【K12】八年级数学下册19.2.3一次函数与方程不等式教案新版新人教版

19.2.3一次函数与方程、不等式【课标内容】1.使学生理解并掌握一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的相互联系2.使学生能初步运用函数的图象来解释一元一次方程、一元一次不等式的解集,并能通过函数图象来回答一元一次方程、一元一次不等式的解集.3.使学生理解二元一次方程组的解是两条直线的交点坐标,并能通过图象法来求二元一次方程组的解..【教材分析】本节的主要内容是通通过对一次函数与一元一次方程、一元一次不等式关系的探究,引导学生认识事物部分与整体的辩证统一关系,发展学生的辩证思维能力.【学情分析】八年级学生虽然有一定的基础，但学习本节课还有一定难度.【教学目标】1.使学生能初步运用函数的图象来解释一元一次方程、一元一次不等式的解集,并能通过函数图象来回答一元一次方程、一元一次不等式的解集.2．通过对一次函数与一元一次方程、一元一次不等式关系的探究,引导学生认识事物部分与整体的辩证统一关系,发展学生的辩证思维能力.在探究活动中,让学生体会数学知识的融会贯通,发现数学的美,以激发学生学习数学的兴趣和克服困难的信心.【教学重点】理解一次方程、一元一次不等式与一次函数的转化关系及本质联系.掌握用图象求解方程、不等式的方法..【教学难点】根据一次函数的图象求解方程和不等式. 【教学方法】五步教学法、引导探究法【课前准备】教学中出示的教学插图和例题.【课时设置一课时【教学过程】第一课时一、预学自检互助点拨问题1画出函数y=x+3的图象,并解答:(1)x取什么值时,函数值y等于3,0,-3?(2)x取什么值时,函数值y始终大于零?学生画出函数的图象,按照要求独立思考问题.追问:你是如何求x的值?学生完成后,说出自己的方法和结果.(1)分别令y=3,0,-3,得到方程:x+3=3,x+3=0,x+3=-3,分别解这些方程得:x=0,x=-2,x=-4.(2) 当y>0时,即x+3>0,解不等式得x>-2.追问:一元一次方程x+3=3,x+3=0,x+3=-3与函数y=x+3有什么关系?你能利用一次函数的图象求出方程的解吗?学生思考探究,讨论交流,并总结结论:从数的角度看:求一元一次方程x+3=3,x+3=0,x+3=-3的解就是求函数y=x+3当y的值为3,0,-3时对应的自变量x的值.从形的角度看:也是求当一次函数的图象上纵坐标分别为3,0,-3时点的横坐标.问题2不等式x+3>0的解集与函数y=x+3有什么关系?你能用一次函数的图象解不等式吗?教师引导学生讨论交流,发现:从数的角度看:不等式x+3>0的解集就是函数y>0时自变量x的取值范围.从形的角度看:也就是直线y=x+3在x轴上方部分点的横坐标x的取值范围.从以上过程可以看出,一次函数与方程、不等式有着密切的关系,这就是我们这节课要学习的内容——一次函数与方程、不等式.[设计意图]通过这一活动让学生进一步熟悉用函数观点认识一元一次方程、不等式的问题,进而加深对数形结合思想的认识与理解.导入二:问题1(1)解方程2x-4=0.(2)当自变量x为何值时,函数y=2x-4的值为0?(3)从上述两个问题中,你能发现一次函数与一元一次方程的关系吗?(4)画出函数y=2x-4的图象,并确定它与x轴的交点坐标.学生按要求探究,并总结结论.从数的角度看:一元一次方程2x-4=0的解是一次函数y=2x-4的y 为0时x的值.从形的角度看:一元一次方程2x-4=0的解是一次函数y=2x-4图象与x轴交点的横坐标.问题2(1)解不等式:2x-4>0(2)当自变量x为何值时,函数y=2x-4的值大于0?(3)观察函数y=2x-4 的图象,回答问题:当x 时,y=2x-4 >0,当x 时,y=2x-4 < 0.学生按要求探究,讨论交流并总结.从数的角度看:一元一次不等式2x-4>0的解集是一次函数y=2x-4的y值大于0时x的取值范围.从形的角度看:解一元一次不等式2x-4>0(或2x-4<0)可以看作:求一次函数y=2x-4图象在x轴的上方(或下方)时点的横坐标的取值范围.从以上过程可以看出,一次函数与方程、不等式有着密切的关系,这就是我们这节课要学习的内容——一次函数与方程、不等式.[设计意图]问题导向,学生快速进入思考问题的角色,对理解一元一次方程、一元一次不等式和一次函数之间的关系,创造了条件,减少了干扰.二、合作互学探究新知1.探究一次函数与方程的关系思路一探究:下面3个方程有什么共同点和不同点?你能从函数的角度对解这3个方程进行解释吗?(1)2x+1=3,(2)2x+1=0,(3)2x+1=-1.学生独立思考后,画出一次函数y=2x+1的图象,发现:三个方程等号的左边都是2x+1,结果不同.从图象上可以看出y=2x+1上纵坐标分别取3,0,-1的点的横坐标1,-,-1就是方程的解.再通过计算发现三个方程的解是函数图象上纵坐标为3,0,-1的对应点的横坐标的值.追问:解方程ax+b=0(a≠0)与求自变量x为何值时,一次函数y=ax+b的值为0有什么关系?学生通过具体问题分析,经过讨论,归纳出结论.任何以x为未知数的一元一次方程都可以化成ax+b=0(a≠0)的形式.因此,解方程ax+b=0(a≠0)相当于在一次函数y=ax+b中取y=0时,求x的值.或在函数y=ax+b图象上找出与x轴的交点,该交点横坐标的值就是该方程的解.[设计意图]通过上述活动,逐步学会从特殊到一般的归纳概括能力,进一步认识函数与一元一次方程内在的联系.思路二1.老师为了检测小明的数学学习情况,编了四道测试题.问题(1):解方程2x+1=0.问题(2):当x为何值时,函数y=2x+1的值为0?问题(3):画出函数y=2x+1的图象,并确定它与x轴的交点坐标.问题(4):第(1)(2)个问题有何关系?(1)(3)呢?学生分组讨论四个问题,师生归纳:问题(1)和问题(2)可以看作是同一个问题的两种形式.问题(1)(2)是从数的角度看,问题(3)是从形的角度看.2.(1)请填写表格,使得以下的一元一次方程问题与一次函数问题是同一问题.序号一元一次方程问题一次函数问题1解方程5x-3=0 当x为何值时y=5x-3的值为0?2 解方程9x +2=03 当x 为何值时y =-4x +7的值为0?4 解方程ax +b =0(a ,b为常数且a ≠0)学生独立完成填表.答案:当x 为何值时y =9x +2的值为0?解方程-4x +7=0.当x 为何值时y =ax +b 的值为0?(2)根据下列图象,你能说出哪些一元一次方程的解?并直接写出相应方程的解.学生分组练习,分别讨论,归纳结论.根据图象可知:5x =0的解为x =0;x +2=0的解为x =-2;x -1=0的解为x =1.师生归纳:从数的角度看,求ax +b =0(a ,b 是常数,a ≠0)的解相当于求x为何值时函数y=ax+b的值为0;从图象上看,这相当于已知直线y=ax+b,确定它与x轴交点的横坐标的值.[设计意图]问题的设置从特殊到一般,从数到形的顺序安排,体现由易到难,符合学生的认知规律,同时为归纳做好铺垫,实现了结论由感性到理性的自然深化,培养学生的分析,归纳能力.2.探究一次函数与不等式的关系思路一探究:下面3个不等式有什么共同点和不同点?你能从函数的角度对解这3个不等式进行解释吗?(1)2x+1>3,(2)2x+1<0,(3)2x+1<-1.小组内共同解了三个一元一次不等式,画出一次函数y=2x+1的图象,思考发现:不等号的左边都是2x+1,而不等号的右边是不同的数.解这3个不等式相当于在一次函数y=2x+1的函数值分别为大于3,小于0,小于-1时,求自变量x的取值范围.从图象可以看出在直线y=2x+1上取纵坐标分别满足大于3,小于0,小于-1的点,看点的横坐标满足什么条件.分别是x>1,x<-,x<-1.讨论:由上面的几个问题你能否说出一次函数与一元一次不等式之间有何关系?学生尝试回答,师生共同总结.任何关于x的一元一次不等式都可以化成ax+b>0或ax+b<0的形式.因此,解一元一次不等式相当于在某个一次函数y=ax+b的值大于0或小于0时,求x的取值范围.或者在函数y=ax+b图象上找出纵坐标大于0或小于0的部分,看这些点的横坐标满足什么条件.[设计意图]理解和掌握一次函数与一元一次不等式之间的联系,让学生明确解决问题应从变化与对应的观点去考虑,善于观察、总结,提高学生的概括能力.思路二用画函数图象的方法解不等式5x+4<2x+10.方法一:原不等式可以化为,画出直线y=的图象,可以看出,当x 时这条直线上的点在x轴的下方.即这时y= <0,所以不等式的解集为:.方法二:将原不等式的两边分别看作一次函数,画出直线y=与直线y=.可以看出,它们交点的横坐标为.当x时,对于同一个x,直线y=上的点在直线y=上的相应点的方,这时5x+4<2x+10,所以不等式的解集为:.小结: 以上两种方法其实都是把解不等式转化为比较直线上点的位置高低.点的位置高对应的函数值,点的位置低对应的函数值.教师引导学生归纳:由于任何一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0(a,b为常数,a≠0)的形式,所以解一元一次不等式可以看作:当一次函数值大于(或小于)0时,求自变量相应的取值范围.[设计意图]通过这一活动使学生熟悉一元一次不等式与一次函数值大于或小于0时,自变量取值范围问题间的关系,并寻求出解决这问题的具体方法.用函数的观点认识其数学概念的主要作用不是单纯的解题,而是加强知识间的融会贯通.3.探究一次函数与方程组的关系思路一探究:1号探测气球从海拔5 m处出发,以1 m/min的速度上升.与此同时,2号探测气球从海拔15 m处出发,以0.5 m/min的速度上升.两个气球都上升了1 h.(1)用式子分别表示两个气球所在位置的海拔y(单位:m)关于上升时间x(单位:min)的函数关系;(2)在某个时刻两个气球能否位于同一高度?如果能,这时气球上升了多长时间?位于什么高度?引导学生从实际问题中抽象出具体的数学问题,并应用所学方法求解.帮助学生建立函数模型,得到不同的解决方法,并展示规范解答.解:(1)两个气球所在位置的海拔高度y(m)与上升时间x(min)的函数关系分别是:1号气球:y=x+5;2号气球:y=0.5x+15.自变量x的范围是0≤x≤60.追问:“在某个时刻两个气球位于同一高度”说明它们两个函数关系式中的x和y的值要满足什么关系?如何求出x和y的值?学生思考后总结.在某时刻两个气球位于同一高度,就是说对于x的某个值,函数y=x+5和y=0.5x+15有相同的值y.由此容易想到解二元一次方程组.解:(2)由题意得解得当上升20 min时,两个气球都位于海拔25 m的高度.追问:在同一直角坐标系中,画出一次函数y=x+5和y=0.5x+15的图象,观察这两条直线有交点吗?并思考:交点坐标是不是的解?为什么? 学生画图后发现,这两条直线的交点为(20,25),说明当上升20 min 时,两个气球都位于海拔25 m的高度.也就是说交点坐标也就是方程组的解.教师引导学生归纳总结:(1)一般地,因为每个含有未知数x和y的二元一次方程,都可以改写成y=ax+b的形式,所以每个这样的方程都对应一个一次函数,于是也对应一条直线,这条直线上每个点的坐标(x,y)都是这个二元一次方程的解.同样,任意一个二元一次方程组都对应着两个一次函数和两条直线,这两条直线的交点坐标是该二元一次方程组的解.(2)从“数”的角度看:解二元一次方程组,相当于求自变量为何值时两个函数的函数值相等,以及这个函数值是多少.从“形”的角度看:解二元一次方程组,相当于确定两条相应直线的交点.[设计意图]通过活动,从数和形两个角度认识了一次函数与二元一次方程组的关系.思路二1.一次函数与二元一次方程的关系.(1)对于方程3x+5y=8如何用x表示y?是不是任意的二元一次方程都能转化成一次函数呢?(2)在平面直角坐标系中画出一次函数y=-x+的图象.(3) 在一次函数y=-x+的图象上任取一点(x,y),则x,y一定是方程3x+5y=8的解吗?为什么?学生独立完成后同桌交流,教师再引导学生归纳总结:方程3x+5y=8的解点(s,t)在一次函数y=-x+的图象上2.一次函数与二元一次方程组的关系.观察在同一直角坐标系中的y=2x-1与y=-x+的图象,两条直线的交点坐标是.方程组的解是.小组讨论,完成填空后,进行验证.教师说明:(1)任何一个方程组都可以看成是两个一次函数的组合;(2)求方程组的解就是求两个函数值相等时,自变量的值和函数值;(3)根据方程组的解的意义和函数的观点,就是当x取什么数值时,两个一次函数的y值相等?它反映在图象上,就是求直线y=2x-1与直线y=-x+的交点坐标.教师引导归纳:[设计意图]通过问题解决,由特殊过渡到一般,从数和形两个角度认识了一次函数与二元一次方程、二元一次方程组的关系.4.例题讲解(补充)某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元,销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元.(1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润;(2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台,其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍.设购进A型电脑x台,这100台电脑的销售总利润为y元.①求y关于x的函数关系式;②该商店购进A型、B型电脑各多少台,才能使销售总利润最大?(3)实际进货时,厂家对A型电脑出厂价下调m(0<m<100)元,且限定商店最多购进A型电脑70台.若商店保持两种电脑的售价不变,请你根据以上信息及(2)中条件,设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案.师生共同分析:(1)设出每台A型电脑和B型电脑的销售利润,因为销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元,销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元,可列出二元一次方程组求解.(2)由计划一次购进两种型号的电脑共100台和(1)问中的结论等条件,构建y关于x的函数关系式,再由“B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍”求出自变量的取值范围,最后由一次函数的增减性得出销售总利润最大的进货方案.(3)由(2)问中的条件和(3)中信息构建含参数m的一次函数关系式并确定自变量的取值范围,依据m的不同取值范围讨论一次函数的增减性,从而确定m取值范围不同情况下销售总利润最大的进货方案.解:(1)设每台A型电脑的销售利润为a元,每台B型电脑的销售利润为b元,则有:解得即每台A型电脑的销售利润为100元,每台B型电脑的销售利润为150元.(2)①根据题意,得y=100x+150(100-x),即y=-50x+15000.②根据题意,得100-x≤2x,解得x≥33.∵y=-50x+15000中,-50<0,∴y随x的增大而减小.∵x为正整数,∴当x=34时,y取得最大值,此时100-x=66.即商店购进A型电脑34台,B型电脑66台,才能使销售总利润最大.(3)根据题意,得y=(100+m)x+150(100-x),即y=(m-50)x+15000.由题意得33≤x≤70.①当0<m<50时,m-50<0,y随x的增大而减小.∴当x=34时,y取得最大值.即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑才能获得最大利润; ②当m=50时,m-50=0,y=15000.即商店购进A型电脑数量满足33≤x≤70的整数时,均获得最大利润;③当50<m<100时,m-50>0,y随x的增大而增大.∴x=70时,y取得最大值.即商店购进70台A型电脑和30台B型电脑才能获得最大利润. [归纳总结]一次函数的最值问题:考虑一次函数y=kx+b在a≤x ≤b时的最大值和最小值的时候,要注意k的符号:当k>0时,则在x=a 处取最小值,在x=b处取最大值;当k<0时,结论正好相反.[设计意图]进一步加强一次函数综合性问题的分析,提高解决问题的能力和应用数学知识的能力.三、自我检测成果展示1.直线y=x-1上的点在x轴上方时对应的自变量的范围是()A.x>1B.x≥1C.x<1D.x≤12.直线y=3x+6与x轴的交点的横坐标x的值是方程2x+a=0的解,则a的值是.3.若方程组的解为则直线y=-x+a与y=x-b的交点坐标为.4.已知关于x的方程mx+n=0的解是x=-2,则直线y=mx+n与x轴的交点坐标是.【能力提升】5.(2015·永州中考)已知一次函数y=kx+b的图象经过两点A(0,1),B(2,0),则当x 时,y≤0.6.画出函数y=-x-2的图象,根据图象,指出:(1)x取什么值时,函数值y等于零?(2)x取什么值时,函数值y始终大于零?7.利用图象解不等式:(1)2x-5>-x+1;(2)2x-5<-x+1.8.已知直线y1=kx+2与y2=3x-2,相交于点(1,a)?(1)求直线y1的解析式;(2)求直线y1与x轴、y轴的交点坐标;(3)当x为何值时,kx+2>3x-2?kx+2<3x-2?四、应用提升挑战自我9.一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式:方式A以每分0.1元的价格按上网时间计费;方式B除收月基费20元外再以每分0.05元的价格按上网时间计费.如何选择收费方式能使上网者更合算?五、经验总结反思收获本节课你学到了什么？写出来（设计思路：师生共同回忆所学内容，共同小结，渐渐补充.充分利用学案资源帮助学生理解、消化、新的知识，能够灵活的运用这节课所学习的内容.教师引导学生总结今天学习的主要内容，在学习后进行适当总结有助于学生更加深刻理解内容.）【板书设计】19.2.3一次函数与方程、不等式1.一次函数与方程的关系2.一次函数与不等式的关系3.一次函数与方程组的关系4.例题讲解【备课反思】本节内容的本质是通过研究一次函数与方程、不等式的关系解决与一次函数相关的实际问题.把学生的探索和验证活动放在首位,一方面要求学生在老师的引导下自主探索,合作交流,另一方面要求学生对探究过程中用到的数学思想方法有一定的领悟和认识,达到培养能力的目的.整节课以“问题情境——分析探究——总结升华”为主线,使学生亲身经历一次函数与方程、不等式的探索,培养学生的数形结合的能力,努力做到由传统的数学课堂向实验课堂转变.。

人教版初中数学八年级19.2.3一次函数与方程、不等式教案一、学习目标1.认识一次函数与一元一次方程、二元一次方程（组）、一元一次不等式之间的关系，会用函数观点解释方程和不等式及其解或解集的意义.2.经历用函数图像表示方程和不等式的过程，进一步体会“以形表数，以数释形”的数形结合思想.3.通过对一次函数与方程、不等式相关题目的研究，培养学生语言组织能力和分析、解决问题的能力.二、学习过程（一）情景导入引发思考今天数学王国搞了个家庭Party，各个成员按照自己所在的集合就坐，这时来了“x+y=5”，二元一次方程的成员说：“到我们这里来”，一次函数的成员也说：“到我们这里来”，这是怎么回事？“x+y=5”应该坐在哪里呢？（二）深入剖析感悟新知【思考一】下面3个方程有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对解这3个方程进行解释吗？（1）2x+1=3；（2）2x+1=0；（3）2x+1= -1.归纳1：求方程ax+b=0的解，就是当一次函数y=ax+b的值为时，求相应的__ _____的值，求直线y=ax+b与的交点的坐标.练习巩固1：1.根据下列图像，根据下列一次函数的图象，说出方程5x=0和-2x+4=0的解.2.若方程kx＋b＝0的解是x=5，则直线y=kx＋b与x轴交点坐标为（____,_____）. 小结1：从函数值看：求ax+b=0(a，b是常数，a≠0)的解．从函数图像看：【思考二】下面3个不等式有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对这3个不等式进行解释吗？（1）223>+x；（2）023<+x；（3）123-<+x.归纳2：求不等式ax+b＞0（或＜0）的解集，当一次函数y=ax+b的值为时，求相应的_______的取值范围.当一次函数y=ax+b的值为时，求相应的_______的取值范围.(0,0) (2,0)练习巩固2：根据下列一次函数的图像，直接写出下列不等式的解集(1)3x+6>0 (3) –x+3 ≥0(2)3x+6 ≤0(4) –x+3<0小结2：从函数值看：求ax+b＞0(或<0) (a≠0)的解集从函数图像看：【问题三】1号探测气球从海拔5 m 处出发，以1 m/min 的速度上升．与此同时，2 号探测气球从海拔15 m 处出发，以0.5 m/min 的速度上升．两个气球都上升了1 h．(1)请用解析式分别表示两个气球所在位置的海拔y（m）与气球上升时间x（min）的函数关系．(2)在某时刻两个气球能否位同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？小结3：从“数的角度”看：求二元一次方程组的解从“形的角度”看（三）巩固练习 应用新知1．已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象如右图所示，不求k ，b 的值，直接解决下列问题：(1)方程kx ＋b ＝0的解是________；(2)不等式kx ＋b ＜0的解集是________；(3)不等式组0≤kx ＋b ≤4的解集是__________；2.如右图，一次函数y=ax+b 与y=cx+d 的图象交于点P ，(1)关于x ，y 的方程组 的解是__________；(2)不等式ax ＋b<cx ＋d 的解集是________．（四）课堂小结：三、课后作业：1. 一次函数y ＝kx ＋b(k≠0)的图象，如图1所示，则方程kx ＋b ＝0的解为( )A ．x ＝2B ．y ＝2C ．x ＝－1D ．y ＝－12. 一次函数y ＝ax ＋b(a≠0)的图象，如图2所示，则不等式ax ＋b≥0的解集是( )A ．x≥2B ．x≤2C ．x≥4D ．x≤43.若以二元一次方程x ＋2y －b ＝0的解为坐标的点(x ，y)都在直线y ＝－12x ＋b －1上，则常数b 的值为( ) A.12 B ．2 C ．－1 D ．1图1 图24.如图3，一次函数y 1＝x ＋b 与一次函数y 2＝kx ＋4(k≠0)的图象相交于点P(1，3)，则关于x 的不等式x ＋b ＞kx ＋4的解集是 .5.与y=2x+b 的图象交点为(-1，2)，则方程组 的解是______. 6.如图4，直线l 1：y ＝－43x ＋4与y 轴交于点A ，与直线l 2：y ＝45x ＋45交于点B ，且直线l 2与x 轴交于点C.求△ABC 的面积．7.建模思想经统计分析，某市跨河大桥上的车流速度v(千米/时)是车流密度x(辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米的时候就会造成交通堵塞，此时车流速度为0千米/时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为80千米/时．经研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)求大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度；(2)在某一交通时段，为使大桥的车流速度大于60千米/时且小于80千米/时，应把大桥上的车流密度控制在什么范围内？ 图4。

19.2.3一次函数与方程、不等式教学目标【知识与技能】1.认识并能说出一次函数与一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程(组)的关系,且能够从数和形两方面加以说明;2.能够从一次函数与二元一次方程组的关系得出二元一次方程组的图象解法,但更多的是用解二元一次方程组求两个一次函数图象的交点坐标.【过程与方法】经历探究一次函数与一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程(组)之间的联系的过程,体会数形结合、分类、类比、归纳等数学思想方法的运用,积累数学活动经验.【情感、态度与价值观】通过对一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程(组)内在关系的探究,引导学生认识事物部分与整体的辩证统一关系,培养用辩证统一的观点看待数学问题的意识.教学重难点【教学重点】一次函数与方程、不等式的横向联系.【教学难点】灵活运用一次函数与方程、不等式(组)的关系解决问题.教学过程一、问题导入1.解方程2x+20=0.2.当自变量x为何值时,函数y=2x+20的值为0?前面我们学习了一次函数,实际上,一次函数是两个变量之间符合一定关系的一种互相对应,互相依存.它与我们学过的一元一次方程,一元一次不等式,二元一次方程组有着必然的联系.二、合作探究探究点1一次函数与一元一次方程典例1如图,一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点为(2,0),则下列说法:①y随x的增大而减小;②b>0;③关于x的方程kx+b=0的解为x=2.其中正确的有.(只填写序号)[答案]①②③已知直线y=mx+n(m,n为常数)经过点(0,-2)和(3,0),则关于x的方程mx+n=0的解为()A.x=0B.x=1C.x =-2D.x =3[答案] D探究点2 一次函数与一元一次不等式典例2 如图,直线y =kx +b (k ≠0)经过点A (-2,4),则不等式kx +b >4的解集为 ( )A.x >-2B.x <-2C.x >4D.x <4[答案] A探究点3 一次函数与二元一次方程(组)典例3 如图,两个一次函数图象的交点坐标为(2,4),则关于x ,y 的方程组{y =k 1x +b 1,y =k 2x +b 2的解为.[答案] {x =2y =4已知{x =3,y =−2和{x =2,y =1是二元一次方程ax +by +3=0的两个解,则一次函数y =ax +b (a ≠0)的解析式为 ( ) A.y =-2x -3 B.y =27x +397C.y =-9x +3D.y =-97x -37[答案] D三、板书设计一次函数与方程、不等式一次函数与方程、不等式{一次函数与一元一次方程一次函数与一元一次不等式一次函数与二元一次方程(组)教学反思通过复习方程、不等式的解法和一次函数求值,为一次函数与一元一次方程(组)、一元一次不等式的内在联系的探究做好铺垫.学生经过自主探索、合作交流,从数和形两个角度认识一次函数与方程、不等式的关系,真正掌握本节课的重点知识,从而在头脑中再现知识的形成过程,避免单纯地记忆,使学习过程成为一种再创造的过程.及时对学生进行鼓励,充分肯定学生的探究成果,关注学生的情感体验,收到了较好的效果.。

新人教版八年级数学下册《一次函数与方程、不等式（3）》教学设计一、创建情境问题为了研究某合金资料的体积V(cm3)随温度t(℃)变化的规律，对一个用这类合金制成的圆球测得有关数据以下：可否据此求出V和t的函数关系？将这些数值所对应的点在座标系中作出．我们发现，这些点大概位于一条直线上，可知V和t近似地切合一次函数关系．我们能够用一条直线去尽可能地与这些点相切合，求出近似的函数关系式．以下列图所示的就是一条这样的直线，较近似的点应当是(10，1000.3)和(60，1002.3)．V＝kt＋b(k≠0)，把(10，1000.3)和(60，1002.3)代入，可得k＝，b＝．V＝＋．你也能够将直线稍稍搬动一下，不取这两点，换上更适合的两点．二、研究概括我们曾采纳待定系数法求得一次函数和反比率函数的关系式．可是现实生活中的数目关系是盘根错节的，在实践中得到一些变量的对应值，有时很难精准地判断它们是什么函数，需要我们依据经验剖析，也需要进行近似计算和修正，第1页成立比较靠近的函数关系式进行研究．三、实践应用1为了学生的身体健康，学校课桌、凳的高度都是按必定的关系科学设计的．小明对学校所添置的一批课桌、凳进行察看研究，发现它们能够依据人的身长调理高度．于是，他丈量了一套课桌、凳上相对应的四档高度，获得以下数据：(1)小明经过对数据研究，发现：桌高y是凳高x的一次函数，请你求出这个一次函数的关系式（不要求写出x的取值范围）；小明回家后，丈量了家里的写字台和凳子，写字台的高度为77cm，凳子的高度为，请你判断它们能否配套？说明原因．解(1)设一次函数为y＝kx＋b(k≠0)，将表中数据任取两组，不如取(37.0,70.0)和(42.0,78.0)代入，得解得一次函数关系式是y＝＋．(2)当x＝时，y＝×＋＝≠77．答一次函数关系式是y＝＋，小明家里的写字台和凳子不配套．2某企业到果园基地购置某种优良水果，慰劳医务工作者．果园基地对购置量在3000千克以上（含3000千克）的第2页有两种销售方案，甲方案：每千克9元，由基地送货上门；乙方案：每千克8元，由顾客自己租车运回．已知该企业租车从基地到企业的运输费为5000元．(1)分别写出该企业两种购置方案的付款?第3页。

部审人教版八年级数学下册教学设计19.2.3《一次函数与方程、不等式》一. 教材分析人教版八年级数学下册第19.2.3节《一次函数与方程、不等式》主要介绍了如何利用一次函数解决方程和不等式的问题。

本节内容是在学生已经掌握了函数、方程和不等式的基本概念和性质的基础上进行讲解的，通过实例让学生了解一次函数与方程、不等式之间的联系，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了函数、方程和不等式的基本概念和性质，具备了一定的数学基础。

但部分学生对于如何将实际问题转化为方程和不等式，以及如何利用一次函数解决这些问题还有一定的困难。

因此，在教学过程中，需要关注这部分学生的学习情况，通过具体实例和适量练习，让学生加深对一次函数与方程、不等式的理解，提高运用数学知识解决实际问题的能力。

三. 教学目标1.理解一次函数与方程、不等式之间的关系。

2.学会利用一次函数解决方程和不等式的问题。

3.培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.一次函数与方程、不等式之间的关系。

2.如何将实际问题转化为方程和不等式，并利用一次函数解决这些问题。

五. 教学方法1.采用情境教学法，通过具体实例引入一次函数与方程、不等式之间的关系。

2.采用引导发现法，引导学生发现一次函数解决方程和不等式问题的方法。

3.采用实践练习法，让学生通过适量练习，巩固所学知识。

六. 教学准备1.准备相关实例，用于导入和讲解。

2.准备练习题，用于巩固和拓展。

3.准备PPT，用于展示和讲解。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入一次函数与方程、不等式之间的关系，激发学生的学习兴趣。

示例：某商店进行打折活动，原价为100元的商品，打折后价格不低于80元，求打折力度x（折）的取值范围。

2.呈现（10分钟）讲解一次函数与方程、不等式之间的关系，引导学生理解并掌握一次函数在解决方程和不等式问题中的应用。

人教版数学八年级下册教学设计 19.2.3《一次函数与方程、不等式》一. 教材分析1.内容解析：本节课的主要内容是一次函数与方程、不等式的关系。

一次函数的表达式为y=kx+b(k≠0,k、b为常数)，其中k为斜率，b为截距。

一次函数与方程、不等式的关系可以通过解析式进行转化。

2.教材结构：本节课首先介绍一次函数的表达式，然后引导学生思考一次函数与方程、不等式的关系，最后通过例题和练习使学生掌握一次函数与方程、不等式的解法。

二. 学情分析1.知识基础：学生在七年级下册已经学习了方程和不等式的解法，对一元一次方程和一元一次不等式的解法有一定的了解。

2.思维特点：八年级的学生已经具备一定的逻辑思维能力，能够理解和掌握一次函数与方程、不等式的关系。

3.学习动机：学生对于数学知识的应用有一定的兴趣，希望通过学习一次函数与方程、不等式的关系，解决实际问题。

三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解一次函数的表达式，掌握一次函数与方程、不等式的关系，并能够运用一次函数解决实际问题。

2.过程与方法：学生能够通过观察、分析、归纳等方法，探索一次函数与方程、不等式的关系。

3.情感态度价值观：学生能够培养对数学知识的兴趣，增强解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：一次函数的表达式，一次函数与方程、不等式的关系。

2.难点：一次函数与方程、不等式的解法，以及如何运用一次函数解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过设置实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生思考一次函数与方程、不等式的关系。

2.案例教学法：通过分析例题，使学生掌握一次函数与方程、不等式的解法。

3.小组合作学习：学生分组讨论，共同探索一次函数与方程、不等式的关系，提高学生的合作能力。

六. 教学准备1.教具：黑板、粉笔、多媒体设备。

2.学具：笔记本、笔。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过设置实际问题，引导学生思考一次函数与方程、不等式的关系。

19.2.3 一次函数与方程、不等式【知识与技能】1.理解一次函数与方程、不等式的关系.2.会根据一次函数的图象解决一元一次方程、不等式、二元一次方程组的求解问题.【过程与方法】学习用函数的观点看待方程、不等式，初步感受用全面的观点处理局部问题的思想.【情感态度】经历方程、不等式与函数关系的探究，学习用联系的观点看待数学问题.【教学重点】一次函数与方程、不等式关系的应用.【教学难点】一次函数与方程、不等式关系的理解.一、情境导入，初步认识探究：1.解方程2x+20=0.2.在平面直角坐标系中画出一次函数y=2x+20的图象.问题1 直线y=2x+20与x轴交点横坐标是方程2x+20=0的解吗？为什么？问题2 这两个问题是同一个问题么？由学生完成以上任务的画图与思考，教师走入每个学习小组，指导交流与总结，适时对学生的发言进行评判.【归纳总结】从“数”的角度看，方程2x+20=0的解是x=-10；从“形”的角度看，直线y=2x+20与x轴交点的坐标是（-10，0），这也说明，方程2x+20=0的解是x=-10.由于任何一个一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y=ax+b，确定它与x轴交点的横坐标的值.二、思考探究，获取新知问题1 一个物体现在的速度是5m/s，其速度每秒增加2m/s，再过几秒它的速度为17m/s？思考：（1）本题的相等关系是什么？（2）设再过x 秒物体速度为17m/s ，能否列出方程？（3）如果速度用y 表示，那么能否列出函数关系式？（4）上面不同的解法各有何特点？解法1 设再过x 秒物体速度为17m/s.由题意可知：2x+5=17，解得x=6.解法2 速度y （m/s ）是时间x （s ）的函数，关系式为y=2x+5.当函数值为17时，对应的自变量x 值可得2x+5=17.求得x=6.解法3 由2x+5=17可变形得到2x-12=0.从图象上看，直线y=2x-12与x 轴的交点为（6，0）.故x=6.问题2 1.解不等式5x+6＞3x+10.【思考】不等式5x+6＞3x+10可以转化为ax+b ＞0的形式吗？所有的不等式是否都可以转化成这种形式呢？2.当自变量x 为何值时函数y=2x-4的值大于0？【思考】上述两个问题是同一个问题吗？3.问题2能用一次函数图象说明吗？【教学说明】引导学生解不等式后思考问题，并师生共同归纳：（1）在问题1中，不等式5x+6＞3x+10可以转化为2x-4＞0，解这个不等式得x ＞2.（2）解问题2就是要不等式2x-4＞0，得出x ＞2时函数y=2x-4的值大于0.因此它们是同一问题.（3）如图，函数y=2x-4与x 轴的交点为（2,0），且这个函数的y 随着x 的增大而增大，故要求当函数y=2x-4的值大于0时的自变量的值，只需在图中找出当函数图象在x 轴上方时的x 的值即可，由图可知，当x ＞2时，函数y=2x-4的值大于0.问题3 试用一次函数图象法求解35821x y x y +=⎧⎨-=⎩，，从中总结你的体会. 【归纳总结】上面的方程组可以转化为385521y x y x ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩，其本质是求当x 为何值时，两个一次函数的y值相等，它反映在图象上，就是求直线3855y x=-+与y=2x-1的交点坐标.三、典例精析，掌握新知例1 若直线y=kx+6与两坐标轴所围成的三角形面积是24，求常数k的值是多少？【分析】（1）一次函数的图象与两坐标轴围成的图形是直角三角形，两条直角边的长分别是图象与x轴的交点的横坐标的绝对值和与y轴的交点的纵坐标的绝对值.（2）确定图象与两条坐标轴的交点坐标可以通过令x=0和y=0解方程求得.解：设直线y=kx+6与x轴和y轴分别交于点A、B.令y=0，得x=-6k；令x=0，得y=6.∴A（-6k，0），B（0，6），∴|OA|=|-6k|，|OB|=6.∴S=12OA·OB=12|-6k|×6=24.|k|=34.∴k=±34.【教学说明】教学中引导学生利用一次函数解析式和方程的关系先得出直线与两个坐标轴的交点，再借助直线y=kx+6与两坐标轴所围成的三角形面积是24来构造方程.例2 已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，求（1）当x为何值时，kx+b＞0；（2）当x为何值时，kx+b=0；（3）当x为何值时，kx+b＜0.解：（1）当x＜3时，kx+b＞0；（2）当x=3时，kx+b=0；（3）当x＞3时，kx+b＜0.【教学说明】寻找kx+b＞0的解集，实际上就是寻找当x为何值时，一次函数y=kx+b 的图象在x轴的上方；寻找kx+b＜0的解集，实际上就是寻找x为何值时，一次函数y=kx+b的图象在x轴的下方.例3 用作图象的方法解方程组3 3 5. x yx y+=⎧⎨-=⎩，【分析】首先将两个方程分别写成一次函数的形式，然后在直角坐标系中作出它们的图象，观察得出两直线的交点坐标，从而得出方程组的解.解：由x+y=3，可得y=3-x.由3x-y=5，可得y=3x-5.在同一直角坐标系内作出一次函数y=3-x的图象l1和y=3x-5的图象l2，如图所示，观察图象得l1、l2的交点坐标为P（2，1）.所以，方程组335x yx y+=⎧⎨-=⎩的解是21.xy=⎧⎨=⎩，四、运用新知，深化理解1.如图，已知直线y=kx-3经过点M，求此直线与x轴、y轴交点坐标.【分析】要求此直线与x轴、y轴的交点坐标，就需确定这条直线对应的函数解析式，即确定直线y=kx-3中的k，这由直线过点M（-2，1）求得.2.用画函数图象的方法解不等式3x+2＞2x+1.【分析】本题可以把原不等式的两边分别看作一次函数，也可以先化简将其看作一个一次函数，然后画出函数图象求解.3.已知如图所示，直线l1:y=2x-4与x轴交于点A，直线l2:y=-3x+1与x轴交于点B，且直线l1与l2相交于点P，求△APB的面积.【分析】显然本题易求A点与B点的坐标，这样很容易求出线段AB的长度，则本题的关键就是求出点P的坐标，进而把点P的坐标转化为点P到线段AB的距离，求点P的坐标的方法就是联立l1和l2所表示的方程，建立成二元一次方程组，求解即可.【教学说明】下列问题有一定综合性，教师提示思路，由学生分组讨论求解.【答案】1.解：由图象可知，点M（-2，1）在直线y=kx-3上，∴-2k-3=1，解得k=-2.∴此直线的解析式为y=-2x-3.当y=0时，可得x=-32，∴直线与x轴交于（-32，0）.当x=0时，可得y=-3，∴直线与y轴交于（0，-3）.2.解法一：将原不等式的两边分别看作两个一次函数，画出直线y=3x+2和直线y=2x+1的图象，如图1，由图象可以看出它们的交点的横坐标为-1，当x＞-1时，直线y=3x+2在直线y=2x+1的上方，即不等式3x+2＞2x+1的解集为x＞-1.图1 图2解法二：原不等式也可以化为x+1＞0，画出y=x+1的图象，如图2，可以看出当x ＞-1时这条直线上的点在x轴的上方，即y=x+1＞0，所以不等式的解集为x＞-1.3.解：l1：y=2x-4，令y=0，x=2，则A（2，0）l2：y=-3x+1，令y=0，x=13，则B（13，0），则AB=53，2431y xy x=-⎧⎨=-+⎩解得12xy=⎧⎨=-⎩∴P（1，-2），则点P到直线AB的距离为2. ∴S△APB =12×53×2=53.五、师生互动，课堂小结结合下表总结一次函数与一元一次方程的关系：从数的角度看：从形的角度看：反思如何由一次函数图象求得一元一次不等式的解集.理解一次函数图象与二元一次方程组间的关系.掌握图象法解二元一次方程组的步骤.1.布置作业：从教材“习题19.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习.用函数的观点看方程和不等式，是学生应该学会的一种数学思想方法，本课时教学应考虑到学生形成一种教学观点的需要，考虑学生对函数、方程、不等式之间关系的理解.应从不同角度（如练习，讨论交流）帮助学生认识知识间关系的本质，形成函数、方程、不等式知识间相互转化的能力.。