自控原理(08J-12)

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自控原理(08J-12)

根轨迹决定的响应模式：过阻尼、临界阻尼、欠阻尼
8
4.1-2
根轨迹方程（绘制根轨迹图的依据）
R(s)
+ _
G(s)
C(s)
H(s)
系统的开环传递函数：G ( s ) H ( s ) 系统的闭环传递函数：( s )
G( s) 1 G( s) H ( s)
系统的特征方程： 1 G( s ) H ( s ) 0
j 1
n
s pj
说明当 Kg = 0时，闭环极点就是开环极点，因此根轨迹始于各开环极点。
22
根轨迹终点条件: Kg = ∞ 当 Kg =∞时，闭环系统的特征方程式等效为
N ( s) ( s z i ) 0
i 1
m
s zi
可见，当 Kg=∞时，闭环极点就是开环有限零点。说明根轨迹的终点是开环传递函数的各个零点-zi 。
K 1 4 | 0.5 j 0.5 1|
得：
1 K 4
图3
18
4.2
4.2.1
根轨迹的绘制法则
绘制根轨迹的一般法则
根轨迹方程
19
绘制根轨迹的一般法则
1. 2. 3. 4． 5． 6. 7．根轨迹关于实轴对称根轨迹始于开环极点, 终于开环零点, 分支数为n. 实轴上的根轨迹分离点和会合点根轨迹的渐近线根轨迹的起始角与终止角（出射角与入射角）根轨迹与虚轴的交点
起始于开环极点：
(-1-j2), (-1+j2) 终止于开环零点：
(-2-j) ,(-2+j)
图4－12
37
3、确定起始角、终止角计算（如图所示）
图4－13
38

自控原理知识点总结同济

自控原理知识点总结同济1. 系统建模系统建模是自控原理中的重要内容，它是指将具体的控制对象抽象成数学模型的过程。

系统建模的目的是为了方便后续的分析和设计工作。

通常可以采用状态空间法或传递函数法对系统进行建模。

状态空间法适用于描述动态系统的动态响应，而传递函数法则适用于描述系统的输入输出关系。

系统建模的关键是确定系统的结构和参数，建立准确的系统模型是进行自控原理分析和设计的前提。

2. 传递函数传递函数是描述线性时不变系统的重要工具，它用来描述输入与输出之间的关系。

传递函数可以通过系统的微分方程求解得到，通常表示为H(s)，其中s为复频域变量。

传递函数包括零点和极点两个重要概念，零点是使传递函数为0的频率点，极点是使传递函数为无穷大的频率点。

传递函数的性质可以通过其零点和极点来分析，从而确定系统的稳定性和动态特性。

3. 稳定性分析系统的稳定性是自控原理中非常重要的概念，它是指系统在受到一定扰动后，是否能够回到平衡状态或者永远保持在某个状态下。

常见的稳定性分析方法包括极点位置判据、Nyquist稳定性判据、Routh-Hurwitz稳定性判据等。

极点位置判据通过判断传递函数的极点位置来确定系统的稳定性，Nyquist稳定性判据通过绘制系统的 Nyquist 图来判断系统的稳定性，Routh-Hurwitz稳定性判据通过构造判别式矩阵来判断系统的稳定性。

稳定性分析是自控原理中的基础，它为后续的控制器设计和系统优化提供了重要的依据。

4. 根轨迹法根轨迹法是自控原理中常用的一种分析和设计方法，它通过画出系统传递函数的极点轨迹图来分析系统的稳定性和动态特性。

根轨迹图中，极点的位置随着控制器参数的变化而变化，通过调节控制器参数可以使系统的极点达到期望的位置，从而实现对系统的控制。

根轨迹法是一种直观的分析方法，它可以有效地帮助工程师快速理解系统的动态特性，为控制系统的设计提供了重要的参考。

5. 频域分析频域分析是自控原理中用来分析系统动态特性的重要方法，它通过分析系统在频域下的响应特性来确定系统的稳定性和性能。

自控原理习题答案(陈铁牛版)

《自动控制原理》习题答案普通高等教育“十一五”国家级规划教材全国高等专科教育自动化类专业规划教材《自动控制原理》习题答案主编：陈铁牛机械工业出版社第一章习题答案1-11-21-3闭环控制系统主要由被控对象，给定装置，比较、放大装置，执行装置，测量和变送装置，校正装置等组成。

被控对象：指要进行控制的设备和过程。

给定装置：设定与被控量相对应给定量的装置。

比较、放大装置：对给定量与测量值进行运算，并将偏差量进行放大的装置。

执行装置：直接作用于控制对象的传动装置和调节机构。

测量和变送装置：检测被控量并进行转换用以和给定量比较的装置。

校正装置：用以改善原系统控制性能的装置。

题1-4 答：（图略）题1-5 答：该系统是随动系统。

（图略）题1-6 答：（图略）第二章习题答案题2-1 解：（1）F(s)=12s 1+-Ts T（2）F(s)=0.5)421(2+-s s（3）F(s)=428+⋅s e s sπ（4）F(s)=25)1(12+++s s（5）F(s)=32412ss s ++ 题2-2 解：(1) f(t)=1+cost+5sint (2) f(t)=e -4t(cost-4sint)(3) f(t)=t t t te e e 101091811811----- (4) f(t)= -tt t te e e ----+-3118195214(5) f(t)= -tt e e t 4181312123--+++题2-3 解：a)dtdu u C R dt du R R c c r 22111=++）（ b)r c c u CR dt du R R u C R dt du R R 1r 12112111+=++）（ c) r r r c c c u dtdu C R C R dtu d C C R R u dtdu C R C R C R dtu d C C R R +++=++++）（）（1211222121122111222121 题2-4 解：a) G(s)=1)(212++s T T sT (T 1=R 1C, T 2=R 2C )b) G(s)=1)(1212+++s T T s T (T 1=R 1C, T 2=R 2C )c) G(s)= 1)(1)(32122131221+++++++s T T T s T T s T T s T T (T 1=R 1C 1, T 2=R 1C 2, T 3=R 2C 1, T 4=R 2C 2 ) 题2-5 解：(图略) 题2-6 解：33)(+=Φs s 题2-7 解：a) ksf ms s +-=Φ21)(b) )()()(1))(1)(()(21221s G s G s G s G s G s +++=Φc) )()(1)())()(()(31321s G s G s G s G s G s ++=Φd) )()()()(1))()()(323121s G s G s G s G s G s G s -+-=Φe) G(s)=[G 1(s)- G 2(s)]G 3(s)f) )()()()()()()()()()(1)()()()()(43213243214321s G s G s G s G s G s G s G s G s G s G s G s G s G s G s +-++=Φg) )()()()()()()()(1)()()()(43213212321s G s G s G s G s G s G s G s G s G s G s G s -+-=Φ题2-8 解：102310)1()()(k k s s T Ts k k s R s C ⋅++++⋅=1023101)1()()(k k s s T Ts k k s N s C ⋅++++⋅=1023102)1()()(k k s s T Ts s T k k s N s C ⋅++++⋅⋅⋅= 题2-9 解：)()()()(1)()()(4321111s G s G s G s G s G s R s C +=)()()()(1)()()(4321222s G s G s G s G s G s R s C +=)()()()(1)()()()()(432142121s G s G s G s G s G s G s G s R s C +=)()()()(1)()()(4321412s G s G s G s G s G s R s C += 题2-10 解：(1)3212321)()(k k k s k k k s R s C +=3212032143)()()(k k k s s G k k k s k k s N s C +⋅+= (2) 2140)(k k sk s G ⋅-= 题2-11 解：122212211111)()1()()(z z s T s T T C s T T s T k k s s m m d e L ⋅++⋅+++⋅=ΘΘ(T 1=R 1C, T 2=R 2C, T d =L a /R a , T m =GD 2R a /375C e C m )第三章习题答案3-1． s T 15=（取5%误差带） 3-2． 1.0=H K K=2 3-3．当系统参数为：2.0=ξ，15-=s n ω时，指标计算为：%7.52%222.0114.32.01===-⨯---e eξξπσs t ns 352.033=⨯==ξωs t n p 641.02.01514.3122=-⨯=-=ξωπ当系统参数为：0.1=ξ，15-=s n ω时，系统为临界阻尼状态，系统无超调，此时有：st ns 95.057.10.145.67.145.6=-⨯=-=ωξ3-4．当110-=s K 时，代入上式得：110-=s n ω，5.0=ξ，此时的性能指标为：%3.16%225.0114.35.01===-⨯---e eξξπσs t ns 6.0105.033=⨯==ξωs t n p 36.05.011014.3122=-⨯=-=ξωπ当120-=s K 时，代入上式得：11.14-=s n ω，35.0=ξ，此时的性能指标为：%5.30%2235.0114.335.01===-⨯---e eξξπσs t ns 6.01.1435.033=⨯==ξω由本题计算的结果可知：当系统的开环放大倍数增大时，其阻尼比减小，系统相对稳定性变差，系统峰值时间变短，超调量增大，响应变快，但由于振荡加剧，调节时间不一定短，本题中的调节时间一样大。

自动控制原理(08J-1)

27
五.从控制系统的实现方式上划分 (1) 常规控制系统－控制器用各种电路实现 (2) 计算机控制系统－控制器用计算机（或微处理器）
实现
28
练习题：观察、思考汽车司机在公路上掌握方向盘过程，试设计智能汽车方向舵控制系统：画该控制系统方框图，标出相关物理量。说明其控制原理,它是属于那类控制系统？
7
开环控制实例
炉温（开环）控制系统 1
（系统组成示意图）(Pictorial diagram ) 被对象？被控量？系统组成？如何实现控制？
8
炉温（开环）控制系统 2
被控量？系统组成？如何实现控制？
（系统组成示意图）(Pictorial diagram )
9
开环控制小结
特点：控制装置只接受给定量来控制受控对象的被控量。优点：控制系统结构简单，相对来说成本低。缺点：对可能出现的被控量偏离给定值的偏差没有任何修正能力，抗干扰能力差，控制精
26
3.程序控制系统
特征：输入信号是事先确定的程序信号（时序开关信号）。事先根据已确定运动规律的要求，编制成程序，并装在输入装置中。任务：使被控对象的被控量按照要求的固定程序（顺序）动作。如数控车床、自动封装线就属此类系统。四. 从系统的数学模型性质及分析方法划分（1）线性系统和非线性系统（2）时变系统和时不变（定常）系统（3）连续时间系统和离散时间系统本课程主要讨论线性、时不变、SISO控制系统
24
§1.3 自动控制系统的类型
* 可以从不同的角度分类
一. 按系统的元件、部件类型划分电气控制系统、机械控制系统、液压控制系统、生物控制系统、经济控制系统等。
二.
按系统的输入输出关系划分 SISO控制系统 MIMO控制系统

哈工程自控控制原理参考书

哈工程自控控制原理参考书自控控制原理是自动控制领域中的重要基础知识，其研究和应用对于提高工业自动化水平、实现自动化生产和智能化管理具有重要意义。

以下是一些关于自控控制原理的参考书籍，明星考试提供：1.《自动控制原理》（第8版）- 刘春翔这本书是自控控制原理领域的经典教材之一，作者刘春翔是哈尔滨工业大学自动化专业的教授。

书中系统介绍了自动控制的基本概念，包括传递函数、系统的动态响应、稳定性分析、根轨迹方法等。

同时，该书还通过大量的例题和习题帮助读者深入理解和掌握自动控制原理。

2.《现代控制工程》（第5版）-Katsuhiko Ogata这本书是国际上较为权威的自控控制原理教材之一，作者Katsuhiko Ogata是美国加州大学伯克利分校名誉教授。

该书系统介绍了现代控制工程的基本概念和方法，包括传递函数、状态空间法、PID控制器设计、频域分析等内容。

书中以清晰的语言和大量的演示例题帮助读者理解和运用自控控制原理。

3.《现代控制理论》（第4版）-程钟这本书是国内较为经典的自控控制原理教材之一，作者程钟是中国科学技术大学的教授。

该书系统介绍了现代控制理论的基本概念和方法，包括传递函数、根轨迹法、频域法、状态空间法等内容。

书中通过大量的实例和习题帮助读者加深理解和掌握自控控制原理。

4.《现代控制理论与应用》（第3版）-何玉熙、方伟这本书是国内比较综合的自控控制原理教材之一，作者何玉熙和方伟都是华中科技大学的教授。

该书内容包括传统控制理论基础、线性系统稳定性分析、根轨迹法、PID控制器设计、状态空间法等。

此外，该书还介绍了模糊控制、神经网络控制、自适应控制等现代自控控制方法。

5.《模糊控制与智能控制》-杨小庆这本书是介绍模糊控制和智能控制的专著之一，作者杨小庆是哈尔滨工业大学的教授。

该书内容包括模糊数学基础、模糊控制基本原理、模糊控制器设计和应用等。

通过在实例中介绍模糊控制在温度控制、速度控制等方面的应用，帮助读者理解和运用模糊控制原理。

自控原理第二版

2 n C ( s) ② 传递函数： (s) 2 2 R ( s ) s 2 s n n 频域分析法
根轨迹分析法
控制系统的校正
ξ 称为阻尼比(相对阻尼系数)，ω n为无阻尼自振角频率(固有频率)，它们是二阶系统的特征参数。
2 n s( s 2 n )
非线性系统的分析
5K A 设系统的输入量为单位阶跃 s( s 34.5)
1500或减小到13.5时，求系统的动态性能指标。自控系统的数学描述解：系统的闭环传递函数为
时域分析法根轨迹分析法
5K A ( s ) 2 s 34.5s 5K A
2 n 5K A 2 n 34 .5
非线性系统的分析 2. K K =1500时时，求得：
A A
n 5 K A 34.5 2 5K A
n n 1 2 K =13.5 时 3. K =13.5 时，得： ωn=8.22rad/s；ξ＝3.1>1，此时系统为过阻尼情况，峰值时间和 AA 超调量不存在，而调节时间为： (6.45 1.7)
① 单位阶跃响应： h(t)= L-1[H(S)]= L-1[Φ(S)R(S)]= L-1[Φ(S)· 1/S]
根轨迹分析法频域分析法控制系统的校正
② 单位斜坡响应： ct(t)= L-1[ct (S)]= L-1[Φ(S)R(S)]= L-1[Φ(S)· 1/S2]
非线性系统的分析
③ 单位脉冲响应： g(t)= L-1[G(S)]= L-1[Φ(S)R(S)]= L-1[Φ(S)]
1. KA =200时，代入上式求得：时 ωn＝31.5rad/s；ξ＝0.545，代入二阶欠阻尼系 A=200 统动态性能指标的计算公式，可得：频域分析法 3 / 1 2 t 0 . 12 s % e 13% t 0 . 174 s p s 控制系统的校正 2 n n 1

天津大学812 自动控制原理课件第1章自动控制的一般概念

四、教学安排
• 讲课48课时，实验8课时
• 第一章自动控制的一般概念
• 第二章控制系统的数学模型
（4课时）
（8课时）
• 第三章线性系统的时域分析法
• 第四章 • 第五章 • 第六章线性系统的根轨迹法线性系统的频域分析法线性系统的校正方法
（10课时）
（6课时）（10课时）（10课时）
按系统性能可分为：
线性系统和非线性系统；连续系统和离散系统；定常系统和时变系统；确定性系统和不确定性系统；
线性连续控制系统：
dn d n 1 d a 0 n c(t ) a1 n 1 c(t ) a n 1 c(t ) a n c(t ) dt dt dt dm d m 1 d b0 m r (t ) b1 m 1 r (t ) bm 1 r (t ) bm r (t ) dt dt dt
1-4对自动控制系统的基本要求
一、基本要求：稳定性、快速性和准确性，即稳、快、准。 • 稳定性：保证系统正常工作的先决条件。被控量偏离期望值后，经过一个过渡过程，以回到期望值状态。线性系统的稳定性由系统的结构参数决定。
• 快速性：系统过渡时间的长短和过渡形式提出要求。即系统的动态性能。 • 准确性：稳态误差大小提出要求。
• 现代控制理论：发展于20世纪60年代初期。
–特点：主要研究具有高性能、高精度的多变量变参数系统的最优控制问题。采用以状态为基础的时域方法。
• 模糊控制技术：发展于20世纪80年代，基于
模糊数学、模糊推理方法
三、反馈控制原理
• 反馈：系统输出量送回到输入端，与输入信号相比较产生偏差信号的过程。利用反馈进行控制的系统称为反馈控制系统。

自动控制原理08J-9 46页PPT文档

(a)
图3-23
(b)
28
解对于系统(b)，其闭环传递函数为
C R ((s s))G B(s)s2(1K KtK )sK
与典型二阶系统相比较，有 n K
已知 Mp=16.4% tp=1.14s
令
Mpex p

1210% 01.6 4%
求得 0.5
3.3.5 零、极点对二阶系统动态性能的影响
典型二阶系统闭环传递函数：
C(s) R(s)
s2
n2 2nsn2
讨论：增加闭环零点、闭环极点对原二阶系统的影响.
1
1. 具有零点的二阶系统的动态特性分析
设系统的传递函数为：
2
• 将系统的结构图等效成下图所示的结构
3
由等效方框图得：逆拉氏反变换为：
30
练习题
证明: 当 k d
斜坡输入.

2 n
时, 下面系统可以无误差的跟踪单位
R (s)
1kds +
_
n2 s(s2 n)
C (s)
31
解: 根据系统结构图可得系统传递函数为：
(s)C R((ss))s2 n 22(1 nT sds)n 2
（系统阻尼比不变、增加了一闭环零点）系统等效结构图为：
>> t=0:0.2:10; >> zeta=[0 0.2 0.4 0.6 0.8 1]; >> for n=1:6; >> num=[0 0 1]; >> den=[1 2*zeta(n) 1]; >> [y(1:51,n),x,t]=step(num,den,t); >> end

天津大学812自动控制理论考研资料+经验

天津大学812自动控制理论考研资料+经验812自动控制理论是天津大学电气与自动化工程学院考研唯二的两门专业课之一，复习起来是有一定难度的。

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使得小伙伴们对自动控制理论专业课考试有一个总体的认识。

从而在开始复习专业课前能有一个清晰的思路，对考试有一个宏观的把握。

天津考研网同时还为报考天津大学812自动控制理论的同学们整理了一些专业课复习资料以及学长学姐们的复习经验，希望能对大家的复习有所帮助。

下面天津考研网就为考研小伙伴们详细说说812自动控制理论的复习。

<一>天津大学812自动控制理论考研主要参考教材1、自动控制原理，科学出版社，夏超英2、自动控制原理，科学出版社，胡寿松3、现代控制理论，机械工业出版社，刘豹4、现代控制理论，科学出版社，夏超英专业课复习基础阶段需要将参考教材看1-2遍，达到基础知识无盲点，通过天津大学本科课件、笔记、讲义等资料配合参考书使用，可以更好的把握天大本科授课重点。

但对于跨考生来说这些资料的收集是有一定难度的。

针对这种情况天津考研网组织多名一线大学老师及过去几年在天津大学研究生初试中专业课取得高分的考生共同编写及整理了《天津大学812自动控制理论考研红宝书》，来帮助报考天津大学理学院的专业课基础不扎实，对院系信息了解较少的同学复习。

<二>天津大学812自动控制理论考研参考书《天津大学812自动控制理论考研红宝书》已于编写者签订资料保真转让协议，各位考研同学可放心使用参考！包括以下几方面重要内容：1、自动化学院及学科介绍：本校研究生对天津大学自动化专业详细介绍:主要内容包括学院概况，详细的导师介绍，包括不同方向导师的专业研究方向和兴趣，以及研究成果等等。

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25
例: 已知实轴上的根轨迹如图所示对于根轨迹A，Nz+Np=1, ( Np=1，Nz=0 ) ；对根轨迹B，Nz+Np=3；对根轨迹C，Nz+Np=5。它们都是奇数。
26
4．分离点和会合点
两条或两条以上的根轨迹分支在 s 平面上相遇又立即分
开的点称为分离点（或会合点）。
j
p3
j
[s]
H(s)
系统的开环传递函数：G ( s ) H ( s ) 系统的闭环传递函数：( s )
G( s) 1 G( s) H ( s)
系统的特征方程： 1 G( s ) H ( s ) 0
9
本教材采用的符号形式
10
该方程的解即为闭环特征根，当Kg在可能范围连续变化时，特征根变化形成轨迹，因此该式又称为根轨迹方程。此方程也揭示了闭环传递函数极点（即闭环极点）与开环传递函数极点、零点的联系。
p 180 [ ( pk pi ) ( pk z j )]
k
n
m
i 1 i k
j 1
35
终止角计算公式（第K个零点的入射角）:
z 180 [ ( zk pi ) ( zk z j )]
k
n
m
i 1
j 1 jk
例
设系统开环传递函数
11
由于S是复变量： s
j
此方程是一个复方程，可表示成幅值和辐角的形式。根轨迹方程又可分别表示成幅值（条件）方程和辐角（条
件）方程。
12
或表示为：
开环零点矢量模乘积 Kg ＝1 开环极点矢量模乘积
13
■
■
同时满足幅值条件和辐角条件的s，就是特征方程式的根，也就是闭环极点。根轨迹上的任一点，同时满足幅值条件和辐角条件。
30
分离点的坐标d可由下面方程求得：
m 1 1 d p d z i 1 j 1 i j n
式中： z j 为各开环零点的数值，
pi 为个开环极点的数值。
31
5．根轨迹的渐近线
—— 研究根轨迹是按什么走向趋向无穷远当开环极点数n大于开环零点数m时，系统有n-m条根轨迹终止于S平面的无穷远处，这n-m条根轨迹变化趋向的直线为根轨迹的渐近线，因此，浙近线也有n-m条，且它们交于实轴上的一点。渐近线与实轴的交点位置 σ a 和与实轴正方向的交角(渐进线倾角)
解：该系统的开环极点:
p1 2, p2 2
无开环零点。 s1 , s2 若s1、s2 是系统的闭环极点，则 s1、s2 应满足相角方程.
16
以 s1为试验点，观察图2，可得
( s1 p1 ) ( s1 p2 ) 900 900

2

2
(2k 1)
300
60

C
34
6. 根轨迹的起始角与终止角（出射角与入射角）
当开环传递函数中有复数极点或零点时，根轨迹是沿着什么方向离开开环复数极点或进入开环复数零点的呢？这就是所谓的起始角和终止角问题。确定起始角（终止角）的依据 — 根轨迹的幅角条件 ⑴ 起始角 θ p (出射角) 根轨迹离开开环复数极点处切线方向与实轴正方向的夹角。起始角计算公式（第K个极点的出射角）:
● 若极点是在负实轴上, 则对应的响应分量是指
数衰减的;
● 若极点是左半S平面的复共轭极点对, 则对应的
响应分量是衰减振荡的。
2
1948年，伊文思（W.R.Evans）提出了根轨迹法。
根轨迹法是一种基于 S 域的一种图解分析法，它
是在系统的开环零、极点分布基础上，用作图的方法简便地确定系统的闭环极点及其变化轨迹，进而对系统的特性进行定性分析和定量计算。
3
本章讨论:
■ 根轨迹方程－绘根轨迹的依据
■ 常规根轨迹的绘制规则
■ 特殊根轨迹绘制系统的根轨迹
4
4.1
根轨迹法的基本概念
4.1-1 什么是根轨迹系统开环传递函数的某一个参数从零变化到无穷大时，闭环系统特征方程的根在 S 平面上
20
1.
根轨迹关于实轴对称
特征方程是关于变量S的实系数代数方程,它的
根是实根或共轭复根，因此根轨迹必然关于实轴对称.
21
2. 根轨迹始于开环极点, 终于开环零点, 分支数为n.
根轨迹起点条件: Kg = 0
Kg = 0 时，闭环系统特征方程
等效为：
D( s ) ( s p j ) 0
7．根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴相交时，特征方程式的根 s=±jω ，此时系统处于临界稳定状态，令此时的 Kg=Kl。由此可计算对应的临界放大系数Kl值。
K 1 解：此系统特征方程为： (s 1)(s 2)(s 3) dK 整理后令: 0 ds 2
得到求解交点α的辅助方程:
3α 12α 11 0
解得: α 1 1.42 α 2 2.58 由于实轴上的根轨迹为-1到-2线段和-3到-∞线段, α 2 2.58 不在上述两线段上，应舍去。 α 1 1.42是实轴根轨迹上的点，它就是根轨迹在实轴上的分离点。
A
分离点
d1
d2
p2
p1
0
-4
-3
-2
-1
0

B

实轴上根轨迹的分离点
p4
复平面上的分离点
分离点表示特征方程式出现重根
27
实轴上分离点(会合点)的判断:
1. 若根轨迹位于实轴上两个相邻的开环极点之间，则在这两个极点之间至少存在一个分离点； 2. 若根轨迹位于实轴上两个相邻的开环零点之间（其中一个可以是无限零点），则在这两个零点之间也至少有一个会合点。 3. 若根轨迹位于实轴上一个开环零点和一个开环极点之间，则在这两个点之间不存在分离点或会合点,或既存在一个分离点又存在一个会合点。
0
p2 p1 2070
z 1 180 0 [( z1 p1 ) ( z1 p2 ) ( z1 z 2 )]
180 0 [135 0 108 .45 0 90 0 ] 63 0
z 2 z1 63
0
39
40
σa
2k 1 它们与实轴正方向的交角分别是: a 3 渐近线如图所示:
3
1
k 0,1,2
5π π 60, (k 0); 180 , (k 1); 60, (k 2) π 3 3
33
j
A
a
B -4 -3
180
60
a 0 -2 -1
K ( s 2 j )(s 2 j ) G( s) H ( s) ( s 1 j 2)( s 1 j 2)
*
试绘制系统概略根轨迹。
36
解：将开环零、极点画在图4－12的根平面上，逐步画图：
1、两个开环极点、两个开环零点, n=2，有两条根轨迹。
2、两条根轨迹分别

i 1 i j 1
m
n
j
N z N p (1 2 )
整理得
( Nz Nz Nz ) Np 2 Nz ( Nz Np) (1 2 )
所以，实轴上存在根轨迹的条件应满足
Nz Np 1 2
即实轴上根轨迹右侧的开环零、极点的个数之和为奇数.
的变化轨迹。
5
研究开环放大系数K与闭环特征根的关系
6
当取不同K值时，算得闭环特征根如下：
7
K由0→∞变化时，闭环特征根在S平面上移动的轨迹如下图所示，这就是该系统的根轨迹。
根轨迹决定的响应模式：过阻尼、临界阻尼、欠阻尼
8
4.1-2
根轨迹方程（绘制根轨迹图的依据）
R(s)
+ _
G(s)
C(s)
j 1
n
s pj
说明当 Kg = 0时，闭环极点就是开环极点，因此根轨迹始于各开环极点。
22
根轨迹终点条件: Kg = ∞ 当 Kg =∞时，闭环系统的特征方程式等效为
N ( s) ( s z i ) 0
i 1
m
s zi
可见，当 Kg=∞时，闭环极点就是开环有限零点。说明根轨迹的终点是开环传递函数的各个零点-zi 。

物理可实现系统:
n ≥ m .

当n = m时, 根轨迹有n 个起点,n个终点,根轨迹有n条. 当n > m时, 根轨迹有n 个起点,有m个终点在开环零点,另外(n-m)个终点在S平面无限远处零点.根轨迹仍然为n条.
23
3. 实轴上的根轨迹
判断准则: 若实轴上某点右侧线段的开环零、极点的个数之和为奇数，则该线段是实轴上的根轨迹。否则该线段不是根轨迹。用相角条件证明这个规则，基于以下事实：
14
例1：某系统开环传递函数有1个零点，4个极点（m=1,n=4 ）， S平面上某试验点对应的各矢量幅值和相角关系如图所示。
图（a）、图（b）各矢量幅值和相角关系都满足幅值方程和相角方程
15
例2 已知系统的开环传递函数： G(s) H (s) 2K /(s 2)2 试证明复平面上点 s1 2 j 4, s2 2 j 4 是该系统的闭环极点（是根轨迹上的点）。
a 分别为:
a
P Z
j 1 j i 1
n
m
i
nm
（Pj是极点）
2 k 1 a n m
k 0,1,2, , n m 1
32
例已知系统的开环传递函数为:
K r (s 2) G(s) H(s) 2 s (s 1)(s 4)

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