法一： 解：(1)法一：原不等式等价于 法一 x－x2－2＞x2－3x－4，或x－x2－2＜－ 2－3x－4)， － ＞ － ， － ＜－(x － ， ＜－ 解之得1－ 解之得 － ＜x＜1＋ ＜ ＋ ＞－3. ，或x＞－ ＞－
∴原不等式的解集为{x|x＞－ ． ＞－3}． 原不等式的解集为 ＞－ 法二： 法二：∵|x－x2－2|＝|x2－x＋2|＝x2－x＋2 － ＝ ＋ ＝ ＋ (∵x2－x＋2＞0)， ∵ ＋ ＞ ， ∴原不等式等价于x2－x＋2＞x2－3x－4⇔x＞－ 原不等式等价于 ＋ ＞ － ⇔ ＞－3. ＞－ ＞－3}． ∴原不等式的解集为{x|x＞－ ． 原不等式的解集为 ＞－
解不等式：|x＋3|－|2x－1|＜ 解不等式： ＋ － － ＜
＋1.
含有多个绝对值的不等式的解法是利用零点分区间 讨论法，将绝对值符号去掉，进而求解 讨论法，将绝对值符号去掉，进而求解.
＜－3时 原不等式化为－ ＋ － － 【解】 ①x＜－ 时，原不等式化为－(x＋3)－(1－2x) ＜－ ＜ ＜－3； ＋1，解得 ＜10，∴x＜－ ； ，解得x＜ ， ＜－ 时，原不等式化为(x＋3)－(1－2x)＜ 原不等式化为 ＋ － － ＜ ，∴－3≤x＜－ ＜－ ； ＋1， ，
已知f(x)＝ 定义在区间[0,1]上，x1， 已知 ＝x2－x＋c定义在区间 ＋ 定义在区间 上 ， x2∈[0,1]，且x1≠x2，证明： ∈ ， 证明： (1)f(0)＝f(1)； ＝ ； (2)|f(x2)－f(x1)|＜|x1－x2|； － ＜ ； (3)|f(x2)－f(x1)|≤ －
4．(2009·山东高考 不等式 －1|－|x－2|＜0的解集 ． 山东高考)不等式 山东高考 不等式|2x－ － － ＜ 的解集 为________． ． 解析：|2x－1|－|x－2|＜0⇔|2x－1|＜|x－2| 解析： － － － ＜ ⇔ － ＜ － ⇔(2x－1)2＜(x－2)2⇔4x2－4x＋1＜x2－4x＋4 － － ＋ ＜ ＋ ⇔3x2＜3⇔－1＜x＜1. ⇔ ＜ ＜ 答案： － 答案：(－1,1)
含绝对值不等式的证明主要有两类 1．比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝 ．比较简单的不等式，往往可通过平方法、 对值转化为常见的不等式证明题，或利用|a|－ 对值转化为常见的不等式证明题，或利用|a|－ |b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添项、拆项证明； ± ＋ ，通过适当的添项、拆项证明； 2．综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利 ．综合性较强的函数型含绝对值的不等式， 用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想， 用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一 元二次方程的根的分布等方法来证明． 元二次方程的根的分布等方法来证明．
二、绝对值不等式的性质 1．定理 ． |a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|. － ＋ ＋ 2．推论 ． 推论1： 推论 ：|a1＋a2＋a3|≤|a1|＋|a2|＋|a3|； ＋ ＋ ； 推论2： － 推论 ：|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|. － ＋
在|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中，“＝”成立的条件 － ± ＋ 中 ＝ 成立的条件 是什么？ 是什么？ 提示：不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，右侧 ＝” 提示：不等式 － ＋ ＋ ，右侧“＝ 成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是 ，左侧 ＝ 成立的条件是 成立的条件是ab≤0且 成立的条件是 且 |a|≥|b|.不等式 －|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，右侧 ＝” 不等式|a|－ 不等式 － ＋ ，右侧“＝ 成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是 成立的条件是 ，左侧 ＝ 成立的条件是ab≥0且 且 成立的条件是 |a|≥|b|.
(1)将x=0，1代入 验证可得； 将 ， 代入 验证可得； 代入f(x)验证可得 (2)左边因式分解出 1-x2|，再判定其余部分的 左边因式分解出|x 左边因式分解出 ， 大小； 大小； (3)转化证明 转化证明. 转化证明
【证明】 (1)f(0)＝c，f(1)＝c，故f(0)＝f(1)． 证明】 ＝ ， ＝ ， ＝ ． (2)|f(x2)－f(x1)|＝| － ＝ －x2＋c－ ＋ － ＋x1－c| －
2．平方法： ．平方法： 使用平方法去绝对值时要特别小心，非常容易出现增解， 使用平方法去绝对值时要特别小心，非常容易出现增解， 必须检查变形的同解性．事实上， 必须检查变形的同解性．事实上，平方法去绝对值一般 只适用于两边恒正(负 的不等式 比如对|2x－ ＜ － ， 的不等式， 只适用于两边恒正 负)的不等式，比如对 －1|＜|x－1|， 可得(2x－ 可得 －1)2＜(x－1)2. －
对形如|x－a|＋|x－b|＜c或|x－a|－|x－b|＞c的不等 对形如 － ＋ － ＜ 或 － － － ＞ 的不等 式，由于它们分别表示数轴上的点x到a，b点的距离之和或 由于它们分别表示数轴上的点 到 ， 点的距离之和或 距离之差，因而利用不等式的几何意义去解不等式， 距离之差，因而利用不等式的几何意义去解不等式，更为 直观、简捷． 直观、简捷．
(2)法一：|x＋1|＞|x－3|， 法一： ＋ ＞ － ， 法一 两边平方得(x＋ 两边平方得 ＋1)2＞(x－3)2，∴8x＞8，∴x＞1. － ＞ ， ＞ ∴原不等式的解集为{x|x＞1}． 原不等式的解集为 ＞ ． 法二：当x≤－1时，有－x－1＞－ ＋3，此时 ∈∅； ＞－x＋ ，此时x∈ 法二： － 时 － ＞－ ＞－x＋ ， 当－1＜x≤3时，有x＋1＞－ ＋3， ＜ 时 ＋ ＞－ 此时1＜ ； 此时 ＜x≤3； 成立， ＞ 当x＞3时，有x＋1＞x－3成立，∴x＞3. ＞ 时 ＋ ＞ － 成立 ∴原不等式解集为∅∪{x|1＜x≤3}∪{x|x＞3}＝{x|x＞1}. 原不等式解集为∅ ＜ ∪ ＞ ＝ ＞
＝|x2－x1||x2＋x1－1|， ， ∵0≤x1≤1,0≤x2≤1,0＜x1＋x2＜2(x1≠x2)， ＜ ， ∴－1＜x1＋x2－1＜1，∴|f(x2)－f(x1)|＜|x1－x2|. ＜ ＜ ， － ＜ (3)|f(x2)－f(x1)|≤f(x)max－f(x)min＝f(0) －
②当－3≤x＜ ＜ ＋1，解得 ＜－ ，解得x＜－ ③当x≥
时，原不等式化为(x＋3)－(2x－1)＜ 原不等式化为 ＋ － － ＜
解得x＞ ， ＞ 解得 ＞2，∴x＞2. 综上可知： 综上可知：原不等式的解集为
1．解下列关于x的不等式： ．解下列关于 的不等式 的不等式： (1)|x－x2－2|＞x2－3x－4； － ＞ － ； (2)|x＋1|＞|x－3|. ＋ ＞ －
3．设ab＞0，下面四个不等式中，正确的是 ． ＞ ，下面四个不等式中，
(
)
①|a＋b|＞|a|；②|a＋b|＜|b|；③|a＋b|＜|a－b|； ＋ ＞ ； ＋ ＜ ； ＋ ＜ － ； ④|a＋b|＞|a|－|b|. ＋ ＞ － A．①和② ． C．①和④ ． B．①和③ ． D．②和④ ．
解析： 同号， 解析： ∵ab＞0，∴a，b同号， ＞ ， ， 同号 正确． ∴|a＋b|＝|a|＋|b|，∴①和④正确． ＋ ＝ ＋ ， 答案： C 答案：
在数轴上的坐标分别为2，－ 【解析】 设点 、B、P在数轴上的坐标分别为 ，－ ，x， 解析】 设点A、 、 在数轴上的坐标分别为 ，－2， ， 由绝对值的几何意义知|x－ － ＋ 表示点 到点A和点 表示点P到点 和点B 由绝对值的几何意义知 －2|－|x＋2|表示点 到点 和点 的距离之差， 的距离之差，故－4≤|x－2|－|x＋2|≤4，所以 a≤4. － － ＋ ， 【答案】 C 答案】
5．不等式|x＋1|－ ．不等式 ＋ －
≤3的解集为 的解集为________． 的解集为 ． －2≤0，( ， －2)( ＋1)≤0
解析：由x≥0知，x－ 解析： 知 － ⇔0≤ ≤2⇔0≤x≤4. ⇔
答案： 答案： [0,4]
解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值， 解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值，去掉绝对值 的方法主要有下面四种： 的方法主要有下面四种： 1．零点分区间讨论法，其具体过程如下： ．零点分区间讨论法，其具体过程如下： ①求出每个绝对值的零点，所有的零点将实数集分为若 求出每个绝对值的零点， 干个区间； 干个区间； ②在各个区间上，去掉绝对值后，求出不等式在该区 在各个区间上，去掉绝对值后， 间上的解集； 间上的解集； ③每个区间上的解集的并集，就是原不等式的解集． 每个区间上的解集的并集，就是原不等式的解集．
3．利用一些常见的含绝对值不等式的等价转化式； ．利用一些常见的含绝对值不等式的等价转化式； 不等式|f(x)|＞g(x)可以直接转化为 ＞g(x)或f(x)＜ ＞ 可以直接转化为f(x)＞ 不等式 可以直接转化为 或 ＜ 可以直接转化为－ －g(x)，|f(x)|＜g(x)可以直接转化为－g(x)＜f(x)＜g(x)， ， ＜ 可以直接转化为 ＜ ＜ ， 而不需要进行分类讨论，这样可以简化运算过程． 而不需要进行分类讨论，这样可以简化运算过程． 4．数形结合法． ．数形结合法．
一、绝对值不等式的解法 解绝对值不等式的思路是去掉绝对值符号， 解绝对值不等式的思路是去掉绝对值符号，进而 转化，去绝对值符号的方法有： 转化，去绝对值符号的方法有： 1．利用绝对值的意义 ．
2．平方法 ． [f(x)]2≤[g(x)]2. |f(x)|≤|g(x)|⇔ ⇔ 3．利用同解变形 ． (1)|x|<a⇔ －a<x<a (a>0)； ⇔ ； (2)|x|>a⇔ x<－a或x>a (a>0)； ⇔ － 或 ； (3)|f(x)|≤g(x)⇔ －g(x)≤f(x)≤g(x) ； ⇔ － 或 (4)|f(x)|≥g(x)⇔ f(x)≤－g(x)或f(x)≥g(x) ． ⇔
不等式|x－ － ＋ 有解， 不等式 －2|－|x＋2|≥a有解，则实数 的取值 有解 则实数a的取值 ( B．a≤－4 ． － D．a≥4 ． )
