【全程复习方略】(山东专用)高中数学 7.3平面的基本性质及两直线位置关系课时提能训练 理 新人教B版

平面的性质与直线的位置关系（教案）一. 知识梳理1、平面的基本性质：三个公理及公理三的三个推论和它们的用途．2、空间两条直线（1）空间两直线位置关系有平行、相交、异面（2）平行直线①公理4：a ∥b,b ∥c =>a ∥c②等角定理：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，且方向相同，那么这两个角相等③推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等3、异面直线(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线，叫异面直线.(2) 异面直线,a b 所成的角定义： 已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，把,a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）． 为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上 异面直线所成的角的范围：2,0(π4、异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线,a b 垂直，记作a b ⊥．5、求异面直线所成的角的方法：（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求6、两条异面直线公垂线的定义：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线公垂线7两异面直线间的距离：两条异面直线的公垂线在这两异面直线间的线段的长度二. 基础训练1.在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线.②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线.以上两个命题中，逆命题为真命题的是 ____②____(把符合要求的命题序号都填上)2. 如图，四面体ABCD 中，E ，F 分别是AC 、BD 的中点，若CD=2AB=2，EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成的角等于_30°___3.设a 、b 是异面直线，则下列四个命题中：①过a 至少有一个平面平行于b ；②过a 至少有一个平面垂直于b ；③至少有一条直线与a 、b 都垂直；④至少有一个平面分别与a 、b 都平行正确的序号是______①③④_______4.对于四面体ABCD ，给出下列四个命题①若AB=AC ，BD=CD ，则BC ⊥AD .②若AB=CD ，AC=BD ，则BC ⊥AD .③若AB ⊥AC ，BD ⊥CD ，则BC ⊥AD .④若AB ⊥CD ，BD=AC ，则BC ⊥AD .其中真命题的序号是___①④______.(写出所有真命题的序号)5.空间四点A ，B ，C ，D 每两点的距离都为a ，动点P ，Q 分别在线段AB ，CD 上，则点P 与Q 的最短距离是___22a _____ 三.典型例题例1.如图，在四面体ABCD 中作截面PQR ，若RQ 、CB 的延长线交于M ，RQ 、DB 的延长线交于N ，RP 、DC 的延长线交于K .求证：M 、N 、K 三点共线.【解题回顾】利用两平面交线的惟一性，证明诸点在两平面的交线上是证明空间诸点共线的常用方法.备题说明：学会用平面的基本性质证明空间三点共线问题.例2.已知空间四边形ABCD 中，E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边BC 、CD 上的点，且32==CD CG CB CF ；求证：三条直线EF 、GH 、AC 交于一点.【解题回顾】利用两平面交线的惟一性，证明诸点在两平面的交线上是证明空间诸点共线的常用方法.备题说明：学会用平面的基本性质证明空间三线共点问题.例3.已知：α∩β=a ，b ⊂β,a ∩b=A,c ⊂α,c ∥a,求证：b 、c 为异面直线.【解题回顾】反证法是立体几何解题中，用于确定位置关系的一种较好方法，它的一般步骤是：(1)反设——假设结论的反面成立；(2)归谬——由反设及原命题的条件，经过严密的推理，导出矛盾；(3)结论——否定反设，肯定原命题正确.本命题的反面不只一种情形，应通过推证将其反面一一驳倒.备课说明：回忆反证法，能用反证法证明两条直线异面.例4.已知三直线a 、b 、c 互相平行，且分别与直线l 相交于A 、B 、C 三点，证明这三条直线共面.变题：若有n 条直线互相平行，且都与另一直线相交，证明这n+1条直线共面.例5.空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为AB ，BC ，CD ，AD 上的点，请回答下列问题：(1)满足什么条件时，四边形EFGH 为平行四边形?(2)满足什么条件时，四边形EFGH 为矩形?(3)满足什么条件时，四边形EFGH 为正方形?【解】(1)当AE ∶AB=AH ∶AD=CF ∶CB=CG ∶CD 时，四边形EFGH 为平行四边形.(2)当E 、H 为所在边的中点，且32==CD CG CB CF 时，四边形EFGH 为梯形. (3) 当AE ∶AB=AH ∶AD=CF ∶CB=CG ∶CD ，且AC ⊥BD 时四边形EFGH 为正方形.本题图形可作适当的变式，如A —BCD 为正四面体，E ，G 分别为AB ，CD 边的中点，那么异面直线EG 与AC 所成的角为多少?(1990年全国高考题)【说明】①第(1)小题的答案不惟一.②第(3)小题的空间图形可作适当的变式，如A —BCD 为正四面体，E ，G 分别为AB ，CD 边的中点，那么异面直线EG 与AC 所成的角为多少?即可变为1990年全国高考题.四、反馈练习1、三点确定一个平面的条件是________；共点的四条直线是多可以确定_______平面； 互不相交的三条直线可以确定________________平面.解：不共线；四个；一个或两个或三个.2、判断下列命题真假（1）四边相等且有一个内角是直角的四边形是正方形；（ ）（2）四点不共面，则其中任意三点不共线；（ ）（3）“平面不经过直线”的等价说法是“直线上至多有一个点在平面内”；（）（4）两个平面有三个共公点，那么这两个平面重合。

BHC D AF EG直线与平面的位置关系一、直线与平面平行1、等角定理：空间中若两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.推论：若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.2、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.数学符号表示：,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒3、直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.数学符号表示：//,,//a a b a b αβαβ⊂=⇒【例1】如图，空间四边形ABCD 被一平面所截，截面EFGH 是一个矩形， (1)求证：CD ∥平面EFGH ； (2)求异面直线AB ，CD 所成的角．训练：如右图，平行四边形EFGH 的分别在空间四边形ABCD 各边上，求证：BD //平面EFGH .【例2】如图中，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，E 、F 分别是AD 、AA 1的中点.（1）求直线AB 1和CC 1所成的角的大小； （2）求直线AB 1和EF 所成的角的大小.二、直线与平面垂直1、直线与平面垂直的判定定理：（1）一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直. 数学符号表示：,,,,m n m n l m l n l ααα⊂⊂=A ⊥⊥⇒⊥（2）若两条平行直线中一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.//,a b a b αα⊥⇒⊥（3）若一条直线垂直于两个平行平面中一个，那么该直线也垂直于另一个平面.//,a a αβαβ⊥⇒⊥直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.,//a b a b αα⊥⊥⇒【例3】如图O 是正方体下底面ABCD 中心，B 1H ⊥D 1O ，H 为垂足．求证：B 1H ⊥平面AD 1C ．【例4】如图，正方体AC 1中，已知O 为AC 与BD 的交点，M 为DD 1的中点。

高中数学必修2《点、直线、平面之间的位置关系》知识点第二章点、直线、平面之间的位置关系一、平面及其表示平面是指在三维空间中的一个无限大的平面，可以用点和直线来表示。

平面的基本性质可以通过三条公理来描述：①公理1：如果一个点A在直线l上，另一个点B也在直线l上，且A在平面α上，那么B也在平面α上。

②公理2：如果三个不共线的点A、B、C确定一个平面α，那么这三个点必在平面α上。

③公理3：如果一个点P在平面α上，又在平面β上，那么P一定在它们的交线l上。

二、点与面、直线位置关系1、点与平面有两种位置关系：①点A在平面α上；②点B不在平面α上。

2、点与直线有两种位置关系：①点A在直线l上；②点B不在直线l上。

三、空间中直线与直线之间的位置关系1、异面直线是指不在同一平面内的两条直线。

2、直线与直线的位置关系包括相交、共面和平行三种情况。

3、公理4和定理：如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

四、空间中直线与平面之间的位置关系直线与平面的位置关系可以分为三种情况：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行。

五、空间中平面与平面之间的位置关系平面与平面的位置关系可以分为平行和相交两种情况。

其中，平行的两个平面没有公共点，而相交的两个平面有一条公共直线。

直线、平面平行的判定及其性质直线与平面平行的判定方法有三种：利用定义、利用判定定理、利用面面平行的性质。

其中，面面平行的性质可以推导出直线与平面平行的性质。

证明面面平行的常用方法有以下几种：①利用面面平行的定义，一般与反证法结合使用；②利用判定定理；③证明两个平面垂直于同一个平面；④证明两个平面同时平行于第三个平面。

直线与平面垂直的判定方法如下：若直线l与平面α所成角α∈(0,90)，则PO⊥α，AO为___在平面α上的投影，故∠α为直线l与平面α所成角。

二面角α-l-β的平面角为∠___，其中BO⊥l，___。

线面垂直的判定方法如下：___⊥α，___α，且a∩b=A，则___⊥α。

⎪ P ∈⎬ 第二章 点、直线、平面之间的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系一、平面1、平面及其表示2、平面的基本性质①公理 1：A ∈ lB ∈ l⎫⎪ ⇒ l ⊂A ∈⎬B ∈⎪⎭②公理 2：不共线的三点确定一个平面③公理 3：P ∈⎫ ⇒⋂= l 则P ∈ l⎭⎩⎩⎩二、点与面、直线位置关系⎧1、A ∈1、点与平面有 2 种位置关系⎨2、B ∉⎧1、A ∈ l2、点与直线有 2 种位置关系 ⎨2、B ∉ l三、空间中直线与直线之间的位置关系1、异面直线2、直线与直线的位置关系⎧ ⎧相交⎪共面⎨⎨ ⎩⎪异面 3、公理 4 和定理公理 4：l 1 l 3 ⎫⇒ l l⎬ 1 2l 2 l 3 ⎭定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

平行4、求异面直线所成角的步骤：①作：作平行线得到相交直线；②证：证明作出的角即为所求的异面直线所成的角；③构造三角形求出该角。

提示：1、作平行线常见方法有：直接平移，中位线，平行四边形。

2、异面直线所的角的范围是(00 , 900⎤⎦。

四、空间中直线与平面之间的位置关系直线a与平面相交直线a与平面平行a ⊂ a =A a五、空间中平面与平面之间的位置关系=a⎬ ⎬ ⎭ ⎬ ⎭⎭⎪直线、平面平行的判定及其性质一、线面平行1、判定：b ⊄⎫ a ⊂⎪⇒ bb a ⎪（线线平行，则线面平行）2、性质：aa ⊂⎫ ⎪⇒ a b⋂ = b ⎪（线面平行，则线线平行）二、面面平行1、判定：a ⊂⎫ b ⊂⎪ ⎪a ⋂b = P ⎬ ⇒a ⎪b ⎪⎭（线面平行，则面面平行）2、性质 1：⎫= a ⎪ ⇒ a b = b ⎪（面面平行，则线面平行）m ⊂⎬性质2：⎫⇒m⎭（面面平行，则线面平行）说明（1）判定直线与平面平行的方法：①利用定义：证明直线与平面无公共点。

②利用判定定理：从直线与直线平行等到直线与平面平行。

③利用面面平行的性质：两个平面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。