高考一轮数学(理)复习课时作业56

课时作业(五十七) 第57讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理时间：45分钟分值：100分基础热身1．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋b i，其中虚数有( )A．30个 B．42个C．36个 D．35个2．在“庆国庆、展才艺”国庆庆祝活动中，甲、乙、丙三位同学欲报名“朗诵比赛”、“歌唱比赛”，但学校规定每位同学限报其中的一个，且乙知道自已唱歌不如甲，若甲报唱歌，则乙就报朗诵，则他们三人不同的报名方法有( )A．3种 B．6种C．7种 D．8种3．记4名同学报名参加学校三个不同体育队，每人限报一队的不同报法种数为A；记3个班分别从5个风景点中选择一处游览的不同选法种数为B，则A，B分别是( )A．43,53 B．34,35C．34,53 D．43,354．设A，B是两个非空集合，定义A*B＝{(a，b)|a∈A，b∈B}，若P＝{0,1,2}，Q＝{1,2,3,4}，则P*Q中元素的个数是( )A．4 B．7C．12 D．16能力提升5．如图K57－1，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有( )A．72种 B．48种C．24种 D．12种6．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有( )A．6种 B．12种C．24种 D．30种7．从0,2,4中取一个数字，从1,3,5中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是( )A．36 B．48 C．52 D．548．2012·豫南九校摸底将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同的分配方案的种数为( )A．80 B．120C．140 D．509．2012·江西六校联考若自然数n使得作竖式加法n＋(n＋1)＋(n＋2)均不产生进位现象，则称n为“良数”．例如：32是“良数”，因为32＋33＋34不产生进位现象；23不是“良数”，因为23＋24＋25产生进位现象．那么小于1000的“良数”的个数为( )A．27 B．36C．39 D．4810．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有________种行车路线．11．2011·开封模拟将1,2,3，…，9这9个数字填在如图K57－2所示的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，当3,4________种.图K57－212．学校安排4名教师在六天里值班，每天只安排一名教师，每人至少安排一天，至多安排两天，且这两天要相连，那么不同的安排方法有________种(用数字作答)．13．2012·安徽师大附中模拟 用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图K57－3中标号为1,2，…，9的9个小正方形，使得任意相邻(有公共边的)小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1、5、9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有________种.14．(10分)有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(1)每人恰好参加一项，每项人数不限；(2)每项限报一人，且每人至多参加一项；(3)每项限报一人，但每人参加的项目不限．15．(13分)某出版社的7名工人中，有3人只会排版，2人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从7人中安排2人排版，2人印刷，有几种不同的安排方法？难点突破16．(1)(6分)现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( )A ．56B ．65C.5×6×5×4×3×22D ．6×5×4×3×2 (2)(6分)如图K57－4所示，用四种不同颜色给图中的A 、B 、C 、D 、E 、F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有( )A ．288种B ．264种C ．240种D ．168种课时作业(五十七)【基础热身】1．C 解析b有6种取法，a也有6种取法，由分步乘法计数原理共可以组成6×6＝36个虚数．2．B 解析从甲着手分析，分两类：若甲报唱歌，乙则报朗诵，丙可任选，有2种报名方法；若甲报朗诵，则乙、丙均可任选，有2×2＝4(种)报名方法．所以共有2＋4＝6(种)不同的报名方法．3．C 解析 4名学生参加3个运动队，每人限报一个，可以报同一运动队，应该是人选运动队，所以不同的报法种数是34，故A＝34；3个班分别从5个风景点中选择一处游览，应该是班选风景点，故不同的选法种数是53，故B＝53.4．C 解析由分步乘法计数原理知有3×4＝12个．【能力提升】5．A 解析先分两类：一是四种颜色都用，这时A有4种涂法，B有3种涂法，C有2种涂法，D有1种涂法，共有4×3×2×1＝24种涂法；二是用三种颜色，这时A，B，C的涂法有4×3×2＝24种，D只要不与C 同色即可，故D有2种涂法．故不同的涂法共有24＋24×2＝72种．6．C 解析方法1：两人各选修2门的种数为C24C24＝36，再求出两人所选两门都相同和都不同的种数均为C24＝6，故恰好有1门相同的选法有24种．方法2：恰有1门相同，先从4门选1门，选法C14，然后甲从剩下的3门选1门，乙再从甲选后剩下的2门中选1门，根据乘法原理共有选法4×3×2＝24种．7．B 解析若取出的数字含有0，则是2×A23＝12个，若取出的数字不含0，则是C12C23A33＝36个．根据加法原理得总数为48个．8．A 解析分两类：若甲组2人，则乙、丙两组的方法数是C13A22，此时的方法数是C25C13A22＝60；若甲组3人，则方法数是C35A22＝20.根据分类加法计数原理得总的方法数是60＋20＝80.9．D 解析一位良数有0,1,2，共3个；两位数的良数十位数可以是1,2,3，两位数的良数有10,11,12,20,21,22,30,31,32，共9个；三位数的良数有百位为1,2,3，十位数为0的，个位可以是0,1,2，共3×3＝9个，百位为1,2,3，十位不是零时，十位个位可以是两位良数，共有3×9＝27个．根据分类加法计数原理，共有48个小于1000的良数．10．12 解析由分步乘法计数原理有4×3＝12.11．6 解析左上方只能填1，右下方只能填9，此时4的上方只能填2.右上方填5时，其下方填6,7,8；右上方填6时，其下方填7,8；右上方填7时，其下方只能填8，此时左下方的两个格填法随之确定．故只能有3＋2＋1＝6种填法．12．144 解析有两名教师要值班两天，把六天分为四份，两个两天连排的是(1,2)，(3,4)；(1,2)，(4,5)；(1,2)，(5,6)；(2,3)，(4,5)；(2,3)，(5,6)；(3,4)，(5,6)，共六种情况，把四名教师进行全排列，有A44＝24种情况，根据分步乘法计数原理，共有不同的排法6×24＝144种．13．108 解析分步求解．只要在涂好1,5,9后，涂2,3,6即可，若3与1,5,9同色，则2,6的涂法为2×2，若3与1,5,9不同色，则3有两种涂法，2,6只有一种涂法，同理涂4,7,8，即涂法总数是C13(2×2＋C12×1)×(2×2＋C12×1)＝3×6×6＝108.14．解答 (1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同选法，由分步计数原理知共有方法36＝729种．(2)每项限报一人，且每人至多限报一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，由分步计数原理得共有报名方法6×5×4＝120种．(3)由于每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，由分步乘法计数原理得共有不同的报名方法63＝216种．15．解答首先分类的标准要正确，可以选择“只会排版”、“只会印刷”、“既会排版又会印刷”中的一个作为分类的标准．下面选择“既会排版又会印刷”作为分类的标准，按照被选出的人数，可将问题分为三类：第一类：2人全不被选出，即从只会排版的3人中选2人，有3种选法；只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有3×1＝3种选法．第二类：2人中被选出一人，有2种选法．若此人去排版，则再从会排版的3人中选1人，有3种选法，只会印刷的2人全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有2×3×1＝6种选法；若此人去印刷，则再从会印刷的2人中选1人，有2种选法，从会排版的3人中选2人，有3种选法，由分步计数原理知共有2×3×2＝12种选法．再由分类计数原理知共有6＋12＝18种选法．第三类：2人全被选出，同理共有16种选法．所以共有3＋18＋16＝37种选法．【难点突破】16．(1)A (2)B 解析 (1)因为每位同学均有5种讲座可选择，所以6位同学共有5×5×5×5×5×5＝56种选择，故本题选A.(2)分三类：①B、D、E、F用四种颜色，则有A44×1×1＝24种方法；②B、D、E、F用三种颜色，则有A34×2×2＋A34×2×1×2＝192种方法；③B、D、E、F用两种颜色，则有A24×2×2＝48，所以共有不同的涂色方法24＋192＋48＝264种．。

人教版2020版高考数学理科一轮复习课时作业一（共7篇）目录课时作业1集合 (3).................................................................. 错误！未定义书签。

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课时作业2命题及其关系、充分条件与必要条件 (10).................................................................. 错误！未定义书签。

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课时作业3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词. (16).................................................................. 错误！未定义书签。

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课时作业4函数及其表示. (22).................................................................. 错误！未定义书签。

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课时作业5函数的单调性与最值. (28).................................................................. 错误！未定义书签。

课时作业57 直线与圆锥曲线1．直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的交点个数是( A )A ．1B ．2C ．1或2D ．0解析：由直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线y ＝ba x 平行，故直线与双曲线的交点个数是1.2．(2019·山东聊城一模)已知直线l 与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为(2,1)，则直线l 的方程为( D )A ．y ＝x －1B ．y ＝－2x ＋5C ．y ＝－x ＋3D ．y ＝2x －3解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1①，y 22＝4x 2②，①－②得y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，由题可知x 1≠x 2.∴y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝42＝2，即k AB ＝2，∴直线l 的方程为y －1＝2(x －2)，即2x －y －3＝0.故选D.3．(2019·湖北武汉调研)已知直线y ＝kx －1与双曲线x 2－y 2＝4的右支有两个交点，则k 的取值范围为( D )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，52C.⎝⎛⎭⎪⎫－52，52D ．⎝⎛⎭⎪⎫1，52解析：由题意知k ＞0，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝4，整理得(1－k 2)x 2＋2kx－5＝0，因为直线y ＝kx －1与双曲线x 2－y 2＝4的右支有两个交点，则联立所得方程有两个不同的正实数根x 1，x 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4k 2＋20(1－k 2)＞0，x 1＋x 2＝－2k 1－k 2＞0，x 1x 2＝－51－k2＞0，解得1＜k ＜52，即k ∈⎝⎛⎭⎪⎫1，52，故选D.4．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( D )A.12 B ．23 C.34D ．43解析：易知p ＝4，直线AB 的斜率存在，抛物线方程为y 2＝8x ，与直线AB 的方程y －3＝k (x ＋2)联立，消去x 整理得ky 2－8y ＋16k ＋24＝0，由题意知Δ＝64－4k (16k ＋24)＝0，解得k ＝－2或k ＝12.因为直线与抛物线相切于第一象限，故舍去k ＝－2，故k ＝12，可得B (8,8)，又F (2,0)，故k BF ＝8－08－2＝43，故选D.5．(2019·湖北武汉调研)已知不过原点O 的直线交抛物线y 2＝2px 于A ，B 两点，若OA ，AB 的斜率分别为k OA ＝2，k AB ＝6，则OB 的斜率为( D )A ．3B ．2C ．－2D ．－3解析：由题意可知，直线OA 的方程为y ＝2x ，与抛物线方程y 2＝2px 联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y 2＝2px ，得⎩⎨⎧x ＝p2，y ＝p ，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ， 则直线AB 的方程为y －p ＝6⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2， 即y ＝6x －2p ，与抛物线方程y 2＝2px 联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝6x －2p ，y 2＝2px ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p 9，y ＝－2p 3或⎩⎨⎧x ＝p 2，y ＝p ，所以B ⎝⎛⎭⎪⎫2p9，－2p 3，所以直线OB 的斜率为k OB ＝－2p 32p 9＝－3.故选D.6．已知双曲线x 23－y 2＝1的右焦点是抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，直线y ＝kx ＋m 与抛物线相交于A ，B 两个不同的点，点M (2,2)是线段AB 的中点，则△AOB (O 为坐标原点)的面积是( D )A ．4 3B ．313 C.14D ．2 3解析：由已知可得双曲线的右焦点为(2,0)，因为该点也为抛物线的焦点，所以p ＝4，所以抛物线方程为y 2＝8x ，又因为直线y ＝kx ＋m 与抛物线相交于A ，B 两点，所以将直线方程代入抛物线方程可得(kx ＋m )2＝8x ⇒k 2x 2＋(2km －8)x ＋m 2＝0，∴x 1＋x 2＝8－2km k 2，x 1x 2＝m 2k 2. 又因为M (2,2)是线段AB 的中点， 所以x 1＋x 2＝8－2kmk 2＝4，且2＝2k ＋m ， 联立解得k ＝2，m ＝－2.|AB |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝k 2＋1·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝215.O 到AB 的距离d ＝25.∴S △AOB ＝12×215×25＝2 3.7．(2019·泉州质检)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，F 是双曲线C 的右焦点，过F 作双曲线C 在第一、三象限的渐近线的垂线l ，若l 与双曲线C 的左、右两支分别交于点D ，E ，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为( B )A ．(2，3)B ．(2，＋∞)C ．(2，2)D ．(1，62)解析：法一：由题意知，直线l ：y ＝－ab (x －c )，由⎩⎨⎧y ＝－a b (x －c )，b 2x 2－a 2y 2＝a 2b 2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－a 4b 2x 2＋2a 4c b 2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4c 2b 2＋a 2b 2＝0，由x 1x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4c 2b 2＋a 2b 2b 2－a4b 2＜0，得b 4＞a 4，所以b 2＝c 2－a 2＞a 2，所以e 2＞2，得e＞ 2.法二：由题意，知直线l 的斜率为－ab ，若l 与双曲线左、右两支分别交于D ，E 两点，则－a b ＞－ba ，即a 2＜b 2，所以a 2＜c 2－a 2，e 2＞2，得e ＞ 2.8．(2019·洛阳统考)已知双曲线E ：x 24－y 22＝1，直线l 交双曲线于A ，B 两点，若线段AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，则直线l 的方程为( C ) A ．4x ＋y －1＝0 B ．2x ＋y ＝0 C ．2x ＋8y ＋7＝0D ．x ＋4y ＋3＝0解析：依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 214－y 212＝1，x 224－y 222＝1，两式相减得x 21－x 224＝y 21－y 222，即y 1－y 2x 1－x 2＝12×x 1＋x 2y 1＋y 2. 又线段AB 的中点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，因此x 1＋x 2＝2×12＝1，y 1＋y 2＝(－1)×2＝－2， x 1＋x 2y 1＋y 2＝－12，y 1－y 2x 1－x 2＝－14， 即直线AB 的斜率为－14， 直线l 的方程为y ＋1＝－14⎝⎛⎭⎪⎫x －12，即2x ＋8y ＋7＝0.9．(2019·河南洛阳一模)已知直线y ＝2x ＋2与抛物线y ＝ax 2(a ＞0)交于P ，Q 两点，过线段PQ 的中点作x 轴的垂线，交抛物线于点A ，若|A P →＋A Q →|＝|A P →－A Q →|，则a ＝ 2 .解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋2，y ＝ax2得ax 2－2x －2＝0， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－2a ，设PQ 的中点为M ，则x M ＝x A ＝1a ，y A ＝ax 2A ＝1a ，由|A P →＋A Q →|＝|A P →－A Q →|可得A P →·A Q →＝0， 即AP ⊥AQ ，又M 是线段PQ 的中点，∴2|AM |＝|PQ |，由于MA ⊥x 轴， ∴|MA |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a ＋2－1a ＝1a ＋2， 又|PQ |＝5|x 1－x 2|＝5·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝5·4a 2＋8a ，∴4⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋22＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 2＋8a ，解得a ＝2，此时满足Δ＞0成立．故a ＝2.10．(2019·鹰潭模拟)设P 为双曲线x 236－y 225＝1右支上的任意一点，O 为坐标原点，过点P 作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A ，B 两点，则平行四边形P AOB 的面积为 15 .解析：设P (x 0，y 0)(不妨设P 在第一象限)，A 在第一象限，直线P A 的方程为y －y 0＝－56(x －x 0)，直线OA 方程为y ＝56x ，联立解得x A ＝6y 0＋5x 010，又P 到渐近线OA 的距离为d ＝|5x 0－6y 0|61，又tan ∠xOA ＝56，所以cos ∠xOA ＝661.所以平行四边形P AOB 的面积为S ＝2S △OP A ＝|OA |·d ＝|x A |·d cos ∠xOA ＝616×110|6y 0＋5x 0|×|6y 0－5x 0|61＝15.11．(2019·云南11校跨区联考)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，点A ，B 分别为椭圆E 的左、右顶点，点C 在E 上，且△ABC 面积的最大值为2 3.(1)求椭圆E 的方程；(2)设F 为E 的左焦点，点D 在直线x ＝－4上，过F 作DF 的垂线交椭圆E 于M ，N 两点．证明：直线OD 平分线段MN .解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝12，ab ＝23，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，故椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (－4，n )， 线段MN 的中点P (x 0，y 0)， 则2x 0＝x 1＋x 2,2y 0＝y 1＋y 2， 由(1)可得F (－1,0)，则直线DF 的斜率为k DF ＝n －0－4－(－1)＝－n3，当n ＝0时，直线MN 的斜率不存在， 根据椭圆的对称性可知OD 平分线段MN . 当n ≠0时，直线MN 的斜率k MN ＝3n ＝y 1－y 2x 1－x 2.∵点M ，N 在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，整理得：(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)3＝0， 又2x 0＝x 1＋x 2,2y 0＝y 1＋y 2，∴y 0x 0＝－n 4，直线OP 的斜率为k OP ＝－n 4，∵直线OD 的斜率为k OD ＝－n4， ∴直线OD 平分线段MN .12．(2017·天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12.(1)求椭圆的方程和抛物线的方程；(2)设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B (B 异于点A )，直线BQ 与x 轴相交于点D .若△APD 的面积为62，求直线AP 的方程．解：(1)设F 的坐标为(－c,0)．依题意，c a ＝12，p 2＝a ，a －c ＝12，解得a ＝1，c ＝12，p ＝2，于是b 2＝a 2－c 2＝34.所以，椭圆的方程为x 2＋4y 23＝1，抛物线的方程为y 2＝4x .(2)设直线AP 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)，与直线l 的方程x ＝－1联立，可得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－2m ，故Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，2m . 将x ＝my ＋1与x 2＋4y23＝1联立，消去x ，整理得(3m 2＋4)y 2＋6my＝0，解得y ＝0或y ＝－6m 3m 2＋4.由点B 异于点A ，可得点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3m 2＋43m 2＋4，－6m 3m 2＋4.由Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，2m ，可得直线BQ 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫－6m 3m 2＋4－2m (x ＋1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫－3m 2＋43m 2＋4＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2m ＝0，令y ＝0，解得x ＝2－3m 23m 2＋2，故D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－3m 23m 2＋2，0.所以|AD |＝1－2－3m 23m 2＋2＝6m 23m 2＋2.又因为△APD 的面积为62，故12×6m 23m 2＋2×2|m |＝62，整理得3m 2－26|m |＋2＝0，解得|m |＝63，所以m ＝±63.所以，直线AP 的方程为3x ＋6y －3＝0或3x －6y －3＝0.13．(2019·河南郑州一模)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点M (5，0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于C 点，|BF |＝3，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCFS △ACF＝( D )A.34 B ．45 C.56D ．67解析：不妨设点A 在第一象限，B 在第四象限，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为x ＝my ＋ 5.由y 2＝4x 得p ＝2，因为|BF |＝3＝x 2＋p2＝x 2＋1，所以x 2＝2，则y 22＝4x 2＝4×2＝8，所以y 2＝－22，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋5，得y 2－4my －45＝0，由根与系数的关系，得y 1y 2＝－45，所以y 1＝10，由y 21＝4x 1，得x 1＝52.过点A 作AA ′垂直于准线x ＝－1，垂足为A ′，过点B 作BB ′垂直于准线x ＝－1，垂足为B ′，易知△CBB ′∽△CAA ′，所以S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝|BB ′||AA ′|.又|BB ′|＝|BF |＝3，|AA ′|＝x 1＋p 2＝52＋1＝72，所以S △BCF S △ACF ＝372＝67.故选D.14．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，若抛物线y ＝ax 2上的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－12，则m 的值为( A )A.32 B ．52 C ．2D ．3解析：由双曲线的定义知2a ＝4，得a ＝2，所以抛物线的方程为y ＝2x 2.因为点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在抛物线y ＝2x 2上，所以y 1＝2x 21，y 2＝2x 22，两式相减得y 1－y 2＝2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)， 不妨设x 1＜x 2，又A ，B 关于直线y ＝x ＋m 对称，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－1，故x 1＋x 2＝－12，而 x 1x 2＝－12，解得x 1＝－1，x 2＝12，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋y 22＝－14，y 0＝y 1＋y 22＝2x 21＋2x 222＝54， 因为中点M 在直线y ＝x ＋m 上， 所以54＝－14＋m ，解得m ＝32.15．设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)，A 为抛物线上一点(A 不同于原点O )，过焦点F 作直线平行于OA ，交抛物线于P ，Q 两点．若过焦点F 且垂直于x 轴的直线交直线OA 于B ，则|FP |·|FQ |－|OA |·|OB |＝ 0 .解析：设OA 所在的直线的斜率为k ，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2px 得到A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2p k 2，2p k ，易知B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，kp 2， P ，Q 的坐标由方程组⎩⎨⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px得到，消去x ，得ky 22p －y －kp 2＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由根与系数的关系得，y 1y 2＝－p 2，根据弦长公式，|FP |·|FQ |＝1＋1k 2·|y 1|·1＋1k 2·|y 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2|y 1y 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2p 2，而|OA |·|OB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2p k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2p k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫p 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫kp 22＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1k 2p 2，所以|FP |·|FQ |－|OA |·|OB |＝0.16．(2019·湖北调研)已知椭圆Γ：x 24＋y 22＝1，过点P (1,1)作倾斜角互补的两条不同直线l 1，l 2，设l 1与椭圆Γ交于A 、B 两点，l 2与椭圆Γ交于C ，D 两点．(1)若P (1,1)为线段AB 的中点，求直线AB 的方程；(2)若直线l 1与l 2的斜率都存在，记λ＝|AB ||CD |，求λ的取值范围． 解：(1)解法一(点差法)： 由题意可知直线AB 的斜率存在．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 214＋y 212＝1，x 224＋y 222＝1，两式作差得y 1－y 2x 1－x 2＝－24·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－24·2×12×1＝－12，∴直线AB 的方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0. 解法二：由题意可知直线AB 的斜率存在． 设直线AB 的斜率为k ，则其方程为y －1＝k (x －1)，代入x 2＋2y 2＝4中，得x 2＋2[kx －(k －1)]2－4＝0.∴(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2(k －1)2－4＝0. Δ＝[－4(k －1)k ]2－4(2k 2＋1)[2(k －1)2－4] ＝8(3k 2＋2k ＋1)＞0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k (k －1)2k 2＋1，x 1x 2＝2(k －1)2－42k 2＋1.∵AB 中点为(1,1)，∴12(x 1＋x 2)＝2k (k －1)2k 2＋1＝1，则k ＝－12.∴直线AB 的方程为y －1＝－12(x －1)， 即x ＋2y －3＝0.(2)由(1)可知|AB |＝1＋k 2 |x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·8(3k 2＋2k ＋1)2k 2＋1. 设直线CD 的方程为y －1＝－k (x －1)(k ≠0)． 同理可得|CD |＝1＋k 2·8(3k 2－2k ＋1)2k 2＋1.∴λ＝|AB ||CD |＝3k 2＋2k ＋13k 2－2k ＋1(k ≠0)，λ＞0.∴λ2＝1＋4k 3k 2＋1－2k＝1＋43k ＋1k －2. 令t ＝3k ＋1k ，则t ∈(－∞，－2 3 ]∪[23，＋∞)，令g (t )＝1＋4t －2，t ∈(－∞，－2 3 ]∪[23，＋∞)，∵g (t )在(－∞，－23]，[23，＋∞)上单调递减， ∴2－3≤g (t )＜1或1＜g (t )≤2＋ 3. 故2－3≤λ2＜1或1＜λ2≤2＋ 3.∴λ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫6－22，1∪⎝ ⎛⎦⎥⎤1，6＋22.。

课后限时自测A 组 基础训练一、选择题1．双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，直线l 过焦点F ，且斜率为k ，则直线l 与双曲线C 的左、右两支都相交的充要条件是( )A ．k ＞－ba B ．k ＜ba C ．k ＞b a 或k ＜－baD ．－b a ＜k ＜b a【解析】 由双曲线的几何意义，－b a ＜k ＜ba . 【答案】 D2．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( )A.54 B ．5 C.52D. 5【解析】 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线为y ＝ba x ， 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b ax ，y ＝x 2＋1，消去y 得，x 2－ba x ＋1＝0有唯一解，所以Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－4＝0，b a ＝2，e ＝ca ＝a 2＋b 2a ＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝ 5. 【答案】 D3．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且两点在抛物线上，∴⎩⎨⎧y 21＝2px 1， ①y 22＝2px 2， ②①－②得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝2p (x 1－x 2)， 又线段AB 的中点的纵坐标为2，∴y 1＋y 2＝4， 又直线的斜率为1，∴y 1－y 2x 1－x 2＝1，∴2p ＝4，p ＝2，∴抛物线的准线方程为x ＝－p2＝－1. 【答案】 B4．(2013·大纲全国卷)椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线P A 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线P A 1斜率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，1 【解析】 由题意可得A 1(－2,0)，A 2(2,0)，当P A 2的斜率为－2时，直线P A 2的方程为y ＝－2(x －2)，代入椭圆方程，消去y 化简得19x 2－64x ＋52＝0，解得x ＝2或x ＝2619.由点P 在椭圆上得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2619，2419，此时直线P A 1的斜率k ＝38.同理，当直线P A 2的斜率为－1时，直线P A 2方程为y ＝－(x －2)，代入椭圆方程，消去y 化简得7x 2－16x ＋4＝0，解得x ＝2或x ＝27.由点P 在椭圆上得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫27，127，此时直线P A 1的斜率k ＝34.数形结合可知，直线P A 1斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34.【答案】 B5．(2013·山东高考)抛物线C 1：y ＝12p x 2(p ＞0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )A.316B.38C.233D.433【解析】 ∵双曲线C 2：x 23－y 2＝1， ∴右焦点为F (2,0)，渐近线方程为y ＝±33x . 抛物线C 1：y ＝12p x 2(p ＞0)，焦点为F ′⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2.设M (x 0，y 0)，则y 0＝12p x 20. ∵k MF ′＝k FF ′，∴12p x 20－p 2x 0＝p2－2.①又∵y ′＝1p x ，∴y ′|x ＝x 0＝1p x 0＝33.②由①②得p ＝433. 【答案】 D 二、填空题6．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1恒有公共点，则m 的取值范围是 ．【解析】直线y ＝kx ＋1过定点(0,1)，由题意知⎩⎨⎧m ＞0，m ≠5，m ≥1，∴m ≥1，且m ≠5.【答案】 m ≥1，且m ≠57．(2014·潍坊质检)已知抛物线y ＝ax 2的焦点到准线的距离为2，则直线y ＝x ＋1截抛物线所得的弦长等于 ．【解析】 由题设p ＝12a ＝2，∴a ＝14.抛物线方程为y ＝14x 2，焦点为F (0,1)，准线为y ＝－1. 直线过焦点F ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14x 2，y ＝x ＋1，消去x ，整理得y 2－6y ＋1＝0，∴y 1＋y 2＝6， ∴所得弦|AB |＝|AF |＋|BF |＝y 1＋1＋y 2＋1＝8. 【答案】 88．已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)与y 轴交于A ，B 两点，点F 为该椭圆的一个焦点，则△ABF 面积的最大值为 ．【解析】 不妨设点F 的坐标为(4－b 2，0)，而|AB |＝2b ，∴S △ABF ＝12×2b ×4－b 2＝b 4－b 2＝b 2(4－b )2≤b 2＋4－b 22＝2(当且仅当b 2＝4－b 2.即b 2＝2时取等号)．故△ABF 面积的最大值为2. 【答案】 2 三、解答题9．(2014·济南调研)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫55a ，22a 在椭圆上．(1)求椭圆的离心率；(2)设A 为椭圆的左顶点，O 为坐标原点，若点Q 在椭圆上且满足|AQ |＝|AO |，求直线OQ 的斜率的值．【解】 (1)因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫55a ，22a 在椭圆上，故a 25a 2＋a 22b 2＝1，可得b 2a 2＝58.于是e 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝38，所以椭圆的离心率e ＝64.(2)设直线OQ 的斜率为k ，则其方程为y ＝kx .设点Q 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 20b2＝1.消去y 0整理得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b2.①由|AQ |＝|AO |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0.又x 0≠0，故x 0＝－2a 1＋k 2.代入①，整理得(1＋k 2)2＝4k 2·a 2b 2＋4.由(1)知a 2b 2＝85，故(1＋k 2)2＝325k 2＋4，得k 2＝5. 所以直线OQ 的斜率k ＝±5.10．(2013·北京高考)直线y ＝kx ＋m (m ≠0)与椭圆W ：x 24＋y 2＝1相交于A ，C 两点，O 是坐标原点．(1)当点B 的坐标为(0,1)，且四边形OABC 为菱形时，求AC 的长； (2)当点B 在W 上且不是W 的顶点时，证明：四边形OABC 不可能为菱形． 【解】 (1)因为四边形OABC 为菱形， 所以AC 与OB 互相垂直平分． 所以可设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，12，代入椭圆方程得t 24＋14＝1， 即t ＝±3.所以|AC |＝2 3.(2)证明：假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点，且AC ⊥OB ，所以k ≠0.由⎩⎨⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m消去y 并整理得 (1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝－4km1＋4k 2， y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m1＋4k 2， 所以AC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2.因为M 为AC 和OB 的交点，且m ≠0，k ≠0， 所以直线OB 的斜率为－14k .因为k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14k ≠－1，所以AC 与OB 不垂直． 所以四边形OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 在W 上且不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形．B 组 能力提升1．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A 、B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2 B.455 C.4105D.8105【解析】 设直线l 为y ＝x ＋t ，椭圆与直线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由⎩⎨⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t .消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0， 则有x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4(t 2－1)5. ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2·(－85t )2－4×4(t 2－1)5＝4255－t 2， 当t ＝0时，|AB |max ＝4105. 【答案】 C2．(2013·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B .设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2，若d 2＝6d 1，则椭圆C 的离心率为 ．【解析】 依题意，d 2＝a 2c －c ＝b 2c .又BF ＝c 2＋b 2＝a ，所以d 1＝bca .由已知可得b 2c ＝6·bc a ，所以6c 2＝ab ，即6c 4＝a 2(a 2－c 2)，整理可得a 2＝3c 2，所以离心率e ＝c a ＝33.【答案】 333．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 23＋y 2＝1.如图8－9－3所示，斜率为k (k ＞0)且不过原点的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线x ＝－3于点D (－3，m )．图8－9－3(1)求m 2＋k 2的最小值；(2)若|OG |2＝|OD |·|OE |，求证：直线l 过定点．【解】 (1)设直线l 的方程为y ＝kx ＋t (k ＞0)．由题意知t ＞0. 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6ktx ＋3t 2－3＝0. 由题意知Δ＞0，所以3k 2＋1＞t 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，得 x 1＋x 2＝－6kt3k 2＋1，所以y 1＋y 2＝2t3k 2＋1.所以x E ＝－3kt 3k 2＋1，y E ＝t3k 2＋1， 此时k OE ＝y E x E＝－13k .所以OE 所在直线的方程为y ＝－13k x . 由题意知D (－3，m )在直线OE 上， 所以m ＝1k，即mk ＝1，所以m 2＋k 2≥2mk ＝2，当且仅当m ＝k ＝1时等号成立． 此时由Δ＞0，得0＜t ＜2.因此当m ＝k ＝1且0＜t ＜2时，m 2＋k 2取最小值2. (2)证明 由(1)知OD 所在直线的方程为y ＝－13k x ， 将其代入椭圆C 的方程，并由k ＞0， 解得G (－3k 3k 2＋1，13k 2＋1)．又E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3kt 3k 2＋1，t 3k 2＋1，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，1k ，由距离公式及t ＞0，得|OG |2＝⎝⎛⎭⎪⎫－3k 3k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k 2＋12＝9k 2＋13k 2＋1，|OD |＝ (－3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＝9k 2＋1k ，|OE |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3kt 3k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t 3k 2＋12＝t 9k 2＋13k 2＋1.由|OG |2＝|OD |·|OE |，得t ＝k . 因此直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)． 所以直线l 恒过定点(－1,0).。

2025年高考数学一轮复习课时作业-余弦定理、正弦定理【原卷版】(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)在△ABC中,sin2A=sin2B+sin2C+sin B sin C,则cos A=()A.12B.-12C.32D.-322.(5分)(2023·连云港模拟)在△ABC中,a=5,c=3,cos A=23,则b=()A.1B.2C.3D.43.(5分)在△ABC中,a=2,b=3,cos B=74,则A=()A.π6B.π3C.5π6D.π6或5π64.(5分)(2023·丰台模拟)在△ABC中,(a-c)(sin A+sin C)=(a+b)cos(π2+B),则C=()A.π6B.π3C.2π3D.5π65.(5分)在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2-b2=c2-2bc且b cos C=a sin B,则△ABC是()A.等腰直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.直角三角形6.(5分)(多选题)在△ABC中,已知c2=3(a2-b2),tan C=3,则下列结论正确的是()A.cos B=2 3B.tan A=2tan BC.tan B=-12D.B=45°7.(5分)已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b=2,c=3,A=2B,则a=.8.(5分)(2022·上海高考)已知在△ABC中,A=π3,AB=2,AC=3,则△ABC的外接圆半径为.9.(5分)(2023·潍坊质检)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且b=3,a-c=2,A=2π3,则△ABC的面积为.10.(10分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,c=3a sin C-c cos A.(1)求角A;(2)若a=7,b+c=19,求△ABC的面积S.11.(10分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos2(π2+A)+cos A=54.(1)求A;(2)若b-c=33a,证明:△ABC是直角三角形.【能力提升练】12.(5分)在△ABC中,∠B=45°,c=4,只需添加一个条件,即可使△ABC存在且唯一.在条件:①a=32;②b=25;③cos C=-45中,所有可以选择的条件的序号为() A.① B.①②C.②③D.①②③13.(5分)(多选题)东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”,根据面积关系给出了勾股定理的证明,后人称其为“赵爽弦图”.如图1,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.我们通过类比得到图2,它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形A'B'C'拼成的一个大等边三角形ABC,对于图2,下列结论正确的是()A.这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形B.若BB'=3,sin∠ABB'=5314,则A'B'=2C.若AB=2A'B',则AB'=5BB'D.若A'是AB'的中点,则三角形ABC的面积是三角形A'B'C'面积的7倍14.(10分)在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且c=23,2sin(2C-π3)=3.(1)若a=22,求角A;(2)求△ABC面积的最大值.2025年高考数学一轮复习课时作业-余弦定理、正弦定理【解析版】(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)在△ABC中,sin2A=sin2B+sin2C+sin B sin C,则cos A=()A.12B.-12C.32D.-32【解析】选B.因为sin2A=sin2B+sin2C+sin B sin C,所以由正弦定理得a2=b2+c2+bc,则cos A= 2+ 2- 22 =-12.2.(5分)(2023·连云港模拟)在△ABC中,a=5,c=3,cos A=23,则b=()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.由余弦定理可得,a2=b2+c2-2bc cos A=b2+9-4b=5,即b2-4b+4=0,解得b=2.3.(5分)在△ABC中,a=2,b=3,cos B=74,则A=()A.π6B.π3C.5π6D.π6或5π6【解析】选A.因为a=2,b=3,cos B=74,所以sin B=1-cos2 =34,因为由正弦定理可得 sin = sin ,所以sin A= ·sin =2×343=12,又b>a,可得A为锐角,所以A=π6.4.(5分)(2023·丰台模拟)在△ABC中,(a-c)(sin A+sin C)=(a+b)cos(π2+B),则C=()A.π6B.π3C.2π3D.5π6【解析】选C.在△ABC中,(a-c)(sin A+sin C)=(a+b)cos(π2+B),则(a-c)(sin A+sin C)=-(a+b)sin B,由正弦定理可得(a-c)(a+c)=-(a+b)b,所以a2+b2-c2=-ab,则cos C= 2+ 2- 22 =-12,由于C∈(0,π),故C=2π3.5.(5分)在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2-b2=c2-2bc且b cos C=a sin B,则△ABC是()A.等腰直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.直角三角形【解析】选A.因为a2-b2=c2-2bc,即b2+c2-a2=2bc,所以cos A= 2+ 2- 22 =2 2 =22,又A∈(0,π),所以A=π4,因为b cos C=a sin B,利用正弦定理可得sin B cos C=sin A sin B,由sin B≠0,可得cos C=sin A=22,又C∈(0,π),所以C=π4,B=π-A-C=π2,则△ABC是等腰直角三角形.6.(5分)(多选题)在△ABC中,已知c2=3(a2-b2),tan C=3,则下列结论正确的是()A.cos B=2 3B.tan A=2tan BC.tan B=-12D.B=45°【解析】选ABD.因为c2=3(a2-b2),所以b2=a2- 23,所以cos B= 2+ 2- 22 = 2+ 2-( 2- 23)2 =23 ,故A正确;由cos B=2 3 可得3a cos B=2c,所以3sin A cos B=2sin(A+B),3sin A cos B=2sin A cos B+2cos A sin B,sin A cos B=2cos A sin B,所以tan A=2tan B,故B正确;因为tan C=3,所以tan(A+B)=tan +tan1-2tan2 =3tan 1-2tan2 =-3,1-tan tan =2tan +tan得tan B=-12或tan B=1.因为cos B=2 3 >0,所以B为锐角,tan B=1,B=45°,故C错误,D正确.7.(5分)已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b=2,c=3,A=2B,则a=.【解析】因为A=2B,所以sin A=sin2B,故sin A=2sin B cos B,由正弦定理得a=2b cos B,又由余弦定理得a=2b· 2+ 2- 22 ,代入b=2,c=3,可得a2=10,故a=10.答案:108.(5分)(2022·上海高考)已知在△ABC中,A=π3,AB=2,AC=3,则△ABC的外接圆半径为.【解析】在△ABC中,A=π3,AB=2,AC=3,利用余弦定理BC2=AC2+AB2-2AB·AC·cos A,整理得BC=7,所以 sin =2R,解得R=213.答案:2139.(5分)(2023·潍坊质检)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且b=3,a-c=2,A=2π3,则△ABC的面积为.【解析】由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A,因为b=3,a-c=2,A=2π3,所以(c+2)2=32+c2-2×3c×(-12),解得c=5,则△ABC的面积为S=12bc sin A=12×3×5×32=1534.答案:153410.(10分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,c=3a sin C-c cos A.(1)求角A;(2)若a=7,b+c=19,求△ABC的面积S.【解析】(1)因为c=3a sin C-c cos A,所以sin C=3sin A sin C-sin C cos A,又sin C≠0,所以1=3sin A-cos A,即sin(A-π6)=12.又A∈(0,π),所以A=π3.(2)因为a=7,b+c=19,A=π3,所以由a2=b2+c2-2bc cos A,得7=b2+c2-bc,即7=(b+c)2-3bc,解得bc=4.所以S=12bc sin A=3.11.(10分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos2(π2+A)+cos A=54.(1)求A;(2)若b-c=33a,证明:△ABC是直角三角形.【解析】(1)因为cos2(π2+A)+cos A=54,所以sin2A+cos A=54,即1-cos2A+cos A=54,解得cos A=12.又0<A<π,所以A=π3.(2)因为A=π3,所以cos A= 2+ 2- 22 =12,即b2+c2-a2=bc.①又b-c=33a,②将②代入①,得b2+c2-3(b-c)2=bc,即2b2+2c2-5bc=0,而b>c,解得b=2c,所以a=3c.所以b2=a2+c2,即△ABC是直角三角形.【能力提升练】12.(5分)在△ABC中,∠B=45°,c=4,只需添加一个条件,即可使△ABC存在且唯一.在条件:①a=32;②b=25;③cos C=-45中,所有可以选择的条件的序号为() A.① B.①②C.②③D.①②③【解析】选B.在△ABC中,∠B=45°,c=4,若添加条件①,则由余弦定理可得b2=a2+c2-2ac cos B=10,即b=10,即△ABC存在且唯一;若添加条件②,则由余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B,可得:a2-42a-4=0,解得a=2(2+3),即△ABC存在且唯一;若添加条件③,则由-45<-22,得C>135°,则B+C>45°+135°=180°,即△ABC不存在,即可以选择的条件的序号为①②.13.(5分)(多选题)东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”,根据面积关系给出了勾股定理的证明,后人称其为“赵爽弦图”.如图1,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.我们通过类比得到图2,它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形A'B'C'拼成的一个大等边三角形ABC,对于图2,下列结论正确的是()A.这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形B.若BB'=3,sin∠ABB'=5314,则A'B'=2C.若AB=2A'B',则AB'=5BB'D.若A'是AB'的中点,则三角形ABC的面积是三角形A'B'C'面积的7倍【解析】选ABD.由图可知AA'=BB',所以BB'<AB',故A正确;在△ABB'中,sin∠ABB'=5314,而∠AB'B=120°,所以cos∠ABB'=1-sin2∠ '=1114,sin∠BAB'=sin(60°-∠ABB')=sin60°cos∠ABB'-cos60°sin∠ABB'=3314.由正弦定理得 'sin∠ '= 'sin∠ ',解得AB'=5.又因为AA'=BB'=3,所以A'B'=AB'-AA'=2,故B正确;不妨设AB=2A'B'=2,BB'=x,由余弦定理得AB2=BB'2+AB'2-2BB'·AB'cos120°,解得x=5-12,所以 ' '=1+ =5+1故C错误;若A'是AB'的中点,则S△ABB'=12BB'·AB'sin120°=B'C'·A'B'sin60°=2S△A'B'C',所以S △ABC =7S △A'B'C',故D 正确.14.(10分)在锐角三角形ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且c =23,2sin(2C -π3)=3.(1)若a =22,求角A ;(2)求△ABC 面积的最大值.【解析】(1)由2sin(2C -π3)=3,得sin(2C -π3)=32,因为△ABC 为锐角三角形,所以C ∈(0,π2),则2C -π3∈(-π3,2π3),所以2C -π3=π3,得C =π3.由正弦定理得 sin = sin ,22sin =23sin π3,得sin A =22,因为A ∈(0,π2),所以A =π4;(2)由(1)可知C =π3,在锐角三角形ABC 中,c =23,C =π3,则由余弦定理得,c 2=a 2+b 2-2ab cos C ,12=a 2+b 2-2ab cos π3=a 2+b 2-ab ≥2ab -ab =ab ,当且仅当a =b 时取等号,所以ab 的最大值为12,所以12ab sin C ≤12×12×32=33,当且仅当a =b 时取等号,所以△ABC 面积的最大值为33.。

高考数学一轮复习 57课时作业一、选择题1．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则∠A ＝( )A ．60°B ．45°C ．120°D ．30° 答案 C 解析 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12，∴∠A ＝120°. 2．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c 等于( )A ．1B ．2 C.3－1 D. 3 答案 B 解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得3sin π3＝1sin B ， ∴sin B ＝12，故∠B ＝30°或150°.由a >b ， 得∠A >∠B ，∴∠B ＝30°.故∠C ＝90°，由勾股定理得c ＝2.3．在△ABC 中，若sin A ·sin B <cos A ·cos B ，则此三角形的外心位于它的( )A ．内部B ．外部C ．一边上D ．以上都有可能 答案 B解析 sin A sin B <cos A cos B即cos A cos B －sin A sin B >0，∴cos(A ＋B )>0∴A ＋B 为锐角，∴C 为钝角∴△ABC 为钝角三角形，外心位于它的外部．4．在△ABC 中，三内角A 、B 、C 分别对三边a 、b 、c ，tan C ＝43，c ＝8，则△ABC 外接圆半径R 为( )A ．10B ．8C ．6D ．5答案 D解析 本题考查解三角形．由题可知应用正弦定理，由tan C ＝43⇒sin C ＝45， 则2R ＝c sin C ＝845＝10，故外接圆半径为5. 5．(2011·太原模拟)△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，∠B ＝30°，△ABC 的面积为0.5，那么b 为( )A ．1＋ 3B ．3＋ 3 C.3＋33 D ．2＋ 3答案 C解析 2b ＝a ＋c ，12ac ·12＝12⇒ac ＝2， a 2＋c 2＝4b 2－4，b 2＝a 2＋c 2－2ac ·32⇒b 2＝4＋233⇒b ＝3＋33. 6．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积为( )A.32B.34C.32或 3D.34或32 答案 D解析 如图，由正弦定理得sin C ＝c ·sin B b ＝32，而c >b ， ∴C ＝60°或C ＝120°，∴A ＝90°或A ＝30°，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝32或34. 7．(2010·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°答案 A 解析 由sin C ＝23sin B 可得c ＝23b ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc＝32，于是A ＝30°，因此选A. 8．在△ABC 中，若(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab 且sin C ＝2sin A cos B ，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形，但不是等边三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形，但不是等腰三角形答案 A解析 ∵(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，即a 2＋b 2－c 2＝ab ， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝60°. 又sin C ＝2sin A cos B ，由sin C ＝2sin A ·cos B 得c ＝2a ·a 2＋c 2－b 22ac， ∴a 2＝b 2，∴a ＝b .∴△ABC 为等边三角形．二、填空题9．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C ，B ＝π3且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．答案 3 解析 在△ABD 中，B ＝π3，BD ＝2，AB ＝1， 则AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos π3＝3. 所以AD ＝ 3.10．(2010·广东卷)已知a ，b ，c 分别是ΔABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin A ＝________.答案 12解析 由A ＋C ＝2B ，且A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝60°，由正弦定理得3sin 60°＝1sin A，∴sin A ＝12. 11．(2010·山东卷)在ΔABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．答案 π6解析 由sin B ＋cos B ＝2sin(B ＋π4)＝2得sin(B ＋π4)＝1，所以B ＝π4.由正弦定理asin A ＝b sin B 得sin A ＝a sin B b ＝2·sin π42＝12，所以A ＝π6或5π6(舍去)． 三、解答题12．(2010·全国卷Ⅱ)ΔABC 中，D 为边BC 上的一点，BD ＝33，sin B ＝513，cos ∠ADC ＝35，求AD . 解析 由cos ∠ADC ＝35>0知B <π2. 由已知得cos B ＝1213，sin ∠ADC ＝45. 从而sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －B )＝45×1213－35×513＝3365. 由正弦定理得AD sin B ＝BDsin ∠BAD. 所以AD ＝BD ·sin B sin ∠BAD ＝33×5133365＝25. 13．已知△ABC 中，∠B ＝45°，AC ＝10，cos C ＝255. (1)求BC 边的长；(2)记AB 的中点为D ，求中线CD 的长．解析 (1)由cos C ＝255得sin C ＝55， sin A ＝sin(180°－45°－C )＝22(cos C ＋sin C )＝31010.由正弦定理知BC ＝ACsin B ·sin A ＝1022·31010＝3 2. (2)AB ＝AC sin B ·sin C ＝1022·55＝2. BD ＝12AB ＝1.由余弦定理知CD ＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos B ＝1＋18－2·1·32·22＝13. 讲评 解斜三角形的关键在于灵活地运用正弦定理和余弦定理，熟练掌握用正弦定理和余弦定理解决问题，要注意由正弦定理a sin A ＝bsin B 求B 时，应对解的个数进行讨论；已知a ，b ，A ，求c 时，除用正弦定理asin A ＝c sin C 外，也可用余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2ab cos A 求解． 14．在△ABC 中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝(cos2B,2cos 2B 2－1)，且m ∥n . (Ⅰ)求锐角B 的大小；(Ⅱ)如果b ＝2，求△ABC 的面积S △ABC 的最大值．解析 (Ⅰ)m ∥n ⇒2sin B (2cos 2B2－1)＝－3cos2B ⇒2sin B cos B ＝－3cos2B ⇒tan2B ＝－3.∵0<2B <π，∴2B ＝2π3，∴B ＝π3. (Ⅱ)已知b ＝2，由余弦定理，得：4＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝ac (当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)．∵△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤3， ∴△ABC 的面积S △ABC 的最大值为 3.15．(2010·陕西卷)如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？答案 救援船到达D 点需要1小时．解析 由题意知AB ＝5(3＋3)海里， ∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°，∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°，在△DAB 中，由正弦定理得DB sin ∠DAB ＝AB sin ∠ADB， ∴DB ＝AB ·sin∠DAB sin ∠ADB ＝53＋3·sin45°sin105°＝53＋3·sin45°sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝533＋13＋12＝103(海里)，又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC ＝203(海里)， 在△DBC 中，由余弦定理得CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos∠DBC＝300＋1200－2×103×203×12＝900， ∴CD ＝30(海里)，则需要的时间t ＝3030＝1(小时)． 答：救援船到达D 点需要1小时．注：如果认定△DBC 为直角三角形，根据勾股定理正确求得CD ，同样给分．。

课时作业56　最值、范围、证明问题第一次作业　基础巩固练1．已知动圆C 与圆C 1：(x －2)2＋y 2＝1相外切，又与直线l ：x ＝－1相切．(1)求动圆圆心轨迹E 的方程；(2)若动点M 为直线l 上任一点，过点P (1,0)的直线与曲线E 相交于A ，B 两点，求证：k MA ＋k MB ＝2k MP .解：(1)由题知，动圆C 的圆心到点(2,0)的距离等于到直线x ＝－2的距离，所以由抛物线的定义可知，动圆C 的圆心轨迹是以(2,0)为焦点，x ＝－2为准线的抛物线，所以动圆圆心轨迹E 的方程为y 2＝8x .(2)证明：由题知当直线AB 的斜率为0时，不符合题意，所以可设直线AB 的方程为x ＝my ＋1，联立Error!消去x ，得y 2－8my －8＝0，Δ＝64m 2＋32>0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (－1，t )，则y 1＋y 2＝8m ，y 1·y 2＝－8，x 1＋x 2＝8m 2＋2，x 1·x 2＝1，而2k MP ＝2·＝－t ，t－1－1k MA ＋k MB ＝＋y 1－t x 1＋1y 2－tx 2＋1＝y 1x 2＋y 2x 1＋y 1＋y 2－t (x 1＋x 2)－2t x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝18y 1y 2(y 1＋y 2)＋y 1＋y 2－t (x 1＋x 2)－2tx 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝＝－t ，－t (8m 2＋4)8m 2＋4所以k MA ＋k MB ＝2k MP .2. 如图，已知椭圆E ：＋＝1(a >b >0)的左顶点为A ，右焦点为F (1,0)，x 2a 2y 2b 2过点A 且斜率为1的直线交椭圆E 于另一点B ，交y 轴于点C ，＝6.AB → BC→(1)求椭圆E 的方程；(2)过点F 作直线l 与椭圆E 交于M ，N 两点，连接MO (O 为坐标原点)并延长交椭圆E 于点Q ，求△MNQ 面积的最大值及取最大值时直线l 的方程．解：(1)由题知A (－a,0)，C (0，a )，故B ，(－a 7，6a 7)代入椭圆E 的方程得＋＝1，结合a 2－b 2＝1，得a 2＝4，b 2＝3，14936a 249b 2故椭圆E 的方程为＋＝1.x 24y 23(2)由题知，直线l 不与x 轴重合，故可设l ：x ＝my ＋1，代入＋＝1x 24y 23得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝，y 1y 2＝，－6m3m 2＋4－93m 2＋4连接ON ，由Q 与M 关于原点对称知，S △MNQ ＝2S △MON ＝|y 1－y 2|＝＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 212m 2＋13m 2＋4＝，123m 2＋1＋1m 2＋1∵≥1，m 2＋1∴3＋≥4，m 2＋11m 2＋1∴S △MNQ ≤3，当且仅当m ＝0时，等号成立，∴△MNQ 面积的最大值为3，此时直线l 的方程为x ＝1.3．(2019·河南洛阳统考)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，过焦点F 的直线交C 于A ，B 两点，D 是抛物线的准线l 与y 轴的交点．(1)若AB ∥l ，且△ABD 的面积为1，求抛物线的方程；(2)设M 为AB 的中点，过M 作l 的垂线，垂足为N .证明：直线AN 与抛物线相切．解：(1)∵AB ∥l ，∴|FD |＝p ，|AB |＝2p .∴S △ABD ＝p 2＝1.∴p ＝1，故抛物线C 的方程为x 2＝2y .(2)证明：显然直线AB 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋，A，B .p2(x 1，x 212p )(x 2，x 22p )由Error!消去y 整理得，x 2－2kpx －p 2＝0.∴x 1＋x 2＝2kp ，x 1x 2＝－p 2.∴M，N .(kp ，k 2p ＋p 2)(kp ，－p2)∴k AN ＝＝＝＝＝.x 212p ＋p2x 1－kp x 212p ＋p 2x 1－x 1＋x 22x 21＋p 22p x 1－x 22x 21－x 1x 22p x 1－x 22x 1p又x 2＝2py ，∴y ′＝.xp ∴抛物线x 2＝2py 在点A 处的切线斜率k ＝.x 1p ∴直线AN 与抛物线相切．4．已知椭圆E ：＋＝1(a >b >0)的一个焦点为F 2(1,0)，且该椭圆过定x 2a 2y 2b 2点M.(1，22)(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设点Q (2,0)，过点F 2作直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，且＝λF 2A→ ，λ∈[－2，－1]，以QA ，QB 为邻边作平行四边形QACB ，求对角线F 2B→ QC 长度的最小值．解：(1)由题易知c ＝1，＋＝1，1a 212b 2又a 2＝b 2＋c 2，解得b 2＝1，a 2＝2，故椭圆E 的标准方程为＋y 2＝1.x 22(2)设直线l ：x ＝ky ＋1，由Error!得(k 2＋2)y 2＋2ky －1＝0，Δ＝4k 2＋4(k 2＋2)＝8(k 2＋1)>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则可得y 1＋y 2＝，y 1y 2＝.－2kk 2＋2－1k 2＋2＝＋＝(x 1＋x 2－4，y 1＋y 2)QC → QA → QB→ ＝，(－4(k 2＋1)k 2＋2，－2k k 2＋2)∴||2＝|＋|2＝16－＋，由此可知，||2的大小与QC → QA → QB → 28k 2＋28(k 2＋2)2QC→k 2的取值有关．由＝λ可得y 1＝λy 2，λ＝，＝(y 1y 2≠0)．F 2A → F 2B →y 1y 21λy 2y 1从而λ＋＝＋1λy 1y 2y 2y 1＝＝，(y 1＋y 2)2－2y 1y 2y 1y 2－6k 2－4k 2＋2由λ∈[－2，－1]得∈，从而－≤≤－2，解得(λ＋1λ)[－52，－2]52－6k 2－4k 2＋20≤k 2≤.27令t ＝，则t ∈，1k 2＋2[716，12]∴||2＝8t 2－28t ＋16＝82－，∴当t ＝时，|QC |min ＝2.QC → (t －74)172125．(2019·合肥模拟)已知中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆C ，其上一点P 到两个焦点F 1，F 2的距离之和为4，离心率为.32(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝kx ＋1与曲线C 交于A ，B 两点，求△OAB 面积的取值范围．解：(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a >b >0)，y 2a 2x 2b 2由条件知，Error!解得a ＝2，c ＝，b ＝1，3故椭圆C 的方程为＋x 2＝1.y 24(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由Error!得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0，故x 1＋x 2＝－，x 1x 2＝－，2kk 2＋43k 2＋4设△OAB 的面积为S ，由x 1x 2＝－<0，3k 2＋4知S ＝×1×|x 1－x 2|12＝＝2 ，12(x 1＋x 2)2－4x 1x 2k 2＋3(k 2＋4)2令k 2＋3＝t ，知t ≥3，∴S ＝2.1t ＋1t ＋2对函数y ＝t ＋(t ≥3)，1t 知y ′＝1－＝>0，1t 2t 2－1t 2∴y ＝t ＋在t ∈[3，＋∞)上单调递增，∴t ＋≥，1t 1t 103∴0<≤，∴0<S ≤.1t ＋1t ＋231632故△OAB 面积的取值范围为.(0，32]第二次作业　高考·模拟解答题体验1．(2019·四川成都七中模拟)已知椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的左、右焦x 2a 2y 2b 2点分别为F 1，F 2，且离心率为，过左焦点F 1的直线l 与C 交于A ，B 两点，22△ABF 2的周长为4.2(1)求椭圆C 的方程；(2)当△ABF 2的面积最大时，求l 的方程．解：(1)由椭圆的定义知4a ＝4，a ＝，22由e ＝知c ＝ea ＝1，b 2＝a 2－c 2＝1.ca 所以椭圆C 的方程为＋y 2＝1.x 22(2)由(1)知F 1(－1,0)，F 2(1,0)，|F 1F 2|＝2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l ：x ＝my －1，联立x ＝my －1与＋y 2＝1，x 22得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0，|y 1－y 2|＝，22m 2＋1m 2＋2S △ABF 2＝22m 2＋1(m 2＋2)2＝2，21m 2＋1＋1m 2＋1＋2当m 2＋1＝1，m ＝0时，S △ABF 2最大为，l ：x ＝－1.22．(2019·广东佛山模拟)已知中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆M的离心率为，椭圆上异于长轴顶点的任意点A 与左、右两焦点F 1，F 2构成12的三角形中面积的最大值为.3(1)求椭圆M 的标准方程；(2)若A 与C 是椭圆M 上关于x 轴对称的两点，连接CF 2与椭圆的另一交点为B ，求证：直线AB 与x 轴交于定点P ，并求·的取值范围．PA → F 2C→ 解：(1)由题意知＝，·2c ·b ＝，a 2＝b 2＋c 2，解得c ＝1，a ＝2，b ＝c a 12123.所以椭圆M 的标准方程是＋＝1.3x 24y 23(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 1，－y 1)，直线AB ：y ＝kx ＋m .将y ＝kx ＋m ，代入＋＝1得，x 24y 23(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.则x 1＋x 2＝－，x 1x 2＝.8km4k 2＋34m 2－124k 2＋3因为B ，C ，F 2共线，所以kBF 2＝kCF 2，即＝，kx 2＋m x 2－1－(kx 1＋m )x 1－1整理得2kx 1x 2＋(m －k )(x 1＋x 2)－2m ＝0，所以2k －(m －k )－2m ＝0，4m 2－124k 2＋38km4k 2＋3解得m ＝－4k .所以直线AB ：y ＝k (x －4)，与x 轴交于定点P (4,0)．因为y ＝3－x ，所以·＝(x 1－4，y 1)·(x 1－1，－y 1)213421PA → F 2C→ ＝x －5x 1＋4－y ＝x －5x 1＋1＝2－.2121742174(x 1－107)187因为－2<x 1<2，所以·的取值范围是.PA → F 2C→ [－187，18)3．(2019·广东华南师大附中模拟)已知点C 是圆F ：(x －1)2＋y 2＝16上任意一点，点F ′与圆心F 关于原点对称．线段CF ′的中垂线与CF 交于P 点．(1)求动点P 的轨迹方程E ；(2)设点A (4,0)，若直线PQ ⊥x 轴且与曲线E 交于另一点Q ，直线AQ 与直线PF 交于点B ，证明：点B 恒在曲线E 上，并求△PAB 面积的最大值．解：(1)由题意得，F 点坐标为(1,0)，因为P 为CF ′中垂线上的点，所以|PF ′|＝|PC |.又|PC |＋|PF |＝4，所以|PF ′|＋|PF |＝4>|FF ′|＝2，由椭圆的定义知，2a ＝4，c ＝1，所以动点P 的轨迹方程E 为＋＝1.x 24y 23(2)设P 点坐标为(m ，n )(n ≠0)，则Q 点的坐标为(m ，－n )，且3m 2＋4n 2＝12，所以直线QA ：y ＝(x －4)，即nx －(4－m )y －4n ＝0，n4－m 直线PF ：y ＝(x －1)，n m －1即nx －(m －1)y －n ＝0.联立方程组Error!解得x B ＝，y B ＝，5m －82m －53n 2m －5则＋＝＋x 2B 4y 2B 3(5m －8)24(2m －5)2(3n )23(2m －5)2＝25m 2－80m ＋64＋12n 24(2m －5)2＝＝1，16m 2－80m ＋1004(2m －5)2所以点B 恒在椭圆E 上．设直线PF ：x ＝ty ＋1，P (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由Error!消去x 整理得(3t 2＋4)y 2＋6ty －9＝0，所以y 1＋y 2＝－，y 1y 2＝－，6t3t 2＋493t 2＋4所以|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝＝，(－6t 3t 2＋4)2＋363t 2＋412t 2＋13t 2＋4从而S △PAB ＝|FA ||y 1－y 2|＝1218t 2＋13t 2＋4＝＝.18t 2＋13(t 2＋1)＋1183t 2＋1＋1t 2＋1令μ＝(μ≥1)，则函数g (μ)＝3μ＋在[1，＋∞)上单调递增，故t 2＋11μg (μ)min ＝g (1)＝4，所以S △PAB ≤＝，即当t ＝0时，△PAB 的面积取得最大18492值，且最大值为.924．(2019·河北邢台模拟)已知椭圆W ：＋＝1(a >b >0)的焦距与椭圆y 2a 2x 2b 2Ω：＋y 2＝1的短轴长相等，且W 与Ω的长轴长相等，这两个椭圆在第一x 24象限的交点为A ，直线l 与直线OA (O 为坐标原点)垂直，且l 与W 交于M ，N 两点．(1)求W 的方程；(2)求△MON 的面积的最大值．解：(1)由题意可得Error!∴Error!故W 的方程为＋＝1.y 24x 23(2)联立Error!得Error!∴＝.y 2x 219又A 在第一象限，∴k OA ＝＝.y x 13故可设l 的方程为y ＝－3x ＋m .联立Error!得31x 2－18mx ＋3m 2－12＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝，x 1x 2＝.18m 313m 2－1231∴|MN |＝×＝×.1＋(－3)2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2104331－m 231又O 到直线l 的距离为d ＝，|m |10则△MON 的面积S ＝d ·|MN |12＝，23|m |31－m 231∴S ＝≤(m 2＋31－m 2)＝，当且仅当m 2＝31－m 2，23m 2(31－m 2)313313即m 2＝时，满足Δ>0，312故△MON 的面积的最大值为.35．(2018·天津卷)设椭圆＋＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B ，x 2a 2y 2b 2已知椭圆的离心率为，点A 的坐标为(b,0)，且|FB |·|AB |＝6.532(1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：y ＝kx (k >0)与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB交于点Q .若＝sin ∠AOQ (O 为原点)，求k 的值．|AQ ||PQ |524解：(1)设椭圆的焦距为2c ，由已知有＝，又由a 2＝b 2＋c 2，可得c 2a 2592a ＝3b .由已知可得，|FB |＝a ，|AB |＝b ，2由|FB |·|AB |＝6，可得ab ＝6，从而a ＝3，b ＝2.2所以，椭圆的方程为＋＝1.x 29y 24(2)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，点Q 的坐标为(x 2，y 2)．由已知有y 1>y 2>0，故|PQ |sin ∠AOQ ＝y 1－y 2.又因为|AQ |＝，y 2sin ∠OAB 而∠OAB ＝，故|AQ |＝y 2.π42由＝sin ∠AOQ ，可得5y 1＝9y 2.|AQ ||PQ |524由方程组Error!消去x ，可得y 1＝ .6k9k 2＋4易知直线AB 的方程为x ＋y －2＝0，由方程组Error!消去x ，可得y 2＝.2kk ＋1由5y 1＝9y 2，可得5(k ＋1)＝3，两边平方，整理得9k 2＋456k 2－50k ＋11＝0，解得k ＝，或k ＝.121128所以，k 的值为或.121128。

课时作业(五十六) 第56讲变量的相关性与统计案例时间：45分钟分值：100分基础热身1．2011·广东六校联考有五组变量：①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程；②平均日学习时间和平均学习成绩；③某人每日吸烟量和身体健康情况；④圆的半径与面积；⑤汽车的重量和每千米耗油量．其中两个变量成正相关的是( )A．①③ B．②④ C．②⑤ D．④⑤2．2011·丰台二模已知x，y的取值如下表，从散点图可以看出y与x线性相关，且回归方程为y＝0.95x ＋a，则a＝( )A.3.25 B．2.6 C．2.2 D．3．2011·大连双基检测为了考察两个变量x、y之间的线性相关关系，甲、乙两同学各自独立地做10次和15次试验，并利用最小二乘法求得回归直线分别为l1和l2.已知在两人的试验中发现变量x的观测数据的平均值恰好都为s，变量y的观测数据的平均值恰好都为t，那么下列说法中正确的是( ) A．直线l1，l2有公共点(s，t)B．直线l1，l2相交，但是公共点未必是(s，t)C．由于斜率相等，所以直线l1，l2必定平行D．直线l1，l2必定重合4．2011·新余二模为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50名学生进行了问卷调查，得到了如下的2×2列联表：则至少有________附：χ2＝n(ad－bc)2 (能力提升5．观察下列散点图，则①正相关；②负相关；③不相关，它们的排列顺序与图形相对应的是( )A．a—①，b－②，c－③ B．a－②，b－③，c－①C．a－②，b－①，c－③ D．a－①，b－③，c－②6．对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是( )A．都可以分析出两个变量的关系B．都可以用一条直线近似地表示两者的关系C．都可以作出散点图D．都可以用确定的表达式表示两者的关系7．2011·江西卷为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子身高数据如下则y对xA．y＝x－1 B．y＝x＋1C．y＝88＋12x D．y＝1768．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是( )A．若χ2的观测值为k＝6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病B．从独立性检验可知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病C．若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误D．以上三种说法都不正确9．2011·南昌一模对一些城市进行职工人均工资水平x(千元)与居民人均消费水平y(元)统计调查后知，y与x具有相关关系，满足回归方程y＝0.66x＋1.562.若某被调查城市居民人均消费水平为7.675(千元)，则可以估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为________%(保留两个有效数字)．10．2010·广东卷市居民2005～2009年家庭年平均收入x(单位：万元)与年平均支出y(单位：万元)的统计资料如下表所示：________线性相关关系．11．2011·辽宁卷调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：＝0.254x＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．12．2011·九江六校三联假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)，有如下的统计资料：若由资料可知y对x b＝1.23，请估计使用年限为20年时，维修费用约为________．13．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得χ2≈3.918，经查临界值表知P(χ2≥3.841)≈0.05.则下列结论中，正确结论的序号是________．①有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；②若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；③这种血清预防感冒的有效率为95%；④这种血清预防感冒的有效率为5%.14．(10分)(1)画出上表数据的散点图；(2)根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程；(3)据此估计广告费用为10万元时，所得的销售收入．(参考数值：∑i ＝15x 2i ＝145，∑i ＝15x i y i ＝1270)15．(13分)2011·巢湖质检 地震、海啸、洪水、森林大火等自然灾害频繁出现，紧急避险常识越来越引起人们的重视．某校为了了解学生对紧急避险常识的了解情况，从七年级和八年级各选取100名同学进行紧急避险常识知识竞赛．图K56－2(1)和图K56－2(2)分别是对七年级和八年级参加竞赛的学生成绩按40,50)，50,60)，60,70)，70,80分组，得到的频率分布直方图．图K56－2(1)分别计算参加这次知识竞赛的两个年级学生的平均成绩；(注：统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表)(2)完成下面？附：χ2＝(a ＋b )(c ＋d )(a .临界值表：难点突破16．(12分)2011·揭阳一模 某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况，随即在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本称出它们的重量(单位： g)，重量值落在(495,510的产品为合格品，否则为不合格品．下表是甲流水线样本频数分布表，图K56－3是乙流水线样本的频率分布直方图．图K56－3(1)根据上表数据作出甲流水线样本的频率分布直方图；(2)若以频率作为概率，试估计从甲、乙两条流水线分别任取1件产品，该产品恰好是合格品的概率分别是多少？(3)由以上统计数据完成下面2×2列联表，并回答有多大的把握认为“产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关”.参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)课时作业(五十六)【基础热身】1．C 解析 由变量的相关关系的概念知，②⑤是正相关，①③是负相关，④为函数关系，故选C. 2．B 解析 x ＝2，y ＝4.5，因为回归方程经过点(x ，y )，所以a ＝4.5－0.95×2＝2.6，故选B. 3．A 解析 因为甲、乙两组观测数据的平均值都是(s ，t )，则由最小二乘法知线性回归直线方程为y ＝bx ＋a ，而a ＝y －b x ，(s ，t )在直线l 1，l 2上，故选A.4．99.5% 解析 χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝50(20×15－5×10)225×25×30×20＝8.333>7.879，则至少有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关．【能力提升】5．D 解析 变量的相关性的图形表示法，在相关变量中，图a 从左下角到右上角是正相关，图c 从左上角到右下角是负相关，图b 的点分布不规则是不相关，故选D.6．C 解析 给出一组样本数据，总可以作出相应的散点图，但不一定能分析出两个变量的关系，更不一定符合线性相关或函数关系，故选C.7．C 解析 由表中数据知回归直线是上升的，首先排除D.x ＝176，y ＝176，由线性回归性质知：点(x ，y )＝(176,176)一定在回归直线上，代入各选项检验，只有C 符合，故选C.8．C 解析 根据独立性检验的思想知，某人吸烟，只能说其患肺病的可能性较大，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，但并没有理由认为吸烟者有99%的可能患肺病，故选C.9．83 解析 将y ＝7.675代入回归方程得x ≈9.262，所以估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为7.6759.262≈0.83.10．13 正 解析 本题考查了统计中的线性相关关系、中位数等知识点，该知识点在高考考纲中是A 级要求．11．0.254 【解析】 由题意得y 2－y 1＝0.254(x ＋1)＋0.321－0.254x ＋0.321＝0.254，即家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加0.254万元．12．24.68万元 解析 易求得(x ，y )＝(4,5)，所以a ＝y －b x ＝5－1.23×4＝0.08，所以y ＝0.08＋1.23x ，当x ＝20时，维修费用约为0.08＋1.23×20＝24.68.13．① 解析 χ2≈3.918>3.841，而P (χ2≥3.841)≈0.05，所以有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；但检验的是假设是否成立和该血清预防感冒的有效率是没有关系的，不是同一个问题，不要混淆，正确序号为①.14．解答 (1)散点图如图所示．(2)x ＝2＋4＋5＋6＋85＝5，y ＝20＋30＋50＋50＋705＝44，∑i ＝ 15x 2i ＝ 22 ＋ 42 ＋ 52 ＋ 62 ＋ 82＝ 145，∑i ＝15x i y i ＝2×20＋4×30＋5×50＋6×50＋8×70＝1270，b ＝∑i ＝ 15x i y i －5xy∑i ＝ 15x 2i －5x2＝1270－5×5×44145－5×25＝ 8.5，a＝－b x＝44－8.5×5＝1.5，因此回归直线方程为y＝8.5x＋1.5.(3)当x＝10时，y＝8.5×10＋1.5＝86.5.15．解答 (1)七年级学生竞赛平均成绩为(45×30＋55×40＋65×20＋75×10)÷100＝56(分)，八年级学生竞赛平均成绩为﹙45×15＋55×35＋65×35＋75×15﹚÷100＝60(分)．(2)2×2列联表如下：∴χ2＝100×100×120×80≈8.333>6.635，∴有99%的把握认为“两个年级学生对紧急避险常识的了解有差异”．【难点突破】16．解答 (1)甲流水线样本的频率分布直方图如下：(2)由表知甲样本中合格品数为8(0.06＋0.09＋0.03)×5×40＝36，故甲样本合格品的频率为3040＝0.75，乙样本合格品的频率为3640＝0.9，据此可估计从甲流水线任取1件产品，该产品恰好是合格品的概率为0.75，从乙流水线任取1件产品，该产品恰好是合格品的概率为0.9.(3)2×2列联表如下：∵χ2＝n(ad－(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)＝66×14×40×40≈3.117>2.706.∴有90%的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关．。

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】课时作业(五十六)[第56讲变量的相关关系与统计案例][时间：45分钟分值：100分]基础热身1．对于自变量x和因变量y，当x取值一定时，y的取值带有一定的随机性，x，y之间的这种非确定性关系叫()A．函数关系B．线性关系C．相关关系D．回归关系2．分类变量X和Y的列联表如下：Y1Y2总计X1 a b a＋bX2 c d c＋d总计a＋c b＋d a＋b＋c＋d则下列说法正确的是()A．ad－bc越小，说明X与Y关系越弱B．ad－bc越大，说明X与Y关系越强C．(ad－bc)2越大，说明X与Y关系越强D．(ad－bc)2越接近于0，说明X与Y关系越强3．设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图K56－1)，以下结论中正确的是()图K56－1A．直线l过点(x，y)B．x和y的相关系数为直线l的斜率C．x和y的相关系数在0到1之间D．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同4．2010年一轮又一轮的寒潮席卷全国．某商场为了了解某品牌羽绒服的月销售量y(件)与月平均气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，数据如下表：月平均气温x(℃)17138 2月销售量y(件)24334055由表中数据算出线性回归方程y＝bx＋a中的b≈－2.气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计，该商场下个月羽绒服的销售量约为________件．5．工人月工资y(元)关于劳动生产率x(千元)的回归方程为y＝650＋80x，下列说法中正确的个数是()①劳动生产率为1000元时，工资为730元；②劳动生产率提高1000元，则工资提高80元；③劳动生产率提高1000元，则工资提高730元；④当月工资为810元时，劳动生产率约为2000元．A．1 B．2 C．3 D．46．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用x (万元) 4 2 3 5 销售额y (万元) 49 26 39 54 根据上表可得回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中的b ^为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元7．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是( )A ．若K 2的观测值为k ＝6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病B ．从独立性检验可知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病C ．若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误D ．以上三种说法都不正确8． 变量X 与Y 相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U 与V 相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)，r 1表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，r 2表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则( )A ．r 2<r 1<0B ．0<r 2<r 1C ．r 2<0<r 1D ．r 2＝r 19．已知x 、y 的取值如下表所示：x 2 3 4 y 6 4 5如果y 与x 呈线性相关，且线性回归方程为y ＝bx ＋132，则b ＝( )A.13 B ．－12 C.12D ．1 10．假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y (万元)，有如下的统计资料：x 2 3 4 5 6 y 1.4 2.3 3.1 3.7 4.5若由资料可知y 对x 呈线性相关关系，且线性回归方程为y ^＝a ＋bx ，其中已知b ＝1.23，请估计使用年限为20年时，维修费用约为________．11． 对一些城市进行职工人均工资水平x (千元)与居民人均消费水平y (元)统计调查后知，y 与x 具有相关关系，满足回归方程y ＝0.66x ＋1.562.若某被调查城市居民人均消费水平为7.675(千元)，则可以估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为________%(保留两个有效数字)．12．为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠，在照射后 死亡 存活 合计 第一种剂量 14 11 25 第二种剂量 6 19 25 合计 20 30 50进行统计假设是________________________________________________________________________．13． 为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x (单位：小时)与当天投篮命中率y 之间的关系：时间x 1 2 3 4 5 命中率y 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4小李这5天的平均投篮命中率为________；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为________．14．(10分) 某中学采取分层抽样的方法从应届高三学生中按照性别抽出20名学生作为男女文科2 5理科10 3(1)3人中既有男生也有女生的概率；(2)用假设检验的方法分析有多大的把握认为该中学的高三学生选报文理科与性别有关？参考公式和数据：K2＝n(ad－bc)2.P(K2≥K0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001 K0 2.07 2.71 3.84 5.02 6.647.8810.8315．(13分)以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据：房屋面积(m2)11511080135105销售价格(万元)24.821.618.429.222(1)(2)求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线；(3)根据(2)的结果估计当房屋面积为150 m2时的销售价格．难点突破16．(12分)某电脑公司有6名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表：推销员编号1234 5工作年限x/年35679推销金额y/万元2334 5(1)(2)求年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程；(3)若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额．(参考数据： 1.04≈1.02；由检验水平0.01及n－2＝3，查表得r0.01＝0.959)课时作业(五十六)【基础热身】1．C [解析] 由相关关系的概念可知，C 正确．故选C.2．C [解析] 因为K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(a ＋c )(b ＋d )(c ＋d )，当(ad －bc )2越大时，K 2越大，说明X 与Y 关系越强．故选C.3．A [解析] 由题设给出的图象知两变量负相关，则相关系数为负值，则C 错，相关系数r 是研究相关性大小的，b 为直线的斜率，则B 错，回归分析得到的直线为与所有点距离和最小的，与点在直线两边的个数无关，D 错，故答案为A.4．46 [解析] 由给定的样本数据可知，该样本点的中心(x ，y )为(10,38)，因为线性回归方程过样本点的中心，故38＝－20＋a ，所以a ＝58，∴y ^＝－2x ＋58，故当x ＝6时，y ^＝46.【能力提升】5．C [解析] 将数据代入方程计算可判断①②④正确．故选C.6．B [解析] x ＝4＋2＋3＋54＝3.5，y ＝49＋26＋39＋544＝42，由于回归方程过点(x ，y )，所以42＝9.4×3.5＋a ^，解得a ^＝9.1，故回归方程为y ^＝9.4x ＋9.1，所以当x ＝6时，y ＝6×9.4＋9.1＝65.5.7．C [解析] 根据独立性检验的思想知，选项C 正确．8．C [解析] 对于变量Y 与X 而言，Y 随X 的增大而增大，故Y 与X 正相关，即r 1>0；对于变量V 与U 而言，V 随U 的增大而减小，故V 与U 负相关，即r 2<0.∴r 2<0<r 1. 故选C.9．B [解析] 因为x ＝3，y ＝5，又回归直线过点(x ，y )，所以5＝3b ＋132，所以b ＝－12.10．22.68万元 [解析] 易得x ＝4，y ＝3，而b ＝1.23，代入回归方程得a ＝－1.92，所以，回归方程为y ^＝1.23x －1.92，若使用年限为20年时，估计维修费用约为y ^＝1.23×20－1.92＝22.68.11．83 [解析] 将y ＝7.675代入回归方程得x ＝9.262，所以估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为7.6759.262≈0.83.12．小白鼠的死亡与电离辐射的剂量无关 [解析] 根据独立性检验的基本思想，可知类似反证法，即要确认“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度，首先假设该结论不成立，即假设结论“两个分类变量没有关系”成立．对本题进行统计分析时的统计假设应是“小白鼠的死亡与剂量无关”．13．0.5 0.53 [解析] y ＝0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.45＝2.55＝0.5；x ＝1＋2＋3＋4＋55＝3.b ^＝(x 1－x )(y 1－y )＋…＋(x 5－x )(y 5－y )(x 1－x )2＋…＋(x 5－x )2＝0.01，a ^＝y －b ^x ＝0.5－0.01×3＝0.47，所以回归方程为：y ＝0.47＋0.01x ，所以当x ＝6时，y ＝0.47＋0.01×6＝0.53.14．[解答] (1)设样本中两名男生分别为a ，b,5名女生分别为c ，d ，e ，f ，g ，则基本事件空间为：(abc )，(abd )，(abe )，(abf )，(abg )，(acd )，(ace )，(acf )，(acg )，(ade )，(adf )，(adg )，(aef )，(aeg )，(afg )，(bcd )，(bce )，(bcf )，(bcg )，(bde )，(bdf )，(bdg )，(bef )，(beg )，(bfg )，(cde )，(cdf )，(cdg )，(cef )，(ceg )，(cfg )，(def )，(deg )，(dfg )，(efg )共35种，其中既有男又有女的事件为前25种．故“抽出的3人既有男生又有女生”的概率为P ＝2535＝57.(2)K 2＝20×(50－6)27×13×12×8≈4.43>3.84，对照参考表格，结合考虑样本是抽取分层抽样抽取的，可知有95%以上的把握认为学生选报文理科与性别有关．15．[解答] (1)(2)x ＝15∑i ＝15x i ＝109，∑i ＝15 (x i －x )2＝1570，y ＝23.2，∑i ＝15(x i －x )(y i －y )＝308.设所求回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^， 则b ^＝3081570≈0.1962，a ^＝y －b ^x ＝23.2－109×3081570≈1.8166.故所求回归直线方程为y ^＝0.1962x ＋1.8166.(3)据(2)，当x ＝150 m 2时，销售价格的估计值为 y ^＝0.1962×150＋1.8166＝31.2466(万元)． 【难点突破】16．[解答] (1)由∑i ＝15(x i －x )(y i －y )＝10，∑i ＝15(x i －x)2＝20，∑i ＝15(y i －y )2＝5.2，可得r ＝∑i ＝15(x i －x )(y i －y )∑i ＝15(x i －x)2∑i ＝15(y i －y )2＝10104≈0.98. 即年推销金额y 与工作年限x 之间的相关系数约为0.98. (2)由(1)知，r ＝0.98＞0.959＝r 0.01，所以可以认为年推销金额y 与工作年限x 之间具有较强的线性相关关系．设所求的线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则b ^＝∑i ＝15(x i －x )(y i －y )∑i ＝15(x i －x )2＝1020＝0.5，a ^＝y －b ^x ＝0.4. 所以年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程为y ^＝0.5x ＋0.4.(3)由(2)可知，当x ＝11时，y ^＝0.5x ＋0.4＝0.5×11＋0.4＝5.9万元． 所以可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元．。