD =∠AOB =90∘AO =AO ，∴△AOB ≌△AOD (ASA ) ，∴OB =OD =1 点 坐标为 ，点 坐标为 ；∴B (−1,0)D (1,0)(2) 过 作 轴于 ，C CH ⊥x H ，∴∠CHD =90∘ ，∵∠ABC =90∘ ，∴∠ABO +∠CBO =∠ABO +∠BAO =90∘ ，∴∠BAO =∠DAO =∠CBD ，∵∠ADO =∠CDH ，∴∠DCH =∠DAO ，∴∠DCH =∠CBH，∴tan∠CBH =tan∠DCH =12 ，∴CH BH =DH CH =12设 ，则 ，，DH =x CH =2x BH =4x ，∴2+x =4x ，∴x =23，，∴OH =53CH =43，∴C (53,43) ，∴k =53×43=209 的函数表达式为．∴y =kx (x >0)y =209x13. 【答案】(1) 当 时，，x =4y =12x=3点 的坐标为 ．∴A (4,3)设直线 的解析式为 ，OA y =kx (k ≠0)将 代入 ，，解得：，A (4,3)y =kx 3=4k k =34直线 的解析式为 ．∴OA y =34x设点 的坐标为 ，则，，P (m,34m )(0≤m ≤8)PE =34m PF =8−m ，即 ．∴EF 2=PE 2+PF 2EF 2=(34m )2+(8−m )2=2516(m−12825)2+57625 ，∵2516>0当时， 取得最小值，此时 最小值，最小值为，∴m =12825EF 2EF 245 线段 长度的最小值为 ．∴EF 245(2)符合题意得点 有 个，点 的坐标为 ，，．Q 3Q (12825,5425)(27225,24625)(27225,5425)【解析】(2)由（）可知，当 最小时，点 的坐标为 ．1EF P (12825,9625) ，∵OB =2OA ，∴OC =2OA 平移后点 与点 重合，∴PʹC 平移后点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．∴Pʹ(8,6)Eʹ(8,5425)Fʹ(27225,6)设点 的坐标为 ，分三种情况考虑，如图所示：Q (a,b )①当 为对角线时，PʹEʹ ，，，∵Pʹ(8,6)Eʹ(8,5425)Fʹ(27225,6)∴{a +27225=8+8,b +6=6+5425,解得：{a =12825,b=5425,点 的坐标为；∴Q 1(12825,5425)②当 为对角线时，PʹFʹ ，，，∵Pʹ(8,6)Eʹ(8,5425)Fʹ(27225,6)∴{a +8=8+27225,b +5425=6+6,解得：{a =27225,b =24625, 点 的坐标为；∴Q 2(27225,24625)③当 为对角线时，EʹFʹ ，，，∵Pʹ(8,6)Eʹ(8,5425)Fʹ(27225,6∴{a +8=8+27225,b +6=5425+6,解得：{a =27225,b=5425,点 的坐标为．∴Q 3(27225,5425)综上所述：符合题意的点 有 个，点 的坐标为 ，，．Q 3Q (12825,5425)(27225,24625)(27225,5425)14. 【答案】(1) 由旋转得：，，OA =OA =2∠AOC =135∘过点 作 轴，垂足为 ，C CM ⊥y M 则 ，∠COM =135∘−90∘=45∘在 中，，，Rt △OMC ∠COM =45∘OC =2 ，∴OM =CM =1 点 ，代入得：，∴C (1,1)y =kxk =1 反比例函数的关系式为：．∴y =1x(2) ①当点 在第三象限反比例函数的图象上，如图 ，E 1，；E (−2,−22)D (0,−1−22)如图 ，2，；E (−2,−22)D (0,−1+22)②当点 在第一象限反比例函数的图象上时，如图 ，过点 作 轴，垂足为 ，E 3E EN ⊥y N ，．E(2,22)D (0,1+22)【解析】(2) ① 点 在 轴上， 是平行四边形，∵D y AEDB ，，，当 时，，∴AE ∥DB AE =BD AE ⊥OA x =−2y =1−2=−22，∴E (−2,−22) ，，∵B (0,−1)BD =AE =22当点 在 的下方时，D B，∴D (0,−1−22)当点 在 的上方时，D B；∴D (0,−1+22)② 是平行四边形，∵ABED，∴AB =DE ，∴∠ABO =∠EDO ，∴△AOB ≌△END (AAS ) ，，∴EN =OA =2DN =OB =1当 时，代入 得：，x =2y =1xy =22，∴E(2,22) ，，∴ON =22OD =ON +DN =1+22．∴D (0,1+22)15. 【答案】(1) 直线 经过点 ，∵y =x A (−3,m ) ．∴m =−3又 函数的图象经过点 ，∵y =kx (x <0)A (−3,−3) ．∴k =−3×(−3)=3(2) ① ，理由：PC =PD 点 为直线 上一点，，∵P y =x x p =−1 ，∴y p =−1 ．∴P (−1,−1) 直线 向上平移两个单位得到直线 ，∵y =x l 直线 的解析式为 ，∴l y =x +2 ，∵PC ⊥x 轴 ．∴C (−1,1)由（）知，，1k =3 反比例函数的解析式为 ，∴y =3x (x <0)把 代入，得 ．x =−1y =3xy =−3 点 的坐标为 ．∴D (−1,−3) ．∴PC =PD =2② ．−3≤x p ≤−1【解析】(2) ②如图，由①知，当 时，，x p =−1PC =PD =2 ．∴PC +PD =4由平移知，，PʹCʹ=PC =2 当点 与点 重合时，．∴DʹCʹPʹCʹ+PʹDʹ=4解得 或 （舍去）．{y =x +2,y =3x{x =−3,y =−1{x =1,y =3 点 与 重合时，．∴DʹCʹx pʹ=−3由图象知，．−3≤x p ≤−116. 【答案】(1)函数的图象与直线 交于点 ，∵y =kx (x >0)y =x−2A (3,m ) ，，，∴m =3−2=1A (3,1)k =3×1=3即 的值为 ， 的值为 ．k 3m 1(2) ①当 时，，n =1P (1,1)令 ，代入 ，，，，．y =1y =x−2x−2=1x =3M (3,1)PM =2令 ，代入，，，．x =1y =kx (x >0)y =3N (1,3)PN =2 ．∴PM =PN ② 或 ．0<n ≤1n ≥3【解析】(2) ② ，点 在直线 上，P (n,n )P y =x 过点 作平行于 轴的直线，交直线 于点 ，，P x y =x−2M M (n +2,n ) ，PM =2 ，即 ，PN ≥PM PN ≥2 或 ．0<n ≤1n ≥317. 【答案】(1)；；相等(b 2,2k b )(b,k b )(2) ① 点 的横坐标为 ，，，∵B 4m =4n =20，，∴y B =44=1y D =204=5，，∴B (4,1)D (4,5) 是 中点，∵P BD，∴P (4,3) 点 ， 的纵坐标为 ，∴A C 3 ，，解得：，，∴3=4xA3=20xC x A =43x C =203，，∴A (43,3)C (203,3) ，，∴PA =4−43=83PC =203−4=83，∴PA =PC ，，∵PB =PD BD ⊥AC 四边形 为菱形．∴ABCD ②能，．m +n =32【解析】(1) 点 在反比例函数图象上，点 横坐标为 ，∵B y =kxB b，即，∴y =kxB (b,k b) 轴， 轴，， 交于点 ，∵AC ⊥x BD ⊥y AC BD P 点纵坐标为，∴P k b 点 为 中点，∵P AC ，点 的纵坐标为 ，∴AP =PC A 2k b 点 在 图象上，∵A y =kx，解得：，∴2k b=kbx =b2．∴A (b 2,2k b)(2) ② 点 的横坐标为 ，∵B 4 ，，∴B (4,m 4)D (4,n 4) 点 为 中点，∵P BD ，∴P (4,m +n8) ，，∴A(8m m +n ,m +n 8)C (8n m +n ,m +n 8) 是正方形，∵ABCD ，即 ，∴AC =BD 8n m +n −8m m +n =n 4−m4 ．∴m +n =3218. 【答案】(1)点 在双曲线上，且点 的横坐标为 ，∵A y =1.5x A 1 点 的纵坐标为 ，∴A 1.51=32点 ，∴A (1,32) 点 在直线 上，∵A (1,32)y =kx +2 ，∴k +2=32，∴k =−12直线 的解析式为，∴AB y =−12x +2联立直线 和双曲线的解析式得， 解得（点 的纵横坐标）或AB {y =1.5x,y =−12x+2,{x =1,y =32A {x =3,y =12,．∴B (3,12)(2) 如图，过点 作 轴的垂线，过点 作 轴的垂线，两线相交于点 ，过点 作 A x B y F C ，交 于 ，过点 作 于 ，CD ⊥AF AF D C CE ⊥BF E ，∴∠D =∠F =∠CEF =∠CEB =90∘四边形 是矩形，∴CDFE ，∴∠DCE =90∘，∵∠ACB =90∘，∴∠ACD =∠BCE 以线段 为斜边在直线 的上方作等腰直角三角形 ，∵AB AB ABC ，∴AC =BC ，∴△ACD ≌△BCE (AAS ) ，，∴AD =BE CD =CE 设点 ，C (m,n ) ，，∵A (1,32)B (3,12) ，，，，∴AD =n−32CD =m−1BE =3−m CE =n−12∴{n−32=3−m,m−1=n−12,∴{m =52,n =2, ，∴C (52,2)设过点 的双曲线的解析式为 ，C y =kʹx，∴kʹ=2×52=5过点 的双曲线的解析式为．∴C y =5x19. 【答案】(1) ，且 的面积为 ，∵AB =2BP △AOB 4 的面积为 ，∴△POB 2作 轴于 ，PM ⊥y M ，∴PM ∥OA ，∴△PBM ∼△ABO ，即 ，∴S △PBMS△ABO=(PB AB )2S △PBM4=(12)2的面积为 ，∴△PBM 1 ，∴S △POM =1+2=3，∵S △POM =12∣k ∣，∴∣k ∣=6 ，∵k <0 ;∴k =−6(2) 点 的横坐标为 ，∵P −1 ，∴PM =1 ，∵△PBM ∼△ABO，即，∴PMOA =PBAB1OA=12，∴OA =2 ，∴A (2,0)把 代入得，，x =−1y =−6xy =6 ，∴P (−1,6)设直线 为 ，AB y =mx +n 把 ， 的坐标代入得 解得 P A {−m +n =6,2m +n =0,{m =−2,n =4, 直线 为 ，∴AB y =−2x +4解 得 或 {y =−6xy =−2x +4{x =3y =−2{x =−1,y =6, ，∴Q (3,−2)．∴S △POQ =S △POA +S △QOA =12×2×6+12×2×2=820. 【答案】(1)①设点 的坐标为 ，则当点 时，点 的坐标为，A (a,1a )k =1B (−a,−1a ) ，∴AE =OF =a ，∵AE ⊥y 轴 ，∴AE ∥OF 四边形 是平行四边形．∴AEFO ②过点 作 于点 ，如图 ，B BD ⊥y 轴D 1 ，∵AE ⊥y 轴 ，∴AE ∥BD ，∴△AEO ∽△BDO ，∴S △AEOS△BDO=(AO BO )2 当 时，，∴k =4122=(AO BO )2即 ，AO BO=12．∴S △BOE =2S △AOE =1(2) 不改变．理由如下：过点 作 于点 ， 与 轴交于点 ，P PH ⊥x 轴H PE x G 设点 的坐标为，点 的坐标为 ，A (a,1a)P (b,kb)则 ，，AE =a OE =1a ,PH =−kb四边形 是平行四边形，∵AEGO ，，∴∠EAO =∠EGO AE =OG ，∵∠EGO =∠PGH ，∴∠EAO =∠PGH 又 ，∵∠PHG =∠AEO ，∴△AEO ∽△GHP，∴AEGH =EOPH，∵GH =OH−OG =−b−a，∴a −b−a=1a−kb，∴(b a )2+ba−k =0解得，b a=−1±1+4k2， 异号，，∵a b k >0 ，∴ba =−1−1+4k2 ，∴S △POE =12×OE ×(−b )=12×1a ×(−b )=−12×ba =1+1+4k4对于确定的实数，动点在运动过程中，的面积不会发生变化．∴k A △POE。

《一次函数和反比比例函数》综合题1、（2015•四川攀枝花）如图，已知一次函数y1=k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y2=的图象分别交于C、D两点，点D（2，﹣3），点B是线段AD的中点．（1）求一次函数y1=k1x+b与反比例函数y2=解析式；（2）求△COD的面积；（3）直接写出y1＞y2时自变量x的取值范围．解答：解：∵点D（2，﹣3）在反比例函数y2=的图象上，∴k2=2×（﹣3）=﹣6，∴y2=﹣；作DE⊥x轴于E，∵D（2，﹣3），点B是线段AD的中点，∴A（﹣2，0），∵A（﹣2，0），D（2，﹣3）在y1=k1x+b的图象上，∴，解得k1=﹣，b=﹣，∴y1=﹣x﹣；（2）由，解得，，∴C（﹣4，），∴S△COD=S△AOC+S△AOD=×+×2×3=；（3）当x＜﹣4或0＜x＜2时，y1＞y2．2、（2015•四川遂宁）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象交于A（1，4），B（4，n）两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）求一次函数的解析式；（3）点P是x轴上的一动点，试确定点P并求出它的坐标，使PA+PB最小．解答：解：（1）把A（1，4）代入y=得：m=4，∴反比例函数的解析式为：y=；（2）把B（4，n）代入y=得：n=1，∴B（4，1），把A（1，4），B（4，1）代入y=kx+b得，∴，∴一次函数的解析式为：y=﹣x+5；（3）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于P，则AB′的长度就是PA+PB的最小值，由作图知，B′（4，﹣1），∴直线AB′的解析式为：y=﹣x+，当y=0时，x=，∴P（，0）．3、（2015•山东德州）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线OB，AC相交于点D，且BE∥AC，AE∥OB，（1）求证：四边形AEBD是菱形；（2）如果OA=3，OC=2，求出经过点E的反比例函数解析式．解答：（1）证明：∵BE∥AC，AE∥OB，∴四边形AEBD是平行四边形，∵四边形OABC是矩形，∴DA=AC，DB=OB，AC=OB，AB=OC=2，∴DA=DB，∴四边形AEBD是菱形；（2）解：连接DE，交AB于F，如图所示：∵四边形AEBD是菱形，∴AB与DE互相垂直平分，∵OA=3，OC=2，∴EF=DF=OA=，AF=AB=1，3+=，∴点E坐标为：（，1），设经过点E的反比例函数解析式为：y=，把点E（，1）代入得：k=，∴经过点E的反比例函数解析式为：y=．点评：本题是反比例函数综合题目，考查了平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的性质、坐标与图形特征以及反比例函数解析式的求法；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要作辅助线求出点E的坐标才能得出结果．4、（2015•山东泰安）一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象相交于A（﹣1，4），B（2，n）两点，直线AB交x轴于点D．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）过点B作BC⊥y轴，垂足为C，连接AC交x轴于点E，求△AED的面积S．解答：解：（1）把A（﹣1，4）代入反比例函数y=得，m=﹣1×4=﹣4，所以反比例函数的解析式为y=﹣；把B（2，n）代入y=﹣得，2n=﹣4，解得n=﹣2，所以B点坐标为（2，﹣2），把A（﹣1，4）和B（2，﹣2）代入一次函数y=kx+b得，，解得，所以一次函数的解析式为y=﹣2x+2；（2）∵BC⊥y轴，垂足为C，B（2，﹣2），∴C点坐标为（0，﹣2）．设直线AC的解析式为y=px+q，∵A（﹣1，4），C（0，﹣2），∴，解，∴直线AC的解析式为y=﹣6x﹣2，当y=0时，﹣6x﹣2=0，解答x=﹣，∴E点坐标为（﹣，0），∵直线AB的解析式为y=﹣2x+2，∴直线AB与x轴交点D的坐标为（1，0），∴DE=1﹣（﹣）=，∴△AED的面积S=××4=．5、（2015•东营）如图是函数y=与函数y=在第一象限内的图象，点P是y=的图象上一动点，PA⊥x轴于点A，交y=的图象于点C，PB⊥y轴于点B，交y=的图象于点D．（1）求证：D是BP的中点；（2）求四边形ODPC的面积．解答： （1）证明：∵点P 在函数y=上，∴设P 点坐标为（，m ）．∵点D 在函数y=上，BP ∥x 轴，∴设点D 坐标为（，m ），由题意，得BD=，BP==2BD ，∴D 是BP 的中点．（2）解：S 四边形OAPB =•m=6，设C 点坐标为（x ，），D 点坐标为（，y ），S △OBD =•y •=，S △OAC =•x •=， S 四边形OCPD =S 四边形PBOA ﹣S △OBD ﹣S △OAC =6﹣﹣=3．6、（2015年浙江舟）如图，直线2y x =与反比例函数()0,>0k y k x x =≠ 的图象交于点A （1，a ），B 是反比例函数图象上一点，直线OB 与x 轴的夹角为α，1tan 2α=. （1）求k 的值；（2）求点B 的坐标；（3）设点P （m ，0），使△PAB 的面积为2，求m 的值.【答案】解：（1）∵直线2y x =与反比例函数()0,>0k y k x x=≠ 的图象交于点A （1，a ）， ∴21a k a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得22a k =⎧⎨=⎩. ∴2k =.（2）如答图1，过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，∵点B 在反比例函数2y x=的图象上， ∴可设点B 的坐标为2,b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即2,OC b BC b == . ∵1tan 2α=，即12BC OC =，∴212b b =，解得1b =±. 又∵>0b ，∴1b =. ∴点B 的坐标为()2, 1.（3）如答图2，设所在直线AB 与x 轴交于点D ，∵A （1，2），B ()2, 1，∴()3,3,0AB y x D =-+ .∵P （m ，0），2PAB S ∆=，且PAB PAD PBD S S S ∆∆∆=-， ∴()()113231222m m ⋅-⋅-⋅-⋅=， 得7m =. 7、（2015•宜昌）如图，已知点A （4，0），B （0，4），把一个直角三角尺DEF 放在△OAB 内，使其斜边FD 在线段AB 上，三角尺可沿着线段AB 上下滑动．其中∠EFD=30°，ED=2，点G 为边FD 的中点．（1）求直线AB的解析式；（2）如图1，当点D与点A重合时，求经过点G的反比例函数y=（k≠0）的解析式；（3）在三角尺滑动的过程中，经过点G的反比例函数的图象能否同时经过点F？如果能，求出此时反比例函数的解析式；如果不能，说明理由．解答：解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，∵A（4，0），B（0，4），∴，解得：，∴直线AB的解析式为：y=﹣x+4；（2）∵在Rt△DEF中，∠EFD=30°，ED=2，∴EF=2，DF=4，∵点D与点A重合，∴D（4，0），∴F（2，2），∴G（3，），∵反比例函数y=经过点G，∴k=3，∴反比例函数的解析式为：y=；（3）经过点G的反比例函数的图象能同时经过点F；理由如下：∵点F在直线AB上，∴设F（t，﹣t+4），又∵ED=2，∴D（t+2，﹣t+2），∵点G为边FD的中点．∴G（t+1，﹣t+3），若过点G的反比例函数的图象也经过点F，设解析式为y=，则，整理得：（﹣t+3）（t+1）=（﹣t+4）t，解得：t=，∴m=，∴经过点G的反比例函数的图象能同时经过点F，这个反比例函数解析式为：y=．8、（2015•江苏镇江）如图，点M（﹣3，m）是一次函数y=x+1与反比例函数y=（k≠0）的图象的一个交点．（1）求反比例函数表达式；（2）点P是x轴正半轴上的一个动点，设OP=a（a≠2），过点P作垂直于x轴的直线，分别交一次函数，反比例函数的图象于点A，B，过OP的中点Q作x轴的垂线，交反比例函数的图象于点C，△ABC′与△ABC关于直线AB对称．①当a=4时，求△ABC′的面积；②当a的值为3时，△AMC与△AMC′的面积相等．解答：解：（1）把M（﹣3，m）代入y=x+1，则m=﹣2．将（﹣3，﹣2）代入y=，得k=6，则反比例函数解析式是：y=；（2）①连接CC′交AB于点D．则AB垂直平分CC′．当a=4时，A（4，5），B（4，1.5），则AB=3.5．∵点Q为OP的中点，∴Q（2，0），∴C（2，3），则D（4，3），∴CD=2，∴S△ABC=AB•CD=×3.5×2=3.5，则S△ABC′=3.5；②∵△AMC与△AMC′的面积相等，∴=，解得a=3．9、（2015•甘肃天水）如图，点A（m，6）、B（n，1）在反比例函数图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC=5．（1）求m、n的值并写出该反比例函数的解析式．（2）点E在线段CD上，S△ABE=10，求点E的坐标．解答：解：（1）由题意得：，解得：，∴A（1，6），B（6，1），设反比例函数解析式为y=，将A（1，6）代入得：k=6，则反比例解析式为y=；（2）设E（x，0），则DE=x﹣1，CE=6﹣x，∵AD⊥x轴，BC⊥x轴，∴∠ADE=∠BCE=90°，连接AE，BE，则S△ABE=S四边形ABCD﹣S△ADE﹣S△BCE=（BC+AD）•DC﹣DE•AD﹣CE•BC=×（1+6）×5﹣（x﹣1）×6﹣（6﹣x）×1=﹣x=10，解得：x=3，则E（3，0）．10、（2015·湖北省咸宁市）如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线在x轴下方的部分沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的“V形折线”）．（1）类比研究函数图象的方法，请列举新函数的两条性质，并求新函数的解析式；（2）如图2，双曲线y=与新函数的图象交于点C（1，a），点D是线段AC上一动点（不包括端点），过点D作x轴的平行线，与新函数图象交于另一点E，与双曲线交于点P．①试求△PAD的面积的最大值；②探索：在点D运动的过程中，四边形PAEC能否为平行四边形？若能，求出此时点D的坐标；若不能，请说明理由．解：（1）如图1，均是正整数新函数的两条性质：①函数的最小值为0；②函数图象的对称轴为直线x=﹣3；由题意得A点坐标为（﹣3，0）．分两种情况：①x≥﹣3时，显然y=x+3；②当x＜﹣3时，设其解析式为y=kx+b．在直线y=x+3中，当x=﹣4时，y=﹣1，则点（﹣4，﹣1）关于x轴的对称点为（﹣4，1）．把（﹣4，1），（﹣3，0）代入y=kx+b，得，解得，∴y=﹣x﹣3．综上所述，新函数的解析式为y=；（2）如图2，①∵点C（1，a）在直线y=x+3上，∴a=1+3=4．∵点C（1，4）在双曲线y=上，∴k=1×4=4，y=．∵点D是线段AC上一动点（不包括端点），∴可设点D的坐标为（m，m+3），且﹣3＜m＜1．∵DP∥x轴，且点P在双曲线上，∴P（，m+3），∴PD=﹣m，∴△PAD的面积为S=（﹣m）×（m+3）=﹣m2﹣m+2=﹣（m+）2+，∵a=﹣＜0，∴当m=﹣时，S有最大值，为，又∵﹣3＜﹣＜1，∴△PAD的面积的最大值为；②在点D运动的过程中，四边形PAEC不能为平行四边形．理由如下：当点D为AC的中点时，其坐标为（﹣1，2），此时P点的坐标为（2，2），E点的坐标为（﹣5，2），∵DP=3，DE=4，∴EP与AC不能互相平分，∴四边形PAEC不能为平行四边形．。

《一次函数和反比例函数》中考题1、已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 轴交于点A (－2，0)，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B （2，n ），连结BO ，若.（1）求该反比例函数的解析式和直线AB 的解析式；（2）若直线AB 与y 轴的交点为C ，求△OCB 的面积.【思路分析】（1）先由A （﹣2，0），得OA=2，点B （2，n ），S △AOB =4，得OA •n=4，n=4，则点B 的坐标是（2，4），把点B （2，4）代入反比例函数的解析式为y=，可得反比例函数的解析式为：y=；再把A （﹣2，0）、B （2，4）代入直线AB 的解析式为y=kx+b 可得直线AB 的解析式为y=x+2．（2）把x=0代入直线AB 的解析式y=x+2得y=2，即OC=2，可得S △OCB =OC×2=×2×2=2．【解】（1）由A (－2，0)，得OA =2.∵点B （2，n ）在第一象限内，4=AOB S △.∴OA ×n=4，∴n=4. ∴点B 的坐标为（2，4）………………（2分）设反比例函数的解析式为y=x8(a ≠0) 将点B 的坐标代入，得4=2a ，∴a=8. ∴反比例函数的解析式为y=x 8………………（4分） 设直线AB 的解析式为y=kx+b(k ≠0)将点A 、B 的坐标分别代入，得 解得⎩⎨⎧==.2,1b k ∴直线AB 的解析式为y=x+2. ………………（6分）(2)在y=x+2中，；令x =0，得y=2.4=AOB S△21⎩⎨⎧=+=+-.42,02b k b k∴点C 的坐标是（0,2），∴OC =2. ∴2222121=⨯⨯=⨯=B OCB x OC S △.………………（10分） 2、如图11，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，正方形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，点B 的坐标为（2,2），反比例函数xk y =（x ＞0，k ≠0）的图像经过线段BC 的中点D . （1）求k 的值；（2）若点P(x,y)在该反比例函数的图像上运动（不与点D 重合），过点P 作PR ⊥y 轴于点R,作PQ ⊥BC 所在直线于点Q ，记四边形CQPR 的面积为S ，求S 关于x 的解析式并写出x 的取值范围.【思路分析】对于（1），根据题中已知条件求出D 的坐标，进而求出k 的值；对于（2），需要先分别画出图形，将根据题中的条件求得解析式．【解】（1）依题意知点B 的坐标为（2,2），得CB 的长为2，且D 点纵坐标为2，又因为D 为BC 的中点，∴D 点的坐标为（1,2），代入y ＝xk y =解得k ＝2． （2）分点P 在点D 的下方和上方，即x ＞1和0＜x ＜1两种情况讨论；（ⅰ）如答案图1，依题意得，点P 的坐标为（x ，x 2），所以PR=x ，PQ=2－x2， 所以，S=PR ·PQ= x （2－）=2x －2.x2（ⅱ）如答案图2，依题意得，点P 的坐标为（x ，x 2），所以PR=x ，PQ=x2－2， 所以，S=PR ·PQ= x （－2）=2－2x ， 综上，22;(1)22(01)x x S x x -⎧⎨-⎩＞；＜＜ ∴PC ＝2，∴P 1（－1,0），P 2（3,0）．S △PAB ＝12×PC ×4＝4， 3、已知，在平面直角坐标系xOy 中，点A 在x 轴负半轴上，点B 在y 轴正半轴上，OA=OB ，函数y=的图象与线段AB 交于M 点，且AM=BM ．（1）求点M 的坐标；（2）求直线AB 的解析式．x2∵AM=BM，∴点M为AB的中点，∵MC⊥x轴，MD⊥y轴，∴MC∥OB，MD∥OA，∴点C和点D分别为OA与OB的中点，∴MC=MD，则点M的坐标可以表示为（﹣a，a），把M（﹣a，a）代入函数y=中，解得a=2，则点M的坐标为（﹣2，2）；（2）∵则点M的坐标为（﹣2，2），∴MC=2，MD=2，∴OA=OB=2MC=4，∴A（﹣4，0），B（0，4），设直线AB的解析式为y=kx+b，把点A（﹣4，0）和B（0，4）分别代入y=kx+b中得，解得：．则直线AB的解析式为y=x+4．4、如图，矩形OABC 的顶点,A C 分别在x 轴和轴上，点B 的坐标为(2,3)。

中考数学总复习《一次函数与反比例函数图象综合判断》专项提升练习题（附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．一次函数y x m =-+与反比例函数k y x=的图像交于A ，B 两点，点A 的坐标为(1,2)．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)求AOB 的面积；(3)直接写出关于x 的不等式k x m x≤-+的解集．2．如图：等腰直角ABC 放置在直角坐标系中90BAC ∠=︒，AB AC =点A 在x 轴上，点B 的坐标是()0,3，点C 在第一象限内，作CD x ⊥轴．(1)求证：AOB CDA △≌△；(2)若点C 恰好在曲线10y x =上，求点C 的坐标求AOB的面积．45．(1)求反比例函数与一次函数关系式；(2)点D 是线段AC 上一点，且45AOD ∠=，求出D 点坐标；(3)在（2）的条件下，在x 轴上找一点P ，使ODP 的面积与AOD △的面积相等，直接写出点P 的坐标．5．如图点()1A n ，在函数11k y x=（1k 是常数10k ≠，0x >）的图象上，将点A 先向下平移4个单位，再向右平移2个单位，得点B ，点B 恰好落在函数1y 的图象上．(1)求函数1y 的解析式；(2)连接OA ，OB ，AB ，求OAB 的面积；(3)一次函数22y k x b =+（2k ，b 是常数，20k ≠）经过A ，B 两点，直接写出12y y <时，x 的取值范围．，若将BOC沿OB(1)若ABD △的面积为4，求点B 的坐标；(2)求证：DC AB ∥；(3)当AD BC =时，求直线AB 的函数解析式．8．如图1，一次函数112y x =+的图象分别与x 轴，y 轴交于点A ，C 与反比例函数(0)m y x x=>的图象交于点P ，已知点P 的纵坐标为4，PB x ⊥轴，垂足为点B ．(1)求m 的值；(2)点Q 是函数(0)m y x x=>图象上点P 左侧一点，且BPQ 的面积为6，求点Q 的坐标； (3)如图2，点M 是函数(0)m y x x =>图象上点P 右侧的一个动点，过点M 作MD AP ⊥于点D ，若45PMD ∠=︒，求点M 的坐标．，AOP的面积等于(1)求反比例函数的表达式；(2)利用图像，求当30x -<<时，y 的取值范围．11．如图，在平面直角坐标系中，直线334y x =+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，与双曲线k y x=在第一象限交于点C ，且3AB BC =．(1)求k 的值．(2)D 是x 轴上的一个动点，线段CD 与双曲线交于点E ，连接AE ，当AE 平分ACD 的面积时 ①求点D 的坐标；①求四边形BODC 的面积．x，求DEC的面积；为直线AB上一动点，是否存在一点为顶点的三角形与AOB相似，若存在，的坐标，若不存在，请说明理由．，BDE面积为(1)求反比例函数关系式；(2)点M是x轴上一点，当以点M、D、E为顶点的MDE的周长最小时，求出M点的坐标；(3)P是线段AB边上的点．是否存在点P，以B、C、P为顶点的三角形与BDE相似？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数12y x b=-+与反比例函数kyx=交于第一象限内A，()6,1B两点（B在A右侧），分别交x轴，y轴于C，D两点．(1)求k和b的值；(2)求点A的坐标；(3)在y轴上是否存在一点P，使以A，D，P为顶点的三角形与CDO相似？若存在，求出点P的坐标．若不存在，请说明理由．参考答案：第 11 页 共 12 页 4．(1)反比例函数的解析式为6y x=-，一次函数关系式为5y x =-+ (2)2535,1212D ⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)37,07⎛⎫ ⎪⎝⎭ 37,07⎛⎫- ⎪⎝⎭ 5．(1)16y x=(2)8 (3)13x <<6．(1)43y x= (2，23)） (2)234+7．(1)43,3⎛⎫ ⎪⎝⎭(2))26y x =-+或5y x =-+ 8．(1)24(2)点Q 坐标为(3,8)(3)(12,2)M9．(1)13y x =-+ 22y x= (2)32 (3)()37,37P +-或()37,37P -+ 10．(1)()60y x x=-<； (2)2y >11．(1)163k = (2)①点D 的坐标是()4,0；①四边形BODC 的面积为10 12．(1)12(2)存在，综上：41255P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，或()40P ， 13．(1)8y x =第12页共12页。

反比例函数与一次函数综合复习课学习目标: 能够应用一次函数与反比例函数的图象与性质分析解决一次函数与反比例函数的综合题。

重点：熟练应用一次函数与反比例函数的图象与性质进行解题 难点：进一步利用数形结合的思想方法进行解题一、知识回顾 1．若反比例函数x k y =与一次函数y ＝3x ＋b 都经过点(1，4)，则kb ＝________． 2．反比例函数xy 6-=的图象一定经过点(－2，________)．3．若点A (7，y 1)，B (5，y 2)在双曲线xy 3-=上，则y 1、y 2中较小的是________．4．如图，反比例函数的图象在第一象限内经过点A ，过点A 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别P 、Q ，若矩形APOQ 的面积为8，则这个反比例函数的解析式为________． 二、学习新知：1.如图，已知A(n ，-2)，B(1，4)是一次函数y=kx+b 的图象和反比例函数y=xm 的图象的两个交点，直线AB 与y 轴交于点C ．(1)求反比例函数和一次函数的关系式； (2)求△AOC 的面积； (3)求不等式kx+b-xm <0的解集(直接写出答案)．第4题2．已知：如图，一次函数的图像经过第一、二、三象限，且与反比例函数的图像交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D ．OB ＝10，tan ∠DOB ＝31． （1）求反比例函数的解析式：（2）设点A 的横坐标为m ，△ABO 的面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围； （3）当△OCD 的面积等于2S 时，试判断过A 、B 两点的抛物线在x 轴上截得的线段能否等于3．如果能，求此时抛物线的解析式；如果不能，请说明理由． 解：（1）过点B 作BH ⊥x 轴于点H ． ………1分 在Rt △OHB 中， HO ＝3BH ． ………………2分由勾股定理，得 BH 2＋HO 2＝OB 2． 又∵ OB ＝10．∴ BH 2＋（3BH ）2＝（10）2． ∵ BH ＞0， ∴ BH ＝1，HO ＝3． ∴ 点B （－3，－1）． ………………………3分 设反比例函数的解析式为xk y 1=（k ≠0）．∵ 点B 在反比例函数的图象上， ∴ 反比例函数的解析式为xy 3=． ……4分（2）设直线AB 的解析式为y ＝k 2x ＋b （k ≠0）． 由点A 在第一象限，得m ＞0． 又由点A 在函数xy 3=的图像上，可求得点A 的纵坐标为m3．∵ 点B （－3，－1），点A （m ，m3），∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-．，m b mk b k 31322 解关于k 2、b 的方程组，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==．，m m b mk 312 ∴ 直线AB 的解析式为 mm x my -+=31． ………………………5分令 y ＝0， 求得点D 的横坐标为 x ＝m －3． 过点A 作A G ⊥x 轴于点 G ． S ＝S △BDO ＋S △ADO ＝21DO ·BH ＋21DO ·G A ＝21DO （BH ＋G A ）＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-m m 31321． 由已知，直线经过第一、三、四象限， ∴ b ＞0时，即03>-mm ．∵ m ＞0， ∴ 3－m ＞0．由此得 0＜m ＜3． ………………………6分 ∴ S ＝21（3－m ）（1＋m3）． 即 S ＝mm 292-（0＜m ＜3） ………7分（3）过A 、B 两点的抛物点线在x 轴上截得的线段长不能等于3． 证明如下： S △OCD ＝21DO ·OC ＝21︱m －3︱·mm -3＝()mm 232-．由 S △OCD ＝2S ， 得()mm mm 29212322-⋅=-． 解得 m 1＝1，m 2＝3．经检验，m 1＝1，m 2＝3都是这个方程的根． ∵ 0＜m ＜3，∴ m ＝3不合题意，舍去， ∴ A （1，3）． ……………………………8分 设过A （1，3）、B （－3，－1）两点的抛物线的解析式y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）．∴ ⎩⎨⎧-=+-=++．，1393c b a c b a 由此得⎩⎨⎧-=+=．，a c a b 3221即 y ＝ax 2＋（1+2a ）x+2－3a ． …………………………………9分 设抛物线与x 轴两交点的横坐标为x 1，x 2． 则 x 1＋x 2＝aa 21+-，x 1·x 2＝aa 32-． 令 ︱x 1－x 2︱＝3．则 （x 1－x 2）－4x 1x 2＝9． 即 9324212=-⋅-⎪⎭⎫⎝⎛+-a a a a ． 整理，得 7a 2－4a ＋1＝0． ∵ Δ＝（－4）2－4×7×1＝－12＜0， ∴ 方程7a 2－4a ＋1＝0无实数根．因此过A 、B 两点的抛物线在x 轴上截得的线段长不能等于3． ………………10分三、巩固知识中考宝典P40-41 18、19题 四、感受中考20．（本题满分9分）（2009年）如图，已知反比例函数y ＝ mx的图象经过点A (－1，3)，一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点A 和点C (0，4），且与反比例函数的图象相交于另一点B ． (1)求这两个函数的解析式； (2)求点B 的坐标． 23、（本题满分9分）（2008年）如图所示，一次函数y x m =+和反比例函数1(1)m y m x+=≠-的图象在第一象限内的交点为(,3)P a ．⑴求a 的值及这两个函数的解析式；⑵根据图象，直接写出在第一象限内，使反 比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围．20．（本题满分8分）（2010年） 已知点P （1，2）在反比例函数y =xk (0≠k )的图象上．（1）当x 2-=时，求y 的值；（2）当1＜x ＜4时，求y 的取值范围．(,3)P aOxy（2011年）20、如图所示，反比例函数y=的图象与一次函数y=kx-3的图象在第一象限内相交于点A （4，m ）． （1）求m 的值及一次函数的解析式；（2）若直线x=2与反比例和一次函数的图象分别交于点B 、C ，求线段BC 的长． 五、今年中考预测与以往类同，都是利用交点坐标解题 六、课后练习1．若正比例函数x k y 1=的图象与反比例函数xk y 2=的图象相交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为（32,3），则k 1k 2=____________． 2、已知反比例函数k y x=的图象与直线y =2x 和y =x +1的图象过同一点，则k = ．3、如图，是一次函数y=kx+b 与反比例函数y=2x的图象，则关于x 的方程kx+b=2x的解为( )A ．x l =1，x 2= 2 ；B ．x l = -2，x 2= -1 ；C ．x l =1，x 2= -2D ．x l =2，x 2= -1 4、 如图，一次函数与反比例函数的图像相交于A 、B 两点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x 的取值范围是（ ）．A ．x ＜－1B ．x ＞2C ．－1＜x ＜0，或x ＞2D ．x ＜－1，或0＜x ＜2 5、已知120k k <<，则函数1y k x =和2k y x=的图象大致是（ ）6、.已知关于x 的一次函数y ＝－2x ＋m 和反比例函数xn y 1+=的图象都经过A (－2，1)，则m ＝__，n ＝___．7、.直线y ＝2x 与双曲线xy 8=有一交点(2，4)，则它们的另一交点为________．8、已知y ＝(a －1)x a 是反比例函数，则它的图象在( )． (A)第一、三象限 (B)第二、四象限 (C)第一、二象限 (D)第三、四象限9、观察函数xy 2-=的图象，当x ＝2时，y ＝________；当x ＜2时，y 的取值范围是________；当y ≥－1时，x 的取值范围是________． 10、.函数xy 2=在第一象限内的图象如图所示，在同一直角坐标系中，将直线y ＝－x ＋1沿y 轴向上平移2个单位，所得直线与函数xy 2=的图象的交点共有________个．11、如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数xm y =的图象相交于A 、B 两点，(1)利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式；(2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围．xxxx）（D ）第4题12、已知一次函数x y 2=的图象与反比例函数xk y =的图象交于M 、N 两点，且52=MN ．（l ）求反比例函数的解析式；（2）若抛物线c bx ax y ++=2经过M 、N 两点，证明：这条抛物线与x 轴一定有两个交点； （3）设（2）中的抛物线与x 轴的两个交点为A 、B （点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，连结AC 、BC.若3tan tan =∠+∠CBA CAB ，求抛物线的解析式．。

反比例函数与一次函数的综合题例1. 已知正比例函数y kx =与反比例函数y x=3的图象都过A m ()，1，求此正比例函数的解析式及另一个交点的坐标。

例2. 如图1所示，一次函数与反比例函数的图象分别是直线AB 和双曲线。

直线AB 与双曲线的一个交点为C ，CD 垂直x 轴于点D ，OD OB OA ===244。

求一次函数和反比例函数的解析式。

图1例4. 有一个Rt △ABC ，∠A=90°，∠B=60°，AC AB ==31，。

将它放在直角坐标系中，使斜边BC 在x 轴上，直角顶点A 在反比例函数y x=3的图象上，求点C 的坐标。

例3. 如图2所示，反比例函数y kx=的图象经过点()A b -3，，过点A 作AB 垂直x 轴于点B ，△AOB 的面积为3。

（1）求k 和b 的值；（2）若一次函数y ax =+1的图象经过点A ，并且与x 轴相交于点M ，求AB ：OM 的值。

图2例5 如图5所示，反比例函数y x=-8与一次函数y x =-+2的图象交于A 、B 两点。

（1）求A 、B 两点的坐标；（2）求△AOB 的面积。

反比例函数与一次函数的综合题答案例1 解：因y x =3图象过A m ()，1，即13=m，故m =3，即A （3，1） 将A （3，1）代入y kx =，得k =13 所以正比例函数解析式为y x =13联立方程组得y x y xx y x y ==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪==⎧⎨⎩=-=-⎧⎨⎩31331311122，解得或 ∴另一交点坐标为（--31，）例2 解：由已知OD OB OA ===244，得()()()A B D 012040，、，、，--- 设一次函数解析式为y kx b =+ 点A 、B 在一次函数图象上∴，即b k b k b =--+=⎧⎨⎩=-=-⎧⎨⎪⎩⎪120121则一次函数解析式是y x =--121 点C 在一次函数图象上 当x =-4时，y=1，即C()-41， 设反比例函数解析式为y m x =，点C 在反比例函数图象上 则14=-m，得m =-4故反比例函数解析式是y x=-4例3 解：（1）∵AB ⊥BO ，A 点坐标为()-3，b∴·即·∴又∵点在双曲线上∴△S AB BO b b A y k xk AOB ==-====⨯-=-123123322323||()（2）∵点A 在直线y ax =+1上 ∴231=-+a ∴a =-33∴y x =-+331 当y=0时，x =3 所以M 点的坐标为()30， ∴：：AB OM =23例4 解：本题共有4种情况。