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[.基础达标]．已知双曲线的右焦点为(，)，＝，则的标准方程是( )－＝－＝－＝－＝解析：选.由题意可知＝，＝，＝＝＝，故双曲线的标准方程为－＝.．“<<”是“方程＋＝表示双曲线”的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．充要条件．既不充分也不必要条件解析：选.方程＋＝表示双曲线的充要条件是(－)(－－)<，即(－)(－)·(＋)<.解得<－或<<.故“<<”⇒“<－或<<”，但“<－或<<”⇒“<<”，所以选.．已知△的顶点，分别为双曲线：－＝的左、右焦点，顶点在双曲线上，则的值等于( )解析：选＝＝＝＝.．已知，为双曲线－＝的左，右焦点，点在该双曲线上，且＝，则∠＝( )解析：选.双曲线方程可化为－＝，＝＝，＝，由得＝，＝，又因为＝＝，在△中，由余弦定理得∠＝＝＝.．如图，△外接圆半径＝，∠＝°，＝，弦在轴上且轴垂直平分边，则过点且以，为焦点的双曲线的方程为( ) －＝(＜) －＝(＜)－＝(＜) －＝(＜)解析：选.由正弦定理：＝，得＝.由余弦定理：＝＋－∠，得＝，所以＝＝，得＝，因为＝，所以＝，所以该双曲线的方程为－＝(＜)．．若双曲线－＝的一个焦点为(，)，则的值为．解析：依题意，双曲线方程可化为－＝，已知一个焦点为(，)，所以－－＝，解得＝－.答案：－．已知双曲线－＝(＞，＞)的两个焦点分别为(－，)，(，)，点(，)在双曲线上，则双曲线的方程为．解析：因为＝，＝，所以＝＝，即＝，又因为＝，所以＝＝，所以该双曲线的方程为－＝.答案：－＝．已知为双曲线：－＝的左焦点，，为上的点．若＝，点(，)在线段上，则△的周长为．解析：显然点(，)为双曲线的右焦点．由题意得，－＝，－＝，两式相加，利用双曲线的定义得＋＝，所以△的周长为＋＋＝.答案：．设圆与两圆(＋)＋＝，(－)＋＝中的一个内切，另一个外切．求圆心的轨迹的方程．解：依题意得两圆的圆心分别为(－，)，(，)，从而可得＋＝－或＋＝－，所以－＝<＝，所以圆心的轨迹是双曲线，其中＝，＝，＝－＝，故圆心的轨迹的方程是－＝.．双曲线－＝的两个焦点为，，点在双曲线上．若⊥，求点到轴的距离．解：设点坐标为(，)，而(－，)，(，)，则＝(－－，－)，＝(－，－)．因为⊥，所以·＝，即(－－)(－)＋(－)·(－)＝，整理，得＋＝.①又因为(，)在双曲线上，所以)－)＝.②联立①②，得＝，即＝.因此点到轴的距离为.联立①②，得＝，即＝.因此点到轴的距离为.[.能力提升]．如图，从双曲线－＝的左焦点引圆＋＝的切线交双曲线右支于点，为切点，为线段的中点，为坐标原点，则－等于( )＋－解析：选－＝－(－)＝－(－)＝－×＝－.．已知为双曲线－＝(＞，＞)右支上一点，，分别为双曲线的左、右焦点，是△的内心，若△＝△＋λ△成立，则λ的值为( )解析：选.设△的内切圆半径为.则△＝，△＝，△＝，由△＝△＋λ△得λ＝－＝，即λ·＝得λ＝＝.．若点在曲线：－＝上，点在曲线：(－)＋＝上，点在曲线：(＋)＋＝上，则－的最大值是．解析：连接并延长交于点，连接交于点.－≤－＝(＋)－(－)＝－＋＝＋＝.答案：．已知双曲线的方程为－＝，如图，点的坐标为(－，)，是圆＋(－)＝上的点，点为其圆心，点在双曲线的右支上，则＋的最小值为．。
§3 双曲线3.1 双曲线及其标准方程课时目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题．1．双曲线的有关概念(1)双曲线的定义平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于__________)的点的集合叫作双曲线．平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于|F1F2|时的点的轨迹为________________________________________．平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值大于|F1F2|时的点的轨迹__________．(2)双曲线的焦点和焦距双曲线定义中的两个定点F1、F2叫作________________，两焦点间的距离叫作______________． 2．双曲线的标准方程(1)焦点在x 轴上的双曲线的标准方程是____________________，焦点F 1__________，F 2__________.(2)焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是____________________，焦点F 1__________，F 2__________.(3)双曲线中a 、b 、c 的关系是________________．一、选择题1．已知平面上定点F 1、F 2及动点M ，命题甲：||MF 1|－|MF 2||＝2a(a 为常数)，命题乙：M 点轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线，则甲是乙的( ) A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若ax 2＋by 2＝b(ab<0)，则这个曲线是( ) A ．双曲线，焦点在x 轴上 B ．双曲线，焦点在y 轴上 C ．椭圆，焦点在x 轴上 D ．椭圆，焦点在y 轴上3．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( ) A ．x 2－y 23＝1 B .x23－y 2＝1C ．y 2－x 23＝1 D .x 22－y22＝14．双曲线x 2m －y23＋m＝1的一个焦点为(2,0)，则m 的值为( )A .12B ．1或3C .1＋22 D .2－125．一动圆与两圆：x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为( ) A ．抛物线 B ．圆C ．双曲线的一支D ．椭圆6．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是( ) A .x 24－y 2＝1 B ．x 2－y24＝1 C .x 22－y 23＝1 D .x 23－y22＝1二、填空题7．设F 1、F 2是双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1|·|PF 2|＝________________________________________________________________________. 8．已知方程x 21＋k －y21－k＝1表示双曲线，则k 的取值范围是________．9．F 1、F 2是双曲线x 29－y216＝1的两个焦点，P 在双曲线上且满足|PF 1|·|PF 2|＝32，则∠F 1PF 2＝________________________________________________________________________. 三、解答题10．设双曲线与椭圆x 227＋y236＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，求此双曲线的标准方程．11．在△ABC 中，B(4,0)、C(－4,0)，动点A 满足sin B －sin C ＝12sin A ，求动点A的轨迹方程．能力提升12．若点O 和点F(－2,0)分别为双曲线x 2a 2－y 2＝1(a>0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为( )A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞)C ．[－74，＋∞) D ．[74，＋∞)13．已知双曲线的一个焦点为F(7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为－23，求双曲线的标准方程．§3 双曲线3．1 双曲线及其标准方程 知识梳理1．(1)|F 1F 2| 以F 1，F 2为端点的两条射线 不存在 (2)双曲线的焦点 双曲线的焦距2．(1)x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0) (－c,0) (c,0)(2)y 2a 2－x2b 2＝1(a>0，b>0) (0，－c) (0，c) (3)c 2＝a 2＋b 2作业设计1．B [根据双曲线的定义，乙⇒甲，但甲 乙， 只有当2a<|F 1F 2|且a≠0时，其轨迹才是双曲线．]2．B [原方程可化为x 2b a＋y 2＝1，因为ab<0，所以b a <0，所以曲线是焦点在y 轴上的双曲线．]3．A [∵双曲线的焦点在x 轴上，∴设双曲线方程为x 2a 2－y2b 2＝1 (a>0，b>0)．由题知c ＝2，∴a 2＋b 2＝4.①又点(2,3)在双曲线上，∴22a 2－32b2＝1.②由①②解得a 2＝1，b 2＝3，∴所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.]4．A [∵双曲线的焦点为(2,0)，在x 轴上且c ＝2，∴m＋3＋m ＝c 2＝4.∴m＝12.]5．C [由题意两定圆的圆心坐标为O 1(0,0)，O 2(4,0)，设动圆圆心为O ，动圆半径为r ，则|OO 1|＝r ＋1，|OO 2|＝r ＋2，∴|OO 2|－|OO 1|＝1<|O 1O 2|＝4，故动圆圆心的轨迹为双曲线的一支．]6．B [设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，因为c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，所以b 2＝5－a 2，所以x 2a2－y25－a2＝1.由于线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则P 点的坐标为(5，4)．代入双曲线方程得5a 2－165－a 2＝1，解得a 2＝1或a 2＝25(舍去)，所以双曲线方程为x 2－y 24＝1.]7．2解析 ∵||PF 1|－|PF 2||＝4， 又PF 1⊥PF 2，|F 1F 2|＝25，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝20，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＝20－2|PF 1||PF 2|＝16，∴|PF 1|·|PF 2|＝2. 8．－1<k<1解析 因为方程x 21＋k －y21－k＝1表示双曲线，所以(1＋k)(1－k)>0.所以(k ＋1)(k －1)<0. 所以－1<k<1. 9．90°解析 设∠F 1PF 2＝α，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2. 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得(2c)2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos α，∴cos α＝r 1－r 22＋2r 1r 2－4c 22r 1r 2＝36＋64－10064＝0.∴α＝90°.10．解 方法一 设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1 (a>0，b>0)，由题意知c 2＝36－27＝9，c ＝3.又点A 的纵坐标为4，则横坐标为±15，于是有⎩⎪⎨⎪⎧42a2－±152b 2＝1，a 2＋b 2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5.所以双曲线的标准方程为y 24－x25＝1.方法二 将点A 的纵坐标代入椭圆方程得 A(±15，4)，又两焦点分别为F 1(0,3)，F 2(0，－3)． 所以2a ＝|±15－02＋4＋32－±15－02＋4－32|＝4，即a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5，所以双曲线的标准方程为y 24－x25＝1.11．解 设A 点的坐标为(x ，y)，在△ABC 中，由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，代入sin B －sin C ＝12sin A ，得|AC|2R －|AB|2R ＝12·|BC|2R ，又|BC|＝8， 所以|AC|－|AB|＝4.因此A 点的轨迹是以B 、C 为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)且2a ＝4,2c ＝8，所以a ＝2，c ＝4，b 2＝12.所以A 点的轨迹方程为x 24－y212＝1 (x>2)．12．B[由c ＝2得a 2＋1＝4， ∴a 2＝3，∴双曲线方程为x 23－y 2＝1.设P(x ，y)(x≥3)，OP →·FP →＝(x ，y)·(x＋2，y)＝x 2＋2x ＋y 2＝x 2＋2x ＋x 23－1＝43x 2＋2x －1(x≥3)．令g(x)＝43x 2＋2x －1(x≥3)，则g(x)在[3，＋∞)上单调递增．g(x)min ＝g(3)＝3＋2 3.∴OP →·FP →的取值范围为[3＋23，＋∞)．]13．解 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y2b2＝1，且c ＝7，则a 2＋b 2＝7.①由MN 中点的横坐标为－23知，中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－53.设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y22b 2＝1，得b 2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－a 2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. ∵⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－43y 1＋y 2＝－103，且y 1－y 2x 1－x 2＝1，∴2b 2＝5a 2.②由①，②求得a 2＝2，b 2＝5.∴所求双曲线的标准方程为x 22－y25＝1.。
第三章§课时作业一、选择题．双曲线－＝的焦距为( )．．．．解析：由双曲线的标准方程可知，＝，＝.于是有＝＋＝，则＝.故选.答案：．已知双曲线的＝，＝，则该双曲线的标准方程为( )．－＝．－＝．－＝或－＝．－＝或－＝解析：因为＝－＝－＝，且焦点位置不确定，所以所求双曲线的标准方程为－＝或－＝.答案：．[·福建宁德一模]已知椭圆＋＝(>)与双曲线－＝有相同的焦点，则的值为( )．．．．解析：因为椭圆＋＝(>)与双曲线－＝有相同的焦点(±，)，则有－＝，∴＝.选.答案：．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为(－，)，点位于该双曲线上，线段的中点坐标为()，则该双曲线的方程是( )．－＝．－＝．－＝．－＝解析：设双曲线方程为－＝(>，>)，因为＝，＝＋，所以＝－，所以－＝.由于线段的中点坐标为()，则点的坐标为(，)．代入双曲线方程得－＝，解得＝或＝(舍去)，所以双曲线方程为－＝.故选.答案：二、填空题．设是常数，若点()是双曲线－＝的一个焦点，则＝.解析：由点()可知该双曲线－＝的焦点落在轴上，所以>，且＋＝，解得＝.答案：．已知是双曲线－＝上一点，，是双曲线的两个焦点，若＝，则的值为．解析：由双曲线方程－＝知，＝，＝，则＝＝.∵是双曲线上一点，∴－＝＝，又＝，∴＝或＝.又≥－＝，∴＝.答案：．在△中，(－)，()，直线，的斜率乘积为，则顶点的轨迹方程为．解析：设顶点的坐标为(，)，根据题意，得·＝，化简，得－＝(≠±)．故填－＝(≠±)．答案：－＝(≠±)三、解答题．求适合下列条件的双曲线的标准方程：()以椭圆＋＝的长轴端点为焦点，且经过点(，)；()过点(，－)，(，)．解：()因为椭圆＋＝的长轴端点为(－)，()，所以所求双曲线的焦点为(－)，()．由双曲线的定义知，－＝＝＝，即＝，则＝.又＝，所以＝－＝.故所求双曲线的标准方程为－＝.()设双曲线的方程为＋＝(<)，分别将点(，－)，(，)代入，得(\\(＋＝,()＋＝))，解得(\\(＝－()＝()))，故所求双曲线的标准方程为－＝.．已知曲线－＝.()当曲线是椭圆时，求实数的取值范围，并写出焦点坐标；()当曲线是双曲线时，求实数的取值范围，并写出焦点坐标．解：()曲线为椭圆⇔(\\(－>,－>－≠－))⇔(\\(<<))⇔<.即实数的取值范围是(－∞，)．此时，椭圆的焦点在轴上，坐标为(±)．()曲线为双曲线⇔(－)>⇔<<.即实数的取值范围是()．此时，双曲线的焦点在轴上，坐标为(±)．。
2016-2017学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.3.1 双曲线及其标准方程课后演练提升 北师大版选修2-1一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知平面上定点F 1、F 2及动点M ，命题甲：||MF 1|－|MF 2||＝2a (a 为常数)，命题乙：M 点的轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线，则甲是乙的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析： 根据双曲线的定义：乙⇒甲，但甲⇒/乙，只有当2a ＜|F 1F 2|且a ≠0时，其轨迹才是双曲线．答案： B2．已知双曲线x 29－y 216＝1上一点P 到双曲线的一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离为( )A ．3B ．5C ．6D ．9解析： 由x 29－y 216＝1得a 2＝9，∴a ＝3， 根据双曲线定义|d －3|＝2a ＝6，∴d ＝9或d ＝－3(舍)．答案： D3．已知椭圆C 1的离心率为35，焦点在x 轴上且长轴长为10，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的差的绝对值等于4，则曲线C 2的标准方程为( )A.x 24－y 25＝1 B.x 25－y 24＝1 C.x 252－y 242＝1 D.x 242－y 252＝1 解析： 由题意知椭圆C 1的两个焦点为(－3,0)，(3,0)．设曲线C 2的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则有a 2＋b 2＝9，且2a ＝4.∴a 2＝4，b 2＝5，故选A.答案： A4．k ＞9是方程x 29－k ＋y 2k －4＝1表示双曲线的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件解析： 原方程表示双曲线的充要条件是(9－k )(k －4)＜0，即k ＞9或k ＜4，故k ＞9是原方程表示双曲线的充分不必要条件．答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5．若双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点为(0,3)，则k ＝________.解析： 依题意，双曲线方程可化为y 2－8k －x 2－1k＝1， 所以－8k －1k＝9，解得k ＝－1. 答案： －16．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，在左支上过F 1的弦AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF2的周长是________．解析： 由双曲线的定义|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|BF 2|－|BF 1|＝2a ，∴|AF 2|＋|BF 2|－|AB |＝4a ，∴△ABF 2的周长为4a ＋2|AB |＝26.答案： 26三、解答题(每小题10分，共20分)7．分别求符合下列条件的双曲线的标准方程．(1)一个焦点坐标为F 1(0，－13)，双曲线上一点P 到两焦点距离之差的绝对值为24；(2)求与椭圆x 225＋y 25＝1共焦点且过点(32，22)的双曲线的方程． 解析： (1)由题意，双曲线的焦点在y 轴上，因此可设其标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1. ∵2a ＝24，∴a ＝12.∵一个焦点坐标为F 1(0，－13)，∴c ＝13，∴b 2＝c 2－a 2＝25.∴双曲线的方程为y 2144－x 225＝1. (2)椭圆x 225＋y 25＝1的焦点为(25，0)，(－25，0)， 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1， 则a 2＋b 2＝20.①又∵过点(32，22)，∴18a 2－8b2＝1.② 由①②，得a 2＝10，b 2＝10∴双曲线方程为x 210－y 210＝1. 8．过双曲线x 2144－y 225＝1的一个焦点作x 轴的垂线，求垂线与双曲线的交点到两焦点的距离．解析： ∵双曲线方程为x 2144－y 225＝1， ∴c ＝144＋25＝13，于是焦点坐标为F 1(－13,0)、F 2(13,0)，设过点F 1且垂直于x 轴的直线l 交双曲线于A (－13，y )(y ＞0)，∴y 225＝132144－1＝25144， ∴y ＝2512，即|AF 1|＝2512. 又∵|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝24，∴|AF 2|＝24＋|AF 1|＝24＋2512＝31312. 故垂线与双曲线的交点到两焦点的距离为2512和31312. 尖子生题库☆☆☆9．(10分)在△ABC 中，已知|AB |＝42，且三内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C ＝2sinB，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程，并指明它表示什么曲线．解析： 如图所示，以AB 所在直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (－22，0)，B (22，0)．由正弦定理得sin A ＝|CB |2R， sin B ＝|CA |2R ，sin C ＝|AB |2R. ∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ，∴2|CB |＋|AB |＝2|CA |.从而有|CA |－|CB |＝12|AB |＝22<|AB |， 由双曲线定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支．∵a ＝2，c ＝22，∴b 2＝c 2－a 2＝6，∴顶点C 的轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2)， 故点C 的轨迹为双曲线的右支且除去点(2，0)． 欢迎您的下载，资料仅供参考！。
2016-2017学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.3.1 双曲线及其标准方程课后演练提升 北师大版选修2-1一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知平面上定点F 1、F 2及动点M ，命题甲：||MF 1|－|MF 2||＝2a (a 为常数)，命题乙：M 点的轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线，则甲是乙的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析： 根据双曲线的定义：乙⇒甲，但甲⇒/乙，只有当2a ＜|F 1F 2|且a ≠0时，其轨迹才是双曲线．答案： B2．已知双曲线x 29－y 216＝1上一点P 到双曲线的一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离为( )A ．3B ．5C ．6D ．9 解析： 由x 29－y 216＝1得a 2＝9，∴a ＝3， 根据双曲线定义|d －3|＝2a ＝6，∴d ＝9或d ＝－3(舍)．答案： D3．已知椭圆C 1的离心率为35，焦点在x 轴上且长轴长为10，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的差的绝对值等于4，则曲线C 2的标准方程为( )A.x 24－y 25＝1 B.x 25－y 24＝1 C.x 252－y 242＝1 D.x 242－y 252＝1 解析： 由题意知椭圆C 1的两个焦点为(－3,0)，(3,0)．设曲线C 2的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则有a 2＋b 2＝9，且2a ＝4.∴a 2＝4，b 2＝5，故选A.答案： A4．k ＞9是方程x 29－k ＋y 2k －4＝1表示双曲线的( ) A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件 解析： 原方程表示双曲线的充要条件是(9－k )(k －4)＜0，即k ＞9或k ＜4，故k ＞9是原方程表示双曲线的充分不必要条件．答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5．若双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点为(0,3)，则k ＝________.解析： 依题意，双曲线方程可化为y 2－8k －x 2－1k＝1， 所以－8k －1k＝9，解得k ＝－1. 答案： －16．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，在左支上过F 1的弦AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是________．解析： 由双曲线的定义|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|BF 2|－|BF 1|＝2a ，∴|AF 2|＋|BF 2|－|AB |＝4a ，∴△ABF 2的周长为4a ＋2|AB |＝26.答案： 26三、解答题(每小题10分，共20分)7．分别求符合下列条件的双曲线的标准方程．(1)一个焦点坐标为F 1(0，－13)，双曲线上一点P 到两焦点距离之差的绝对值为24；(2)求与椭圆x 225＋y 25＝1共焦点且过点(32，22)的双曲线的方程．解析： (1)由题意，双曲线的焦点在y 轴上，因此可设其标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1.∵2a ＝24，∴a ＝12.∵一个焦点坐标为F 1(0，－13)，∴c ＝13，∴b 2＝c 2－a 2＝25.∴双曲线的方程为y 2144－x 225＝1. (2)椭圆x 225＋y 25＝1的焦点为(25，0)，(－25，0)， 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则a 2＋b 2＝20.①又∵过点(32，22)，∴18a 2－8b 2＝1.②由①②，得a 2＝10，b 2＝10 ∴双曲线方程为x 210－y 210＝1. 8．过双曲线x 2144－y 225＝1的一个焦点作x 轴的垂线，求垂线与双曲线的交点到两焦点的距离．解析： ∵双曲线方程为x 2144－y 225＝1， ∴c ＝144＋25＝13，于是焦点坐标为F 1(－13,0)、F 2(13,0)，设过点F 1且垂直于x 轴的直线l 交双曲线于A (－13，y )(y ＞0)，∴y 225＝132144－1＝25144， ∴y ＝2512，即|AF 1|＝2512. 又∵|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝24，∴|AF 2|＝24＋|AF 1|＝24＋2512＝31312. 故垂线与双曲线的交点到两焦点的距离为2512和31312. 尖子生题库☆☆☆9．(10分)在△ABC 中，已知|AB |＝42，且三内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程，并指明它表示什么曲线．解析： 如图所示，以AB 所在直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (－22，0)，B (22，0)．由正弦定理得sin A ＝|CB |2R， sin B ＝|CA |2R ，sin C ＝|AB |2R. ∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ，∴2|CB |＋|AB |＝2|CA |.从而有|CA |－|CB |＝12|AB |＝22<|AB |， 由双曲线定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支．∵a ＝2，c ＝22， ∴b 2＝c 2－a 2＝6，∴顶点C 的轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2)， 故点C 的轨迹为双曲线的右支且除去点(2，0)．。
3.1 双曲线及其标准方程[学习目标] 1.掌握双曲线的定义.2.掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程.3.理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题.知识点一 双曲线的定义把平面内到两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(大于零且小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 知识点二 双曲线的标准方程思考 121212条件不变，点的轨迹是什么？(2)确定双曲线的标准方程需要知道哪些量？答案 (1)当距离之差等于|F 1F 2|时，动点的轨迹就是两条射线，端点分别是F 1、F 2，当距离之差大于|F 1F 2|时，动点的轨迹不存在. (2)a ，b 的值及焦点所在的位置. 知识点三 双曲线与椭圆的比较双曲线、椭圆的标准方程及它们之间的区别与联系：题型一 求双曲线的标准方程例1 根据下列条件，求双曲线的标准方程. (1)经过点P (3，154)，Q (－163，5)；(2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上.解 (1)方法一 若焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由于点P (3，154)和Q (－163，5)在双曲线上，所以⎩⎨⎧9a 2－22516b 2＝1，2569a 2－25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－16，b 2＝－9，(舍去).若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为 y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)， 将P 、Q 两点坐标代入可得⎩⎨⎧22516a 2－9b 2＝1，25a 2－2569b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16，所以双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.综上，双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.方法二 设双曲线方程为x 2m ＋y 2n ＝1(mn <0).∵P 、Q 两点在双曲线上，∴所求双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.(2)方法一 依题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0).则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝6，25a 2－4b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝1，∴所求双曲线的标准方程为x 25－y 2＝1.方法二 ∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0<λ<6).∵双曲线经过点(－5,2)， ∴25λ－46－λ＝1， ∴λ＝5或λ＝30(舍去).∴所求双曲线的标准方程是x 25－y 2＝1.反思与感悟 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程，然后用待定系数法求出a ，b 的值.若焦点位置不确定，可按焦点在x 轴和y 轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，通过解方程组即可确定m 、n ，避免了讨论，从而简化求解过程. 跟踪训练1 求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－5,0)，(5,0)，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8； (2)焦点在x 轴上，经过点P (4，－2)和点Q (26，22). 解 (1)由双曲线的定义知，2a ＝8，所以a ＝4， 又知焦点在x 轴上，且c ＝5， 所以b 2＝c 2－a 2＝25－16＝9， 所以双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1.(2)因为焦点在x 轴上，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，将点(4，－2)和(26，22)代入方程得解得a 2＝8，b 2＝4，所以双曲线的标准方程为x 28－y 24＝1.题型二 双曲线定义的应用例2 若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点.(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离； (2)如图，若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2的面积.解 双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1，故a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.(1)由双曲线的定义得||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝6，又双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，假设点M 到另一个焦点的距离等于x ，则|16－x |＝6，解得x ＝10或x ＝22. 故点M 到另一个焦点的距离为10或22. (2)将||PF 2|－|PF 1||＝2a ＝6两边平方得 |PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2| ＝36＋2×32＝100.在△F 1PF 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝100－1002×32＝0，且∠F 1PF 2∈(0°，180°)， ∴∠F 1PF 2＝90°， ∴12∆F PF S ＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16. 反思与感悟 (1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF 1|－|PF 2||＝2a 求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c －a ).(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用.跟踪训练2 已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积.解 由x 29－y 216＝1得，a ＝3，b ＝4，c ＝5.由双曲线的定义和余弦定理得|PF 1|－|PF 2|＝±6， |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos60°， 所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 所以|PF 1|·|PF 2|＝64，∴12 F PF S ＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3. 题型三 与双曲线有关的轨迹问题例3 如图，在△ABC 中，已知|AB |＝42，且三个内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程.解 以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A (－22，0)，B (22，0).由正弦定理得sin A ＝|BC |2R ，sin B ＝|AC |2R ，sin C ＝|AB |2R (R 为△ABC 的外接圆半径).∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ， ∴2|BC |＋|AB |＝2|AC |，从而有|AC |－|BC |＝12|AB |＝22<|AB |.由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点). ∵a ＝2，c ＝22，∴b 2＝c 2－a 2＝6， 即所求轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2).反思与感悟 (1)求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：①列出等量关系，化简得到方程；②寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程.(2)求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：①双曲线的焦点所在的坐标轴；②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.跟踪训练3 如图所示，已知定圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，定圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程.解 圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1； 圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，圆心F 2(5,0)，半径r 2＝4. 设动圆M 的半径为R ，则有|MF 1|＝R ＋1，|MF 2|＝R ＋4， ∴|MF 2|－|MF 1|＝3<10＝|F 1F 2|.∴点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的左支，且a ＝32，c ＝5，于是b 2＝c 2－a 2＝914.∴动圆圆心M 的轨迹方程为x 294－y 2914＝1(x ≤－32).1.已知F 1(3,3)，F 2(－3,3)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝4，则P 点的轨迹是( ) A.双曲线 B.双曲线的一支 C.不存在 D.一条射线答案 B解析 因为|PF 1|－|PF 2|＝4，且4<|F 1F 2|， 由双曲线定义知，P 点的轨迹是双曲线的一支.2.椭圆x 234＋y 2n 2＝1和双曲线x 2n 2－y 216＝1有相同的焦点，则实数n 的值是( )A.±5B.±3C.5D.9 答案 B解析 由题意知，34－n 2＝n 2＋16， ∴2n 2＝18，n 2＝9.∴n ＝±3. 3.双曲线x 210－y 22＝1的焦距为( )A.32B.42C.33D.4 3答案 D解析由标准方程得a2＝10，b2＝2，所以c2＝a2＋b2＝12，c＝23，所以焦距2c＝4 3.4.已知双曲线中a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为__________________.答案x225－y224＝1或y225－x224＝1解析当焦点在x轴上时，方程为x225－y224＝1，当焦点在y轴上时，方程为y225－x224＝1.5.P是双曲线x2－y2＝16的左支上一点，F1，F2分别是左、右焦点，则|PF1|－|PF2|＝_____. 答案－8解析将x2－y2＝16化为标准形式为x216－y216＝1，所以a2＝16,2a＝8，因为P点在双曲线左支上，所以|PF1|－|PF2|＝－8.1.双曲线定义中||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)不要漏了绝对值符号，当2a＝|F1F2|时表示两条射线.2.在双曲线的标准方程中，a>b不一定成立.要注意与椭圆中a，b，c的区别.在椭圆中a2＝b2＋c2，在双曲线中c2＝a2＋b2.3.用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a，b，c的方程组.如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2＋ny2＝1 (mn<0)的形式求解.。
2. 3.1《双曲线及其标准方程》同步练习X V1•双曲线一一才=1的一个焦点是(0,2),则实数刃的值是()m 3/77A. 1 B・—1 C.—华D•导0 02.与椭圆Y+/=1共焦点且过点卩(2, 1)的双曲线方程是()x 2x 2x y 2 yA.—-y = 1B.——y = 1 D. x~—=l2 23.已知凡尺是双曲线二-L = 1(e?>0, b> 0)的左、右两个焦点，点P在双曲线右支上,a" b~0为坐标原点，若△PO"是面积为1的正三角形，则〃的值是___________ .2 2X V4.己知用、尺分别是双曲线了一声=1 (臼>0,方>0)的左、右两焦点，过月作垂直于x轴的胃线，在第一象限交双曲线于点只若Z PF、FM ,求双曲线的渐近线方程.5.已知三点P (5, 2) , Fi (-6, 0) , F2 (6, 0)(1)求以冉，F2为焦点且过点P的椭圆方程；(2)设点P, Fi, F2关于y=x的对称点分别为P‘ , F.i , F：,求以F； , F2'为焦点且过点P' 的双曲线的标准方程.2 26.双曲线「与椭圆专+秸=1有相同焦点，且经过点(、卮4).(1)求双曲线C、的方程；(1)椭圆的焦点为£(0, -3),尺(0,3).Q 57.点爪x, y)到定点H5, 0)距离和它到定直线7：的距离的比是q.求点必的轨迹方稈.参考答案y1.B【解析】由焦点坐标知，焦点在卩轴上，/XO, A双曲线的标准方程为亠丁一一=1,—o/77 —m —in~3ZZT=4,m=— 1 .22.B【解析】椭圆的焦点坐标为（土萌，0）,四个选项屮，只有寺一/=1的焦点为（土萌，0）,且经过点"（2,1）・故选B3.^2【解析】数形结合.4・y二土屈【解析】联想双曲线定义并解育角三角形.。
2 。
25.解：用椭圆定义得椭圆方程为—+ —= 1；用双曲线定义得双曲线方程为—=1 .45 9 20 166.解：设双曲线的方程为4—卜1,则孑+力2=32=9.①a力又双曲线经过点師，4）,所以书一齐1,②解①②得才=4, 〃 = 5或/ = 36, 〃=—27（舍去），2 2 所以所求双曲线C的方程为冷一二=1 .4 □f___________ 97 .解：根据题意得MF\ =yj 5 2+#,点必到育线/的距离宀x--,依题意，有N 9弋卩=寸,去分母，得3yJ X—5 2+b=|5x—9，平方整理得彳"~5 °2—話=1,即为点％的轨迹方程.。
§3 双曲线3．1 双曲线及其标准方程1．掌握双曲线的定义及其应用．(重点) 2．掌握双曲线的标准方程及其推导过程．(难点) 3．会求双曲线的标准方程．(易混点)教材整理1 双曲线的定义阅读教材P 78“动手实践”以下的部分，完成下列问题．我们把平面内到两定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F 1F 2|)的点的集合叫作双曲线．定点F 1、F 2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．1．双曲线x225－y29＝1的两个焦点分别是F 1，F 2，双曲线上一点P 到F 1的距离是12，则P 到F 2的距离是( )A ．17B ．7C ．7或17D ．2或22【解析】 由双曲线定义知||PF 1|－|PF 2||＝10，即|12－|PF 2||＝10.解得|PF 2|＝2或|PF 2|＝22. 【答案】 D2．设F 1，F 2是双曲线x216－y220＝1的焦点，点P 在双曲线上，若点P 到焦点F 1的距离等于9，求点P 到焦点F 2的距离．【解】 因为a ＝4，所以2a ＝8，由双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝8，所以|9－|PF 2||＝8，所以|PF 2|＝1或17.因为c 2＝a 2＋b 2＝36，所以|F 1F 2|＝12，当|PF 2|＝1时，|PF 1|＋|PF 2|＝10＜|F 1F 2|，不符合“两点之间线段最短”，应舍去，所以|PF 2|＝17.教材整理2 双曲线的标准方程阅读教材P 79“例1”以上的部分，完成下列问题．1．双曲线x24－y216＝1的焦点坐标为________．【解析】 c 2＝a 2＋b 2＝20，∴c ＝25， ∵焦点在x 轴上，∴焦点坐标为(25，0)，(－25，0)． 【答案】 (25，0)，(－25，0)2．若a ＝3，b ＝4，则双曲线的标准方程是________________．【解析】 当焦点在x 轴上时，双曲线的标准方程为x29－y216＝1；当焦点在y 轴上时，双曲线的标准方程为y29－x216＝1.【答案】x29－y216＝1或y29－x216＝1预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：________________________________________________ 解惑：________________________________________________ 疑问2：________________________________________________ 解惑：________________________________________________ 疑问3：________________________________________________ 解惑：________________________________________________①已知定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则满足|PF 1|－|PF 2|＝2的点P 的轨迹为双曲线； ②已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，则满足||PF 1|－|PF 2||＝4的点P 的轨迹为两条射线； ③到定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)距离之差的绝对值等于7的点P 的轨迹为双曲线；④若点P 到定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离的差的绝对值等于点M (1,2)到点N (－3，－1)的距离，则点P 的轨迹为双曲线．【自主解答】 ①2＜2，故点P 的轨迹是双曲线的一支；②因为2a ＝|F 1F 2|＝4，所以点P 的轨迹是分别以F 1，F 2为端点的两条射线；③到定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)距离之差的绝对值等于7，而7＞6，故点P 的轨迹不存在；④点M (1,2)到点N (－3，－1)的距离为－3－＋－1－＝5＜8，故点P 的轨迹是以F 1(－4,0)，F 2(4,0)为焦点的双曲线．【答案】 ②④如图331，若F 1，F 2是双曲线x29－y216＝1的两个焦点．图331(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离； (2)若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2的面积． 【精彩点拨】 (1)利用双曲线的定义求解．(2)欲求△F 1PF 2的面积，可考虑用12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2求解，只要求出∠F 1PF 2的正弦值即可．而△F 1PF 2的三边中，|PF 1|－|PF 2|＝±6，|F 1F 2|＝10，故可考虑用余弦定理求解．【自主解答】 双曲线的标准方程为x29－y216＝1，故a ＝3，b ＝4，c ＝a2＋b2＝5.(1)由双曲线的定义得||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝6，又双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，假设点M 到另一个焦点的距离等于x ，则|16－x |＝6，解得x ＝10或x ＝22.故点M 到另一个焦点的距离为10或22.(2)将||PF 2|－|PF 1||＝2a ＝6，两边平方得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝36＋2×32＝100.由△F 1PF 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝100－1002|PF1|·|PF2|＝0，∴∠F 1PF 2＝90°，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16.1．求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF 1|－|PF 2||＝2a 求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c －a )．2．在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用．1．已知双曲线x29－y216＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．【导学号：32550081】【解】 由x29－y216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5.由定义和余弦定理得|PF 1|－|PF 2|＝±6， |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°， 所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 所以|PF 1|·|PF 2|＝64，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3.(1)求以椭圆x216＋y29＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A (4，－5)的双曲线的标准方程；(2)已知双曲线通过M (1,1)，N (－2,5)两点，求双曲线的标准方程．【精彩点拨】 用待定系数法，根据双曲线焦点的位置设方程，根据条件确定参数．当已知双曲线的两个焦点和双曲线上某一点，也可利用双曲线的定义求解．【自主解答】 (1)法一：(待定系数法) 由题意知双曲线的两焦点F 1(0，－3)，F 2(0,3)． 设双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，将点A (4，－5)代入双曲线方程得 25a2－16b2＝1，又a 2＋b 2＝9， 解得a 2＝5，b 2＝4.∴双曲线的标准方程为y25－x24＝1.法二：(定义法)由题意知双曲线的两个焦点分别为F 1(0，－3)，F 2(0,3)且A (4，－5)在双曲线上， 则2a ＝||AF 1|－|AF 2||＝|20－80|＝25， ∴a ＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝9－5＝4. 即双曲线的标准方程为y25－x24＝1.(2)法一：若焦点在x 轴上，设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．因为M (1,1)，N (－2,5)在双曲线上， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1a2－1b2＝1，－a2－52b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝78，b2＝7.若焦点在y 轴上，设双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．同理有⎩⎪⎨⎪⎧1a2－1b2＝1，52a2－－b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝－7，b2＝－78(不合题意，舍去)．所以所求双曲线的标准方程为x278－y27＝1.法二：设所求双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)． 将点M (1,1)，N (－2,5)代入上述方程，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝1，4m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝87，n ＝－17.所以所求双曲线的标准方程为x278－y27＝1.求双曲线标准方程的常用方法：(1)定义法：若由题设条件能够判断出动点的轨迹满足双曲线的定义，则可根据双曲线的定义确定方程． (2)用待定系数法，具体步骤如下：2．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点在x 轴上，经过点(4，－2)和(26，22)； (2)a ＝25，经过点A (2，－5)，焦点在y 轴上．【解】 (1)因为焦点在x 轴上，所以设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，因为点(4，－2)和(26，22)在双曲线上，所以⎩⎪⎨⎪⎧16a2－4b2＝124a2－8b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝8b2＝4.故所求双曲线的标准方程是x28－y24＝1.(2)因为焦点在y 轴上，所以双曲线的标准方程可设为y2a2－x2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．由a ＝25，且点A (2，－5)在双曲线上，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2525a2－4b2＝1，解得b 2＝16.因此，所求双曲线的标准方程为y220－x216＝1.已知动圆M 12内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．【导学号：32550082】【精彩点拨】 利用两圆内、外切的充要条件找出M 点满足的几何条件，结合双曲线定义求解．【自主解答】 如图，设动圆M 的半径为r ，则由已知|MC 1|＝r ＋2，|MC 2|＝r －2，∴|MC 1|－|MC 2|＝2 2. 又C 1(－4,0)，C 2(4,0)， ∴|C 1C 2|＝8， ∵22＜|C 1C 2|.根据双曲线定义知，点M 的轨迹是以C 1(－4,0)、C 2(4，0)为焦点的双曲线的右支． ∵a ＝2，c ＝4，∴b 2＝c 2－a 2＝14， ∴点M 的轨迹方程是x22－y214＝1(x ≥2)．1．本题易忽略|MC 1|－|MC 2|＝22没有“绝对值”，故忘加“x ≥2”这一条件．2．求曲线的轨迹方程时，应尽量利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，提高解题速度与质量．在运用双曲线定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支，需用变量的范围确定．3．在△ABC 中，B (4,0)，C (－4,0)，动点A 满足sin B －sin C ＝12sin A ．求点A 的轨迹．【解】 在△ABC 中，sin B －sin C ＝12sin A ，∴|AC |－|AB |＝12|BC |.又∵B (4,0)，C (－4,0)，∴|BC |＝8.∴|AC |－|AB |＝4＜|BC |.∴点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的双曲线的右支(除去与B ，C 共线的一点)．其方程为x24－y212＝1(x ＞2)．探究1 【提示】 双曲线的定义中若没有“的绝对值”，则点的轨迹就是双曲线的一支，而双曲线是由两个分支组成的，故定义中的“的绝对值”不能去掉．当P 满足0<|PF 1|－|PF 2|<|F 1F 2|时，点P 的轨迹是双曲线的一支；当0<|PF 2|－|PF 1|<|F 1F 2|时，点P 的轨迹是双曲线的另一支；当|PF 1|－|PF 2|＝±|F 1F 2|时，点P 的轨迹是两条射线，||PF 1|－|PF 2||不可能大于|F 1F 2|.探究2 设点M 是双曲线上的任意一点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，如何确定|MF 1|－|MF 2|的符号？【提示】 若点M 在双曲线的右支上，则|MF 1|＞|MF 2|，故|MF 1|－|MF 2|＝2a ；若点M 在双曲线的左支上，则|MF 1|＜|MF 2|，故|MF 1|－|MF 2|＝－2a ，综上得|MF 1|－|MF 2|＝±2a ，这是与椭圆不同的地方．探究1 双曲线的标准方程a2－b2＝1(a ＞0，b ＞0)和a2－b2＝1(a ＞0，b ＞0)有何异同点？【提示】 相同点：它们的形状、大小都相同，都有a ＞0，b ＞0和c 2＝a 2＋b 2. 不同点：它们的位置不同，焦点坐标不同．探究2 椭圆、双曲线的定义及标准方程之间有什么区别？ 【提示】设双曲线与椭圆27＋36＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，则此双曲线的标准方程为________．【导学号：32550083】【精彩点拨】 常规解法易想到，但需解方程组，解方程时易错，而巧妙解法利用曲线系方程求解，将方程设为x227－λ＋y236－λ＝1(27＜λ＜36)求解．可以减少计算量．【自主解答】 由题意设双曲线方程为：x227－λ＋y236－λ＝1(27＜λ＜36)，将A (±15，4)代入得λ＝32，λ＝0(舍)，所以所求双曲线方程为y24－x25＝1.【答案】 y24－x25＝14．已知某双曲线与x216－y24＝1共焦点，且过点(32，2)，则此双曲线的标准方程为________．【导学号：32550084】【解析】 设双曲线的方程为x216－k －y24＋k＝1(－4＜k ＜16)． 将点(32，2)代入得k ＝4， 所以双曲线的标准方程为x212－y28＝1.【答案】x212－y28＝11．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到两定点的距离的差等于非零常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．( ) (2)在双曲线标准方程x2a2－y2b2＝1中，a ＞0，b ＞0且a ≠b .( )(3)双曲线标准方程中，a ，b 的大小关系是a ＞b .( ) 【解析】 (1)注意双曲线定义中是“差的绝对值”． (2)x2a2－y2b2＝1中，a ＜0，b ＜0也可以． (3)双曲线标准方程中，a ，b 的大小关系不确定． 【答案】 (1)× (2)× (3)×2．双曲线x29－y27＝1的焦距为( )A. 2 B ．2 2 C. 4D ．8【解析】 c 2＝a 2＋b 2＝9＋7＝16， ∴c ＝4，∵焦距为2c ＝8， 【答案】 D3．已知点F 1，F 2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，点P 是双曲线上的一点，且PF1→·PF2→＝0，则△PF 1F 2的面积为( )A ．abB ．12abC ．b 2D ．a 2【解析】 由题意知|||PF1|－|PF2|＝2a .① |PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2.② ②－①2，得|PF 1||PF 2|＝2b 2， ∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝b 2.【答案】 C4．双曲线的焦点在x 轴上，且a ＋c ＝9，b ＝3，则双曲线的标准方程为________． 【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝9b ＝3c2＝a2＋b2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4c ＝5，∵焦点在x 轴上，∴双曲线标准方程为x216－y29＝1.【答案】x216－b29＝1 5．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)已知焦点F 1(0，－6)，F 2(0,6)，双曲线上的一点P 到F 1，F 2的距离差的绝对值等于8； (2)c ＝6，经过点A (－5,2)，焦点在x 轴上． 【解】 (1)∵双曲线的焦点在y 轴上， ∴设它的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．∵2a ＝8,2c ＝12，∴a ＝4，c ＝6，∴b 2＝62－42＝20. ∴所求双曲线的标准方程为y216－x220＝1.(2)设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1. ∵c ＝6，∴b 2＝c 2－a 2＝6－a 2.由题意知25a2－4b2＝1，∴25a2－46－a2＝1，解得a 2＝5或a 2＝30(舍去)．∴b 2＝1. ∴双曲线的标准方程为x25－y 2＝1.我还有这些不足：(1)________________________________________________(2)________________________________________________我的课下提升方案：(1)________________________________________________(2)________________________________________________。
[A 基础达标]1．已知方程x 23＋m －y 23－m ＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围是( )A ．－3<m <3B ．m >0C ．m ≥0D ．m >3或m <－3解析：选A.因为x 23＋m －y 23－m ＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＋m >0，3－m >0，解得－3<m <3.2．以椭圆x 23＋y 24＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的方程是( )A.x 23－y 2＝1 B.y 2－x 23＝1 C.x 23－y 24＝1 D.y 23－x 24＝1 解析：选B.由题意知，双曲线的焦点在y 轴上，且a ＝1，c ＝2，所以b 2＝3，所以双曲线的方程为y 2－x 23＝1. 3．已知△ABP 的顶点A ，B 分别为双曲线C ：x 216－y 29＝1的左、右焦点，顶点P 在双曲线C上，则|sin A －sin B |sin P 的值等于( )A.7B.74C.54D.45解析：选D.|sin A －sin B |sin P ＝||PB |－|P A |||AB |＝2a 2c ＝a c ＝45.4．已知F 1，F 2为双曲线x 2－y 2＝2的左，右焦点，点P 在该双曲线上，且|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( ) A.14 B.35 C.34D.45 解析：选C.双曲线方程可化为x 22－y 22＝1，a ＝b ＝2，c ＝2，由⎩⎨⎧|PF 1|＝2|PF 2|，|PF 1|－|PF 2|＝22得|PF 2|＝22，|PF 1|＝42，又因为|F 1F 2|＝2c ＝4，在△F 1PF 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝（42）2＋（22）2－422×42×22＝34. 5．已知双曲线x 26－y 23＝1的焦点为F 1，F 2，点M 在双曲线上，且MF 1⊥x 轴，则F 1到直线F 2M 的距离为( ) A.365B.566C.65D.56解析：选C.不妨设点F 1(－3，0)，容易计算得出 |MF 1|＝32＝62， |MF 2|－|MF 1|＝2 6. 解得|MF 2|＝526. 而|F 1F 2|＝6，在直角三角形MF 1F 2中， 由12|MF 1|·|F 1F 2| ＝12|MF 2|·d ， 求得F 1到直线F 2M 的距离d 为65.6．若点P 到点(0，－3)与到点(0，3)的距离之差为2，则点P 的轨迹方程为________． 解析：由题意并结合双曲线的定义，可知点P 的轨迹方程为双曲线的上支，且c ＝3，2a ＝2，则a ＝1，b 2＝9－1＝8，所以点P 的轨迹方程为y 2－x 28＝1(y ≥1)． 答案：y 2－x 28＝1(y ≥1) 7．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________． 解析：双曲线右焦点为(4，0)， 将x ＝3代入x 24－y 212＝1，得y ＝±15.所以点M 的坐标为(3，15)或(3，－15)，所以点M 到双曲线右焦点的距离为（4－3）2＋（±15）2＝4. 答案：48．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则|PF 1|＝________．解析：依题意有⎩⎪⎨⎪⎧3|PF 1|＝4|PF 2|，|PF 1|－|PF 2|＝2×1，解得|PF 2|＝6，|PF 1|＝8.答案：89．设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切．求圆心C 的轨迹L 的方程．解：依题意得两圆的圆心分别为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，从而可得|CF 1|＋2＝|CF 2|－2或|CF 2|＋2＝|CF 1|－2，所以||CF 2|－|CF 1||＝4<|F 1F 2|＝25，所以圆心C 的轨迹是双曲线，其中a ＝2，c ＝5，b 2＝c 2－a 2＝1， 故圆心C 的轨迹L 的方程是x 24－y 2＝1.10．已知双曲线x 24－y 29＝1，F 1、F 2是其两个焦点，点M 在双曲线上．若∠F 1MF 2＝90°，求△F 1MF 2的面积．解：由双曲线方程知a ＝2，b ＝3，c ＝13， 不妨设|MF 1|＝r 1，|MF 2|＝r 2(r 1＞r 2)． 由双曲线定义得r 1－r 2＝2a ＝4.两边平方得r 21＋r 22－2r 1·r 2＝16， 即|F 1F 2|2－4S △F 1MF 2＝16， 即4S △F 1MF 2＝52－16， 所以S △F 1MF 2＝9.[B 能力提升]11．如图，从双曲线x 23－y 25＝1的左焦点F 引圆x 2＋y 2＝3的切线FP 交双曲线右支于点P ，T 为切点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |等于( )A. 3B. 5C.5－ 3D.5＋ 3解析：选C.|OM |－|MT |＝12|PE |－(|MF |－|FT |)＝|FT |－12(|PF |－|PE |)＝5－12×23＝5－ 3.12．若点P 在曲线C 1：x 216－y 29＝1上，点Q 在曲线C 2：(x －5)2＋y 2＝1上，点R 在曲线C 3：(x ＋5)2＋y 2＝1上，则|PQ |－|PR |的最大值是________． 解析：连接PC 2并延长交C 2于点Q 0，连接PC 3交C 3于点R 0.|PQ |－|PR |≤|PQ 0|－|PR 0|＝(|PC 2|＋1)－(|PC 3|－1)＝|PC 2|－|PC 3|＋2＝2a ＋2＝10. 答案：1013．求与椭圆x 2＋4y 2＝8有公共焦点的双曲线的方程，使得以此双曲线与椭圆的四个交点为顶点的四边形的面积最大． 解：椭圆的方程可化为x 28＋y 22＝1，①所以c 2＝8－2＝6.因为椭圆与双曲线有公共焦点，所以在双曲线中，a 2＋b 2＝c 2＝6，即b 2＝6－a 2. 设双曲线的方程为x 2a 2－y 26－a 2＝1(0＜a 2＜6)．②由①②解得⎩⎨⎧x 2＝4a 23，y 2＝6－a 23.由椭圆与双曲线的对称性可知四个交点构成一个矩形， 其面积S ＝4|xy |＝4·4a 23·6－a 23＝ 83a 2（6－a 2）≤83·a 2＋（6－a 2）2＝8， 当且仅当a 2＝6－a 2，即a 2＝3，b 2＝6－3＝3时，取等号． 所以双曲线的方程是x 23－y 23＝1.14．(选做题)已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点． (1)求双曲线的标准方程；(2)若点M 在双曲线上，F 1、F 2为左、右焦点，且|MF 1|＋|MF 2|＝63，试判断△MF 1F 2的形状．解：(1)椭圆方程可化为x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上，且c ＝9－4＝5，故设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝5，解得a 2＝3，b 2＝2，所以双曲线的标准方程为x 23－y 22＝1.(2)不妨设点M 在右支上，则有|MF 1|－|MF 2|＝23，因为|MF 1|＋|MF 2|＝63， 所以|MF 1|＝43，|MF 2|＝2 3.又|F 1F 2|＝25，因此在△MF 1F 2中，边MF 1最长，而cos ∠MF 2F 1＝|MF 2|2＋|F 1F 2|2－|MF 1|22|MF 2|·|F 1F 2|<0，所以∠MF 2F 1为钝角，故△MF 1F 2为钝角三角形．由Ruize收集整理。
