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第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数板块一 知识梳理·自主学习[必备知识]考点1 角的概念1．分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.2．终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z}．考点2 弧度的定义和公式1．定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. 2．公式：(1)弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度；(2)弧长公式：l ＝|α|r ；(3)扇形面积公式：S 扇形＝12lr 和S 扇形＝12|α|r 2.说明：(2)(3)公式中的α必须为弧度制． 考点3 任意角的三角函数1．定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x(x ≠0)．2．几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示. 正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．[必会结论]1．三角函数值的符号规律三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 2．任意角的三角函数的定义(推广)设P (x ，y )是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O 的距离为r ，则sin α＝y r，cos α＝x r ，tan α＝y x(x ≠0)．[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)第一象限角必是锐角．( ) (2)不相等的角终边一定不相同．( )(3)终边落在x 轴非正半轴上的角可表示为α＝2k π＋π(k ∈Z). ( )(4)1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位．( ) (5)三角函数线的方向表示三角函数值的正负．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√2．[课本改编]下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z)B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z)C ．k ·360°－315°(k ∈Z)D ．k π＋5π4(k ∈Z) 答案 C解析 与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4(k ∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有C 正确．3.[课本改编]若sin α＜0且tan α＞0，则α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角答案 C解析 sin α＜0，则α为第三、四象限角或y 轴负半轴上的角，tan α＞0，则α为第一、三象限角，故α为第三象限角．选C.4．若角α终边上有一点P (x,5)，且cos α＝x13(x ≠0)，则sin α＝________.答案513解析 ∵cos α＝x x 2＋25＝x13，x ＝±12，∴sin α＝513. 5．[2018·石家庄模拟]已知角α的终边在直线y ＝－x 上，且cos α＜0，则tan α＝________.答案 －1解析 如图，由题意知，角α的终边在第二象限，在其上任取一点P (x ，y )，则y ＝－x ，由三角函数的定义得tan α＝y x ＝－xx＝－1.板块二 典例探究·考向突破考向 象限角及终边相同的角例1(1)设集合M＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z，判断两集合的关系( ) A ．M ＝N B ．M NC ．NM D ．M ∩N ＝∅答案 B解析 解法一：由于M ＝{|x x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M N .解法二：在集合M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝45°·(2k ＋1)，2k ＋1是奇数；在集合N 中，x ＝k4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M N .故选B.(2)设角α是第二象限的角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则α2是第________象限角．答案 三解析 因为α是第二象限角，所以α2是第一或第三象限角．又因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，所以cosα2<0.故α2是第三象限角． 触类旁通终边相同角的集合的应用利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需角．【变式训练1】 (1)[2018·潍坊模拟]集合⎩⎨⎧ α |k π＋π4≤α⎭⎬⎫≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )答案 C解析 当k ＝2n (n ∈Z)时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2， 此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z)时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与5π4≤α≤3π2表示的范围一样．(2)[2018·绵阳质检]点A (sin2018°，cos2018°)在直角坐标平面上位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 C解析 sin2018°＝sin218°＝－sin38°＜0，cos2018°＝cos218°＝－cos38°＜0.选C 项．考向 三角函数的定义及其应用命题角度1 利用定义求三角函数值例 2 已知角α的终边经过点P (－4a,3a )(a <0)，则2sin α＋cos α的值为( ) A ．－25B.25 C ．0 D.25或－25答案 A解析 因为x ＝－4a ，y ＝3a ，a ＜0，所以r ＝－5a ，所以sin α＝－35，cos α＝45，2sin α＋cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋45＝－25.故选A.命题角度2 判断三角函数值的符号 例 3 若sin αtan α＜0，且cos αtan α＜0，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角答案 C解析 角α在第三象限时，sin α＜0，cos α＜0，tan α＞0，满足题意．选C 项． 命题角度3 利用三角函数的定义求参数的值例 4 已知角α的终边上一点P (－3，m )(m ≠0)，且sin α＝2m 4，求cos α，tan α的值．解 由题设知x ＝－3，y ＝m ，∴r 2＝|OP |2＝(－3)2＋m 2(O 为原点)，r ＝3＋m 2. 从而sin α＝m r＝2m 4＝m 22，∴r ＝3＋m 2＝22，于是3＋m 2＝8，解得m ＝± 5. 当m ＝5时，r ＝22，x ＝－3，y ＝5， ∴cos α＝－322＝－64，tan α＝－153； 当m ＝－5时，r ＝22，x ＝－3，y ＝－5， ∴cos α＝－322＝－64，tan α＝153. 触类旁通三角函数定义问题的常见类型及解题策略(1)已知角α终边上一点P 的坐标，可求角α的三角函数值：先求点P 到原点的距离，再用三角函数的定义求解．(2)已知角α的某三角函数值，求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(3)三角函数值的符号及角的终边位置的判断．已知一角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角终边的位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况．考向 扇形的弧长、面积公式的应用例 5 若扇形的周长为10，面积为4，则该扇形的圆心角为________． 答案12 解析 设圆心角是θ，半径是r ， 则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋r θ＝10，12θ·r 2＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，θ＝8(舍)或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，θ＝12，故扇形的圆心角为12.若去掉本例条件“面积为4”，则当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？解 设圆心角是θ，半径是r ， 则2r ＋r θ＝10.S ＝12θ·r 2＝12r (10－2r )＝r (5－r )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫r －522＋254≤254，当且仅当r ＝52时，S max ＝254，θ＝2.所以当r ＝52，θ＝2时，扇形面积最大．触类旁通弧长和扇形面积的计算方法(1)在弧度制下，记住下列公式①弧长公式：l ＝|α|r ；②扇形的面积公式：S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形的圆心角，r 是扇形的半径)．(2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量． 【变式训练2】 [2018·盐城模拟]扇形AOB 的周长为8 cm. (1)若这个扇形的面积为3 cm 2，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB . 解 设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α， (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6，∴α＝l r ＝23或α＝lr＝6.(2)∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝14l ·2r ≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫l ＋2r 22＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝4，当且仅当2r ＝l ，即α＝l r ＝2时，扇形面积取得最大值，∴r ＝2，∴弦长AB ＝2sin1×2＝4sin1. 核心规律1.在利用三角函数定义时，点P 可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点．|OP |＝r 一定是正值．2.三角函数符号是重点，也是难点，在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．3.在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧． 满分策略1.注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2.角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用．3.已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况.板块三 启智培优·破译高考易错警示系列4——三角函数定义中忽略分类讨论致误[2018·福州检测]若角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α和tan α的值．错因分析 由终边上一点求三角函数时，没有考虑参数的取值情况，没有分类讨论，而直接求出r ＝5a ，导致错误．解 设α终边上任一点为P (－4a,3a )，当a >0时，r ＝5a ，sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34；当a <0时，r ＝－5a ，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34.答题启示 对于利用三角函数定义解题的题目中，如果含有参数，一定要考虑运用分类讨论.在分类讨论时要注意统一分类标准，明确分类的对象，逐类讨论，最后归纳总结.跟踪训练已知角θ终边上一点P (x,3)(x ≠0)且cos θ＝1010x ，求sin θ，tan θ的值． 解 ∵r ＝x 2＋9，cos θ＝x r， ∴1010x ＝xx 2＋9. 又∵x ≠0，∴x ＝±1.又∵y ＝3＞0，∴θ是第一或第二象限角． 当θ为第一象限角时，sin θ＝31010，tan θ＝3； 当θ为第二象限角时，sin θ＝31010，tan θ＝－3. 板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 B解析 因为点P 在第三象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧tan α＜0，cos α＜0，所以角α的终边在第二象限．2．已知角α的终边与单位圆的交点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，32，则tan α＝( ) A. 3 B ．± 3 C.33D ．±33答案 B 解析 ∵P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，32在单位圆上，∴x ＝±12. ∴tan α＝± 3.3．[2018·成都模拟]已知角α＝2k π－4π3(k ∈Z)，则|sin α|sin α＋tan α|tan α|的值是( )A ．0B ．2C ．－2D ．不存在答案 A解析 因为α＝2k π－4π3(k ∈Z)是第二象限角，所以sin α＞0，tan α＜0，所以|sin α|sin α＋tan α|tan α|＝1－1＝0.4．设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( )A.43B.34 C ．－34D ．－43答案 D解析 ∵α是第二象限角，∴x ＜0.又由题意知xx 2＋42＝15x ，解得x ＝－3.∴tan α＝4x ＝－43.5．[2018·衡中模拟]若θ是第二象限角，则下列选项中能确定为正值的是( ) A ．sin θ2 B ．cosθ2C ．tanθ2D ．cos2θ答案 C解析 由θ是第二象限角可得θ2为第一或第三象限角，所以tan θ2＞0.故选C. 6．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．2或4答案 C解析 设此扇形的半径为r ，弧长为l ， 则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝6，12rl ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝2.从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝22＝1.7．[2018·汕头模拟]sin2·cos3·tan4的值( ) A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0 D ．不存在答案 A解析 ∵π2＜2＜3＜π＜4＜3π2，∴sin2＞0，cos3＜0，tan4＞0.∴sin2·cos3·tan4＜0.∴选A.8．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.答案 －8 解析 因为sin θ＝y42＋y2＝－255， 所以y ＜0，且y 2＝64，所以y ＝－8.9．点P 从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动8π3弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32解析 设点A (－1,0)，点P 从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动8π3弧长到达点Q ，则∠AOQ ＝8π3－2π＝2π3(O 为坐标原点)，所以∠xOQ ＝π3，cos π3＝12，sin π3＝32，所以点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.10．[2018·三明模拟]若420°角的终边所在直线上有一点(－4，a )，则a 的值为________．答案 －4 3解析 由三角函数的定义有：tan420°＝a－4.又tan420°＝tan(360°＋60°)＝tan60°＝3，故a－4＝3，得a ＝－4 3. [B 级 知能提升]1．[2018·济南模拟]已知sin θ－cos θ>1，则角θ的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 B解析 由已知得(sin θ－cos θ)2>1，即1－2sin θcos θ>1，sin θcos θ＜0，又sin θ>cos θ，所以sin θ>0>cos θ，所以角θ的终边在第二象限．2．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B ．2sin1 C.2sin1D ．sin2答案 C解析 ∵2R sin1＝2，∴R ＝1sin1，l ＝|α|R ＝2sin1.故选C. 3.[2018·厦门模拟]如图所示，角的终边与单位圆(圆心在原点，半径为1的圆)交于第二象限的点A ⎝⎛⎭⎪⎫cos α，35，则cos α－sin α＝________.答案 －75解析 由题意得cos 2α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝1，cos 2α＝1625.又cos α<0，所以cos α＝－45，又sin α＝35，所以cos α－sin α＝－75. 4．已知角α的终边过点P (－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求α的三角函数值．解 ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴－1＜cos θ＜0.∴r ＝9cos 2θ＋16cos 2θ＝－5cos θ，故sin α＝－45，cos α＝35，tan α＝－43. 5．已知扇形的圆心角是α，半径为R ，弧长为l .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；(2)若扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 解 (1)α＝60°＝π3，l ＝10×π3＝10π3(cm)． (2)由已知得：l ＋2R ＝20，所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以R ＝5时，S 取得最大值25，此时l ＝10 cm ，α＝2 rad.。
第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 B解析 因为点P 在第三象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧tan α＜0，cos α＜0，所以角α的终边在第二象限．2．已知角α的终边与单位圆的交点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，32，则tan α＝( ) A. 3 B ．± 3 C.33D ．±33答案 B 解析 ∵P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，32在单位圆上，∴x ＝±12. ∴tan α＝± 3.3．[2018·成都模拟]已知角α＝2k π－4π3(k ∈Z )，则|sin α|sin α＋tan α|tan α|的值是( )A ．0B ．2C ．－2D ．不存在答案 A解析 因为α＝2k π－4π3(k ∈Z )是第二象限角，所以sin α＞0，tan α＜0，所以|sin α|sin α＋tan α|tan α|＝1－1＝0.4．设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( )A.43B.34 C ．－34D ．－43答案 D解析 ∵α是第二象限角，∴x ＜0.又由题意知xx 2＋42＝15x ，解得x ＝－3.∴tan α＝4x ＝－43. 5．[2018·衡中模拟]若θ是第二象限角，则下列选项中能确定为正值的是( )A ．sin θ2B ．cos θ2C ．tan θ2D ．cos2θ答案 C解析 由θ是第二象限角可得θ2为第一或第三象限角，所以tan θ2＞0.故选C.6．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．2或4 答案 C解析 设此扇形的半径为r ，弧长为l ， 则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝6，12rl ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝2.从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝22＝1.7．[2018·汕头模拟]sin2·cos3·tan4的值( ) A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0 D ．不存在答案 A解析 ∵π2＜2＜3＜π＜4＜3π2，∴sin2＞0，cos3＜0，tan4＞0.∴sin2·cos3·tan4＜0.∴选A.8．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.答案 －8 解析 因为sin θ＝y42＋y2＝－255， 所以y ＜0，且y 2＝64，所以y ＝－8.9．点P 从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动8π3弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32解析 设点A (－1,0)，点P 从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动8π3弧长到达点Q ，则∠AOQ ＝8π3－2π＝2π3(O 为坐标原点)，所以∠xOQ ＝π3，cos π3＝12，sin π3＝32，所以点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32. 10．[2018·三明模拟]若420°角的终边所在直线上有一点(－4，a )，则a 的值为________．答案 －4 3解析 由三角函数的定义有：tan420°＝a－4.又tan420°＝tan(360°＋60°)＝tan60°＝3，故a－4＝3，得a ＝－4 3.[B 级 知能提升]1．[2018·济南模拟]已知sin θ－cos θ>1，则角θ的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 B解析 由已知得(sin θ－cos θ)2>1，即1－2sin θcos θ>1，sin θcos θ＜0，又sin θ>cos θ，所以sin θ>0>cos θ，所以角θ的终边在第二象限．2．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B ．2sin1 C.2sin1D ．sin2答案 C解析 ∵2R sin1＝2，∴R ＝1sin1，l ＝|α|R ＝2sin1.故选C. 3.[2018·厦门模拟]如图所示，角的终边与单位圆(圆心在原点，半径为1的圆)交于第二象限的点A ⎝⎛⎭⎪⎫cos α，35，则cos α－sin α＝________.答案 －75解析 由题意得cos 2α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝1，cos 2α＝1625.又cos α<0，所以cos α＝－45，又sin α＝35，所以cos α－sin α＝－75. 4．已知角α的终边过点P (－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求α的三角函数值．解 ∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，∴－1＜cos θ＜0.∴r ＝9cos 2θ＋16cos 2θ＝－5cos θ， 故sin α＝－45，cos α＝35，tan α＝－43.5．已知扇形的圆心角是α，半径为R ，弧长为l . (1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；(2)若扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 解 (1)α＝60°＝π3，l ＝10×π3＝10π3(cm)．(2)由已知得：l ＋2R ＝20，所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以R ＝5时，S 取得最大值25，此时l ＝10 cm ，α＝2 rad.。
2019年高考一轮复习热点难点精讲精析：3.1三角函数一、任意角和弧度制及任意角的三角函数1、三角函数的定义※相关链接※（1）已知角α终边上上点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解；（2）已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题，若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的α值。
注：若角α的终边落在某条直线上，一般要分类讨论。
※例题解析※〖例〗已知角α的终边落在直线3x+4y=0上，求sinα,cosα,tanα的值。
思路解析：本题求α的三角函数值，依据三角函数的定义，可在角α的终边上任意一点P（4t,-3t）(t≠0)，求出r，由定义得出结论。
解答：∵角α的终边在直线3x+4y=0上，∴在角α的终边上任取一点 P（4t,-3t）(t≠0)，则x=4t,y=-3t.,当t>0时，r=5t,sinα=yr=3355tt-=-,44cos55x tr tα===，33tan44y tx tα-===-；当t<0时，r=-5t，sinα=yr=3355tt-=-，44cos55x tr tα===--，33tan44y tx tα-===-。
综上可知，sinα=35-，4cos5α=，3tan4α=-；或sinα=35,4cos5α=-,3tan4α=-.2、象限角、三角函数值符号的判断※相关链接※（1）熟记各个三角函数在每个象限内的符号是关键；（2）判断三角函数值的符号就是要判断角所在的象限；（3）对于已知三角函数式的符号判断角所在象限，可先根据三角函数式的符号确定三角函数值的符号，再判断角所在象限。
※例题解析※〖例〗（1）如果点P （sin θ·cos θ,2cos θ）位于第三象限，试判断角θ所在的象限； （2）若θ是第二象限角，则sin(cos )cos(sin 2)θθ的符号是什么？思路解析：（1）由点P 所在的象限，知道sin θ·cos θ，2cos θ的符号，从而可求sin θ与cos θ的符号；（2）由θ是第二象限角，可求cos θ，sin2θ的范围，进而把cos θ，sin2θ看作一个用弧度制的形式表示的角，并判断其所在的象限，从而sin(cos θ),cos(sin2θ)的符号可定。
第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数了解任意角的概念.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化. 理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin x cos x ＝tan x .能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. 能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导 能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的 理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最了解函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出y ＝Asin(ωx ＋ 了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数1．任意角的概念(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的分类{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度记作rad.(2)公式判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．() (2)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关．( ) (3)不相等的角终边一定不相同．( ) (4)终边相同的角的同一三角函数值相等．( )(5)若α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则tan α＞sin α.( )(6)若α为第一象限角，则sin α＋cos α＞1.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√ (6)√(教材习题改编)若θ满足sin θ＜0，cos θ＞0，则θ的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选D.由sin θ＜0，θ的终边可能位于第三象限或第四象限，也可能与y 轴的非正半轴重合，cos θ＞0，θ的终边可能位于第一象限，也可能位于第四象限，也可能与x 轴的非负半轴重合，故θ的终边在第四象限．若α＝1 560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝________． 解析：因为α＝1 560°＝4×360°＋120°， 所以与α终边相同的角为360°×k ＋120°，k ∈Z ， 令k ＝－1或k ＝0可得θ＝－240°或θ＝120°. 答案：120°或－240°已知扇形的圆心角为60°，其弧长为2π，则此扇形的面积为________． 解析：设此扇形的半径为r ， 由题意得π3r ＝2π，所以r ＝6，所以此扇形的面积为12×2π×6＝6π.答案：6π象限角及终边相同的角[典例引领](1)若角α是第二象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角(2)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________． 【解析】 (1)因为α是第二象限角， 所以π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ，所以π4＋k π＜α2＜π2＋k π，k ∈Z .当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角．(2)如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0，2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，43π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－23π，－53π，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π.【答案】 (1)C (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π在本例(1)的条件下，判断2α为第几象限角？解：因为α是第二象限角，所以90°＋k ·360°＜α＜180°＋k ·360°(k ∈Z )，则180°＋2k ·360°＜2α＜360°＋2k ·360°(k ∈Z )，所以2α可能是第三象限角、第四象限角或终边在y 轴非正半轴上的角．(1)表示区间角集合的三个步骤(2)求θn或n θ(n ∈N *)所在象限(位置)的方法①将θ的范围用不等式(含有k )表示． ②两边同除以n 或乘以n .③对k 进行讨论，得到θn或n θ(n ∈N *)所在的象限(位置)．[通关练习]1．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________． 解析：所有与45°有相同终边的角可表示为： β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )， 则令－720°≤45°＋k ×360°<0°，得－765°≤k ×360°<－45°，解得－765360≤k <－45360，从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°. 答案：－675°或－315°2．若sin α·tan α<0，且cos αtan α<0，则α是第________象限角．解析：由sin α·tan α<0可知sin α，tan α异号，从而α为第二或第三象限角；由cos αtan α<0，可知cos α，tan α异号，从而α为第三或第四象限角．综上，α为第三象限角． 答案：三扇形的弧长、面积公式[典例引领]已知扇形的圆心角是α ，半径为R ，弧长为l .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；(2)若扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 【解】 (1)α＝60°＝π3，l ＝10×π3＝10π3(cm)． (2)由已知得，l ＋2R ＝20，则l ＝20－2R ，所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5时，S 取得最大值25， 此时l ＝10 cm ，α＝2 rad.弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式l ＝|α|r ，扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．(2)求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量． [提醒] 运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的度量单位为弧度制．[通关练习]1．已知扇形的半径是2，面积为8，则此扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．4 B ．2 C ．8D ．1解析：选A.设扇形的弧长为l ，则12l ·2＝8，即l ＝8，所以扇形的圆心角的弧度数为82＝4.2．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的23，面积等于圆面积的527，则扇形的弧长与圆周长之比为________．解析：设圆的半径为r ，则扇形的半径为2r 3，记扇形的圆心角为α，则12α⎝ ⎛⎭⎪⎫2r 32πr 2＝527， 所以α＝5π6.所以扇形的弧长与圆周长之比为l C ＝5π6·23r2πr ＝518.答案：518三角函数的定义(高频考点)三角函数的定义是高考的常考内容，多以选择题、填空题的形式考查，难度较小，主要有以下四个命题角度： (1)利用三角函数定义求值； (2)判断三角函数值的符号； (3)利用三角函数线解三角不等式； (4)三角函数定义中的创新．[典例引领]角度一 利用三角函数定义求值已知α是第二象限的角，其终边的一点为P (x ，5)，且cos α＝24x ，则tan α＝( ) A.155 B.153 C ．－155D ．－153【解析】 因为α是第二象限的角，其终边上的一点为P (x ，5)，且cos α＝24x ，所以x ＜0，cos α＝x x 2＋5＝24x ，解得x ＝－3，所以tan α＝5－3＝－153.【答案】 D角度二 判断三角函数值的符号若tan α>0，则( )A ．sin α>0B ．cos α>0C ．sin 2α>0D ．cos 2α>0【解析】 因为tan α＞0，所以α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π2(k ∈Z )是第一、三象限角．所以sin α，cos α都可正、可负，排除A ，B. 而2α∈(2k π，2k π＋π)(k ∈Z )， 结合正弦函数图象可知，C 正确．取α＝π4，则tan α＝1>0，而cos 2α＝0，故D 不正确．【答案】 C角度三 利用三角函数线解三角不等式函数y ＝ sin x －32的定义域为________． 【解析】 由题意，得sin x ≥32，作直线y ＝32交单位圆于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域(图中阴影部分)即为角x 的终边的范围，故满足条件的角x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π3≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π3，2k π＋2π3，k ∈Z角度四 三角函数定义中的创新(2018·南昌质检)如图所示，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴的距离d 关于时间t 的函数图象大致为( )【解析】 因为P 0(2，－2)，所以∠P 0Ox ＝－π4.因为角速度为1，所以按逆时针旋转时间t 后，得∠POP 0＝t ，所以∠POx ＝t －π4. 由三角函数定义，知点P 的纵坐标为2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －π4，因此d ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫t －π4.令t ＝0，则d ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝ 2.当t ＝π4时，d ＝0，故选C.【答案】 C(1)定义法求三角函数值的三种情况①已知角α终边上一点P 的坐标，可求角α的三角函数值．先求P 到原点的距离，再用三角函数的定义求解．②已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(如例31)．③已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．(2)三角函数值的符号及角的位置的判断已知一角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况． [提醒] 若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．[通关练习]1．已知角α的始边与x 轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P 到原点的距离为2，若α＝π4，则点P 的坐标为( )A ．(1，2)B ．(2，1)C ．(2，2)D ．(1，1)解析：选D.设点P 的坐标为(x ，y )， 则由三角函数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧sin π4＝y 2，cos π4＝x 2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos π4＝1，y ＝2sin π4＝1.故点P 的坐标为(1，1)．2．已知角α的终边经过点P (－3，m )，且sin α＝34m (m ≠0)，则角α为第________象限角．解析：依题意，点P 到原点O 的距离为r ＝ （－3）2＋m 2＝3＋m 2，所以sin α＝m3＋m2，又因为sin α＝34m ，m ≠0， 所以m3＋m2＝34m ， 所以m 2＝73，所以m ＝±213. 所以点P 在第二或第三象限． 答案：二或三终边相同角的问题 (1)轴线角终边在x 轴上的角：{α|α＝k π，k ∈Z }；终边在y 轴上的角：⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k π＋π2，k ∈Z ；终边在坐标轴上的角：⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k π2，k ∈Z .(2)终边对称角角β与角α的终边关于x 轴对称，则{β|β＝－α＋2k π，k ∈Z }； 角β与角α的终边关于y 轴对称，则{β|β＝π－α＋2k π，k ∈Z }； 角β与角α的终边关于原点对称，则{β|β＝α＋k π，k ∈Z }；由三角函数值的符号判断角所在的象限方法当角θ为第一象限角时，sin θ＞0，cos θ＞0，tan θ＞0，反之也成立； 当角θ为第二象限角时，sin θ＞0，cos θ＜0，tan θ＜0，反之也成立； 当角θ为第三象限角时，sin θ＜0，cos θ＜0，tan θ＞0，反之也成立； 当角θ为第四象限角时，sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0，反之也成立．易错防范(1)注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、三类是区间角．(2)角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．(3)三角函数的定义中，当P (x ，y )是单位圆上的点时有sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x ，但若不是单位圆时，如圆的半径为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx.1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( ) A.π3 B.π6C ．－π3D ．－π6解析：选C.将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A 、B 不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16.即为－16×2π＝－π3.2．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C.设扇形的半径为r ，弧长为l ，则由扇形面积公式可得2＝12lr ＝12r 2α＝12r 2×4，求得r ＝1，l ＝αr ＝4， 所以所求扇形的周长为2r ＋l ＝6.3．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A ．－12B.12 C ．－32D.32解析：选B.因为r ＝64m 2＋9， 所以cos α＝－8m64m 2＋9＝－45， 所以m ＞0，所以4m 264m 2＋9＝125，因此m ＝12.4．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析：选C.当k ＝2n 时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2(n ∈Z )，此时α的终边和π4≤α≤π2的终边一样．当k ＝2n ＋1时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2(n ∈Z )，此时α的终边和π＋π4≤α≤π＋π2的终边一样．故选C.5．已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12在角θ的终边上，且θ∈[0，2π)，则θ的值为( )A.5π6B.2π3 C.11π6D.5π3解析：选 C.因为点P ⎝⎛⎭⎪⎫32，－12在第四象限，根据三角函数的定义可知tan θ＝－1232＝－33， 又由θ∈[0，2π)可得θ＝116π，故选C. 6．已知点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，则角θ是第________象限角． 解析：因为点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，所以sin θcos θ<0，2cos θ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin θ>0，cos θ<0，所以θ为第二象限角． 答案：二7．顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上的角α，β的终边与圆心在原点的单位圆交于A ，B 两点，若α＝30°，β＝60°，则弦AB 的长为________．解析：由三角函数的定义得A (cos 30°，sin 30°)，B (cos 60°，sin 60°)，即A ⎝⎛⎭⎪⎫32，12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32. 所以|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－122 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫32－12＝6－22.答案：6－228．函数y ＝2cos x －1的定义域为________． 解析：因为2cos x －1≥0， 所以cos x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边的范围(如图阴影所示)．所以x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )． 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z ) 9．已知角α的终边上一点P (－3，m )(m ≠0)，且sin α＝2m4，求cos α，tan α的值．解：设P (x ，y )．由题设知x ＝－3，y ＝m ， 所以r 2＝|OP |2＝(－3)2＋m 2(O 为原点)，r ＝3＋m 2. 所以sin α＝m r＝2m 4＝m 22， 所以r ＝3＋m 2＝22，3＋m 2＝8，解得m ＝± 5. 当m ＝5时，r ＝22，x ＝－3，y ＝5， 所以cos α＝－322＝－64，tan α＝－153；当m ＝－5时，r ＝22，x ＝－3，y ＝－5， 所以cos α＝－322＝－64，tan α＝153.10．已知扇形AOB 的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB . 解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6， 所以α＝l r ＝23或α＝lr＝6.(2)因为2r ＋l ＝8， 所以S 扇＝12lr ＝14l ·2r≤14(l ＋2r 2)2＝14×(82)2＝4， 当且仅当2r ＝l ，即α＝lr＝2时，扇形面积取得最大值4. 所以圆心角α＝2，弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1.1．若α是第三象限角，则y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2sinα2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2cosα2的值为( )A ．0B ．2C ．－2D ．2或－2解析：选A.因为α是第三象限角， 所以2k π＋π＜α＜2k π＋32π(k ∈Z )，所以k π＋π2＜α2＜k π＋3π4(k ∈Z )，所以α2是第二象限角或第四象限角．当α2是第二象限角时， y ＝sin α2sin α2－cosα2cosα2＝0，当α2是第四象限角时，y ＝－sin α2sin α2＋cosα2cosα2＝0.故选A.2．若－3π4＜α＜－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小是( )A ．sin α＜tan α＜cos αB ．cos α＜sin α＜tan αC ．sin α＜cos α＜tan αD ．tan α＜sin α＜cos α解析：选C.如图所示，作出角α的正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ，观察可得，AT ＞OM ＞MP ，故有sin α＜cos α＜tan α.3．若两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶4，则这两个扇形的周长之比为________． 解析：设两个扇形的圆心角的弧度数为α，半径分别为r ，R (其中r ＜R )，则12αr 212αR 2＝14，所以r ∶R ＝1∶2，两个扇形的周长之比为2r ＋αr2R ＋αR ＝1∶2.答案：1∶24．已知x ∈R ，则使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是________．解析：在[0，2π]区间内，由三角函数线可知，当x ∈(π4，5π4)时，sin x >cos x ，所以在(－∞，＋∞)上使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是(2k π＋π4，2k π＋5π4)，k ∈Z .答案：(2k π＋π4，2k π＋5π4)，k ∈Z5．若角θ的终边过点P (－4a ，3a )(a ≠0)． (1)求sin θ＋cos θ的值；(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号． 解：(1)因为角θ的终边过点P (－4a ，3a )(a ≠0)， 所以x ＝－4a ，y ＝3a ，r ＝5|a |，当a ＞0时，r ＝5a ，sin θ＋cos θ＝－15.当a ＜0时，r ＝－5a ，sin θ＋cos θ＝15.(2)当a ＞0时，sin θ＝35∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos θ＝－45∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则cos(sin θ)·sin(cos θ) ＝cos 35·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＜0； 当a ＜0时，sin θ＝－35∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos θ＝45∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos(sin θ)·sin(cos θ) ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35·sin 45＞0. 综上，当a ＞0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；当a ＜0时，cos(sin θ)·sin (cos θ)的符号为正．6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边与x 轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A 点，它的终边与单位圆相交于x 轴上方一点B ，始边不动，终边在运动．(1)若点B 的横坐标为－45，求tan α的值；(2)若△AOB 为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；(3)若α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，2π3，请写出弓形AB 的面积S 与α的函数关系式．解：(1)由题意可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，根据三角函数的定义得tan α＝y x ＝－34.(2)若△AOB 为等边三角形，则∠AOB ＝π3，故与角α终边相同的角β的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪⎪β＝π3＋2k π，k ∈Z . (3)若α∈⎝⎛⎦⎥⎤0，2π3，则S 扇形＝12αr 2＝12α，而S △AOB ＝12×1×1×sin α＝12sin α，故弓形的面积S ＝S 扇形－S △AOB ＝12α－12sin α，α∈⎝⎛⎦⎥⎤0，2π3.。
第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数
了解任意角的概念.
了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化. 理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2
x ＝1，sin x cos x ＝tan x .
能利用单位圆中的三角函数线推导出π
2±α，π±α的正弦、余弦、
会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.
能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. 能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导 能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的 理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最
了解函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出y ＝Asin(ωx ＋ 了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数
1．任意角的概念
(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)角的分类
{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度制
(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度记作rad.
(2)公式。
