余式定理因式定理

１§餘式定理與因式定理1.餘式定理：多項式)(x f 除以α-x 之餘式為)(αf ，推論：多項式)(x f 除以b ax -之餘式)(ab f 。

2.因式、倍式：設)(),(x g x f 為兩多項式，且0)(≠x g ，若存在)(x q 使得)()()(x q x g x f ⋅=，則稱)(x f 為)(x g 的倍式，)(x g 為)(x f 的因式。

3.因式定理：設R b a ∈,，0≠a ，)(x f 為一多項式，則b ax -為)(x f 的因式⇔0(=ab f 。

4.恆等式：0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- ；若有相異的121,,,,+n n αααα 使得 0)()()()(121=====+n n f f f f αααα ，則0)(=x f1.設deg f (x) = 3，f (2) =f (-1) =f (4) = 3，f (1) =- 9，則f (0) =。

【解答】- 13 【詳解】deg f (x) = 3，f (2) =f (-1) =f (4) = 3則f (x) - 3 =a (x - 2)(x + 1)(x - 4)，即f (x) =a (x - 2)(x + 1)(x - 4) + 3x = 1代入⇒f (1) =a ⨯ (-1) ⨯ 2 ⨯ (- 3) + 3 =- 9⇒ a =- 2得f (x) =- 2(x + 2)(x + 1)(x - 4) + 3故f (0) =- 2 ⨯ (- 2) ⨯ 1 ⨯ (- 4) + 3 =- 13隨堂練習.若三次多項式g (x)的g (- 1) =g (0) =g (2) = 0，g (1) = 4，試問(1) g (x) =。

(2)若多項式h (x) =x4-x2+ 1，則3 g(x) - 4h (x)被x - 1除的餘式為。

【解答】(1) - 2x (x + 1)(x - 2)(2) 8【詳解】(1)由g (- 1) =g (0) =g (2) = 0，deg g (x) = 3，可設g (x) =ax(x + 1)(x - 2)又g (1) =a ⨯ 2 ⨯ (-1) = 4⇒ a =- 2，故g (x) =- 2x (x + 1)(x - 2)(2)令F (x) = 3g (x) - 4h (x)則所求餘式為F (1) = 3g (1) - 4h(1) = 3 ⨯ 4 - 4 ⨯ (1 - 1 + 1) = 12 - 4 = 82.deg f (x) = 2且f (1998) = 1，f (1999) = 2，f (2000) = 7，則f (2002) =。

餘式定理、因式定理除法原理：f (x)= g (x)⋅q(x) + r(x)，deg r(x)<deg g(x) 或r(x) = 0餘式定理：多項式f(x)除以x -a 的餘式等於f (a)。

有關f (a)的求值我們可以利用綜合除法得到。

餘式定理推廣：多項式f (x)除以ax+b 的餘式等於f (- b a)。

f (a)的雙重意義：(1)多項函數f(x)在x=a 的函數值。

(2) 多項式f (x)除以x -a 的餘式。

範例：二次式ax 2+bx -4以x +1除之，得餘式3，以x -1除之，得餘式1，若以x -2除之，所得的餘式為 。

解：f(x) = ax 2+bx -4，f(-1) =3且f(1) =1由此解得a 與b ，再求f(2)=18即為所得。

範例：試求115-4⋅114-72⋅113-56⋅112+15⋅11+7之值為 。

解： f(x) = x 5-4x 4-72x 3-56x 2+15x +7利用綜合除法求f(11) = 51範例：設二多項式f(x),g(x)以2x 2-3x -2除之，餘式分別為3x+2,-4x+7，則f(x)+g(x)以2x+1除之，其餘式為何？ Ans ：192解：f(x) = (2x 2-3x -2)× p(x) + (3x+2)g(x) = (2x 2-3x -2)× q(x) + (-4x+7)f(x)+g(x) = (2x 2-3x -2)(p(x)+q(x)) + (-x+9)= (2x+1)(x-2) (p(x)+q(x)) + (-x+9)F(x) = f(x)+g(x) , F(12-) = -(12-) +9 = 192範例：求多項式(x2+3x+2)3被x2+2x+3除之餘式為何？解：x2+3x+2 = (x2+2x+3) + (x-1)(x2+3x+2)3= ( (x2+2x+3) + (x-1) )3= (x2+2x+3)3+ 3(x2+2x+3)2(x-1) + 3 (x2+2x+3)(x-1)2+ (x-1)3求多項式(x2+3x+2)3被x2+2x+3除之餘式= 求多項式(x-1)3被x2+2x+3除之餘式= 10x+14範例：多項式f(x)以x2-3x-4，2x2-3x+1除之餘式各為4x-1，2x+7，試求f(x)以2x2-9x+4除之餘式為何？解：f(x) = (x2-3x-4) ×p(x) + 4x-1 = (x-4)(x+1) ×p(x) + 4x-1f(x) = (2x2-3x+1) ×q(x) + 2x+7 = (x-1)(2x-1) ×q(x) + 2x+7f(4) = 15 且f(12) =8f(x) = (2x2-9x+4) ×S(x) + ax +b = (x-4) (2x-1) ×S(x) + ax +b利用f(4) = 15 = 4a +b 及f(12) = 8 = 12a +b我們可解得a = 2，b =7，故f(x)以2x2-9x+4除之餘式為2x + 7範例：多項式f(x)以x(x-1)除之，餘式為-x+3，以x(x+1)除之餘式為-3x+3，則f(x) 除以x(x2-1)之餘式為何？解：f(x) = x(x-1) ×p(x) + (-x+3)f(x) = x(x+1) ×q(x) + (-3x+3)f(x) = x(x2-1) ×S(x) + ax2+ bx + c我們有f(0) = 3，f(1) = 2，f(-1)= 6分別代入f(x) = x(x2-1) ×S(x) + ax2+ bx + c。

因式定理和余式定理数学作为一门学科，有着悠久的历史，历经时代的变迁，发展至今。

其中，因式定理和余式定理都是数学史上非常重要的定理，被誉为“二定理”。

本文就因式定理和余式定理进行具体介绍，以加深我们对它们的了解。

因式定理，又称费马小定理，它的发现者是德国数学家孔因斯费马，他于1824年发明了该定理。

它的正式名称叫做“一个整数的N 次方等于一个循环的形式的定理”。

该定理定义为：对于给定的质数p和正整数a满足ap a mod p（其中，a≠0 mod p），若x是正整数，设X x mod p，则满足下列关系：ax X mod p说明，如果知道了一个质数p和一个满足ap a mod p（其中，a ≠0 mod p）的整数a，那么我们就可以通过X（即x mod p）来计算ax mod p的值，当X为非常大的时候，计算成本也会非常高，因式定理能够解决这一问题。

余式定理也是一种数学定理，它发现者是著名的法国拉格朗日，他在1750年发明了该定理。

它的正式名称叫做“关于自由变量的多项式的系数的定理”。

它的意思是，在多项式中系数的值可以由以下公式来计算：a_n=p^n%c_1*p^(n-1)%c_2*...*p^1%c_n*1%c_(n+1) 其中，P表示多项式的本原，c_1，c_2，…，c_n+1表示多项系数的值，a_n表示系数的值，n表示多项式的次数。

由费马小定理和拉格朗日余式定理可知，如果满足它们相应的条件，那么就能够计算出多项式中系数的值。

这对我们学习数学和计算机科学有着重要的意义。

它们能够为我们解决很多复杂的数学问题，为我们的学习和研究提供了强大的支持。

从上文中可以看出，因式定理和余式定理都是数学史上非常重要的定理，它们能够为我们解决很多复杂的数学问题，给我们带来极大的帮助。

这就是因式定理和余式定理的重要性。

综上所述，因式定理和余式定理在数学史上占有重要地位，它们能够解决很多复杂的数学问题，为我们的学习和研究提供了强大的支持。

余式定理与因式定理例1. (1)求242)(+--=x x x x f 除以1+x 之余式。

(2)设1537935699357)(2345+++--=x x x x x x f ，求)2(f 。

类1. 15)(24-++=bx ax x x f 以3-x ，1-x 除之，余式分别为45，-15求以1+x 除之，余式为 。

类2. 求=-⨯-⨯+⨯-⨯-2001246012161258127123345。

类3. 以1+x 除5102610019992000++-+x x x x的余式为 。

类4. 设)(),(x g x f 均为多项式，)(x f 除以12-x 之余式为23+x ，)(x g 除以322-+x x 之余式为25+x ，则)()15()()3(2x g x x f x +++除以1-x 的余式为 。

类5. 已之3221)(x x x x f -+-=，且)2()1(+=+x f x g ，)2()(+=x g x h ，求)()(x xg x h +除以1+x 的余式。

Ans: 1. –19，2. 40，3. –12，4. 62，5. -8。

例2. (1)多项式)(x f 除以1-x ，2-x 之余式分别为5,7，求)(x f 除以)2)(1(--x x 之余式。

(2)多项式)(x f 除以2-x ，322++x x 之余式分别为5，65+x ，求)(x f 除以)32)(2(2++-x x x 之余式。

类1. 设多项式)(x f 以2-x 除之余3，以4+x 除之余-9，则以)4)(2(+-x x 除之余式为 。

类2. 设)(x f 为一多项式，0)deg(≥x ，若1-x ，2-x ，3-x 分别除之，余式为3，7，13，则)(x f 以)3)(2)(1(---x x x 除之余式为 。

类3. 多项式)(x f 除以2-x ，12++x x 之余式分别为10，1+x ，求)(x f 除以)1)(2(2++-x x x 之余式。

1.长除法：求多项式42(1)(1)x x x +++除以的余式.练习：(1)求多项式4322(352)(3)x x x x -+++除以的余式. (2)求多项式3(428)(21)x x x -+-除以的余式.2.综合除法：设多项式f (x )=1250x 6-2790x 5-3125x 4+707x 3+100x 2+45x -62，则f (3)=217练习：求115-4⋅114-72⋅113-56⋅112+15⋅11+7之值为 。

Ans ：51因式定理：设f(x)为一多项式，则x-α为f(x) 的因式⇔f(α)=0 .推广：ax-b为f(x)的因式⇔f( ba)=0一次因式检验定理：设f(x)=2x+3，g(x)=5x2-x+7，h(x)=f(x)⋅g(x)=10x3+13x2+11x+21，10x3是2x⋅5x2 来的，21是3⋅7来的，因此观察一次式2x+3|h(x)，而2|10，3|21，这个结果对于一般整系数的多项式也是成立，我们将它写成下面的定理：定理：设f(x)=a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0为一个整系数n次多项式，若整系数一次式ax-b是f(x)的因式，且a,b互质，则a|a n且b|a0。

注意：①一次因式检验定理的逆叙述不成立。

例如：f(x)=3x3+5x2+4x-2，f(-13)≠0。

②由此定理，可知若一次式cx-d中c不为a n的因子或d不为a0的因子的话，则cx-d必不为f(x)的因式。

故只有满足a|a n且b|a0的一次式ax-b才有可能成为f(x)的因式，因此我们只要从满足a|a n且b|a0这些ax-b去找一次因式就可以了。

例如：求整系数f(x)=3x3+5x2+4x-2的整系数一次因式。

根据一次因式检验定理，假设ax-b为f(x)的一次因式，则a|3且b|2。

我们将所有可能的ax-b组合x+1,x-1,x+2,x-2,3x+1,3x-1,3x+2,3x-2，再利用综合除法检验看看那一个是f(x)的因式⇒3x-1是f(x)的因式。

§4−2 餘式定理、因式定理(甲)餘式定理除法原理：f(x)=g(x)⋅q(x)+r(x)，deg r(x)<deg g(x)或r(x)=0餘式定理：多項式f(x)除以x−a的餘式等於f(a)。

證明：由多項式的除法原理得知，恰有兩多項式q(x)及r(r為常數多項式)滿足f(x)=(x−a)⋅q(x)+r，而此等式為恆等式，因此將x=a代入上式，得f(a)=(a−a)⋅q(a)+r = r。

推廣：多項式f(x)除以ax+b的餘式等於f(−b a)。

f(a)的雙重意義：!多項函數f(x)在x=a的函數值。

"多項式f(x)除以x−a的餘式。

[例題1] 求下列二小題：(1)求(x3+2x2−x−4)3除以x+3的餘式。

(2)設f(x)=1250x6-2790x5−3125x4+707x3+100x2+45x−62，則f(3)=？Ans：(1)−1000 (2)217[例題2] 二次式ax2+bx−4以x+1除之，得餘式3，以x−1除之，得餘式1，若以x−2除之，所得的餘式為。

Ans：18(練習1) 試求115−4⋅114−72⋅113−56⋅112+15⋅11+7之值為。

Ans：51(練習2) 設二多項式f(x),g(x)以2x2−3x−2除之，餘式分別為3x+2,−4x+7，則f(x)+g(x)以2x+1除之，其餘式為何？ Ans：19 2(練習3) f(x)=2x4+3x3+5x2−6，求2x−1除f(x−3)的餘式。

Ans：113 2Hint：可令g(x)=f(x−3)，再利用餘式定理。

[例題3] 試求下列各小題：(1)求多項式f(x)=x7−50x5+8x4−5x3−19x2+41x+6除以(x−1)(x−7)之餘式。

(2)設多項式f(x)不低於2次，以x−1除之餘2，以x+2除之餘−1，則以(x−1)(x+2)除f(x)的餘式為何？(3)設多項式f(x)不低於3次，以x−1除之餘3，以x+1除之餘1，以x−2除之餘−2，則求以(x−1)(x+1)(x−2)除f(x)的餘式。

初二数学竞赛培训专题:余式定理及因式定理的应用初二（ ）班 姓名： 学号： _一、知识要点：1、()x f 的意义：已知多项式()x f ,若把x 用c 带入所得到的值，即称为()x f 在x =c 的多项式值，用()c f 表示。

2、被除式、除式、商式、余式之间的关系:设多项式()x f 除以()x g 所得的商式为()x q ,余式为()x r ，则:()x f =()x g ×()x q +()x r3、余式定理：多项式)(x f 除以b x -之余式为)(b f ;多项式)(x f 除以b ax -之余式)(a bf 。

4、因式定理：设R b a ∈,，0≠a ，)(x f 为关于x 的多项式，则b x -为)(x f 的因式⇔0)(=b f ；b ax -为)(x f 的因式⇔0)(=a bf 。

二、余式定理应用：1、（1)已知132)(3-+=x x x f ， 求f (x ）除以)1(-x 、()12+x 所得的余式；（2)设f （x )=2x 2+kx +10除以2x –1余5,求k 的值；（3）以x 2–3x –4除多项式f (x ）与g （x ），分别得余式3x +2与–4x +7， 求以x –4除f （x )+g (x ）所得的余式。

2、设6302546)(2345-+---=x x x x x x f ,求f （7)。

3、计算：(1）2001246012161258127122345-⋅-⋅+⋅-⋅-；（2）7111511561172114112345+⋅+⋅-⋅-⋅-。

4、（1）)(x f 、()x g 都是多项式，已知221-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f ，2521=⎪⎭⎫ ⎝⎛-g ，则以12+x 除()()x g x f ⋅之余式是什么? （2）)(x f 除以12-x 之余式为23+x ，且)(x g 除以322-+x x 之余式为 25+x ，则1-x 除)()15()()3(2x g x x f x ⋅++⋅+的余式是什么?三、因式定理应用：1、设x –2为f （x ）=3x 3+x 2–kx +5的因式，试求k 的值。

高中数学多项式因式分解与余式定理分析在高中数学中，多项式因式分解与余式定理是一个重要的知识点。

它不仅在解题过程中起到关键作用，而且在数学的其他领域中也有广泛的应用。

本文将从多项式因式分解和余式定理两个方面进行详细的分析和说明，并通过具体的题目举例来说明考点和解题技巧。

一、多项式因式分解多项式因式分解是将一个多项式拆分成若干个乘积的形式，其中每个乘积都是低次多项式。

在解题过程中，我们常常会遇到需要将多项式因式分解的情况。

下面我们通过一个具体的例子来说明其中的考点和解题技巧。

例题1：将多项式$f(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12$进行因式分解。

解析：首先，我们观察多项式的系数，发现它并不是一个简单的多项式。

因此，我们可以尝试使用因式定理进行因式分解。

根据因式定理，如果一个多项式$f(x)$存在一个因式$x-a$，那么$f(a)=0$。

我们可以尝试将多项式$f(x)$带入因式定理中，令$f(x) = 0$，得到$x^3 - 3x^2 -4x + 12 = 0$。

通过试错法，我们可以发现$x=2$是方程的一个解。

因此，我们可以得到$(x-2)$是多项式$f(x)$的一个因式。

接下来，我们可以使用多项式除法将$f(x)$除以$(x-2)$，得到商式$q(x)$和余式$r(x)$。

通过计算，我们可以得到$f(x) = (x-2)(x^2-x-6)$。

最后，我们可以继续对$x^2-x-6$进行因式分解。

通过分解，我们可以得到$x^2-x-6 = (x-3)(x+2)$。

因此，原多项式$f(x)$可以完全分解为$f(x) = (x-2)(x-3)(x+2)$。

通过以上的例题分析，我们可以总结出多项式因式分解的一些解题技巧。

首先，我们可以尝试使用因式定理来寻找多项式的因式。

其次，我们可以使用多项式除法来进行因式分解的计算。

最后，我们可以通过分解低次多项式来得到多项式的完全分解。

二、余式定理余式定理是多项式除法的一个重要应用，它可以帮助我们在计算多项式除法时简化计算过程。