矩阵习题

矩阵理论习题与答案矩阵理论习题与答案矩阵理论是线性代数中的重要内容之一，它在数学、工程、计算机科学等领域都有广泛的应用。

为了帮助读者更好地理解和掌握矩阵理论，本文将介绍一些常见的矩阵理论习题，并提供详细的答案解析。

一、基础习题1. 已知矩阵A = [[2, 3], [4, 5]]，求A的转置矩阵。

答案：矩阵的转置是将其行和列互换得到的新矩阵。

所以A的转置矩阵为A^T = [[2, 4], [3, 5]]。

2. 已知矩阵B = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]]，求B的逆矩阵。

答案：逆矩阵是指与原矩阵相乘得到单位矩阵的矩阵。

由于B是一个2×3的矩阵，不是方阵，所以不存在逆矩阵。

3. 已知矩阵C = [[1, 2], [3, 4]]，求C的特征值和特征向量。

答案：特征值是矩阵C的特征多项式的根，特征向量是对应于每个特征值的线性方程组的解。

计算特征值和特征向量的步骤如下：首先，计算特征多项式：det(C - λI) = 0，其中I是单位矩阵，λ是特征值。

解特征多项式得到特征值λ1 = 5，λ2 = -1。

然后，将特征值代入线性方程组 (C - λI)x = 0，求解得到特征向量：对于λ1 = 5，解得特征向量v1 = [1, -2]。

对于λ2 = -1，解得特征向量v2 = [1, -1]。

所以C的特征值为λ1 = 5，λ2 = -1，对应的特征向量为v1 = [1, -2]，v2 = [1, -1]。

二、进阶习题1. 已知矩阵D = [[1, 2], [3, 4]]，求D的奇异值分解。

答案：奇异值分解是将矩阵分解为三个矩阵的乘积，其中一个是正交矩阵，一个是对角矩阵。

计算奇异值分解的步骤如下：首先，计算D的转置矩阵D^T。

然后，计算D和D^T的乘积DD^T，得到一个对称矩阵。

接下来，求解对称矩阵的特征值和特征向量。

将特征值构成对角矩阵Σ，特征向量构成正交矩阵U。

最后，计算D^T和U的乘积D^TU，得到正交矩阵V。

1. 假设A,B 都是实正规矩阵, 证明A,B 可同时正交对角化(即存在正交矩阵Q,使得Q TAQ 和Q TBQ 都是对角矩阵)的充分必要条件是A,B 可交换(即AB=BA).2. 证明矩阵AB 和BA 的特征值都相同, 而且非零特征值的代数重数也相同. 并利用这个结论证明: (1) tr(AB)=tr(BA), (2) det(I+xy T )=1+y T x, 其中x,y 都是n 维向量.3. 假设A,B 都是实对称矩阵, 且A 正定, 证明A,B 可同时对角化, 即存在非奇异矩阵C,使得C T AC 和C TBC 都是对角矩阵.4. 证明若矩阵X 满足AX-XB=0, 且矩阵A,B 没有相同的特征值, 则必有X=0.5. 设H=A+iB 是一个正定Hermite 矩阵, 其中A,B 是n 阶实矩阵, 证明矩阵A B B A -⎡⎤⎢⎥⎣⎦是对称正定的.6. 设n 阶矩阵A 满足A 3=I, 试导出A 的Jordan 标准型可能具有的形状.7. 证明矩阵F 范数与向量2范数相容, 即22.FAx Ax≤8. 设v 是n 维非零实向量, E 是n 阶实矩阵, 证明12222(()).FTFTTEv v E E I v vv v v--=+‖‖‖‖9. 设200011,201A π⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦证明2200044sin 011.001A A A ππ⎡⎤⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦10. 设622220,02A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦计算ln .A11. 证明对任意n 阶矩阵A, 有21,sin(2cos(2))2sin cos .2cos A A A A A =-=12. 形如(,)TkN y k I ye =-的矩阵称为Gauss-Jordan 变换, 其中y 是n 维实向量. (1) 假定N(y,k)非奇异, 给出计算其逆的公式. (2) n 维实向量x 满足什么条件才能保证存在n 维实向量y 使得N(y,k)x=e k.13. 证明222x y x y +=+‖‖‖‖‖‖当且仅当x 与y 线性相关, 且0.Tx y ≥14. 设m nA R ⨯∈, 证明m ax ,22m ().ax nmTx Ry RA xx y y A σ∈∈=‖‖‖‖15. 设()m n n A R m ⨯∈≥的奇异值为1n σσ≥⋯≥ , 证明202.m inx n A x x σ≠=‖‖‖‖16. 设S 是实反对称矩阵, 证明I-S 非奇异, 且矩阵(I-S)-1(I+S)是正交矩阵.17. 设rank(A)=r, 证明2.F A r A ≤‖‖‖‖18. 设m n A R ⨯∈的奇异值分解为TA VU =∑, 计算下列矩阵的奇异值分解, 要求用,,U V ∑来表示: (1) (A TA)-1, (2) (A TA)-1A T, (3) A(A TA)-1, (4) A(A TA)-1A T19. 设n n A R ⨯∈的奇异值分解为111,[][],,,,TTn n n Vu v v A U u σσ⎡⎤⎢∑⋯⋯⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦若0,0T A H A⎡⎤=⎢⎥⎣⎦证明矩阵H 的2n 个特征值为i σ±,.i i v u ⎡⎤⎢⎥⎣⎦±。

线性代数练习题——矩阵一、 填空题1、 设⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=1032A ，则1−A = 2、设A ，B 为n 阶方阵，且2=A ，3−=B ，则=−12AB 3、 设A 为3阶方阵，且5=A ，则=−13A4、 设⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−=10030116030242201211A ，则秩)(A r = 5、 ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=2413100231214012A ,由第2,3行,第2,4列得到的二阶子式为=D ___。

6、 已知T A A =,T B B =,则AB 是对称矩阵的充分必要条件是______。

7、 设矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=100120301A ，且A 的伴随矩阵为*A ，则=*AA ______。

二、 单项选择题1． 关于矩阵下列说法正确的是（ ）（A ）若A 可逆，则A 与任何矩阵可交换，BA AB = （B ）若A 可逆，则T A 也可逆（C ）若A 可逆，B 也可逆，则B A ±也可逆 （D ）若A 可逆，B 也可逆，则AB 不一定可逆2． 设B A ,均为n 阶方阵，则必有（ ）（A ）||||||||A B B A ⋅=⋅（B ）||||||B A B A +=+（C ）B A B A T +=+)(（D ）T T T B A AB =)(3． 设矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛+221211111λ的秩为2，则=λ（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）34． 设CB AC =，且C 为n m ×矩阵，则B A ,分别是（ ）矩阵（A ）m n ×与n m × （B ）n m ×与m n × （C ）n n ×与m m ×（D ）m m ×与n n × 5． 设A 与B 均为n 阶对称矩阵，则（ ）也为n 阶对称矩阵（A ）1)(−AB （B ）11−−B A （C ）AB （D ）B A −6． 初等矩阵（ ）（A ）相乘仍为初等矩阵 （B ）都可逆 （C ）相加仍为初等矩阵 （D ）以上都不对7． 已知⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛10113121A ，则=A （ ） （A ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−0113 （B ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−1301 （C ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−3110 （D ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−1031 8． 设A ，B 为n 阶矩阵，且0=AB ，则必有（ ）（A ）0=A 或0=B （B ）0=+B A（C ）0=A 或0=B（D ）A +0=B 9． 若A ,B 均为n 阶非零矩阵,且22))((B A B A B A −=−+则必有（ ）（A ）BA AB = （B ）E A = （C ）E B = （D ）A ,B 为对称矩阵10． 已知B 为可逆阵，则11[()]T B −−=（ ） （A ）B（B ）T B （C ）1−B （D ）TB )(1− 三、 计算题 1、⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=520012121A ，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=413212B ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=401223C 求C AB T −； 2、设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=412711310A 求1−A ；3、设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=101020101A ，E 为三阶单位矩阵，满足B A E AB +=+2，求矩阵B ；4、设⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=1011A ，求所有与A 可交换的矩阵； 5、设A 为3阶方阵，31=A ，求行列式1*)2(3−−A A 的值，其中*A 为A 的伴随矩阵； 6、已知矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=4553251101413223211a A 的秩是3，求a 的值。

矩阵练习题及答案一、选择题1. 矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换，以下哪个矩阵不是A的转置？A. [a11 a12; a21 a22]B. [a21 a22; a11 a12]C. [a12 a22; a11 a21]D. [a22 a12; a21 a11]2. 矩阵的加法是元素对应相加，以下哪个矩阵不能与矩阵B相加？矩阵A = [1 2; 3 4]矩阵B = [5 6; 7 8]A. [4 3; 2 1]B. [6 7; 8 9]C. [1 2; 3 4]D. [5 6; 3 4]3. 矩阵的数乘是指用一个数乘以矩阵的每个元素，以下哪个矩阵是矩阵A的2倍？矩阵A = [1 2; 3 4]A. [2 4; 6 8]B. [1 0; 3 4]C. [0 2; 3 4]D. [1 2; 6 8]4. 矩阵的乘法满足结合律，以下哪个等式是错误的？A. (A * B) * C = A * (B * C)B. A * (B + C) = A * B + A * CC. (A + B) * C = A * C + B * CD. A * (B - C) ≠ A * B - A * C5. 矩阵的逆是满足AA^-1 = I的矩阵，以下哪个矩阵没有逆矩阵？A. [1 0; 0 1]B. [2 0; 0 2]C. [0 1; 1 0]D. [1 2; 3 4]二、填空题6. 给定矩阵A = [1 2; 3 4]，矩阵B = [5 6; 7 8]，矩阵A和B的乘积AB的元素a31是________。

7. 矩阵的行列式是一个标量，可以表示矩阵的某些性质。

对于矩阵C = [2 1; 1 2]，其行列式det(C)是________。

8. 矩阵的特征值是指满足Av = λv的非零向量v和标量λ。

对于矩阵D = [4 1; 0 3]，其特征值是________。

9. 矩阵的迹是主对角线上元素的和。

对于矩阵E = [1 0; 0 -1]，其迹tr(E)是________。

矩阵练习题及答案矩阵是线性代数中的一个重要概念，也是在数学、物理、计算机科学等领域中广泛应用的工具。

通过解矩阵练习题，可以帮助我们加深对矩阵运算和性质的理解。

下面给出一些矩阵练习题及其答案，供大家参考。

1. 问题描述：已知矩阵 A = [4 2]，求 A 的转置矩阵 A^T。

解答：矩阵的转置就是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。

因此，A 的转置矩阵为 A^T = [4; 2]。

2. 问题描述：已知矩阵 B = [1 -2; 3 4]，求 B 的逆矩阵 B^-1。

解答：对于一个可逆矩阵 B，其逆矩阵 B^-1 满足 B * B^-1 = I，其中 I 是单位矩阵。

通过矩阵的求逆公式，可以得到 B 的逆矩阵 B^-1 = [4/11 2/11; -3/11 1/11]。

3. 问题描述：已知矩阵 C = [2 1; -3 2]，求 C 的特征值和特征向量。

解答：矩阵的特征值和特征向量是矩阵在线性变换下的重要性质。

特征值λ 是方程 |C - λI| = 0 的根，其中 I 是单位矩阵。

解方程可得特征值λ1 = 1 和λ2 = 3。

特征向量 v1 对应于特征值λ1，满足矩阵C * v1 = λ1 *v1，解方程可得 v1 = [1; -1]。

特征向量 v2 对应于特征值λ2，满足矩阵C * v2 = λ2 * v2，解方程可得 v2 = [1; 3]。

4. 问题描述：已知矩阵 D = [1 2 -1; 3 2 4]，求 D 的行列式和秩。

解答：矩阵的行列式表示线性变换后单位面积或单位体积的变化率。

计算 D 的行列式可得 det(D) = 1 * (2*4 - 4*(-1)) - 2 * (3*4 - 1*(-1)) + (-1) * (3*2 - 1*2) = 10。

矩阵的秩表示矩阵中独立的行或列的最大个数。

对矩阵 D 进行行变换得到矩阵的行最简形式为 [1 0 6; 0 1 -3]，因此 D 的秩为 2。

矩阵练习题及答案矩阵练习题及答案矩阵是线性代数中的重要概念，也是许多数学问题的基础。

通过练习矩阵题目，我们可以加深对矩阵的理解，提高解决问题的能力。

下面，我将为大家提供一些矩阵练习题及其答案，希望对大家的学习有所帮助。

一、基础练习题1. 计算以下矩阵的和：A = [2 4][1 3]B = [3 1][2 2]答案：A + B = [5 5][3 5]2. 计算以下矩阵的乘积：A = [2 3][4 1]B = [1 2][3 2]答案：A * B = [11 10][7 10]3. 计算以下矩阵的转置：A = [1 2 3][4 5 6]答案：A^T = [1 4][2 5][3 6]二、进阶练习题1. 已知矩阵 A = [2 1][3 4]求矩阵 A 的逆矩阵。

答案：A 的逆矩阵为 A^-1 = [4/5 -1/5] [-3/5 2/5]2. 已知矩阵 A = [1 2][3 4]求矩阵 A 的特征值和特征向量。

答案：A 的特征值为λ1 = 5，λ2 = -1对应的特征向量为 v1 = [1][1]v2 = [-2][1]3. 已知矩阵 A = [2 1][3 4]求矩阵 A 的奇异值分解。

答案：A 的奇异值分解为A = U * Σ * V^T其中，U = [-0.576 -0.817][-0.817 0.576]Σ = [5.464 0][0 0.365]V^T = [-0.404 -0.914][0.914 -0.404]三、实际应用题1. 一家工厂生产 A、B、C 三种产品，其销售量分别为 x1、x2、x3。

已知每天销售的总量为 100 个，且销售收入满足以下关系：2x1 + 3x2 + 4x3 = 3003x1 + 2x2 + 5x3 = 3204x1 + 3x2 + 6x3 = 380求解方程组，得到每种产品的销售量。

答案：解方程组得到 x1 = 30，x2 = 20，x3 = 50。

矩阵习题带答案矩阵习题带答案矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于各个领域。

掌握矩阵的运算和性质对于学习线性代数和解决实际问题都具有重要意义。

在这篇文章中，我们将提供一些矩阵习题，并附上详细的解答，帮助读者更好地理解和掌握矩阵的相关知识。

1. 习题一已知矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，求矩阵A的转置矩阵AT。

解答：矩阵A的转置矩阵AT即将A的行变为列，列变为行。

因此，矩阵A的转置矩阵为：AT = [1 4 7; 2 5 8; 3 6 9]2. 习题二已知矩阵B = [2 4; 1 3]，求矩阵B的逆矩阵B-1。

解答：对于一个二阶矩阵B，如果其行列式不为零，即|B| ≠ 0，那么矩阵B存在逆矩阵B-1，且B-1 = (1/|B|) * [d -b; -c a]，其中a、b、c、d分别为矩阵B的元素。

计算矩阵B的行列式：|B| = ad - bc = (2*3) - (4*1) = 6 - 4 = 2因此，矩阵B的逆矩阵为：B-1 = (1/2) * [3 -4; -1 2]3. 习题三已知矩阵C = [1 2 3; 4 5 6]，求矩阵C的秩rank(C)。

解答：矩阵的秩是指矩阵中非零行的最大个数，也可以理解为矩阵的行向量或列向量的最大线性无关组的向量个数。

对于矩阵C，我们可以通过高斯消元法将其化为行简化阶梯形矩阵：[1 2 3; 0 -3 -6]可以看出，矩阵C中非零行的最大个数为1，因此矩阵C的秩为1。

4. 习题四已知矩阵D = [2 1; -1 3]，求矩阵D的特征值和特征向量。

解答：对于一个n阶矩阵D，如果存在一个非零向量X，使得D*X = λ*X，其中λ为常数，则称λ为矩阵D的特征值，X为对应的特征向量。

首先，我们需要求解矩阵D的特征值，即求解方程|D - λI| = 0，其中I为n阶单位矩阵。

计算矩阵D - λI：[D - λI] = [2-λ 1; -1 3-λ]设置行列式等于零，得到特征值的方程式：(2-λ)(3-λ) - (1)(-1) = 0λ^2 - 5λ + 7 = 0解特征值的方程，得到两个特征值：λ1 = (5 + √(-11))/2λ2 = (5 - √(-11))/2由于特征值的计算涉及到虚数，这里不再继续计算特征向量。

矩阵乘法练习题一、选择题：1. 矩阵A与矩阵B相乘，结果矩阵的行列数应为：A. A的行数与B的列数B. A的列数与B的行数C. A的行数与B的行数D. A的列数与B的列数2. 矩阵乘法中，如果矩阵A的行数与矩阵B的列数不相等，则：A. 可以进行矩阵乘法B. 可以进行矩阵乘法，但结果矩阵的行数和列数不确定C. 不能进行矩阵乘法D. 可以进行矩阵乘法，但结果矩阵的行数等于矩阵A的行数3. 矩阵A和矩阵B相乘，如果矩阵A是一个m×n矩阵，矩阵B是一个n×p矩阵，则结果矩阵的维度是：A. m×pB. n×pC. m×nD. p×n二、填空题：1. 设矩阵A是一个2×3矩阵，矩阵B是一个3×4矩阵，则矩阵AB 的维度是______。

2. 如果矩阵C是一个4×2矩阵，矩阵D是一个2×3矩阵，那么矩阵CD的维度是______。

3. 矩阵乘法不满足交换律，即AB______BA（填入“等于”或“不等于”）。

三、计算题：1. 计算以下矩阵乘法，如果结果存在，请给出结果矩阵：A = [1 2; 3 4]B = [5 6; 7 8]求AB。

2. 已知矩阵E和F如下，求EF：E = [1 0; -1 1]F = [2 3; 4 5]四、证明题：1. 证明如果矩阵A是一个m×n矩阵，矩阵B是一个n×p矩阵，那么AB的转置矩阵(AB)^T是一个p×m矩阵。

2. 证明矩阵乘法满足结合律，即对于任意矩阵A, B, C，有(AB)C =A(BC)。

五、应用题：1. 一个线性变换可以用矩阵乘法表示，如果这个变换的矩阵表示为：M = [1 2; 3 4]求这个线性变换将向量v = [1; 2]映射到的新向量。

2. 假设有一个3×3的单位矩阵I和矩阵J，其中J的元素都是1，即：I = [1 0 0; 0 1 0; 0 0 1]J = [1 1 1; 1 1 1; 1 1 1]求IJ和JI的乘积，并说明它们是否相等。

矩阵相关练习题矩阵是线性代数中的重要概念，具有广泛的应用。

下面将给出几道矩阵相关的练习题，帮助读者更好地理解和应用矩阵的性质和运算。

1. 矩阵的基础运算给定矩阵A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]，求矩阵A的转置。

2. 矩阵的乘法设矩阵B = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]]，矩阵C = [[7, 8], [9, 10], [11, 12]]，求矩阵B和矩阵C的乘积BC。

3. 矩阵的逆给定方阵D = [[2, 1], [4, 3]]，求矩阵D的逆。

4. 矩阵的行列式设矩阵E = [[1, 2], [3, 4]]，求矩阵E的行列式。

5. 矩阵的特征值与特征向量给定矩阵F = [[3, -1], [4, -2]]，求矩阵F的特征值与特征向量。

6. 矩阵的奇异值分解给定矩阵G = [[1, 2], [3, 4], [5, 6]]，对矩阵G进行奇异值分解。

7. 矩阵的广义逆设矩阵H = [[1, -2], [3, -6]]，求矩阵H的广义逆。

8. 矩阵的转置与共轭转置给定复数矩阵I = [[1+2i, 3-4i], [5+6i, 7-8i]]，求矩阵I的转置和共轭转置。

9. 矩阵的正交性给定矩阵J = [[1, 0], [0, -1]]，判断矩阵J是否是正交矩阵。

10. 矩阵的对称性设矩阵K = [[1, 2, 3], [2, 4, 5], [3, 5, 6]]，判断矩阵K是否是对称矩阵。

这些练习题可以帮助读者巩固对矩阵性质和运算的理解，并提升解决实际问题时的能力。

希望读者能够认真思考并合理应用矩阵的知识，进一步拓展线性代数的应用领域。

第四章矩阵习题参考答案一、判断题1.对于任意 n 阶矩阵A，B，有A B A B .错.2.如果 A20, 则A0 .错 . 如A 110, 但A 0 . 1, A213.如果 A A2 E ，则 A 为可逆矩阵.正确 . A A2E A( E A) E ，因此A可逆，且A1 A E .4.设 A, B 都是 n 阶非零矩阵，且AB 0 ，则A, B的秩一个等于n，一个小于n.错 . 由AB0 可得r ( A)r (B)n .若一个秩等于 n ，则该矩阵可逆，另一个秩为零，与两个都是非零矩阵矛盾. 只可能两个秩都小于n .5．A, B, C为n阶方阵，若AB AC ,则 B C.错 . 如A 112132，有 AB AC ,但B C. 1, B2, C32116．A为m n矩阵，若r ( A)s, 则存在 m 阶可逆矩阵P及 n 阶可逆矩阵 Q ，使I s0PAQ.00正确 . 右边为矩阵A的等价标准形，矩阵 A 等价于其标准形.7．n阶矩阵A可逆，则A *也可逆 .正确 . 由A可逆可得| A |0 ，又 AA* A* A| A | E .因此 A *也可逆，且( A*) 11A . | A |8．设A, B为n阶可逆矩阵，则( AB)* B * A* .正确 . ( AB)( AB)*| AB | E| A || B | E. 又( AB)( B * A*) A( BB*) A* A | B | EA* | B | AA* | A || B | E .因此 ( AB)( AB)* ( AB)( B * A*) .由 A, B 为 n 阶可逆矩阵可得AB 可逆，两边同时左乘式 AB 的逆可得( AB)* B * A * .二、选择题1．设A是n阶对称矩阵，B是n阶反对称矩阵(B T B ),则下列矩阵中为反对称矩阵的是（ B ）.(A) AB BA (B)AB BA (C)( AB)2(D)BAB(A)(D) 为对称矩阵，（ B）为反对称矩阵，（ C）当A, B可交换时为对称矩阵.2.设 A 是任意一个n阶矩阵，那么（A）是对称矩阵.(A)A T A(B) A A T(C)A2(D)A T A3．以下结论不正确的是（C）.(A)如果 A 是上三角矩阵，则 A2也是上三角矩阵；(B)如果 A 是对称矩阵，则 A2也是对称矩阵；(C)如果 A 是反对称矩阵，则 A2也是反对称矩阵；(D)如果 A 是对角阵，则 A2也是对角阵.4．A是m k 矩阵, B 是 k t 矩阵,若 B 的第 j 列元素全为零，则下列结论正确的是（ B ）( A)AB 的第 j 行元素全等于零；( B) AB的第j列元素全等于零；( C)BA 的第 j 行元素全等于零；( D)BA 的第 j 列元素全等于零；5 ．设 A, B 为 n 阶方阵，E 为 n 阶单位阵，则以下命题中正确的是（D ）(A)( A B)2 A 2 2 ABB 2 (B) A 2 B 2( A B)( A B)(C) ( AB) 2A 2B 2 (D) A 2E 2( A E)( A E)6．下列命题正确的是（ B ） .(A) 若 AB AC ，则 B C(B) 若 AB AC ，且 A0 ，则 B C(C) 若 AB AC ，且 A 0 ，则 BC(D)若 ABAC ，且 B 0, C 0 ，则 B C7.A 是 m n 矩阵，B 是 n m 矩阵，则（ B ） .(A) 当 m n 时，必有行列式 AB 0 ； (B) 当 m n 时，必有行列式 AB 0 (C) 当 nm 时，必有行列式 AB0 ；(D) 当 n m 时，必有行列式 AB 0 .AB 为 m 阶方阵，当 m n 时， r ( A) n, r ( B) n, 因此 r ( AB) n m ，所以AB 0 .8．以下结论正确的是（ C ）(A) 如果矩阵 A 的行列式 A 0 , 则 A 0 ； (B) 如果矩阵A 满足 A 2 0 ，则A 0；(C) n 阶数量阵与任何一个 n 阶矩阵都是可交换的；(D) 对任意方阵 A, B ，有 ( A B)( A B) A 2 B 29．设 1 , 2 , 3 ,4 是非零的四维列向量， A ( 1 ,2 ,3 ,4 ), A * 为 A 的伴随矩阵，已知 Ax0 的基础解系为 (1,0, 2,0) T ，则方程组 A * x0 的基础解系为（ C ） .（ A ） 1 , 2,3 .（ B ） 12 ,23 ,31 .（ C）2,3,4 .（ D）1 2 ,2 3 , 3 4 , 4 1 .1由 Ax 0 的基础解系为(1,0, 2,0)T可得 ( 1 , 2 , 3 , 4 )00, 1 2 30 .2D）显然为线性相关的，因此答案因此（ A），（B）中向量组均为线性相关的，而（为（ C） . 由A* A A*( 1 , 2 ,3, 4 )( A *1, A* 2 , A* 3 , A * 4 )O 可得 1 , 2 , 3 , 4 均为A* x0 的解.10.设 A 是n阶矩阵， A 适合下列条件（C）时，I n A 必是可逆矩阵(A)A n A(B) A 是可逆矩阵(C)A n0(B) A 主对角线上的元素全为零11． n 阶矩阵A是可逆矩阵的充分必要条件是（D）(A) A 1 (B)A 0 (C) A A T(D)A012． A, B, C 均是 n 阶矩阵，下列命题正确的是（A）(A)若 A 是可逆矩阵，则从 AB AC 可推出 BA CA(B)若 A 是可逆矩阵，则必有 AB BA(C) 若A0 ，则从 AB AC 可推出 B C(D) 若B C ，则必有 AB AC13．A, B,C均是n阶矩阵，E为 n 阶单位矩阵，若ABC E ，则有（C）(A) ACB E （B） BAC E （C） BCA E (D)CBA E14．A是n阶方阵，A*是其伴随矩阵，则下列结论错误的是（D）(A)若 A 是可逆矩阵，则 A*也是可逆矩阵；(B) 若A是不可逆矩阵，则A*也是不可逆矩阵；(C) 若 A *0 ，则 A 是可逆矩阵；（Ｄ） AA *A .AA *A E nA .15．设 A 是 5 阶方阵，且A0 ，则 A * （ Ｄ）(A)A(B)A23 (D)4(C)AA16．设 A * 是 A(a ij )n n 的伴随阵，则 A * A 中位于 (i , j) 的元素为（Ｂ ）nnnn(A)ajkA ki (B)a kjAki(C)a jkAik(D)a kiAkjk 1k 1k 1k 1应为 A 的第 i 列元素的代数余子式与 A 的第 j 列元素对应乘积和 .a11L a 1nA11L A1n17. 设 ALL L, BLL L, 其中 A ij 是 a ij 的代数余子式， 则（ C ）an1LannAn1LAnn(A)A 是B 的伴随 (B)B 是 A 的伴随 (C) B 是 A 的伴随(D) 以上结论都不对18．设 A, B 为方阵，分块对角阵CA 0*( Ｃ )0 , 则 CB(A)A *(B)A A *C0 B *CB B *(C)CB A *0 (D)A B A *A B *CA B B *利用 CC*| C | E 验证 .46 1 3 5 19．已知 A, B4 ，下列运算可行的是（C）122 6(A)A B (B)A B(C)AB (D) AB BA20．设A, B是两个m n 矩阵，C是 n 阶矩阵，那么（D）(A) C ( A B) CA CB(B)( A T B T )C A T C B T C(C) C T( A B) C T A C T B(D)( A B)C AC BC21．对任意一个n阶矩阵A，若n阶矩阵B能满足AB BA ，那么 B 是一个（Ｃ）(A)对称阵(B) 对角阵(C)数量矩阵(D) A 的逆矩阵与任意一个 n 阶矩阵均可交换的矩阵为数量矩阵.22．设A是一个上三角阵，且A0，那么 A 的主对角线上的元素（Ｃ）(A)全为零（ B）只有一个为零（ C）至少有一个为零（ D）可能有零，也可能没有零23．设A 13D2，则 A 1（）1111 2332(A)（ B）（ C）（ D）1111111136362636a1b1 24．设A a2b2a3b31 00(A)0 0 10 2 0c1a1c12b1c2，若 AP a2c22b2，则 P（ B）c3a3c32b3100001200（ B）002（ C）020（D）001 0101000101 a a L aa 1a L a25．设 n(n3) 阶矩阵 Aa a1 L a ，若矩阵 A 的秩为 1，则 a 必为（ A ）L L LL La aa L1(A) 1（ B ） -1（C ） 1（D ）1 nn 11矩阵 A 的任意两行成比例 .26. 设 A, B 为两个 n 阶矩阵 , 现有四个命题 :①若 A, B 为等价矩阵 , 则 A, B 的行向量组等价 ;②若 A, B 的行列式相等 , 即 | A | | B |, 则 A, B 为等价矩阵 ; ③若 Ax 0 与 Bx 0 均只有零解 , 则 A, B 为等价矩阵 ; ④若 A, B 为相似矩阵 , 则 Ax 0 与 Bx 0 解空间的维数相同 .以上命题中正确的是 ( D )(A) ① , ③. (B) ② , ④. (C) ② , ③ .(D)③ , ④ .当 BP 1 AP 时， A, B 为相似矩阵。