解含有两个绝对值单位不等式

第4讲 含有两个绝对值不等式的解法【课型】新授课【教学目标】【预习清单】【知识梳理】一.去绝对值的原则：{)0(,)0(≥<-=a a a a a二．画含有两个绝对值函数的图像：利用零点分段讨论法去掉绝对值转化成一个分段函数去画。

三．含有两个绝对值不等式的解法1.|)(x f |>|)(x g |型不等式的解法：两边平方2.|)(x f |＋|)(x g |≥)(x h 型不等式的解法：利用零点分段法求解 【引导清单】考向一： 含有两个绝对值函数图像的画法【例1】已知函数f (x )＝|3x ＋1|－2|x －1|.(1)画出y ＝f (x )的图象；(2)求f (x ))的值域．【解】(1)由题设知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤－13，5x －1，－13<x ≤1，x ＋3，x >1.y ＝f (x )的图象如右图所示．（2）由图像可知函数函数f (x )在31-=x 处取最小值38-，所以f (x ))的值域为[),38[+∞- ＞1的解集为{x |1＜x ＜3}；f (x )＜－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜13或x ＞5.所以|f (x )|＞1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜13或1＜x ＜3或x ＞5. 考向二：含两个绝对值不等式解法【例2】解下列不等式：（1）|2x －1|－|x －2|＜0 （2）|2x －1|＜|x |＋1.【解】（1）原不等式⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2（2x －1）－（x －2）＜0或⎩⎪⎨⎪⎧12≤x ≤2，（2x －1）－（2－x ）＜0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜12，（1－2x ）－（2－x ）＜0，解得：－1＜x ＜1.∴原不等式的解集为(－1，1)；（2）①当x ＜0时，原不等式可化为－2x ＋1＜－x ＋1解之得x ＞0，与x ＜0矛盾，此时无解；②当0≤x ＜12时，原不等式可化为－2x ＋1＜x ＋1，解之得x ＞0，又∵0≤x ＜12，从而有0＜x ＜12；③当x ≥12时，原不等式化为2x －1＜x ＋1，∴x 12≤x ①②③知，原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．【训练清单】【变式训练1】已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|.(1)画出y ＝f (x )的图象；(2)求不等式|f (x )|＞1的解集．【解】 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1＜x ≤32，－x ＋4，x ＞32， y ＝f (x )的图象如图所示． (2)由f (x )的表达式及图象知，当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3；当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5，故|f (x )|＞1的解集为),5()3,1()31,(+∞-∞ 【变式训练2】已知函数f (x )＝|2x －1|，x ∈R .解不等式f (x )<|x |＋1；【解】因为f (x )<|x |＋1，所以|2x －1|<|x |＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，2x －1<x ＋1，或⎩⎪⎨⎪⎧0<x <12，1－2x <x ＋1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，1－2x <－x ＋1， 得12≤x <2或0<x <12或无解．故不等式f (x )<|x |＋1的解集为{x |0<x <2}． 【巩固清单】1.解不等式：|x －2|＋|x ＋3|>7.【解】因为|x －2|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）＋（x ＋3），x ≥2，－（x －2）＋（x ＋3），－3≤x <2，－（x －2）－（x ＋3），x <－3.所以原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，2x ＋1>7或⎩⎪⎨⎪⎧－3≤x <2，5>7或⎩⎪⎨⎪⎧x <－3，－2x －1>7.解上述不等式组得所求不等式的解集为{x |x <－4或x >3}． 不等式|x －5|＋|x ＋3|≥10【解】法一 当x ≤－3时，原不等式可化为5－x －x －3≥10，即2x ≤－8，∴x ≤－4，此时不等式的解集为{x |x ≤－4}．当－3<x ≤5时，原不等式可化为5－x ＋x ＋3≥10，此时无解．当x >5时，原不等式可化为x －5＋x ＋3≥10，解得x ≥6，此时不等式的解集为{x |x ≥6}．综上可知，原不等式的解集为{x |x ≤－4或x ≥6}3．已知函数()2,()2321f x x g x x x =-=+--．（1）画出()y f x =和()y g x =的图像；（2）分析()y f x =和()y g x =的最值情况【解】（1）可得2,2()22,2x x f x x x x -<⎧=-=⎨-≥⎩，画出图像如下： 34,231()232142,2214,2x g x x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+--=+-≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩，画出函数图像如下： （2）由图像可知f (x )有最小值0，没有最大值；g (x )有最小值-4，最大值4。

含有两个绝对值的不等式的解法及应用西一中张权华摘要：解含有绝对值符号的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法就与一般不等式相同．因此，掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解含绝对值不等式的关键．去掉绝对值符号的方法有很多，其中常用的方法有等价转化法、平方法、零点分段法、利用绝对值的几何意义等去掉绝对值符号和构造函数的方法。

但不是这些所有的方法都适用于每一道题，对于含有两个绝对值的不等式是高考的一个重点然且又是学生学习的一个难点，针对这一题型我用了不同的方法去绝对值符号来解不等式，为大家在解题的过程中快速准确地选择适当的方法提供帮助.关键词：两个； 绝对值；不等式含两个绝对值符号的不等式，我们常见的形式为：1122a x b a x b c +±+> 或1122a x b a x b c +±+<()0c >，解这种不等式我们应该怎样去其绝对值呢？题型的不同选取的方法对解题的难易程度固然不同。

对于解法一，要孰记︱x -a ︱+ ︱x -b ︱<c 或 ︱x -a ︱+ ︱x -b ︱>c (c>0) 两种类型的解法，关键是正确分类并转化为不含绝对值的不等式；对于解法二，要搞清它的几何意义是什么，并注意结论是否包括端点； 对于解法三，关键是正确画出两个函数的图象，并准确写出它们交点的坐标． 解不等式 1+x -2-x解法一利用绝对值的几何意义（体现了数形结合的思想）．不等式127x x ++-≥的几何意义是表示数轴上与()1A -、()2B 两点距离之和大于等于7的点，而A 、B 的距离之和为3，因此线段AB 上每一点到A 、B 的距离之和都等于3，A 左侧的点到A 、B 的距离之和等于这点到A 点距离的2倍加3，B 右侧的点到A 、B 的距离之和等于这点到B 点距离的2倍加3．图1由图1可知：原不等式的解集为{}34x x x ≤-≥或．解法二 利用1020x x +=-=，的零点，把数轴分为三段，然后分段考虑．把原不等式化为不含绝对值符号的不等式求解（零点分段讨论法）．（1）当1x <-时，原不等式同解于13127x x x x <-⎧⇒≤-⎨---+≥⎩，，； （2）当12x -≤≤时，原不等式同解于12127x x x -≤≤⎧⇒⎨+-+≥⎩，， 无解； （3）当2x >时，原不等式同解于24127x x x x >⎧⇒≥⎨++-≥⎩，，．综上知，原不等式的解集为{}34x x x ≤-≥或．解法三 通过构造函数，利用函数图像（体现了函数与方程的思想）． 原不等式可化为1270x x ++--≥．令()127f x x x =++--，则(1)(2)7(1)()(1)(2)7(12)(1)(2)7(2)x x x f x x x x x x x -+---<-⎧⎪=+----≤≤⎨⎪++-->⎩，，，于是， 26(1)()4(12)28(2)x x f x x x x --<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪->⎩，，，由图2知，原不等式的解集为{}34x x x≤-≥或解不等式2122x x+--<．解（零点分段法）如图3图3当12x≤-时，原不等式可变形为()()2122x x-++-<，解得5x>-，∴152x-<≤；当122x-<≤时，原不等式可变形为()()2122x x++-<，解得1x<，∴112x-<<；当2x>时，原不等式可变形为()()2122x x+--<，解得1x<-，∴无解．综上所述，原不等式的解集为()51-，．那么，例4是否可以利用绝对值的几何意义求解？答案是否定的，只有当121a a==时才可以采用这种方法，而且解答起来比较简单．另外，上面例3和例4也可以利用平方法解，但是比较麻烦．在例3中，移项后为172x x+≥--，因不知72x--的正负情况，所以要分情况进行讨论．而在例4中虽然不存在例3中的情况，但移项再平方后为242387x x x-<+-，有2x项，再次平方后就会出现高次项，所以不容易解出．那么是不是含两个绝对值符号的不等式用平方法求解都比较麻烦呢？其实，形如()12ax b ax b c c+-+>>和()12ax b ax b c c+++<>的含两个绝对值符号的不等式用平方法并不是很麻烦，可以通过两次平方去掉绝对值化为一般的不等式，所以我们在解题的过程中要选择一个合适的方法进行求解．4 小结以上就是我对中学数学中含绝对值不等式的一些常见形式的解法以及含绝对值不等式应用的一个归纳总结，希望能够帮助大家在解题过程中遇到具体的某种含绝对值符号形式的不等式能够快速准确的选取一个适当的方法进行求解．另外，我们常见的有关含绝对值不等式的形式还有含绝对值的不等式组，它的求解方法与解含绝对值不等式的方法基本相似，但也有它独特的解法，本文由于时间和篇幅问题就不做探讨．含绝对值的不等式的另一方面就是有关它的证明，这也是高中数学的一个重点和难点，它的应用也十分广泛，非常值得大家去研究．参考文献[1] 赵春祥．含绝对值不等式解法要点归纳．http：//，2005.[2] 聂文喜．避开分类讨论解答不等式问题的常用策略[J]．中学数学研究，2005，7．[3] 李长明，周焕山．初等数学研究[M]．北京：高等教育出版社，1995．[4] 薛金星．中学教材全解[M]．西安：陕西人民教育出版社，2009．[5] 蒋会乾．高中习题化知识清单[M]．北京：首都师范大学出版，2009．[6] 吴杨华．高效复习法[M]．北京：北京教育出版社，2007．[7] 王心升．中国高考揭秘[M]．北京：北京教育出版社，2004．[8] 全国高考命题研究组．高考热点题库[M]．北京：北京教育出版社，2005．[9] 齐如意．巧用数学思想解不等式[J]．中学数学研究，2005，1．[10]温振辉．例谈“数形结合法”的运用[J]．中学数学研究，2003，3．谢辞经过一个多月的努力，我的论文终于完成，在我写论文的过程中得到了许多人的支持和帮助，尤其是我的指导老师赵西卿副教授，从论文开始的选题、构思到论文的完成，每一个环节赵老师都给予了精心的指导，而且还对我的论文进行了多次细心的修改，在这里，我对赵老师表示衷心的感谢．另外，我还要感谢其他对我论文提供帮助的老师和同学．然后，我还要感谢大学四年所有给我传授知识的老师们，是你们为我打下坚实的专业知识的基础，才能使我的毕业论文得以顺利完成．最后，我要向在百忙之中抽时间对本文进行审阅、评议和参加本人论文答辩的各位老师表示感谢！（全文共8800个字）。

绝对值不等式的解法及应用绝对值不等式在数学中具有重要的应用价值，在各个领域中都有广泛的运用。

本文将对绝对值不等式的解法进行简要说明，并介绍其在实际问题中的应用。

一、绝对值不等式的解法1. 求解一元绝对值不等式对于形如 |x|<a 的不等式，其中 a>0 ，我们可以将其分解为两个简单的不等式，即 x<a 和-x<a ，然后再根据这两个不等式得到解的范围。

例如，对于 |x|<3 这个不等式，我们可以拆分为 x<3 和 -x<3 ，再分别求解这两个不等式，得到解的范围为 -3<x<3 。

2. 求解含有绝对值不等式的方程对于形如 |f(x)|=g(x) 的方程，可以通过以下步骤求解：Step 1: 根据绝对值的定义，将绝对值拆解为两个条件，即 f(x)=g(x) 和 f(x)=-g(x) 。

Step 2: 分别求解这两个条件对应的方程，得到解的范围。

Step 3: 将 Step 2 中得到的解进行合并，得到最终的解集。

例如，对于 |x-2|=3 这个方程，我们可以拆解为 x-2=3 和 x-2=-3 ，然后求解这两个方程得到 x=5 和 x=-1 ，最终的解集为 {5, -1} 。

二、绝对值不等式的应用绝对值不等式在实际问题中有广泛的应用，下面将介绍其中两个常见的应用领域。

1. 绝对值不等式在不等式求解中的应用在不等式求解中，绝对值不等式是一种常见的工具。

通过合理地运用绝对值不等式，可以简化不等式的求解过程，提高解题效率。

下面通过一个例子来说明。

例题：求解不等式 |2x-1|<5 。

解：根据绝对值的定义，将不等式拆分为两个条件，即 2x-1<5 和2x-1>-5 。

然后分别求解这两个条件对应的方程，得到 x<3 和 x>-2 。

最后将这两个解的范围进行合并，得到最终的解集为 -2<x<3 。

2. 绝对值不等式在数列问题中的应用在数列问题中，绝对值不等式可以用来求解数列的范围，帮助我们找到数列的性质和规律。

思路探寻绝对值不等式问题比较常见.解答含有绝对值的不等式问题，关键是设法去掉不等式中绝对值的符号，将问题转化为常规不等式问题来求解.解答绝对值最值问题的常用方法有零点分段法、数形结合法.我们需熟悉这两种解法的特点、适用情形，熟练掌握运用这两种方法解题的思路，才能将其灵活地应用于解题当中.一、运用零点分段法求解含有多个绝对值的不等式问题，通常要采用零点分段法.先令各个绝对值内部的式子为零，求出各个零点；然后用零点将实数集划分为几个区间，并在每个区间上讨论各个绝对值内部式子的符号；再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，将绝对值不等式转化为常规不等式求解.一般地，当a >0时，||a =a ；当a <0时，||a =-a ；当a =0时，||a =0.例1.已知对于任意非零实数m ，不等式||2m -1+||1-m ≥||m ()||x -1-||2x +3恒成立，求x 的取值范围.解：因为||2m -1+||1-m ||m ≥||2m -1+1-m ||m =1,所以要使||2m -1+||1-m ||m ≥()||x -1-||2x +3恒成立，只需使||x -1-||2x +3≤1()*.令x -1=0，2x +3=0，解得x =1，x =-32.当x ≤-32时，()*可化为1-x -2x -3≤1，解得x ≤-3，所以x ≤-3；当-32<x <1时，()*可化为1-x -2x -3≤1，解得x ≥-1，所以-1≤x ≤1；当x ≥1时，()*可化为x -1-2x -3≤1，解得x ≥-5，所以x ≥1.综上可得，x 的取值范围为(-∞,]-3∪[-1),+∞.零点分段法是解答绝对值不等式问题的基本方法，通过分类讨论，去掉绝对值符号，将绝对值不等式转化为常规不等式求解.在分段讨论后，要取x 的取值范围的并集，最终的结果才是绝对值不等式的解集.二、数形结合数形结合法是通过数形之间的转化来解题的方法.在解答绝对值不等式问题时，我们可采用数形结合法，利用数轴、函数图象来解题.这样可以避免繁琐的分类讨论过程，提升解题的效率.例2.若不等式||x -4+||x -3<a 有解，求a 的取值范围.解：设实数x ，3，4在数轴上对应的点分别为P ,A ,B .由绝对值的几何意义知，||PA +||PB <a 表示P 到A ,B 的距离之和小于a .PAB34x图1如图1，在数轴上任意取一点P ，因为||AB =1，则P 到A ,B 的距离之和大于或等于1，故当a >1时，||x -4+||x -3<a 有解.求得两个绝对值内部式子的零点，并将其标注在数轴上，即可将问题转化为“求P 到A ,B 的距离之和的最小值”.研究数轴上动点P 与两个零点A 、B 之间的位置关系：①P 在零点A 、B 的左边；②P 在零点A 、B 的中间；③P 在零点A 、B 的右边，从而求得问题的答案.例3.解不等式||x -1+2||x +1≤x +7.解：设函数f ()x =||x -1+2||x +1，g ()x =x +7，可得f ()x =||x -1+2||x +1=ìíîïï-3x -1,x ≤-1,x +3,-1<x ≤1,在同一个坐标系中画出f ()x 与g ()x 的图象，如图2所示.由图可知两个函数的图象有两个交点，可得交点的坐标分别为()-2,5,()3,10.观察图象可知，当-2<x <3时，f ()x 的图象始终在g ()x 图象的下方，故不等式f ()x ≤g ()x 的解集为[]-2,3.函数与不等式之间的联系紧密.在解答绝对值不等式问题时，我们可以根据不等式的结构特征构造出函数，将问题转化为函数问题，通过研究函数的图象来分析、解答问题.零点分段法的适用范围较广，但解题的过程较为繁琐.数形结合法较为简便、直观.一般来说，若根据不等式容易画出数轴、函数的图象，可优先使用数形结合法求解.（作者单位：江苏省盐城市第一中学）图252Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

高三数学不等式试题答案及解析1.已知，则A．n＜m＜1B．1＜n＜m C．1＜m＜n D．m＜n＜1【答案】B【解析】函数是减函数，所以故选B2.现将一个质点随即投入区域中，则质点落在区域内的概率是【答案】【解析】略3.不等式的解集为或，则实数的取值范围．【答案】【解析】略4.如果实数满足条件，那么的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解：当直线过点(0，-1)时，最大，故选B5.一元二次不等式的解集为，则的最小值为．【答案】【解析】由已知得，解得，又，则。

【考点】一元二次不等式的解法及基本不等式的应用。

6.设，则函数的最小值是（）A．2B．C．D．3【答案】C【解析】因为，所以，令，则，由于，故知函数是减函数，因此；故选C．【考点】1．换元法；2．函数的最值．7.若变量x，y满足约束条件，则的最小值为．【答案】-6【解析】在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形，目标函数z=x+2y，变化为，当直线沿着y轴向上移动时，z的值随着增大，当直线过A点时，z取到最小值，由与的交点得到，∴，故答案为：﹣6．【考点】简单线性规划．8.已知的大小关系是（）A．a<c<b B．b<a<e C．c<a<b D．a<b<c【答案】D【解析】因为.所以,故D正确.【考点】指数函数,对数函数.9.设，则，，的大小关系是__________________．（用“<”连接）【答案】【解析】令，则，∴函数为增函数，∴，∴，∴，∴，又，∴．【考点】利用导数研究函数的单调性、作差比较大小．10.对一切实数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（-，-2）B．[-2，+）C．[-2,2]D．[0，+）【答案】B【解析】对一切实数x，不等式恒成立，等价于对任意实数，恒成立，因此有或，解得，故选B．【考点】不等式恒成立，二次函数的性质．【名师点晴】本题考查不等式恒成立问题，由于题中含有绝对值符号，因此解题的关键是换元思想，设，这样原来对一切实数恒成立，转化为对所有非负实数，不等式恒成立，也即二次函数在区间上的最小值大于或等于0，最终问题又转化为讨论二次函数在给定区间的最值问题，解题中始终贯彻了转化与化归的数学思想．11.设不等式组所表示的区域为，函数的图象与轴所围成的区域为，向内随机投一个点，则该点落在内的概率为．【答案】【解析】如图所示区域是及其内部．即，所以其面积为．区域是图中阴影部分，面积为．所以所求概率为．【考点】1几何概型概率；2定积分的几何意义．12.已知实数x、y满足，如果目标函数的最小值为－1，则实数m＝（）．A．6B．5C．4D．3【答案】B【解析】将化为，作出可行域和目标函数基准直线（如图所示），当直线向左上方平移时，直线在轴上的截距增大，即变小，所以当直线过点时，取得最小值，即，解得；故选B．【考点】简单的线性规划．13.已知正数满足，则的最小值为（）A．2B．0C．-2D．-4【答案】D【解析】作出题设约束条件表示的可行域，如图内部（含边界），作直线，直线的纵截距是，因此向上平移直线，当过点时，取得最小值，故选D．【考点】简单的线性规划问题．14.已知，满足约束条件若的最小值为，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】先根据约束条件画出可行域，设，将最大值转化为轴上的截距，当直线经过点时，最小，由得：，代入直线，解得故答案选【考点】线性规划．15.选修4-5：不等式选讲已知函数．（1）当时，解不等式；（2）若时，，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】（1）把要解的不等式等价转化为与之等价绝对值不等式，再求出此不等式的解集，即得所求（2）当时，即由此得讨论即可得到实数的取值范围试题解析：(1）当时，不等式为当时，不等式化为，不等式不成立；当时，不等式化为，解得；当时，不等式化为，不等式必成立．综上，不等式的解集为．（2）当时，即由此得当时，的最小值为7，所以的取值范围是【考点】绝对值不等式16.已知函数，其中且．（1）当时，若无解，求的范围；（2）若存在实数，（），使得时，函数的值域都也为，求的范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）分析题意可知，不等式无解等价于恒成立，参变分离后即再进一步等价为，即可求解；（2）分析函数的单调性，可知其为单调递增函数，换元令，从而可将问题等价转化为二次方程根的分布，列得关于的不等式即可求解．试题解析：（1）∵，∴无解，等价于恒成立，即恒成立，即，求得，∴；（2）∵是单调增函数，∴，即，问题等价于关于的方程有两个不相等的解，令，则问题等价于关于的二次方程在上有两个不相等的实根，即，即，得．【考点】1．恒成立问题；2．二次方程的根的分布；3．转化的数学思想．17.选修4-5：不等式选讲已知函数（1）解不等式（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）解绝对值不等式，主要是分类讨论，分类标准由绝对值的定义确定；（2）不等式对任意的恒成立，即的最小值满足，由（1）的讨论，可得．试题解析：（1），当时，由，此时无解当时，由当时，由综上，所求不等式的解集为（2）由（1）的函数解析式可以看出函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故在处取得最小值，最小值为，不等式，对任意的恒成立即，解得故的取值范围为．【考点】解绝对值不等式，不等式恒成立问题，函数的最值．18.若不等式组表示的平面区域为，不等式表示的平面区域为．现随机向区域内撒下一粒豆子，则豆子落在区域内的概率为．【答案】．【解析】不等式组表示的平面区域为，不等式表示的平面区域为．的面积为，其中满足的图形面积为，所以随机向区域内撒下一粒豆子，则豆子落在区域内的概率为．【方法点晴】本题属于几何概型的问题，通常在几何概型中，事件的概率计算公式为：用几何概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应的几何图形，并对几何图形进行相应的几何度量．因此本题解题思路清晰，作出图形，计算相关三角形的面积，代入上述公式便得答案．19.实数满足，则的最大值是（）A．2B．4C．6D．8【答案】B【解析】试题解析：依题画出可行域如图，可见及内部区域为可行域，令，则为直线在轴上的截距，由图知在点处取最大值是4，在处最小值是-2，所以，所以的最大值是4，故选B．【考点】简单线性规划20.选修4－5：不等式选讲已知命题“，”是真命题，记的最大值为，命题“，”是假命题，其中．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的取值范围．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）．【解析】试题解析：（Ⅰ）因为“，”是真命题，所以，恒成立，又，所以恒成立，所以，．又因为，“”成立当且仅当时．因此，，于是．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，因为“，”是假命题，所以“，”是真命题．因为（），因此，，此时，即时．即，，由绝对值的意义可知，．【考点】不等式选讲21.已知实数满足不等式组则的最小值为______．【答案】【解析】由得,则当直线在y轴上的截距最大时取得最小值,所以当直线经过A（2,3）时,z最小,即当x=2,y=3,取得最小值-4．【考点】线性规划22.若关于的不等式组，表示的平面区域是直角三角形区域，则正数的值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】如图，易知直线经过定点，又知道关于的不等式组，表示的平面区域是直角三角形区域，且，所以，解得，故选B.【考点】线性规划.23.已知函数，且关于的不等式的解集为R．（1）求实数的取值范围；（2）求的最小值．【答案】（1）；（2）9【解析】（1）由绝对值的性质可知，由此解不等式即可求出结果；（2）由（1），根据基本不等式的性质，即可求出结果.试题解析：解：（1）依题意，（2）时，当且仅当，即时等号成立。

含绝对值不等式解法要点归纳解含绝对值符号的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法就与一般不等式相同．因此，掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键．一、含有绝对值不等式的几种去掉绝对值符号的常用方法去掉绝对值符号的方法有很多，其中常用的方法有：1．定义法去掉绝对值符号根据实数绝对的意义，即| x | =(0)(0)x xx x≥⎧⎨-<⎩，有：| x |＜c⇔(0)(0)c x c ccφ-<<>⎧⎨≤⎩；| x |＞c⇔(0)0(0)(0)x c x c cx cx R c<->>⎧⎪≠=⎨⎪∈<⎩或；2．利用不等式的性质去掉绝对值符号利用不等式的性质转化为| x |＜c或| x |＞c (c＞0)来解．不等式|ax＋b|＞c (c ＞0)可化为ax＋b＞c或ax＋b＜－c，再由此求出原不等式的解集；不等式|ax＋b|＜c (c＞0)可化为－c＜ax＋b＜c，再由此求出原不等式的解集，对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论“a≤| x |≤b⇔a≤x≤b或－b≤x≤－a求解．这是一中典型的转化与化归的数学思想方法．3．平方法去掉绝对值符号．对于两边都含有“单项”绝对值的不等式，利用| x |2= x2可在两边脱去绝对值符号求解，这样解题要比按绝对值定义，讨论脱去绝对值符号解题简捷．解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围，如果没有明确不等式两边均为非负数，需要分类讨论，只有不等式两边均为非负数，(式)时，才可以直接两边平方，去掉绝对值符号，尤其是解含参数不等式更必须注意的一点．4．零点分段法去掉绝对值符号．所谓“零点分段法”是指：设数x1，x2，x3，…，xn是分别使含有|x－x1|，|x－x2|，|x－x3|，…，|x－xn|的代数式中相应的绝对值为零，称x1，x2，x3，…，xn 为相应绝对值的零点，零点x1，x2，x3，…，xn将数轴分为n＋1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，从而得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值的不等式组来解．即令每一项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集．“零点分段法”是解含有多个绝对值符号的不等式的常用手段，这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法，它可以把求解条理化，思路直观．5．数形结合法去掉绝对值符号解绝对值不等式有时要利用数形结合，利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解．数形结合法形象、直观，可以使复杂问题简单化，此解法适用于| x－a|＋| x－b |＞m或| x－a|＋| x－b |＜m (m为正常数)类型的不等式．二、几点注意事项1．根据绝对值定义，将| x |＜c或| x |＞c (c＞0)转化为两个不等式组，这两个不等式组的关系是“或”而不是“且”，因而原不等式的解集是这两个不等式组解的并集，而不是交集．2．| x |＜c和| x |＞c (c＞0)的解集公式要牢记，以后可以直接作为公式使用．但要注意的是，这两个公式是在c＞0时导出的，当c≤0时，需要另行讨论，不能使用该公式．3．解不等式问题与集合运算有密切联系，在应用集合有关内容处理绝对值不等式的过程中，要注意在不等式组的解集中，对不等式端点值的取舍情况．再有，因为已学习了集合表示法，所以不等式的解集要用集合形式表示，不要使用不等式的形式．4．解含有绝对值的不等式的关键是把含有绝对值的不等式转化为不含绝对值符号的不等式，然后再求解，但这种转化必须是等价转化，尤其是平方法去掉绝对值符号时，一定要注意两边非负这一条件，否则就会扩大或缩小解集的范围．5．要学会灵活运用分类讨论思想、数形结合思想、等价专化与化归思想方法处理绝对值不等式问题．三、典型例题思路点拨例1 关于x的不等式| kx－1|≤5的解集为{x |－3≤x≤2}，求k的值．思路点拨：按绝对值定义直接去掉绝对值符号后，由于k的取值不确定，要以k 的不同取值分类处理．解：原不等式可化为－4≤kx ≤6，当k ＞0时，－k 4≤x ≤k6，依题意，有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-.26,34k k ⇒⎪⎩⎪⎨⎧==3,34k k ，此时无解． 当k = 0时，显然不满足题意．当k ＜0时， k 6≤x ≤－k 4，依题意，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-.36,24kk ⇒ k =－2． 例2 解不等式| x －1|＜| x ＋a |．思路点拨：由于两边均为非负数，因此可以两边平方去掉绝对值符号． 解：由于| x －1|≥0，| x ＋a |＞0，所以两边平方有| x －1|2＜| x ＋a |2， 即有x 2－2x ＋1＜x 2＋2ax ＋a 2，整理得：(2a ＋2)x ＞1－a 2，当2a ＋2＞0，即a ＞－1时，不等式的解为x ＞21(1－a)； 当2a ＋2 = 0，即a =－1时，不等式无解；当2a ＋2＜0，即a ＜1时，不等式的解为x ＜21(1－a)． 例3 若不等式 | x －4|＋| 3－x |＜a 的解集为空集，求a 的取值范围． 思路点拨一：此不等式左边含有两个绝对值符号，如何去掉绝对值符号呢？可考虑采用“零点分段”，即令每一项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集．解一：⑴当a ≤0时，不等式 | x －4|＋| 3－x |＜a 的解集为空集． ⑵当a ＞0时，先求不等式 | x －4|＋| 3－x |＜a 有解时a 的取值范围． 令x －4 = 0，得x = 4，令3－x = 0，得x = 3．①当x ≥4时，原不等式 | x －4|＋| 3－x |＜a 化为：x －4＋x －3＜a ，即2x －7＜a ，解不等式组⎩⎨⎧<-≥.72,4a x x ⇒ 4≤x ＜27+a ⇒4＜27+a ， ∴a ＞1．②当3＜x ＜4时，原不等式 | x －4|＋| 3－x |＜a 化为：4－x ＋x －3＜a ，解得a ＞1．③当x ≤3时，原不等式 | x －4|＋| 3－x |＜a 化为：4－x ＋3－x ＜a ，即7－2x ＜a ，解不等式组⎩⎨⎧<-≤.27,3a x x ⇒ 27a -＜x ≤3⇒，27a -＜3， ∴a ＞1．综合①②③可知，当a ＞1时，原不等式有解，从而当0＜a ≤1时，原不等式解集为空集．由⑴、⑵两种情况可知，不等式 | x －4|＋| 3－x |＜a 的解集为空集，a 的取值范围是a ≤1．思路点拨二：解法一是按去掉绝对值符号的方法求解，这是处理此类问题的一般方法，但运算量大．若仔细观察不等式左边的结构，联想到绝对值| a ＋b|≤| a |＋| b|，便可把问题简化．解二：∵a ＞| x －4|＋| 3－x |≥| x －4＋3－x | = 1，∴当a ＞1时| x －4|＋| 3－x |＜a 有解，从而当0＜a ≤1时，原不等式解集为空集．例4 对任意实数x ，若不等式| x ＋1|－| x －2 |＞k 恒成立，求 k 的取值范围． 思路点拨一：要使| x ＋1|－| x －2 |＞k 对任意x 恒成立，只要| x ＋1|－| x －2 |的最小值大于k ．因| x ＋1|的几何意义为数轴上点x 到－1的距离，| x －2 |的几何意义为数轴上点x 到2的距离，| x ＋1|－| x －2 |的几何意义为数轴上点x 到－1与2的距离的差，其最小值可求．解法一：根据绝对值的几何意义，设数x ，－1，2在 数轴上对应的点分别为P 、A 、B ，原不等式即求| PA|－| PB|＞k 成立，因为|AB| = 3，即| x ＋1|－| x －2 |≥－3，故当k ＜－3时，原不等式恒成立．思路点拨二：如果把不等式的左边用零点分段的方法改写成分段函数，通过画出其图象，从图象观察k 的取值范围． 解法二：令y = | x ＋1|－| x －2 |，则 y =⎪⎩⎪⎨⎧≥<<---≤-.2.321,121,3x x x x 要使| x ＋1|－| x －2 |＞k 恒成立，从图象可以看出，只要k ＜－3即可．故k ＜－3满足题意思．。

含绝对值的不等式及其解法绝对值不等式及其解法。

绝对值不等式是指不等式中含有绝对值的表达式，常见形式为|ax + b| < c 或 |ax + b| > c。

解决这类不等式需要一些特殊的技巧和方法。

首先，我们来看 |ax + b| < c 的不等式。

要解决这个不等式，我们可以将其分解为两个不等式，即 ax + b < c 和 ax + b > -c。

然后分别解这两个不等式，得到的解集合的交集就是原不等式的解集合。

举个例子，假设我们要解决 |3x 2| < 7 的不等式。

首先将其分解为两个不等式，3x 2 < 7 和 3x 2 > -7。

然后分别解这两个不等式，得到 x < 3 和 x > -1。

因此原不等式的解集合为 -1 < x < 3。

接下来，我们来看 |ax + b| > c 的不等式。

对于这种不等式，我们同样可以将其分解为两个不等式，即 ax + b > c 或 ax + b < -c。

然后分别解这两个不等式，得到的解集合的并集就是原不等式的解集合。

举个例子，假设我们要解决 |2x 5| > 3 的不等式。

同样将其分解为两个不等式，2x 5 > 3 和 2x 5 < -3。

然后分别解这两个不等式，得到 x > 4 和 x < 1。

因此原不等式的解集合为 x < 1 或x > 4。

在解决绝对值不等式时，我们需要注意一些特殊情况，比如当c 为负数时，解集为空集；当 a 为零时，不等式简化为一个普通的线性不等式等等。

总的来说，解决绝对值不等式需要将其分解为多个简单的不等式，然后分别解决这些简单的不等式，并将它们的解集合合并或交集，得到原不等式的解集合。

希望这篇文章能够帮助你更好地理解和解决含绝对值的不等式。

含有两个绝对值不等式的解法与应用甘肃省金塔县中学 闫飞 735300绝对值不等式是一类特殊的不等式.尤其是含有两个绝对值不等式涉及的问题很丰富，方法灵活多变，规范的书写过程难以把握，致使同学们望而生畏.本文介绍的含有两个绝对值不等式（如()x a x b c c -±-≥≤）的求解策略及其应用望能给同学们提供一种规范而快捷的解题思路. 一、()a,b,c x a x b c c -±-≥≤（是常数）型不等式 问题一：解不等式512≥-++x x解法1（几何法）如图所示 设-2，1对应点分别是a ，B ，且x 对应的点）到两定点a ，B 之间的距离和等于5的点在点a 的左侧或点B 的右侧，不妨设CA +CB =5, DA +DB =5,则点C 对应的数是2，点D 对应的数是-3，由数轴观察可得512≥-++x x 的解集是(][)--32+∞∞U ，，.思：不等式215x x ++-<的解集是不等式512≥-++x x 解集的补集-32（，），应用解法1（几何法）也很容易得不等式215x x ++-<的解集是-32（，）. 析：0a >时x a -的几何意义（x 对应的点与a 对应的点之间的距离）是该方法的关键点.x a x b -+-表示动点与两定点距离之和.解法2（零点分段讨论法）512≥-++x x 可以转化为：-2(1)-(2)(1)5x x x ≤⎧⎨+--≥⎩或-21(2)(2)(1)5x x x <<⎧⎨+--≥⎩或1(3)(2)+(1)5x x x ≥⎧⎨+-≥⎩ 由（1）得不等式组的解是3x ≤-;由（2）得不等式组的解是x ∈Φ;由（3）得不等式组的解是2x ≥.综合上述可得不等式的解集是{}|23x x x ≥≤-或.析：利用零点将数轴分段讨论去绝对值是该方法的关键点.解法3（分段函数法）设()21f x x x =++-,则()f x 可以转化为：-21(2)()21=3(21)2+11)x x f x x x x x x -≤-⎧⎪=++--<<⎨⎪≥⎩（ 由512≥-++x x 可得-2(1)-215x x ≤⎧⎨-≥⎩或-21(2)35x <<⎧⎨≥⎩或1(3)215x x ≥⎧⎨+≥⎩由（1）得不等式组的解是3x ≤-;由（2）得不等式组的解是x ∈Φ;由（3）得不等式组的解是2x ≥.综合上述可得不等式的解集是{}|23x x x ≥≤-或.析：利用分段函数的思想去绝对值是该方法的关键点. 问题二：解不式2-11x x +-≥解法1（几何法）如图所示 设-2，1对应点分别是a ，B ，且AB x 对应的点）到两定点a ，B 之间的距离差等于1的点在线段a B 之间，不妨设CA -CB =1则点C 对应的数是0，由数轴观察可得2-11x x +-≥的解集是[)0+∞，.思：不等式2-1<1x x +-的解集是不等式2-11x x +-≥解集的补集-∞（，0），应用解法1（几何法）也很容易得不等式2-1<1x x +-的解集是-∞（，0）. 析：0a >时x a -的几何意义（x 对应的点与a 对应的点之间的距离）是该方法的关键点,-x a x b --表示动点与两定点距离之差.解法2（零点分段讨论法），解法3（分段函数法）与问题一解法思路相同（略）.二、已知函数()-a f x x x b =±-,求值域（最值）问题一：已知函数()21f x x x =++-,求()f x 的值域解法1（绝对值的三角不等式）21(2)(1)3x x x x ∴++-≥+--=∴()3f x ≥ 故()f x 的值域是[)3+∞，.解法2（函数图象法）由-21(2)()21=3(21)2+11)x x f x x x x x x -≤-⎧⎪=++--<<⎨⎪≥⎩（得()f x 的图象C a B 0 1-2如右图：则由图可得()f x的值域是[)3+∞，.问题二：已知函数()2-1f x x x=+-求()f x的值域解法1（绝对值的三角不等式）2-1(2)(1)3x x x x∴+-≤+--=∴()3f x≤故()f x的值域是[]-33，.解法2（函数图象法）由3(2)()2-1=21(21)31)xf x x x x xx-≤-⎧⎪=+-+-<<⎨⎪≥⎩（得()f x的图象如右图：则由图可得()f x的值域是[]-33，.析：（1）熟练运用绝对值三角不等式：()()x a x b x a x b a b-+-≥---=-, -()()x a x b x a x b b a--≤---=-⇔a b x a x b a b--≤---≤-是灵活应用解法1的关键.（2）()-a+f x x x b=-（b a>）的图像（1-图），()-a-f x x x b=-（b a>）的图像（2-图）的熟练应用是解法2的关键.三、已知()a,b,cx a x b c c-±-≥≤（其中中有一参数，两常数）求参数取值范围. 问题一：21x x a++-<无解求实数a的取值范围.解法121(2)(1)3x x x x++-≥+--=由则，3a≤.解法2结合1-图要使21x x a++-<无解，则3a≤.问题二：2-1x x a+-<的解集不是空集求实数a的取值范围.1-图2-图解法1由2-1(2)(1)3x x x x +-≤+--=得-32-13x x ≤+-≤，则-3a >. 解法2结合2-图要使2-1x x a +-<的解集不是空集，则-3a >. 问题三：+13x a x -->的解集为R ，求实数a 的取值范围.解法1由-1()(1)1x a x x a x a +-≥---=-, 得13a ->,即-2a <或4a >. 解法2结合1-图要使+13x a x -->的解集为R, 则min ()13f x a =->,即-2a <或4a >. 问题四：21x a x ---≤(a <2) 的解集为{}|-<1x x ∞≤求实数a 的值. 解法：设f(x)=2x a x ---(a <2), 结合2-图要使21x a x ---≤,则(1)=1f ,即112=1a --- ，得 a =-1. 问题五：--21x a x -≤(a <2)的解集为{}|01x x ≤≤，求实数a 的值 解法：由-2()(2)2x a x x a x a --≤---=-，a <2, 得2-22a x a x a -≤--≤- .设f(x)=2x a x ---(a <2) 结合2-图要使--21x a x -≤,(a <2)的解集为{}|01x x ≤≤，则(0)1(1)1f f =-⎧⎨=⎩,得a =-1. 析：绝对值三角不等式得其取值范围（或最值）或()-a +f x x x b =-（b a >）的图像（1-图），()-a -f x x x b =-（b a >）的图像（2-图）的熟练应用是解决该类问题的关键.。