13-14-2概率统计B

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概率论与统计1-2事件的关系和运算

独立事件的概率计算公式
若事件A和B独立，则$P(A cap B) = P(A)P(B)$。
独立事件的概率性质
若事件A和B独立，则$P(A cup B) = P(A) + P(B) - P(A cap B)$。
独立事件的概率计算实例
在掷骰子游戏中，若事件A为掷出偶数点，事件B为掷出3 点，由于A和B是独立的，所以$P(A cap B) = P(A)P(B) = frac{1}{2} times frac{1}{6} = frac{1}{12}$。
贝叶斯公式则是在已知某些其他事件发生的条件下，重新评估某个事件发生的概率。
全概率公式用于计算一个事件发生的概率，考虑了所有可能的情况和它们发生的概率。
全概率公式和贝叶斯公式在应用上有所不同，全概率公式更适用于对整个事件进行分类和计算，而贝叶斯公式则更适用于在已知某些条件下对事件进行预测和推断。
完备事件组中的所有事件的概率之和为1。
完备事件组中的任意两个事件都是互斥的。
利用完备事件组计算概率
利用完备事件组计算概率的基本思想
将复杂事件分解为若干个互斥事件的并集，然后利用概率的加法公式计算复杂事件的概率。
利用完备事件组计算概率的方法
首先确定完备事件组，然后确定所求事件的概率，最后利用概率的加法公式计算出所求事件的概率。
差运算的应用
在概率论中，差运算常用于计算某个事件发生的概率减去其他事件同时发生的概率。
03
条件概率与贝叶斯公式
条件概率的定义与性质
条件概率的定义
在概率论中，条件概率是指在某个事件B已经发生的情况下，另一个事件A发生的概率，记作P(A|B) 。
条件概率的性质
条件概率具有一些重要的性质，包括非负性、规范性、可加性等，这些性质在概率论和统计中有着广泛的应用。

概率统计的解题技巧

概率统计的解题技巧【命题趋向】概率统计命题特点:1.在近五年高考中,新课程试卷每年都有一道概率统计解答题,并且这五年的命题趋势是一道概率统计解答题逐步增加到一道客观题和一道解答题;从分值上看,从12分提高到17分;由其是实施新课标考试的省份, 增加到两道客观题和一道解答题.值得一提的是此累试题体现了考试中心提出的"突出应用能力考查"以及"突出新增加内容的教学价值和应用功能"的指导思想,在命题时,提高了分值,提高了难度,并设置了灵活的题目情境,如测试成绩、串联并联系统、计算机上网、产品合格率、温度调节等,所以在概率统计复习中要注意全面复习,加强基础,注重应用.2.就考查内容而言,用概率定义(除法)或基本事件求事件(加法、减法、乘法)概率,常以小题形式出现;随机变量取值-取每一个值的概率-列分布列-求期望方差常以大题形式出现.概率与统计还将在选择与填空中出现,可能与实际背景及几何题材有关.【考点透视】1.了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义.2.了解等可能性事件的概率的意义,会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率.3.了解互斥事件、相互独立事件的意义,会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率.4.会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率.5. 掌握离散型随机变量的分布列.6.掌握离散型随机变量的期望与方差.7.掌握抽样方法与总体分布的估计.8.掌握正态分布与线性回归.【例题解析】考点1. 求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率解此类题目常应用以下知识:(1)等可能性事件(古典概型)的概率:P(A)= = ;等可能事件概率的计算步骤:① 计算一次试验的基本事件总数 ;② 设所求事件A,并计算事件A包含的基本事件的个数 ;③ 依公式求值;④ 答,即给问题一个明确的答复.(2)互斥事件有一个发生的概率:P(A B)=P(A) P(B);特例:对立事件的概率:P(A) P( )=P(A )=1.(3)相互独立事件同时发生的概率:P(A·B)=P(A)·P(B);特例:独立重复试验的概率:Pn(k)= .其中P为事件A在一次试验中发生的概率,此式为二项式[(1-P) P]n展开的第k 1项.(4)解决概率问题要注意"四个步骤,一个结合":① 求概率的步骤是:第一步,确定事件性质即所给的问题归结为四类事件中的某一种.第二步,判断事件的运算即是至少有一个发生,还是同时发生,分别运用相加或相乘事件.第三步,运用公式求解第四步,答,即给提出的问题有一个明确的答复.例1.(2007年上海卷文)在五个数字中,若随机取出三个数字,则剩下两个数字都是奇数的概率是(结果用数值表示).[考查目的]本题主要考查概率的概念和等可能性事件的概率求法.[解答过程]0.3提示:例2.(2007年全国II卷文)一个总体含有100个个体,以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本,则指定的某个个体被抽到的概率为.[考查目的]本题主要考查用样本分析总体的简单随机抽样方式,同时考查概率的概念和等可能性事件的概率求法. 用频率分布估计总体分布,同时考查数的区间497.5g~501.5的意义和概率的求法.[解答过程] 提示:例3 (2007年全国I卷文)从自动打包机包装的食盐中,随机抽取20袋,测得各袋的质量分别为(单位:g):49201 502 5003 506 508 507 49200 50根据的原理,该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g~501.5g之间的概率约为__________.[考查目的]本题主要考查用频率分布估计总体分布,同时考查数的区间497.5g~501.5的意义和概率的求法.[解答过程]在497.5g~501.5内的数共有5个,而总数是20个,所以有点评:首先应理解概率的定义,在确定给定区间的个体的数字时不要出现错误.例4. (2006年湖北卷)接种某疫苗后,出现发热反应的概率为0.80.现有5人接种该疫苗,至少有3人出现发热反应的概率为__________.(精确到0.01)[考查目的] 本题主要考查运用组合、概率的基本知识和分类计数原理解决问题的能力,以及推理和运算能力. [解答提示]至少有3人出现发热反应的概率为.故填0.94.例5.(2006年江苏卷)右图中有一个信号源和五个接收器.接收器与信号源在同一个串联线路中时,就能接收到信号,否则就不能接收到信号.若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组,将右端的六个接线点也随机地平均分成三组,再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接,则这五个接收器能同时接收到信号的概率是(A) (B) (C) (D)[考查目的] 本题主要考查运用组合、概率知识,以及分步计数原理解决问题的能力,以及推理和运算能力.[解答提示]由题意,左端的六个接线点随机地平均分成三组有种分法,同理右端的六个接线点也随机地平均分成三组有种分法;要五个接收器能同时接收到信号,则需五个接收器与信号源串联在同一个线路中,即五个接收器的一个全排列,再将排列后的第一个元素与信号源左端连接,最后一个元素与信号源右端连接,所以符合条件的连接方式共有种,所求的概率是 ,所以选D.点评:本题要求学生能够熟练运用排列组合知识解决计数问题,并进一步求得概率问题,其中隐含着平均分组问题.例6. (2007年全国II卷文)从某批产品中,有放回地抽取产品二次,每次随机抽取1件,假设事件 :"取出的2件产品中至多有1件是二等品"的概率 .(1)求从该批产品中任取1件是二等品的概率 ;(2)若该批产品共100件,从中任意抽取2件,求事件 :"取出的2件产品中至少有一件二等品"的概率 .[考查目的]本小题主要考查相互独立事件、互斥事件等的概率计算,运用数学知识解决问题的能力,以及推理与运算能力.[解答过程](1)记表示事件"取出的2件产品中无二等品",表示事件"取出的2件产品中恰有1件二等品".则互斥,且 ,故于是 .解得 (舍去).(2)记表示事件"取出的2件产品中无二等品",则 .若该批产品共100件,由(1)知其中二等品有件,故 .例7.(2006年上海卷)两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成,每卷1本,共8本.将它们任意地排成一排,左边4本恰好都属于同一部小说的概率是(结果用分数表示).[考查目的] 本题主要考查运用排列和概率知识,以及分步计数原理解决问题的能力,以及推理和运算能力. [解答提示]从两部不同的长篇小说8本书的排列方法有种,左边4本恰好都属于同一部小说的的排列方法有种.所以, 将符合条件的长篇小说任意地排成一排,左边4本恰好都属于同一部小说的概率是种.所以,填 .例8.( 2006年浙江卷)甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球,甲袋装有2个红球,2个白球;乙袋装有2个红球,n 个白球.由甲,乙两袋中各任取2个球.(Ⅰ)若n=3,求取到的4个球全是红球的概率;(Ⅱ)若取到的4个球中至少有2个红球的概率为 ,求n.[考查目的]本题主要考查排列组合、概率等基本知识,同时考察逻辑思维能力和数学应用能力.[标准解答](I)记"取到的4个球全是红球"为事件 . (II)记"取到的4个球至多有1个红球"为事件 ,"取到的4个球只有1个红球"为事件 ,"取到的4个球全是白球"为事件 .由题意,得所以化简,得解得 ,或 (舍去),故例9. (2007年全国I卷文)某商场经销某商品,顾客可采用一次性付款或分期付款购买.根据以往资料统计,顾客采用一次性付款的概率是0.6,经销一件该商品,若顾客采用一次性付款,商场获得利润200元;若顾客采用分期付款,商场获得利润250元. (Ⅰ)求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率;(Ⅱ)求3位顾客每人购买1件该商品,商场获得利润不超过650元的概率.[考查目的]本小题主要考查相互独立事件、独立重复试验等的概率计算,运用数学知识解决问题的能力,以及推理与运算能力.[解答过程](Ⅰ)记表示事件:" 位顾客中至少位采用一次性付款",则表示事件:" 位顾客中无人采用一次性付款(Ⅱ)记表示事件:" 位顾客每人购买件该商品,商场获得利润不超过元".表示事件:"购买该商品的位顾客中无人采用分期付款". 表示事件:"购买该商品的位顾客中恰有位采用分期付款".则例10.(2006年北京卷)某公司招聘员工,指定三门考试课程,有两种考试方案.方案一:考试三门课程,至少有两门及格为考试通过;方案二:在三门课程中,随机选取两门,这两门都及格为考试通过.假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是 ,且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.(Ⅰ)分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率;(Ⅱ)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.(说明理由)[考查目的] 本题主要考查互斥事件有一个发生的概率和对立事件的概率,以及不等式等基本知识,同时考查逻辑思维能力和数学应用能力.[标准解答]记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A,B,C,则P(A)=a,P(B)=b,P(C)=c.(Ⅰ) 应聘者用方案一考试通过的概率p1=P(A·B· ) P( ·B·C) P(A· ·C) P(A·B·C)=a×b×(1-c) (1-a)×b×c a×(1-b)×c a×b×c=ab bc ca-2abc.应聘者用方案二考试通过的概率p2= P(A·B) P(B·C) P(A·C)= ×(a×b b×cc×a)= (ab bc ca)(Ⅱ) p1- p2= ab bc ca-2abc- (ab bc ca)= ( ab bc ca-3abc)≥ = .∴p1≥p2例11.(2007年陕西卷文)某项选拔共有四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考核,否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为、、、 ,且各轮问题能否正确回答互不影响. (Ⅰ)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率;(Ⅱ)求该选手至多进入第三轮考核的概率. (注:本小题结果可用分数表示)[考查目的]本小题主要考查相互独立事件、独立重复试验的概率计算,运用数学知识解决问题的能力,以及推理与运算能力.[解答过程](Ⅰ)记"该选手能正确回答第轮的问题"的事件为 ,则该选手进入第四轮才被淘汰的概率 .(Ⅱ)该选手至多进入第三轮考核的概率.考点2离散型随机变量的分布列1.随机变量及相关概念①随机试验的结果可以用一个变量来表示,这样的变量叫做随机变量,常用希腊字母ξ、η等表示.②随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.③随机变量可以取某区间内的一切值,这样的随机变量叫做连续型随机变量.2.离散型随机变量的分布列①离散型随机变量的分布列的概念和性质一般地,设离散型随机变量可能取的值为, ,……, ,……, 取每一个值( 1,2,……)的概率P( )= ,则称下表.……P P1 P2 ……为随机变量的概率分布,简称的分布列.由概率的性质可知,任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质:(1) , 1,2,...;(2) (1)②常见的离散型随机变量的分布列:(1)二项分布次独立重复试验中,事件A发生的次数是一个随机变量,其所有可能的取值为0,1,2,…n,并且 ,其中 , ,随机变量的分布列如下:0 1 …… P…称这样随机变量服从二项分布,记作 ,其中、为参数,并记: .(2) 几何分布在独立重复试验中,某事件第一次发生时所作的试验的次数是一个取值为正整数的离散型随机变量," "表示在第k次独立重复试验时事件第一次发生.随机变量的概率分布为:1 2 3 … k …P p qp……例12.(2007年四川卷理)厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品.(Ⅰ)若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8,从中任意取出4件进行检验,求至少有1件是合格的概率; (Ⅱ)若厂家发给商家20件产品中,其中有3件不合格,按合同规定该商家从中任取2件.都进行检验,只有2件都合格时才接收这批产品.否则拒收,求出该商家检验出不合格产品数的分布列及期望 ,并求出该商家拒收这批产品的概率&[解答过程](Ⅰ)记"厂家任取4件产品检验,其中至少有1件是合格品"为事件A用对立事件A来算,有(Ⅱ) 可能的取值为记"商家任取2件产品检验,都合格"为事件B,则商家拒收这批产品的概率.所以商家拒收这批产品的概率为 .例13.(2007年陕西卷理)某项选拔共有三轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考核,否则即被淘汰. 已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为、、 ,且各轮问题能否正确回答互不影响.(Ⅰ)求该选手被淘汰的概率;(Ⅱ)该选手在选拔中回答问题的个数记为 ,求随机变量的分布列与数学期望.(注:本小题结果可用分数表示)[考查目的]本题考查相互独立事件、互斥事件等的概率计算,考察随机事件的分布列,数学期望等,考察运用所学知识与方法解决实际问题的能力.[解答过程]解法一:(Ⅰ)记"该选手能正确回答第轮的问题"的事件为 ,则该选手被淘汰的概率.(Ⅱ) 的可能值为的分布列为1 2 3.解法二:(Ⅰ)记"该选手能正确回答第轮的问题"的事件为 ,则该选手被淘汰的概率 .(Ⅱ)同解法一.考点3 离散型随机变量的期望与方差随机变量的数学期望和方差(1)离散型随机变量的数学期望: …;期望反映随机变量取值的平均水平.⑵离散型随机变量的方差: … …;方差反映随机变量取值的稳定与波动,集中与离散的程度.⑶基本性质: ; .(4)若 ~B(n,p),则 ; D =npq(这里q=1-p) ;如果随机变量服从几何分布, ,则 ,D = 其中q=1-p.例14.甲、乙两名工人加工同一种零件,两人每天加工的零件数相等,所得次品数分别为ε、η,ε和η的分布列如下:ε 0 1 2 η 0 1 2PP则比较两名工人的技术水平的高低为思路启迪:一是要比较两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值,即期望;二是要看出次品数的波动情况,即方差值的大小.解答过程:工人甲生产出次品数ε的期望和方差分别为: ,;工人乙生产出次品数η的期望和方差分别为:,由Eε=Eη知,两人出次品的平均数相同,技术水平相当,但DεDη,可见乙的技术比较稳定.小结:期望反映随机变量取值的平均水平;方差反映随机变量取值的稳定与波动,集中与离散的程度.例15.(2007年全国I理)某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数的分布列为1 20.4 0.2 0.2 0.1 0.1商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200元;分2期或3期付款,其利润为250元;分4期或5期付款,其利润为300元. 表示经销一件该商品的利润.(Ⅰ)求事件 :"购买该商品的3位顾客中,至少有1位采用1期付款"的概率 ;(Ⅱ)求的分布列及期望 .[考查目的] 本小题主要考查概率和离散型随机变量分布列和数学期望等知识.考查运用概率知识解决实际问题的能力.[解答过程](Ⅰ)由表示事件"购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款".知表示事件"购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款(Ⅱ) 的可能取值为元, 元, 元的分布列为(元).小结:离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.本题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念,考查运用概率知识解决实际问题的能力.例16.某班有48名学生,在一次考试中统计出平均分为70分,方差为75,后来发现有2名同学的成绩有误,甲实得80分却记为50分,乙实得70分却记为100分,更正后平均分和方差分别是A.70,25B.70,50C.70,1.04D.65,25解答过程:易得没有改变, =70,而s2= [(x12 x22 … 502 1002 … x482)-48 2]=75, s′2= [(x12 x22 … 802 702 … x482)-48 2]= [(75×48 48 2-12500 11300)-48 2]=75- =75-25=50.答案:B考点4 抽样方法与总体分布的估计抽样方法1.简单随机抽样:设一个总体的个数为N,如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本,且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等,就称这样的抽样为简单随机抽样.常用抽签法和随机数表法.2.系统抽样:当总体中的个数较多时,可将总体分成均衡的几个部分,然后按照预先定出的规则,从每一部分抽取1个个体,得到所需要的样本,这种抽样叫做系统抽样(也称为机械抽样).3.分层抽样:当已知总体由差异明显的几部分组成时,常将总体分成几部分,然后按照各部分所占的比进行抽样,这种抽样叫做分层抽样.总体分布的估计由于总体分布通常不易知道,我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布,一般地,样本容量越大,这种估计就越精确.总体分布:总体取值的概率分布规律通常称为总体分布. 当总体中的个体取不同数值很少时,其频率分布表由所取样本的不同数值及相应的频率表示,几何表示就是相应的条形图.当总体中的个体取值在某个区间上时用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布.总体密度曲线:当样本容量无限增大,分组的组距典型例题例17.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品,产品数量之比依次为2:3:5.现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本,样本中A种型号产品有16件.那么此样本的容量n=解答过程:A种型号的总体是 ,则样本容量n= .例18.一个总体中有100个个体,随机编号0,1,2, (99)依编号顺序平均分成10个小组,组号依次为1,2,3, (10)现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本,规定如果在第1组随机抽取的号码为 ,那么在第组中抽取的号码个位数字与的个位数字相同,若 ,则在第7组中抽取的号码是.解答过程:第K组的号码为, ,…, ,当m=6时,第k组抽取的号的个位数字为m k的个位数字,所以第7组中抽取的号码的个位数字为3 ,所以抽取号码为63.例19.考查某校高三年级男生的身高,随机抽取40名高三男生,实测身高数据(单位:cm)如下:00 16002⑴作出频率分布表;⑵画出频率分布直方图.思路启迪:确定组距与组数是解决"总体中的个体取不同值较多"这类问题的出发点.解答过程:⑴最低身高为151,最高身高180,其差为180-151=29。

概率统计参考答案第二版王明慈

概率统计参考答案习题一1、写出下列随机试验的样本空间及各个事件的样本点：（1）同时郑三枚骰子，记录三枚骰子的点数之和。

解：设三枚骰子点数之和为k ，k=3,,4,5,…,18;则样本空间为{k |k 3,4,...,18}Ω==,且事件A={k |k 11,12,...,18}=，事件B={k |k 3,4,...,14}=。

（2）解：设从盒子中抽取的3只电子元件为(i,j,k)，(i,j,k)为数列1,2,3,4,5的任意三个元素构成的组合。

则Ω={（1,2,3）,(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)}A={(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}。

2、下列式子什么时候成立？解：AUB=A ：成立的条件是B ⊂A ；（2）AB=A ：成立的条件为A ⊂B 。

3、设A 、B 、C 表示三事件，试将下列事件用A 、B 、C 表示出来。

解：（1）仅A 发生：ABC ；（2） A 、B 、C 都发生：ABC ；（3） A 、B 、C 都不发生：ABC ；（4） A 、B 、C 不都发生：ABC ；（5） A 不发生，且B 与C 中至少发生一事件：(A B C)U ；（6） A 、B 、C 中至少有一事件发生：AUBUC ；（7） A 、B 、C 中恰好有一事件发生：ABC+ABC+ABC ；（8） A 、B 、C 中至少二事件发生：BC ABC ABC ABC A +++=（AB ）U （AC ）U （BC ）；（9） A 、B 、C 中最多一事件发生：BC ABC ABC ABC A +++=(AB)U(AC)U(BC)------------------。

4、设P(A)=0.5,P(B)=0.6，问：（1）什么条件下，P(AB)取得最大值，最大值是多少？解：由P （AUB ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ）得到P （AB ）=P （A ）+P （B ）-P （AUB ）<=0.5+0.6-0.6=0.5，此时，P （AUB ）=0.6。

《概率论与数理统计》习题及答案

概率论与数理统计第一部份习题第一章概率论基本概念一、填空题1、设A ，B ，C 为3事件，则这3事件中恰有2个事件发生可表示为。

2、设3.0)(,1.0)(=⋃=B A P A P ，且A 与B 互不相容，则=)(B P 。

3、口袋中有4只白球，2只红球，从中随机抽取3只，则取得2只白球，1只红球的概率为。

4、某人射击的命中率为0.7，现独立地重复射击5次，则恰有2次命中的概率为。

5、某市有50%的住户订晚报，有60%的住户订日报，有80%的住户订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的百分比为。

6、设A ，B 为两事件，3.0)(,7.0)(==B A P A P ，则=)(B A P 。

7、同时抛掷3枚均匀硬币，恰有1个正面的概率为。

8、设A ，B 为两事件，2.0)(,5.0)(=-=B A P A P ，则=)(AB P 。

9、10个球中只有1个为红球，不放回地取球，每次1个，则第5次才取得红球的概率为。

10、将一骰子独立地抛掷2次，以X 和Y 分别表示先后掷出的点数，{}10=+=Y X A{}Y X B >=，则=)|(A B P 。

11、设B A ,是两事件，则B A ,的差事件为。

12、设C B A ,,构成一完备事件组，且,7.0)(,5.0)(==B P A P 则=)(C P ，=)(AB P 。

13、设A 与B 为互不相容的两事件，,0)(>B P 则=)|(B A P 。

14、设A 与B 为相互独立的两事件，且4.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)(AB P 。

15、设B A ,是两事件，,36.0)(,9.0)(==AB P A P 则=)(B A P 。

16、设B A ,是两个相互独立的事件，,4.0)(,2.0)(==B P A P 则=)(B A P 。

17、设B A ,是两事件，如果B A ⊃，且2.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)|(B A P 。

2013-2014(2)概率统计(A)解答(精编文档).doc

【最新整理，下载后即可编辑】广州大学2013-2014学年第二学期考试卷解答课程：概率论与数理统计（48学时）考试形式：闭卷考试学院:____________ 专业班级:__________ 学号:____________ 姓名:___________一、填空题（每小题3分，共30分）1．事件,,A B C中恰有一个不发生可表示为ABC ABC ABC++. 2．已知()0.2P A BP B A=0.5 .⋃=，则(|)P A=，()0.3P B=，()0.43．将4封信随机地投入4个邮筒中，则每个邮筒中各有一封信的概率为3/32 .4．袋中有红球6个，白球4个，从中取两次，每次任取一个，作不放回抽样. 则第二次取的是红球的概率为0.6 .5．甲、乙两人独立破译一密码，若两人各自独立译出密码的概率依次为0.6、0.5，则此密码被译出的概率为 0.8 . 6．设某种元件的寿命X (单位: 小时)具有概率密度2500,500()0,500x f x xx ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩ 则元件寿命大于1000小时的概率为 0.5 .7．设随机变量X 的概率分布为1{}P X i n==，1,,i n =且数学期望()2014E X =，则n = 4027 .8．设()2E X =，()3E Y =，则(3210)E X Y +-= 2 .9．设随机变量X 与Y 相互独立，()()2D X D Y ==，则(2)D X Y -= 10 .10．设随机变量X 服从正态分布(1,4)N ，则{13}P X ≤≤= 0.341 . 参考数据：标准正态分布函数值(0.5)0.692Φ=，(1)0.841Φ=. 二、（每小题6分，共12分）1．10把钥匙中有2把能打开门，从中任意取2把，问能打开门的概率是多少？解：基本事件总数21045n C ==，------2分所求事件所含的基本事件数2011282817r C C C C =+=，------4分所求概率为1745rP n==.------6分2．某射手每次射击命中目标的概率为0.9，现向一个目标射击至多5次，一但命中目标就停止射击，求射击次数X 的分布律. 解：1{}0.10.9k P X k -==⨯，1,2,3,4k =，------3分4{5}0.10.0001P X ===，-----5分 X 的分布律为------6分三、（本题满分8分）电路由电池A 与2个串联的电池B 及C 并联而成. 设电池A ，B ，C 损坏的概率分别为0.3，0.2，0.2，求电路发生间断的概率. 解：用A ，B ，C 分别表示事件“电池A ，B ，C 损坏”，则事件“电路发生间断”可表示为()A B C ⋃，------3分所求概率为()()()()()P A B C P AB AC ⋃=⋃ ()()()P AB P AC P ABC =+-()()()()()()()0.108P A P B P A P C P A P B P C =+-=.------8分四、（本题满分8分）某厂有1A 、2A 、3A 三条流水线生产同一产品，已知每条流水线的产品分别占总量的40％，30％，30％，且这三条流水线的次品率分别为0.01，0.02，0.03. 现从出厂的产品中任取一件，求取到的是正品的概率.解：用i A 表示事件“产品是流水线i A 生产的”，B 表示事件“取到的是正品”，则1()0.4P A =，2()0.3P A =，3()0.3P A =，1(|)0.99P B A =，2(|)0.98P B A =，3(|)0.97P B A =，------4分由全概率公式，所求概率为112233()()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A =++0.981=.---8分五、（本题满分10分）设随机变量X 的概率密度为32,01()0,x x x f x ⎧+<<=⎨⎩其它求X 的数学期望()E X 和方差()D X .解：()()d E X xf x x +∞-∞=⎰1301211(2)d 3515x x x x =+=+=⎰，------4分22()()d E X x f x x +∞-∞=⎰1230117(2)d 4312x x x x =+=+=⎰，------8分227121123()()[()]122252700D XE X E X =-=-=.------10分六、(本题满分12分)设随机变量X 与Y 相互独立，其概率分布分别为010.60.4iXp 010.30.7jY p（1）求X ，Y 的联合概率分布；（2）求随机变量Z X Y =+的分布函数. 解：（1）因X 与Y 相互独立，所以{,}{}{}P X a Y b P X a P Y b ====⋅=，------2分由此得X ，Y 的联合概率分布为------5分（2）Z 的取值为0，1，2，{0}{0,0}0.18P Z P X Y =====，{1}{0,1}{1,0}0.420.120.54P Z P X Y P X Y ====+===+=， {2}{1,1}0.28P Z P X Y =====.------8分Z 的分布函数为(){}F z P Z z =≤0,00.18,010.72,121,2z z z z <⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪>⎩------12分七、（本题满分10分）在次品率为0.2的一大批产品中，任意抽取400件产品，利用中心极限定理计算抽取的产品中次品件数在60与80之间的概率.2t x -~(,)X B n p ，400n =，0.2p =，------2分由棣-拉定理，808X Y -==近似服从(0,1)N .------5分所求概率为{6080}P X ≤≤{2.50}P Y =-≤≤(0)( 2.5)≈Φ-Φ-(0)[1(2.5)]=Φ--Φ0.494=.------10分八、（本题满分10分）设总体X 的概率密度函数1,01(,)0,x x f x λλλ-⎧<<=⎨⎩其它，其中0λ>是未知参数. 已知1,,n x x 是来自总体X 的一组样本观察值，求参数λ的最大似然估计值.解：似然函数为1()(,)ni i L f x λλ==∏，------2分易知()L λ的最大值点为111()ni i L x λλλ-==∏的最大值点，------4分。

概率统计2.42.

.
ba 2
2
E( X 2 ) x2 f ( x)dx 1 b3 a3 b2 ab a 2 ，
ba 3
3
DX
E( X 2 ) EX2
(b a)2 12
.
21
例22 某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间 X 是7:00 到 7:30 之间的均匀随机变量, 试求他候车时间少于5 分钟的概率.
x a, b
.
0 其它
U(a, b)：区间a,b内的均匀分布.
0, 若xa
F(x)
x a
b
a
,
若a
x
b
1 , 若 x b
f (x)
f (x)
1
a b b xx
19
设 X ~ U(a, b)，
1
f
(
x)
b
a
,
若a xb
对 [c, d] (a, b)，
0 , 若不然
P{c X d } d dx d c .
k!
泊松分布的实际背景：最简流.
例如，到达商店的顾客，用户对某种商品质量的投诉，暴雨，交通事故，重大刑事案件，大震后的余震、到达某港口等待进港的货轮、纺纱机上的断头所形成的随机质点流．
14
性质 10 X ~ P() EX DX .
20 Poisson定理 P67 :
lim
n
npn
lim
k)!
pk1q nk
E X 2 np[(n 1) p 1]，
D( X ) E X 2 EX 2 np(1 p), D( X ) npq.

压轴题10 概率统计(选填题)-【考前冲刺】2023年高考数学压轴题专项训练(全国通用)

压轴题10 概率统计（选填题）-【考前冲刺】2023年高考数学压轴题专项训练（全国通用）一、单选题(共8题；共40分)1．（5分）某校大一新生A，B，C，D欲加入该校的文学社、书法社、羽毛球社．已知这4名大一新生每人只加入了1个社团，则这4名大一新生恰好加入其中2个社团的不同情况有（）A．21种B．30种C．42种D．60种2．（5分）“回文”是古今中外都有的一种修辞手法，如“我为人人，人人为我”等，数学上具有这样特征的一类数称为“回文数”､“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如121，241142等，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有（）A．100个B．125个C．225个D．250个3．（5分）已知甲盒子中有3个红球，1个白球，乙盒子中有2个红球，2个白球，同时从甲，乙两个盒子中取出i个球进行交换，交换后，分别记甲、乙两个盒中红球个数ξi ，ηi(i=1，2)，则（）A．E(ξ1)=E(η1)B．E(ξ1)<E(η1)C．E(ξ2)=E(η2)D．E(ξ2)<E(η2)4．（5分）如图，两个半径为R的相交大圆，分别内含一个半径为r的同心小圆，且同心小圆均与另一个大圆外切.已知R=√2，r=2−√2时，在两相交大圆的区域内随机取一点，则该点取自两大圆公共部分的概率为（）A．4−π3π+2B．π−24πC．π−23π+2D．π−13π+25．（5分）已知直线ax+by+c=0的斜率大于零，其系数a、b、c是取自集合{−2，−1，0，1，2}中的3个不同元素，那么这样的不重合直线的条数是（）A．11B．12C．13D．146．（5分）《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳所著，该书记述了我国古代14种算法，分别是：积算（即筹算）、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算和计数.某学习小组有甲、乙、丙三人，该小组要收集九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算5种算法的相关资料，要求每人至少收集其中一种，但甲不收集九宫算和了知算的资料，则不同的分配方案种数有（）A．38B．56C．62D．807．（5分）已知(x+ax2)6展开式的常数项的取值范围为[135,240]，且x2+alnx≥(a+2)x恒成立.则a 的取值范围为（）A．[−4,−3]∪[3,4]B．[−4,−1]∪[3,4]C．[1,4]D．[−4,−3]8．（5分）设复数z=(x−1)+yi（x,y∈R，i为虚数单位），若|z|≤1，则y≥√3x的概率为()A．16+√34πB．56+√34πC．56−√34πD．16−√34π二、多选题(共5题；共25分)9．（5分）已知sin15°是函数f(x)=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0(a4，a3，a2，a1，a0∈Z，a4≠0)的零点，则下列说法正确的是（）A．a4a0=16B．f(cos15°)=0C．f(−x)=f(x)D．f(x)min=−310．（5分）甲、乙两人进行围棋比赛，共比赛2n(n∈N∗)局，且每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为12.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为P(n)，则（）A．p(2)=516B．p(3)=1116C．p(n)=12(1−C2n n22n)D．p(n)的最大值为1411．（5分）已知(2−x)8=a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a8x8，则（）A．a=28B．a1+a2+⋯+a8=1C．|a1|+|a2|+|a3|+⋯+|a8|=38D．a1+2a2+3a3+⋯+8a8=−812．（5分）若数列{a n}的通项公式为a n=(−1)n−1，记在数列{a n}的前n+2(n∈N∗)项中任取两项都是正数的概率为P n，则（）A．P1=13B．P2n<P2n+2C．P2n−1<P2nD．P2n−1+P2n<P2n+1+P2n+2.13．（5分）已知n∈N∗，n≥2,p+q＝1,设f(k)=C2n k p k q2n−k，其中k∈N,k≤2n,则（）A ．∑f(k)2nk=0=1B ．∑kf(k)2nk=0=2npqC ．若 np ＝4 ，则 f(k)≤f(8)D ．∑f(2k)<12n k=0<∑f(2k −1)n k=1三、填空题(共10题；共65分)14．（10分）有一种投掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第1站、第2站、第3站、…、第10站，共10站，设棋子跳到第n 站的概率为P n ，若一枚棋子开始在第1站，棋手每次投掷骰子一次，棋子向前跳动一次．若骰子点数小于等于3，棋子向前跳一站；否则，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第9站（失败）或者第10站（获胜）时，游戏结束．则P 3= ；该棋手获胜的概率为．15．（5分）设非空集合Q ⊆M ，当Q 中所有元素和为偶数时（集合为单元素时和为元素本身），称Q 是M 的偶子集，若集合M ={1，2，3，4，5，6，7}，则其偶子集Q 的个数为 .16．（5分）四名志愿者参加某博览会三天的活动，若每人参加一天，每天至少有一人参加，其中志愿者甲第一天不能参加，则不同的安排方法一共有种（结果用数值表示）17．（5分）如图，在 3×3 的点阵中，依次随机地选出 A 、 B 、 C 三个点，则选出的三点满足 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ <0 的概率是．18．（5分）2013年国家提出“一带一路”发展战略，共建“一带一路”致力于亚欧非大陆及附近海洋的互联互通，建立和加强沿线各国互联互通伙伴关系，构建全方位､多层次､复合型的互联互通伙伴关系，实现沿线各国多元､自主､平衡､可持续的发展，为积极响应国家号召，中国的5家企业，对“一带一路”沿线的3个国家进行投资，每个国家至少一个企业，则有种不同的方案.19．（10分）现有A 、B 、C 、D 、E 、F6个不同的货柜，准备用甲、乙、丙三辆卡车一次运送出去，每台卡车至少运一个货柜，则不同的分配方案的种数为 .设卡车甲运送货柜的数量为随机变量X ，则期望 E(X)= .20．（5分）某校 13 名学生参加军事冬令营活动，活动期间各自扮演一名角色进行分组游戏，角色按级别从小到大共 9 种，分别为士兵、排长、连长、营长、团长、旅长、师长、军长和司令.游戏分组有两种方式，可以 2 人一组或者 3 人一组.如果 2 人一组，则必须角色相同；如果 3 人一组，则 3 人角色相同或者 3 人为级别连续的 3 个不同角色.已知这 13 名学生扮演的角色有 3 名士兵和 3 名司令，其余角色各 1 人，现在新加入 1 名学生，将这 14 名学生分成 5 组进行游戏，则新加入的学生可以扮演的角色的种数为 .21．（10分）已知 (1+x)6−(2+x)6=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯⋯+a 5x 5+a 6x 6 ，则 a 6= ， |a 0|+|a 1|+|a 2|+⋯⋯+|a 5|+|a 6|= .22．（5分）已知六个函数：①y =1x2 ；②y =cosx ；③y =x 12 ；④y =arcsinx ；⑤y =lg(1+x1−x ) ；⑥y =x +1 ，从中任选三个函数，则其中既有奇函数又有偶函数的选法共有种.23．（5分）记 a,b,c,d,e,f 为 1,2,3,4,5,6 的任意一个排列，则 (a +b)(c +d)(e +f) 为偶数的排列的个数共有 .答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】4名大一新生分成2个组，一组1人另一组3人或2个组各2人，有C 41+C 42A 22种方案，3个社团选择2个社团，有C 32种方案，把2个组分配给2个社团，有A 22种方案，由题意可得这4名大一新生恰好加入其中2个社团的不同情况有(C 41+C 42A 22)C 32A 22=42种．故答案为：C【分析】利用已知条件结合排列数公式和组合数公式，再结合分步乘法计数原理，进而得出这4名大一新生恰好加入其中2个社团的不同情况的种数。