第二章不等式

第二章 不等式第二章 第一课时 不等式的基本性质【知识回顾·一定要看】1．不等式的性质（1）对称性：a >b ⇔b <a ； （2）传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ； （3）不等式加等量：a >b ⇔a ＋c > b ＋c ；（4）不等式乘正量：a >b ，c >0⇒ac >bc ，不等式乘负量：a >b ，c <0⇒ac <bc ； （5）同向不等式相加：a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ； 3．知识点三、比较两代数式大小的方法作差法：任意两个代数式a 、b ，可以作差a b 后比较a b 与0的关系，进一步比较a 与b 的大小． 一、选择题．1．若,a b c d ，则下列不等式一定成立的是（ ） A．22a b B．22ac bc C．a c b dD．ac bd2．已知05x ，11y ，则2x y 的取值范围是（ ） A．223x y B．223x y C．227x yD．227x y3．设实数a ，b ，c 满足0a b ，0c ，则下列不等式成立的是（ ） A．11a bB．22ac bcC．c a c b D．c c a b4．已知a ，b ，c ，d 为实数，a b 且c d ，则下列不等式一定成立的是（ ） A．ac bdB．a c b dC．a d b cD．1a b5．（1）已知12,24a b ，求23a b 与a b 的取值范围．6．比较下列各组中两个代数式的大小：（1）256x x 与2259x x ；（2）2(3)x 与(2)(4)x x ；第二章 第二课时 区间一、选择题．1．已知集合{|(3)(2)0}A x x x ， 13B x x ，则A B =（ ） A． 1,2B． 1,3C． 2,3D． 0,32．已知集合 2{20},320A x x B x x x ，则A B （ ） A． 1,2 B． 1, C． 2,D． 2,3．已知集合 22R 9,R 20A x x B x x x ，则 R A B （ ） A．[3,1)(2,3] B．[3,2)(1,3] C．(,3)(2,) D．(,1)(3,)二、填空题．4．已知集合(1,2),[1,)A B ，则集合A B . 5．设集合 ,1,0,3A B ，则A B .6．已知 ,0A ， ,B a ，且A B R ，则实数a 的取值范围为 . 三、解答题.7．已知集合 4,35A x x ， 3,22B . （1）若10x ，求A B ，A B ； （2）若A B A ，求实数x 的取值范围.8．已知非空集合2230A x x x ，非空集合(0,]B m （1）若4m ，求A B （用区间表示）； （2）若A B A ，求m 的范围.第二章 第三课时 一元二次不等式【知识回顾·一定要看】1．一元一次不等式解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax ＞b (a ≠0)的形式．当a ＞0时，解集为x |x ＞b a ；当a ＜0时，解集为x |x ＜b a ．若关于x 的不等式ax >b 的解集是R ，则实数a ，b 满足的条件是 ． 2．一元二次不等式及其解法(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为 不等式．(2)使某个一元二次不等式成立的x 的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的 ．(3)若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(或ax 2＋bx ＋c ＜0)(其中a ＞0)的形式，其对应的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实根x 1，x 2，且x 1＜x 2(此时Δ＝b 2－4ac ＞0)，则可根据“大于号取 ，小于号取 ”求解集． (4)一元二次不等式的解：有两相异实根 (x 1＜x 2)有两相等实根1＝x 2＝－b2无实根一、选择题．1．设集合 2{2},340S xx T x x x ∣∣，则 R S T （ ） A． 2,1 B． 4,1 C． 4,2 D． 2,42．不等式 20x x 的解集是（ ） A． ,02, B． 0,2 C． ,20,D． 2,03．不等式2320x x 的解为（ ） A．3x 或1xB．1x 或3xC．13xD．31x4．不等式210x 的解集是（ ）A．{1}xx ∣ B．{1}x x ∣ C． 1x x 或 1xD．{|11}x x5．已知不等式240x ax 的解集为R ，则a 的取值范围是（ ） A． 4,4B． 4,4C． ,44, D． ,44,6．不等式 120x x 的解集是（ ） A． 1,0,2B． ,01,C．10,2D．10,27．若关于x 的不等式20x ax b 的解集是 |2x x 或 3x ，则a b （ ） A．7B．6C．5D．18．已知集合 2|3210,|A x x x B x x a ，若A B ，则实数a 的取值范围为（ ） A． 1 ，B．1,3C．[1 ，）D．1,3二、填空题．9．不等式22240x x 的解集为 . 10．不等式223x x 的解集是 .11．已知集合 2|60A x x x ，2280B x x x ＞，则A B = . 12．设,b c R ，不等式20x bx c 的解集是(,1)(3,) ，则b c . 三、解答题. 13．解下列不等式； （1）2230x x ；（2） 2132x x ；14．已知不等式 2560ax x ． （1）当 1a 时，解不等式； （2）当 1a 时，解不等式．15．若不等式2(1)22ax a x a 对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围.16．已知不等式2230x x 的解集是A ，不等式2450x x 的解集是B . （1）求A B ；（2）若关于x 的不等式20x ax b 的解集是A B ，求a ，b 的值.第二章 第四课时 含绝对值的不等式【知识回顾·一定要看】绝对值不等式 1．绝对值的代数意义正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a2．绝对值的几何意义一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到__________的距离． 3．绝对值不等式：(0) x a a 的解集是{|} x a x a ，如图1； (0) x a a 的解集是{|} 或x x a x a ，如图2；(0)ax b c c ___________________________ (0)ax b c c ___________________________一、选择题．1．已知集合2230,32A x x x B x x ，则A B （ ） A．(3,5)B．(1,3)C．(1,1)D．,1(),)1(2．已知R 是实数集，集合 220A x x x ， 12B x x ，则()R A B （ ） A． 1,2B． 1,3C． 2,3D． 1,23．设集合 ||1|1A x x ，集合 2|1B x x ，则（ ） A．A BB．B AC．A BD．A B4．全集U R ，且{||1|2}A x x ，2{|680}B x x x ，则()U A B （ ） A．{|14}x x B．{|23}x x C．{|23}x xD．{|14}x x5．已知集合24,{|13}M xx x N x x ∣，则 M N R （ ） A．M B．NC．R N D．R M6．已知集合 31,A x x x Z ， 2560,B x x x x Z ，则A B （ ） A． 2,3B． 3C． 23x xD． 2,3,47．设集合 2|450P x x x ，=0Q x x a ，则能使P Q 成立的a 的取值范围是（ ） A． 5,B． 5,C． 1,5D． 1,8．不等式2211x 的解集为（ ） A． 11x x B． 22x x C． 02x x D． 20x x二、填空题．9．不等式211x 的解集为 . 10．不等式33x 的解集为 .11．已知集合 |11M x x ∣，21N x x ，M N . 12．若集合 2560A x x x ，集合 213B x x ，则集合A B . 三、解答题.13．求下列绝对值不等式的解集： （1）|12|3x ; （2）2|1|0x .14．已知集合 22|240A x x ax a ， ||25|3B x x ，当a =3时，求A B .15．已知2}0{8|2A x x x ＞，{|||5|}B x x a ，且A B R ，求a 的取值范围．。

高一不等式第二章知识点不等式是数学中一种重要的数值关系表达方式，它描述了数值的大小关系。

在高一阶段，学生开始接触不等式的概念，并学习了不等式的性质和解法。

本文将介绍高一不等式第二章的知识点，帮助学生更好地理解和掌握不等式的相关内容。

一、一元一次不等式的解法在一元一次不等式的解法中，需要注意以下几个知识点：1. 不等式的性质(1) 相等原理：对不等式两边同时加减同一个数值，不等式的关系不变。

(2) 反向性：如果a>b，那么-b>-a。

(3) 乘法性质：对不等式两边乘以同一个正数，不等式的关系不变；对不等式两边乘以同一个负数，不等式的关系改变方向。

2. 解一元一次不等式的步骤(1) 同步齐次：将不等式中的项移到一边，将不等式变为等式。

(2) 化简方程式：将方程简化，使其成为易于处理的形式。

(3) 求解方程式：根据方程的形式，使用逆运算法则求解方程的解。

(4) 给出不等式的解集：将求得的解集代入原始不等式，得出不等式的解集。

二、一元一次不等式组的解法在一元一次不等式组的解法中，需要注意以下几个知识点：1. 不等式组的性质(1) 不等式组的解集：将多个不等式同时解，得到解集的交集或并集。

(2) 相似原理：如果a>b，那么对于任意的c>0，ac>bc；如果a>b，那么对于任意的c<0，ac<bc。

2. 解一元一次不等式组的步骤(1) 同时同步：将不等式组中的所有不等式同时同步齐次。

(2) 化简方程组：将方程组简化，使其成为易于处理的形式。

(3) 求解方程组：根据方程组的形式，使用逆运算法则求解方程组的解。

(4) 给出不等式组的解集：将求得的解集代入原始不等式组，得出不等式组的解集。

三、二元一次不等式的解法在二元一次不等式的解法中，需要注意以下几个知识点：1. 不等式的性质(1) 两个不等式的比较：对于两个不等式a>b和c>d，如果同时满足a>c和b>d，那么a+b>c+d。

第二章不等式㈠不等式的性质用作差法比较大小性质1：如果a>b，那么b<a；反之也成立性质2：如果a>b，b >ｃ，那么a>ｃ性质3：如果a>b，那么a+ｃ>b+ｃ推论：如果a>b，ｃ>ｄ则a+ｃ>b+ｄ性质4：如果a>b，ｃ>0，那么aｃ>bｃ；如果a>b，ｃ<0，那么aｃ<bｃ推论1：如果a>b >0，ｃ>ｄ>0，那么aｃ>bｄ推论2：如果a>b >0，那么a n>b n (n∈N+ , n>1)，那么(n∈N+ , n>1)性质5：如果a>b >0㈡区间开区间：（a，b）表示a<ｘ<b 闭区间：[a，b] 表示a≤ｘ≤b半闭区间：[a，b）表示a≤ｘ<b 半开区间：（a，b] 表示a <ｘ≤b（－∞，+∞）表示实数集Ｒ，（a，+∞）表示ｘ>a，（－∞，b]表示ｘ≤b（－∞，b]∪(a，+∞）表示ｘ≤b或ｘ> a一元二次不等式的解题步骤：1.化标准式2.判断∆∆〉时求两个根，小的写左边大的写右边3.根据∆情况到上表中找到解集：如果0注：标准形式为分子，分母都是一元一次式，左边为一个分式，不等号右边为0㈤绝对值不等式解法当0a>时，{}/x a x x a x a>⇒<->或{}/x a x x a x a≥⇒≤-≥或{}/x a x a x a<⇒-<<{}/x a x a x a≤⇒-≤≤当0a<时，x a x R>⇒∈x a x R≥⇒∈x a<⇒∅x a≤⇒∅当0a=时，{}0/0x x x>⇒≠0x R≥⇒x<⇒∅{}00x≤⇒如果绝对值符号中是代数式，也看成是一个整体，替换成解集中的x即可例：1 354435433 x x x+<⇒-<+<⇒-<<-22247332473x x x x+-≤⇒-≤+-≤。

〈二〉不等式1．比较数(式)的大小依据：a－b＞0⇔a＞b；a－b＜0⇔a＜b；a－b＝0⇔a＝b.适用范围：若数(式)的大小不明显，作差后可化为积或商的形式．步骤：①作差；②变形；③判断差的符号；④下结论．变形技巧：①分解因式；②平方后再作差；③配方法；④分子(分母)有理化．2．利用基本不等式证明不等式(1)充分利用条件是关键，要注意“1”的整体代换及几个“＝”必须保证同时成立．(2)利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，其实质就是从已知的不等式入手，借助不等式的性质和基本不等式，经过逐步的逻辑推理，最后推得所证结论，其特征是“由因导果”．(3)证明不等式时要注意灵活变形，可以多次利用基本不等式的变形形式．3．利用基本不等式求最值(1)利用基本不等式求最值，必须同时满足以下三个条件：一正、二定、三相等．即：①x，y都是正数．②积xy(或和x＋y)为常数(有时需通过“配凑、分拆”凑出定值)．③x与y必须能够相等(等号能够取到)．(2)构造定值条件的常用技巧①加项变换；②拆项变换；③统一换元；④平方后利用基本不等式．4．解一元二次不等式的步骤当a＞0时，解形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)的一元二次不等式的一般步骤如下：(1)确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；(2)画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象的简图；(3)由图象写出不等式的解集．特别提醒：(1)在通过图象获取解集时，注意不等式中的不等号方向、是否为严格不等关系及Δ＝0时的特殊情况．(2)当a＜0时，解不等式可以从两个方面入手：①画出对应图象进行直接判定(此时图象开口向下)；②两边同乘以－1，把a转变为－a再进行求解．5．一元二次不等式的实际应用不等式在解决生活、生产中的一些实际问题中有着广泛的应用，主要有范围问题、最值问题等．解一元二次不等式的应用问题的关键在于构造一元二次不等式模型．解题的一般步骤是：(1)理清题意：弄清问题的实际背景和意义，用数学语言来描述问题．(2)简化假设：精选问题中的关键变量．(3)列出关系式：建立变量间的不等关系式．(4)求解：运用数学知识解相应不等式．(5)检验并作答：将所得不等式的解集放回原题中检验是否符合实际情况，然后给出问题的答案．过关训练一、不等式的性质及应用1(1)若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A，B的大小关系是()A．A≤B B．A≥B C．A<B或A>B D．A>B(2)若a >b ，x >y ，下列不等式正确的是( )A ．a ＋x <b ＋yB ．ax >byC ．|a |x ≥|a |yD ．(a －b )x <(a －b )y练1 若1≤a ≤5，－1≤b ≤2，则a －b 的取值范围为________．二、利用基本不等式求最值题型一：构造积为定值1．当x >0时，y ＝12x＋4x 的最小值为 变式1、当x <0时，y ＝12x＋4x 的最 值为 变式2、若a <1，则a ＋1a －1有最____值为________ 变式3、已知x <3，则f (x )＝4x －3＋x 的最大值为变式4、设x >－1，则函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1的最小值是________ 变式5、若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________题型二：构造和为定值2.已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为________变式1、当0<x <13时，则x (1-3x )的最大值为变式2、若x >0，则的最大值为变式3、若x >0，y >0，且x 2＋y 2＝8，则的最大值为变式4、若x >0，y >0，且2x 2＋y 23＝8，则x 6＋2y 2的最大值为 题型三：“1”的妙用 3.已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝1，则1x ＋1y的最小值为________变式1、设x >0，y >0，且821x y +=，则x ＋y 的最小值为_______变式2、设x >0，y >0，且2x ＋8y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为________变式3、已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是 变式4、若0<x <1，则y ＝491x x+-的最小值为________ 变式5、若x >-1,y >0且满足x+2y =1，则121x y ++的最小值为________ 题型四：建立求解目标不等式求最值4.已知x ，y 均为正实数，且xy ＝x ＋y ＋3，则xy 的最小值为__________变式1、若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是________变式2、若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则2x ＋y 的最小值是________变式3、若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________题型五：代换减元求最值5.若实数a ，b 满足ab －4a －b ＋1＝0(a >1)，则(a ＋1)·(b ＋2)的最小值是__________变式1、设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当z xy取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为__________变式2、【2020年江苏高考12题】已知22451(,)x y y x y +=∈R ，则22x y +的最小值为__________【2020年天津高考14题】已知a >0，b >0，且ab ＝1，则11822a b a b +++的最小值为 三、三个二次之间的关系若不等式ax 2+bx+2>0的解集是)31,21(-,则a-b 的值为 练：不等式ax 2 +bx+c>0的解集为(-1，2),则不等式cx 2+bx+a<0的解集为四、解含参-元二次不等式1、能分解因式:比较两根大小2、不能分解:讨论判别式解关于x的不等式x2- 5ax +6a2>0,a≠0. 解关于x的不等式(m2+1)x2-4x+1≥0.3、二次项系数含参:讨论开口方向4、综合讨论解关于x的不等式ax2+(a+2)x+1>0. 解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0.。

主题三 不等式第二章 均值不等式一、均值定理1、几个常用的平均值对任意两个正实数b a ,，数2b a +叫做b a ,的算术平均数，数ab 叫做b a ,的几何平均数，b a 2+叫做b a ,的调和平均数，222b a +叫做b a ,的平方平均数。

2、均值定理如果+∈R b a ,，那么ab b a ≥+2。

当且仅当b a =时，等号成立。

上面的结论通常称为均值不等式。

均值定理可以表述为：两个正实数的算术平均数大于或等于它的几何平均数。

常用的变形形式有：4)(2b a ab +≤，即两个正实数的和为定值常数时，则它们的积有最大值； ab b a 2≥+，即两个正实数的积为定值常数时，则它们的和有最小值。

例1：①已知0>ab ，求证2≥+b a a b ；②求函数)0(1>+=x x x y 的值域；③已知20πθ<<，求函数θθθcot tan )(+=f 的最小值以及相应的θ值；④已知1>x ，求证：210log lg ≥+x x ，并说明式中等号成立的条件。

例2：①求函数)0(42>--=x x x y 的最大值以及相应的x 的值；②求函数)2(23>-+=x x x y 的最小值以及相应的x 的值；③求函数242+=x x y 的最大值以及相应的x 的值；④求函数)1(142>-+-=x x x x y 的最小值以及相应的x 的值；⑤已知20π<<x ，求函数θθθ2sin )22(sin )(2+=f 的最小值及相应的θ值。

例3：①求函数12)(22++=x x x f 的最小值以及相应的x 的值；②求函数23)(22++=x x x f 的最小值以及相应的x 的值。

例4：①已知+∈R b a ,，且1=+b a ，求b a 11+的最小值；②已知+∈R b a ,，且223=+b a ，求ab 的最大值以及相应的b a ,的值；③已知0,0>>y x ，且191=+yx ，求y x +的最小值；④若+∈R y x ,，且082=-+xy y x ，求y x +的最小值。

第二章《不等式》§2.1不等式的性质与证明一、高考要求：掌握不等式的性质、简单不等式的证明和重要不等式及其应用. 二、知识要点：1. 实数大小的基本性质: a-b ＞0⇔a ＞b; a-b =0⇔a =b; a-b ＜0⇔a ＜b.2. 不等式的性质:(1)传递性:如果a ＞b,b ＞c,则a ＞c;如果a ＜b,b ＜c,则a ＜c; (2)加法法则:如果a ＞b,则a+c ＞b+c;如果a ＞b,则a-c ＞b-c; (3)乘法法则:如果a ＞b,c ＞0,则ac ＞b c;如果a ＞b,c ＜0,则ac ＜b c; (4)移项法则:如果a+b ＞c ,则a ＞c-b;(5)同向不等式的加法法则:如果a ＞b 且c ＞d,则a+c ＞b+d;如果a ＜b 且c ＜d,则a+c ＜b+d; (6)两边都是正数的同向不等式的乘法法则:如果a ＞b ＞0,且c ＞d ＞0,则ac ＞b d. 3. 几个拓展的性质: a ＞b ＞0⇒a n ＞b n (n ∈N,n ＞1); a ＞b ＞0⇒n a ＞n b (n ∈N,n ＞1); a ＞b 且c ＞d ⇒a-d ＞b-c ; a ＞b ＞0,且c ＞d ＞0⇒cb d a >; a ＞b ＞0(或0＞a ＞b)⇒ba 11<; 4. 重要不等式:(1) 整式形式: a 2+b 2≥2a b （a 、b ∈R ）; a 2+b 2+c 2≥3a bc （a 、b 、c ∈R +）;ab ≤22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a (a 、b ∈R); abc ≤33⎪⎭⎫ ⎝⎛++c b a (a 、b 、c ∈R +);(2) 根式形式:2b a +≥ab (a 、b ∈R +); 3c b a ++≥3abc (a 、b 、c ∈R +); (3) 分式形式:b a a b +≥2（a 、b 同号）; c ab c a b ++≥3（a 、b 、c 同号）;(4) 倒数形式:a a 1+≥2（a ∈R +）; aa 1+≤-2（a ∈R -）. 三、典型例题：例1:已知a ＞b,则不等式①a 2＞b 2;②b a 11<;③ab a 11>-中不能成立的个数是( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 例2:证明不等式:(1)对∀实数a 、b,求证:22⎪⎭⎫⎝⎛+b a ≤222b a +; (2)求证:对∀正实数a 、b 、c,a+b+c ≥ca bc ab ++;(3)若p ＞0,q ＞0,p 3+q 3=2,试用反证法证明p+q ≤2; (4)对∀实数x 、y,求证:x 2+xy+y 2≥0; (5)对∀实数a 、b ∈R +,且a+b=1,求证:)11)(11(ba ++≥9.四、归纳小结：1.实数大小的基本性质反映了实数运算的性质和实数大小顺序之间的关系,是不等式证明和解不等式的主要依据.2.不等式证明的常用方法:(1)比较法常和配方法结合使用.用比较法证明的一般步骤是:作差→变形→判断符号;(2)综合法和分析法常结合使用.综合法就是“由因导果”,使用不等式的性质和已证明的不等式去直接推证;分析法就是“执果索因”,叙述的形式是:要证A,只要证B; (3)反证法的步骤:假设→推理→矛盾→原命题成立;3.在利用不等式求最大值或最小值时,要注意变量是否为正,和或积是否为定值,等号是否能成立.通过变形,使和或积为定值,是用不等式求最值的基本技巧. 五、基础知识训练： （一）选择题：1. (96高职-2)在下列命题中,是真命题的是( )A.x ＞y 和|x|＞|y|互为充要条件B.x ＞y 和x 2＞y 2互为充要条件C.a 2＞b 2 (b ≠0)和2211ba >互为充要条件 D.b a 4131-<-和4a ＞3b 互为充要条件 2. (98高职-2)已知a ＞b,c ∈R,由此能推出下列不等式成立的是( )A.a+c ＞b-cB.ac ＞bcC.ac 2＞bc 2D.a c2⋅＞b c2⋅ 3. (99高职-2)如果ab ＞0且a ＞b,则有( )A.a 1＞b 1 B.a 1＜b1C.a 2＞b 2D.a 2＜b 2 4. (2001高职-4)“a ＜b ＜0”是“a 1＞b1”成立的( )A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.既不充分又不必要条件5. 不等式2>+abb a 成立的充要条件是( ) A.ab ＞0且a ≠b B.ab ≠0且a ≠b C.a ＞0,b ＞0且a ≠b D.a ≠1且b ≠1 6. (2003高职-2)已知x ＞2,则函数21-+=x x y 的最小值是( ) A.4 B.3 C.2 D.17. 不等式①a 2+2＞2a;②a 2+b 2＞2(a-b-1);③(a 2+b 2)(c 2+d 2)＞(ac+bd)2中,恒成立的个数是( )A.0个B.1个C.2个D.3个 8. 若实数a 、b 、c 满足b+c=3a 2-4a+6，b-c=a 2-4a+4,则a 、b 、c 的大小关系是( ) A.b ≥c ＞a B.b ＞c ＞a C.b ＜c ＜a D.b ＜c ≤a 9. 若f(x)=3x 2-x+1,g(x)=2x 2+x-1,则f(x)与g(x)的大小关系是( )A.f(x)＞g(x)B.f(x)=g(x)C.f(x)＜g(x)D.随x 值变化而变化 10. 若a ≠2或b ≠-1,则M=a 2+b 2-4a+2b 的值与-5的大小关系是( )A.M ＞-5B.M ＜-5C.M=-5D.不能确定 11. 已知0＜a ＜1,则aa 1、aa -、aa 的大小关系是( )A.aa 1＞aa ＞aa- B.aa -＞aa ＞aa 1 C.aa ＞aa 1＞aa- D.aa-＞aa 1＞a a12. 已知a ＜b ＜0,则下列不等式中不能成立的是( ) A.a 2＞b 2 B.b a > C. b a 11> D. ab a 11>- 13. 设a 、b 是不相等的正数,则( )A.2222b a ab ba +<<+ B.2222b a b a ab +<+< C.2222b a b a ab +<+< D.2222ba ab b a +<<+ 14. 若0＜x ＜1,0＜y ＜1,且x ≠y,而x 2+y 2,x+y,2xy,xy 2中最大的一个是( ) A.2xy B.x+y C.xy 2 D.x 2+y 215. 若a 、b 为非零实数,则在①222b a +≥ab ；②22⎪⎭⎫⎝⎛+b a ≤222b a +；③2b a +≥b a ab +；④baa b +≥2中，恒成立的个数是( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 16. 设正数a,b 满足ab=4,则2a+3b 的最小值是( )A.12B.10C.64D.3417. 设a,b ∈R 且a+b=3,则b a 22+的最小值是( )A.6B.8C.24D.22 18. 若实数x,y 满足方程x+y-4=0,则x 2+y 2的最小值是( )A.4B.6C.8D.10 19. 令0＜a ＜b,且a+b=1,则下列四数中最大的是( ) A.21B.aC.2abD.a 2+b 2 20. 设a 、b 是两实数,给出下列条件:①a+b ＞1；②a+b=2；③a+b ＞2；④a 2+b 2＞2；⑤ab ＞1.其中能推出“a 、b 中至少有一个数大于1”的条件是( )A.②③B.①②③C.③④⑤D.③21. 下列命题中,(1)x x 1+的最小值是2；(2)1222++x x 的最小值是2；(3)4522++x x 的最小值是2；(4)xx 432--的最小值是2.正确命题的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 （二）填空题：22. 若x ＞y 且a ＞b,则在“①a-x ＞b-y ； ②a+x ＞b+y ； ③ax ＞by ；④x-b ＞y-a ； ⑤xby a >”这五个式子中恒成立的不等式的序号是 . 23. 已知三个不等式: ①ab ＞0；②bda c -<-；③bc ＞ad.以其中两个作为条件,余下的一个作为结论,则可以组成 个正确的命题.24. 以下四个不等式: ①a ＜0＜b ；②b ＜a ＜0；③b ＜0＜a ；④0＜b ＜a.其中使ba 11<成立的充分条件有 .25. (99高职-17)已知x ＞0,函数xx y 432--=的最大值是 . 26. (2002高职-16)已知函数xx y 22+=,(x ＞0),则y 的最小值是 . （三）解答题： 27. (1)已知:1>x ,求294x x +的最小值；(2)已知:0<x ,求3364xx y +=的最大值.28. 已知:a 、b ∈R +,求证:2ba +≥ab .(要求用比较法、综合法、分析法、反证法分别证明)29. 若a 、b 、c ∈R +,且a+b+c=1,求证:(a 1-1)(b 1-1)(c1-1)≥8.六、综合能力提高： 30. 函数116-+=x x y (x ＞1)的最小值是 .31. 已知:R x ∈,求2322++=x x y 的最小值.§2.2一次不等式和不等式组的解法一、高考要求：熟练求不等式组的解集. 二、知识要点：1. 能直接表明未知数的取值范围的不等式叫做最简不等式，解集相等的不等式叫做同解不等式，一个不等式变为它的同解不等式的过程叫做同解变形.2. 一次不等式ax ＞b(a ≠0)的解法:当a ＞0时,解集是{a b x x >},用区间表示为(a b,+∞); 当a ＜0时,解集是{a b x x <},用区间表示为(-∞,ab).3. 不等式组的解集就是构成不等式组的各不等式解集的交集. 三、典型例题： 例1:解下列不等式(组):(1) (x-3)2(x-4)≥0. (2) ⎩⎨⎧-<+<-+65430)3)(1(2x x x x .四、归纳小结：一次不等式和不等式组的解法是解各种不等式(组)的基础.解不等式实际上就是利用数与式的运算法则,以及不等式的性质,对所给不等式进行同解变形,直到变形为最简不等式为止.五、基础知识训练： （一）选择题：1. 已知方程x 2+(m+2)x+m+5=0有两个正根,则实数m 的取值范围是( )A.m ＜-2B.m ≤-4C.m ＞-5D.-5＜m ≤-4 2. 已知方程mx 2+(2m+1)x+m=0有两个不相等的实根,则实数m 的取值范围是( ) A.m ＜41-B.m ＞41-C.m ≥41-D.m ＞41-且m ≠0 （二）填空题： 3. 若关于x 的不等式组⎩⎨⎧>+->01a x ax 的解集不是空集,则实数a 的取值范围是 . （三）解答题： 4. 解不等式(组): (1)52(x-2)≤x-52 ⎪⎩⎪⎨⎧<->+<-06305201)2(x x x§2.3分式不等式的解法一、高考要求：会解线性分式不等式:0>++d cx b ax 或)0(0≠<++c dcx bax .二、知识要点：在分式的分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式.线性分式不等式的一般形式为:0>++d cx b ax 或)0(0≠<++c dcx bax ,不等号也可以是“≥”或“≤”.三、典型例题： 例:解不等式:1523-+>-+x x x x .四、归纳小结：1. 分式不等式的求解可应用同解原理转化为整式不等式求解,常用的解法有： (1)转化为一次不等式组；(2)区间分析法.2. 解分式不等式的关键是利用除法运算的符号法则化成不等式组或用区间分析法. 注意：①不能按解分式方程的方法去分母；②不能忘记分母不能为零的限制. 五、基础知识训练： （一）选择题：1. 满足21<x 与31->x 的x 适合的条件是( ) A.2131<<x B. 21>x C. 31-<x D. 3121-<>x x 或2. 下列不等式中与xx --34≥0同解的是( )A.(x-4)(3-x)≥0B.43--x x≥0 C.)3(-x Ig ≤0 D.(x-4)(3-x)＞03. 不等式1212>-+x x 的解集是( )A.{x|0≤x ＜3}B.{x|-2＜x ＜3}C.{x|-6≤x ＜3}D.{x|x ＜-3或x ＞2} 4. 不等式1232+--x x x ＜0的解集是( ) A.{x|x ＜3} B.{x|1＜x ＜3} C.{x|x ＜3或x ≠1} D.{x|x ＜3且x ≠1}5. 不等式2)1()3(2--+x x x ≤0的解集是( )A.{x|1≤x ＜2}B.{x|1＜x ＜2或x=-3}C.{x|1≤x ＜2或x =-3}D.{x|1≤x ≤2或x=-3}6. 设a ＞b ＞c,则不等式cx b x a x ---))((≥0的解集是( )A.(-∞,c )∪[b,a )B.(c,b ]∪[a,+∞)C.(c,b]∪(b,a]D.(c,a]∪[b,+∞) （二）填空题： 7. 不等式1312>+-x x 的解集是 . 8. 不等式)3)(4()2()1(22x x x x --+-≥0的解集是 .9. 若不等式342+++x x ax ≥0的解集为{x|-3＜x ＜-1或x ≥2},则a= . 10. b 克糖水中有a 克糖(b ＞a ＞0),若再添上m 克糖(m ＞0),则糖水就变甜了,试根据这个事实提炼一个不等式 .11. 设关于x 的不等式ax+b ＞0的解区间为(1,+∞),则关于x 的不等式0652<+--bax x x 的解区间为 . （三）解答题： 12. 解下列不等式: (1) 12+<x x (2) 110<-<xx六、综合能力提高： 13. 若不等式x 2+px+q ＜0的解集是{x|1＜x ＜2},则不等式06522>--++x x qpx x 的解集是( ) A.(1,2) B.(-∞,-1)∪(6,+∞) C.(-1,1)∪(2,6) D.(-∞,-1)∪(1,2)∪(6,+∞)§2.4含有绝对值的不等式一、高考要求：熟练求绝对值不等式的解集. 二、知识要点：1. |x-a|(a ≥0)的几何意义是x 在数轴上的对应点到a 的对应点之间的距离.2. 不等式|x|≤a(a ＞0)的解集是{x|-a ≤x ≤a};不等式|x|＞a(a ＞0)的解集是{x|x ＜-a 或x ＞a}.3. 不等式|ax+b|＜c(c ＞0)的解集是{x|-c ＜ax+b ＜c},然后解这个一次不等式,求出原不等式的解集;不等式|ax+b|＞c(c ＞0)的解集是{x|ax+b ＜-c 或ax+b ＞c},然后解这个一次不等式,求出原不等式的解集,即这两个一次不等式的解集的并集为原不等式的解集. 三、典型例题： 例:解下列不等式:(1) |x 2-3x|＞4 (2) 1≤|2x-1|＜5 (3) x+|x-1|＜2四、归纳小结：解绝对值不等式时,应先了解基本绝对值不等式|x|＜a 、|x|＞a (a ＞0)的解法,并把含有绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式. 五、基础知识训练： （一）选择题：1. (2002高职-2)不等式|x-2|＞1的解集是( )A.(1,3)B.(3,+∞)C.(-∞,1)D.(-∞,1)∪(3,+∞) 2. 不等式|2-3x|＞5的解集是( )A.(-1,37) B.(37,+∞) C.(-1,+∞) D.(-∞,-1)∪(37,+∞) 3. 不等式|2-3x|≤21的解集是( )A.{x|21＜x ＜65}B. {x|x ＜21或x ＞65}C. {x|x ≤21或x ≥65}D. {x|21≤x ≤65}4. 已知A={x 2+x ≥5},B={x x -3＜2},则A ∪B 等于( )A.{x|x ≤7或x ＞1}B.{x| -7≤x ＜1}C.{x|x ∈R}D.{x|x ≤7或x ≥3} 5. 已知A={x 2-x ＜3},B={x 1-x ＞1},则A ∩B 等于( )A.{x|x ＜0或x ＞2}B.{x| -1＜x ＜5}C.{x|-1＜x ＜0}D.{x|-1＜x ＜0或2＜x ＜5} 6. 设ab ＞0,下面四个不等式①|a+b|＞|a|；②|a+b|＜|b|；③|a+b|＜|a-b|；④|a+b|＞|a|-|b|中,正确的是( )A.①和②B.①和③C.①和④D.②和④7. 下面四个式子①|a-b|=|b-a|；②|a+b|+|a-b|≥2|a|；③a a =-2)(；④()b a +21＞ab 中,成立的有( )A.①、②B.①、②、④C.①、②、③D.①、②、③、④ （二）填空题：8. (2001高职-14)若不等式|x-a|＜b 的解集为{x|-3＜x ＜9},则ba2log = . 9. 若{x||a-2x|＞b,b ＞0}={x|x ＜-5或x ＞4},则a 2+b= . 10. 若x ∈Z,则不等式382<-x 的解集是 . （三）解答题：11. 设集合A={x||2x-1|≤3},B={x||x+2|＜1},求集合C,使其同时满足下列三条件: (1)C ⊆[(A ∪B)∩Z]；(2)C 中有三个元素；(3)C ∪B ≠Φ.12. 解下列不等式: (1) 3＜322-x ≤7 (2)123-+x x ≥1六、综合能力提高： 13. 解下列不等式:(1) |3x-1|＞x+3 (2) 42>++x x§2.5一元二次不等式的解法一、高考要求：熟练求一元二次不等式的解集.二、知识要点：三、典型例题：例1:求下列不等式的解集:(1)2x+3-x 2＞0；(2)x(x+2)-1≥x(3-x)；(3)x 2-32x+3＞0；(4)x 2+6(x+3)＞3；(5)3x 2+5≤3x.例2:m 是什么实数时,方程(m-1)x 2-mx+m=0有两个不相等的实数根?例3:已知ax 2+2x+c ＞0的解集为2131<<-x ,试求a 、c 的值,并解不等式-cx 2+2x-a ＞0.四、归纳小结：解一元二次不等式的方法主要有:(1)转化为一次不等式组；(2)区间分析法；(3)配方法；(4)利用二次函数的图象.五、基础知识训练：（一）选择题：1. (97高职-1)不等式x 2+2x+1＞0的解集是( )A.ΦB.RC.{x|x= -1}D.{x|x ≠-1,x ∈R}2. 不等式(x 2-4x-5)(x 2+8)＜0的解集是( )A.{x|-1＜x ＜5}B.{x|x ＜-1或x ＞5}C.{x|0＜x ＜5}D.{x|-1＜x ＜0}3. 不等式ax 2+2x+c ＞0(a ≠0)的解集是空集的充要条件是( )A.a ＜0且b 2-4ac ＞0B.a ＜0且b 2-4ac ＜0C.a ＜0且b 2-4ac ≥0D.a ＜0且b 2-4ac ≤04. 下列不等式中,解集是空集的不等式是( )A.4x 2-20x+25＞0B.2x 2-34x+6≤0C.3x 2-3x+1＞0D.2x 2-2x+1＜05. 若x 2-mx+1＜0,则实系数m 的取值范围为( )A.m ＞2或m ＜-2B.-2＜m ＜2C.m ≠±2D.m ∈R6. 若ax 2+5x+c ＞0的解集是}2131{<<x x ,则a+c 的值为( ) A.7 B.5 C.-5 D.-7（二）填空题：7. 已知不等式x 2+bx+c ＞0的解集为{x|x ＜3-或x ＞2},则b= ，c= .8. 已知(m+3)x 2+(2m-1)x+2(m-1)＜0对任意x ∈R 都成立,则实系数m 的取值范围为 .（三）解答题：9. 设集合A={x|x 2-2x-8≥0, x ∈R},B={x|1-|x-a|＞0, x,a ∈R},A ∩B=Φ,求a 的取值范围.10. 不等式(a 2-1)x 2-(a-1)x-1＜0的解是全体实数,求实数a 的取值范围.11. 若函数y=x 2-(1+k)x-k+2的值域为非负实数,求实数k 的取值范围.12.若关于x的方程x2+(a2-9)x+a2-5a+6=0的一根小于0,另一根大于2,求实数a的取值范围.六、综合能力提高：13.已知不等式：①x2-4x+3＜0；②x2-6x+8＜0；③2x2-9x+m＜0.要使同时满足①、②的x也满足③,则有( )A.m＞9B.m=9C.m≤9D.0＜m≤914.若关于x的方程3x2-5x+a=0的一根大于-2而小于0,另一根大于1而小于3,求实数a的取值范围.15.已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为0＜α＜x＜β,求不等式cx2-bx+a＞0的解集.§2.6不等式的应用一、高考要求：了解不等式或不等式组在解决实际问题中的应用,会列不等式或不等式组解简单的实际问题.二、知识要点：列不等式解应用题的主要步骤是：(1)设未知数；(2)根据题意,列出不等式(或不等式组)；(3)解不等式(或不等式组)；(4)检验结果是否符合实际,并作答.三、典型例题：例1:某渔业公司年初用98万元购进一艘渔船,用于捕捞,第一年需各种费用12万元,从第二年开始包括维修费在内,每年所需费用均比上一年增加4万元,该船每年捕捞的总收入为50万元.(1) 该船捕捞几年开始盈利(即总收入减去总成本及所有费用为正值)?(2) 该船捕捞若干年后,处理方案有两种:①当年平均盈利达到最大值时,以26万元的价格卖出；②当盈利总额达到最大值时,以8万元的价格卖出,问哪一种方案较为合算?请说明理由.例2:某种商品,现在定价每件p 元,每月售货卖出n 件,因而现在每月售货总金额为np 元.设定价上涨x 成,卖出数量减少y 成,售货总金额变成现在的z 倍.(1) 用x 和y 表示z;(2) 设y=kx,其中k 是满足0＜k ＜1的常数,利用k 来表示当售货总金额最大时的x 值;(3) 若x y 32,求使售货总金额有所增加时的x 的范围.四、归纳小结：应用不等式知识解应用题的关键是建立不等量关系.五、基础知识训练：（一）选择题：1. 某工厂第一年年产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x,则( )A.x=2b a +B.x ≤2b a +C.x ＞2b a +D.x ≥2b a + （二）填空题：2. (97高职-19)设某型号的汽车在普通路面上的刹车距离S(米)与汽车车速x(千米/时)之间的关系是20005.02x x S +=,为了避免交通事故,规定该车的刹车距离不大于10米,则该车的车速不得超过 (千米/时).3. (98高职-23)1998年世界杯足球赛组委会决定以每张25美元的单价发行普通入场券,预计可发行80万张,如果定价每张提高1美元,发行量就减少2万张,欲使门票收入不低于2000万美元,则入场券的最高定价不超过 .（三）解答题：4. (2003高职-21)(本小题满分12分)某厂若以50元的价格销售一种产品,则可以销售8000件.如果这种产品的单价每增加1元,则销售量就将减少100件.为了使这种产品的销售收入不低于420000元,那么单价的取值范围应为多少?5. 工厂生产某种产品,每月固定成本10万元,而每件产品的变动成本为25元,产品销售单价为60元,若每月要获得最低利润3万元,求每月最少要销售多少件产品?6. 某地方政府为保护地方电子工业发展,决定对某一进口电子产品征收附加税,已知这种电子产品国内市场零售价每件250元,每年可销售40万件,若政府征收附加税率为每百元t 元时,则每年销售将减少58t 万件. (1) 将税金收入表示为征收附加税率的函数;(2) 若在该项经营中每年征收附加税金不低于600万元,那么政府征收附加税率应控制在什么范围内?。

第2章 不等式考点解读1.不等式的性质（1）实数的大小比较与实数运算性质之间的关系0a b a b >⇔->；0a b a b <⇔-<；0a b a b =⇔-=（2）不等式的基本性质性质1.（传递性）如果,a b b c >>，那么a c > 性质2.（加法性质）如果a b >，那么a c b c +>+性质3.（乘法性质）如果a b >，0c >，那么ac bc >；如果a b >，0,c <那么ac bc < （3）从不等式的基本性质出发，还可以得到哪些有用的推论？推论1. ,a b c d a c b d >>+>+如果那么； 推论2. ,a b c d a c b d ><->-如果那么 推论3. 0,0a b c d ac bd >>>>>如果那么； 推论4. 110,a b a b>><如果那么 推论5. 0,0a ba b d c c d>>>>>如果那么； 推论6. *0,()n n a b a b n N >>>∈如果那么 推论7. 110,nna b a b >>>如果那么*(,1)n N n ∈>（4）如何比较不等式的大小？①作差法 ②作商法2. 解不等式 （1）一元一次不等式的解集的讨论： 2.不等式的性质（1）不等式ax b >的解集：当0a >时，解集为{|}bx x a >；当0a <时，解集为{|}b x x a<； 当0a =且0b <时，解集为R ；当0a =且0b ≥时，解集为∅. （2）一元二次不等式的解集的讨论：一元二次不等式解集如表所示：（当方程方程2+0ax bx c +=的两个不相等的实根时，不妨设为12,x x ，且12x x <）判别式24b ac ∆=-0∆> 0∆= 0∆<2y ax bx c =++()0a >的图像20ax bx c ++=()0a >的根有两相异实根12,x x ()12x x <有两相等实根122bx x a==-没有实根20ax bx c ++>()0a >的解集{}12x x x x x <>或2b x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭R20ax bx c ++<()0a >的解集{}12x xx x <<∅ ∅【总结】 不等式证明的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； （2）作商（常用于分数指数幂的代数式）； （3）分析法； （4）平方法；（5）分子（或分母）有理化； （6）利用函数的单调性； （7）寻找中间量或放缩法 ； （8）图象法.其中比较法（作差、作商）是最基本的方法.（3）分式不等式的解法同解变形法（分式不等式⇔整式不等式⇔一次、二次不等式）①() ()()()()()()()()0000f x f xf xg x f x g xg x g x><><（或）与·或·同解；②()()()()00f x f xg x g x⎛⎫⎪⎪⎝⎭≥或≤与不等式组()()()()()()0000f xg x f x g xg x g x⎛⎫⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎪≠≠⎪⎪⎩⎩⎝⎭·≥·≤或同解.（4）一元高次不等式的解法——标根法其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现()f x的符号变化规律，写出不等式的解集.若naaaa<<<<Λ321，则不等式0)())((21>---naxaxaxΛ或0)())((21<---naxaxaxΛ的解法如下图（即“数轴标根法”）：（5）绝对值不等式的解法方法一：应用分类讨论思想去绝对值（最后结果应取各段的并集）；方法二：应用数形结合思想；方法三：应用化归思想等价转化.①最简单的绝对值不等式的同解变形,x a a x a<⇔-<<；,ax b c c ax b c+<⇔-<+<；x a x a>⇔<-或,x a>；cbaxcbax-<+⇔>+或,ax b c+>.②关于绝对值不等式的常见类型有下列的同解变形()()()()()f xg x g x f x g x≤⇔-≤≤；()()()()f xg x f x g x≥⇔≤-或()()f xg x≥；22()()()()f xg x f x g x≤⇔≤.【提醒】标根法主要用于简单的一元高次不等式题型，因为上海高考不作要求，可以简单的了解.（5）含参不等式的解法求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”3.常用的基本不等式（1）如果,a b R ∈，那么222a b ab +≥（当且仅当a =b 时等号成立）； （2）如果,a b R +∈，那么ba +≥ab （当且仅当a =b 时等号成立）.（1）比较法 ①作差比较法 A.理论依据0a b a b ->⇔> 0a b a b -=⇔= 0a b a b -<⇔<B.证明步骤：I:作差：对要比较大小的两个数（或式）作差；II ：变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和； III ：判断：结合变形的结果及题设条件判断差的符号.②作商比较法 A.理论依据当a b R +∈，时, 1,1,1a a aa b a b a b b b b>⇔><⇔<=⇔=. B.证明步骤：I:判断（判断能否作商）；II ：作商；III ：变形；IV: 下结论. （2）综合法证题时，从已知条件入手，经过逐步的逻辑推导，运用已知的定义、定理、公式等，最终达到要证结论，这是一种常用的方法（由因导果）. （3）分析法从要证明的结论出发，一步一步地推导，最后达到命题的已知条件（可明显成立的不等式、已知不等式等），其每一步的推导过程都必须可逆（执果索因）.2.1不等式的基本性质例题精讲【例1】（1）设x 、y 是不全为零的实数，试比较222y x +与xy x +2的大小；（2）设c b a ,,为正数，且1222=++c b a ，求证：3)(2111333222≥++-++abc c b a cb a . 【参考答案】（1）解法1：222222243)2()(2y y x xy y x xy x y x +-=-+=+-+ 因为x 、y 是不全为零的实数，所以043)2(22>+-y y x ，即xy x y x +>+2222 解法2：当0<xy 时， 22222y x x xy x +<<+；当0>xy 时，作差：02)(222222>=-≥-+=+-+xy xy xy xy y x xy x y x ； 因为x 、y 是不全为零的实数，所以当0xy >时，xy x y x +>+2222． 综上，xy x y x +>+2222（2）证明：当c b a ==时，取得等号3． 作差比较：3)(2111333222-++-++abc c b a c b a =3)(2333222222222222-++-++++++++abc c b a c c b a b c b a a c b a=222222222222111111()()()2()a b c a b c b c a c a b bc ac ab+++++-++ =0)11()11()11(222222>-+-+-ba c ac b cb a所以，3)(2111333222≥++-++abc c b a cb a 【例2】已知41,145ac a c -≤-≤--≤-≤,试求9a c -的取值范围． 【参考答案】把9a c -用a c -，4a c -来表示，再利用a c -，4a c -的范围得出9a c -的取值范围．1[(4)()]3a a c a c =---1[(4)4()]3c a c a c =---∴9a c -=3[(4)()]a c a c ----1[(4)4()]3a c a c ---85(4)()33a c a c =---由已知得8840-(4)333a c ≤-≤，5520()333a c ≤--≤∴85-1(4)()2033a c a c ≤---≤，即1920a c -≤-≤注意:这类题的常见错误是,由41441a c a c -≤-≤-⎧⎨-≤-≤⎩,从而得: 03a ≤≤,17c ≤≤,所以: 7926a c -≤-≤，即: 7(3)26f -≤≤,错误根源在于,a b c d ≥≥是a b b c -≥-充分但不是必要条件,因此必须从考虑9a c -与a c -,4a c -的关系去解此题.过关演练1. 若c b a >>，则一定成立的不等式是（ ）.A c b c a > .B ac ab > .C c b c a ->- .D cb a 111<< 2. 已知：,,0a b e f c >>>，求证：bc e ac f --＜． 3. 已知11a -<<，比较1a -和11a+的大小． 4. 对于实数c b a ,,，给出下列命题：①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22； ③22,0b ab a b a >><<则若； ④ba b a 11,0<<<则若； ⑤baa b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0； ⑦bc ba c ab ac ->->>>则若,0； 其中正确的命题是 .5. 已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是 .6. 若11αβ-<<<，则下面各式中成立的是（ ）.A 20αβ-<-< .B 21αβ-<-<- .C 10αβ-<-< .D 11αβ-<-<7. 设a 和b 都是非零实数，求不等式b a >和ba 11>同时成立的充要条件．8. 下列几个不等式中（1）22a b a a b b +>+ （2）222211b b a a +>+ （3）11a b a b+>+ （4）a b a a > 其中恒成立的不等式个数是（ ）.A 0 .B 1 .C 2 .D 39. 若a < b <0，则下列结论中正确的是 （ ）.A 不等式||1||111b a b a >>和均不成立 .B 不等式||1||111b a a b a >>-和均不成立 .C 不等式22)1()1(11a b b a a b a +>+>-和均不成立 .D 不等式22)1()1(||1||1ab b a b a +>+>和均不成立 10. 若二次函数)(x f 的图像关于y 轴对称，且2)1(1≤≤f ，4)2(3≤≤f ，求)3(f 的范围． 11. 已知c b a >>，且,0=++c b a 求ac的取值范围．2.2一元二次不等式的解法 例题精讲【例1】解关于x 的不等式2(2)20mx m x +-->,并写出解集【参考答案】m =0时，不等式为-2x-2>0,不等式的解集为--1∞（，）； m ≠0时，可得2)(1)0,m x x m +>(-若m>0,则201m >>-, 此时不等式的解集为2--1+m∞⋃∞（，）（，） 若m<0,则不等式同解于不等式2)(1)0x x m+<(- 当-2<m<0时，不等式的解集为2-1m （，）；当m<-2时不等式的解集为2-m （1，）； 当m=-2时，不等式的解集为∅．注意：对字母m 分类讨论时，先要讨论二次项的系数，以区分是一次不等式还是二次不等式，还要注意化简后不等式的同解形式．【例2】有一批影碟机(DVD)原售价为800元,在甲,乙两家商场均有销售,甲商场用如下方法促销,买一台单价为国为780元,买两台单价为760元,依此类推,每多买一台,则所买各台单价均减少20元,但每台最低不能低于440元,乙商场一律都按原价75%销售,某单位需购买一批此类影碟机,应去哪家商场购买?【参考答案】设此单位需购买x 台影碟机,在甲商场购买共需花费1y 元,在乙商场购买共需花费2y ,由题意, 80020440,18x x -≥∴≤*1*(80020),118,440,18,x x x x N y x x x N⎧-≤≤∈⎪=⎨>∈⎪⎩ *280075%600,1,y x x x x N =⨯=≥∈,设此单位在甲,乙两家商场购货的差价为y,则2*21*(80020)60020020,118,440600,18,x x x x x x x N y y y x x x x N⎧--=-≤≤∈⎪=-=⎨->∈⎪⎩ 当118x ≤≤时,由220020y x x =->0得:0<x<10, 所以*110,x x N ≤<∈;由220020y x x =-=0得x=10,由220020y x x =->0得x>10, 所以*1018,x x N <≤∈;当x >18时,y <0答:若购买少于10台影碟机,则应去乙商场购买,若买10台,去甲乙均可,若购买超过计划10台,则应去甲商场购买.过关演练1. 若不等式022<+-a bx x 的解集为}51|{<<x x ，则a 为 .2. 求下列不等式的解集：⑴解不等式22350x x -++>；⑵解不等式24410x x -+>；⑶解不等式2230x x -+->.3.已知关于x 的不等式(1)(1)0ax x -+<的解集是()1,1,a ⎛⎫-∞⋃-+∞ ⎪⎝⎭，求实数a 的取值范围. 4. 解关于x 的不等式0)(322>++-a x a a x ．5. 关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(1,2)-，则不等式20cx bx a ++<的解集为 .6. 已知关于x 的不等式组2122kx x k ≤++≤有唯一实数解，则实数k 的取值集合是 .7. 对于任意实数x ，不等式22(2)0ax ax a +-+<恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） .A 10a -≤≤.B 10a -≤< .C 10a -<≤ .D 10a -<<8. a 为实数，关于x 的二次方程27(13)220x a x a -+++=有两个实数根分别介于0与1之间以及1与2之间，求a 的取值范围．9. 解不等式: ()()220x ax --> ．10. 如果集合2{|10}A x ax ax =-+<=∅，则实数a 的取值范围是 .11. 111222,,,,,a b c a b c 均为非零实数，不等式21110a x b x c ++>和22220a x b x c ++>的解集分别为集合M 和N ，那么“111222a b c a b c ==”是“M N =”的（ ） .A 充分非必要条件.B 必要非充分条件 .C 充要条件 .D 既非充分又非必要条件12. 函数()2(2)2(2)4f x a x a x =-+--，若()1,3x ∈时，()7f x mx <-恰成立，求,a m 的值．13. 关于x 的方程2(1)10x m x +-+=在区间()0,2上有实根，求实数m 的取值范围． 14. 若不等式)1(122->-x m x 对满足2≤m 的所有m 都成立，求x 的取值范围．15. 某公园举办雕塑展览吸引着四方宾客，旅游人数x 与人均消费t （元）的关系如下： 121600(1050,)61300(50200,)t t t x t t t -+≤≤∈⎧=⎨-+<≤∈⎩N N , （1）若游客客源充足，那么当天接待游客多少人时，公园的旅游收入最多？（2）若公园每天运营成本为5万元（不含工作人员的工资），还要上缴占旅游收入20%的税收，其余自负盈亏．目前公园的工作人员维持在40人．要使工作人员平均每人每天的工资不低于100元，并维持每天正常运营（不负债），每天的游客人数应控制在怎样的合理范围内？（注：旅游收入=旅游人数×人均消费）2.3其他不等式的解法 例题精讲【例1】k 为何值时，下式恒成立：13642222<++++x x k kx x 【参考答案】原不等式可化为：0364)3()26(222>++-+-+x x k x k x ，而03642>++x x ∴原不等式等价于0)3()26(22>-+-+k x k x由0)3(24)26(2<-⨯⨯--=∆k k 得1< k <3【例2】解不等式210.122x x --< 【参考答案】这个绝对值不等式的绝对值符号内是一个分式，若先去绝对值符号，就变成一个形式上是分式的不等式：210.10.122x x --<-<，这样就为解题制造了障碍，但是如果我们不急于去绝对值符号，而是先将绝对值符号内的表达式进行化简，就可以得到212212222x x x x x x x -----===-． 所比不等式的解集为{}1010x x x ><-或【例3】若不等式()11m x x ≤++-的解集为全集，求实数m 的求值范围．【参考答案】利用绝对值和的几何意义求解简捷、快速．2m ≤本题是一道恒成立问题，分离常数后，转化为求最小值问题．过关演练1. 若x R ∈，则()()110x x -+>的解集是（ ）.A {}01x x ≤< .B {0x x <且1}x ≠- .C {}11x x -<< .D {1x x <且1}x ≠- 2. 不等式2601x x x ---＞的解集为 （ ） .A {}23x x x <->或 .B {}23x x x <-<<或1.C {}213x x x -<<>或 .D {}213x x x -<<<<或1 3. 求下列不等式的解集：⑴解不等式4321x x ->+；⑵解不等式22xxx x >++；⑶解不等式4|23|7x <-≤； ⑷解不等式123x x ->-； ⑸解不等式125x x -++<．4. 若不等式|32||2|x x a +≥+对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围．5. 解关于x 的不等式：242mx m x +<+．6. 不等式242+<-x x 的解集为 .7. 已知关于x 的不等式23x x m -+-<的解集为非空集合，则实数m 的取值范围是（）.A 1m < .B 1m ≤ .C 1m > .D 1m ≥8. 若不等式102x m x m -+<-成立的一个充分非必要条件是1132x <<，则实数m 的取值范围是（ ） .A 14,,43⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U .B 14,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦ .C 13,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦ .D 以上结论都不对 9. 已知关于x 的不等式21<++ax x 的解集为P ，若P ∉1，则实数a 的取值范围为（ ） .A ),0[]1,(+∞--∞Y .B ]0,1[- .C ),0()1,(+∞--∞Y .D ]0,1(-10. 设全集U R =，解关于x 的不等式： 110x a -+->()x R ∈.11. 解不等式2(1)(2)0x x -+≥．12. 设关于x 的不等式4|4|2+≤+-x m x x 的解集为A ，且A A ∉∈2,0，则实数m 的取值范围是 . 13. 不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+->+->|22|330xx x x x 的解集是（ ） .A {|02}x x <<.B {|0 2.5}x x << .C {|0x x <<.D {|03}x x << 14. 对任何实数x ，若不等式12x x k +-->恒成立，则实数k 的取值范围为（ ）.A 3k < .B 3k <- .C 3k ≤ .D 3k ≤-15.2x <+.16. 解关于x 的不等式(1)1(1)2a x a x ->≠-. 17. 已知关于x 的不等式052<--ax ax 的解集为M ． (1) 当1=a 时，求集合M ；(2) 当M M ∉∈53且时,求实数a 的范围．2.4基本不等式及其应用例题精讲【例1】已知54x <，求541-+x x 的最大值. 【参考答案】45)45(41)45(541+-+-=-+x x x x ，由于54x <，045<-x ， 所以1)45(41)45(-≤-+-x x ，4145)45(41)45(≤+-+-x x ， 当且仅当)45(4145-=-x x 即43=x 时取等号. 【例2】求2710(1)1x x y x x ++=>-+的最小值. 【参考答案】方法一：当1->x 时，9514114)1(5)1(110722≥++++=+++++=+++x x x x x x x x ， 当且仅当111+=+x x 即1=x 时取等号. 方法二：设)0(1>+=t x t ，则1-=t x ，原式9544510)1(7)1(22≥++=++=+-+-=tt t t t t t t 当且仅当tt 4=即1,2==x t 时取等号.【例3】某村计划建造一个室内面积为2800m 的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左右两侧与后侧内墙各保留1m 宽的通道，沿前侧内墙保留3m 宽的空地，当矩形室的变长各为多少时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积时多少？【参考答案】温室左侧变长2max 40,20,648a m b m S m ===过关演练1. 已知3>x ，则6211-++x x 的最小值是 . 2. 已知,,9a b R ab +∈=，则a b +的最小值是 .3. 下列不等式一定成立的是 （ ）.A xy y x 2≥+ .B 21≥+x x .C xy y x 222≥+ .D xyxy y x 12≥+ 4. 已知,,,a b c R ∈求证222a b c ab bc ca ++≥++.5. 为了提高产品的年产量，某企业拟在2010年进行技术改革．经调查测算，产品当年的产量x 万件与投入技术改革费用m 万元(m ≥0)满足31k x m =-+ (k 为常数)．如果不搞技术改革，则该产品当年的产量只能是1万件．已知2010年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元．由于市场行情较好，厂家生产的产品均能销售出去．厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的1.5倍(生产成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2010年该产品的利润y 万元(利润＝销售金额－生产成本－技术改革费用)表示为技术改革费用m 万元的函数；(2)该企业2010年的技术改革费用投入多少万元时，厂家的利润最大？6. 已知0,0x y >>，且191x y+=，则x y +的最小值为 . 7. 已知0,0a b >>，以下三个结论：①22ab a b a b +≤+，②2222a b a b ++≤ ③22b a a b a b+≥+，其中正确的个数是( ) .A 0 .B 1.C 2 .D 38. 已知b a ,为正实数，302=++a ab b ，求函数ab y 1=的最小值.9. 已知关于x 的不等式227x x a+≥-在(),x a ∈+∞上恒成立，求实数a 的最小值.10. 某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x 、y （单位：m ）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8 m 2，问x 、y 分别为多少时用料最省？（精确到0.001m ）x y11. 已知1,0>>y x ，且2)1(=-y x ， 则y x +2的最小值为 . 12. xzy z y x R z y x 2,032*,,,=+-∈的最小值为 . 13. 1,0,=+>y x y x ，且a y x ≤+恒成立, 则a 的最小值为（ ）A .22 B .22 C .2 D .2 14. 已知a 、b 、()0,c ∈+∞且1a b c ++=，求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 15. 三个同学对问题“关于x 的不等式232255x x x ++-ax ≥在[1，12]上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路．甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，求出a 的取值范围.2.5不等式的证明例题精讲【例1】设,,a b R ∈求证：221a b ab a b +++>+．【参考答案】()22222211()221212a b ab a b a ab b a a b b +++-+=+++-++-+Q ()()()22211102a b a b ⎡⎤=++-+->⎣⎦ 221a b ab a b ∴+++>+【例2】已知0,0a b >>，求证：1111222222a b a b b a ⎛⎫⎛⎫+≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ． 【参考答案】（分析法）要证明1111222222a b a b b a ⎛⎫⎛⎫+≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于0,0a b >>所以11220a b > 只需要证明111122221122a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫ ⎪+≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．即证 331111222222a b a b a b ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭即证 1111111122222222a b a a b b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+≥+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即证1122a a b b -+1122a b ≥，即证211220a b ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭ 211220a b ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭显然成立，所以原不等式成立．过关演练1. 求证：（1）()()221x x x +<+；（2）设0>>b a ，求证：a b b a b a b a >.2. 已知0=++c b a ，求证： 0ab bc ca ++≤.3. 3725<.4. 已知,,a b m 都是正数，并且a b <，求证：a m ab m b +>+. 5. 设,,,,a b x y R ∈且22221,1,a b x y +=+=试证：||1ax by +≤.6. 实数,,x y z 满足1xy yz zx ++=-,求证：222584x y z ++≥.7. 已知正数a 、b 、c 满足2a b c +<，求证：22c c ab a c c ab -<<-8. 设a ＞0，b ＞0，求证： 111122222a b a b b a 2⎛⎫⎛⎫+≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.9. 已知a 、b 、c 为正实数，1a b c ++=.求证：(1) 22213a b c ++≥； (2)232323+++++c b a ≤6.10. 若,0x y >,且2x y +>，求证：1y x +和1x y +中至少有一个小于2.11. 证明不等式n n2131211<++++Λ ()n N *∈.直击高考一、填空题1.（2009年高考理文3）若行列式4513789x x 中，元素4的代数余子式大于0，则x 满足的条件是 .2. （2010年春季高考4）已知集合1{|||2},{|0}1A x x B x x =<=>+，则A B ⋂= . 3.（2010年高考理2文1）不等式204x x ->+的解集是 . 4.（2012年春季高考12）若不等式210x kx k -+->对()1,2x ∈恒成立，则实数k 的取值范围是 .5.（2012年春季高考13）已知等差数列{}n a 的首项及公差均为正数，令n b n a =2012n a -+(,2012)n N n *∈<，当k b 是数列{}n b 的最大项时，k = .6.（2013年高考理12）设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()97a f x x x=++．若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立，则a 的取值范围为 . 7.（2013年高考文13）设常数0a >，若291a x a x+≥+对一切正实数x 成立，则a 的取值范围为 ． 二、选择题8.（2010年春季高考16）已知)1,0(,21∈a a ，记1,2121-+==a a N a a M ，则M 与N的大小关系是（ ）.A N M < .B N M >； .C N M = .D 不确定9.（2011年高考理15文16）若,a b R ∈，且0ab >，下列不等式中，恒成立的是（ ）.A 222a b ab +> .B 2a b ab +≥ .C 11a b ab+> .D 2b a a b +≥ 10.（2013年春季高考17）如果0a b <<，那么下列不等式成立的是（ ）.A 11a b < .B 2ab b < .C 2ab a -<- .D 11a b-<- 11.（2013年高考理15文16）设常数a R ∈，集合{|A x =(1)(x x -)a -0}≥，{|1}B x x a =≥-．若A B R =U ，则a 的取值范围为（ ）.A (,2)-∞ .B (,2]-∞ .C (2,)+∞ .D [2,)+∞三、解答题12.（2009年高考文19）已知复数z a bi =+（,a b R +∈）(i 是虚数单位)是方程2450x x -+=的根 ，复数3w u i =+（u R ∈）满足25w z -<，求u 的取值范围．13.（2010年高考理文22）若实数x 、y 、m 满足m y m x ->-，则称x 比y 远离m .（1）若21x -比1远离0，求x 的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数a 、b ，证明：33a b +比22a b ab +远离2ab 14.（2011年春季高考22）定义域为R ，且对任意实数1x 、2x 都满足不等式()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭的所有函数()f x 组成的集合记为M ．例如，函数()f x kx b M =+∈．(1)已知函数()0102x x f x x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩．证明：()f x M ∈；(2)写出一个函数()f x ，使得()f x M ∉，并说明理由．15.（2011年春季高考23）对于给定首项)300x a a >>，由递推式()112n n n a x x n N x +⎛=+∈ ⎝得到数列{}n x ，且对于任意的n N ∈，都有3n x a >{}n x 3a 的近似值．(1)取05,100x a ==，计算123,,x x x 的值(精确到0.01)；归纳出1,n n x x +的大小关系；(2)当n≥l 时，证明：()1112n n n n x x x x +--<-．16.（2012年春季高考20）某环线地铁按内、外环线同时运行，内、外环线的长均为30千米（忽略内、外环线长度差异）．（1）当9列列车同时在内环线上运行时，要使内环线乘客最长候车时间为10分钟，求内环线列车的最小平均速度；（2）新调整的方案要求内环线列车平均速度为25千米/小时，外环线列车平均速度为30千米/小时．现内、外环线共有18列列车全部投入运行，要使内外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟，向内、外环线应各投入几列列车运行？17.（2012年高考理文21）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），A 处，如图.现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线21249y x =； ②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为7t .（1）当0.5t =时，写出失事船所在位置P 的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？18.（2013年高考理20）甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每一小时可获得的利润是310051x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭元． （1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．。

第二章 不等式一．知识网络二．知识点(一) 不等式的基本性质1. 比较实数的大小（1）方法：作差 a －ｂ＞０⇔ａ＞ｂa －ｂ＝０⇔ａ＝ｂa －ｂ＜０⇔ａ＜ｂ(2)方向：因式分解配方法 ： 二次项系数为1，加上一次项系数一半的平方2. 基本性质：传递性 a>b , b>c ⇒ b>c● 可加性 a>b ⇒ a + c > b + c;a>b , c>d ⇒ a + c > b + d● 可乘性 a>b ，ｃ＞０⇒ａｃ＞ｂｃa>b ，ｃ=０⇒ａｃ=ｂｃa>b ，ｃ<０⇒ａｃ<ｂｃａ＞ｂ＞０，ｃ＞ｄ＞０⇒ａｃ＞ｂｄ● 移项要变号ａ＋ｂ＞ｃ⇒ａ＞ｃ－ｂ● 可方性 ａ＞ｂ＞０⇒22b a > , a n >b n● 可根性 ａ＞ｂ＞０⇒a >b , n n b a >(二) 区间1. 概念由数轴上两点间的一切实数所组成的集合叫做区间，其中，这两点叫做区间的端点2. 表示方法（1） 小的在前，大的在后，用逗号隔开；（2） 有端点的用中括号，无端点的用小括号。

注意： 只要见到无穷大（+∞或-∞）一定要用小括号(三) 不等式的解法1. 一元二次不等式：（1）一般式： ax 2+bx+c>0(≥０) 或ax 2+bx+c<0(≤０) 其中a ≠0（2）解法：①若a<0,先将二次项系数化为正数（不等号要变号）②求相对应方程ax 2+b x + c=0的根：因式分解公式法：x=a ac b b 242-±- ③大于：根两边（大于大的，小于小的），小于：根中间（大于小的，小于大的）④用区间表示集合注意：一元次不等式解集为φ或全集R ，则判别式acb 42-=∆必小于零，但应注意开口方向和ac b 42-=∆是否可以等于零。

（四）含有绝对值的不等式1. C ≥0| a x+ b|>C ⇔ 大于取根两边；（大于大的，小于小的）， | a x+ b|<C ⇔ 小于取根中间（大于小的，小于大的）2. C<0|ax+b|>C ⇔R|ax+b|<C ⇔Φ。