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含有两个绝对值不等式的解法与应用甘肃省金塔县中学 闫飞 735300绝对值不等式是一类特殊的不等式.尤其是含有两个绝对值不等式涉及的问题很丰富，方法灵活多变，规范的书写过程难以把握，致使同学们望而生畏.本文介绍的含有两个绝对值不等式（如()x a x b c c -±-≥≤）的求解策略及其应用望能给同学们提供一种规范而快捷的解题思路. 一、()a,b,c x a x b c c -±-≥≤（是常数）型不等式 问题一：解不等式512≥-++x x解法1（几何法）如图所示 设-2，1对应点分别是a ，B ，且x 对应的点）到两定点a ，B 之间的距离和等于5的点在点a 的左侧或点B 的右侧，不妨设CA +CB =5, DA +DB =5,则点C 对应的数是2，点D 对应的数是-3，由数轴观察可得512≥-++x x 的解集是(][)--32+∞∞U ，，.思：不等式215x x ++-<的解集是不等式512≥-++x x 解集的补集-32（，），应用解法1（几何法）也很容易得不等式215x x ++-<的解集是-32（，）. 析：0a >时x a -的几何意义（x 对应的点与a 对应的点之间的距离）是该方法的关键点.x a x b -+-表示动点与两定点距离之和.解法2（零点分段讨论法）512≥-++x x 可以转化为：-2(1)-(2)(1)5x x x ≤⎧⎨+--≥⎩或-21(2)(2)(1)5x x x <<⎧⎨+--≥⎩或1(3)(2)+(1)5x x x ≥⎧⎨+-≥⎩ 由（1）得不等式组的解是3x ≤-;由（2）得不等式组的解是x ∈Φ;由（3）得不等式组的解是2x ≥.综合上述可得不等式的解集是{}|23x x x ≥≤-或.析：利用零点将数轴分段讨论去绝对值是该方法的关键点.解法3（分段函数法）设()21f x x x =++-,则()f x 可以转化为：-21(2)()21=3(21)2+11)x x f x x x x x x -≤-⎧⎪=++--<<⎨⎪≥⎩（ 由512≥-++x x 可得-2(1)-215x x ≤⎧⎨-≥⎩或-21(2)35x <<⎧⎨≥⎩或1(3)215x x ≥⎧⎨+≥⎩由（1）得不等式组的解是3x ≤-;由（2）得不等式组的解是x ∈Φ;由（3）得不等式组的解是2x ≥.综合上述可得不等式的解集是{}|23x x x ≥≤-或.析：利用分段函数的思想去绝对值是该方法的关键点. 问题二：解不式2-11x x +-≥解法1（几何法）如图所示 设-2，1对应点分别是a ，B ，且AB x 对应的点）到两定点a ，B 之间的距离差等于1的点在线段a B 之间，不妨设CA -CB =1则点C 对应的数是0，由数轴观察可得2-11x x +-≥的解集是[)0+∞，.思：不等式2-1<1x x +-的解集是不等式2-11x x +-≥解集的补集-∞（，0），应用解法1（几何法）也很容易得不等式2-1<1x x +-的解集是-∞（，0）. 析：0a >时x a -的几何意义（x 对应的点与a 对应的点之间的距离）是该方法的关键点,-x a x b --表示动点与两定点距离之差.解法2（零点分段讨论法），解法3（分段函数法）与问题一解法思路相同（略）.二、已知函数()-a f x x x b =±-,求值域（最值）问题一：已知函数()21f x x x =++-,求()f x 的值域解法1（绝对值的三角不等式）21(2)(1)3x x x x ∴++-≥+--=∴()3f x ≥ 故()f x 的值域是[)3+∞，.解法2（函数图象法）由-21(2)()21=3(21)2+11)x x f x x x x x x -≤-⎧⎪=++--<<⎨⎪≥⎩（得()f x 的图象C a B 0 1-2如右图：则由图可得()f x的值域是[)3+∞，.问题二：已知函数()2-1f x x x=+-求()f x的值域解法1（绝对值的三角不等式）2-1(2)(1)3x x x x∴+-≤+--=∴()3f x≤故()f x的值域是[]-33，.解法2（函数图象法）由3(2)()2-1=21(21)31)xf x x x x xx-≤-⎧⎪=+-+-<<⎨⎪≥⎩（得()f x的图象如右图：则由图可得()f x的值域是[]-33，.析：（1）熟练运用绝对值三角不等式：()()x a x b x a x b a b-+-≥---=-, -()()x a x b x a x b b a--≤---=-⇔a b x a x b a b--≤---≤-是灵活应用解法1的关键.（2）()-a+f x x x b=-（b a>）的图像（1-图），()-a-f x x x b=-（b a>）的图像（2-图）的熟练应用是解法2的关键.三、已知()a,b,cx a x b c c-±-≥≤（其中中有一参数，两常数）求参数取值范围. 问题一：21x x a++-<无解求实数a的取值范围.解法121(2)(1)3x x x x++-≥+--=由则，3a≤.解法2结合1-图要使21x x a++-<无解，则3a≤.问题二：2-1x x a+-<的解集不是空集求实数a的取值范围.1-图2-图解法1由2-1(2)(1)3x x x x +-≤+--=得-32-13x x ≤+-≤，则-3a >. 解法2结合2-图要使2-1x x a +-<的解集不是空集，则-3a >. 问题三：+13x a x -->的解集为R ，求实数a 的取值范围.解法1由-1()(1)1x a x x a x a +-≥---=-, 得13a ->,即-2a <或4a >. 解法2结合1-图要使+13x a x -->的解集为R, 则min ()13f x a =->,即-2a <或4a >. 问题四：21x a x ---≤(a <2) 的解集为{}|-<1x x ∞≤求实数a 的值. 解法：设f(x)=2x a x ---(a <2), 结合2-图要使21x a x ---≤,则(1)=1f ,即112=1a --- ，得 a =-1. 问题五：--21x a x -≤(a <2)的解集为{}|01x x ≤≤，求实数a 的值 解法：由-2()(2)2x a x x a x a --≤---=-，a <2, 得2-22a x a x a -≤--≤- .设f(x)=2x a x ---(a <2) 结合2-图要使--21x a x -≤,(a <2)的解集为{}|01x x ≤≤，则(0)1(1)1f f =-⎧⎨=⎩,得a =-1. 析：绝对值三角不等式得其取值范围（或最值）或()-a +f x x x b =-（b a >）的图像（1-图），()-a -f x x x b =-（b a >）的图像（2-图）的熟练应用是解决该类问题的关键.。
