初中数学中考专题复习《探究式问题以及课题学习专题》

中考数学二轮复习精品资料附参考答案探究型问题一、中考专题诠释探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的一类问题．根据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等四类．二、解题策略与解法精讲由于探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答．由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：1．利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律．2．反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致．3．分类讨论法．当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果．4．类比猜想法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证．以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用．三、中考考点精讲考点一：条件探索型：此类问题结论明确，而需探究发现使结论成立的条件．例1 （2013•襄阳）如图1，点A是线段BC上一点，△ABD和△ACE都是等边三角形．（1）连结BE，CD，求证：BE=CD；（2）如图2，将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB′D′．①当旋转角为度时，边AD′落在AE上；②在①的条件下，延长DD ’交CE 于点P ，连接BD ′，CD ′．当线段AB 、AC 满足什么数量关系时，△BDD ′与△CPD ′全等？并给予证明．思路分析：（1）根据等边三角形的性质可得AB =AD ，AE =AC ，∠BAD =∠CAE =60°，然后求出∠BAE =∠DAC ，再利用“边角边”证明△BAE 和△DAC 全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）①求出∠DAE ，即可得到旋转角度数；②当AC =2AB 时，△BDD ′与△CPD ′全等．根据旋转的性质可得AB =BD =DD ′=AD ′，然后得到四边形ABDD ′是菱形，根据菱形的对角线平分一组对角可得∠ABD ′=∠DBD ′=30°，菱形的对边平行可得DP ∥BC ，根据等边三角形的性质求出AC =AE ，∠ACE =60°，然后根据等腰三角形三线合一的性质求出∠PCD ′=∠ACD ′=30°，从而得到∠ABD ′=∠DBD ′=∠BD ′D =∠ACD ′=∠PD ′C =30°，然后利用“角边角”证明△BDD ′与△CPD ′全等．解答：（1）证明：∵△ABD 和△ACE 都是等边三角形．∴AB =AD ，AE =AC ，∠BAD =∠CAE =60°，∴∠BAD +∠DAE =∠CAE +∠DAE ，即∠BAE =∠DAC ，在△BAE 和△DAC 中，AB AD BAE DAC AE AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAE ≌△DAC （SAS ），∴BE =CD ；（2）解：①∵∠BAD =∠CAE =60°，∴∠DAE =180°－60°×2=60°，对应训练1．（2013•新疆）如图，▱ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA、DC的延长线分别交于点E、F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）请连接EC、AF，则EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是矩形，并说明理由．1．解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=OC，AB∥CD．∴∠E=∠F又∠AOE=∠COF．∴△AOE≌△COF（ASA）；（2）如图，连接EC、AF，则EF与AC满足EF=AC时，四边形AECF是矩形，理由如下：由（1）可知△AOE≌△COF，∴OE=OF，∵AO=CO，∴四边形AECF是平行四边形，∵EF=AC，∴四边形AECF是矩形．考点二：结论探究型：此类问题给定条件但无明确结论或结论不惟一，而需探索发现与之相应的结论．对应训练2．（2013•河南）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．（1）操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是．（2）猜想论证当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．（3）拓展探究已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请直接写出相应的BF的长．2．解：（1）①∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，∴AC=CD，∵∠BAC=90°－∠B=90°－30°=60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD=60°，又∵∠CDE=∠BAC=60°，∴∠ACD=∠CDE，∴DE∥AC；考点三：规律探究型：规律探索问题是指由几个具体结论通过类比、猜想、推理等一系列的数学思维过程，来探求一般性结论的问题，解决这类问题的一般思路是通过对所给的具体的结论进行全面、细致的观察、分析、比较，从中发现其变化的规律，并猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以运用.3．（2013•南沙区一模）如图，一个动点P在平面直角坐标系中按箭头所示方向作折线运动，即第一次从原点运动到（1，1），第二次从（1，1）运动到（2，0），第三次从（2，0）运动到（3，2），第四次从（3，2）运动到（4，0），第五次从（4，0）运动到（5，1），…，按这样的运动规律，经过第2013次运动后，动点P的坐标是．3．（2013，1）考点四：存在探索型：此类问题在一定的条件下，需探究发现某种数学关系是否存在的题目．证明：作DM ⊥AE 于AB 交于点M ，则有：DM ∥EP ，连接ME 、DP ，∵在△ADM 与△BAE 中，AD AD ADM BAE BAD ABE =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩，∴△ADM ≌△BAE （AAS ），∴MD =AE ，∵AE =EP ，∴MD =EP ，∴MD ∥EP ，MD =EP ，∴四边形DMEP 为平行四边形．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及正方形的性质等知识．此题综合性很强，图形比较复杂，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的准确选择．对应训练4．（2013•陕西）问题探究：（1）请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分；（2）如图②，M 是正方形ABCD 内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M ）使它们将正方形ABCD 的面积四等分，并说明理由．问题解决：（3）如图③，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB +CD =BC ，点P 是AD 的中点，如果AB =a ，CD =b ，且b ＞a ，那么在边BC 上是否存在一点Q ，使PQ 所在直线将四边形ABCD 的面积分成相等的两部分？如若存在，求出BQ 的长；若不存在，说明理由．理由是：如图③，连接BP 并延长交CD 的延长线于点E ，∵AB ∥CD ，∴∠A =∠EDP ，∵在△ABP 和△DEP 中A EDP AP DPAPB DPE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABP ≌△DEP （ASA ），∴BP =EP ，连接CP ，∵△BPC 的边BP 和△EPC 的边EP 上的高相等，又∵BP =EP ，∴S △BPC =S △EPC ，作PF ⊥CD ，PG ⊥BC ，由BC =AB +CD =DE +CD =CE ，由三角形面积公式得：PF =PG ，在CB 上截取CQ =DE =AB =a ，则S △CQP =S △DEP =S △ABP∴S △BPC －S △CQP +S △ABP =S △CPE －S △DEP +S △CQP即：S 四边形ABQP =S 四边形CDPQ ，∵BC =AB +CD =a +b ，∴BQ =b ，∴当BQ =b 时，直线PQ 将四边形ABCD 的面积分成相等的两部分．四、中考真题演练一、选择题1．（2013•永州）如图，下列条件中能判定直线l 1∥l 2的是（ ）A ．∠1=∠2B ．∠1=∠5C ．∠1+∠3=180°D ．∠3=∠51．C2．（2013•安顺）如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（）A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC2．B3．（2013•湘潭）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为（）A．BD=CE B．AD=AE C．DA=DE D．BE=CD3．C二、填空题个条件即可）．4．∠B=∠C或AE=AD5．（2013•白银）如图，已知BC=EC，∠BCE=∠ACD，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为．（答案不唯一，只需填一个）5．AC=CD6．（2013•上海）如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一直线上，BF=CE，AC∥DF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是．（只需写一个，不添加辅助线）6．AC=DF7．（2013•黑龙江）如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，试添加一个条件：，使得平行四边形ABCD为菱形．7．AD=DC8．（2013•西城区一模）在平面直角坐标系xOy中，有一只电子青蛙在点A（1，0）处．第一次，它从点A先向右跳跃1个单位，再向上跳跃1个单位到达点A1；第二次，它从点A1先向左跳跃2个单位，再向下跳跃2个单位到达点A2；第三次，它从点A2先向右跳跃3个单位，再向上跳跃3个单位到达点A3；第四次，它从点A3先向左跳跃4个单位，再向下跳跃4个单位到达点A4；…依此规律进行，点A6的坐标为；若点A n的坐标为（2013，2012），则n= ．8．（－2－3），40239．（2013•湛江）如图，所有正三角形的一边平行于x轴，一顶点在y轴上．从内到外，它们10．（2013•绍兴）如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，则∠A的度数是．10．12°三、解答题11．（2013•茂名）如图，在▱ABCD中，点E是AB边的中点，DE与CB的延长线交于点F．（1）求证：△ADE≌△BFE；（2）若DF平分∠ADC，连接CE．试判断CE和DF的位置关系，并说明理由．11．解：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ．又∵点F 在CB 的延长线上，∴AD ∥CF ，∴∠1=∠2．∵点E 是AB 边的中点，∴AE =BE ．∵在△ADE 与△BFE 中，1 2DEA AEB AE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△BFE （AAS ）；（2）解：CE ⊥DF ．理由如下：如图，连接CE ．由（1）知，△ADE ≌△BFE ，∴DE =FE ，即点E 是DF 的中点，∠1=∠2． ∵DF 平分∠ADC ，∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，∴CD =CF ，∴CE ⊥DF ．12．（2013•白银）如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，且AF =BD ，连接BF ．（1）BD 与CD 有什么数量关系，并说明理由；（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形AFBD 是矩形？并说明理由．12．解：（1）BD =CD ．理由如下：∵AF ∥BC ，∴∠AFE =∠DCE ，∵E 是AD 的中点，∴AE =DE ，在△AEF 和△DEC 中，AFE DCE AEF DEC AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△DEC （AAS ），∴AF =CD ，∵AF =BD ，∴BD =CD ；（2）当△ABC 满足：AB =AC 时，四边形AFBD 是矩形．理由如下：∵AF ∥BD ，AF =BD ，∴四边形AFBD 是平行四边形，∵AB =AC ，BD =CD ，∴∠ADB =90°，∴▱AFBD 是矩形．13．（2013•无锡）如图，四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，在①AB ∥CD ；②AO =CO ；③AD =BC 中任意选取两个作为条件，“四边形ABCD 是平行四边形”为结论构造命题．14．（2013•宁波）已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C （0，－3）．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y =－x 上，并写出平移后抛物线的解析式．14．解：（1）∵抛物线与x 轴交于点A （1，0），B （3，0），可设抛物线解析式为y =a （x －1）（x －3），把C （0，－3）代入得：3a =－3，解得：a =－1，故抛物线解析式为y =－（x －1）（x －3），即y =－x 2+4x －3，∵y =－x 2+4x －3=－（x －2）2+1，∴顶点坐标（2，1）；（2）先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y =－x 2，平移后抛物线的顶点为（0，0）落在直线y =－x 上．15．（2013•凉山州）先阅读以下材料，然后解答问题：材料：将二次函数y =－x 2+2x +3的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，求平移后的抛物线的解析式（平移后抛物线的形状不变）．解：在抛物线y =－x 2+2x +3图象上任取两点A （0，3）、B （1，4），由题意知：点A 向左平移1个单位得到A ′（－1，3），再向下平移2个单位得到A ″（－1，1）；点B 向左平移1个单位得到B ′（0，4），再向下平移2个单位得到B ″（0，2）．设平移后的抛物线的解析式为y =－x 2+bx +c ．则点A ″（－1，1），B ″（0，2）在抛物线上．可得：112b c c --+=⎧⎨=⎩，解得：02b c =⎧⎨=⎩．所以平移后的抛物线的解析式为：y =－x 2+2．根据以上信息解答下列问题：将直线y=2x－3向右平移3个单位，再向上平移1个单位，求平移后的直线的解析式．15．解：在直线y=2x－3上任取一点A（0，－3），由题意知A向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到A′（3，－2），设平移后的解析式为y=2x+b，则A′（3，－2）在y=2x+b的解析式上，－2=2×3+b，解得：b=－8，所以平移后的直线的解析式为y=2x－8．16．（2013•湖州）一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图，已知在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BO⊥AC，于点O，点PD分别在AO和BC上，PB=PD，DE⊥AC于点E，求证：△BPO≌△PDE．（1）理清思路，完成解答（2）本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程．（2）特殊位置，证明结论若PB平分∠ABO，其余条件不变．求证：AP=CD．（3）知识迁移，探索新知若点P是一个动点，点P运动到OC的中点P′时，满足题中条件的点D也随之在直线BC上运动到点D′，请直接写出CD′与AP′的数量关系．（不必写解答过程）16．（1）证明：∵PB =PD ，∴∠2=∠PBD ，∵AB =BC ，∠ABC =90°，∴∠C =45°，∵BO ⊥AC ，∴∠1=45°，∴∠1=∠C =45°，∵∠3=∠PBO －∠1，∠4=∠2－∠C ，∴∠3=∠4，∵BO ⊥AC ，DE ⊥AC ，∴∠BOP =∠PED =90°，在△BPO 和△PDE 中3=4BOP=PED BP=PD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△BPO ≌△PDE （AAS ）；（2）证明：由（1）可得：∠3=∠4，∵BP 平分∠ABO ，∴∠ABP =∠3，∴∠ABP =∠4，在△ABP 和△CPD 中4A C ABP PB PD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩。

中考数学探究性问题复习练习-中考数学试题、初中数学中考试卷、模拟题、复习资料-初中数学试卷-试卷下载中考数学探究性问题复习探究性问题是指在给定条件下探究尚不明确的结论，或由给出的结论探求满足该结论所需要的（或尚不确定的）条件的一类问题，它与传统条件结论封闭是截然不同的。

一般情况下，传统题条件完备，结论明确，只需计算结果，或对结论加以论证，其解题通法往往是确定的。

探究性问题是通过对题目的具体分析，选择并建立恰当的数学模型，经过观察、试验、分析、比较、类比、归纳、猜测、推断等探究性活动来探索解题思路。

探究性问题一般可分为结论探究题、条件探究题和存在性探究题。

我市近年来一直以考查结论探究题和存在性探究题为主。

1、结论探究题结论探究题，一般是由给定的已知条件探求相应的结论，解题时往往要求充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论。

例1、有若干个数，第1个数记为，第2个数记为，第3个数记为，……，第个数记为，若，从第2个数起，每个数都等于“1与它前面的那个数的差的倒数”。

（1）试计算：＝，＝，＝；（2）根据以上计算结果，请你写出：＝，＝。

例2、水葫芦是一种水生飘浮植物，有着惊人的繁殖能力。

据报现已造成某些流域河道堵塞，水质污染等严重后果。

据研究表明：适量的水葫芦生长对水质的净化是有利的，关键是科学管理和转化利用。

若在适宜条件下，1株水葫芦每5天就能新繁殖1株（不考虑植株死亡、被打捞等其它因素）。

（1）假设江面上现有一株水葫芦，填写下表：第几天51015…50…5n总株数24（2）假设某流域内水葫芦维持在约33万株以内对净化水质有益。

若现有10株水葫芦，请你尝试利用计算器进行估算探究，照上述生长速度，多少天时水葫芦约有33万株？此后就必须开始定期打捞处理水葫芦。

（要求写出必要的尝试、估算过程！）例3、如图，“取正方形各边的中点，并把相对的两个中点相连，这样把一个大正方形分成了四个小正方形”，我们称之为第1次操作。

中考专题复习——函数探究型问题【教材分析】
【教学流程】
自
主
探
究
合
作
交
流
解：
（3）增减性 : 当x<0时y随x的增大而减小; 当x>0时y
随x的增大而增大；
最值 : 当x=0时函数有最小值0；
象限：函数图象过一，二象限;
对称性 : 函数关于y軸对称。

二“纯函数型”函数探究问题的解题步骤总结
1.求出函数解析式
2.画出函数图象
3.根据函数图象得出函数的相关性质，用于解决
问题。

（1）学生先独立思考，独立完成第1小题，用所学过的知识加以解决，激发学生学习兴趣和探究欲望.老师请同学们回答，并说出理由。

（2）学生先独立思考完成，教师请同学回答，并对同学的答案作出必要的补充和解释说明，共同完成第2小问。

（3）教师给出必要的提示，学生独立思考后回答。

学生归纳，教师补充完成归纳
板书设计
函数探究型问题(一）
列表：
x …-3 -2 -1 0 1 2 3 …
y
1
… 3 2 1 0 1 2 3 …。

第4部分专题：课题学习与探究（3）复习难点：熟悉对应的解题方法，掌握动中取静的处理策略。

一、典型例题，巩固训练：1、点动：（相似三角形、等腰三角形、直角三角形、平行等）例1、如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=3cm，∠C=060，BD⊥CD。

①求BC、AD的长度；②若点P从点B开始沿CD边向点D以2cm/s的速度运动，点Q从点C开始沿CD边向点D以1cm/s的速度运动，当P、Q分别从B、C同时出发时，写出五边形ABPQD 的面积S与运动时间函数关系式，并写出自变量t的取值范围（不包括点P在B、C两点的情况）；③在②的前提下，是否存在某一时刻t，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。

实践1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 6，AB =10．点P从点C出发沿CA 以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒2个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q 的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是；（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由；（4）当DE经过点C 时，请直接．．写出t的值．2、面动：例2、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=2cm，BC=4cm，在等腰△PQR中，∠QPR=120°，底边QR=6cm，点B、C、Q、R在同一直线l上，且C、Q 两点重合，如果等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线l箭头所示方向匀速运动，t秒时梯形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积记为S平方厘米（1）当t=4时，求S的值（2）当4t≤≤10，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值实践2、已知：在Rt △ABC 中，∠B=90°，BC=4cm ，AB=8cm ，D 、E 、F 分别为AB 、AC 、BC 边上的中点。

中考数学专题复习 探索性问题复习教案 （新版）新人教版1 /111中考数学专题复习 探索性问题复习教案 （新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（中考数学专题复习 探索性问题复习教案 （新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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探索性问题一、【教材分析】二、【教学流程】2 / 1123 / 113综合运用例2（1）探究新知:如图①，已知△ABC与△ABD的面积相等,试探究AB与CD的位置关系，并说明理由．（2）结论应用:①如图②，点M，N在反比例函数xky （k＞0）的图象上，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E,F．试探究MN与EF的位置关系．②若①中的其他条件不变，只改变点M，N的位置如图③所示，试探究MN与EF的位置关系．只有认真观察图象上所给的各个数据及位置特征,灵活运用函数性质,才能找出所有的关系与结论，数形结合是解答此类问题的重要数学思想方法。

学生通过探究新知→应用新知,培养学生的探究应用能力．yNMEA BDC图①G H5 / 115击中考第二步:再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点B′，得 Rt△AB′E，如图2－6－19（2）所示;第三步：沿EB′线折叠得折痕EF，如图2－6－19⑶所示；利用展开图 2－6－19(4）所示探究：（l）△AEF是什么三角形？证明你的结论．(2）对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由．2. 如图2－6－20所示，在Rt△ABC中,6 / 116∠ACB＝90°，BC的垂直平分线DE，交BC于 D，交AB于E，F在DE上，并且A F＝CE．⑴求证:四边形ACEF是平行四边形；⑵当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论；⑶四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？完善整合1.1.知识结构图探索性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断,补充并加以证明的题型．探索性问题一般有三种类型：（1）条件探索型问题；（2）结论探索型问题；（3)探索存在型问题．条件探索型问题是指所给问题中结论明确，需要完对内容的升华理解认识7 / 1178 / 1182．本这节课你收获了什么？作业一、必做题：1、（2010.荆门中考)如图，坐标平面内一点A(2，－1）,O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（）A 。

动态探究型问题练习题型一图形运动与函数图象〖课前预习1〗如图所示：边长分别为1和2的两个正方形，其中一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，.大正方形内去掉小正方形后的面积为s，那么s与t的大致图象应为（）题型二点的运动与几何图形〖课前预习2〗△ABC中,AB=AC=5,BC=8,点P是BC边上的动点,过点P作PD⊥AB 于点D,PE⊥AC于点E,则PD+PE的长是( ）.A. 4.8B. 4.8或3.8C. 3.8D. 5题型 三 动态问题中存在探究〖课前预习3〗如图,在平面直角坐标系中,点C(−3,0),点A,B 分别在x 轴,y 轴的正半轴上,且满足0132=-+-OA OB .(1) 求点A ，点B 的坐标.(2)若点P 从C 点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB 运动，连结AP.设△ABP 的面积为S ，点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围.(3)在(2)的条件下，是否存在点P ，使以点A ，B ，P 为顶点的三角形与△AOB 相似?若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.〖举一反三1〗如图,点P是▱ABCD边上一动点,沿A→D→C→B的路径移动,设P点经过的路径长为x,△BAP的面积是y,则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是( )．〖举一反三2〗如图,Rt△ABC中,∠ACB=90∘,∠ABC=60∘,BC=2cm,D为BC的中点,若动点E以1cm/s的速度从A点出发,沿着A→B→A的方向运动,设E点的运动时间为t秒(0≤t<6)，连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（）.A 2 B2.5或3.5C3.5或4.5 D2或3.5或4.5中考链接达标检测1.（2017.济宁）如图,A,B是半径为1的⊙O上两点,且OA⊥OB,点P从点A出发,在⊙O上以每秒一个单位长度的速度匀速运动,回到点A运动结束,设运动时间为x(单位：s),弦BP的长为y,那么下列图象中可能表示y与x函数关系的是( ).)0(62>+-=a c ax ax y 2721+-=x y2.（2016•济宁）如图，已知抛物线m ：的顶点A 在x 轴上，并过点B （0，1），直线n ： 与x 轴交于点D ，与抛物线m 的对称轴L 交于点F ，过B 点的直线BE 与直线n 相交于点E （﹣7，7）．（1）求抛物线m 的解析式．（2）P 是对称轴L 上的一个动点，若以B ，E ，P 为顶点的三角形的周长最小，求点P 的坐标．（3）抛物线m 上是否存在一动点Q ，使以线段FQ 为直径的圆恰好经过点D ？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．《动态探究型问题》学情分析动态探究型问题这类题目多出现在压轴题题目中，题目难度较大，试题信息量大，对同学们获取信息和处理信息的能力要求较高，是近年来中考数学的热点题型，学生遇到这类题目时都会感到恐惧。

北师大版初中数学中考专题复习《探究式问题以及课题学习专题》精品教案一、教学目标：1. 理解探究式问题的定义和特点，掌握解决探究式问题的基本方法。

2. 培养学生的独立思考能力和创新意识，提高学生解决实际问题的能力。

3. 通过对课题学习的实践，培养学生团队合作精神和沟通交流能力。

二、教学内容：1. 探究式问题的定义和特点2. 探究式问题的解决方法3. 课题学习的组织与实施4. 初中数学中考常见的探究式问题类型及解题策略5. 历年中考探究式问题真题解析与训练三、教学重点与难点：1. 探究式问题的定义和特点2. 探究式问题的解决方法3. 课题学习的组织与实施4. 初中数学中考常见的探究式问题类型及解题策略四、教学过程：1. 导入：通过生活实例引入探究式问题，激发学生的兴趣。

2. 讲解：介绍探究式问题的定义、特点和解决方法。

3. 实践：分组讨论，选取典型案例进行探究式问题解决实践。

4. 总结：对探究式问题解决方法进行归纳和总结。

5. 布置作业：布置相关探究式问题练习，巩固所学知识。

五、教学评价：1. 学生对探究式问题的定义、特点和解决方法的掌握程度。

2. 学生在课题学习中的表现，包括团队合作、沟通交流等能力。

3. 学生完成作业的情况，以及对探究式问题的实际解决能力。

4. 结合学生平时表现和考试成绩，全面评价学生在探究式问题以及课题学习方面的进步。

六、教学策略与方法：1. 采用问题驱动的教学模式，引导学生主动探究，发现问题和解决问题。

2. 运用案例教学法，结合具体实例进行分析，提高学生的理解能力。

3. 采用小组合作学习，培养学生的团队合作精神和沟通能力。

4. 利用多媒体辅助教学，增强课堂趣味性，提高学生的学习兴趣。

5. 创设生动活泼的课堂氛围，鼓励学生提问、讨论和发表见解。

七、教学资源与工具：1. 教材：《北师大版初中数学》2. 教案与课件3. 探究式问题案例库4. 课题学习指导手册5. 多媒体教学设备6. 网络资源：相关学术文章、教学视频等八、教学计划与进度安排：1. 第一课时：探究式问题的定义与特点2. 第二课时：探究式问题的解决方法3. 第三课时：课题学习的组织与实施4. 第四课时：初中数学中考常见的探究式问题类型及解题策略（一）5. 第五课时：初中数学中考常见的探究式问题类型及解题策略（二）6. 第六课时：历年中考探究式问题真题解析与训练7. 第七课时：总结与反馈九、教学反思与改进：1. 课后收集学生反馈，了解学生的学习情况，及时调整教学方法和策略。

中考数学专题复习综合探究问题The document was prepared on January 2, 2021综合探究问题探索是一种重要的研究问题的方法，也是人们发现新知识的重要手段，非常有利于培养创新能力.探索问题包括从实践中探索、从特殊到一般的探索、存在性探索、动态探索等等.一般在各地中考都以压轴题形式出现.题型之一实践操作型综合探究问题例1 (2013·日照)问题背景:如图a,点A，B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于直线l的对称点B′,连接AB′与直线l交于点C，则点C即为所求.(1)实践运用：如图b，已知⊙O的直径CD为4，点A在⊙O上，∠ACD=30°，B为弧AD的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为 .(2)知识拓展：如图c，在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交B C于点D，E，F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程.【思路点拨】首先要深刻理解图a中的方法、过程、结论；由此在图b，c中分别找到点B关于CD，AD的对称点B′，在图b中，AB′与CD的交点就是点P的位置，所不同的是要灵活运用圆周角与圆心角关系及圆的对称性来找到相关角的度数，这样易得到其最小值；在图c中，由于点F是动态的，因此要根据“垂线段最短”这一公理来解决问题. 【解答】(1)22.(2)如图c，在斜边AC上截取AB′=AB,连接BB′. ∵AD平分∠BAC，∴点B与点B′关于直线AD对称. 过点B′作B′F⊥AB,垂足为F,交AD于E, 则线段B′F的长即为所求. 在Rt△AFB′中，∵∠BAC=45°,AB′=AB=10，∴B′F=AB′·sin45°=AB·sin 45°=10×22=52. 即BE+EF的最小值为52.方法归纳：本例是将某一问题的解决方法，运用到解决不同情景下的类似问题，这类题充分体现了实践性、探究性，其解答思路的突破点是紧扣题中交代的思想方法，结合不同情景中对应知识来解决问题.1.(2013·盐城)实践操作如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母.(保留作图痕迹，不写作法)(1)作∠BAC的平分线，交BC于点O；(2)以O为圆心，OC为半径作圆.综合运用在你所作的图中，(1)AB与⊙O的位置关系是；(直接写出答案)(2)若AC=5，BC=12，求⊙O的半径.2.(2014·江西)如图1，边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上(不与点A，B 重合)，点F在BC边上(不与点B，C重合).第一次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；第二次操作：将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H；依此操作下去…(1)图2中的△EFD是经过两次操作后得到的，其形状为，求此时线段EF的长；(2)若经过三次操作可得到四边形EFGH.①请判断四边形EFGH的形状为，此时此刻AE与BF的数量关系是；②以①中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x的函数关系式及面积y的取值范围.3.(2014·潍坊)如图1，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、BF，交点为G.(1)求证：AE⊥BF；(2)将△BCF沿BF对折，得到△BPF(如图2)，延长FP交BA的延长线于点Q，求sin∠BQP的值；(3)将△ABE绕点A逆时针方向旋转，使边AB正好落在AE上，得到△AHM(如图3)，若AM和BF相交于点N，当正方形ABCD的面积为4时，求四边形GHMN的面积.题型之二从特殊到一般的探究性问题例2 (2014·内江)如图，在△ABC中，D是BC边上的点(不与点B、C重合)，连接AD.问题引入：(1)如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD ∶S△ABC＝；当点D是BC边上任意一点时，S△ABD ∶S△ABC＝ (用图中已有线段表示).探索研究：(2)如图2，在△ABC中，O是线段AD上一点(不与点A、D重合)，连接BO、CO，试猜想S△BOC 与S△ABC之比应该等于图中哪两条线段之比，并说明理由.拓展应用：(3)如图3，O是线段AD上一点(不与点A、D重合)，连接BO并延长交AC于点F，连接CO并延长交AB于点E.试猜想ODAD+OECE+OFBF的值，并说明理由.【思路点拨】(1)两个三角形的高相等时，面积比等于底边的比；(2)当两个三角形底边相等时，面积之比等于高之比；(3)利用(2)中的结论即可解决.【解答】(1)1∶2；BD∶BC.(2)猜想S△BOC 与S△ABC之比应该等于OD∶AD.理由：如图，分别过O、A作BC的垂线OE、AF，垂足为E、F.则OE∥AF. ∴OD∶AD＝OE∶AF.∴S△BOC ＝12·BC·OE，S△ABC＝12·BC·AF，∴S△BOC∶S△ABC＝(12·BC·OE)∶(12·BC·AF)＝OE∶AF＝OD∶AD.(3)猜想ODAD+OECE+OFBF的值是1. 理由：由(2)知：OD AD +OECE+OFBF=BOCABCSS+BOAABCSS+AOCABCSS=BOC BOA AOCABCS S SS++=ABCABCSS=1.方法归纳：从特殊到一般的探究过程是一般的认知过程，重在分析特殊情况时解决问题的方法，主要是为了解决一般性的问题.这类问题一般前两问是后面问题的铺垫，其解决方法也是后问的模板.1.(2014·咸宁)如图1，P(m，n)是抛物线y=24x-1上任意一点，l是过点(0，-2)且与x轴平行的直线，过点P作直线PH⊥l，垂足为H.【探究】(1)填空：当m＝0时，OP＝，PH＝；当m＝4时，OP ＝，PH＝；【证明】(2)对任意m，n，猜想OP与PH的大小关系，并证明你的猜想.【应用】(3)如图2，已知线段AB=6，端点A，B在抛物线y=24x-1上滑动，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值.2.(2013·武汉)已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF相交于点G.(1)如图1，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证：DECF=ADCD；(2)如图2，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得DECF=ADCD成立并证明你的结论；(3)如图3，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD=90°，DE⊥CF，请直接写出DECF的值.3.(2013·烟台)已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点(不与A，B重合)，分别过点A,B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点.(1)如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与QF的数量关系是；(2)如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；(3)如图3，当点P在线段BA(或AB)的延长线上时，此时(2)中的结论是否成立请画出图形并给予证明.4.(2013·绥化)已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点(点D不与点B，C重合).以AD为边作正方形ADEF，连接CF.(1)如图1，当点D在线段BC上时，求证：CF+CD=BC；(2)如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；(3)如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变.①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；②若正方形ADEF的边长为22，对角线AE，DF相交于点O，连接OC，求OC的长度.题型之三存在性探究问题第1课时探究单个图形的形状例3 (2014·内江)如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A(-3，0)、C(0，4)，点B 在抛物线上，CB∥x轴.且AB平分∠CAO.(1)求抛物线的解析式.(2)线段AB上有一动点P，过P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；(3)抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由.【思路点拨】(1)先根据A、C两点坐标求出AC的长，再根据AB平分∠CAO，CB∥x 轴，求出B点坐标，然后根据A、B、C三点坐标求出抛物线的解析式；(2)先求出AB所在直线的解析式，用含x的代数式分别表示出P、Q两点的坐标，然后建立线段PQ的长度与x之间的函数关系式，即可求出PQ的最大值；(3)先假设存在，则分A点为直角顶点和B点为直角顶点两种情况.【解答】(1)∵A(-3，0)、C(0，4)，∴AC＝5，c=4.∵AB 平分∠CAO ，∴∠CAB ＝∠BAO. ∵CB ∥x 轴， ∴∠CBA ＝∠BAO ， ∴∠CAB ＝∠CBA ，∴AC ＝BC ＝5，∴B(5，4). 再将A(-3，0)、B(5，4)代入y ＝ax 2+bx+4，得934,2550.a b a b -=-⎧⎨+=⎩解得1,65.6a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴y ＝-16x 2+56x+4. (2)如图，设AB 的解析式为y ＝kx+b ，把A(-3，0)、B(5，4)代入，得03,45.k b k b =-+⎧⎨=+⎩解得1,23.2k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线AB 的解析式为y ＝12x+32.可设P(x ，12x+32)，Q(x ，-16x 2+56x+4)，则PQ ＝-16x 2+56x+4-(12x+32)＝-16(x-1)2+83. 当x=1时，PQ 最大，且最大值为83.(3)存在点M ，使△ABM 是以AB 为直角边的直角三角形. 如图，易知，抛物线对称轴为x=.设抛物线的对称轴交x 轴于点D,交BC 于点E ，过点A 作AM 1⊥AB ，交对称轴于点M 1，过点B 作BH ⊥x 轴于点H.∵∠BAH+∠DAM1=90°,∠M1+∠DAM1=90°, ∴∠M1=∠BAH.∴△ADM1∽△BHA,∴AD BH =1DMAH.∴3 2.54+=135DM+,解得DM1=11, ∴M1（,-11）. 再过点B作BM2⊥AB，交对称轴于点M2.同理可得，∠M2=∠CBA. 又∵∠CBA=∠BAO,∴∠M2=∠BAO.∴△M2EB∽△AHB，即BE BH =2 EM AH.∴5 2.54-=235EM+，解得EM2=5，∴DM2=5+4=9. ∴M2（,9）.∴存在点M1（,-11）、M2（，9）使△ABM是以AB为直角边的直角三角形.方法归纳：对于单个图形形状的存在性判断，先假设图形形状存在，然后根据图形的特殊性来求出存在的条件(即要求的点的坐标).当图形的形状无法确定唯一时，还要注意分类，如等腰三角形的腰与底，直角三角形中直角顶点的位置等.1.(2014·湖州)如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y=-x2+bx+c(c>0)的顶点为D，与y轴的交点为C,过点C作AC∥x轴交抛物线于点A,在AC延长线上取点B,使BC= 12AC，连接OA，OB，BD和AD.(1)若点A的坐标是(-4，4).①求b,c的值；②试判断四边形AOBD的形状，并说明理由；(2)是否存在这样的点A,使得四边形AOBD是矩形，若存在，请直接写出一个符合条件的点A的坐标；若不存在，请说明理由.2.(2014·济宁)如图，抛物线y=14x2+bx+c与x轴交于A(5,0)、B(-1,0)两点，过点A作直线AC⊥x轴，交直线y=2x于点C.（1）求该抛物线的解析式；（2）求点A关于直线y=2x的对称点A′的坐标，判定点A′是否在抛物线上，并说明理由；（3）点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA′于点M，是否存在这样的点P，使四边形PACM是平行四边形若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.3.(2014·德州)如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是(4，0)，并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上.(1)求抛物线的解析式；(2)是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；(3)过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线.垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标.4.(2014·兰州)如图，抛物线y=-12x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A(-1，0)，C(0，2).(1)求抛物线的表达式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；(3)点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标.第2课时探究两个图形的关系例4 (2013·凉山)如图，抛物线y=ax2-2ax+c(a≠0)交x轴于A、B两点，A点坐标为(3，0)，与y轴交于点C(0，4)，以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G.(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的对称轴l在边OA(不包括O、A两点)上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长.(3)在(2)的条件下，连接PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由.【思路点拨】(1)根据待定系数法即可确定抛物线的解析式；(2)先根据待定系数法确定直线AC的解析式，再求出点P、点M的纵坐标，问题即可解决；(3)需分情况讨论，①若△PFC∽△AEM，此时△PCM是直角三角形，且∠PCM=90°；②若△PFC∽△MEA，此时△PCM是等腰三角形，且PC=CM，在这两种情况下分别求出m的值.【解答】(1)∵C(0，4)，A(3，0)在抛物线y=ax2-2ax+c(a≠0)上，∴4,960.ca a c=⎧⎨-+=⎩解得4,34.ac⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴所求抛物线的解析式为y=-43x2+83x+4.(2)设直线AC的解析式为y=kx+b(k≠0)，∵A(3，0)，C(0，4)在直线AC上，∴30,4.k bb+=⎧⎨=⎩解得4,34.kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴直线AC的解析式为y=-43x+4.∴M(m，-43m+4)，P(m，-43m2+83m+4).∵点P在M的上方，∴PM=-43m2+83m+4-(-4 3m+4)，即PM=-43m2+4m（0<m<3）.(3)①若△PFC∽△AEM，此时△PCM是直角三角形，且∠PCM=90°，则PFAE=CFME，即PFCF=AEME.又∵△AEM∽△AOC，∴AEOA=MEOC，即AEME=OAOC，∴PFCF=OAOC=34.∵PF=PE-EF=-43m2+83m+4-4=-43m2+83m，CF=OE=m，∴24833m mm-+=34，即m=2316；②若△PFC∽△MEA，此时△PCM是等腰三角形，且PC=CM，则PFME=FCAE，即PF FC =ME AE.由①得OAOC=AEME=34，∴OCOA=43.∴PFFC=OCOA=43.同理，PF=-43m2+83m，CF=OE=m，∴24833m mm-+=43,即m=1.综上可得，存在这样的点P使△PFC与△AEM相似.当m=2316时，△PCM为直角三角形；当m=1时，△PCM为等腰三角形.方法归纳：对于两个图形的关系(全等或相似)的存在性探究，先假设全等或相似关系存在，然后利用全等或相似的性质求出存在的条件(要求的点的坐标).当全等或相似的对应关系未确定时，还要从对应关系的角度去分类讨论.1.(2014·威海)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(-1，0)，B(4，0)，C(0，2)三点.(1)求这条抛物线的解析式；(2)E为抛物线上一动点，是否存在点E使以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若将直线BC平移，使其经过点A，且与抛物线相交于点D，连接BD，试求出∠BDA的度数.2.(2014·丽水)如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为(2，4)，直线x=2与x轴相交于点B，连接OA，抛物线y=x2从点O沿OA方向平移，与直线x=2交于点P，顶点M到A点时停止移动.（1）求线段OA所在直线的函数解析式；(2)设抛物线顶点M的横坐标为m,①用m的代数式表示点P的坐标；②当m为何值时，线段PB最短；(3)当线段PB最短时，相应的抛物线上是否存在点Q，使△QMA的面积与△PMA的面积相等，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.题型之四动态探究问题第1课时动点问题例5 (2013·呼和浩特)如图，已知二次函数的图象经过点A(6，0)、B(-2，0)和点C(0，-8).(1)求该二次函数的解析式；(2)设该二次函数图象的顶点为M，若点K为x轴上的动点，当△KCM的周长最小时，点K的坐标为；(3)连接AC，有两动点P、Q同时从点O出发，其中点P以每秒3个单位长度的速度沿折线OAC按O→A→C的路线运动，点Q以每秒8个单位长度的速度沿折线OCA 按O→C→A的路线运动，当P、Q两点相遇时，它们都停止运动.设P、Q同时从点O出发t秒时，△OPQ的面积为S.①请问P、Q两点在运动过程中，是否存在PQ∥OC，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；②请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；③设S0是②中函数S的最大值，直接写出S的值.【思路点拨】(1)根据题意，可设二次函数的解析式为y=a(x+2)(x-6)，将点C(0，-8)代入求出a即可；(2)作C关于x轴的对称点C′，连接C′M与x轴的交点即为所求的点K.用待定系数法求得直线C′M的解析式，令y=0即可得K的坐标；(3)①先假设存在，根据PQ∥OC求出t的值，然后在t的取值范围内检验;②分0≤t≤1、1<t≤2、2<t≤2411三种情况分别求出S关于t的函数关系式；③分别求出②问中每个解析式的最大值，再作比较.【解答】(1)设二次函数的解析式为y=a(x+2)(x-6)，∵图象过点C(0，-8)，∴a·2·(-6)=-8，解得a=2 3 .∴二次函数的解析式为y=23x2-83x-8.(2)作C关于x轴的对称点C′，连接C′M与x轴的交点即为所求的K点.设yC′M =kx+b,将C′(0,8)与M(2,-323),代入求得直线C′M的解析式为y=-283x+8.∴K(67,0).(3)①不存在PQ∥OC.理由：若PQ∥OC，则点P、Q分别在线段OA、CA上.此时1<t<2. ∵PQ∥OC，∴△APQ∽△AOC，∴APAO=AQAC.∵AP=6-3t，AQ=18-8t，∴636t-=18810t-，解得t=83. 又∵t=83>2，不满足1<t<2，∴不存在PQ∥OC.②分情况讨论如下：情况1：当P、Q分别在线段OA、OC上时，0≤t≤1，则S=12OP·OQ=12×3t·8t，即S=12t2；情况2：当P、Q分别在OA、CA上时，1<t≤2.作QE⊥OA，垂足为E.则S=12OP·EQ=12×3t×72325t-，即S=-485t2+1085t；情况3：当P、Q都在AC上时，2<t≤2411.作OF ⊥AC，垂足为F，则OF=24 5.此时S=12QP·OF=12×(24-11t)×245，即S=-1325t+2885.综上所述，S=2212(01),48108(12),5513228824(2).5511t tt t tt t⎧⎪≤≤⎪⎪-+<≤⎨⎪⎪-+<≤⎪⎩③S0=24320. （提示：当0≤t≤1时，t=1时，S最大=12；当1<t≤2时，t=98时，S最大=24320；当2<t≤2411时，S的最大值不超过245. ∴S=24320.）方法归纳：对确定了速度的动点问题，无论是单动点题型还是多动点题型，重点是抓住决定整道题的关键动点，将动点问题转化为方程问题或函数问题来解决，解决动点问题需要注意分段和线段长度的表达.1.(2014·宿迁)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=8 cm，BC=4 cm，CD=5 cm.动点P从点B开始沿折线BC-CD-DA以1 cm/s的速度运动到点A.设点P运动的时间为t(s)，△PAB的面积为S(cm2).(1)当t=2时，求S的值；(2)当点P在边DA上运动时，求S关于t的函数表达式；(3)当S=12时，求t的值.2.(2014·烟台)在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动.(1)如图1，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接AE和DF，交于点P，请你写出AE与DF的关系，并说明理由；(2)如图2，当点E，F分别移动到边DC，CB的延长线上时，连接AE和DF，(1)的结论还成立吗(请直接回答“是”或“否”，不需证明)(3)如图3，当E、F分别在CD、BC的延长线上移动时，连接AE和DF，(1)的结论还成立吗请说明理由；(4)如图4，当E、F分别在DC、CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点EF的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P的运动路径的草图，若AD＝2，试求出线段CP的最小值.3.(2014·福州)如图1，点O在线段AB上，AO=2，OB=1，OC为射线，且∠BOC=60°，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动，设运动时间为t秒.(1)当t=12秒时，则OP= ，S△ABP= ；(2)当△ABP是直角三角形时，求t的值；(3)如图2，当AP=AB时，过点A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，求证：AQ·BP=3.4.(2014·武汉)如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6 cm，BC=8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒(0＜t＜2)，连接PQ.(1)若△BPQ与△ABC相似，求t的值；(2)如图2，连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值；(3)试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上.第2课时动线问题例6 如图，直线l的解析式为y=-x+4，它与x轴，y轴分别相交于A，B两点.平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方形以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴，y轴分别相交于M，N两点，设运动时间为t秒(0<t≤4).(1)求A，B两点的坐标；(2)用含t的代数式表示△MON的面积S1；(3)以MN为对角线作矩形OMPN，记△MPN和△OAB重合部分的面积为S2.①当2<t≤4时，试探究S2与t之间的函数关系式；②在直线m的运动过程中，当t为何值时，S2为△OAB面积的516【思路点拨】要解答本题必须注意如下几点：①ON=OM，OA=OB，ON，OM要用含t的代数式表示，易得S1与t的关系式；②当2＜t≤4时，点P在△OAB的外面，PF，PE要用含t的代数式表示；③当S2等于△OAB面积的516时，要弄清点M落在OA的中点的左边还是右边.【解答】(1)当x=0时，y=4；当y=0时，x=4. ∴A(4，0)，B(0，4).(2)∵MN∥AB，∴OMON=OAOB=1.∴OM=ON=t.∴S1=12OM·ON=12t2.(3)如图，①当2<t≤4时，易知点P在△OAB的外面，则点P的坐标为(t，t),F(t，4-t)，E(4-t，t)，则PF=PE=|t-(4-t)|=2t-4. ∴S2=S△MPN-S△PEF=S△OMN-S△PEF=12t2-12PE·PF=12t2-12(2t-4)(2t-4)=-12t2+8t-8.②当0<t≤2时，S2=12t2，由S2=516S△OAB，得1 2t2=516×12×4×4=52.解得t15，t25，两个都不合题意，舍去；当2<t≤4时，由题意，得S2=-32t2+8t-8=52.解得t3=3，t4=73. 综上得，当t=73或3时，S2为△OAB面积的516.方法归纳：解答此类题先要画出各个关键时刻的图形，再由“动”变“静”设法分别求解.用分类思想画图的方法在解动态几何题中非常有效，它可帮助我们理清思路，突破难点.1.(2014·兰州)如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是边长为4的正方形，平行于对角线BD的直线l从O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l与正方形没有交点为止.设直线l扫过正方形OBCD的面积为S，直线l运动的时间为t(秒)，下列能反映S与t之间函数关系的图象是( )2.(改编)如图，已知点A(6，经过A，B的直线l以每秒1个单位的速度向下作匀速平移运动，与此同时，点P从点B出发，在直线l上以每秒1个单位的速度沿直线l向右下方向作匀速运动.设它们运动的时间为t秒.(1)用含t的代数式表示点P的坐标；(2)过O作OC⊥AB于C，问：t为何值时，以P为圆心，1为半径的圆与直线OC相切3.(2014·衡阳)如图，直线AB与x轴相交于点A(-4，0)，与y轴相交于点B(0，3)，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿直线AB向点B移动，同时，将直线y=34x以每秒个单位长度的速度向上平移，交OA于点C，交OB于点D，设运动时间为t(0<t<5)秒.(1)证明：在运动过程中，四边形ACDP总是平行四边形；(2)当t取何值时，四边形ACDP为菱形请指出此时以点D为圆心、OD长为半径的圆与直线AB的位置关系并说明理由.第3课时动形问题例7 (2014·重庆A卷)已知，如图1，在矩形ABCD中，AB＝5，AD=203，AE⊥BD，垂足是E.点F是点E关于AB的对称点，连接AF、BF.(1)求AE和BE的长；(2)若将△ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m(平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度)，当点F分别平移到线段AB、AD上时，直接写出相应的m的值；(3)如图2，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α(0°<α<180°)，记旋转中的△ABF为△A′BF′，在旋转过程中，设A′F′所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD交于点Q.是否存在这样的P、Q两点，使△DPQ为等腰三角形若存在，求出此时DQ的长；若不存在，请说明理由.【思路点拨】(1)直接利用勾股定理和三角形的面积求出AE、BE的长；(2)过F点作BD的平行线，交AB于G点，交AD于H点,FG的长度是F点平移到AB 的距离，FH的长度是F点平移到AD的距离.(3)△ABF在绕点B旋转的过程中，A′F′与BD所在直线的交点有可能在BD上，也有可能在BD的延长线上.画出不同时刻的图形，结合△DPQ为等腰三角形，即可求出DQ的长.【解答】(1)∵AB=5,AD=203,∴BD=22AB AD+=253.∵S△ABD =12AB·AD=12BD·AE.∴12×5×203=12×253AE，即AE=4.∴BE=22AB AE-=2254-=3.(2)过F点作BD的平行线，交AB于G点，交AD于H点.∵ FG=FB=BE,∴当点F在线段AB上时，m=3；图1中，过点F作FM⊥DA，交其延长线于M，作FI⊥AB交AB于I.由面积关系及勾股定理可求FI=MA=125,MF=165,GI=95,AG=MF-GI=75. 由AG MF =AHAH AM+,可知MH=AH+AM=6415.∴FH=22MH MF+=163. 即点F在线段AD上时，m=163.(3)存在.理由如下：①若点Q在线段BD的延长线上时，如图3，则∠Q=∠1，则有∠2=∠1+∠Q=2∠Q，∠3=∠4+∠Q,∠3=∠2,∠4+∠Q=2∠Q,∴∠4=∠Q,∴A′Q=A′B=5,F′Q=A′F′+A′Q=9. 在Rt△BF′Q中，F′Q2+F′B2=BQ2，∴92+32=(253+DQ)2,解得DQ=310-253或DQ=-310-253(舍)；②若点Q 在线段BD 上时，如图4.∠1=∠2=∠4，∵∠1=∠3，∴∠3=∠4，∵∠3=∠5+∠A ′,∠A ′=∠CBD,∠3=∠5+∠CBD=∠A ′BQ, ∴∠4=∠A ′BQ,∴A ′Q=A ′B=5, ∴F ′Q=5-4=1.∴BQ=∴DQ=BD-BQ=253综上所述，DQ 的长为3253或253 方法归纳：图形的运动变换主要有平移、旋转和翻折这三种基本变换，运用这几种全等变换的特征是解决问题的关键.1.(2014·资阳)如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的一个交点为A （3,0），与y 轴的交点为B （0,3），其顶点为C ，对称轴为x=1.（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M 为y 轴上的一个动点，当△ABM 为等腰三角形时，求点M 的坐标；（3）将△AOB 沿x 轴向右平移m 个单位长度（0<m<3）得到另一个三角形，将所得的三角形与△ABC 重叠部分的面积记为S ，用m 的代数式表示S.2.(2013·娄底)如图，在△ABC 中，∠B=45°，BC=5，高AD=4，矩形EFPQ 的一边QP 在BC 边上，E ，F 分别在AB ，AC 上，AD 交EF 于点H.(1)求证：AH AD =EF BC； (2)设EF=x ，当x 为何值时，矩形EFPQ 的面积最大并求出最大面积；(3)当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线DA匀速向上运动(当矩形的边PQ到达A点时停止运动)，设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围.3.(2013·重庆)已知，在矩形ABCD中，E为BC边上一点，AE⊥DE，AB=12，BE=16，F为线段BE上一点，EF=7，连接AF.如图1，现有一张硬质纸片△GMN，∠NGM=90°，NG=6，MG=8，斜边MN与边BC在同一直线上，点N与点E重合，点G在线段DE上.如图2，△GMN从图1的位置出发，以每秒1个单位的速度沿EB向点B 匀速移动，同时，点P从A点出发，以每秒1个单位的速度沿AD向点D匀速移动，点Q为直线GN与线段AE的交点，连接PQ.当点N到达终点B时，△GMN和点P同时停止运动.设运动时间为t秒，解答下列问题：(1)在整个运动过程中，当点G在线段AE上时，求t的值；(2)在整个运动过程中，是否存在点P，使△APQ是等腰三角形.若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；(3)在整个运动过程中，设△GMN与△AEF重叠部分的面积为S，请直接写出S与t 之间的函数关系式以及自变量t的取值范围.。

研究性问题复习教课设计一、【教材剖析】1.经过察看、类比、操作、猜想、研究等活动，认识研究性数学识题中的知识常有四大种类 , 并领会解题策略 .技术 2. 可以依据相应的解题策略解决研究性问题.教 3. 使学生会关注研究性数学识题，提升学生的解题能力.学过程在研究性数学识题中，领会解题策略，浸透数学思想.目方法标感情在经过对研究性数学识题的学习，使学生获得新知，并激发学生的学习兴态度趣，鼓舞其敢于研究创新 .教课条件研究型、结论研究型、规律研究型的问题.要点教课对各研究型问题策略的理解 .难点二、【教课流程】教课教课识题设计环节【回首练习】引入——研究性问题知1.请写出一个比 5 小的整数_____．2. 察看下边的一列单项式：x ，2x2， 4x3，识8x4，依据你发现的规律，第7 个单项式为；第 n 个单项式为回3. 察看算式：42 12 3 5 ；52 22 3 7 ；顾62 32 3 9师生活动二次备课给出问题根据条的条件, 让解件，结题者依据条件合已学研究相应的结知识、论，而且切合数学思条件的结论往想方法，通往体现多样过分析性．归纳逐步得出结论，或通过观察、7 2 4 2 3 11；实验、猜想、论证的则第 n （ n 是正整数）个等式为________. 方法求4. 如图，在△ ABC 中， AB＝ AC， AD ⊥BC 于 D．解 .由以上两个条件可得________．(写出一个结论)A12B D C综合运【自主研究】例 1 抛物线 y＝ ax2＋ bx＋ c 的部分图象以下图，依据这个函数图象，你能获得对于该函数的那些性质和结论？例 2（1）研究新知：如图①，已知△ ABC 与△ ABD的面积相等，尝试究 AB 与 CD 的地点关系，并说明原因．（ 2）结论应用：①如图②，点M，N 在反比率函此类图象信息开放题，只有仔细察看图象上所给的各个数据及地点特征，灵巧运用函数性质，才能找出全部的关系与结论，数形联合是解答此类问题的学生通重要数学思想过探究方法.新知→应用新知，培养学生的探究应用能力．数y k（ k＞0）的图象上，过点M 作 ME⊥yx用轴，过点N 作 NF ⊥ x 轴，垂足分别为E，F．尝试究 MN 与 EF 的地点关系．②若①中的其余条件不变，只改变点M，N 的位置如图③所示，尝试究MN 与 EF 的地点关系．CDGAB H图①yMEN NOF x图②yMEFO x DN图③【组内沟通】学生依据问题解决的思路和解题中所体现的问题进行组内沟通，概括出方法、规律、技巧.【成就展现】依据题目的难易程度小组内派出不一样层次的学生展现自己的成就要求：总结出基本图形展现自己的思路1.取一张矩形的纸进行折叠，详细操作过程以下：第一步：先把矩形 ABCD 对折，折痕为 MN ，如图 2 － 6－ 19（ 1）所示；直击中第二步：再把 B 点叠在折痕线 MN 上，折痕为 AE ，点 B 在 MN 上的对应点 B′，得 Rt△ AB′E，如图 2－ 6－ 19（ 2）所示；第三步：沿EB′线折叠得折痕EF ，如图 2－ 6－19 ⑶所示；利用睁开图 2 － 6－ 19（ 4）所示探究：（l ）△ AEF 是什么三角形？证明你的结论．（2）对于任一矩形，依据上述方法能否都能折出这类三角形？请说明原因．2.如图2－6－20 所示，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°， BC 的垂直均分线 DE，交 BC 于 D ，交AB 于 E，F 在 DE 上，而且 A F＝CE．⑴求证：四边形ACEF 是平行四边形；⑵当∠ B 的大小知足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论；考⑶四边形 ACEF 有可能是正方形吗？为何？1.1.知识结构图研究性问题是指命题中缺乏必定的条件或无明确的结论，需要经过推测，增补并加以证明的题对内容型．研究性问题一般有三种种类：（1）条件研究型的升华问题；（ 2）结论研究型问题；（ 3）研究存在型问题．条理解认件研究型问题是指所给问题中结论明确，需要齐备识条件的题目；结论研究型问题是指题目中结论不确完定，不独一，或题目结论需要类比，引申推行，或题目给出特例，要经过概括总结出一般结论；研究存在型问题是指在必定的前提下，需研究发现某种善数学关系能否存在的题目．研究型问题拥有较强的综合性，因此解决此类整问题用到了所学过的整个初中数学知识．常常用到的知识是：一元一次方程、平面直角坐标系、一次函数与二次函数分析式的求法（图象及其性质）、合直角三角形的性质、四边形（特别）的性质、相像三角形、解直角三角形等．此顶用几何图形的某些特别性质：勾股定理、相像三角形对应线段成比率等来结构方程是解决问题的主要手段和门路．所以复习中既要重视基础知识的复习，又要增强变式训练和数学思想方法的研究，确实提升剖析问题、解决问题的能力．2．本这节课你收获了什么？一、必做题：1、(2010. 荆门中考 ) 如图，坐标平面内一点A(2 ，－ 1) ，O 为原点，P 是 x 轴上的一个动点，假如以点P、O、A为极点的三角形是等腰三角形，那么切合条件的动点 P的个数为 ( )A.2B.3C.4D.52、已知（ x1， y1），(x2， y2)为反比率函数y k图x象上的点，当x1＜x2＜0 时，作y1＜ y2，则 k 的值可为 ___________.（只要写出切合条件的一个．． k 的值）二、选做题：业3、（ 2010. 山东临沂）如图 1，已知矩形 ABED ，点C 是边 DE 的中点，且 AB=2AD.(1)判断△ ABC 的形状，并说明原因；(2)保持图 1 中的△ ABC 固定不变，绕点 C 旋转 DE所在的直线MN 到图 2 中的地点（当垂线段AD 、第 1、2 题学生以生为课下独立完本，正成，持续讲堂 . 视学生学习能力、认知水平等个体差异，让不同的学生都能学有所得，学有所成，体验学习带来的成功与快乐 .BE 在直线 MN 的同侧） . 尝试究线段 AD 、BE、DE长度之间有什么关系？并赐予证明；第 3 题课下交(3) 保持图 2 中的△ ABC 固定不变，持续绕点 C 旋流议论有选择转 DE 所在的直线 MN 到图 3 中的地点（当垂线段性达成 . AD、BE 在直线 MN 的异侧） . 尝试究线段 AD、BE、DE 长度之间有什么关系？并赐予证明 .三、【板书设计】例（ 1）例（2）易错点总结：四、【教后反省】近几年中考数学试题坚持新题不难、难题不怪的命题方向，有的知识点看起来在课本中没有出现过，但它属于一捅就破的状况，出现的可能也是有的。