第二讲 有理数(2)

第二讲 有理数的有关概念一. 知识要点1. 有理数的分类有理数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数正整数整数0 有理数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数0 2. 什么是数轴？ 数轴的三要素是 、 、 .3. 什么叫做相反数？有何特征？相反数等于本身的数是 .4. 什么叫做倒数？倒数具有什么性质？倒数等于本身的数是 .5.在数轴上比较大小(1)数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大；正数大于0，负数小于0，正数大于负数.(2)差值比较法：设a 、b 为两个任意数，-b 0,a b a 〉〉若则；-b 0,a b a 〈〈若则；-b=0,a=b a 若则；基础知识自测1、把下列各数填在相应额大括号内：1，－0.1，-789，25，0，-20，-3.14，-590，6/7正整数集｛ …｝；正有理数集｛ …｝； 负有理数集｛ …｝负整数集｛ …｝； 自然数集｛ …｝；正分数集｛ …｝ 负分数集｛ …｝2、画一条数轴，并画出表示下列各数的点－5， 0， 5， ＋3.5， －1.53、在数轴上点A 表示-4,如果把原点O 向负方向移动1个单位,那么在新数轴上点A 表示的数是4、－2的相反数是 ，0.5的相反数是 ，0的相反数是5、 如果3－m 与2m ＋1互为相反数，则m ＝ .6、如果 a 的相反数是最大的负整数,b 的相反数是最小的正整数,则a+b= .7、若m 、n 互为倒数，则mn= ，倒数等于113-的数是 。

典型例题精讲例1、青蛙落在数轴上表示2 004这个数的点上．它第一步往左跳1个单位，第二步往右跳2个单位，第三步往左跳3个单位，第四步往右跳4个单位，依此类推，当跳了100步时，青蛙恰好落在了K 点．你能求出点K 所表示的数吗？例2、 已知a+b ＝0，a ≠b ，则求a b (a+1)＋b a (b+1)的值．例3、,a b 互为相反数，,c d 互为倒数，m =4，且0m >，求20072()23a cd b m-+-的值。

教师姓名学生姓名填写时间年级初一学科数学上课时间阶段基础（V）提高（）强化（）课时计划第（）次课共（）次课课题名称初一数学教案♦1有理数（2）教学目标1.使学生了解有理数加减法的意义。

2.使学生理解有理数加减法的法则，能熟练地进行有理数加减法运算。

3.使学生在了解有理数乘法的意义的基础上，掌握有理数乘法法则，并初步掌握有理数乘法法则的合理性。

4.使学生掌握有理数的除法法则，能够熟练地进行除法运算。

教学重难点重点：了解有理数加减法的意义难点：熟练运用有理数的四则运算学情分析本章教材注意突出学生的自主探索，通过一些熟悉的、具体的事物，让学生在观察、思考、探索中体会有理数的意义，探索数量关系，掌握有理数的运算。

教学中要注重让学生通过自己的活动来获取、理解和掌握这些知识。

♦一个人在高山之巅的鹰巢里，抓到了一只幼鹰，他把幼鹰带回家，养在鸡笼里。

这只幼鹰和鸡一起啄食、嬉闹和休息。

它以为自己是一只鸡。

这只鹰渐渐长大，羽翼丰满了，主人想把它训练成猎鹰，可是由于终日和鸡混在一起，它已经变得和鸡完全一样，根本没有飞的愿望了。

主人试了各种办法，都毫无效果，最后把它带到山顶上，一把将它扔了出去。

这只鹰像块石头似的，直掉下去，慌乱之中它拼命地扑打翅膀，就这样，它终于飞了起来！♦启示：相信自己是一只雄鹰教学反馈有理数（2 ）有理数的四则运算【考点1］有理数的加法（1）有理数加法法则①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

②绝对值不相等的界号两数相加，収绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

③互为相反数的两个数相加得零。

④一个数与0相加，仍得这个数。

【例题】计算：(1)(-1) + (-3)=(2)1+3 =(3)( + 1) + (+3)=(4)(-8) +(-9)=(5)8+9 =(6)(+8) +(+9)=(7)18+ (-23)=(8)(-0.9)+ 1. 5 =(9)1 + (-2)=(10)0. 2+ (-1)=2 34【随堂练习】下列说法正确的是_________________________①若两个数的和为正数，则这两个数都是正数。

第二讲 有理数的运算【知识网络】⎧⎪⎨⎪⎩有理数的加、减运算法则有理数的运算有理数的乘、除法运算法则混合运算模块一：有理数的加、减运算法则【引例】观察下面实例：足球比赛中赢球个数与输球个数是相反意义的量．若我们规定赢球为“正”，输球为“负”,它们的和叫做净胜球．比如，赢3球记为+3，输2球记为-2．学校足球队在一场比赛中的净胜球数可能有以下各种不同的情形：(1)上半场赢了3球，下半场赢了2球，那么净胜球数为5球．也就是(+3)+(+2)=+5 ①(2)上半场输了2球，下半场输了1球，那么净胜球数为3球．也就是②(3)上半场赢了3球，下半场输了2球，那么净胜球数为1球，也就是③(4)上半场输了3球，下半场赢了2球，那么净胜球数为1球，也就是④(5)上半场赢了3球，下半场不输不赢，那么净胜球数为3球，也就是⑤(6)上半场输了2球，下半场两队都没有进球，那么净胜球数为2球，也就是⑥(7)上半场打平，下半场也打平，那么净胜球数为0，也就是⑦上面我们列出了两个有理数相加的7种不同情形，并根据它们的具体意义得出了它们相加的和．但是，要计算两个有理数相加所得的和，我们总不能一直用这种方法．现在我们大家仔细观察比较这7个算式，看能不能从这些算式中得到启发，想办法归纳出进行有理数加法的法则？也就是结果的符号怎么定？绝对值怎么算？【知识导航】1．有理数加法法则：⑴同号两数相加，取的符号，并把相加；⑵绝对值不相等的异号两数相加，取符号，并用的绝对值减去的绝对值，互为相反数的两个数相加得；⑶一个数同0相加，仍得。

注：有理数加法的运算步骤：（1）先判断两个加数的符号（是同号还是异号，确定用哪条法则）（2）再确定和的符号（是“+”还是“—”号）（3）求各加数的绝对值，并确定绝对值是相加还是相减2．有理数加法运算律：①有理数的加法交换律是：两个数相加，交换两个加数的位置，和不变．式子表示为：②有理数的加法结合律是：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.式子表示为：③交换律和结合律可以推出：三个以上有理数相加，可以任意交换加数的位置，也可先把其中的几个数相加，无论各数相加的先后次序如何，其和不变。

第二讲 有理数及其运算②——再探绝对值绝对值，不仅仅是有理数中的一个重要的概念，也是初中数学中一个异常活跃且举足轻重的元素。

它不但描述了有理数与数轴的密切联系，而且是有理数运算的基本工具，可以说深刻理解了绝对值概念，是学好初中数学的第一个关品。

一 知识点精讲1、定义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离，记作：| a |。

2、去绝对值符号的法则。

0000a a a a a a >⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪<⎝⎭- 00a a a a a ≥⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪≤⎝⎭- 3、性质：| a | ≥0，即数a 的绝对值具有非负性。

4、技能构建。

（1）数轴上，右边的数比左边的数大，如图a －b<0，b －a>0，a ＋b<0（2）多项式的相反数，用去括号法则理解为：括号前是负号，把括号和负号一起去掉，括号内每项都要变号,也可以直接理解为每项都变号。

如a －b 的相反数是：－（a －b ）=－a ＋b（3）|a －b|表示数a 到数b 的两点间的距离。

（4）若|a|=b ，且b ≥0，则有a ＝±b（5）|ab|＝|a|·|b|a ab b=（b ≠0） |a| 2 ＝|a 2 |＝a 2（6）充分利用“数轴”这个工具来进行“数形结合”的思考，这是一种很重要的数学方法，本专题也要用到“分类讨论思想”。

它必须遵循两条原则：①每一次分类要按照同一标准进行；②不重复，不遗漏。

二 典型例题讲解及思维拓展：例1：已知，|a|＝1，|b|＝2，则a ＋b 的值是_________。

例2：a 是任意有理数，则|－a|－a 的值是等于___________。

例3：如图，化简|a|－|a ＋b|＋|c －a|－|a －|a||例4：已知，x<y<0，设M=|x|，N=|y|，p= ，则M 、N 、p 的大小关系是___________。

例5：（湖北省选拔赛题）若|a|=5，|b|=3，且|a－b|=b －a ，那么|a+b|=___。

第二讲有理数的概念知识点一：负数大家知道，数学与数是分不开的，它是一门研究数的学问．现在我们一起来回忆一下，小学里已经学过哪些类型的数？学生答后，教师指出：小学里学过的数可以分为三类：自然数(正整数)、分数和零(小数包括在分数之中)，它们都是由于实际需要而产生的。

在我们实际生活中，还有很多不能用上述所说的自然数，零或分数、小数表示。

比如说：某市某一天的最高温度是零上5℃，最低温度是零下5℃．要表示这两个温度，如果只用小学学过的数，都记作5℃，我们能把它们区分清楚吗？我们说是不能的，它们是具有相反意义的两个量。

现实生活中，像这样的相反意义的量还有很多。

例如，珠穆朗玛峰高于海平面8848米，吐鲁番盆地低于海平面155米，“高于”和“低于”其意义是相反的．同学们能举例子吗？我们要怎样区别相反意义的量才好呢？待学生思考后，请学生回答、评议、补充。

教师小结现在，数学中采用符号来区分，规定零上5℃记作+5℃(读作正5℃)或5℃，把零下5℃记作-5℃(读作负5℃)．这样，只要在小学里学过的数前面加上“+”或“-”号，就把两个相反意义的量简明地表示出来了。

现在请同学们用同样的方法表示出前面例子中具有相反意义的量：高于海平面8848米，记作米；低于海平面155米，记作米；教师讲解：什么叫做正数？什么叫做负数？正数是大于0的数，负数就是在正数前面加上“-”号的数(负数小于0)．0既不是正数，也不是负数，0可以表示没有，也可以表示一个实际存在的数量，如0℃．正、负数的“+”“-”的符号是表示性质相反的量，符号写在数字前面，这种符号叫做性质符号．例1:下列哪些是正数？哪些是负数？-3.6，-4，0，9651，-0.1．练习1: 任意写出6个正数与6个负数，并分别把它们填入相应的大括号里：正数集合：｛…｝，负数集合：｛…｝．正、负数表示的意义是人为规定的，在使用时应联系生活实际，其表示的是两个具有相反意义的量。

例2：（1）在知识竞赛中,如果+10分表示加10分,那么扣20分怎样表示?（2）某人转动转盘,如果用+5表示沿逆时针方向转了5圈,那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示?（3）在某次乒乓球质量检测中,一只乒乓球超出标准质量0.02克记作+0.02,那么－0.03克表示什么?（4）如果向东运动4m记作+4m，那么向西运动7m应记作什么？若在原地不动又记作什么？练习2：（1）如果零上5℃记作＋5 ℃，那么零下3 ℃记作______________.（2）东、西为两个相反方向，如果－4米表示一个物体向西运动4米，那么＋2米表示 ___________，物体原地不动记作________。

第2讲 有理数（2）1.有理数(2)--，(2)-+，(2)+-，2--，2+-，a -中，一定是负数的个数是（ ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个2.有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则下列关系中： （1）a b c <<；（2）0c >；（3）a c =；（4）0a <正确的是（ ）A.(1)(2)(3)B.(2)(3)(4)C.(1)D.(1)(4)3.下列说法：①若a 、b 互为相反数，则0a b +=；②若a b =-，则a 、b 互为相反数；③若a 、b 互为相反数，则1ab=-；④若a b =，则a 、b 互为相反数.其中正确的结论是（ ） A.②③④ B.①②③ C.①②④ D.①②4.给出下列结论：①一个数的3倍大于这个数.②绝对值最小的数是0. ③规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴. ④如果a a =，那么0a >.其中正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个5.a 、b 是有理数，若3,4a b ==，则a b +=（ ）A. 1或7-B. 1-或7-C.1或7D. 1,7,17--或6.若a 为有理数，则a --是（ ）A.正数B.负数C.非正数D.非负数7.数轴上的点A 、B 分别表示12-和13，则线段AB 的中点所表示的数是（ ） A.512 B.112 C. 112- D. 16- 8.观察下面按次序排列的一组数，并按要求填空. 2,4,6,8,10,--______,_______,……，则第50个数是______________.9.若257x -=，则x 的值为____________;若4x -=-，则x ＝_________.10.已知A 、B 为数轴上两点，它们到原点的距离分别为4、5，则A 、B 两点之间的距离为_______. 11.已知0,0,a b a b <>>，试用""<将a a b 、b 、-、-连接起来_____________________.12.一个数在数轴上对应的点先向右移动3个单位，再向左移动7个单位后，得到它的相反数对应的点，则这个数是___________.13.已知，在数轴上，Ａ点到原点的距离为３，P 点到A 点的距离为2，画出数轴并在数轴上直接标出Ｐ点所对应的数．d c ba 14.已知，x 和212x -互为相反数.求x 的值. 15.已知，x 与14互为倒数，y 的相反数是3-，50a -=，求x y a ++的值. 16.若x 与2y -互为相反数，y 与z 互为倒数.m 是绝对值最小的数，求式子2243x y yz m -+-+的值. 17.若a 是有理数，在a -与a 之间有2015个整数，求a 取值范围.18.若0,0,m n <>且m n >，试比较,,,m n m n n m ----的大小，并用“＞”号连接.19.某洗衣厂上月生产了30000 袋洗衣粉，每袋标准重量450克，质量检测部门从中抽取了20袋进行检测，（1） 通过计算估计本厂上月生产的洗衣粉平均每袋多少克？（2） 厂家规定超过或不足的部分大于5克时，不能出厂销售，若每袋洗衣粉的定价为2.30元，试估计本厂上月生产的洗衣粉销售的总金额为多少元？20.出租车司机小李某天下午从客运站出发后，所有营运都是在东西走向的人民大道上进行的.如果规定向东为正，向西为负，他这一天下午的行车情况如下（单位：千米）15,3,11,11,10,4,12,15,18,16+-+-++---+.根据记录，解答下列问题：（1）小李将最后一名乘客送到目的地时，他的位置在那？（2）若在出车前油箱内有10升油，汽车每千米的耗油量为0.08升，试问：小李将最后一名乘客送到目的地时，油箱内的余油量为多少？ 21.给出下列数阵（1）如图，框出四个数 一个等式表示a 、b 、c 、d 四者的关系；请你用（1） 是否存在上述四数之和为①414 ； ②10 ？若存在，请求出四个数；若不存在请说明理由.22.已知，如图，A 、B 分别为数轴上的两点，A点对应的数为30-，B 点对应的数为100. （1）请写出AB 中点M 对应的数；（2）现有一只电子蚂蚁Ｐ从B 点出发，以5单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q 恰好从A 点出发，以3单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C 点相遇，你知道C 点对应点数是多少吗?请求出来.（3）若当电子蚂蚁P 从B 点出发时，另一只电子蚂蚁Ｑ恰好同时从A 点出发，以3单位/秒的速度向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D 点相遇，你知道D 点对应的数是多少吗？请求出来.23. 已知，数轴上点Ａ在原点左边，到原点的距离为８，Ｂ在原点的右边，从Ａ走到Ｂ，要经过32个单位长度.（1）求Ａ、Ｂ两点所对应的数.（2）若点Ｃ也是数轴上的点，Ｃ到Ｂ的距离是Ｃ到原点的距离的３倍，求Ｃ对应的数．（３）已知，Ｍ从Ａ向右出发，速度为每秒1个单位长度，同时Ｎ从Ｂ向右出发，速度为每秒2个单位长度，设ＮＯ的中点为Ｐ，则下列结论：①ＰＯ＋ＡＭ的值不变；②ＰＯ ＡＭ的值变化，其中只有一个是正确的，请选出并求出其值或说明理由.初中数学试卷。