高三数学-高考复习讲义-任意角的三角比讲义资料(Word版)

第一讲——任意角的三角比复习知识要点一、注意几个概念：正角、零角、负角，终边相同的角，象限角，轴线角（象限界角），区域角； （1）终边相同的角的集合 ；（2）终边分别在第一、二、三、四象限内的角的集合分别为：第一象限： ；第二象限： ； 第三象限： ；第四象限： ； 终边在坐标轴上的角的集合分别为：x 轴上： ；y 轴上： ；坐标轴上： 。

（3） 常见特殊角的角度数与弧度数对照表：角度数 0︒30︒45︒60︒90︒120︒150︒180︒270︒360︒弧度数（4）弧长公式与扇形面积公式若扇形圆心角的弧度数为(02)ααπ<<，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则 （1）_____l =；（2）________S ==二、任意角的三角比1、任意角的三角比（1）定义： 点(,)P x y 是任意角α终边上的任意一点，记22r x y =+规定：sin ___,cos ___,tan ___,cot ___,sec __,csc ___αααααα======说明： ①三角比中角α的范围：sin α（α∈ ） cos α（α∈ ） tan α（α≠ ）cot α（α≠ ） sec α（α≠ ）csc α（α≠ ）（2）特殊角的三角比：α点P 坐标 sin αcos αtan αcot αsec αcsc α2π π32π（三）各个象限内的角三角比的符号：αsin αcos αtan αcot αsec αcsc α第一象限 第二象限 第三象限 第四象限三、同角三角比的关系1、倒数关系： ； ； .2、商数关系： ； .3、平方关系： ； ； .任意角三角比检测题一、填空题4*5=201、用弧度制表示终边在一、三象限的角的集合为2、已知α是第二象限角且cos 02α<, 则2α是第几象限的角 。

3、若π02α-<<，则点(cos ,sin )Q αα位于第 象限。

cot αtan α高三数学-高考复习讲义-同角三角比与诱导公式1. 同角三角比的关系（1）倒数关系：sin csc 1αα⋅=；cos sec 1αα⋅=；tan cot 1αα⋅=； （2）商数关系：sin tan (cos 0)cos αααα=≠；cos cot (sin 0)sin αααα=≠； （3）平方关系：22sin cos 1αα+=；221tan sec αα+=；221cot csc αα+=. 这些关系式还可以如图样加强形象记忆： （1） 对角线上两个函数的乘积为1(倒数关系).（2） 任一角的函数等于与其相邻的两个函数的积(商数关系).（3） 阴影部分，顶角两个函数的平方和等于底角函数的平方(平方关系). 注意：1） “同角”的概念与角的表达形式无关，如：13cos 3sin 22=+αα，2tan2cos2sinααα=.2）上述关系（公式）都必须在定义域允许的范围内成立.3）由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用,若使用时,要注意讨论符号. ⑴ 基本应用：知一求二，可以通过构造直角三角形求值，同时注意三角函数值的符号； 例：①设α是第二象限角，sin α=，则cos α=_______ ;tan α=_______． ②设α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α=_______ ;cos α=_______．⑵ 变形应用一：由()2sin cos 12sin cos x x x x ±=±⋅得：sin cos sin cos sin cos x xx x x x+↔-在符号确定的情况下，可以知一求二．进而求出sin cos tan x x x ，，的值．例：已知7sin cos 13αα-=，则sin cos αα= ; sin cos αα+= ． ⑶ 变形应用二：在已知tan x 的情况下，可以直接处理关于sin x 与cos x 的齐次分式（所谓齐次分式是指分子与分母的所有单项式次数都相同）．例：已知tan 2α=，则sin 2cos 3sin 4cos αααα+=+_____；2222sin sin cos 2cos sin 2cos αααααα+-=+_____． ⑷ 注意“1”的变形使用：221sin cos αα=+．可用于配平方式与齐次式转化．后面三角恒等变换中还会学习更多的关于1的转化．例：① π02θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，=( )A ．sin cos θθ+B ．sin cos θθ--C ．sin cos θθ-D ．cos sin θθ-②已知tan 2α=，则2sin sin cos 1ααα=+_____．2. 诱导公式诱导公式的推导可以从点的对称得到：如图，若角α的终边与单位圆的交点为()P x y ，，则cos x α=，sin y α=．根据圆的对称性，有如下结论：⑴ πα+的终边与角α的终边关于原点对称，与单位圆的交点为()1P x y --，； πα-的终边与角α的终边关于y 轴对称，与单位圆的交点为()2P x y -，； ⑵ α-的终边与角α的终边关于x 轴对称，与单位圆的交点为()3P x y -，；⑶ π2α-的终边与角α的终边关于直线y x =轴对称，与单位圆的交点为()4P y x ，．【结论】第一组：sin(2)sin cos(2)cos k k πααπαα+=+=tan(2)tan cot(2)cot ()k k k Z πααπαα+=+=∈ 第二组：sin()sin cos()cos αααα-=--= tan()tan cot()cot αααα-=--=-第三组：sin()-sin cos()cos πααπαα+=+=- tan()tan cot()cot πααπαα+=+= 第四组：sin()sin cos()-cos πααπαα-=-= tan()-tan cot()-cot πααπαα-=-= 第五组：sin()cos cos()sin 22ππαααα-=-= tan()cot cot()tan 22ππαααα-=-=第六组：sin()cos cos()sin 22ππαααα+=+=- tan()cot cot()tan 22ππαααα+=-+=-诱导公式有统一的记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”．奇变偶不变指的是对于任意三角函数，以πsin 2y m ϕ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭为例，若m 为偶数，则函数名不改变．若m 为奇数，则函数名改变成余弦；符号看象限是指，假定ϕ为第一象限内的角，根据πsin 2m ϕ⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭的正负判断变换后的三角函数的符号，所以主要是看π2m ϕ⋅+所在的象限．如：πsin 22ϕ⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭，偶不变，值与sin ϕ同，ϕ是第一象限角时，π22ϕ⋅+在第三象限，于是πsin 22ϕ⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭为负，故有负号，即πsin 2sin 2ϕϕ⎛⎫⋅+=- ⎪⎝⎭；再如：πsin 2ϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，奇变，π2ϕ+在第二象限，正弦为正，故πsin cos 2ϕϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．ϕ为什么要取第一象限角？其实诱导公式都是恒等式，即对任意的ϕ都成立，所以ϕ取第几象限的角都没关系，但是当ϕ不是第一象限角时，推导符号时需要考虑两边，如πsin 22ϕ⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭与sin ϕ相关，当ϕ为第三象限角时，sin 0ϕ<，π22ϕ⋅+是第一象限角，πsin 202ϕ⎛⎫⋅+> ⎪⎝⎭，从而符号为负，即有πsin 2sin 2ϕϕ⎛⎫⋅+=- ⎪⎝⎭．我们当然希望越简单越好，所以我们默认取第一象限角．其实不是必须的，只是为了符号好确定．一、同角三角比的关系 1、三角比求值 【例1】已知1sin 3α=，(,)2παπ∈，求cos α、tan α的值．【例2】已知8cos 17α=-，求sin tan αα，的值．【例3】已知，求、和．【例4】已知cos b α=（||1b <），求sin α，tan α的值．2、正余弦应用【例5】已知：α是三角形的内角，若1sin cos ,tan 5ααα+=求的值．【例6】已知(0,2),sin cos θπθθ∈和是方程210x kx k +++=的两个根，求k 和θ的值．【例7】已知，求 （1）；（2）；（3）；（4）5tan 12α=sin αcos αcot α1sin cos 2αα+=sin cos αα⋅33sin cos αα+tan cot αα+22tan cot αα+【例8】如果满足条件3sin 542cos 5k k k k θθ-⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，则θ所在象限是________．【例9】已知1sin cos 3αα+=，(0,)απ∈，求sin cos αα、sin cos αα-的值．3、正切应用【例10】已知ααcos 2sin =，求的值。

课题任意角的三角比1、任意角及其度量一、知识梳理I、角的概念的推广1、角的定义一条射线由原来的位置 0A绕着它的端点 0旋转到另一位置 0B所形成的图形就是角。

旋转开始时的射线 0A叫做角的始边，旋转终止时的射线 0B叫做角a的终边，射线的端点 0叫做角a 的顶点。

2、角的分类(1)按旋转方向分类可分为正角、负角和零角按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，一条射线没有作任何旋转时，这时形成的角叫做零角。

(2)按角的终边位置分类在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，角的终边(除端点外)落在第几象限，就说这个角是第几象限角，当角的终边落在坐标轴上就认为这些角不属于任何象限。

3、终边相同的角的集合表示所有与角终边相同的角，连同角在内可以用式子 k 360 ° , ( k € Z )来表示，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和。

【终边落在坐标轴上的角的集合表示】终边落在 x轴的正半轴上： _________________________________终边落在 x轴的负半轴上： _________________________________终边落在 y轴的正半轴上： _________________________________终边落在 y轴的负半轴上： _________________________________终边落在x轴上：__________________________________终边落在y轴上：__________________________________终边落在坐标轴上：__________________________________【象限角的集合表示】第一象限角：__________________________________第二象限角：__________________________________第三象限角：_________________________________第四象限角：__________________________________【几类特殊角的表示】终边在第一、三象限角平分线：_____________________________________终边在第二、四象限角平分线：_____________________________________例2、在下列各角中与 330°角的终边相同的是A . 510 °B . 150 °C 例3、将下列各角化成+2k(0<<2, /八22(1) ;(2)- 315 °3是正角。

龙文教育学科教师辅导讲义教师：学生：时间:2010年5月29 日13；00-15：00 段3、已知角α的终边与函数y=-3x 的图形重合，求角α的各三角比的值。

4、已知角α的终边与x 轴重合，求cos α得值。

评注：三角比的定义是三角知识的源头，务必充分理解，灵活应用，熟练掌握。

Ⅱ、三角函数线： 1、正弦线： 无论α是第几象限角，过α的终边与单位圆的交点P 作x 轴的垂线，交x 轴于M ，有向线段MP 的符号与 点P 的纵坐标y 的符号一致，长度等于｜y ｜． 所以有→MP =y=sin α．我们把有向线段→MP 叫做 角α的正弦线，正弦线是角α的正弦值的几何形式． 2、余弦线：有向线段→OM 叫做α的余弦线。

3、正切线：过A （1，0）点作单位圆的切线（x 轴的垂线），设α的终边 或其反向延长线与这条切线交于T 点，那么有向线段→AT 叫做 角α的正切线。

例1 作下列角的三角函数线：（1）3π； （2）－32π。

单位圆r=1例2 比较下列各组数的大小：例3根据下列三角函数值，求作角α的终边，然后求角α的取值集合。

例4已知角α∈（0，2π），应用三角函数线证明：sin α＜α＜tan α。

针对性练习：1. 已知：βαsin sin >，那么下列命题成立的是（ ） A ．若α、β是第一象限的角，则cos α>cos β. B. 若α、β是第二象限的角，则tan α>tan β. C. 若α、β是第三象限的角，则cos α>cos β. D. 若α、β是第四象限的角，则tan α>tan β. 2．求下列函数的定义域：（1） y = 1cos 2-x ； (2) y = lg(3－4sin2x) 。

评注:三角函数线是三角比值得几何形式，要重点掌握，应用三角函数线可以得到下列结论：(1) sin 2α + c os 2α = 1；(2)│sin α│ + │cos α│≥1；(3) -1≤sin α≤1, -1≤cos α≤1, tan α∈R ；(4) 若两角终边互为反向延长线，则两角的正切值相等,正弦、余弦值互为相反数； (5) 当角的终边在第一象限逆时针旋转时，正弦、正切值逐渐增大，余弦值逐渐减小； (6) 当角的终边在直线x y =的右下方时, sin α＜cos α;当角的终边在直线x y =的左上方时, sin α＞cos α。

高中数学知识点播主讲人：龚老师§5.04 三角比之任意角的三角比一、知识清单任意角的三角比的定义.设α是一个任意角，α的终边上的任意一点P （除端点外）的坐标是（x ，y ），则点P 与原点O 的距离(及OP 的长度)为r=22y x +>0，那么： 比值r y 叫做的α正弦，记作sin α，即sin α=ry ； 比值r x 叫做的α余弦，记作cos α，即cos α=rx ； 比值x y 叫做的α正切，记作tan α，即tan α=x y ；（x ≠0，则α≠πk +2π，k ∈Z ） 比值y x 叫做的α余切，记作cot α，即cot α=yx ；（y ≠0，则α≠πk ，k ∈Z ） 比值x r 叫做的α正割，记作sec α，即sec α=x r ；（x ≠0，则α≠πk +2π，k ∈Z ） 比值y r 叫做的α余割，记作csc α，即csc α=y r ；（y ≠0，则α≠πk ，k ∈Z ）二、知识剖析如图所示，α的终边为OP ，则在第一象限的点P （x,y ），过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，那么在Rt △APM 中，sin α=OP PM =r y ，cos α=OPOM =r x ，tan α=OM PM =x y ，cot α=PM OM =y x ，sec α=OM OP =x r ，csc α=MPOP =y r 。

其实，这里就转化到了直角三角形中，就是同学们熟悉的内容了。

那么对于终边在其他象限也是一样的，三角比的正负的符号只跟x 、y 相关了。

这个就留给同学们课后去思考咯。

三、 例题讲解1、角α的顶角与直角坐标系的原点重合，始边在x 轴的正半轴上，终边经过点P(—1,2)则cos α= .分析：x = —1，y=2，则r=22y x +=5∴ cos α=r x =51-=55-2、若角α的终边在直线y=—3x 上，则sin αcos α=________.分析：可取直线上的一点P(1,—3)，则x = 1，y=—3，则r=22y x +=2∴ sin α=r y =23-，cos α=r x =21 ∴ sin αcos α=23-×21=43-四、随堂练习1、 已知点P 为角α终边上的一点，到原点O 的距离为10，且tan α=31-（0<α<π），求点P 的坐标。

任意角的三角比讲义一、角度的定义和表示1. 角度的定义角度是度量两条射线之间旋转的大小。

角度的度量单位是度（°）或弧度（rad）。

2. 角度的表示角度可以用三种形式进行表示：度（°），分（’）和秒（’’）。

例如，一个角度为60度15分20秒，则可以表示为60°15’20’’。

二、任意角的三角比1. 任意角任意角是指一个角度可以不是90度的角度。

2. 正弦、余弦、正切函数在任意角的情况下，我们仍然可以计算三角函数的值。

例如，对于一个任意角A，我们可以定义其正弦、余弦和正切函数分别为SIN(A)、COS(A)和TAN(A)。

其中，正弦函数的值等于对边与斜边的比值，余弦函数的值等于邻边与斜边的比值，正切函数的值等于对边与邻边的比值。

3. 三角函数的性质在任意角的情况下，三角函数仍然具有一些重要的性质。

3.1 周期性正弦函数和余弦函数的周期均为360度或2π弧度，即它们在每经过360度或2π弧度时会重复一次。

正切函数的周期为180度或π弧度，即它们在每经过180度或π弧度时会重复一次。

3.2 值域正弦函数和余弦函数的值域均为[-1,1]，即它们的函数值均在这个范围内。

正切函数的值域为所有实数，即正切函数可以取到任意实数的值。

4. 三角函数的应用在实际问题中，三角函数广泛应用于各种领域，如物理、工程、地理等。

例如，在三角学中，我们可以使用正弦函数和余弦函数来计算两个角度之间的距离、高度等。

在物理学中，我们可以使用三角函数来计算力的大小和方向等问题。

三、小结任意角的三角比是三角函数的重要部分，它在数学、物理和工程等领域都有着广泛的应用。

我们需要了解三角函数的定义、性质和应用，以便能够在实际问题中进行计算和分析。

第一节 任意角、弧度制、任意角的三角函数方向比勢力更重要1-备考方向明确数问题.知识链条完善(对应学生用书第57〜58页)一、角的有关概念 1. 角的形成角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置 所成的图形.角，连同角a 在内，可构成一个集合:S={ B | B = a +k • 360° ,k € Z}或 { B | B = a +2k n ,k € Z}.1. 概念理解(1) 角的取值范围是任意大小的正角、负角和零角.⑵ 注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角，是概念不同 的三类角.第一类是象限角，第二类、第三类是区间角，其次，“小于 90°的角”不等同于“锐角”，“锐角”不等同于“第一象限角”， 锐角为{ a |0 ° < a <90° },第一象限角为{ a |k • 360° < a<k • 360° +90° ,k € Z},小于90°的角包括锐角、负角、零角. 2. 与象限角、轴线角相关的结论第一象限角：｛ a |k • 360° < a <k • 360° +90° ,k € Z ｝;［把散落正角：按 ________ 方向旋转而成的角按旋转方向负角:按方向旋转而成的角就是第几象限角轴线角：角的终边落在坐标轴上第二象限角：｛a|k •360°+90°<a <k •360°+180° ,k €Z｝;第三象限角：｛a|k •360°+180°<a <k • 360° +270°,k €Z｝;第四象限角:｛a|k •360°-90 °<a <k •360°,k € Z｝.终边在X轴非负半轴上的角：｛a | a =2k n ,k € Z｝；终边在X轴非正半轴上的角：｛a | a =(2k-1) n ,k € Z｝；终边在y轴非负半轴上的角：｛a | a =2k n + 3,k € Z｝；终边在y轴非正半轴上的角：｛a | a =2k n -亍,k € Z｝；终边在X轴上的角：｛a | a =k n ,k € Z｝；终边在y轴上的角：｛a | a =k n +f,k € Z｝；终边在坐标轴上的角：｛a | a =k2,k € Z｝.3. 与终边相同角的表示相关的结论(1) 相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍.(2) 终边在一条直线上的角之间相差180°的整数倍；终边在互相垂直的两条直线上的角之间相差90°的整数倍.(3) 角的集合表示形式不是唯一的.二、弧度制1. 定义长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.弧度记作rad.2. 公式3.规定正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0.1. 概念理解(1) 1弧度的角与弧长、半径的大小无关，而是决定于两者的比值；(2) 扇形的面积公式S=l l • r可类比三角形的面积公式(底边长与对应高的乘积的一半)来记忆.2. 与度量制相关的知识在同一个式子中角度制和弧度制不能混用.如与」终边相同的角，不3能表示为{ a | a =2k n +60° ,k € Z},应表示为{ a | a =2k n +」,k € Z}3或{ a | a =k • 360° +60° ,k € Z}.三、任意角的三角函数1. 定义设角a终边与单位圆交于P(x,y),贝S sin a二y,cos a =x,tan a二 Y(X 工0).X2. 三角函数值在各象限内符号为正的口诀一全正,二正弦,三正切,四余弦.3. 几何表示三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0).如图中有向线段MP,OM,A■分别叫做角a的正弦线、余弦线、正切线.1. 概念理解(1) 在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，设P(x,y),它与原点的距离为r,则sin a二丄,cos a =- ,tan a二丄，当a =k n + - (k r r x 2 € Z)时，a的终边在y轴上，点P的横坐标x=0,此时tan a无意义.⑵三角函数线即平面向量，其中正弦线的起点在x轴上，余弦线的起点为原点，正切线的起点为(1,0).2. 与三角函数定义的应用求值相关的结论(1)已知角a终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r,然后用三角函数的定义求解.⑵已知角a的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题.若所给的终边是射线，三角函数值只有一种情况；若所给的终边是直线，注意要讨论两种情况，避免漏解.若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角a的三角函数值.⑶若角a终边上的点的坐标中含有参数，要讨论参数的各种情况，以确定角a 终边所在的象限，进一步正确得出各个三角函数值.1•点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动勺弧长到达Q点，则点3Q的坐标为(A )(A) (- 1, f) (B)(- 4，~ 2) (C)(- 2,- -23) (D)(- -23,2)解析：由三角函数定义可知点Q的坐标(x,y)满足x=cos 2n=-2 ,y=sin 2n =工.故选A.3 2， 3 22. 若2n<a <2n ,则直线亠+丄=1必不经过(B )2 cosa sin a(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限解析：判断cos a >0,sin a <0,数形结合可知选B.3. 若a是第二象限的角，则下列结论一定成立的是(C )(A)sin 二>0 (B)cos 二>02 2(C)tan 寸>0 (D)sin 专cos |<0 解析:因为n+2k n < a < n +2k n ,k € Z,2所以n+k n v=v n+k n,k € Z.4 2 2当k为偶数时，：是第一象限角；当k为奇数时，寸是第三象限角，即tan寸>0一定成立，故选C.4. 若a与B的终边关于X轴对称,则有(C )(A) a + B =90°(B) a + B =90° +k • 360°,k € Z(C) a + B =2k • 180°,k € Z(D) a + B =180°+k • 360° ,k € Z解析：因为a与B的终边关于X轴对称，所以B =2k・180° - a ,k € Z.故选C.5. (2018 •北京卷)在平面直角坐标系中，AB,CD,EF,GH是圆x2+y2=1 上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角a以OX为始边,OP为终边,若tan a <cos a <sin a ,则P所在的圆弧是( C )(A) AB (B) CD (C) EF (D) GH1E rf4-i 弋.A0；工A解析:由题知四段弧是单位圆上的第一、二、三象限的弧在AB上,tan a >sin a,不满足；在CD上,tan a >sin a,不满足；在EF上,sin a >0,cos a <0,tan a <0,且cos a >tan a ,满足;在GH上,tan a >0,sin a <0,cos a <0,不满足.故选C.6. (2018 •绍兴调研)弧长为3n,圆心角为135°的扇形半径为_______ ,面积为________ .解析:135 ° =135X上=匹(弧度),由a =1,得r二丄二|n=4,S扇形180 4 r a 3.3~4= l lr= - X 4X 3 n =6 n .2 2答案:4 6n-高频考点突破--------- 在训练中掌握方法------------- (对应学生用书第58〜59页)考点一象限角及终边相同的角【例1】(1)设集合M={x|x二号• 180° +45° , k €Z},N={x|x= 4 • 180° +45° , k € Z},判断两集合的关系()(A)M=N (B)M N(C)N M( D)MA N=.⑵已知角a的终边落在阴影所表示的范围内(包括边界),则角a的集合为.⑶已知角a是第一象限角，则2a冷终边分别在___________解析:(1)由于M={x|x=k• 180° +45° , k € Z}={…,-45 °,45°,135°,225 °，…},N={x|x= k •180°+45°,k €Z}={…,-45° ,° ,45 °,90 ° ,135 ° ,180 ° ,225 ° ,…},显然有MN.故选B.⑵在0°〜360°范围内，终边落在阴影内的角为90°< a益135° 或270°< a< 315° .所以终边落在阴影所表示的范围内的角a的集合为{ a |90 +k • 360°< a < 135° +k • 360° ,k € Z} U { a|270 +k • 360°< a <315°+k • 360°,k € Z}={ a |90 +2k • 180°< a < 135°+2k • 180°,k € Z} U{ a |90 +(2k+1) • 180°< a < 135° +(2k+1) • 180°,k € Z}={ a |90 +n • 180°w a w 135° +n • 180°,n € Z}.(3)因为2k n <a <2k n + n,k € Z,所以4k n <2 a <4k n + n ,k € Z. k n <=vk n + -,k € Z.2 4所以2a终边在第一或第二象限或在y轴非负半轴上，专角终边在第一或第三象限.答案：(1)B(2) { a |90 °+n • 180°w a w 135° +n • 180°,n € Z}(3) 第一或第二象限或y轴非负半轴上，第一或第三象限(1) 利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角.⑵利用终边相同的角的集合S={B | B =2k n +a ,k € Z}判断一个角B 所在的象限时，只需把这个角写成［0,2 n )范围内的一个角a与2n的整数倍的和，然后判断角a的象限.(3)角a与|所在象限的关系：如图所示，若a为第一象限角，则专为第一、三象限角，其终边所在位置即图中I所在位置•1. 已知点P(sin 0 cos 0 ,2cos 0 )位于第三象限，则角0的终边所在的象限是(B )(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限解析：因为点P(sin 0 cos 0 ,2cos 0 )位于第三象限，所以sin 0 cos 0 <0,2cos 0 <0,即sin「°，]cos v ：：:0,所以0为第二象限角，故选B.2. a 为第一象限角，则sin a +cos a ________ 1.(填“>”<”或“二”)解析：特殊值法，可取a = - ,sin a +cos a = 2>1.4答案：> 考点二扇形的弧长、面积公式【例2】已知一扇形的圆心角为a ( a >0),所在圆的半径为R.(1) 若a =60° ,R=10 cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2) 若扇形的周长是一定值C(C>0),当a为多少弧度时，该扇形有最大面积？解:(1)设弧长为I,弓形面积为S弓,则a =60° =n rad,R=10 cm,匸n x I0=10n(cm),S 弓=S扇-S 三角形=—x 1°^ x 10- —x 10 x sin n 2 32 3=50n - 502=50(n-J)(cm2).3 2 3 2⑵扇形周长C=2R+l=2R a R,所以R』,2-hot所以s扇=2a•厲a•(亡)2c2. 1=—a 22 4 +ot=d •1< d24 」16■a当且仅当a 2=4,即a =2 rad时,扇形面积有最大值匚16(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.⑵求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决.⑶在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.k迂務翅蜒若扇形的圆心角是a =120° ,弦长AB=12 cm,则弧长l等于(B )(A) 4-^ n cm (B) 8-3n cm3 3(C)4 3 cm (D)8 3 cm解析:设扇形的半径为r cm,如图.由sin 60 ° =6,r得r=4 - cm, 所以l=| a | • r二勺x 4 3 =L2 n cm.故选 B.3 3考点三三角函数的定义的应用【例3】已知角a的终边上一点P(- 3,m)(m工0),且sin a二』，4求cos a ,tan a 的值.解：由题设知x=- 3,y=m,所以r2=|OP|2=(- 3)2+m(O 为原点),r= 3 亠m2.所以sin a 二m=4 二m ,r 4 2迈所以r= 3—m2=2 2 ,即3+吊=8,解得m=± 5.当m= 5 时,r=2 2 ,x=- 3 ,y= . 5,所以cos a二務=-工,2^2 4tan a 二-上；3 '当m=- 5日寸,r=2 2 ,x=- -73 ,y=- ?5,所以cos a = _ 3=-乜，2*；2 4tan a =』.3Ed 利用三角函数的定义求一个角的三角函数值，需确定三个量:角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x,纵坐标y,该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意“在终边上任取一点”应分为两种情况（点所在象限不同）进行分析.1.已知角a的终边与单位圆的交点P(-1 ,y),则sin a • tan a等于(C )(A)- £(B) 士身(C)- I (D) 士 3解析：由|OP|2=1+y2=1,得y2=4,y= 士f.当yr-3时,sin a =— ,tan a =- 3 ,此时,sin a • tan a当y二-_3时,sin a =- -^ ,tan a = 3 ,此时,sin a • tan a =--.故选 C.22.已知角0的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴，若P（4,y）是角0 终边上一点，且sin 0二-乙5 ,则y= .5解析:|0P|= .4^7,根据任意角三角函数的定义可得'=-晋，可5/16 + y2知y<0,解得y=-8.答案:-8考点四易错辨析【例4】如图所示，已知I 1丄12,圆心在|1上、半径为1 m的圆0在t=0 时与12相切于点A,圆O沿l 1以1 m/s的速度匀速向上移动，圆被直线12所截上方圆弧长记为x,令y=cos x,则y与时间t（0 < t < 1,单位:s）的函数y=f（t）的图象大致为（）a ,则a =X,如图所示,解析：圆半径为1,设弧长x所对的圆心角为cos =1-t,2即cos -=1-t,22 2则y=cos x=2cos 专-仁2(1-t) -12=2(t-1) -1(0 < t < 1).其图象开口向上，在［0,1］上的一段抛物线.故选B.二,(1)不理解题意,运动变化的观念淡薄，近年来高考注重了由“静态数学”向“动态数学”的引导，一般以简单几何图形的平移、滑动、滚动等形式，运用三角知识考查分析问题、解决问题的能力.(2) 没有抓住不变量：a =X,cos专=1-t.三角定义掌握与应用不熟练.(3) 求解二次函数图象时易忽略t的范围.，迁務训竦如图所示,质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为 P 0( ,2,- 2),角速度为1,那么点P 到X 轴的距离d 关于时间t 的函数 图象大致为(C所以/ P o Ox=n .4由三角函数定义，知点P 的纵坐标为2sin(t-寸), 因此d=2|sin(t-訓. 令 t=0,则 d=2|sin(- n )|= 2,当t=上时,d=0,4故选C.解析：因为P 0( ■ ,- 2),按逆时针转时间t 后,得/ POP=t, / POx=t-二 4(P)(B)。