下载文档原格式
2017年中考数学专项训练圆的弧长和图形面积的计算（含解析）(1) 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017年中考数学专项训练圆的弧长和图形面积的计算（含解析）(1)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2017年中考数学专项训练圆的弧长和图形面积的计算（含解析）(1)的全部内容。
圆的弧长和图形面积的计算一、选择题1．若圆锥的轴截图为等边三角形，则称此圆锥为正圆锥，则正圆锥的侧面展开图的圆心角是（）A．90°B．120°C．150°D．180°2．如图，正方形ABCD中,分别以B、D为圆心，以正方形的边长a为半径画弧，形成树叶形（阴影部分）图案，则树叶形图案的周长为（）A．πa B．2πa C．D．3a3．钟面上的分针的长为1，从9点到9点30分，分针在钟面上扫过的面积是（）A．πB．πC．πD．π4．如图,四边形ABCD是菱形,∠A=60°，AB=2，扇形BEF的半径为2,圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是（）A．﹣B．﹣C．π﹣D．π﹣5．如图，⊙A与⊙B外切于点D，PC，PD，PE分别是圆的切线，C，D,E是切点．若∠CDE=x°,∠ECD=y°，⊙B的半径为R,则的长度是（)A．B．C．D．二、填空题6．圆锥的侧面积为6πcm2，底面圆的半径为2cm，则这个圆锥的母线长为cm．7．如图,一个圆心角为90°的扇形，半径OA=2,那么图中阴影部分的面积为（结果保留π）．8．如图，从半径为9cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为cm．9．如图，将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，三角板一边与量角器的零刻度线所在直线重合，重叠部分的量角器弧（）对应的圆心角（∠AOB）为120°，OC的长为2cm，则三角板和量角器重叠部分的面积为．10．把边长为1的正方形纸片OABC放在直线m上，OA边在直线m上，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时，点O运动到了点O1处(即点B处)，点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处，又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点,按顺时针方向旋转90°…，按上述方法经过4次旋转后，顶点O经过的总路程为,经过61次旋转后，顶点O经过的总路程为．三、解答题（共40分)11．如图，已知⊙O的半径为4，CD是⊙O的直径，AC为⊙O的弦,B为CD延长线上的一点，∠ABC=30°，且AB=AC．（1）求证:AB为⊙O的切线；（2）求弦AC的长；（3）求图中阴影部分的面积．12．如图,点B、C、D都在⊙O上，过点C作AC∥BD交OB延长线于点A，连接CD，且∠CDB=∠OBD=30°,DB=cm．(1）求证：AC是⊙O的切线；（2）求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）13．如图，OC平分∠MON，点A在射线OC上，以点A为圆心,半径为2的⊙A与OM相切于点B，连接BA并延长交⊙A于点D，交ON于点E．（1）求证:ON是⊙A的切线；（2)若∠MON=60°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）14．如图①，在矩形纸片ABCD中，AB=+1，AD=．（1）如图②，将矩形纸片向上方翻折，使点D恰好落在AB边上的D′处，压平折痕交CD于点E，则折痕AE的长为;(2）如图③，再将四边形BCED′沿D′E向左翻折，压平后得四边形B′C′ED′,B′C′交AE 于点F，则四边形B′FED′的面积为；（3）如图④，将图②中的△AED′绕点E顺时针旋转α角，得△A′ED″，使得EA′恰好经过顶点B，求弧D′D″的长．（结果保留π）圆的弧长和图形面积的计算参考答案与试题解析一、选择题1．若圆锥的轴截图为等边三角形，则称此圆锥为正圆锥，则正圆锥的侧面展开图的圆心角是( ）A．90°B．120°C．150°D．180°【考点】圆锥的计算．【分析】设正圆锥的底面半径是r，则母线长是2r，底面周长是2πr，然后设正圆锥的侧面展开图的圆心角是n°，利用弧长的计算公式即可求解．【解答】解:设正圆锥的底面半径是r，则母线长是2r，底面周长是2πr，设正圆锥的侧面展开图的圆心角是n°,则=2πr，解得:n=180°．故选D．【点评】正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．2．如图，正方形ABCD中，分别以B、D为圆心，以正方形的边长a为半径画弧，形成树叶形（阴影部分)图案，则树叶形图案的周长为( )A．πa B．2πa C．D．3a【考点】弧长的计算．【分析】由图可知，阴影部分的周长是两个圆心角为90°、半径为a的扇形的弧长,可据此求出阴影部分的周长．【解答】解:∵四边形ABCD是边长为a正方形，∴∠B=∠D=90°,AB=CB=AD=CD=a，∴树叶形图案的周长=×2=πa．故选A．【点评】本题考查了弧长的计算．解答该题时，需要牢记弧长公式l=（R是半径）．3．钟面上的分针的长为1，从9点到9点30分，分针在钟面上扫过的面积是（）A．πB．πC．πD．π【考点】扇形面积的计算；钟面角．【专题】几何图形问题．【分析】从9点到9点30分分针扫过的扇形的圆心角是180°，利用扇形的面积公式即可求解．【解答】解:从9点到9点30分分针扫过的扇形的圆心角是180°，则分针在钟面上扫过的面积是： =π．故选：A．【点评】本题考查了扇形的面积公式，正确理解公式是关键．4．如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是( ）A．﹣B．﹣C．π﹣D．π﹣【考点】扇形面积的计算;全等三角形的判定与性质;菱形的性质．【专题】几何图形问题；压轴题．【分析】根据菱形的性质得出△DAB是等边三角形，进而利用全等三角形的判定得出△ABG≌△DBH，得出四边形GBHD的面积等于△ABD的面积，进而求出即可．【解答】解:连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，∴∠ADC=120°,∴∠1=∠2=60°,∴△DAB是等边三角形，∵AB=2，∴△ABD的高为，∵扇形BEF的半径为2，圆心角为60°,∴∠4+∠5=60°,∠3+∠5=60°，∴∠3=∠4，设AD、BE相交于点G,设BF、DC相交于点H，在△ABG和△DBH中，，∴△ABG≌△DBH(ASA）,∴四边形GBHD的面积等于△ABD的面积,∴图中阴影部分的面积是：S扇形EBF﹣S△ABD=﹣×2×=﹣．故选：B．【点评】此题主要考查了扇形的面积计算以及全等三角形的判定与性质等知识，根据已知得出四边形EBFD的面积等于△ABD的面积是解题关键．5．如图，⊙A与⊙B外切于点D,PC，PD，PE分别是圆的切线，C，D，E是切点．若∠CDE=x°，∠ECD=y°，⊙B的半径为R，则的长度是（）A．B．C．D．【考点】弧长的计算；多边形内角与外角；圆周角定理；切线的性质；切线长定理．【专题】压轴题．【分析】点C、D、E都在⊙P上,由圆周角定理可得：∠DPE=2y°；然后在四边形BDPE中，求出∠B；最后利用弧长公式计算出结果．【解答】解：根据题意，由切线长定理可知：PC=PD=PE，即点C、D、E在以P为圆心，PC长为半径的⊙P上，由圆周角定理得：∠DPE=2∠ECD=2y°．如图，连接BD、BE，则∠BDP=∠BEP=90°,在四边形BDPE中，∠B+∠BDP+∠DPE+∠BEP=360°，即：∠B+90°+2y°+90°=360°，解得：∠B=180°﹣2y°．∴的长度是： =．故选B．【点评】本题考查圆的相关性质．解题关键是确定点C、D、E在⊙P上,从而由圆周角定理得到∠DPE=2∠ECD=2y°．二、填空题6．圆锥的侧面积为6πcm2，底面圆的半径为2cm，则这个圆锥的母线长为 3 cm．【考点】圆锥的计算．【专题】压轴题．【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．【解答】解：设母线长为R，底面半径是2cm，则底面周长=4π，侧面积=2πR=6π，∴R=3．故答案为：3．【点评】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．比较基础，重点是掌握公式．7．如图，一个圆心角为90°的扇形，半径OA=2，那么图中阴影部分的面积为(结果保留π）π﹣2 ．【考点】扇形面积的计算．【分析】先根据扇形面积公式计算出扇形面积,然后计算出三角形AOB的面积,继而用扇形面积﹣三角形面积可得出阴影的面积．【解答】解:S扇形===π，S△AOB=×2×2=2,则S阴影=S扇形﹣S△AOB=π﹣2．故答案为:π﹣2．【点评】本题考查了扇形面积的计算，难度一般,解答本题的关键是熟练掌握扇形面积的计算公式．8．如图，从半径为9cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠)，那么这个圆锥的高为3cm．【考点】圆锥的计算．【分析】首先求得扇形的弧长，即圆锥的底面周长,则底面半径即可求得,然后利用勾股定理即可求得圆锥的高．【解答】解：圆心角是：360×（1﹣）=240°，则弧长是：=12π（cm），设圆锥的底面半径是r，则2πr=12π，解得：r=6，则圆锥的高是： =3（cm)．故答案是：3．【点评】正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．9．如图,将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放,三角板一边与量角器的零刻度线所在直线重合,重叠部分的量角器弧（）对应的圆心角(∠AOB）为120°,OC的长为2cm，则三角板和量角器重叠部分的面积为+2（cm2）．【考点】扇形面积的计算．【专题】数形结合．【分析】在Rt△OBC中求出OB、BC,然后求出扇形OAB及△OBC的面积即可得出答案．【解答】解：∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°，在Rt△OBC中，OC=2cm，∠BOC=60°，∴∠OBC=30°，∴OB=4cm，BC=2cm,则S扇形OAB==(cm2)，S△OBC=OC×BC=2（cm2），故S重叠=S扇形OAB+S△OBC=+2(cm2）故答案为: +2(cm2）．【点评】本题考查了扇形的面积计算,解答本题关键是求出扇形的半径，注意熟练掌握扇形的面积公式,难度一般．10．把边长为1的正方形纸片OABC放在直线m上，OA边在直线m上，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时，点O运动到了点O1处（即点B处)，点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处，又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点，按顺时针方向旋转90°…，按上述方法经过4次旋转后,顶点O经过的总路程为，经过61次旋转后，顶点O经过的总路程为．【考点】弧长的计算；正方形的性质；旋转的性质．【专题】压轴题．【分析】为了便于标注字母，且更清晰的观察，每次旋转后向右稍微平移一点,作出前几次旋转后的图形,点O的第1次旋转路线是以正方形的边长为半径,以90°圆心角的扇形，第2次旋转路线是以正方形的对角线长为半径,以90°圆心角的扇形，第3次旋转路线是以正方形的边长为半径，以90°圆心角的扇形;①根据弧长公式列式进行计算即可得解；②求出61次旋转中有几个4次，然后根据以上的结论进行计算即可求解．【解答】解：如图，为了便于标注字母，且位置更清晰，每次旋转后不防向右移动一点，第1次旋转路线是以正方形的边长为半径，以90°圆心角的扇形，路线长为=；第2次旋转路线是以正方形的对角线长为半径，以90°圆心角的扇形，路线长为=；第3次旋转路线是以正方形的边长为半径，以90°圆心角的扇形,路线长为=；第4次旋转点O没有移动，旋转后与最初正方形的放置相同，因此4次旋转，顶点O经过的路线长为++=;∵61÷4=15…1,∴经过61次旋转,顶点O经过的路程是4次旋转路程的15倍加上第1次路线长,即×15+=．故答案为：；．【点评】本题考查了旋转变换的性质,正方形的性质以及弧长的计算，读懂题意，并根据题意作出图形更形象直观，且有利于旋转变换规律的发现．三、解答题(共40分）11．如图，已知⊙O的半径为4，CD是⊙O的直径，AC为⊙O的弦，B为CD延长线上的一点,∠ABC=30°，且AB=AC．（1）求证：AB为⊙O的切线；(2）求弦AC的长；（3）求图中阴影部分的面积．【考点】切线的判定;扇形面积的计算．【分析】(1)如图,连接OA，欲证明AAB为⊙O的切线,只需证明AB⊥OA即可；（2）如图,连接AD，构建直角△ADC，利用“30度角所对的直角边是斜边的一半”求得AD=4,然后利用勾股定理来求弦AC的长度；（3）根据图示知，图中阴影部分的面积=扇形ADO的面积+△AOC的面积．【解答】解：(1）证明：如图，连接OA．∵AB=AC，∠ABC=30°，∴∠ABC=∠ACB=30°．∴∠AOB=2∠ACB=60°，∴在△ABO中，∠BAO=g地0°﹣∠ABO﹣∠AOB=90°，即AB⊥OA，又∵OA是⊙O的半径，∴AB为⊙O的切线；（2）解:如图，连接AD．∵CD是⊙O的直径，∴∠DAC=90°．∵由（g)知，∠ACB=30°，∴AD=CD=4，则根据勾股定理知AC==4，即弦AC的长是4;（3）解：由(2）知,在△ADC中，∠DAC=90°，AD=4，AC=4，则S△ADC=AD•AC=×4×4=8．∵点O是△ADC斜边上的中点，∴S△AOC=S△ADC=4．根据图示知，S阴影=S扇形ADO+S△AOC=+4=+4．【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理以及扇形面积的计算．解答(3)时,求△AOC的面积的面积的技巧性在于利用了“等边同高”三角形的面积相等的性质．12．如图，点B、C、D都在⊙O上,过点C作AC∥BD交OB延长线于点A，连接CD，且∠CDB=∠OBD=30°，DB=cm．(1）求证：AC是⊙O的切线；（2）求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）【考点】切线的判定；扇形面积的计算．【专题】压轴题．【分析】（1)求出∠COB的度数,求出∠A的度数，根据三角形的内角和定理求出∠OCA的度数,根据切线的判定推出即可；（2）如解答图所示,解题关键是证明△CDM≌△OBM，从而得到S阴影=S扇形BOC．【解答】如图,连接BC,OD，OC，设OC与BD交于点M．（1）证明：根据圆周角定理得：∠COB=2∠CDB=2×30°=60°，∵AC∥BD，∴∠A=∠OBD=30°,∴∠OCA=180°﹣30°﹣60°=90°,即OC⊥AC，∵OC为半径，∴AC是⊙O的切线；（2）解：由(1）知,AC为⊙O的切线，∴OC⊥AC．∵AC∥BD，∴OC⊥BD．由垂径定理可知,MD=MB=BD=．在Rt△OBM中，∠COB=60°，OB===6．在△CDM与△OBM中，∴△CDM≌△OBM（ASA），∴S△CDM=S△OBM∴阴影部分的面积S阴影=S扇形BOC==6π（cm2)．【点评】本题考查了平行线性质，切线的判定，扇形的面积，三角形的面积,圆周角定理的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力．13．如图,OC平分∠MON，点A在射线OC上,以点A为圆心,半径为2的⊙A与OM相切于点B，连接BA并延长交⊙A于点D，交ON于点E．（1）求证：ON是⊙A的切线；（2）若∠MON=60°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）【考点】切线的判定;扇形面积的计算．【分析】（1）首先过点A作AF⊥ON于点F，易证得AF=AB,即可得ON是⊙A的切线；（2）由∠MON=60°，AB⊥OM，可求得AF的长，又由S阴影=S△AEF﹣S扇形ADF,即可求得答案．【解答】（1）证明:过点A作AF⊥ON于点F,∵⊙A与OM相切于点B,∴AB⊥OM,∵OC平分∠MON，∴AF=AB=2,∴ON是⊙A的切线；（2)解：∵∠MON=60°，AB⊥OM，∴∠OEB=30°，∴AF⊥ON，∴∠FAE=60°,在Rt△AEF中，tan∠FAE=，∴EF=AF•tan60°=2,∴S阴影=S△AEF﹣S扇形ADF=AF•EF﹣×π×AF2=2﹣π．【点评】此题考查了切线的判定与性质、扇形的面积以及三角函数的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用．14．如图①,在矩形纸片ABCD中，AB=+1，AD=．（1）如图②，将矩形纸片向上方翻折，使点D恰好落在AB边上的D′处，压平折痕交CD于点E，则折痕AE的长为;(2）如图③,再将四边形BCED′沿D′E向左翻折，压平后得四边形B′C′ED′，B′C′交AE 于点F，则四边形B′FED′的面积为﹣；(3）如图④，将图②中的△AED′绕点E顺时针旋转α角，得△A′ED″，使得EA′恰好经过顶点B，求弧D′D″的长．（结果保留π）【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质；弧长的计算．【专题】探究型．【分析】（1）先根据图形反折变换的性质得出AD′，D′E的长，再根据勾股定理求出AE的长即可；（2)由（1）知，AD′=，故可得出BD′的长，根据图形反折变换的性质可得出B′D′的长，再由等腰直角三角形的性质得出B′F的长，根据梯形的面积公式即可得出结论;（3）先根据直角三角形的性质求出∠BEC的度数，由翻折变换的性质可得出∠DEA的度数,故可得出∠AEA′=75°=∠D′ED″，由弧长公式即可得出结论．【解答】解：（1）∵△ADE反折后与△AD′E重合，∴AD′=AD=D′E=DE=，∴AE===；（2)∵由(1）知AD′=,∴BD′=1，∵将四边形BCED′沿D′E向左翻折,压平后得四边形B′C′ED′，∴B′D′=BD′=1，∵由（1）知AD′=AD=D′E=DE=，∴四边形ADED′是正方形，∴B′F=AB′=﹣1，∴S梯形B′FED′=（B′F+D′E）•B′D′=（﹣1+）×1=﹣；2017年中考数学专项训练圆的弧长和图形面积的计算（含解析）(1)故答案为：（1）;（2)﹣；（3）∵∠C=90°，BC=，EC=1,∴tan∠BEC==，∴∠BEC=60°,由翻折可知:∠DEA=45°,∴∠AEA′=75°=∠D′ED″，∴==．【点评】本题考查的是图形的翻折变换，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．21。
圆的弧长和扇形面积计算在几何学中，圆是一个非常重要的形状，它具有许多特殊的属性和计算公式。
本文将介绍如何计算圆的弧长和扇形面积。
一、圆的弧长计算公式圆的弧长是指圆的某一部分圆弧的长度。
当我们需要计算圆的弧长时，我们需要知道两个重要的参数：圆的半径和圆心角。
所谓圆心角，是指圆心所对应的圆弧所夹的角度。
在计算弧长时，我们常使用弧度制来进行计算。
在弧度制中，一个完整的圆的角度是2π弧度。
所以，如果我们要计算圆的弧长L时，可以使用以下公式：L = r * θ其中，L表示弧长，r表示圆的半径，θ表示圆心角（以弧度表示）。
二、扇形面积计算公式扇形是圆上的一个部分，它由圆心、圆弧和两条半径所组成。
当我们需要计算扇形的面积时，我们需要知道两个重要的参数：圆的半径和圆心角。
与计算弧长类似，当我们要计算扇形面积S时，可以使用以下公式：S = (1/2) * r² * θ其中，S表示扇形的面积，r表示圆的半径，θ表示圆心角（以弧度表示）。
需要注意的是，在使用上述公式计算圆的弧长和扇形面积时，角度θ必须使用弧度制来表示。
如果给定的角度是以度数表示，我们可以通过以下公式将其转换为弧度：弧度 = 度数* (π/180)三、简单示例为了更好地理解如何使用上述公式来计算圆的弧长和扇形面积，我们来看一个简单的示例：假设一个圆的半径为4，圆心角为π/3。
我们首先计算圆的弧长L：L = 4 * (π/3) = (4π)/3然后，我们计算扇形的面积S：S = (1/2) * 4² * (π/3) = (8π)/3所以，该圆的弧长为(4π)/3，扇形的面积为(8π)/3。
四、总结通过上述示例，我们可以看到，计算圆的弧长和扇形面积并不复杂。
只要我们知道圆的半径和圆心角，并且使用适当的公式，就可以轻松地进行计算。
在实际应用中，圆的弧长和扇形面积的计算有很多重要的应用。
例如，在建筑设计和机械制造领域，我们常常需要计算圆形零件的长度和面积。
圆的弧长和面积计算圆是数学中的一个基础几何图形，具有很多重要的性质和特征。
在计算圆的弧长和面积时，我们需要了解一些相关的公式和概念。
本文将介绍如何准确计算圆的弧长和面积，并提供一些实际应用的例子。
1. 圆的弧长计算圆的弧长是指圆周上一段弧与圆心所对的圆心角所对应的弧长。
当我们知道圆的半径r和所对应的圆心角θ时，可以通过以下公式计算圆的弧长：弧长= 2πr(θ/360°)其中，π是一个常数，约等于3.14159。
举个例子，假设有一个半径为5cm的圆，它的圆心角为60°，我们可以计算出这段弧的弧长：弧长= 2π × 5cm × (60°/360°)= 2π × 5cm × (1/6)≈ 5π/3 cm≈ 5.24 cm因此，这段弧的弧长约为5.24 cm。
2. 圆的面积计算圆的面积是指圆内部的所有点组成的区域的大小。
当我们知道圆的半径r时，可以通过以下公式计算圆的面积：面积= πr²同样地，π是一个常数，约等于3.14159。
举个例子，假设有一个半径为3cm的圆，我们可以计算出这个圆的面积：面积= π × (3cm)²= 9π cm²≈ 28.27 cm²所以，这个圆的面积约为28.27 cm²。
3. 实际应用圆的弧长和面积计算在实际中有广泛的应用。
以下是一些例子：3.1 环形跑道长度计算假设一个田径场有一个内半径为30m，外半径为40m的环形跑道。
我们可以计算出这条跑道的长度：内环长= 2π × 30m≈ 188.5m外环长= 2π × 40m≈ 251.3m环形跑道长度 = 外环长 - 内环长≈ 251.3m - 188.5m≈ 62.8m所以，这个环形跑道的长度约为62.8m。
3.2 扇形面积计算假设你要制作一个扇形形状的餐桌布料，桌子为圆形，半径为80cm，你希望餐桌布料能够覆盖半圆形区域。
计算圆的面积和弧长圆是几何中的基本图形之一，它有许多重要的性质和应用。
本文将介绍如何计算圆的面积和弧长，帮助读者更好地理解和应用圆的相关知识。
一、圆的面积计算公式圆的面积是指圆包围的平面内的所有点所形成区域的大小。
圆的面积计算公式如下：面积= π × 半径²其中，π是一个常数，约等于3.14159；半径是从圆心到圆上任意一点的距离。
根据这个公式，我们可以很方便地计算出给定圆的面积。
二、圆的弧长计算公式圆的弧长是指圆上两个点之间的弧所对应的圆周的长度。
圆的弧长计算公式如下：弧长 = 弧度 ×半径其中，弧度是一个角度单位，它表示圆心角所对应的弧长与半径的比值。
通常，我们使用角度来度量角的大小，但在计算弧长和面积时，需要将角度转换成弧度。
三、实例演算下面通过一个实际的例子来演示如何计算圆的面积和弧长。
例：求圆的面积和弧长，已知半径r = 3厘米。
1. 计算圆的面积：面积= π × 3² = 3.14159 × 9 ≈ 28.27平方厘米因此，半径为3厘米的圆的面积约为28.27平方厘米。
2. 计算圆的弧长：首先，我们需要将角度转换成弧度。
假设所求出的角度为θ度，则弧度可以通过以下公式计算：弧度= θ × π / 180假设所求的角度为60度，则弧度为：弧度= 60 × 3.14159 / 180 ≈ 1.047弧度然后，我们可以通过弧长计算公式来计算弧长：弧长 = 弧度 ×半径= 1.047 × 3 ≈ 3.142厘米因此，在半径为3厘米的圆中，对应60度角的弧长约为3.142厘米。
通过这个例子，我们可以看到如何应用圆的面积和弧长的计算公式来解决实际问题。
在应用中，我们可以根据需求选择合适的测量单位和精度，确保结果的准确性。
结语：本文介绍了计算圆的面积和弧长的方法，并通过实例演算展示了具体计算步骤。
掌握这些知识和技巧，能够帮助我们更好地理解和运用圆的特性，在解决实际问题中发挥作用。
圆的弧长与扇形面积计算知识点总结在几何学中，圆是一个非常重要且常见的图形。
计算圆的弧长和扇形面积是解决与圆相关问题的基础。
本文将对圆的弧长和扇形面积的计算方法进行总结。
一、圆的弧长计算圆的弧长是圆的一部分所对应的弧长，可以通过圆的半径或直径来计算。
假设半径为r、弧度为θ的圆弧的弧长为L，弧长可以通过下面的公式来计算：L = θ * r其中，θ表示角度，它可以用弧度（radian）或度（degree）来表示。
如果θ用弧度表示，则上式中的弧长单位为弧长单位为r；如果θ用度表示，则上式中的弧长单位为π。
例如，如果半径为3的圆弧对应的角度为π/3弧度，则该圆弧的弧长为：L = (π/3) * 3 = π二、扇形面积的计算扇形是由圆心和圆上两个切点连线所围成的区域。
计算扇形的面积需要知道圆的半径以及对应的圆心角。
假设半径为r、对应的圆心角为θ的扇形的面积为S，面积可以通过下面的公式来计算：S = (θ/360) * π * r^2其中，θ表示度数。
公式中的θ/360表示圆心角度数与360度的比值，可以用来表示扇形所占的比例。
面积的单位为平方单位，如平方厘米、平方米等。
例如，如果半径为4的扇形的圆心角为90度，则该扇形的面积为：S = (90/360) * π * 4^2 = (1/4) * π * 16 = 4π三、计算实例下面通过几个实例来演示圆的弧长和扇形面积的计算方法。
实例一：已知半径为5的圆上的圆心角为60度，求圆弧的弧长和扇形的面积。
弧长的计算：L = (60/360) * 2π * 5 = (1/6) * 2π * 5 = 5π/6扇形面积的计算：S = (60/360) * π * 5^2 = (1/6) * π * 25 = 25π/6实例二：已知半径为8的圆上的圆心角为120度，求圆弧的弧长和扇形的面积。
弧长的计算：L = (120/360) * 2π * 8 = (1/3) * 2π * 8 = 16π/3扇形面积的计算：S = (120/360) * π * 8^2 = (1/3) * π * 64 = 64π/3实例三：已知半径为10的圆上的圆心角为270度，求圆弧的弧长和扇形的面积。
圆弧弧长和面积的计算公式圆弧是圆的一部分，它的长度和面积是在数学和工程领域中经常用到的。
在本文中，我们将讨论圆弧弧长和面积的计算公式，以及如何应用这些公式来解决实际问题。
首先，让我们来看看圆弧的弧长是如何计算的。
圆的弧长可以通过以下公式来计算：弧长 = 半径×弧度。
其中，半径是圆的半径，弧度是圆弧所对的圆心角的角度，通常用弧度制表示。
弧度制是一种角度的测量单位，它是以圆的半径为单位，使得圆的周长为2π的角度制。
因此，如果我们知道圆的半径和圆弧所对的角度，就可以通过上述公式来计算圆弧的弧长。
举个例子，如果一个圆的半径为5厘米，圆弧所对的角度为60度，那么该圆弧的弧长可以通过以下公式来计算：弧长 = 5 ×π/3 ≈ 5.24厘米。
接下来，让我们来看看圆弧的面积是如何计算的。
圆弧的面积可以通过以下公式来计算：面积 = 1/2 ×半径×弧长。
这个公式是通过将圆弧切割成一个扇形和一个三角形，然后计算这两个部分的面积之和得到的。
因此，如果我们知道圆的半径和圆弧的弧长，就可以通过上述公式来计算圆弧的面积。
举个例子，如果一个圆的半径为5厘米，圆弧的弧长为5.24厘米，那么该圆弧的面积可以通过以下公式来计算：面积 = 1/2 × 5 × 5.24 ≈ 13.1平方厘米。
现在，让我们来看看如何应用这些公式来解决实际问题。
假设我们需要设计一个圆形花园的围墙，我们知道花园的半径为10米，我们希望围墙的长度能够覆盖整个花园的边界。
我们可以通过以下步骤来计算围墙的长度和面积：1. 首先，我们需要计算围墙的长度。
根据上述公式，围墙的长度等于花园的半径乘以2π。
因此，围墙的长度等于10 × 2π≈ 62.8米。
2. 接下来，我们需要计算围墙的面积。
根据上述公式，围墙的面积等于1/2乘以花园的半径乘以围墙的长度。
因此，围墙的面积等于1/2 × 10 × 62.8 ≈ 314平方米。
圆的弧长和面积的计算圆是几何中最基本的图形之一，其弧长和面积的计算是常见的数学问题。
本文将详细介绍如何准确计算圆的弧长和面积，并提供实际应用例子。
一、圆的弧长计算圆的弧长是指圆周上任意两点间的弧长，在数学上通常用字母L表示。
根据圆的定义，圆周上的弧长等于圆周的长度，而圆周的长度可以计算为圆的直径乘以π（圆周率）。
L = d × π其中，L表示圆的弧长，d表示圆的直径，π是一个无限不循环且无法表示为两整数之比的常数，其近似值为3.14159。
例如，若给定圆的直径为12cm，则可通过以下计算得到圆的弧长：L = 12cm × 3.14159 ≈ 37.699cm因此，当圆的直径为12cm时，其弧长约为37.699cm。
二、圆的面积计算圆的面积是指圆所覆盖的平面范围，在数学上通常用字母S表示。
根据圆的定义，圆的面积可以通过圆的半径的平方乘以π来计算。
S = r^2 × π其中，S表示圆的面积，r表示圆的半径。
例如，若给定圆的半径为5cm，则可通过以下计算得到圆的面积：S = 5cm^2 × 3.14159 ≈ 78.540cm^2因此，当圆的半径为5cm时，其面积约为78.540cm^2。
三、应用举例圆的弧长和面积计算在实际生活中有着广泛的应用。
以下举例说明：1. 建筑工程中，设计师需要计算圆柱形建筑物的表面积，其中圆的侧面是由圆的弧长和高度共同决定的。
通过计算圆的弧长和半径，可以得到圆柱体的侧面积。
2. 环形道路的设计需考虑圆的弧长。
交通规划者需要根据圆的弧长确定环形道路的长度，以确保车辆能够安全通行。
3. 圆形花坛的设计需要考虑圆的面积。
园艺师需要计算圆形花坛的面积，以选择适当的植物种类和确定所需的土壤和肥料数量。
综上所述，圆的弧长和面积的计算是数学中的基础知识，并具有广泛的实际应用。
通过掌握圆的弧长和面积计算方法，我们能够更好地理解和应用几何学中的相关概念。
课后强化训练26 圆的弧长和图形面积的计算一、选择题(第1题)1．如图，在半径为4的⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，且CD ⊥AB ，垂足为E ，∠AOB ＝90°，则阴影部分的面积是(D )A. 4π－4B. 2π－4C. 4πD. 2π【解析】 ∵直径CD ⊥AB ，∴AE ＝BE ，AC ︵＝BC ︵，∴∠AOC ＝∠BOC ＝12∠AOB ＝45°，∴S 阴影＝S 扇形OAC ＝n πr 2360＝45×π×42360＝2π.2．如图，在▱ABCD 中，∠B ＝70°，BC ＝6，以AD 为直径的⊙O 交CD 于点E ，则DE ︵的长为(B )A. 13πB. 23πC. 76πD. 43π,(第2题)),(第2题解))【解析】 如解图，连结OE . ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ＝BC ＝6，∠D ＝∠B ＝70°. ∵OE ＝OD ＝3， ∴∠OED ＝∠D ＝70°，∴∠EOD ＝40°， ∴lDE ︵＝40×π×3180＝23π.3．已知正六边形的边长为2，则它的内切圆半径为(B ) A. 1 B. 3 C. 2 D. 2 3(第3题解)【解析】 如解图，设正六边形为ABCDEF ，它的外接圆为⊙O ，过点O 作OP ⊥AB于点P ，连结OA ，OB .∵∠AOB ＝60°，OA ＝OB ，∴△ABO 是等边三角形，即AB ＝OA ＝2.∵OP ⊥AB ，∴∠AOP ＝30°，AP ＝12AB ＝1，∴OP ＝3，即内切圆半径为 3.(第4题)4．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝2，BC ＝1.把△ABC 分别绕直线AB 和BC 旋转一周，所得几何体的底面圆的周长分别记做l 1，l 2，侧面积分别记做S 1，S 2，则(A )A ．l 1∶l 2＝1∶2，S 1∶S 2＝1∶2B ．l 1∶l 2＝1∶4，S 1∶S 2＝1∶2C ．l 1∶l 2＝1∶2，S 1∶S 2＝1∶4D ．l 1∶l 2＝1∶4，S 1∶S 2＝1∶4【解析】 ∵l 1＝2π·BC ＝2π，l 2＝2π·AB ＝4π， ∴l 1∶l 2＝1∶2. ∵∠ABC ＝90°， ∴AC ＝AB 2＋BC 2＝5，∴S 1＝π·BC ·AC ＝5π，S 2＝π·AB ·AC ＝25π， ∴S 1∶S 2＝1∶2.(第5题)5．如图，为了监控一不规则多边形艺术走廊内的活动情况，现已在A ，B 两处各安装了一个监控探头(走廊内所用探头的观测区为圆心角最大可取到180°的扇形)，图中的阴影部分是A 处监控探头观测到的区域，要使整个艺术走廊都能被监控到，还需要安装一个监控探头，则安装的位置是(D )A ．E 处B ．F 处C ．G 处D ．H 处【解析】 连结EF ，FG ，GH ，HE ，EG ，FH ，发现只有点H 与其他三点的连线均在艺术走廊内，故只有在H 处装监控探头符合条件．二、填空题6．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB ，AC 的夹角为120°，AB 的长为30 cm ，则BC ︵的长为__20π__cm(结果保留π)．【解析】 lBC ︵＝120×π×30180＝20π(cm)．（第6题）（第7题）7．现有一张圆心角为108°，半径为40 cm 的扇形纸片，小红剪去圆心角为θ的部分扇形纸片后，将剩下的纸片制作成一个底面半径为10 cm 的圆锥形纸帽(接缝处不重叠)，则剪去的扇形纸片的圆心角θ为__18°__．【解析】 由题意，得108°－θ360°×2π×40＝2π×10，解得θ＝18°.(第8题)8．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AD ∥BC ，以点B 为圆心，BA 长为半径的圆弧与BC 相交于点E ，四边形AECD 是平行四边形，AB ＝6，则扇形BAE (图中阴影部分)的面积是__6π__．【解析】 ∵四边形AECD 是平行四边形，∴AE ＝CD . ∵AB ＝BE ＝CD ，∴AB ＝BE ＝AE ， ∴△ABE 是等边三角形，∴∠B ＝60°，∴S 扇形BAE ＝60π×62360＝6π.(第9题)9．如图，在平面直角坐标系中，直线l 的函数表达式为y ＝x ，点O 1的坐标为(1，0)，以点O 1为圆心，O 1O 长为半径画圆，交直线l 于点P 1，交x 轴正半轴于点O 2，以点O 2为圆心，O 2O 长为半径画圆，交直线l 于点P 2，交x 轴的正半轴于点O 3，以点O 3为圆心，O 3O 长为半径画圆，交直线l 于点P 3，交x 轴的正半轴于点O 4……按此作法进行下去，其中P 2017O 2018的长为__22015π__．【解析】 由y ＝x 易得∠P 1OO 1＝45°. ∵点O 1(1，0)，O 2(2，0)，O 3(4，0)，…， ∴点O 2017(22016，0)，∴OO 2017＝O 2017O 2018＝22016，∠P 2017O 2017O 2018＝90°，∴lP 2017O 2018＝90π×22016180＝22015π.(第10题)10．如图，⊙P 的半径为5，A ，B 是⊙P 上任意两点，且AB ＝6，以AB 为边作正方形ABCD (点D ，P 在直线AB 两侧)．若AB 边绕点P 旋转一周，则CD 边扫过的面积为__9π__．(第10题解)【解析】 连结P A ，PD ，过点P 作PE ⊥AB 于点E ，延长PE 交CD 于点F ，如解图．∵PE ⊥AB ， ∴AE ＝BE ＝12AB ＝3.又∵P A ＝5，∠AEP ＝90°， ∴PE ＝P A 2－AE 2＝4.∵四边形ABCD 为正方形， ∴AB ∥CD ，BC ＝AB ＝6. 又∵PE ⊥AB ，∴PF ⊥CD ， ∴EF ＝BC ＝6，DF ＝AE ＝3， ∴PF ＝PE ＋EF ＝4＋6＝10.在Rt △PFD 中，∵PF ＝10，DF ＝3，∠PFD ＝90°， ∴PD ＝PF 2＋DF 2＝109.∵CD 边扫过的图形是以PF 为内圆半径，PD 为外圆半径的圆环， ∴S ＝π·PD 2－π·PF 2＝109π－100π＝9π.三、解答题11．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝1. (1)求证：∠A ≠30°.(2)将△ABC 绕BC 所在直线旋转一周，求所得几何体的表面积． 【解析】 (1)在△ABC 中， ∵AB 2＝3，AC 2＋BC 2＝2＋1＝3， ∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴∠ACB ＝90°，∴sin A ＝BC AB ＝13≠12＝sin30°，∴∠A ≠30°.(2)将△ABC 绕BC 所在直线旋转一周，所得几何体为圆锥，由题意，得r ＝2，l ＝3， ∴S 圆锥侧＝πrl ＝π×2×3＝6π，S 底＝πr 2＝π×(2)2＝2π，∴S 表面积＝S 圆锥侧＋S 底＝6π＋2π.12．如图，AB 与⊙O 相切于点C ，OA ，OB 分别交⊙O 于点D ，E ，CD ︵＝CE ︵. (1)求证：OA ＝OB .(2)已知AB ＝43，OA ＝4，求阴影部分的面积．,(第12题)),(第12题解))【解析】 (1)如解图，连结OC . ∵AB 切⊙O 于点C ，∴OC ⊥AB . ∵CD ︵＝CE ︵，∴∠AOC ＝∠BOC . 在△AOC 和△BOC 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠AOC ＝∠BOC ，OC ＝OC ，∠OCA ＝∠OCB ＝90°， ∴△AOC ≌△BOC (ASA )，∴OA ＝OB .(2)由(1)可得AC ＝BC ＝12AB ＝23，又∵OA ＝4，∴在Rt △AOC 中，OC ＝2，∴∠BOC ＝∠AOC ＝60°，S △BOC ＝12BC ·OC ＝12×23×2＝23，∴S 扇形OCE ＝60×π×22360＝23π，∴S 阴影＝S △BOC －S 扇形OCE ＝23－23π.13．如图，AB ＝16，O 为AB 的中点，点C 在线段OB 上(不与点O ，B 重合)，将OC绕点O 逆时针旋转270°后得到扇形OCD ，AP ，BQ 分别切优弧CD ︵于点P ，Q ，且点P ，Q 在AB 异侧，连结OP .,(第13解))(1)求证：AP ＝BQ .(2)当BQ ＝43时，求优弧QD ︵的长(结果保留π)．(3)若△APO 的外心在扇形OCD 的内部，求OC 的取值范围． 【解析】 (1)连结OQ .∵AP ，BQ 分别与CD ︵相切，∴OP ⊥AP ，OQ ⊥BQ ，即∠APO ＝∠BQO ＝90°.又∵OA ＝OB ，OP ＝OQ ，∴Rt △APO ≌Rt △BQO (HL )， ∴AP ＝BQ .(2)∵BQ ＝43，OB ＝12AB ＝8，∠BQO ＝90°，∴OQ ＝4，sin ∠BOQ ＝32，∴∠BOQ ＝60°，∴lQD ︵＝（270－60）π×4180＝14π3.(3)设点M 为Rt △APO 的外心，则M 为OA 的中点， ∴OM ＝4.当点M 在扇形的内部时，OM <OC ，∴4<OC <8.14．如图，半圆O 的直径AB ＝4，以长为2的弦PQ 为直径，向点O 方向作半圆M ，其中点P 在AQ ︵上，且不与点A 重合，但点Q 可与点B 重合．发现： AP ︵的长与QB ︵的长之和为定值l ，求l 的值． 思考：点M 到AB 的最大距离为__3__，此时点P ，A 间的距离为__2__；点M 到AB 的最小距离为__32__，此时半圆M 的弧与AB 所围成的封闭图形的面积为π6－34．探究：当半圆M 与AB 相切时，求AP ︵的长．(注：结果保留π，cos 35°＝63，cos 55°＝33.),(第14题))【解析】 发现：连结OP ，OQ ，则OP ＝OQ ＝PQ ＝2，∴∠POQ ＝60°，∴lPQ ︵＝60×π×2180＝2π3，∴l ＝2×π－2π3＝4π3.思考：当OM ⊥AB 时，点M 到AB 的距离最大，即为OM . 易得△OPQ 为等边三角形，∴OM ＝32PQ ＝ 3. ∵∠POM ＝12∠POQ ＝30°，OM ⊥AB ，∴∠AOP ＝60°，∴易得此时P A ＝2.当点Q 与点B 重合时，点M 到AB 的距离最小， 如解图①，过点M 作MD ⊥OB 于点D .(第14题解①)∵OM ＝3，BM ＝1，OB ＝2， ∴DM ＝1×32＝32.连结CM .易得S 扇形MBC ＝60×π×12360＝π6，S △CMB ＝12×1×32＝34，∴此时半圆M 的弧与AB 所围成的封闭图形的面积为S 扇形MBC －S △CMB ＝π6－34.探究：分两种情况讨论：(第14题解②)①如解图②，半圆M 与AO 相切于点T 时，连结PO ，MO ，TM ， 则MT ⊥AO ，OM ⊥PQ .在Rt △POM 中，∵sin ∠POM ＝12，∴∠POM ＝30°.在Rt △TOM 中，∵TO ＝（3）2－12＝2，∴cos ∠AOM ＝63，即∠AOM ＝35°， ∴∠POA ＝35°－30°＝5°， ∴lAP ︵＝5×π×2180＝π18.(第14题解③)②如解图③，半圆M 与BO 相切于点S 时，连结QO ，MO ，SM .同①可得lBQ ︵＝π18.又∵l ＝4π3，∴lAP ︵＝4π3－π18＝23π18.综上所述，AP ︵的长为π18或23π18.。
