高中数学 课下能力提升(九)新人教A版选修22

题组1 简单随机抽样的概念1在“世界读书日”前夕，为了了解某地 5 000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中， 5 000名居民的阅读时间的全体是( )A．总体 B．个体C．样本的容量 D．从总体中抽取的一个样本2．要检查一个工厂产品的合格率，从 1 000件产品中抽出50件进行检查，检查者在其中随机逐个抽取了50件，这种抽样方法可称为________．3．下面的抽样方法是简单随机抽样的是________．①从某城市的流动人口中随机抽取100人作调查；②在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方法确定号码的后四位为 2 709的为三等奖；③在待检验的30件零件中随机逐个拿出5件进行检验．题组2 简单随机抽样的应用4．抽签法中确保样本代表性的关键是( )A．制签 B．搅拌均匀C．逐一抽取 D．抽取不放回5．用随机数表法进行抽样有以下几个步骤：①将总体中的个体分段；②获取样本号码；③选定开始的数字；④选定读数的方向．这些步骤的先后顺序应为( )A．①②③④ B．①③④②C．③②①④ D．④③①②6．采用抽签法从含有3个个体的总体{1,3,8}中抽取一个容量为2的样本，则所有可能的样本是________．7．上海某中学从40名学生中选1人作为上海男篮拉拉队的成员，采用下面两种选法：选法一将这40名学生从1～40进行分段，相应地制作1～40的40个号签，把这40个号签放在一个暗箱中搅匀，最后随机地从中抽取1个号签，与这个号签分段一致的学生幸运入选；选法二将39个白球与1个红球(球除颜色外，其他完全相同)混合放在一个暗箱中搅匀，让40名学生逐一从中摸取一球，摸到红球的学生成为拉拉队成员．试问这两种选法是否都是抽签法？为什么？这两种选法有何异同？8．现有一批分段为10,11，…，99,100，…，600的元件，打算从中抽取一个容量为6的样本进行质量检测，如何用随机数法设计抽样方案？[能力提升综合练]1．在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性( )A．与第几次抽样有关，第一次被抽到的可能性最大B．与第几次抽样有关，第一次被抽到的可能性最小C．与第几次抽样无关，每一次被抽到的可能性相等D．与第几次抽样无关，与抽取几个样本有关2．某工厂的质检人员对生产的100件产品，采用随机数表法抽取10件检查，对100件产品采用下面的分段方法：①01,02,03，…，100；②001,002,003，…，100；③00,01,02，…，99.其中正确的序号是( )A．①② B．①③ C．②③ D．③3．下列抽样试验中，用抽签法方便的是( )A．从某工厂生产的 3 000件产品中抽取600件进行质量检验B．从某工厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验D．从某厂生产的 3 000件产品中抽取10件进行质量检验4．某班有34位同学，座位号记为01,02，…，34，用如图的随机数表选取5组数作为参加青年志愿者活动的五位同学的座位号．选取方法是从随机数表第一行的第6列和第7列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第4个志愿者的座位号是( )49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 2096 43 84 26 34 91 64 57 24 55 06 88 7704 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06A．23 B．09 C．02 D．165．某中学高一年级有 1 400人，高二年级有 1 320人，高三年级有 1 280人，从该中学学生中抽取一个容量为n的样本，每人被抽到的机会为0.02，则n＝________.6．为了检验某种产品的质量，决定从 1 001件产品中抽取10件进行检查，用随机数表法抽取样本的过程中，所编的号码的位数最少是________位．7．某电视台举行颁奖典礼，邀请20名港台、内地艺人演出，其中从30名内地艺人中随机选出10人，从18名香港艺人中随机挑选6人，从10名台湾艺人中随机挑选4人．试用抽签法确定选中的艺人，并确定他们的表演顺序．8．某学生在一次理科竞赛中要回答的8道题是这样产生的：从15道物理题中随机抽3道；从20道化学题中随机抽3道；从12道生物题中随机抽2道．选用合适的抽样方法确定这个学生所要回答的三门学科的题的序号(物理题的序号为1～15，化学题的序号为16～35，生物题的序号为36～47)．答案[学业水平达标练]1. 解析：选A 5 000名居民的阅读时间的全体是总体，每名居民的阅读时间是个体，200是样本容量，故选 A.2. 解析：由简单随机抽样的特点可知，该抽样方法是简单随机抽样．答案：简单随机抽样3. 解析：①中总体容量较大，不宜用简单随机抽样；②中抽取的个体的间隔是固定的，不是简单随机抽样．答案：③4. 解析：选B 逐一抽取、抽取不放回是简单随机抽样的特点，但不是确保代表性的关键，一次抽取与有放回抽取也不影响样本的代表性，制签也一样，故选 B.5. 解析：选 B 由随机数表法的步骤知选 B.6. 解析：从三个总体中任取两个即可组成样本，∴所有可能的样本为{1,3}，{1,8}，{3,8}．答案：{1,3}，{1,8}，{3,8}7. 解：选法一满足抽签法的特征，是抽签法；选法二不是抽签法．因为抽签法要求所有的号签分段互不相同，而选法二中39个白球无法相互区分．这两种选法相同之处在于每名学生被选中的可能性都相等，均为1 40.8. 解：第一步，将元件的分段调整为010,011,012，…，099,100， (600)第二步，在随机数表中任取一数作为开始，任选一方向作为读数方向，比如，选第6行第7个数“9”，向右读．第三步，从数“9”开始，向右读，每次读取三位，凡不在010～600中的跳过去不读，前面已经读过的数也跳过去不读，依次可得到544,354,378,520,384,263.第四步，以上这6个号码对应的元件就是要抽取的对象．[能力提升综合练]1. 解析：选C 在简单随机抽样中，总体中的每个个体在每次抽取时被抽到的可能性相同，故选 C.2. 解析：选C 根据随机数表的要求，只有分段时数字位数相同，才能达到随机等可能抽样．3. 解析：选 B A总体容量较大，样本容量也较大，不适宜用抽签法；B总体容量较小，样本容量也较小，可用抽签法；C中甲、乙两厂生产的两箱产品有明显区别，不能用抽签法；D总体容量较大，不适宜用抽签法．故选 B.4. 解析：选D 从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于34的分段依次为21,32,09,16，其中第4个为16，故选 D.5. 解析：三个年级的总人数为 1 400＋1 320＋1 280＝4 000，每人被抽到的机会均为0.02，∴n＝4 000×0.02＝80.答案：806. 解析：由于所分段码的位数和读数的位数要一致，因此所分段码的位数最少是四位．从0 000到1 000，或者是从0 001到1 001等．答案：四7. 解：第一步：先确定艺人：(1)将30名内地艺人从1到30分段，然后用相同的纸条做成30个号签，在每个号签上写上这些分段，然后放入一个不透明小筒中摇匀，从中依次抽出10个号签，则相应分段的艺人参加演出；(2)运用相同的方法分别从10名台湾艺人中抽取4人，从18名香港艺人中抽取6人．第二步：确定演出顺序：确定了演出人员后，再用相同的纸条做成20个号签，上面写上1到20这20个数字，代表演出的顺序，让每个演员抽一张，每人抽到的号签上的数字就是这位演员的演出顺序，再汇总即可．8. 解：法一(抽签法)：第一步，将试题的分段1～47分别写在纸条上．第二步，将纸条揉成团，制成号签．第三步，将物理、化学、生物题的号签分别放在三个不透明的袋子中，充分搅拌．第四步，从装有物理题的袋子中逐个抽取3个号签，从装有化学题的袋子中逐个抽取3个号签，从装有生物题的袋子中逐个抽取2个号签，并记录所得号签上的分段，这便是所要回答的问题的序号．法二：(随机数表法)：第一步，将物理题的序号对应改成01,02，…，15，其余两科题的序号不变．第二步，在教材所附的随机数表中任选一数作为开始，任选一方向作为读数方向．比如，选第10行第11个数0，并向右开始读取．第三步，从数0开始向右读，每次读取两位，若得到的号码不在01～47中，则跳过，前面已经取出的也跳过．从01～15中选3个号码，从16～35中选3个号码，从36～47中选2个号码．依次可得到09,47,27,17,08,02,43,28.第四步，对应以上号码找出所要回答的问题的序号．物理题的序号为：2,8,9；化学题的序号为：17,27,28；生物题的序号为：43,47.。

人教A 版高中数学选修2-3第一章 计数原理知识点:一、两个计数原理1、分类加法计数原理：做一件事情，完成它有N 类办法，在第一类办法中有M 1种不同的方法，在第二类办法中有M 2种不同的方法，……，在第N 类办法中有M N 种不同的方法，那么完成这件事情共有M 1+M 2+……+M N 种不同的方法。

2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成N 个步骤，做第一 步有m1种不同的方法，做第二步有M 2不同的方法，……，做第N 步有M N 不同的方法.那么完成这件事共有 N=M 1M 2...M N 种不同的方法。

3、两个计数原理的区别二、排列与组合1、排列：一般地，从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。

2、排列数：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数。

用符号 表示.3、排列数公式：其中 4、组合：一般地，从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。

5、组合数：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有不同组合的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数。

用符号 表示。

6、组合数公式：其中注意：判断一个具体问题是否为组合问题,关键是看取出的元素是否与顺序有关,有关就是排列,无关便是组合.判断时要弄清楚“事件是什么”.7、性质： m n A ()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---= .,,*n m N m n ≤∈并且m nC ()()()()!!!!121m n m n m m n n n n C mn -=+---= .,,*n m N m n ≤∈并且m n n m n C C -=m n m n m n C C C 11+-=+m n C三、二项式定理二项式定理：()a b C a C a b C a b C a b C b n n n n n n n n r n r r n n n+=++++++---011222……通项公式展开式的通项公式：，……T C a b r n r n r n r r+-==101()如果在二项式定理中，设a=1,b=x ，则可以得到公式：2、性质：注意事项：相邻问题，常用“捆绑法” ；不相邻问题，常用 “插空法”例题：★★1．我省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展。

1.4 生活中的优化问题举例[学习目标]1．了解导数在解决实际问题中的作用．2．掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题． [知识链接]设两正数之和为常数c ，能否借助导数求两数之积的最大值，并由此证明不等式a ＋b2≥ab (a ，b ＞0)?答 设一个正数为x ，则另一个正数为c －x ，两数之积为 f (x )＝x (c －x )＝cx －x 2(0＜x ＜c )，f ′(x )＝c －2x . 令f ′(x )＝0，即c －2x ＝0，得x ＝c2.故当x ＝c 2时，f (x )有最大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2＝c24，即两个正数的积不大于这两个正数的和的平方的14.若设这两个正数分别为a ，b ，则有(a ＋b )24≥ab (a ＞0，b ＞0)，即a ＋b2≥ab (a ，b ＞0)，当且仅当a ＝b 时等号成立． [预习导引]1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值． 3．解决优化问题的基本思路是 优化问题→用函数表示的数学问题优化问题的答案←用导数解决数学问题上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．要点一用料最省问题例1有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40千米的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50千米，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？解如图，由题意知，只有点C位于线段AD上某一适当位置时，才能使总费用最省，设点C距点D为x km，则BC＝BD2＋CD2＝x2＋402，又设总的水管费用为y 元，依题意有y＝3a(50－x)＋5a x2＋402(0<x<50)．∴y′＝－3a＋5axx2＋402.令y′＝0，解得x＝30，(x＝－30舍去)在(0,50)上，y只有一个极值点，根据问题的实际意义，函数在x＝30处取得最小值，此时AC＝50－x＝20 (km)．∴供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省．规律方法用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象，正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．跟踪演练1一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时10海里时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？解设速度为每小时v海里的燃料费是每小时p元，那么由题设的比例关系得p＝k·v3，其中k为比例系数(k≠0)，它可以由v＝10，p＝6求得，即k＝6103＝0.006，于是有p＝0.006v3.又设当船的速度为每小时v海里时，航行1海里所需的总费用为q元，那么每小时所需的总费用是0.006v 3＋96(元)，而航行1海里所需时间为1v 小时，所以，航行1海里的总费用为：q ＝1v (0.006v 3＋96)＝0.006v 2＋96v . q ′＝0.012v －96v 2＝0.012v 2(v 3－8 000)，令q ′＝0，解得v ＝20.∵当v <20时，q ′<0； 当v >20时，q ′>0，∴当v ＝20时，q 取得最小值，即速度为20海里/时时，航行1海里所需费用总和最小． 要点二 面积、容积的最值问题例2 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？解 设广告的高和宽分别为x cm ，y cm ， 则每栏的高和宽分别为x －20 cm ，y －252 cm ， 其中x >20，y >25.两栏面积之和为2(x －20)·y －252＝18 000， 由此得y ＝18 000x －20＋25. 广告的面积S ＝xy ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫18 000x －20＋25＝18 000xx －20＋25x ，∴S ′＝18 000[(x －20)－x ](x －20)2＋25＝－360 000(x －20)2＋25.令S ′>0得x >140，令S ′<0得20<x <140.∴函数在(140，＋∞)上单调递增，在(20,140)上单调递减，∴S(x)的最小值为S(140)．当x＝140时，y＝175.即当x＝140，y＝175时，S取得最小值24 500，故当广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告的面积最小．规律方法(1)解决面积、容积的最值问题，要正确引入变量，将面积或容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．(2)利用导数解决生活中优化问题的一般步骤①找关系：分析实际问题中各量之间的关系；②列模型：列出实际问题的数学模型；③写关系：写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；④求导：求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；⑤比较：比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；⑥结论：根据比较值写出答案．跟踪演练2圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解如图，设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积S＝2πRh＋2πR2，由V＝πR2h，得h＝VπR2，则S(R)＝2πRVπR2＋2πR2＝2VR＋2πR2，令S′(R)＝－2VR2＋4πR＝0，解得R＝3V2π，从而h＝VπR2＝Vπ⎝⎛⎭⎪⎫3V2π2＝34Vπ＝23V2π，即h＝2R.因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值．所以，当罐的高与底面直径相等时，所用材料最省．要点三成本最省，利润最大问题例3 甲、乙两地相距s 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c 千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v 千米/时的平方成正比，比例系数为b (b >0)；固定部分为a 元． (1)把全程运输成本y (元)表示为速度v (千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？解 (1)依题意汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为sv ，全程运输成本为 y ＝a ·s v ＋b v 2·s v ＝s ⎝ ⎛⎭⎪⎫a v ＋b v ，∴所求函数及其定义域为y ＝s ⎝ ⎛⎭⎪⎫a v ＋b v ，v ∈(0，c ](2)由题意s 、a 、b 、v 均为正数． y ′＝s ⎝ ⎛⎭⎪⎫b －a v 2＝0得v ＝ab .但v ∈(0，c ]．①若ab ≤c ，则当v ＝ab 时，全程运输成本y 最小；②若ab>c ，则v ∈(0，c ]， 此时y ′<0，即y 在(0，c ]上为减函数． 所以当v ＝c 时，y 最小．综上可知，为使全程运输成本y 最小， 当 ab ≤c 时，行驶速度v ＝ a b ；当ab >c 时，行驶速度v ＝c .规律方法 正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解题的主要思路．另外需注意：①合理选择变量，正确给出函数关系式． ②与实际问题相联系．③必要时注意分类讨论思想的应用．跟踪演练3 已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C ＝100＋4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为p ＝25－18q .求产量q 为何值时，利润L 最大？ 解 收入R ＝q ·p ＝q ⎝ ⎛⎭⎪⎫25－18q ＝25q －18q 2， 利润L ＝R －C ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25q －18q 2－(100＋4q )＝－18q 2＋21q －100(0<q <200) L ′＝－14q ＋21令L ′＝0，即－14q ＋21＝0，求得唯一的极值点q ＝84. 所以产量为84时，利润L 最大．1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝13x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是( ) A ．8 B ．203 C ．－1 D ．－8答案 C解析 原油温度的瞬时变化率为f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1(0≤x ≤5)，所以当x ＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.2．设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时底面边长为( ) A.3V B ．32V C ．34V D ．23V 答案 C解析 设底面边长为x ，则表面积S ＝32x 2＋43x V (x >0)．∴S ′＝3x 2(x 3－4V )．令S ′＝0，得x ＝34V .3．在边长为60 cm 的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？解 设箱底边长为x cm ，则箱高h ＝60－x 2 cm ，箱子容积V (x )＝x 2h ＝60x 2－x 32(0＜x ＜60)．V ′(x )＝60x －32x 2令V ′(x )＝60x －32x 2＝0， 解得x ＝0(舍去)或x ＝40，并求得V (40)＝16 000.由题意知，当x 过小(接近0)或过大(接近60)时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值．答 当x ＝40 cm 时，箱子容积最大，最大容积是16 000 cm 3.4．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/时)的函数解析式可以表示为y ＝1128 000x 3－380x ＋8(0<x ≤120)．已知甲、乙两地相距100千米，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解 当速度为x 千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x 小时，设耗油量为h (x )升，依题意得h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1128 000x 3－380x ＋8×100x ＝11 280x 2＋800x －154(0<x ≤120)，h ′(x )＝x 640－800x 2＝x 3－803640x 2(0<x ≤120)． 令h ′(x )＝0，得x ＝80.因为x ∈(0,80)时，h ′(x )<0，h (x )是减函数； x ∈(80,120)时，h ′(x )>0，h (x )是增函数，所以当x＝80时，h(x)取得极小值h(80)＝11.25(升)．因为h(x)在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值．答汽车以80千米/时匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．1．解有关函数最大值、最小值的实际问题，在分析问题中的各个变量之间的关系的基础上，列出合乎题意的函数关系式，并确定函数的定义域．注意所求得的结果一定符合问题的实际意义．2．利用导数解决生活中的优化问题时，有时会遇到在定义域内只有一个点使f′(x)＝0，如果函数在该点取得极大(小)值，极值就是函数的最大(小)值，因此在求有关实际问题的最值时，一般不考虑端点．一、基础达标1．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为()A．4 B．6C．4.5 D．8答案A解析设底面边长为x，高为h，则V(x)＝x2·h＝256，∴h＝256 x2，∴S(x)＝x2＋4xh＝x2＋4x·256x2＝x2＋4×256x，∴S′(x)＝2x－4×256x2.令S′(x)＝0，解得x＝8，∴h＝25682＝4.2．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)．已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x，x∈(0,0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x的取值为( ) A ．0.016 2 B ．0.032 4 C ．0.024 3 D ．0.048 6答案 B解析 依题意，得存款量是kx 2，银行支付的利息是kx 3，获得的贷款利息是0.048 6kx 2，其中x ∈(0,0.048 6)．所以银行的收益是y ＝0.048 6kx 2－kx 3(0<x <0.048 6)，则y ′＝0.097 2kx －3kx 2. 令y ′＝0，得x ＝0.032 4或x ＝0(舍去)． 当0<x <0.032 4时，y ′>0； 当0.032 4<x <0.048 6时，y ′<0.所以当x ＝0.032 4时，y 取得最大值，即当存款利率为0.032 4时，银行获得最大收益．3．如果圆柱轴截面的周长l 为定值，则体积的最大值为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫l 63π B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫l 33πC ．⎝ ⎛⎭⎪⎫l 43πD ．14⎝ ⎛⎭⎪⎫l 43π答案 A解析 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，体积为V ，则4r ＋2h ＝l ，∴h ＝l －4r2，V ＝πr 2h ＝l 2πr 2－2πr 3⎝ ⎛⎭⎪⎫0<r <l 4.则V ′＝l πr －6πr 2，令V ′＝0，得r ＝0或r ＝l6，而r >0， ∴r ＝l6是其唯一的极值点．∴当r ＝l 6时，V 取得最大值，最大值为⎝ ⎛⎭⎪⎫l 63π.4．用边长为120 cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱最大容积为( ) A ．120 000 cm 3 B ．128 000 cm 3 C ．150 000 cm 3 D ．158 000 cm 3 答案 B解析 设水箱底边长为x cm ，则水箱高h ＝60－x2(cm)． 水箱容积V ＝V (x )＝x 2h ＝60x 2－x 32 (0<x <120)．V ′(x )＝120x －32x 2.令V ′(x )＝0，得x ＝0(舍去)或x ＝80.可判断得x ＝80 cm 时，V 取最大值为128 000 cm 3.5．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________． 答案 3解析 设圆柱的底面半径为R ，母线长为L ，则V ＝πR 2L ＝27π，∴L ＝27R 2，要使用料最省，只须使圆柱表面积最小，由题意，S 表＝πR 2＋2πRL ＝πR 2＋2π·27R ， ∴S ′(R )＝2πR －54πR 2＝0，∴R ＝3，则当R ＝3时，S 表最小．6．电动自行车的耗电量y 与速度x 之间的关系为y ＝13x 3－392x 2－40x (x ＞0)，为使耗电量最小，则其速度应定为________． 答案 40解析 由题设知y ′＝x 2－39x －40， 令y ′＞0，解得x ＞40，或x ＜－1，故函数y ＝13x 3－392x 2－40x (x ＞0)在[40，＋∞)上递增，在(0,40]上递减．∴当x ＝40时，y 取得最小值．由此得为使耗电量最小，则其速度应定为40.7．学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128 dm 2，上、下两边各空2 dm ，左、右两边各空1 dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？ 解设版心的高为x dm ，则版心的宽为 128x dm ，此时四周空白面积为 S (x )＝(x ＋4)⎝ ⎛⎭⎪⎫128x ＋2－128 ＝2x ＋512x ＋8，x >0.求导数，得S ′(x )＝2－512x 2.令S ′(x )＝2－512x 2＝0，解得x ＝16(x ＝－16舍去)．于是宽为128x ＝12816＝8.当x ∈(0,16)时，S ′(x )<0；当x ∈(16，＋∞)时，S ′(x )>0.因此，x ＝16是函数S (x )的极小值点，也是最小值点．所以，当版心高为16 dm ，宽为8 dm 时，能使四周空白面积最小．二、能力提升8．把长为12 cm 的细铁丝截成两段，各自摆成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是( )A.32 3 cm 2B ．4 cm 2C ．3 2 cm 2D ．2 3 cm 2 答案 D解析 设一个正三角形的边长为x cm ，则另一个正三角形的边长为(4－x )cm ，则这两个正三角形的面积之和为S ＝34x 2＋34(4－x )2＝32[(x －2)2＋4]≥23(cm 2)，故选D.9．某公司生产一种产品， 固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x 的关系是R (x )＝⎩⎨⎧－x 3900＋400x ，0≤x ≤390，90 090，x >390，则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是( )A ．150B ．200C ．250D ．300 答案 D解析 由题意得，总利润P (x )＝⎩⎨⎧ －x 3900＋300x －20 000，0≤x ≤390，70 090－100x ，x >390， 令P ′(x )＝0，得x ＝300，故选D.10．为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长为a 米，高为b 米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比，现有制箱材料60平方米，问当a ＝________，b ＝________时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A ，B 孔的面积忽略不计)．答案 6 3解析 设y 为流出的水中杂质的质量分数，则y ＝k ab，其中k (k >0)为比例系数．依题意，即所求的a ，b 值使y 值最小，根据题设，4b ＋2ab ＋2a ＝60(a >0，b >0)得b ＝30－a 2＋a .于是y ＝k ab ＝k 30a －a 22＋a＝k (2＋a )30a －a 2.(0<a <30) 令y ′＝a 2k ＋4ak －60k (30a －a 2)2＝0 得a ＝6或a ＝－10(舍去)．∵只有一个极值点，∴此极值点即为最值点．当a ＝6时，b ＝3，即当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．11．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元．(1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？解 (1)设需新建n 个桥墩，则(n ＋1)x ＝m ，即n ＝m x －1.所以y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x＝256⎝ ⎛⎭⎪⎫m x －1＋m x (2＋x )x ＝256m x ＋m x ＋2m －256.(2)由(1)知，f ′(x )＝－256m x 2＋12mx －12＝m 2x 2(x 32－512)．令f ′(x )＝0，得x 32＝512，所以x ＝64.当0<x <64时，f ′(x )<0，f (x )在区间(0,64)内为减函数；当64<x <640时，f ′(x )>0，f (x )在区间(64,640)内为增函数，所以f (x )在x ＝64处取得最小值．此时n ＝m x －1＝64064－1＝9.故需新建9个桥墩才能使y 最小．12．一火车锅炉每小时煤消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20 km/h 时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需200元，火车的最高速度为100 km/h ，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？ 解 设速度为x km/h ，甲、乙两城距离为a km.则总费用f (x )＝(kx 3＋200)·a x ＝a (kx 2＋200x )．由已知条件，得40＝k ·203，∴k ＝1200，∴f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1200x 2＋200x (0＜x ＜100)． 令f ′(x )＝a (x 3－20 000)100x 2＝0， 得x ＝10320.当0<x<10320时，f′(x)<0；当10320<x<100时，f′(x)>0.∴当x＝10320时，f(x)有最小值，即速度为10320 km/h时，总费用最少．三、探究与创新13．某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π3立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元．设该容器的建造费用为y 千元．(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.解(1)设容器的容积为V，由题意知V＝πr2l＋43πr3，又V＝80π3，故l＝V－43πr3πr2＝803r2－4r3＝43⎝⎛⎭⎪⎫20r2－r.由于l≥2r，因此0<r≤2.所以建造费用y＝2πrl×3＋4πr2c＝2πr×43⎝⎛⎭⎪⎫20r2－r×3＋4πr2c，因此y＝4π(c－2)r2＋160πr，0<r≤2.(2)由(1)得y′＝8π(c－2)r－160πr2＝8π(c－2)r2(r3－20c－2)，0<r≤2.由于c>3，所以c－2>0.当r3－20c－2＝0时，r＝320c－2.令320c－2＝m，则m>0，所以y′＝8π(c－2)r2(r－m)(r2＋rm＋m2)．①当0<m<2，即c>92时，令y′＝0，得r＝m.当r∈(0，m)时，y′<0；当r∈(m,2]时，y′>0，所以r＝m是函数y的极小值点，也是最小值点．②当m≥2，即3<c≤92时，当r∈(0,2]时，y′≤0，函数单调递减，所以r＝2是函数y的最小值点．综上所述，当3<c≤92时，建造费用最小时r＝2；当c>92时，建造费用最小时r＝320c－2.小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

课下能力提升(九)
[学业水平达标练]
题组求曲边梯形的面积
．在求直线＝，＝，＝与曲线＝所围成的曲边梯形的面积时，把区间[]等分成个小区间，则第个小区间是( )
．对于由直线＝，＝和曲线＝所围成的曲边梯形，把区间等分，则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的左端点)是( )
．求由直线＝，＝，＝和曲线＝(－)围成的图形的面积．
题组求变速直线运动的路程
．一物体沿直线运动，其速度()＝，这个物体在＝到＝这段时间内所走的路程为( ) .
．若做变速直线运动的物体()＝在≤≤内经过的路程为，求的值．
题组定积分的计算及性质
．下列等式不成立的是( )
．图中阴影部分的面积用定积分表示为( )
(－)
(＋)(－)
．＝与＝的大小关系是( )
．＝．＝
．>．<
．已知＝，＝，＝，则(＋)＝.
．用定积分的几何意义计算下列定积分：
[能力提升综合练] ．若()＝，()＝－，则[()＋()]＝( )
．．－．－．
．若()为偶函数，且()＝，则等于( ) ．．．．
．定积分(－)等于( )
．－．．－．。

第3课时 用向量方法求空间中的角课时过关·能力提升基础巩固1若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°,则直线l 与平面α所成的角等于( ) A.120° B.60°C.30°D.以上均错l 的方向向量与平面α的法向量的夹角为120°,∴它们所在直线的夹角为60°.则直线l 与平面α所成的角为90°-60°=30°.2设四边形ABCD ,ABEF 都是边长为1的正方形,FA ⊥平面ABCD ,则异面直线AC 与BF 所成的角等于 ( )A.45°B.30°C.90°D.60°,则A (0,0,0),F (0,0,1),B (0,1,0),C (1,1,0), ∴AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0),BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,1). ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BF⃗⃗⃗⃗⃗ =-1. 设异面直线AC 与BF 所成的角为θ, ∴cos θ=|cos <AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=12. 又∵θ∈(0°,90°],∴θ=60°.3若a =(λ,1,2)与b =(2,-1,-2)的夹角为钝角,则实数λ的取值范围为( ) A.λ<52B.λ<52,且λ≠-2C.λ≥52,且λ≠4D.λ≥52,得a ·b =2λ+(-1)-4<0,即λ<52.而|a |=√5+λ2,|b |=3,又<a ,b >为钝角,∴3√5+λ≠-1,即λ≠-2.4若斜线段与它在平面α内射影的长之比是2∶1,则AB 与平面α所成角为( ) A.π6 B.π3C.23πD.56πAB 与平面α所成角为θ,由题意知cos θ=12,则AB 与平面α所成角为π3.5若平面α的一个法向量为n =(4,1,1),直线l 的一个方向向量为a =(-2,-3,3),则l 与α所成角的余弦值为 ( )A.-√11B.√11C.-√110D.√913<a ,n >=√4+9+9√16+1+1=3√11=-4√1133, 故l 与α所成角的余弦值为√1-(-4√1133)2=√91333.6在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,二面角A-BD 1-B 1的大小为 .,以点C 为原点建立空间直角坐标系.设正方体的边长为a ,则A (a ,a ,0),B (a ,0,0),D 1(0,a ,a ),B 1(a ,0,a ), ∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,a ,0),BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-a ,a ,a ),BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,a ). 设平面ABD 1的法向量为n =(x ,y ,z ), 则n ·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ,z )·(0,a ,0)=ay=0, n ·BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ,z )·(-a ,a ,a )=-ax+ay+az=0. ∵a ≠0,∴y=0,x=z.令x=z=1,则n =(1,0,1),同理,求得平面B 1BD 1的法向量m =(1,1,0),∴cos <n ,m >=n ·m |n ||m |=12,∴<n ,m >=60°.而二面角A-BD 1-B 1为钝角,故为120°.°7在正四棱锥P-ABCD 中,高为1,底面边长为2,E 为BC 的中点,则异面直线PE 与DB 所成的角为 .,则B (1,1,0),D (-1,-1,0),E (0,1,0),P (0,0,1),∴DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0),PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,-1). ∴cos <DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,PE ⃗⃗⃗⃗⃗ >=DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||PE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√8×√2=12.∴<DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,PE ⃗⃗⃗⃗⃗ >=π.∴PE 与DB 所成的角为π.8在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,已知DA=DC=4,DD 1=3,则异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值为 .9如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AD=AA 1=1,AB=2,点E 是棱AB 上的动点.若异面直线AD 1与EC 所成角为60°,试确定此时动点E 的位置.DA 所在直线为x 轴,以DC 所在直线为y 轴,以DD 1所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系.设E (1,t ,0)(0≤t ≤2),则A (1,0,0),D (0,0,0),D 1(0,0,1),C (0,2,0),D 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-1),CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,t-2,0), 根据数量积的定义及已知得:1+0×(t-2)+0=√2×√1+(t -2)2·cos 60°, 所以t=1.所以点E 的位置是AB 的中点. 10如图,在四棱锥P-ABCD 中,已知PA ⊥平面ABCD ,且四边形ABCD 为直角梯形,∠ABC=∠BAD=π,PA=AD=2,AB=BC=1.求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值.{AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ }为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ,则各点的坐标为B (1,0,0),C (1,1,0),D (0,2,0),P (0,0,2).因为AD ⊥平面PAB ,所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面PAB 的一个法向量,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0).因为PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,-2),PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,-2).设平面PCD 的法向量为m =(x ,y ,z ), 则m ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 即{x +y -2z =0,2y -2z =0. 令y=1,解得z=1,x=1.所以m =(1,1,1)是平面PCD 的一个法向量.从而cos <AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,m >=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗·m |AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||m |=√33,所以平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值为√33.能力提升1已知E ,F 分别是棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱BC ,CC 1的中点,则截面AEFD 1与底面ABCD 所成二面角的正弦值是( ) A.23B.√23C.√53D.2√33D 为坐标原点,以DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系,如图,则A (1,0,0),E (12,1,0),F (0,1,12),D 1(0,0,1),∴AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1),AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-12,1,0). 设平面AEFD 1的法向量为n =(x ,y ,z ),则 {n ·AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒{-x +z =0,-x 2+y =0,∴x=2y=z. 取y=1,则n =(2,1,2),而平面ABCD 的一个法向量为u =(0,0,1),∴cos <n ,u >=2,∴sin <n ,u >=√5.2在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M ,N 分别是A 1B 1,BB 1的中点,那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是( )A.√32B.√1010C.35D.25,建立空间直角坐标系,则A (1,0,0),M (1,12,1),C (0,1,0),N (1,1,12),∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,12,1),CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,12).∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =12,|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CN ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√52. ∴cos <AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CN ⃗⃗⃗⃗⃗ >=1252×52=25.3在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,EF ⊥AC ,EF ⊥A 1D ,则EF 与BD 1所成的角是( ) A.90°B.60°C.30°D.0°,以D 为原点建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为a ,则A 1(a ,0,a ),D (0,0,0),A (a ,0,0),C (0,a ,0),B (a ,a ,0),D 1(0,0,a ), ∴DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ,0,a ),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-a ,a ,0),BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-a ,-a ,a ). ∵EF ⊥AC ,EF ⊥A 1D ,设EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ,z ), ∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ,z )·(a ,0,a )=ax+az=0, EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ,z )·(-a ,a ,0)=-ax+ay=0.∵a ≠0,∴x=y=-z (x ≠0).∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,x ,-x ).∴BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-aEF ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即BD 1∥EF. 故EF 与BD 1所成的角是0°.4二面角α-l-β内有一点P ,若点P 到平面α,β的距离分别是5,8,且点P 在平面α,β内的射影间的距离为7,则二面角的度数是( ) A.30°B.60°C.120°D.150°,PA ⊥α,PB ⊥β,∠ADB 为二面角α-l-β的平面角.由题意知PA=5,PB=8,AB=7, 由余弦定理,可得cos ∠APB=52+82-72=1,则∠APB=60°,故∠ADB=120°.5在空间中,已知平面α过点(3,0,0)和(0,4,0)及z 轴上一点(0,0,a )(a>0),若平面α与平面xOy 的夹角为45°,则a= .6在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,B 1C 和C 1D 与底面所成的角分别为60°和45°,则异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为 .,可知∠CB 1C 1=60°,∠DC 1D 1=45°.设B 1C 1=1,则CC 1=√3=DD 1.∴C 1D 1=√3,则有B 1(√3,0,0),C (√3,1,√3),C 1(√3,1,0),D (0,1,√3).∴B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,√3),C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,0,√3). ∴cos <B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·C 1D⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√6=√64.7如图,在三棱锥P-ABC 中,PA=PB=PC=BC ,且∠BAC=π2,则PA 与底面ABC 所成角的大小为 .,∵PA=PB=PC ,∴P 在底面上的射影O 是△ABC 的外心.又∠BAC=π2,∴O 在BC 上且为BC 的中点.∴AO 为PA 在底面上的射影,∠PAO 即为所求的角.在△PAO 中,PO=√32PB=√32PA ,∴sin ∠PAO=PO =√3.∴∠PAO=π3.8在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,直线BC 1与平面A 1BD 所成角的余弦值是 .,设棱长为1,则B (1,1,0),C 1(0,1,1),A 1(1,0,1),D (0,0,0). BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1),A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,-1),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,0). 设平面A 1BD 的一个法向量为n =(1,x ,y ),设BC 1与平面A 1BD 所成的角为θ,n ⊥A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⊥BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以n ·A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 所以{-1-y =0,-1-x =0,解得{x =-1,y =-1.所以n =(1,-1,-1),则cos <BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >=BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|·|n |=-√63,所以sin θ=√63.所以cos θ=√1-(√63)2=√33.9如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AA 1=BC=AB=2,AB ⊥BC ,求二面角B 1-A 1C-C 1的大小.,则A (2,0,0),C (0,2,0),A 1(2,0,2),B 1(0,0,2),C 1(0,2,2).设AC 的中点为M ,连接BM.∵BM ⊥AC ,BM ⊥CC 1,∴BM ⊥平面AA 1C 1C ,即BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0)是平面AA 1C 1C 的一个法向量.设平面A 1B 1C 的一个法向量是n =(x ,y ,z ).A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,2,-2),A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,0),∴n ·A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2x=0,n ·A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2x+2y-2z=0,令z=1,解得x=0,y=1.∴n =(0,1,1).设法向量n 与BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为φ,二面角B 1-A 1C-C 1为θ,显然θ为锐角.∴cos θ=|cos φ|=|n ·BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ||BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12,解得θ=π3.∴二面角B 1-A 1C-C 1的大小为π3.★10四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧棱AA 1垂直于底面,底面ABCD 为直角梯形,AD ∥BC ,AD ⊥AB ,AD=AB=AA 1=2BC ,E 为DD 1的中点,F 为A 1D 的中点. (1)求证:EF ∥平面A 1BC ;(2)求直线EF 与平面A 1CD 所成角θ的正弦值.E ,F 分别是DD 1,DA 1的中点,∴EF ∥A 1D 1.又A 1D 1∥B 1C 1∥BC ,∴EF ∥BC ,且EF ⊄平面A 1BC ,BC ⊂平面A 1BC , ∴EF ∥平面A 1BC.AB ,AD ,AA 1两两垂直,以AB 所在直线为x 轴,以AD 所在直线为y 轴,以AA 1所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系,如图.设BC=1,则A (0,0,0),A 1(0,0,2),C (2,1,0),D (0,2,0),D 1(0,2,2),F (0,1,1),E (0,2,1), 故FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0),A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,-2),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1,0). 设平面A 1CD 的法向量n =(x ,y ,z ), 则{n ·A 1D⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ,z )·(0,2,-2)=2y -2z =0,n ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ,z )·(-2,1,0)=-2x +y =0.取n =(1,2,2),则sin θ=|cos <n ,FE ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ·FE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|n ||FE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ || =|√1+4+4·√0+1+0|=23,故直线EF 与平面A 1CD 所成角θ的正弦值等于23.。

人教版新课标高中数学A版选修2-3答案人教版新课标高中数学A版选修2-3是高中数学课程中的一个重要部分，它涵盖了概率论与统计、数列、极限与导数等重要数学概念。

这些内容对于培养学生的逻辑思维能力、抽象思维能力和解决问题的能力都具有重要意义。

以下是该课程部分习题的答案解析，供同学们参考。

1. 概率论与统计在概率论与统计部分，学生需要掌握随机事件的概率计算、条件概率、独立事件以及随机变量的分布等基本概念。

例如，计算两个独立事件同时发生的概率，可以通过以下公式进行：\[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \]其中，\( P(A \cap B) \) 表示两个事件同时发生的概率，\( P(A) \) 和 \( P(B) \) 分别表示事件A和事件B发生的概率。

2. 数列数列是高中数学中的一个基础概念，它涉及到等差数列、等比数列以及数列的求和等。

例如，等差数列的通项公式为：\[ a_n = a_1 + (n-1)d \]其中，\( a_n \) 表示第n项，\( a_1 \) 表示首项，\( d \) 表示公差。

3. 极限与导数极限是微积分的基础，它描述了函数在某一点附近的行为。

例如，函数 \( f(x) \) 在 \( x = a \) 处的极限可以表示为：\[ \lim_{x \to a} f(x) = L \]导数则是描述函数在某一点处变化率的工具。

函数 \( f(x) \) 在\( x = a \) 处的导数表示为：\[ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \]这些答案仅是课程内容的一小部分，具体的习题答案需要根据具体的题目来确定。

在学习过程中，理解概念和原理比单纯记忆答案更为重要。

通过不断的练习和思考，学生可以更好地掌握这些数学知识，并在实际问题中应用它们。

【优化方案】2013-2014学年高中数学 2.3 数学归纳法能力提升（含解析）新人教A 版选修2-21．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k 2”成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立，那么，下列命题成立的是( )A ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立B ．若f (5)≥25成立，则当k ≤5时，均有f (k )≥k 2成立C ．若f (7)＜49成立，则当k ≥8时，均有f (k )＜k 2成立D ．若f (4)＝25成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立解析：选D.若f (4)＝25，则f (4)≥42，由条件可知当k ≥4时，f (k )≥k 2成立，故D 正确．2．用数学归纳法证明34n ＋1＋52n ＋1(n ∈N )能被14整除时，当n ＝k ＋1时，对于34(k ＋1)＋1＋52(k ＋1)＋1应变形为________．解析：34(k ＋1)＋1＋52(k ＋1)＋1＝34×34k ＋1＋52×52k ＋1＝34×34k ＋1＋34×52k ＋1＋52×52k ＋1－34×52k ＋1＝34×(34k ＋1＋52k ＋1)－52k ＋1×(34－52)＝34×(34k ＋1＋52k ＋1)－52k ＋1×14×4.答案：34×(34k ＋1＋52k ＋1)－52k ＋1×14×43．已知数列{a n }中，a 1＝－23，其前n 项和S n 满足a n ＝S n ＋1S n＋2(n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法加以证明．解：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝S n ＋1S n＋2. ∴S n ＝－1S n －1＋2(n ≥2)． 则有：S 1＝a 1＝－23， S 2＝－1S 1＋2＝－34， S 3＝－1S 2＋2＝－45， S 4＝－1S 3＋2＝－56， 由此猜想：S n ＝－n ＋1n ＋2(n ∈N *)． 用数学归纳法证明：①当n ＝1时，S 1＝a 1＝－23，猜想成立． ②假设n ＝k (k ∈N *)时猜想成立，即S k ＝－k ＋1k ＋2成立， 那么n ＝k ＋1时，S k ＋1＝－1S k ＋2＝－1－k ＋1k ＋2＋2＝－k ＋2k ＋3＝－(k ＋1)＋1(k ＋1)＋2.即n＝k＋1时猜想成立．由①②可知，对任意自然数n，猜想结论均成立．4．是否存在正整数m(m≠1)使得f(n)＝(2n＋7)·3n＋9对任意自然数n都能被m整除？若存在，求出最大的m的值，并证明你的结论．若不存在，说明理由．解：由f(n)＝(2n＋7)·3n＋9得，f(1)＝36，f(2)＝3×36，f(3)＝10×36，f(4)＝34×36，由此猜想m的最大值为36.下面用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，显然成立．(2)假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，f(k)能被36整除，即f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被36整除．当n＝k＋1时，f(k＋1)＝[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)．由于3k－1－1是2的倍数，故18(3k－1－1)能被36整除，故当n＝k＋1时，f(n)也能被36整除．由(1)(2)可知对一切正整数n都有f(n)＝(2n＋7)·3n＋9能被36整除，由f(1)＝36知m的最大值为36.。

课下能力提升(九)[学业水平达标练]题组1求曲边梯形的面积1．在求直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2所围成的曲边梯形的面积时，把区间[0,2] 等分成n个小区间，则第i个小区间是()i－1 i i i＋1A.[ n]B.[，n]，n n2i－12i2i2i＋1C.[D.，n]n] [ ，n n2．对于由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x3所围成的曲边梯形，把区间3等分，则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的左端点)是()1 1A. B.9 251 1C. D.27 303．求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形的面积．题组2求变速直线运动的路程4．一物体沿直线运动，其速度v(t)＝t，这个物体在t＝0到t＝1这段时间内所走的路程为()1 1 3A. B. C. 1 D.3 2 25．若做变速直线运动的物体v(t)＝t2在0≤t≤a内经过的路程为9，求a的值．题组3定积分的计算及性质6．下列等式不成立的是()17．图中阴影部分的面积用定积分表示为()1 1A.∫02x d xB.∫(2x－1)d x1 1C.∫0(2x＋1)d xD.∫(1－2x)d x1 18．S1＝∫0x d x与S2＝∫x2d x的大小关系是()A．S1＝S2 B．S21＝S2C．S1>S2 D．S1<S21 21 72 29．已知∫x2d x＝3，∫x2d x＝3，∫01d x＝2，则∫(x2＋1)d x＝________.0 1 010．用定积分的几何意义计算下列定积分：[能力提升综合练]b b b1．若∫a f(x)d x＝1，∫a g(x)d x＝－3，则∫[2f(x)＋g(x)]d x＝()a2A．2 B．－3 C．－1 D．462．若f(x)为偶函数，且∫f(x)d x＝8，则等于()A．0 B．4 C．8 D．1633．定积分∫(－3)d x等于()1A．－6 B．6 C．－3 D．36．用定积分表示下列曲线围成的平面区域的面积．(1)y＝|sin x|，y＝0，x＝2，x＝5；答案题组1求曲边梯形的面积21．解析：选C将区间[0,2]等分为n个小区间后，每个小区间的长度为，第i个小区n2i－12i间为[ n ].，n1 12 22．解析：选A将区间[0,1]三等分为[0，3 ]，[ 3 ]，[，1 ]，各小矩形的面积和为，3 31 1 12 1 9 1S＝03·3＋( 3·3＋(3 )3·＝＝.3 )3 81 93．解：(1)分割将曲边梯形分割成n个小曲边梯形，在区间[0,1]上等间隔地插入n－1个点，将区间[0,1] 等分成n个小区间：1 12 n－1[0，n][n] [ ，1]，，，…，，n n3i －1 i记第 i 个区间为[n ](i ＝1,2，…，n )，其长度为 ，ni i －1 1 Δx ＝ － ＝ . n n n把每个小曲边梯形的面积记为 ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n . (2)近似代替根据题意可得第 i 个小曲边梯形的面积i －1 ΔS i ＝|f ( n )·Δx|i －1 i －11＝|[－1)]·n |·( nni －1 i －1＝·(i ＝1,2，…，n )．n 2(1－ n )(3)求和把每个小曲边梯形近似地看作矩形，求出这 n 个小矩形的面积的和ni －1∑i ＝1|f ( n )·Δx |S n ＝ni －1i －1∑＝·n 2(1－ n )i ＝111＝6·(1－n 2)，11 从而得到所求图形面积的近似值 S ≈ · . 6 (1－n 2)(4)取极限1即直线 x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线 y ＝x (x －1)围成的图形的面积为 .6题组 2 求变速直线运动的路程14．解析：选 B 曲线 v (t )＝t 与直线 t ＝0，t ＝1，横轴围成的三角形面积 S ＝ 即为这段2时间内物体所走的路程．a i－1ai5．解：将区间[0，a]n等分，记第i个区间为，(i＝1,2，…，n)，此区间n na长为，nnai a ai a a3∑用小矩形面积(n)2·近似代替相应的小曲边梯形的面积，则i＝1 (n)2·＝·(12n n n3 a3 1 1＋22＋…＋n2)＝3(1＋n)(1＋2n)近似地等于速度曲线v(t)＝t2与直线t＝0，t＝a，t轴围成4的曲边梯形的面积．a 3∴ ＝9，解得 a ＝3. 3题组 3 定积分的计算及性质6．解析：选 C 利用定积分的性质可判断 A ，B ，D 成立，C 不成立．222222例如∫0x d x ＝2，∫02d x ＝4，∫02xd x ＝4，但 ∫02xd x ≠∫0xd x ·∫2d x .1117．解析：选 B 根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为∫2x d x －∫01d x ＝∫(2x－1)d x.1 18．解 析：选 C∫0x d x 表示由直线 x ＝0，x ＝1，y ＝x 及 x 轴所围成的图形的面积，而 ∫x 2d x表示的是由曲线 y ＝x 2与直线 x ＝0，x ＝1及 x 轴所围成的图形的面积，因为在 x∈[0,1]内直 线 y ＝x 在曲线 y ＝x 2的上方，所以 S 1>S 2.9．解析：由定积分的性质可知2∫(x 2＋1)d x22＝∫0x 2d x ＋∫1d x12＝∫0x 2d x ＋∫x 2d x ＋211 7 14 ＝ ＋ ＋2＝ . 3 3 314 答案： 3 10．5× 52 25而 S ＝ ＝ ， 24(2)令 y ＝ 4－x 2＋2，则 y ＝ 4－x 2＋2表示以(0,2)为圆心，2为半径的圆的上半圆，5[能力提升综合练]b b b1．解析：选C∫a [2f(x)＋g(x)]d x＝2∫a f(x)d x＋∫g(x)d x＝2×1－3＝－1.a2．解析：选D∵被积函数f(x)为偶函数，∴在y轴两侧的函数图象对称，从而对应的曲边梯形面积相等．3．解析：选A3∵∫3d x表示图中阴影部分的面积S＝3×2＝6，13 3∴∫1 (－3)d x＝－∫3d x＝－6.14.又y＝sin x与y＝2x都是奇函数，故所求定积分为0.答案：05.解析：由y＝4－x2可知x2＋y2＝4(y≥0)，其图象如图．等于圆心角为60°的弓形CD的面积与矩形ABCD的面积之和．1 π 1 π2πS弓形＝××22－×2×2sin＝－.32 3 2 3 3S矩形＝AB·BC＝2 3.2π3答案：＋36．解：(1)曲线所围成的平面区域如图所示．6设此面积为S，(2)曲线所围成的平面区域如图所示．7.解：如图，7。