任意角和弧度制及任意角的三角函数讲义
1.角的概念的推广
(1)定义:角可以看成平面内的一条射线绕着从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.
(2)分类:按旋转方向分为、和零角;按终边位置分为和轴线角.
(3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成的角的集合是S=.
2.弧度制的定义和公式
(1)定义:把长度等于的弧所对的圆心角叫作1弧度的角.弧度记作rad.
(2)公式:
角α的弧度数的绝对值|α|=l r(弧长用l表示)
角度与弧度的换算①1°=π180rad,②1rad=180π°
弧长公式弧长l=
扇形面积公式S=12lr=12|α|r2
3.任意角的三角函数
(1)定义:设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),则sinα=,cos
α=,tanα=y x(x≠0).
(2)几何表示(单位圆中的三角函数线):图3-16-1中的有向线段OM,MP,AT分别称为角α
的、和.
图3-16-1
常用结论
象限角与轴线角
(1)象限角
(2)轴线角
题组一常识题
1.[教材改编]终边在射线y=-3x(x<0)上的角的集合是.
2.[教材改编](1)67°30'=rad;
(2)π12=°.
3.[教材改编]半径为120mm的圆上长为144mm的弧所对圆心角α的弧度数是.
4.[教材改编]若角α的终边经过点P(-1,2),则sinα-cosα+tanα=.
题组二常错题
◆索引:对角的范围把握不准;由值求角时没有注意角的范围;求三角函数值时没有考虑角的终边所在的象限;求弧长或者扇形面积把角化为弧度数时出错.
5.在△ABC中,若sin A=.
6.已知点P(sinα-cosα,tanα)在第二象限,则在[0,2π]内α的取值范围
是.
7.已知角α的终边落在直线y=-3x上,则|sinα|sinα-|cosα|cosα=.
8.若一扇形的圆心角为72°,半径为20cm,则扇形的面积为cm2.
课堂考点探究
探究点一角的集合表示及象限角的判定
1(1)设集合M=x x=k2·180°+45°,k∈Z,N=x x=k4·180°+45°,k∈Z,那么() A.M=N B.M⊆N
C.N⊆M
D.M∩N=⌀
(2)已知角α的终边在图3-16-2中阴影部分表示的范围内(不包括边界),则所有角α构成的集合是.
图3-16-2
[总结反思]把角表示成2kπ+α(k∈Z,0≤α<2π)的形式,即可判断其所在的象限.
式题(1)已知角α,β的终边关于直线x+y=0对称,且α=-60°,则β=.
(2)若角α的终边在x轴的上方,则α2是第象限角.
探究点二扇形的弧长、面积公式
2(1)若圆弧长度等于该圆内接等腰直角三角形的周长,则其圆心角的弧度数
是.
(2)若扇形的周长为18,则扇形面积取得最大值时,扇形圆心角的弧度数是.
[总结反思]应用弧度制解决问题的方法:(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度;(2)求扇形面积最大值的问题,常转化为二次函数的最值问题,利用配方法使问题得到解决;(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.
式题(1)将表的分针拨快10分钟,则分针旋转过程中形成的角的弧度数是()
A.π3
B.π6
C.-π3
D.-π6
(2)圆内接矩形的长宽之比为2∶1,若该圆上一段圆弧的长等于该内接矩形的宽,则该圆弧所对圆心角的弧度数为.
探究点三三角函数的定义
考向1三角函数定义的应用
x-3)+2(a>0且a≠1)的图像过定点P,且角α的终边过点P,则sinα+cosα3(1)函数y=log
a(
的值为()
A.7
B.65
D.355
(2)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin α=13,则sinβ=.
[总结反思]三角函数定义主要应用于两方面:
(1)已知角的终边上一点P的坐标,则可先求出点P到原点的距离,然后用三角函数定义求解三角函数值.特别地,若角α的终边落在某条直线上,一般要分类讨论.
(2)已知角α的某个三角函数值,可依据三角函数值设出角α终边上某一符合条件的点的坐标来解决相关问题.
考向2三角函数值的符号判定
4(1)使lg(sinθ·cosθ)+-cosθ有意义的θ为()
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
(2)若角α的终边落在直线y=-x上,则sinα|cosα|+|sinα|cosα=.
[总结反思]要判定三角函数值的符号,关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角,再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果角不能确定所在象限,那就要进行分类讨论求解.
考向3三角函数线的应用
5函数f(x)=1−2cosx+ln sin2的定义域为.
[总结反思]利用三角函数线解三角不等式,通常采用数形结合的方法,一般来说sin x≥b,cos x≥a,只需作直线y=b,x=a与单位圆相交,连接原点与交点即得角的终边所在的位置,此时再根据方向即可确定相应的x的范围.
强化演练
1.【考向1】点P从点2出发,沿单位圆按逆时针方向运动3π4后到达Q点,若α的始边在x轴的正方向上,终边在射线OQ上,则sinα=()
A.1
B.-1
2.【考向2】已知角α的终边在第一象限,点P(1-2a,2+3a)是其终边上的一点,若cosα>sinα,则实数a的取值范围是.
3.【考向3】满足cosα≤-12的角α的集合为.
