高考数学总复习：第6章《不等式、推理与证明》[7]

＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1) ＝(k＋1)[f(k＋1)－1]， ∴当 n＝k＋1 时结论仍然成立． 由(1)(2)可知：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1) ＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．

[规律方法]
用数学归纳法证明等式的规则 (1) 数学归纳法证明等式要充分利用定义，其中两个步骤 缺一不可，缺第一步，则失去了递推基础，缺第二步，则 失去了递推依据． (2) 证明等式时要注意等式两边的构成规律，两边各有多 少项，并注意初始值n0是多少，同时第二步由n＝k到n＝k ＋1时要充分利用假设，不利用 n ＝k时的假设去证明，就 不是数学归纳法．

[关键要点点拨]


数学归纳法的应用
(1)数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明 方法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可．第一 步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假 设起着“已知条件”的作用，在n＝k＋1时一定要运用它， 否则就不是数学归纳法．第二步的关键是“一凑假设，二凑 结论”． (2)在用数学归纳法证明问题的过程中，要注意从k到k＋1时 命题中的项与项数的变化，防止对项数估算错误．

第七节
数学归纳法(理)

[主干知识梳理]
数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进 行： 第一个值n0(n0∈N*) ( 1 ) ( 归 纳 奠 基 ) 证 明 当 n 取 时命题成立； k＋1 (2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明 当


n＝
时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n 0 开始的所有 正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．

[基础自测自评]
1．用数学归纳法证明 3n≥n3(n∈N，n≥3)，第一步应验 证

(
)

A．n＝1 C．n＝3 C
B．n＝2 D．n＝4
1 1 2． (教材习题改编)已知 n 为正偶数， 用数学归纳法证明 1－ ＋ － 2 3 1 1 1 1 1 ＋…－ ＝2 ＋ ＋…＋ 时，若已假设 n＝k(k≥2 且 k 4 n n＋2 n＋4 2n 为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证 ( )
左边＝右边，等式成立． (2)假设 n＝k(k≥2，k∈N*)时，结论成立，即 f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]，
那么，当 n＝k＋1 时， f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k) ＝(k＋1)f(k)－k
1 ＝(k＋1)f（k＋1）－ －k k ＋ 1
2
)
1 1 1 D．f(n)中共有 n －n＋1 项，当 n＝2 时，f(2)＝ ＋ ＋ 2 3 4
2
1 1 1 D [由 f(n)可知，共有 n －n＋1 项，且 n＝2 时，f(2)＝ ＋ ＋ .] 2 3 4
2

4．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n＋1＝2n＋2－ 1(n∈N*)的过程中，在验证n＝1时，左端计算所得的项为 _____． 答案 1＋2＋22

[跟踪训练] 1 1 1．用数学归纳法证明：对任意的 n∈N ， ＋ ＋…＋ 1×3 3×5
*
1 n ＝ . （2n－1）（2n＋1） 2n＋1 1 1 1 1 证明 (1)当 n＝1 时，左边＝ ＝ ，右边＝ ＝ ，左 1×3 3 2×1＋1 3 边＝右边，所以等式成立． (2)假设当 n＝k(k∈N*且 k≥1)时等式成立，即有 1 1 1 k ＋ ＋…＋ ＝ ， 1×3 3×5 （2k－1）（2k＋1） 2k＋1 则当 n＝k＋1 时，

用数学归纳法证明恒等式
[典题导入] 1 1 1 设 f(n)＝1＋ ＋ ＋…＋ (n∈N*)． 2 3 n 求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．
[听课记录]
(1)当 n＝2 时，
左边＝f(1)＝1，
1 右边＝21＋2－1 ＝1，
1 1 1 1 ＋ ＋…＋ ＋ 1＋3）＋1 k 1 ＝ ＋ ＝ 2k＋1 （2k＋1）（2k＋3） （2k＋1）（2k＋3） 2k2＋3k＋1 k＋1 k＋1 ＝ ＝ ＝ ， （2k＋1）（2k＋3） 2k＋3 2（k＋1）＋1 所以当 n＝k＋1 时，等式也成立． 由(1)(2)可知，对一切 n∈N*等式都成立．
用数学归纳法证明不等式
[典题导入] 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知对任意的 n∈N*，点 (n，Sn)均在函数 y＝bx＋r(b＞0 且 b≠1，b，r 均为常数)的图象上． (1)求 r 的值； (2)当 b＝2 时，记 bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)，证明：对任意的 n∈ b1＋1 b2＋1 bn＋1 N ，不等式 · ·…· ＞ n＋1成立． b1 b2 bn

1 1 1 5． 用数学归纳法证明： “1＋ ＋ ＋…＋ n <n(n>1)” ， 由 n＝k(k>1) 2 3 2 －1 不等式成立，推证 n＝k＋1 时，左边应增加的项的项数是 ________． 1 1 1 解析 当 n＝k 时，不等式为 1＋ ＋ ＋…＋ k <k. 2 3 2 －1 则 n＝k＋1 时，左边应为： 1 1 1 1 1 1 1＋ ＋ ＋…＋ k ＋ k＋ k ＋…＋ k＋1 2 3 2 －1 2 2 ＋1 2 －1 则增加的项数为 2k＋1－1－2k＋1＝2k. 答案 2k

A．n＝k＋1时等式成立 B．n＝k＋2时等式成立 C．n＝2k＋2时等式成立 D．n＝2(k＋2)时等式成立

B [因为n为偶数，故假设n＝k成立后，再证n＝k＋2时等 式成立．]
1 1 1 1 3．已知 f(n)＝ ＋ ＋ ＋…＋ 2，则 n n＋1 n＋2 n ( 1 1 A．f(n)中共有 n 项，当 n＝2 时，f(2)＝ ＋ 2 3 1 1 1 B．f(n)中共有 n＋1 项，当 n＝2 时，f(2)＝ ＋ ＋ 2 3 4 1 1 C．f(n)中共有 n －n 项，当 n＝2 时，f(2)＝ ＋ 2 3