石群自动控制原理(第9章)

第9章习题及详解9-1 试分别写出图9-41中所列典型非线性特性的数学描述式。

（a ）（b ）（c ）（d ） （e ） 图9-41 习题9-1图解： (a)⎩⎨⎧<->=0,0,)(x M x M x f ；(b) ⎪⎩⎪⎨⎧-≤-=-<≥==d x kd M d x kx d x kd M x f ,,,)(； (c)⎪⎩⎪⎨⎧∆-<-∆<∆>=x M x x M x f ,,0,)(；(d)⎪⎩⎪⎨⎧∆-≤∆+∆<∆≥∆-=x x k x x x k x f ,)(,0,)()(； (e) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<-<<<-><<-->=dx M xd x d M xd x d M dx M x f ,0,,0,,,)( 或者（e ） 当0>x，⎩⎨⎧<->=d x M d x M x f ,,)(；当0<x ，⎩⎨⎧-<-->=,,,,)(d x M d x M x f9-2 试用解析法求下列系统相轨迹方程的解。

（1）122=+x x（2）0sin =-+x x x解：（1）相变量方程为⎩⎨⎧-==221x x x x0))0(())0((32))0((21)(32)(212)12(3322003020020020=---+-=-+=-+=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰x x x x x x dx x d x d dx dx x x d x dx x x d xt t t t t t t t相轨迹方程的解为)0(6)0(4)0(36433232x x x x x x-+=-+ （2）相变量方程为 ⎩⎨⎧-==x x x x xsin0))0((21))0(cos (cos ))0((21)(21)(cos )(21)(sin 22220200200=-----=--=-+⎰⎰⎰⎰⎰x x x x x x x d x d x d x dx x x x d x t t t tt相轨迹方程的解为)0()0(cos 2)0(cos 22222x x x x x x--=--9-3 考虑系统02=+x x ω，其中，1<ω，试用解析法求该系统的相平面图。

第九章 线性系统的状态空间分析与综合在第一章至第七章中，我们曾详细讲解了经典线性系统理论以及用其设计控制系统的方法。

可以看到，经典线性理论的数学基础是拉普拉斯变换和z 变换，系统的基本数学模型是线性定常高阶微分方程、线性常系数差分方程、传递函数和脉冲传递函数，主要的分析和综合方法是时域法、根轨迹法和频域法，分析的主要内容是系统运动的稳定性。

经典线性系统理论对于单输入-单输出线性定常系统的分析和综合是比较有效的，但其显著的缺点是只能揭示输入-输出间的外部特性，难以揭示系统内部的结构特性，也难以有效处理多输入-多输出系统。

在50年代蓬勃兴起的航天技术的推动下，在1960年前后开始了从经典控制理论到现代控制理论的过渡，其中一个重要标志就是卡尔曼系统地将状态空间概念引入到控制理论中来。

现代控制理论正是在引入状态和状态空间概念的基础上发展起来的。

在现代控制理论的发展中，线性系统理论首先得到研究和发展，已形成较为完整成熟的理论。

现代控制理论中的许多分支，如最优控制、最优估计与滤波、系统辨识、随机控制、自适应控制等，均以线性系统理论为基础；非线性系统理论、大系统理论等，也都不同程度地受到了线性系统理论的概念、方法和结果的影响和推动。

现代控制理论中的线性系统理论运用状态空间法描述输入-状态-输出诸变量间的因果关系，不但反映了系统的输入—输出外部特性，而且揭示了系统内部的结构特性，是一种既适用于单输入--单输出系统又适用于多输入—多输出系统，既可用于线性定常系统又可用于线性时变系统的有效分析和综合方法。

在线性系统理论中，根据所采用的数学工具及系统描述方法的不同，又出现了一些平行的分支，目前主要有线性系统的状态空间法、线性系统的几何理论、线性系统的代数理论、线性系统的多变量频域方法等。

由于状态空间法是线性系统理论中最重要和影响最广的分支，加之受篇幅限制，所以本章只介绍线性系统的状态空间法。

9-1 线性系统的状态空间描述1. 系统数学描述的两种基本类型这里所谓的系统是指由一些相互制约的部分构成的整体，它可能是一个由反馈闭合的整体，也可能是某一控制装置或受控对象。

第九章线性系统的状态空间分析与综合9-1 线性系统的状态空间描述9-2 线性系统的可控性与可观性9-3 线性定常系统的反馈结构及状态观测器9-4 李雅普诺夫稳定性分析9-5 控制系统状态空间设计9凯莱-哈密顿定理设n 阶矩阵A 的特征多项式：则A 满足其特征方程，即推论1 矩阵A 的次幂可表示为A 的n-1阶多项式：式中与A 阵的元素有关。

1110()n n n f I A a a a λλλλλ−−=−=++++ 1110()n n n f A A a A a A a I−−=++++ ()k k n ≥10 , n k mm m A A k n α−==≥∑m α9秩判据线性定常连续系统：其状态完全可控的充分必要条件是：其中，A 为n 维方阵；称为系统的可控性判别阵。

0()()(), (0), 0xt Ax t Bu t x x t =+=≥ 1n rank B AB A B n −⎡⎤=⎣⎦1 n S B AB A B −⎡⎤=⎣⎦9PBH 秩判据线性定常连续系统：其状态完全可控的充分必要条件是：式中，是矩阵A 的所有特征值。

另一种等价描述为：说明：因为这个判据是由波波夫(Popov ) 和贝尔维奇(Belevitch ) 首先提出，并由豪塔斯(Hautus ) 最先指出其可广泛应用性，故称为PBH 秩判据。

0()()(), (0), 0xt Ax t Bu t x x t =+=≥ (1,2,,)i i n λ= [] ; 1,2,,i rank I A B n i nλ−== [] ; rank sI A B n s C−=∀∈9对角线规范型判据线性定常连续系统：矩阵A 的特征值两两相异，变为对角线规范型：系统完全可控的充要条件不包含元素全为零的行12,,,n λλλ 12 0 0 n x x Bu λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 0()()(), (0), 0xt Ax t Bu t x x t =+=≥ B4. 输出可控性如果系统需要控制的是输出量，而不是状态，则需要研究系统的输出可控性。

石群简介：东北大学硕士，控制理论与控制工程专业；清华大学在读博士，控制科学与工程专业。

具备高校工作经验，讲授自动控制原理课程。

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第9章 习题参考答案9-1 设一阶非线性系统的微分方程为3x x x =-+试确定系统有几个平衡状态，分析各平衡状态的稳定性，并作出系统的相轨迹。

解 3x x x =-+由30x x -+=解得1230, 1, 1e e e x x x ===-。

作出系统的相轨迹图如下：平衡状态(0, 0)稳定，平衡状态(1, 0), (1, 0)-不稳定。

9-2 已知非线性系统的微分方程为(1) 320x x x ++= (2) 0x xx x ++= (3) 0x x x ++= (4) 2(1)0x x x x --+= 试确定系统的奇点及其类型，并概略绘制系统的相轨迹图。

解 (1) 奇点(0, 0)。

特征方程为2320λλ++=两个特征根为1,21, 2λ=--平衡点(0, 0)为稳定节点。

在奇点附近的概略相轨迹图：x(2) 奇点(0, 0)。

在平衡点(0, 0)的邻域内线性化，得到的线性化模型为0x x +=其特征方程为210λ+=两个特征根为1,2j λ=±平衡点(0, 0)为中心点。

在奇点附近的概略相轨迹图：x(3) 奇点(0, 0)。

原方程可改写为0000x x x x x x x x ++=≥⎧⎨+-=<⎩其特征方程、特征根和类型为21,221,2100.50.866 10 1.618, 0.618 j λλλλλλ⎧++==-±⎪⎨+-==-⎪⎩稳定焦点鞍点 在奇点附近的概略相轨迹图：(4) 奇点(0, 0)。

在平衡点(0, 0)的邻域内线性化，得到的线性化模型为x x x-+=其特征方程为210λλ-+=两个特征根为1,20.50.866jλ=±平衡点(0, 0)为不稳定焦点。

在奇点附近的概略相轨迹图：xx9-3 非线性系统的结构图如图9-48所示。

系统开始是静止的，输入信号r(t)＝4·1(t)，试写出开关线方程，确定奇点的位置和类型，在e-e平面上画出该系统的相平面图，并分析系统的运动特点。

石群自动控制原理石群自动控制原理是指利用石群的自动控制特性，通过控制系统对石群进行自动化管理和控制的原理。

石群自动控制在工业生产、交通运输、环境监测等领域有着广泛的应用，对提高生产效率、降低成本、保障安全具有重要意义。

首先，石群的自动控制是基于石群的特性和行为规律进行设计和实施的。

石群在自然环境中具有一定的集群行为和自组织特性，能够通过相互之间的作用和协调来实现集体行为。

这种特性为利用石群进行自动控制提供了基础。

通过对石群行为规律的研究和分析，可以发现其中的规律性和可控性，从而设计出相应的控制系统。

其次，石群自动控制原理涉及到传感器、执行器、控制器等多个方面的技术。

传感器用于感知石群的状态和环境信息，执行器用于对石群进行控制和调节，控制器用于对传感器获取的信息进行处理和决策。

这些技术的应用使得石群的自动控制成为可能，实现了对石群的精准监测和控制。

此外，石群自动控制原理还涉及到控制算法和系统设计等方面的内容。

控制算法是指利用数学和计算机技术对石群行为进行建模和仿真，从而实现对石群的控制和调节。

系统设计则是指根据石群的实际应用需求，设计出相应的控制系统结构和功能模块，实现对石群的自动化管理和控制。

总的来说，石群自动控制原理是一门涉及多学科知识和技术的综合性学科，其核心是利用石群的自动控制特性，通过传感器、执行器、控制器等技术手段，实现对石群的自动化管理和控制。

石群自动控制的发展将对工业生产、环境保护、交通运输等领域产生深远的影响，对提高生产效率、降低成本、保障安全具有重要意义。

随着科技的不断进步和应用范围的不断扩大，石群自动控制原理将会得到更广泛的应用和发展。