广东省深圳高级中学高三数学选择题、填空题专项训练(1)苏教版

广东省深圳市高级中学2024届数学高一下期末教学质量检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知向量()1,a m =，()2,5b =，若//a b ，则m =（ ） A ．1B ．52-C ．25-D ．522．已知0m >，0xy >，当2x y +=时，不等式24mx y+≥恒成立，则m 的取值范围是A ．)+∞ B ．[)2,+∞C ．(D ．(]0,2 3．已知函数()()32110,032f x ax bx x a b =+->>在1x =处取得极小值，则14a b+的最小值为（ ） A ．4B ．5C ．9D ．104．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的余弦值为 （ ）A ．B C ．12D ．235．平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点在原点，始边在x 轴非负半轴，终边与单位圆交于点34,55A ⎛⎫⎪⎝⎭，将其终边绕O 点逆时针旋转34π后与单位园交于点B ，则B 的横坐标为（ ）A ．5-B ．10-C ．10D ．10-6．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？答曰：二千一百一十二尺.术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一.”就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为：V ＝112×（底面的圆周长的平方×高）．则由此可推得圆周率π的取值为（ ） A ．3B ．3.14C ．3.2D ．3.37．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()()3a b c b c a bc +++-=，那么A =（ ） A ．30B ．60︒C ．120︒D ．150︒8．如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，则异面直线B 1C 与EF 所成的角的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°9．两条平行直线250x y --=与42350x y -+=间的距离等于（ ）A ．12B ．2C ．52D ．410．若圆()()()222120x y r r -++=>上有且仅有两个点到直线260x y -+=的距5r 的取值范围是（ ） A ．(0,25B ．5,35C ．5,25D ．(25,35二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

深圳市高级中学高三月考试题数学(文科)一、选择题：本大题共有8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的.1．已知命题p 、q,则“p ∧q 为真命题”是“p ∨q 为真命题”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 2.已知全集为}01|{},0|{,2<-=>-==xx x N x x x M R U ，则有 ( ) A ． R N M = B. Φ=N M C. M N C U = D. N N C U ⊆ 3．函数2log 21-=x y 的定义域是 ( )A. （0，2 ]B. （-∞，2 ]C. （0，41] D. （-∞，41] 4．设⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤--=1|| ,111|| ,2|1|)(2x xx x x f ，则=)]21([f f ( )A.21 B. 134 C. 59- D. 41255．下列函数既是奇函数，又在[-1，1]上单调递减的是 ( ) A. x x f sin )(= B. |1|)(+-=x x f C. )(21)(x x a a x f -+=D.xxx f +-=22ln )( 6．已知a 与b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|3|a b + 等于 （ ）A ．7B ．10C ．13D ． 47．函数,2)()1(,0,01),sin()(12=+⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-=-a f f x e x x x f x 若π则a 的所有可能值为 （ ）A ．1B ．22-C ．1，22-D ．1，22 8．已知定义在R 上的函数)(x f 满足)23()(+-=x f x f ，且2)0(,1)1()2(=-=-=-f f f ，则=++++)2007()2006()2()1(f f f f ( ) A. -2 B. -1 C. 0 D. 1二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把答案填写在答题卷中对应题号的横线上.9. 已知向量a ＝（3，4），b ＝（2，1），且（a ＋λb ）⊥（a －b ），则λ＝_________________.10. 已知||1,||2)a b a b a ==+且(与垂直，则a b 与的夹角是_______________.11．有两个命题：○1不等式m x x >-+|1|||的解集是R ；○2函数xm x f )37()(--=是减函数，若这两个命题中有且只有一个真命题，则实数m 的取值范围是 .12．图1给出的是计算201614121+⋅⋅⋅+++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是 ．13. 定义在（-∞，0）⋃（0，+∞）上的奇函数f x ()，在（0，+∞）上为增函数，当x>0时，f x ()图像如图所示，则不等式x f x f x [()()]--<0的解集为_________________.14．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：.222b ac +=设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O —LMN ，如果用321,,s s s 表示三个侧面面积，4s 表示截面面积，那么你类比得到的结论是 .图1三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分12分）已知||2,|| 3.a b == （1）若a ‖b ,求a b ;（2）若a 与b 的夹角为0120,求||.a b + 16．（本小题满分12分）已知集合}02|{},,116|{2<--=∈≥+=m x x x B R x x x A （1）当m=3时，求A；（2）若},41|{<<-=x x B A 求实数m 的值.17．（本小题满分14分）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y （千辆/小时）与汽 车的平均速度v （千米/小时）之间的函数关系为)0(1225581442>+-=v v v vy . （Ⅰ）在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？ （Ⅱ）若要求在该时段内车流量超过9千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内. 18.（本题满分14分） 已知函数f x a xx ()()=->10 （1）求证：函数y f x =()在（0，+∞）上是增函数；（2）若f x x ()<2在［1，+∞］上恒成立，求实数a 的取值范围.19.（14分）已知向量(1,1),(1,0)a b ==，0|||,0c c a a c b c ==>满足且| (1). 求向量c ；(2). 若映射:(,)(,)f x y x y xa yc ''→=+，问是否存在直线L 使得直线上的任意一点f y x p 在映射),(的作用下的点仍在该直线上，若存在求出此直线的方程，否则说明理由.20. （本小题满分14分）已知函数.21)(23c bx x x x f ++-= （Ⅰ）若)(x f 有极值，求b 的取值范围； （Ⅱ）当)(x f 在1=x 处取得极值时，①若当2)(,]2,1[c x f x <-∈时恒成立，求c 的取值范围；②证明：对[－1，2]内的任意两个值.27|)()(|,,2121≤-x f x f x x 都有 深圳市高级中学高三月考 数学(文科) 答题卷一、选择题：（每小题5分，共40分）二．填空题（每题5分共30分）9._______________________；11.______________________；13.______________________；10._____________________；12._______ _____；14.______________________。

广东省深圳市高级中学2025届高三下学期一模考试数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）．若从含有两个及以上阳爻的卦中任取两卦，这两卦的六个爻中都恰有两个阳爻的概率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．342．将函数()sin(3)6f x x π=+的图像向右平移(0)m m >个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图像，若()g x 为奇函数，则m 的最小值为（ ）A ．9πB ．29π C ．18π D ．24π3．等比数列{}n a 中，11,28a q ==，则4a 与8a 的等比中项是（ ） A ．±4B ．4C ．14±D ．144．已知点P 是双曲线222222:1(0,0,)x y C a b c a b a b-=>>=+上一点，若点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离之积为214c ，则双曲线C 的离心率为（ ） A 2 B 5 C 3D ．25．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有 A ．72种B ．36种C ．24种D ．18种6．设{|210}S x x =+>，{|350}T x x =-<，则S T （ ）A ．∅B ．1{|}2x x <-C ．5{|}3x x >D ．15{|}23x x -<< 7．下图是我国第24~30届奥运奖牌数的回眸和中国代表团奖牌总数统计图，根据表和统计图，以下描述正确的是（ ）．金牌 （块） 银牌（块） 铜牌（块） 奖牌总数 24 5 11 12 28 25 16 22 12 54 26 16 22 12 50 27 28 16 15 59 28 32 17 14 63 29 51 21 28 100 3038272388A ．中国代表团的奥运奖牌总数一直保持上升趋势B ．折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不具有实际意义C ．第30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、银牌数、铜牌数都有所下降D ．统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数的中位数是54.58．2019年10月17日是我国第6个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动，现有五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院A ，医生乙只能分配到医院A 或医院B ，医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一名医生，则不同的分配方案共有( ) A ．18种B ．20种C ．22种D ．24种9．已知1cos ,,32πααπ⎛⎫=-∈⎪⎝⎭,则()sin πα+= ( ) A ．223B ．223-C ．223±D ．1310．第七届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在中国武汉举行，中国队以133金64银42铜位居金牌榜和奖牌榜的首位.运动会期间有甲、乙等五名志愿者被分配到射击、田径、篮球、游泳四个运动场地提供服务，要求每个人都要被派出去提供服务，且每个场地都要有志愿者服务，则甲和乙恰好在同一组的概率是（ ） A ．110B ．15C ．140D ．94011．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是34，则判断框中应填入的条件是（ ）A ．5?i >B ．5?i <C ．4?i >D ．4?i <12．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若290ABF ∠=︒，且2ABF 的三边长2BF ，AB ，2AF 成等差数列，则C 的离心率为（ ）A ．12B 3C ．22D 3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高三数学夯实基础练习题（选择题、填空题专项训练 1 ） 2010-3-15（时间：40分钟，满分：70分）班级 _ 学号 _________ 姓名 ______________ 成绩 ______________ .注意事项：1 •选择题选岀答案后，必须用 2B 铅笔把答题区域上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试题后•不按要求填涂的答案无效.2•填空题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题区域各题目指定位置上；如需改动，先划掉原来的答 案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液 .不按以上要求作答的答案无效. 3 •答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答 .漏涂、错涂、多涂的答案无效.答题区域：，一、选择题答案： 1 [ A ] [ B ] [ C][ D ] 2 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 [ A ] [ B ] [ C][ D ]5 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]6 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]7 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]8 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]2 , 1]即为“同族函数” •下面四个函数中能够被用来构造“同族函数”的是[ [A . y sin xB . y xC . y 2xD . y log ? x4 .如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为全等------- --------L正视图侧视图的等腰直角三角形，如果直角三角形的斜边长为.2，那么-------这个几何体的体积为A . 11 1B .C.-2 35 .设 a 、 b 、c 是平面上的单位向量，且 a bA .2B . 、2 21.设集合M{m Z | 3 m 2}，N{n Z| 1 m 3}， 则M N 等于A . {0,1} 513，B . { 1,0,1} C. {0,1,2}D .{ 1, 0,1, 2}2 .已知 cos,且 是第四象限的角， 则 tan (2）等于1212125 A .— B .c .D .—55512符合题目要求的. 2 但定义域不相同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数y x ，、填空题答案：91012 ____________ 11 1314【]15[]14 15、选择题：本大题共8个小题；每小题 5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是3.若一系列函数的解析式和值域相同，2x [1 , 2]与函数 y x ，x [6.设函数f(x) x m ax的导数为f (x) 2x1D.-6俯视图第4题图0，则（a c) (b c）的最小值为C. 1D. 1 21，则数列1f(n)(n N * )的前n项和是0,（一） 必做题：第 9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须做答619 . x的展开式中的常数项是 _____________ （用数字作答）x10 •已知X 2 ix 6 2i 5x （其中i 为虚数单位）•若x R ,11. _______________________________________________ 过原点作曲线y e x 的切线，切点坐标为 ____________________________________________________ . 12. 将棱长相等的正方体按图所示方式固定摆放，其中第1堆只有一层，就一个正方体；第 2, 3，…，n堆分别有二层，三层，…，n 层，每堆最顶层都只 I I有一个正方体，以f （n ）表示第n 堆的正方体总数，则f （3） ____ ; f （n ） ___________ （答案用n 表示）.13. 等比数列｛a .｝的公比为q ，前n 项和为& ,若S n 1, & , & 2成等差数列，则q 的值为 （二）选做题：第14、15题为选做题，考生nn 2A .B. —n 1 n 1 7 .若连续投掷两枚骰子分别得到的点数 的概率为 1 A.- 2 n n 1 C.D. -n 1n22m 、n 作为点P 的坐标（m, n ），则点P 落在圆x y16内B . &已知点F ,、F 2分别是椭圆14 2 x ~2 a 1 C.—62 D.-9圆交于A 、B 两点，若△1 A.- 2B .二、填空题：本大题共 2y b 21的左、右焦点，过 F ,且垂直于x 轴的直线与椭ABF 2为正三角形，则该椭圆的离心率 .2 1C.-23 7小题，每小题5分，满分30分.e 是D .3殆第12题图只能选做一题.14. （坐标系与参数方程选做题）极坐标系中，4 cos （其中曲线C1 : cos 3与C2:0 ）交点的极坐标为____________ .215. （几何证明选讲选做题）如图，从圆O外一点P作圆O 的割线PAB、PCD , AB是圆O的直径，若PA 4,PC 5, CD 3」CBD _________________ .0,参考答案:/一、选择题答案: 1 [ A ] [ ■ [ C][ D ] 2 [ A ] [ B —C ] [ D ] 3 [ A ]世][C ] [ D ] 4 [ A ] [ B ] [ C][ D ].5 [ A ] [ B ] [ C ] [ .6 [ A*B ] [ C ] [ D ]7 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]. [ A ] [ B ] [ C ] [ D ].、填空题答案: 201210选做：14[ ]15【]部分试题略解:5 •由条件可设a (1,0)，b则(a c) (b c) m 1 6 . f (x) mx2x 1 7 •总共有36个基本事件. 时，符合题意的 &由已知得2c 10n(n 1)(n 2) ----------- 6 14 (2 3,6)(0,1) , c.2 sin( ，所以m y 有2种•所以p 11 13 15(1,e)30(cos , sin )，2，a 1， f(x )x 2 1时，符合题意的y 有3种；当x 3 3 2 362时, 1 丄 f (n) n 符合题意的 1 n 1y 有3种；当x 32 ,3e — c , ■. 3e 2c2e ..3 0，解得e (舍去) Xo \ (x 0 , e ), 因为切线过原点，所以 0 11 .设切点坐标为 由y l x 勺 e x0 e x0(0 e x0 , 得切线方程为y e x0 e x0(x X 。

深圳市高级中学2025届高三第一次诊断考试数 学（本试卷共3页，19小题，满分150分。

考试用时120分钟。

） 2024.10一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

1．已知集合，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．，是平面内不共线两向量，已知，，，若A ，B ，D 三点共线，则k 的值是（ ）A ．B ．2C ．D ．33．若是第三象限角，且，则的值为（ ）A ．B ．5C ．D ．4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知函数在上单调递增，则a 的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．6．已知平面向量和满足，在上的投影向量为，则在上的投影向量为（）A ．B ．C ．D ．7．已知关于x 不等式的解集为，则（）A ．B ．点在第二象限C ．的最大值为D ．关于x 的不等式的解集为{}2,1,0,1,2,3U =--{}1,2A ={}1,0,1B =-()U A B = ð{}2,3-{}2,2,3-{}2,1,0,3--{}2,1,0,2,3--1e 2e 12AB e ke =- 122CB e e =+ 123CD e e =-2-3-α()()5sin cos cos sin 13αββαββ+-+=-tan 2α5-513-513()f x []2,2-()()1f x F x x+=[]1,3-[]3,1-[)(]1,00,3- [)(]3,00,1- ()()22ln 3f x x ax a=--+[)1,+∞(],1-∞-(),1-∞-(],2-∞()2,+∞1e 2e 2122e e ==2e 1e 1e - 1e 2e 212e -12-214e -2e - ()()20x ax b x c-+≥-(](],21,2-∞- 2c =(),a b 22y ax bx a =+-3a20ax ax b +-≥[]2,1-8．已知，，分别是函数与的零点，则的最大值为（ ）A ．2B ．C ．D ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

2021-2022学年广东省深圳高级中学等九校联考高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知z＝1﹣i（其中i为虚数单位），则z（+i）＝（）A．﹣1+i B．3+i C．1﹣i D．3﹣i2．设集合A＝{（x，y）|x+y＝6}，B＝{（x，y）|y＝x2}，则A∩B＝（）A．{（2，4）}B．{（﹣3，9）}C．{（2，4），（﹣3，9）}D．∅3．已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．小华在学习绘画时，对古典装饰图案产生了浓厚的兴趣，拟以矢量图（也称为面向对象的图象或绘图图象，在数学上定义为一系列由线连接的点，是根据几何特性绘制的图形）的模式精细地素描以下古典装饰图案，经过研究，小华发现该图案可以看成是一个边长为4的等边三角形ABC，如图，上边中间莲花形的两端恰好都是AB边的四等分点（E、F点），则•＝（）A．9B．16C．12D．115．已知函数f（x）＝sin（2x+φ）的部分图象如图所示，且经过点A（，），则（）A．f（x）关于点（，0）对称B．f（x）关于直线x＝对称C．f（x+）为偶函数D．f（x+）为奇函数6．已知S n为数列{a n}的前n项和，a1＝﹣2，a n+1＝S n，那么a6＝（）A．﹣64B．﹣32C．﹣16D．﹣87．已知椭圆＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，点A是椭圆上位于x轴上方的一点，且|AF1|＝|F1F2|，则直线AF1的斜率为（）A．B．C．D．18．已知a，b，c∈（0，1），且a2﹣2lna﹣1＝，b2﹣2lnb﹣1＝，c2﹣2lnc﹣1＝，则（）A．c＞b＞a B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．c＞a＞b二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入调查数据整理得到如图频率分布直方图，根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是（）A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B．该地农户家庭年收入的中位数约为7.5万元C．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间D．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元10．设正实数x，y满足2x+y＝1，则（）A．x∈（0，）B．xy的最大值为C．x2+y2的最小值为D．4x+2y的最小值为411．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为AB，AD，B1C1的中点，以下说法正确的是（）A．三棱锥C﹣EFG的体积为2B．A1C⊥平面EFGC．异面直线EF与AG所成的角的余弦值为D．过点E、F、G作正方体的截面，所得截面的面积是312．已知f（x）是周期为4的奇函数，且当0≤x≤2时，f（x）＝，设g （x）＝f（x）+f（x+1），则（）A．g（2022）＝﹣1B．函数y＝g（x）为周期函数C．函数y＝g（x）的最大值为2D．函数y＝g（x）的图象既有对称轴又有对称中心三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知多项式（x+1）3+（x﹣1）4＝x4+a1x3+a2x2+a3x+a4，则a1＝．14．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，则a≥2b的概率为．15．已知f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）＝lnx+x2，则曲线y＝f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程是．16．某校学生在研究折纸实验中发现，当对折后纸张达到一定的厚度时，便不能继续对折了．在理想情况下，对折次数n与纸的长边ω（cm）和厚度x（cm）有关系：n≤log2．现有一张长边为30cm，厚度为0.05cm的矩形纸，根据以上信息，当对折完4次时，的最小值为；该矩形纸最多能对折次．（参考数值：lg2≈0.3，lg3≈0.48．）四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知{a n}是等差数列，a1＝2，a2+a3+a4＝18．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n＝|（）﹣1000|，求数列{b n}的前15项和T15．18．某工厂购买软件服务，有如下两种方案：方案一：软件服务公司每日收取80元，对于提供的软件服务每次10元；方案二：软件服务公司每日收取200元，若每日软件服务不超过15次，不另外收费，若超过15次，超过部分的软件服务每次收费标准为20元．（1）设日收费为y元，每天软件服务的次数为x，试写出两种方案中y与x的函数关系式；（2）该工厂对过去100天的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形图，依据该统计数据，把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，从两个方案中选择一个，哪个方案更合适？请说明理由.19．在平面四边形ABCD中，∠ABC＝，∠ADC＝，BC＝4．（1）若△ABC的面积为2，求AC；（2）若AD＝3，∠ACB＝∠ACD+，求tan∠ACD．20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝2，M为AB的中点，N为B1C1的中点，P是BC1与B1C的交点．（1）证明：A1C⊥BC1；（2）在线段A1N上是否存在点Q，使得PQ∥平面A1CM？若存在，请确定Q的位置；若不存在，请说明理由．21．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）上的点P（1，y0）（y0＞0）到其焦点的距离为2．（1）求点P的坐标及抛物线C的方程；（2）若点M、N在抛物线C上，且k PM•k PN＝﹣，求证：直线MN过定点．22．已知函数f（x）＝ax+lnx．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若x1，x2（x1＜x2）是f（x）的两个零点．证明：（ⅰ）x1+x2＞﹣；（ⅱ）x2﹣x1＞﹣．参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知z＝1﹣i（其中i为虚数单位），则z（+i）＝（）A．﹣1+i B．3+i C．1﹣i D．3﹣i【分析】根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，即可求解．解：∵z＝1﹣i，∴，∴z（+i）＝（1﹣i）（1+2i）＝3+i．故选：B．2．设集合A＝{（x，y）|x+y＝6}，B＝{（x，y）|y＝x2}，则A∩B＝（）A．{（2，4）}B．{（﹣3，9）}C．{（2，4），（﹣3，9）}D．∅【分析】利用交集定义直接求解．解：∵集合A＝{（x，y）|x+y＝6}，B＝{（x，y）|y＝x2}，∴A∩B＝{（x，y）|}＝{（2，4），（﹣3，9）}．故选：C．3．已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件，必要条件和充要条件分别进行判断即可．运用定义来做题目．解：由＜1，可得a＞1或a＜0，故，由a＞1，能够推出＜1，故，a＞1，是＜1的充分条件，由＜1，不能够推出a＞1，故，a＞1，是＜1的不必要条件，综上所述，a＞1，是＜1的充分不必要条件，故选：A．4．小华在学习绘画时，对古典装饰图案产生了浓厚的兴趣，拟以矢量图（也称为面向对象的图象或绘图图象，在数学上定义为一系列由线连接的点，是根据几何特性绘制的图形）的模式精细地素描以下古典装饰图案，经过研究，小华发现该图案可以看成是一个边长为4的等边三角形ABC，如图，上边中间莲花形的两端恰好都是AB边的四等分点（E、F点），则•＝（）A．9B．16C．12D．11【分析】把都用来表示，即可求．解：设AB边的中点为D，则，同理，所以．故选：D．5．已知函数f（x）＝sin（2x+φ）的部分图象如图所示，且经过点A（，），则（）A．f（x）关于点（，0）对称B．f（x）关于直线x＝对称C．f（x+）为偶函数D．f（x+）为奇函数【分析】由定点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式，再利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象和性质，得出结论．解：∵函数f（x）＝sin（2x+φ）的部分图象，可令φ∈（0，），∵它的经过点A（，），∴sin（+φ）＝cosφ＝，∴φ＝，故f（x）＝sin（2x+）．令x＝，求得f（x）＝，不是最值，故A、B都错误；由于f（x+）＝sin（2x+）＝cos2x，故f（x+）是偶函数，故C正确，由于f（x+）＝sin（2x+），故f（x+）不是奇函数，故D错误．故选：C．6．已知S n为数列{a n}的前n项和，a1＝﹣2，a n+1＝S n，那么a6＝（）A．﹣64B．﹣32C．﹣16D．﹣8【分析】利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出．解：∵a n+1＝S n，∴n≥2时，a n＝S n﹣1，相减可得：a n+1＝2a n．n＝1时，a2＝S1＝﹣2≠2a1，∴数列{a n}从第二项开始为等比数列，∴a6＝a2×24＝﹣2×24＝﹣32．故选：B．7．已知椭圆＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，点A是椭圆上位于x轴上方的一点，且|AF1|＝|F1F2|，则直线AF1的斜率为（）A．B．C．D．1【分析】题意可得sin∠AF1F2，进而求出tan∠AF1F2，即可得到直线AF1的斜率．解：由题意如图所示：|AF1|＝|F1F2|，D为AF2的中点，椭圆＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，所以a＝2c，sin∠AF1F2＝＝，所以∠AF1F2＝，直线AF1的斜率为tan∠AF1F2＝tan＝，故选：B．8．已知a，b，c∈（0，1），且a2﹣2lna﹣1＝，b2﹣2lnb﹣1＝，c2﹣2lnc﹣1＝，则（）A．c＞b＞a B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．c＞a＞b【分析】构造函数f（x）＝x2﹣2lnx﹣1，g（x）＝，f（a）＝a2﹣2lna﹣1，f（b）＝b2﹣2lnb﹣1，f（c）＝c2﹣2lnc﹣1，g（3）＝，g（e）＝，g（π）＝，求导判断函数的单调性，利用函数的单调性比较大小即可．解：令g（x）＝，则g′（x）＝，故当x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0，故g（x）在（e，+∞）上单调递减，而g（3）＝，g（e）＝，g（π）＝，故g（e）＞g（3）＞g（π），令f（x）＝x2﹣2lnx﹣1，则f′（x）＝2x﹣＝，故当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，1）上单调递减，而f（a）＝a2﹣2lna﹣1，f（b）＝b2﹣2lnb﹣1，f（c）＝c2﹣2lnc﹣1，故f（a）＝g（3），f（b）＝g（e），f（c）＝g（π），故f（b）＞f（a）＞f（c），故b＜a＜c，故选：D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入调查数据整理得到如图频率分布直方图，根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是（）A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B．该地农户家庭年收入的中位数约为7.5万元C．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间D．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元【分析】对于ABC，通过求解对应的频率，即可依次判断，对于D，结合平均值的计算公式，即可求解．解：对于A，该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为（0.02+0.04）×1＝6%，故A正确，对于B，家庭年收入介于2.5万元至7.5万元之间的频率为0.02+0.04+0.1+0.14+0.2＝0.5，故该地农户家庭年收入的中位数约为7.5万元，故B正确，对于C，家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的频率为0.1+0.14+0.2+0.2＝0.64＞0.5，故C正确，对于D，估计该地农户家庭年收入的平均值为3×0.02+4×0.04+5×0.1+6×0.14+7×0.2+8×0.2+9×0.1+10×0.1+11×0.04+12×0.02+13×0.02+14×0.02＝7.68＞6.5，故D错误．故选：ABC．10．设正实数x，y满足2x+y＝1，则（）A．x∈（0，）B．xy的最大值为C．x2+y2的最小值为D．4x+2y的最小值为4【分析】A．根据正实数x，y满足2x+y＝1，可得0＜2x＝1﹣y＜1，解得x范围即可判断出正误；B．由正实数x，y满足2x+y＝1，利用基本不等式即可判断出正误；C．由正实数x，y满足2x+y＝1，可得y＝1﹣2x，x∈（0，），代入x2+y2，利用二次函数的单调性即可判断出正误；D．由正实数x，y满足2x+y＝1，可得4x+2y＝22x+2y，结合基本不等式即可判断出正误．解：A．∵正实数x，y满足2x+y＝1，∴0＜2x＝1﹣y＜1，解得0＜x＜，即x∈（0，），因此正确；B．∵正实数x，y满足2x+y＝1，∴1≥2，解得xy≤，当且仅当2x＝y＝时取等号，因此不正确；C．∵正实数x，y满足2x+y＝1，∴y＝1﹣2x，x∈（0，），∴x2+y2＝x2+（1﹣2x）2＝5+≥，x＝时取等号，因此正确；D．∵正实数x，y满足2x+y＝1，∴4x+2y＝22x+2y≥2＝2＝2，当且仅当2x＝y＝时取等号，因此不正确．故选：AC．11．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为AB，AD，B1C1的中点，以下说法正确的是（）A．三棱锥C﹣EFG的体积为2B．A1C⊥平面EFGC．异面直线EF与AG所成的角的余弦值为D．过点E、F、G作正方体的截面，所得截面的面积是3【分析】A三棱锥C﹣EFG的体积＝＝．B由正方体的性质可得：A1C⊥EF，A1C⊥FK，EF∩FK＝F．即可判断出结论．C如图所示，建立空间直角坐标系．对于C利用cos＜，＞＝，即可得出异面直线EF与AG所成的角的余弦值；②过点E、F、G作正方体的截面为正六边形EFKNGM，K，N，M分别为棱的中点，可得的截面的面积S为以EF为一边的等边三角形面积的6倍．解：对于A、三棱锥C﹣EFG的体积＝＝＝1，故A错误；对于B、由正方体的性质可得：A1C⊥EF，A1C⊥FK，EF∩FK＝F，∴A1C⊥平面EFG；故B正确；对于C、如图所示建立空间直角坐标系．则F（1，0，0），E（2，1，0），A（2，0，0），G（1，2，2），＝（﹣1，﹣1，0），＝（﹣1，2，2），∴cos＜，＞＝＝﹣＝﹣．∴异面直线EF与AG所成的角的余弦值为，故C正确；对于D、过点E、F、G作正方体的截面为正六边形EFKNGM，K，N，M分别为棱的中点，所得的截面的面积S＝＝3≠4，因此D错误；故选：BC．12．已知f（x）是周期为4的奇函数，且当0≤x≤2时，f（x）＝，设g （x）＝f（x）+f（x+1），则（）A．g（2022）＝﹣1B．函数y＝g（x）为周期函数C．函数y＝g（x）的最大值为2D．函数y＝g（x）的图象既有对称轴又有对称中心【分析】根据周期的定义证得函数y＝g（x）是以4为周期的周期函数，即可判断B选项；进而求出g（2022）的函数值，即可判断A选项；然后求出g（x）的在[0，4]上的值域，进而求出在R的值域即可判断C选项；求出对称轴与对称中心即可判断D选项．解：因为f（x）是周期为4的奇函数，所以f（x+4）＝f（x），所以g（x+4）＝f（x+4）+f（x+5）＝f（x）+f（x+l）＝g（x），所以函数y＝g（x）是以4为周期的周期函数，故B正确；因此g（2022）＝g（2）＝f（2）+f（3）＝f（2）+f（﹣1）＝f（2）﹣f（1）＝2﹣2﹣1＝﹣1，故A正确；对于C，当x∈（0，1）时，g（x）＝f（x）+f（x+1）＝x+2﹣（x+l）＝x+2﹣x﹣l＝1，当x∈（1，2）时，g（x）＝f（x）+f（x+1）＝f（x）+f（x﹣3）＝f（x）﹣f（3﹣x）＝2﹣x﹣[2﹣（3﹣x）]＝﹣2x+3，所以g（x）单调递减，故g（x）∈（﹣l，1），当x∈（2，3）时，g（x）＝f（x）+f（x+1）＝﹣f（4﹣x）﹣f（3﹣x）＝﹣[2﹣（4﹣x）]当x∈（3，4）时，g（x）＝f（x）+f（x+l）＝﹣f（4﹣x）+f（x﹣3）＝﹣（4﹣x）﹣（x ﹣3）＝﹣1，且g（0）＝f（0）+f（1）＝0+1＝1，g（1）＝f（l）+f（2）＝1+0＝1，g（2）＝f（2）+f（3）＝0+f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣1，g（3）＝f（3）+f（4）＝f（﹣1）+f（0）＝﹣f（1）＝﹣1，g（4）＝g（0）＝1，所以x∈[0，4]时，g（x）∈[﹣1，1]，由于g（x）周期为4，故g（x）的最大值为1，故C错误；对于D，因为f（x）是周期为4的奇函数，所以f（x+2）＝﹣f（x），f（x﹣2）＝﹣f（x），f（x﹣1）＝﹣f（x+l），又g（1﹣x）＝f（1﹣x）+f（2﹣x）＝﹣f（x﹣1）﹣f（x﹣2）＝f（x）+f（x+1）＝g（x），所以函数g（x）关于x＝对称，即函数y＝g（x）的图象有对称轴，因为g（x）+g（3﹣x）＝f（x）+f（x+l）+f（3﹣x）+f（4﹣x）＝f（x）+f（x+1）+f（﹣1﹣x）+f（﹣x）＝f（x）+f（x+1）﹣f（1+x）﹣f（x）＝0．所以函数g（x）关于（，0）对称，即函数y＝g（x）的图象有对称中心，故D正确，故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知多项式（x+1）3+（x﹣1）4＝x4+a1x3+a2x2+a3x+a4，则a1＝﹣3．【分析】直接利用二项展开式的应用求出结果．解：＝x3+3x2+3x+1；①同理：+＝x4①+②得：（x+1）3+（x﹣1）4＝x4﹣3x3+9x2﹣x+2，由于（x+1）3+（x﹣1）4＝x4+a1x3+a2x2+a3x+a4，所以a1＝﹣3．故答案为：﹣3．14．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，则a≥2b的概率为．【分析】根据已知条件，结合列举法和古典概型的概率公式，即可求解．解：由题意可得，抛掷两次骰子出现的总可能数为6×6＝36种，其中满足a≥2b的有（2，1），（4，1），（4，2），（6，1），（6，2），（6，3），共6种，故所求的概率P＝．故答案为：．15．已知f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）＝lnx+x2，则曲线y＝f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程是3x﹣y+2＝0．【分析】由已知求得x＜0时的函数解析式，求其导函数，得到函数在x＝﹣1处的导数，再求得f（﹣1），然后利用直线方程的点斜式得答案．解：设x＜0，则﹣x＞0，∵f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）＝lnx+x2，∴f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣ln（﹣x）﹣x2，则f′（x）＝﹣2x﹣（x＜0），∴则f′（﹣1）＝3，又f（﹣1）＝﹣1，∴曲线y＝f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程是y+1＝3（x+1），即3x﹣y+2＝0．故答案为：3x﹣y+2＝0．16．某校学生在研究折纸实验中发现，当对折后纸张达到一定的厚度时，便不能继续对折了．在理想情况下，对折次数n与纸的长边ω（cm）和厚度x（cm）有关系：n≤log2．现有一张长边为30cm，厚度为0.05cm的矩形纸，根据以上信息，当对折完4次时，的最小值为64；该矩形纸最多能对折6次．（参考数值：lg2≈0.3，lg3≈0.48．）【分析】根据已知条件，结合对数函数的公式，即可求解．解：∵n≤log2，∴当对折完4次时，≥4，即，∴，∴的最小值为64，∵＝＝＝≈，∴矩形纸最多能对折6次．故答案为：64，6．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知{a n}是等差数列，a1＝2，a2+a3+a4＝18．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n＝|（）﹣1000|，求数列{b n}的前15项和T15．【分析】（1）求得等差数列{a n}的公差，利用等差数列的通项公式可求得{a n}的通项公式；（2）b n＝|2n﹣1000|＝，利用分组求和及等比数列的求和公式可求得数列{b n}的前15项和T15．解：（1）∵{a n}是等差数列，a2+a3+a4＝18，∴a3＝6，又a1＝2，∴公差d＝＝2，∴a n＝2n；（2）∵a n＝2n，∴b n＝|（）﹣1000|＝|2n﹣1000|＝，∴数列{b n}的前15项和T15＝（1000﹣21）+...+（1000﹣29）+（210﹣1000）+（211﹣1000）+...+（215﹣1000）＝（9000﹣6000）﹣（21+22+...+29）+（210+211+ (215)＝3000﹣+210•＝3000+4+61×210＝65468．18．某工厂购买软件服务，有如下两种方案：方案一：软件服务公司每日收取80元，对于提供的软件服务每次10元；方案二：软件服务公司每日收取200元，若每日软件服务不超过15次，不另外收费，若超过15次，超过部分的软件服务每次收费标准为20元．（1）设日收费为y元，每天软件服务的次数为x，试写出两种方案中y与x的函数关系式；（2）该工厂对过去100天的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形图，依据该统计数据，把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，从两个方案中选择一个，哪个方案更合适？请说明理由.【分析】（1）由题意写出方案一，二的解析式即可；（2）由条形图分别求出概率，再列出分布列，求期望，判断哪个方案更省钱，更合适．解：（1）由题可知，方案一中的日收费y与x的函数关系式为y＝10x+60，x∈N，方案二中的日收费y与x的函数关系式为y＝（2）设方案一中的日收费为X，由条形图可得X的分布列为X190200210220230P0.10.40.10.20.2所以E（X）＝190×0.1+200×0.4+210×0.1+220×0.2+230×0.2＝210（元）．方案二中的日收费为Y，由条形图可得Y的分布列为X200220240P0.60.20.2E（Y）＝200×0.6+220×0.2+240×0.2＝212（元）．所以从节约成本的角度考虑，选择方案一．19．在平面四边形ABCD中，∠ABC＝，∠ADC＝，BC＝4．（1）若△ABC的面积为2，求AC；（2）若AD＝3，∠ACB＝∠ACD+，求tan∠ACD．【分析】（1）由S＝AB•BC•sin∠ABC，可得AB的值，再在△ABC中，利用余弦定理，即可得解；（2）设∠ACD＝α，用含α的式子表示出∠ACB和∠BAC，先在Rt△ACD中，利用三角函数表示出AC，再在△ABC中，由正弦定理，即可得解．解：（1）由S＝AB•BC•sin∠ABC，知2＝AB•4•sin，所以AB＝2，在△ABC中，由余弦定理知，AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC cos∠ABC＝4+16﹣2×2×4×＝12，所以AC＝2．（2）设∠ACD＝α，则∠ACB＝∠ACD+＝α+，∠BAC＝π﹣（∠ABC+∠ACB）＝﹣α，在Rt△ACD中，sin∠ACD＝，所以AC＝＝，在△ABC中，由正弦定理知，＝，所以＝，即3cosα＝2sinα，所以tanα＝＝，所以tan∠ACD＝．20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝2，M为AB的中点，N为B1C1的中点，P是BC1与B1C的交点．（1）证明：A1C⊥BC1；（2）在线段A1N上是否存在点Q，使得PQ∥平面A1CM？若存在，请确定Q的位置；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由线面垂直的判断和性质，可得证明；（2）在线段A1N上存在点Q，且A1Q＝A1N．建立空间坐标系，求出平面A1CM的法向量，证明⊥，即可得出PQ∥平面A1CM．解：（1）由△A1B1C1中，A1B1＝B1C1，N为B1C1的中点，可得A1N⊥B1C1，又B1B⊥平面A1B1C1，A1N⊂平面A1B1C1，可得B1B⊥A1N，而B1B∩B1C1＝B1，所以A1N⊥平面B1BCC1，即有A1N⊥BC1，连接CN，由tan∠C1CN＝＝，tan∠CC1B＝＝＝，则tan∠C1CN•tan∠CC1B＝1，可得∠C1CN+∠CC1B＝90°，即有BC1⊥CN，而CN∩A1N＝N，所以BC1⊥平面A1CN，则A1C⊥BC1；（2）以A为原点，以AC，AB，AA1为坐标轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，则A1（0，0，2），C（2，0，0），M（0，1，0），N（1，1，2），P（1，1，1），所以＝（1，1，0），＝（1，1，﹣1），＝（﹣2，1，0），＝（﹣2，0，2），设平面A1CM的法向量为＝（x，y，z），则令y＝2，可得＝（1，2，1），设＝m＝（m，m，0），则＝﹣＝（m﹣1，m﹣1，1），所以•＝m﹣1+2（m﹣1）+1＝3m﹣2，当⊥时，可得PQ∥平面A1CM，所以3m﹣2＝0，即m＝．所以在线段A1N上存在点Q，且A1Q＝A1N．21．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）上的点P（1，y0）（y0＞0）到其焦点的距离为2．（1）求点P的坐标及抛物线C的方程；（2）若点M、N在抛物线C上，且k PM•k PN＝﹣，求证：直线MN过定点．【分析】（1）求得抛物线的焦点和准线方程，由抛物线的定义可得p的方程，求出p，即可得到抛物线的方程；（2）设M（，y1），N（，y2），由直线的斜率公式可得直线MN的斜率，再由k PM•k PN＝﹣，可得y1，y2的关系式，求得直线MN的方程，再确定定点即可．解：（1）抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（，0），准线方程为x＝﹣，由抛物线的定义可得|PF|＝1+＝2，解得p＝2，则抛物线的方程为y2＝4x，P（1，2）；（2）证明：设M（，y1），N（，y2），则k MN＝＝，所以k PM•k PN＝•＝＝﹣，所以y1y2+2（y1+y2）＝﹣36，即y1y2＝﹣2（y1+y2）﹣36，则直线MN的方程为y﹣y1＝（x﹣），所以y＝x+，所以y＝x﹣﹣2，即y+2＝（x﹣9），所以直线MN恒过定点（9，﹣2）．22．已知函数f（x）＝ax+lnx．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若x1，x2（x1＜x2）是f（x）的两个零点．证明：（ⅰ）x1+x2＞﹣；（ⅱ）x2﹣x1＞﹣．【分析】（1）求出f'（x），分a≥0和a＜0两种情况，利用导数的正负判断函数的单调性即可；（2）（i）将问题转化为证明，令t＝，设，转化为证明g（t）＞0，然后利用导数研究函数g（t）的单调性，确定g（t）的取值范围，即可证明结论；（ii）设h（x）＝，由导数确定h（x）的单调性，得到﹣a＝h（x）有两个不相等的实数根，确定a的取值范围且1＜x1＜e＜x2，lnx＜1﹣x对于x∈（0，1）∪（1，+∞）恒成立，则对于x∈（0，1）恒成立，转化为，得到，结合（i）中的结论，即可证明．解：（1）由题意可知，f（x）的定义域为（0，+∞），因为f（x）＝ax+lnx，所以f'（x）＝，当a≥0时，f'（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜0时，当0＜x＜时，f'（x）＞0，则f（x）单调递增，当x＞时，f'（x）＜0，则f'（x）单调递减．综上所述，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜0时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．（2）证明：（i）原不等式等价于，因为﹣ax1＝lnx1①，﹣ax2＝lnx2②，由②﹣①，可得﹣a（x2﹣x1）＝lnx2﹣lnx1，故，则等价于，因为x2＞x1＞0，所以lnx2﹣lnx1＞0，即证明③，等价于证明，令t＝，设，即证明g（t）＞0，因为，则g（t）在（1，+∞）上单调递增，且g（t）＞g（1）＝0，因此x1+x2＞﹣；（ii）设h（x）＝，则h'（x）＝，所以h（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，因为﹣a＝h（x）有两个不相等的实数根，且h（e）＝，则且1＜x1＜e＜x2，因为lnx＜1﹣x对于x∈（0，1）∪（1，+∞）恒成立，则对于x∈（0，1）恒成立，所以，因为x1＞0，所以，又因为a＜0，△＝4+4ae＞0，所以或，因为0＜x1＜e且，所以，因为，所以，所以．。

深圳高级中学2010—2011学年第一学期高三第三次考试数学（理科）试题一．选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分。

每小题只有一个正确答案）1．若集合{}A=|1x x x R ≤∈，，{}2B=|y y x x R =∈，，则A B ⋂=（ ）A. {}|11x x -≤≤B. {}|0x x ≥C. {}|01x x ≤≤D. ∅ 2．设a,b 为实数，若复数i bia i+=++121（i 为虚数单位），则（ ） A ．31,22a b == B ．3,1a b == C ．13,22a b == D ．1,3a b ==3．下列说法中,不正确．．．的是（ ） A ．“x y =”是“x y =”的必要不充分条件；B ．命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则:p x ⌝∃∈R ，sin 1x >；C ．命题“若,x y 都是偶数，则x y +是偶数”的否命题是“若,x y 不是偶数，则x y +不是偶数”；D ．命题:p 所有有理数都是实数,:q 正数的对数都是负数，则()()p q ⌝∨⌝为真命题. 4．若316sin =⎪⎭⎫⎝⎛-απ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ232cos =（ ） A ．97-B ．31-C ．31D ．97 5.某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A 产品，每千克A 产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为A ．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B ．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C ．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D ．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱 6．已知点n A （n ，n a ）（∈n N *）都在函数x y a =（01a a >≠，）的图象上，则37a a +与52a 的大小关系是A ．37a a +＞52aB ．37a a +＜52aC ．37a a +＝52aD ．37a a +与52a 的大小与a 有关7．若函数2441()431x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩， ≤，，，则关于x 的方程x x f 2log )(=解的个数是A ．4B ．3C ．2D ．18．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量).3,1(),1,3(,,====其中若10,≤≤≤+=μλμλ且，C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是二．填空题（本大题共7小题，只做6小题。

广东省深圳高级中学（集团）中心校区2025届高三开学考试数学试题一、单选题 1．若复数3i2ia ++是纯虚数，则实数a =（ ） A ．32-B ．32C ．23-D ．232．设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（ ） A ．18B ．27C ．45D ．633．某校高三年级800名学生在高三的一次考试中数学成绩近似服从正态分布()289,13N ，若某学生数学成绩为102分，则该学生数学成绩的年级排名大约是（ ） （附：()0.6827P X μσμσ-≤≤+≈，()220.9545P X μσμσ-≤≤+≈，()330.9973P X μσμσ-≤≤+≈）A ．第18名B ．第127名C ．第245名D ．第546名4．已知向量(2,0)a =r，sin b α⎛ ⎝=⎭r ，若向量b r 在向量a r上的投影向量1,02c ⎛⎫ ⎪⎝=⎭r ，则||a b +=rr （ ）ABC ．3D ．75．“方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，现有“方斗”容器如图所示，已知4AB =，112A B =，现往容器里加米，当米的高度是“方斗”高度的一半时，用米38kg ，则该“方斗”可盛米的总质量为（ ）A ．74kgB ．114kgC ．76kgD ．112kg6．已知111583e 45e ,3,5,e a b c >===，则a b c ､､的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．b a c <<D ．c a b <<7．将12名志愿者（含甲､乙､丙）安排到三个地区做环保宣传工作，每个地区至少需要安排3人，则甲､乙､丙3人恰好被安排到同一个地区的安排方法总数为（ ） A ．3129B ．4284C ．18774D ．257048．已知椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b的左右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若123AF AF =，点M 满足123F M MF =u u u u r u u u u r，且1A M FB ⊥，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．13B C ．23D 9．声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音．若一个复合音的数学模型是函数()()1sin sin 2R 2f x x x x =+∈，则下列结论不正确的是（ ）A ．()f x 的一个周期为πB ．()f x 的最大值为32C ．()f x 的图象关于直线x π=对称D ．在区间[]0,2π上有3个零点二、多选题10．四棱锥P ABCD -的底面为正方形，P A 与底面垂直，2PA =，1=AB ，动点M 在线段PC 上，则（ ）A ．不存在点M ，使得AC BM ⊥B ．MB MD +C ．四棱锥P ABCD -的外接球表面积为5πD ．点M 到直线AB11．冒泡排序是一种计算机科学领域的较简单的排序算法，其基本思想是：通过对待排序序列{}12,,,n x x x ⋯从左往右，依次对相邻两个元素{}()1,1,2,,1k k x x k n +=⋯-比较大小，若1k k x x +>，则交换两个数的位置，使值较大的元素逐渐从左移向右，就如水底下的气泡一样逐渐向上冒，重复以上过程直到序列中所有数都是按照从小到大排列为止.例如：对于序列{}2,1,4,3进行冒泡排序，首先比较{}2,1，需要交换1次位置，得到新序列{}1,2,4,3，然后比较{}2,4，无需交换位置，最后比较{}4,3，又需要交换1次位置，得到新序列{}1,2,3,4最终完成了冒泡排序，同样地，序列{}1,4,2,3需要依次交换{}{}4,2,4,3完成冒泡排序.因此，{}2,1,4,3和{}1,4,2,3均是交换2次的序列.现在对任一个包含n 个不等实数的序列进行冒泡排序()3n ≥，设在冒泡排序中序列需要交换的最大次数为n a ，只需要交换1次的序列个数为n b ，只需要交换2次的序列个数为n c ，则（ ）A ．序列{}2,7,1,8是需要交换3次的序列B ．()12n n n a -=C ．1n b n =-D ．59c =三、填空题 12．()2024(1)a x x +-展开式中2024x 的系数为2023-，则a 的值为．13．设,A B 是一个随机试验中的两个事件，且117(),(),()3412P A P B P AB AB ==+=，则()P A B =∣.14．已知函数()ln f x x =，且()f x 在0x x =处的瞬时变化率为1e．①0x =；②令()0()f x x a g x a x a x<≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，，，若函数()g x 的图象与直线ay =e 有且只有一个公共点，则实数a 的取值范围是．四、解答题15．记ABC V 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，π2cos 6a C ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(1)求A ；(2)设AB 的中点为D ，若CD a =，且1b c -=，求ABC V 的周长．16．已知在多面体ABCDE 中，DE AB ∥，AC BC ⊥，24BC AC ==，2AB DE =，DA DC =且平面DAC ⊥平面ABC .(1)设点F 为线段BC 的中点，试证明⊥EF 平面ABC ；(2)若直线BE 与平面ABC 所成的角为60o ，求二面角B AD C --的余弦值．17．为了增强学生的国防意识，某中学组织了一次国防知识竞赛，高一和高二两个年级学生参加知识竞赛，(1)两个年级各派50名学生参加国防知识初赛，成绩均在区间[]50,100上，现将成绩制成如图所示频率分布直方图（每组均包括左端点，最后一组包括右端点），估计学生的成绩的平均分（若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)两个年级各派一位学生代表参加国防知识决赛，决赛的规则如下：①决赛一共五轮，在每一轮中，两位学生各回答一次题目，两队累计答对题目数量多者胜；若五轮答满，分数持平，则并列为冠军；②如果在答满5轮前，其中一方答对题目数量已经多于另一方答满5次题可能答对的题目数量，则不需再答题，譬如：第3轮结束时，双方答对题目数量比为3:0，则不需再答第4轮了；③设高一年级的学生代表甲答对比赛题目的概率是34，高二年级的学生代表乙答对比赛题目的概率是23，每轮答题比赛中，答对与否互不影响，各轮结果也互不影响（i ）在一次赛前训练中，学生代表甲同学答了3轮题，且每次答题互不影响，记X 为答对题目的数量，求X 的分布列及数学期望（ii ）求在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题并刚好胜出的概率 18．已知0a >且1a ≠，函数()ln(1)1x f x a x =++-．(1)()ln(1)n a f n n n =-++，*N n ∈，n S 为数列{}n a 的前n 项和，当89a =时，试比较64S 与2024的大小，并说明理由：(2)当1ea =时，证明：()0xf x ≥；(3)当1e>a 且1a ≠时，试讨论()f x 的零点个数．19．已知点()2,2A 为抛物线2:2Γ=y px 上的点，B ，C 为抛物线Γ上的两个动点，Q 为抛物线Γ的准线与x 轴的交点，F 为抛物线Γ的焦点． (1)若90BOC ∠=︒，求证：直线BC 恒过定点；(2)若直线BC 过点Q ，B ，C 在x 轴下方，点B 在Q ，C 之间，且24tan 7BFC ∠=，求AFC V 的面积和BFC △的面积之比．。

深圳高级中学（集团）中心校区2025届高三开学考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若复数3i2i a ++是纯虚数，则实数a =（ ）A. 32−B.32C. 23−D.23【答案】A 【解析】【分析】利用除法运算化简复数，根据纯虚数的特征，即可判断.【详解】3i(3i)(2i)23(6)i 2i 55a a a a ++−++−==+，则230a +=，有32a =−.故选：A2. 设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（ ） A. 18 B. 27C. 45D. 63【答案】C 【解析】【分析】根据36396,,S S S S S −−成等差数列，得到方程，求出答案. 【详解】由题意得36396,,S S S S S −−成等差数列， 即7899,369,a a a ++−成等差数列，即()78923699a a a ×−++=+，解得78945a a a ++=. 故选：C3. 某校高三年级800名学生在高三的一次考试中数学成绩近似服从正态分布()289,13N ，若某学生数学成绩为102分，则该学生数学成绩的年级排名大约是（ ） （附：()0.6827P X µσµσ−≤≤+≈，()220.9545P X µσµσ−≤≤+≈，()330.9973P X µσµσ−≤≤+≈）A. 第18名B. 第127名C. 第245名D. 第546名【答案】B【解析】【分析】根据正态分布的特征，求出数学成绩不低于102分对应的概率，从而可求出对应的人数，确定排名．【详解】因为成绩X 近似服从正态分布(89N ,213)，则89,13µσ==， 且()()76102891389130.6827P X P X ≤≤=−≤≤+=， 所以()()1761021020.158652P X P X −≤≤≥==， 因此该校数学成绩不低于102分的人数即年级排名大约是8000.15865127×≈． 故选：B ．4. 已知向量(2,0)a =，sin b α= ，若向量b 在向量a 上的投影向量1,02c =，则||a b += （ ）A.B.C. 3D. 7【答案】B 【解析】【分析】根据已知结合投影向量的概念得出1sin 2α=，求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，b 在a上的投影向量为2sin (2,0)(sin ,0)|||22|a b a a a αα⋅⋅==×， 又b 在a上的投影向量1,02c = ，所以1sin 2α=，所以1(2b =，所以5(2a b =+ ，所以||a b +=故选：B.5. “方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，现有“方斗”容器如图所示，已知4AB =，112A B =，现往容器里加米，当米的高度是“方斗”高度的一半时，用米38kg ，则该“方斗”可盛米的总质量为（ ）A. 74kgB. 114kgC. 76kgD. 112kg【答案】D 【解析】【分析】设线段1AA 、1BB 、1CC 、1DD 的中点分别为2A 、2B 、2C 、2D ，利用台体的体积公式计算出棱台1111ABCD A B C D −与棱台11112222A B C D A B C D −的体积之比，即可得出原“方斗”可盛米的总质量. 【详解】设线段1AA 、1BB 、1CC 、1DD 的中点分别为2A 、2B 、2C 、2D ，如下图所示：易知四边形11AA B B 为等腰梯形，因为线段1AA 、1BB 的中点分别为2A 、2B ，则112242322AB A B A B ++===， 设棱台11112222A B C D A B C D −的高为h ，体积为1V ， 则棱台1111ABCD A B C D −的高为2h ，设其体积为V ，则()221119232333V h h =++×=，则()221564224233V h h =++×⋅=， 所以，152********hV h V ==，所以，该“方斗”可盛米的总质量为5638112kg 19×=. 故选：D.6. 已知111583e 45e ,3,5,e a b c >===，则a b c ､､的大小关系是（ ） A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D. c a b <<【答案】B 【解析】【分析】对于a b ､，b c ､扩大适当的倍数变为整数幂的形式比较即可；对于a c ､，构造函数比较大小即可 【详解】对于a b ､，同时12次方可得43与35，易知4335<，所以a b <；对于b c ､，同时4e 次方可得e 5与4e ，由题干可知2e 5855e >>，所以e 45e >，即b c >； 对于a c ､，同时取对数可得ln33与1e ，ln ()xf x x=，1ln ()0x f x x −′==，解得e x =， 易得ln ()xf x x=在(0,e)单调递增，(e,)+∞单调递减，易知ln31ne 13e e <=，所以a c <． 综上可得a c b <<， 故选：B.7. 将12名志愿者（含甲､乙､丙）安排到三个地区做环保宣传工作，每个地区至少需要安排3人，则甲､乙､丙3人恰好被安排到同一个地区的安排方法总数为（ ） A. 3129 B. 4284C. 18774D. 25704【答案】C 【解析】【分析】利用排列组合原理和分组分配方法求解. 【详解】先分类讨论人员分组情况．当甲､乙､丙所在组恰有3人时，余下9人分成2组，有3499C C 210+=种方法； 当甲､乙､丙所在组恰有4人时，先从其他9人中选1人到这组，再将余下8人分成2组，有41389822C C C 819A⋅+= 种方法；当甲､乙､丙所在组恰有5人时，先从其他9人中选2人到这组，余下7人分成2组，有2397C C 1260⋅=种方法 当甲､乙､丙所在组恰有6人时，先从其他9人中选3人到这组，余下6人分成2组，有336922C C 840A ⋅=种方法．再将三组人员分配到三个地区．因为这三组分配到三个地区有33A 6=种方法，所以安排方法总数为()2108191260840618774+++×=. 故选:C.8. 已知椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b的左右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若123AF AF =，点M 满足123F M MF =，且1AM F B ⊥，则椭圆C 的离心率为（ ）A.13B.C.23D.【答案】B 【解析】【分析】由123AF AF =、123F M MF =结合正弦定理可得12F AMF AM∠=∠，又1AM F B ⊥，故1AB AF =，再结合余弦定理计算即可得离心率.【详解】由椭圆定义可知122AF AF a +=，由123AF AF =，故132AF a =，212AF a =，点M 满足123F M MF =，即123F M MF =，则12212233AF AF AF F MMF MF ==，又1111sin sin AF F M AMF F AM=∠∠，2222sin sin AF F M AMF F AM=∠∠，即12121122sin sin sin sin AF AF AMF AMF F MF AMMF F AM∠∠===∠∠，又12180AMF AMF ∠+∠=°， 故12sin sin AMF AMF ∠=∠，则12sin sin F AM F AM ∠=∠，即12F AM F AM ∠=∠，即AM 平分12F AF ∠，又1AM F B ⊥，故132AB AF a ==， 则23122BF a a a =−=，则12BF a a a −， ()22222211322122cos 21222c a a c a AF F e ac e c a+− − ∠===−××，()22222124cos 224c a a c BF F e c aac+−∠===××， 由2121180AF F BF F ∠∠=+°，故2121cos cos 0AF F BF F ∠+∠=，即120e e e −+=，即231e =，又0e >，故e =故选：B.【点睛】关键点睛：本题关键在于由123AF AF =、123F M MF =，得到AM 平分12F AF ∠，结合1AM F B ⊥，从而得到1AB AF =.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音．若一个复合音的数学模型是函数()()1sin sin 2R 2f x x x x =+∈，则下列结论不正确的是（ ） A. ()f x 的一个周期为πB. ()f x 的最大值为32C. ()f x 的图象关于直线x π=对称D. 在区间[]0,2π上有3个零点【答案】D 【解析】【分析】A.代入周期的定义，即可判断；B.分别比较两个函数分别取得最大值的值，即可判断；C.代入对称性的公式，即可求解；D.根据零点的定义，解方程，即可判断.【详解】A.，11(π)sin(π)sin 2(π)sin sin 2()22f x x x x x f x +=+++=−+≠，故A 错误； B.，当sin y x =，π2π,Z 2x k k =+∈时，取得最大值1，1sin 22y x =，当π22π,Z 2x k k =+∈时，即ππ,Z 4x k k =+∈时，取得最大值12，所以两个函数不可能同时取得最大值，所以()f x 的最大值不是32，故B 错误； C.，11(2π)sin(2π)sin 2(2π)sin sin 2()22f x x x x x f x −=−+−=−−≠， 所以函数()f x 的图象不关于直线πx =对称，故C 错误； D. 1()sin sin 2sin sin cos 02f x x x x x x =+=+=，即sin (1cos )0,[0,2π]x x x +=∈， 即sin 0x =或cos 1x =−，解得：0,π,2πx =，所以函数()f x 在区间上有3个零点，故D 正确. 故选：D.10. 四棱锥P ABCD −的底面为正方形，P A 与底面垂直，2PA =，1=AB ，动点M 在线段PC 上，则（ ）A. 不存在点M ，使得AC BM ⊥B. MB MD +C. 四棱锥P ABCD −的外接球表面积为5πD. 点M 到直线AB 【答案】BD 【解析】【分析】当点M 为中点时，利用垂直关系的转化，即可判断A ；利用展开图，利用数形结合求MB MD +的最小值，即可判断B ；利用几何体与外接球的关系，即可求解球心，并求外接球的表面积，即可判断C ；利用异面直线的距离的转化，即可判断D.【详解】对于A ：连接BD ，且AC BD O = ，如图所示，当M PC 中点时，在因为点O 为AC 的中点，所以//OM PA ，因为PA ⊥平面ABCD ， 所以OM ⊥平面ABCD ，又因为AC ⊂平面ABCD ，所以OM AC ⊥， 因为ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥．又因为BD OM O = ，且BD ，OM ⊂平面BDM ，所以AC ⊥平面BDM ， 因为BM⊂平面BDM ，所以AC BM ⊥，所以A 错误；对于B ：将PBC 和PCD △所在的平面沿着PC 展开在一个平面上，如图所示，PBC △和PDC △是全等的直角三角形，PB PD ==1BCCD ==， 连结BD ，BD PC ⊥，则MB MD +的最小值为BD ，直角PBC 斜边PC直角PCD △斜边PC ，所以MB MD +B 正确； 对于C ：易知四棱锥P ABCD −的外接球直径为PC ，半径12RPC ==24π6πS R =，所以C 错误；对于D ：点M 到直线AB 的距离的最小值即为异面直线PC 与AB 的距离， 因为//AB CD ，且AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以//AB 平面PCD ， 所以直线AB 到平面PCD 的距离等于点A 到平面PCD 的距离，过点A 作AF PD ⊥， 因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂面ABCD ，所以PA CD ⊥， 又AD CD ⊥，且PA AD A ∩=，,PA AD ⊂面PAD ， 故CD ⊥平面P AD ，AF ⊂平面P AD ，所以AF CD ⊥，因为PD CD D ∩=，且PD ，CD ⊂平面PCD ，所以AF ⊥平面PCD ， 所以点A 到平面PCD 的距离，即为AF 的长，如图所示，在Rt PAD △中，2PA =，1AD =，可得PD =，所以由等面积得AF =，即直线AB 到平面PCD D 正确，故选：BD ．11. 冒泡排序是一种计算机科学领域的较简单的排序算法，其基本思想是：通过对待排序序列{}12,,,n x x x …从左往右，依次对相邻两个元素{}()1,1,2,,1k k x x k n +=…−比较大小，若1k k x x +>，则交换两个数的位置，使值较大的元素逐渐从左移向右，就如水底下的气泡一样逐渐向上冒，重复以上过程直到序列中所有数都是按照从小到大排列为止.例如：对于序列{}2,1,4,3进行冒泡排序，首先比较{}2,1，需要交换1次位置，得到新序列{}1,2,4,3，然后比较{}2,4，无需交换位置，最后比较{}4,3，又需要交换1次位置，得到新序列{}1,2,3,4最终完成了冒泡排序，同样地，序列{}1,4,2,3需要依次交换{}{}4,2,4,3完成冒泡排序.因此，{}2,1,4,3和{}1,4,2,3均是交换2次的序列.现在对任一个包含n 个不等实数的序列进行冒泡排序()3n ≥，设在冒泡排序中序列需要交换的最大次数为n a ，只需要交换1次的序列个数为n b ，只需要交换2次的序列个数为n c ，则（ ） A. 序列{}2,7,1,8是需要交换3次的序列 B. ()12n n n a −=C. 1n b n =−D. 59c =【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意，不妨设序列的n 个元素为1,2,3,n ，由题意可判断A 中序列交换次数；再根据等差数列前项和公式即可判断B ；得出只要交换1次的序列的特征即可判断C ；利用累加法求出通项公式即可判断D.【详解】对A ，序列{}2,7,1,8，比较{}2,7，无需交换位置，比较{}7,1，需要交换1次位置，得到新序列{}2,1,7,8，比较{}7,8，无需交换位置，最后比较{}2,1，需要交换1次位置，得到新序列{}1,2,7,8，完成冒泡排序，共需要交换2次，故A 错误；对B ，不妨设序列的n 个元素为1,2,3,n ，交换次数最多的序列为{},1,2,1n n − ， 将元素n 冒泡到最右侧，需交换次1n −次， 将元素n -1冒泡到最右侧，需交换次2n −次，，故共需要()()()()()1111122122n n n n n n −+−−−+−+++==，即最大交换次数()12n n n a −=，故B 正确；对C ，只要交换1次的序列是将{}1,2,3,n 中的任意相邻两个数字调换位置的序列，故有1n −个这样的序列，即1n b n =−，故C 正确；对D ，当n 个元素的序列顺序确定后，将元素n +1添加进原序列， 使得新序列（共n +12， 则元素n +1在新序列的位置只能是最后三个位置， 若元素n +1在新序列的最后一个位置，则不会增加交换次数，故原序列交换次数为2（这样的序列有n c 个）， 若元素n +1在新序列的倒数第二个位置，则会增加1次交换， 故原序列交换次数为1（这样的序列有个1n b n =−）， 若元素n +1在新序列的倒数第三个位置，则会增加2次交换，故原序列交换次数为0（这样的序列有1个）， 因此，111n n n c c n c n ++−++，所以5432479c c c c =+=+=+，显然20c =， 所以59c =，故D 正确. 故选：BCD.【点睛】关键点点睛：在解与数列新定义相关的题目时，理解新定义是解决本题的关键.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. ()2024(1)a x x +−展开式中2024x 的系数为2023−，则a 的值为______．【答案】1 【解析】【分析】根据题意结合二项展开式的通项公式分析求解.【详解】因为2024(1)x −的展开式的通项公式为12024,0,C ()1,2,,2024rr r r T x +==⋅⋅⋅−， 可知展开式中含2024x 的项为()2024202520242024aT xT a x+=−，则展开式中2024x 的系数为20242023a −=−，解得1a =. 故答案为：1.13. 设,A B 是一个随机试验中的两个事件，且117(),(),()3412P A P B P AB AB ==+=，则()P A B =∣______. 【答案】13【解析】.【详解】因为11(),()34P A P B ==，故()()23,34P A P B ==，因为,AB AB 互斥，所以()0P ABAB =， 所以()()()B P P A AB AB B P A ++=()()()()P B P AB P A P AB =−+−()21234P AB =+− ()11721212P AB =−=， 解得()16P AB =，所以()()()()()()11146|134P AB P B P AB P AB P B P B −−====.故答案为：13. 14. 已知函数()ln f x x =，且()f x 在0x x =处的瞬时变化率为1e． ①0x =______；②令()0()f x x a g x ax a x<≤ = > ，，，若函数()g x 的图象与直线ay =e 有且只有一个公共点，则实数a 的取值范围是______．【答案】 ①. e ②. (]0,e 【解析】【分析】根据导数的概念及于是即可得0x 的值；分类讨论确定函数()g x 的图象，满足其与直线ay =e有且只有一个公共点，列不等式即可求得实数a 的取值范围. 【详解】因为()ln f x x =，所以1()f x x′=， 由()f x 在0x x =处的瞬时变化率为1e 得0011()e f x x ==′，所以0e x =； 因为ln 0()x x a g x ax a x<≤= > ，， ①当01a <≤时，函数()g x 的图象如下图所示：要使得函数()g x 的图象与直线ay =e 有且只有一个公共点，则01e01aa <<<≤ ，所以01a <≤； ②当1e a <<时，函数()g x 的图象如下图所示：要使得函数()g x 的图象与直线ay =e 有且只有一个公共点，则1e ln 1e a aa << <<， 不妨令()ln ex h x x =−，当1e x <<，11e ()0e e xh x x x ′−=−=>恒成立，所以()h x 单调递增， 即()(e)0h x h <=，所以ln e aa <恒成立，故此时不等式解得1e a <<； ③当e a =时，函数()g x 的图象如下图所示：要使得函数()g x 的图象与直线ay =e 有且只有一个公共点，则e1ea a= = ，所以e a =； ④当e a >时，函数()g x 的图象如下图所示：要使得函数()g x 的图象与直线ay =e 有且只有一个公共点，则e1ln ea aa > <<，所以01a <≤； 对于函数，()ln ex h x x =−，当e x >，11e ()0e e xh x x x ′−=−=<恒成立，所以()h x 单调递减，即()(e)0h x h <=，所以ln eaa <恒成立，故此时不等式组无解； 综上，实数a 的取值范围是(]0,e .四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤． 15. 记ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，π2cos 6a C −（1）求A ；（2）设AB 的中点为D ，若CD a =，且1b c −=，求ABC 的周长． 【答案】（1）π3； （2）5+ 【解析】【分析】（1）由正弦定理结合()sinsin B A C =+可以得到tan A =，进而得到A ； （2）在ACD 和ABC 中分别利用余弦定理，结合1b c −=，可以求得a b c ，，的值，进而得到ABC 的周长. 【小问1详解】π2cos 6a C−)cos sin a C C =+，)sin sin cos sin sin cos sin sin B AC CA C A C +=+，因为πA B C ++=， 所以()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，代入上式，整理得sin sin sin A C A C =， 又因()0,C π∈，sinC 0≠，所以tan A =， 又因为()0πA ∈，，解得3A π=.【小问2详解】在ACD 中，由余弦定理得2222cos 42c c CDb b A +−××，而3A π=，CD a =，所以22242c bca b =+−①，为在ABC 中，由余弦定理得222a b c bc =+−②， 由①②两式消去a ，得232c bc =，所以32c b =，又1b c −=，解得3b =，2c =．a ∴，所以ABC 的周长5L a b c =++=+16. 已知在多面体ABCDE 中，DE AB ∥，AC BC ⊥，24BC AC ==，2AB DE =，DA DC =且平面DAC ⊥平面ABC .（1）设点F 为线段BC 的中点，试证明⊥EF 平面ABC ；（2）若直线BE 与平面ABC 所成的角为60 ，求二面角B AD C −−的余弦值． 【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）由四边形DEFO 为平行四边形.∴//EF DO ，再结合DO ⊥平面ABC ，即可证明⊥EF 平面ABC ；（2）由空间向量的应用，建立以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，过点O 与CB 平行的直线为y 轴，OD所在直线为z 轴的空间直角坐标系，再求出平面ADC 的法向量()0,1,0m =，平面ADB 的法向量()n =，再利用向量夹角公式求解即可.【小问1详解】取AC 的中点O ，连接EF ，OF ， ∵在DAC △中DA DC =，∴DO AC ⊥.∴由平面DAC ⊥平面ABC ，且交线为AC ，DO ⊂平面DAC ，得DO ⊥平面ABC . ∵O ，F 分别为AC ，BC 的中点，∴//OF AB ，且2AB OF =. 又//DE AB ，2AB DE =，∴//OF DE ，且OF DE =. ∴四边形DEFO 为平行四边形.∴//EF DO ，∴⊥EF 平面ABC . 【小问2详解】∵DO ⊥平面ABC ，,AC BC ⊂ABC 平面，所以,DO AC DO BC ⊥⊥， 又因为AC BC ⊥，所以,,DO AC BC 三者两两互相垂直，∴以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，过点O 与CB 平行的直线为y 轴，OD 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系.则()1,0,0A ，()1,0,0C −，()1,4,0B −.∵⊥EF 平面ABC ，∴直线BE 与平面ABC 所成的角为60EBF ∠=.∴tan 60DO EF BF ===.∴(0,0,D .可取平面ADC 的法向量()0,1,0m =， 设平面ADB 的法向量(),,n x y z = ，()2,4,0AB =−，(1,0,AD =−，则2400x y x −+=−+=，取1z =，则x =y =.∴()n = ，∴cos ,m n m n m n⋅==， ∴二面角B AD C −−17. 为了增强学生的国防意识，某中学组织了一次国防知识竞赛，高一和高二两个年级学生参加知识竞赛， （1）两个年级各派50名学生参加国防知识初赛，成绩均在区间[]50,100上，现将成绩制成如图所示频率分布直方图（每组均包括左端点，最后一组包括右端点），估计学生的成绩的平均分（若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）两个年级各派一位学生代表参加国防知识决赛，决赛的规则如下：①决赛一共五轮，在每一轮中，两位学生各回答一次题目，两队累计答对题目数量多者胜；若五轮答满，分数持平，则并列为冠军；②如果在答满5轮前，其中一方答对题目数量已经多于另一方答满5次题可能答对的题目数量，则不需再答题，譬如：第3轮结束时，双方答对题目数量比为3:0，则不需再答第4轮了；③设高一年级的学生代表甲答对比赛题目的概率是34，高二年级的学生代表乙答对比赛题目的概率是23，每轮答题比赛中，答对与否互不影响，各轮结果也互不影响（i）在一次赛前训练中，学生代表甲同学答了3轮题，且每次答题互不影响，记X为答对题目的数量，求X的分布列及数学期望（ii）求在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题并刚好胜出的概率【答案】（173.8分（2）（i）分布列见解析，()9 4E X=（ii）11 256.【解析】【分析】（1）利用频率之和为1列出方程，求出a=0.018，进而利用中间值求出平均分的估计值；（2）（i）由题意知X的可能取值为0，1，2，3，根据二项分布求概率，写出分布列进而求期望即可；（ii）将在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题并刚好胜出的事件分拆成乙答对0道与1道两个事件，再利用互斥事件的概率公式计算而得.【小问1详解】解：由频率分布直方图可知：()100.0060.0080.0260.0421a×++++=可得0.018a=∴平均分的估计值为0.08550.26650.42750.18850.069573.8×+×+×+×+×=∴学生的成绩的平均分的估计值为73.8分 【小问2详解】 （i ）由题可得33,4X B∼，X 的可能取值为0，1，2，3 ∴()33101464P X ==−=()2133391C 14464P X ==⋅⋅−=()22333272C 14464P X==⋅⋅−=()33333273C 14464P X==⋅⋅−=∴X 的分布列为∴()94E X =（ii ）将“在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题并刚好胜出”记为事件A ， “在第4轮结束时，学生代表乙答对0道题”记为事件1A ， “在第4轮结束时，学生代表乙答对1道题”记为事件2A∴()2421333321C 114443256P A=⋅⋅−⋅⋅−=， ()3323121233433223332251C 1C 1C 1443344433128P A=⋅−×⋅⋅−+⋅⋅−⋅⋅⋅−=， ∴()()()1211256P A P A P A =+=. ∴在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题并刚好胜出的概率为11256. 18. 已知0a >且1a ≠，函数()ln(1)1x f x a x =++−．（1）()ln(1)na f n n n =−++，*N n ∈，n S 为数列{}n a 的前n 项和，当89a =时，试比较64S 与2024的大小，并说明理由： （2）当1ea =时，证明：()0xf x ≥； （3）当1e>a 且1a ≠时，试讨论()f x 的零点个数． 【答案】（1）642024S <，理由见解析 （2）证明见解析 （3）1个. 【解析】【分析】（1）求出n a ，利用分组求和法及等差等比数列前n 项和公式计算即可得解. （2）把1ea =代入，利用导数探讨单调性，结合函数的零点推理即得. （3）按11ea <<，1a >分类，利用导数结合（2）的结论及零点存在性定理求解即得. 小问1详解】 当89a =时，88()ln(1)1ln(1)()199n n na n n n n =++−−++=+−， 则6412646488[1()]88899()()()(012641)2016899919S −=+++++++−=+− 64820248()20249−×<，所以当89a =时，642024S <； 【小问2详解】当1ea =时，1()()ln(1)1xf x x e =++−，求导得(1)(1)11e ()(1)e 1e x x x f x x x x x −′=−+=>−+++， 令(1),(1)()e x g x x x −=+>−，求导得()e 1x g x ′=−， 当(1,0)x ∈−时，()0g x ′<，当(0,)x ∈+∞时，()0g x ′>， 即函数()g x 在上(1,0)−单调递减，在(0,)+∞上单调递增，【于是()(0)0g x g ≥=，即()0f x ′≥，函数在(1,)−+∞上单调递增， 又(0)0f =，因此(1,0)x ∈−时，()0f x <，当(0,)x ∈+∞时，()0f x >， 所以()0xf x ≥ 【小问3详解】①若1a >，函数()f x 在(1,)−+∞上为单调递增函数，且(0)0f =， 因此函数()f x 有且仅有一个零点；②若11ea <<，当(1,0)x ∈−时，1e x x a <，当(0,)x ∈+∞时，1e x x a >，由（2）知：当(1,0)x ∈−时，1()ln(1)10e xf x x <++−<， 当(0,)x ∈+∞时，()()1ln 110ex f x x >++−>，且(0)0f =，则函数只有一个零点. 综上所述：当1e>a 且1a ≠时，()f x 的零点个数为1个． 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数()h x ；（3）利用导数研究()h x 的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．19. 已知点()2,2A 为抛物线2:2Γ=y px 上的点，B ，C 为抛物线Γ上的两个动点，Q 为抛物线Γ的准线与x 轴的交点，F 为抛物线Γ的焦点．（1）若90BOC ∠=°，求证：直线BC 恒过定点；（2）若直线BC 过点Q ，B ，C 在x 轴下方，点B 在Q ，C 之间，且24tan 7BFC ∠=，求AFC 的面积和BFC △的面积之比． 【答案】（1）证明见解析 （2）4 【解析】.【分析】（1）根据90BOC ∠=，可得，12120OB OC x x y y ⋅=+=,利用韦达定理求解；（2）方法一：利用直线与抛物线的位置关系，利用韦达定理可得0BF CF k k +=，，从而可求解；方法二：结合24tan 7BFC ∠=可得7cos ,25FA FB = ，利用韦达定理和向量夹角的坐标表示即可求解.【小问1详解】设直线BC 的方程为x my n =+，()11,B x y ，()22,C x y 将()2,2A 代入抛物线方程得1p =联立122212222022y y m x my n y my n y y n y x +==+ ⇒−−=⇒ =−= , ∵90BOC ∠=∴12120OB OC x x y y ⋅=+=,()()()()2212121212010my n my n y y m y y mn y y n ⇒+++=⇒++++=,22222220200m n n m n n n n n ⇒−−++=⇒−=⇒=或2n =,若0n =，直线BC 的方程为x my =，恒过定点()0,0，不合题意舍；若2n =，直线BC 的方程为2x my =+，恒过定点()2,0． 小问2详解】方法1：设直线BC 的方程为12x my =−，()11,B x y ，()22,C x y 212212Δ01210,2221x my y my y y m y x y y >=− ⇒−+=⇒+= ==()()()()()121212121212121222201111111122BF CF my y y y y y y y m mk k my my my my my my x x −+−+=+=+===−−−−−−−−不妨设直线BF 的倾斜角为π02αα <<， 则22tan 24tan 21tan 7ααα==−−∴4tan 3α=，43BF k =，43CF k =−, 【∵11112211124111132222BF y y y k y y y x ====⇒=−−−−，∴11,82B− , ∵43AF BF k k ==∴A ，F ，B 共线，∴12241182ACF BCF AF S S BF +===+△△． 方法2：设直线BC 的方程为12x my =−，()11,B x y ，()22,C x y 212212Δ01210,2221x my y my y y m y x y y >=− ⇒−+=⇒+= == ,∵111,2FAx y =− ，221,2FB x y =− ，112BF x =+，212CF x =+，7cos 25BFC ∠= ∴()()()()121212121212111122cos ,1122x x y y my my y y FA FB FAFB my my FA FB x x  −−+  −−+⋅ ===  ++ ()()222212122221211121275254m y y m y y m m m m m y y m m +−+++−+−====⇒=± 由于直线BC 过点Q ，B ，C 在轴下方，∴54m =− 代入2210y my −+=得112y =−，22y =−,∴11,82B−∵43AF BF k k ==∴A ，F ，B 共线，∴12241182ACF BCF AF S S BF +===+△△.。

深圳高级中学（集团）2023届高考适应性考试数学试题一、选择题：每小题5分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

，则集合A N等于5．已知一个直棱柱与一个斜棱柱的底面多边形全等，且它们的侧棱长也相等．若直棱柱的体积和侧面积分别为1V和1S，斜棱柱的体积和侧面积分别为2V和2S，则A．1212V VS S>B．1212V VS S<C．1212V VS S=D．11VS与22VS的大小关系无法确定．已知向量a，b满足||5a=，||6b=，6a b⋅=−，则cos,=a a b<+>8．已知a=b=433e4c=，其中e为自然对数的底数，则a，b，c的大小关系为A．a c b<<B．b a c<<C．c a b<<D．c b a<<二、选择题：每小题5分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

A ．()f x 是以π为周期的周期函数B ．()f x 的图象向左平移π3个单位长度得到的图象对应的函数是奇函数C ．()f x 在5π5π,126⎡⎤⎢⎥上单调递减12．在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 为矩形，AB =BC PA PB =，2PC PD ==．下列说法正确的是A ．设平面PAB 平面PCD l =，则//l AB B ．平面PAD ⊥平面PBCC ．设点M BC ∈，点N PD ∈，则MN D ．在四棱锥P ABCD −的内部，存在与各个侧面和底面均相切的球 三、填空题：每小题5分。

13．已知数列{}n a 满足13a =−，11n n n a a a +=−，则105a =______.14．已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x =−，若(ln 2)8f =，则=a __________.15．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为8%，第2台加工的次品率为3%，第3台加工的次品率为2%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的10%，40%，50%，从混放的零件中任取一个零件，如果该零件是次品，那么它是第3台车床加工出来的概率为．16．已知动点Q到抛物线28C y x=：的焦点F的距离为1，则Q的轨迹方程是；若(4,0)A，P是抛物线C上的动点，则2||||PAPQ的最小值是．四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。